9 drichle

Nguyên lý Drichlet Thầy Hồng Trí Quang

1

Nguyên lí Dirichle

“Nếu xếp n+1 vật vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ 2 vật trở lên”

Tổng quát: “nếu đem nK+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ K + 1 vật

trở lên”

Hình học

Bài 1. Trong hình vuông cạnh 1 đơn vị chọn 101 điểm.Chứng minh rằng có 5 điểm trong các

điểm đã chọn có thể phủ bởi đường tròn bán kính bằng 1

7.

HD chia hình vuông thành 25 hình vuông cạnh 1

5, tồn tại 5 điểm thuộc một hình vuông -> thỏa

mãn.

Bài 2. Cho một hình vuông, có 9 đường thẳng mà mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2

phần có tỉ lệ diện tích là 2

3. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường đồng quy.

Bài 3. Trong 2005 điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong mỗi nhóm ba điểm bất kì của các

điểm trên bao giờ cũng có thể chọn được hai điểm có khoảng cách bé hơn 1. Chứng minh rằng

trong các điểm trên có ít nhất 1003 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính 1.

HD 2005 = 2.1002 +1. Xét (A;1), nếu tồn tại B nằm ngoài (A;1) thì 2003 điểm còn lại nằm (A)or

(B)

Số học

Bài 4. Cho dãy gồm n số 7, 77, 777, 7777, …,777…7. Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít

nhất một số chia hết cho 2013 trong mỗi trường hợp sau:

a) Với n = 2014

b) Với n = 2013

c) Với n = 1000

Bài giải

a) Số thỏ lớn hơn số chuồng, hiển nhiên theo nguyên lí Drichlet

b) Loại bớt số thỏ, hoặc thêm số thỏ.


2

TH1. Nếu có 1 số chia hết thì có Đpcm

Th2. Nếu không có số nào chia hết, trở lại câu a

c) Tách 2013 3.11.61

Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là những số có số chữ số là bội

của 6.

Đó là những số 777777, 77..7 (12 chữ số), … , 77..7 (996 chữ số)

Số hạng của dãy trên là (996 6) :6 1 166

Trong 166 số này, ta cần chỉ ra có ít nhất một số chia hết cho 61

Vì số thỏ 166 lớn hơn số chuồng là 61 nên bài toán trở về câu a.

Bài 5. Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 1997.k (k thuộc N) có tận cùng là 0001.

HD xét chia hết cho 10000; 10001 số dạng 1997𝑖

xét số 10001, 1000110001, …, 10001…10001; có 1998 số. Tồn tại 2 số cùng số dư

1997.1; 1997

Bài 6. Cho tập 𝑋 = {1; 2; 3; … 81}. Chứng minh rằng trong 3 phần tử tùy ý của X luôn có hai

phần tử a và b sao cho: 0 < √𝑎4

− √𝑏4

< 1

HD Xét 3 phần tử bất kì x; y; z thì √𝑥4

, √𝑦4 , √𝑧4

thuộc vào 2 đoạn: [1; 2] và [2; 3]

Bài 7. ĐHSPHN 1993 Cho 40 số nguyên dương 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎19 và 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏21 thỏa mãn:

{1 ≤ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎19 ≤ 2001 ≤ 𝑏1 < 𝑏2 < ⋯ < 𝑏21 ≤ 200

Chứng minh rằng tồn tại 4 số 𝑎𝑖, 𝑎𝑗 , 𝑏𝑘, 𝑏𝑝 (1 ≤ 𝑖; 𝑗 ≤ 19; 1 ≤ 𝑘; 𝑝 ≤ 21) sao cho:

i j

k p

j i p k

a a

b b

a a b b

HD xét cặp 𝑎𝑖 + 𝑏𝑘, có tất cả 19.21 = 399 tổng như thế, tổng này đạt giá trị từ 2 đến 400. Nếu

tổng này đạt đồng thời giá trị 2 và 400 thì cặp 4 số là 1; 1; 200; 200. Trong trường hợp không

đồng thời 2 và 400, khi đó còn 398 giá trị cho 399 tổng, đpcm.

Bài toán Ram – sey


3

Bài 8. Cho sáu điểm khác nhau trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Với

mỗi đoạn thẳng nối hai trong sáu điểm đã cho, ta tô màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại

một tam giác có ba cạnh cùng màu.

HD xét cố định điểm A; 5 cạnh AB, AC, AD, AE, AF

Bài 9. (bài toán Ram – Say) Chứng minh rằng trong sáu người bất kì luôn tìm được ba người

đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau.

HD: mỗi người coi là một điểm, mối quan hệ giữa hai người coi như đoạn thẳng. Hai người

quen nhau ta tô màu xanh, hai người không quen nhau ta tô màu đỏ. Theo bài 14, có tam giác có

ba cạnh cùng màu.

Bài 10. Cho sáu số vô tỉ. Chứng minh rằng có thể chọn ra được ba số a, b, c trong sáu số đã cho

để a + b, b + c, c + a cũng là các số vô tỉ.

Coi mỗi số vô tỉ đã cho như là một điểm của mặt phẳng. Hai số có tổng là một số vô tỉ thì đoạn

thẳng tương ứng tô màu đỏ và ngược lại tô màu xanh. Vì có một tam giác T có ba cạnh cùng

màu nên có ba số vô tỉ a, b, c (tương ứng ba đỉnh của T) sao cho a + b, b + c, c + a đều là số vô

tỉ (nếu các cạnh của T tô màu đỏ) hoặc a + b, b + c, c + a đều là số hữu tỉ (nếu các cạnh tô màu

xanh). Chỉ trường hợp đầu xảy ra và đó là đpcm.

Thật vậy, nếu x = a + b, y = b + c, z = c + a đều là số hữu tỉ thì x y z

a2

là số hữu tỉ (vô lí)

Tự luyện

Bài toán Ramsey

Bài 11. Có 6 học sinh, viết thư trao đổi với nhau về một trong hai đề tài: tình bạn hoặc tình yêu.

Chứng minh rằng có ít nhất ba học sinh cùng trao đổi về một đề tài.

HD xét A trao đổi B, C, D, E, F, tồn tại ba nhà khoa học được A trao đổi cùng đề tài; Xét riêng

B, C, D.

Bài 12. Có 6 học sinh thi đấu cờ vua với nhau, mỗi người phải đấu đúng một trận với người

khác. Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào của trận đấu cũng có ba bạn trong đó từng cặp đã đấu

với nhau rồi hoặc chưa đấu với nhau trận nào.

HD xét giống trường hợp viết thư, thi đấu và chưa thi đấu để xét.


4

Bài 13. Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác

có các cạnh có chiều dài khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của

một tam giác, vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.

HD Cách 1. Theo bài 14, tuy nhiên ta tô màu đặc biệt. Trong tam giác, ta tô màu đỏ cạnh lớn

nhất, màu xanh 2 cạnh còn lại. Theo bài 14, tồn tại tam giác có ba cạnh cùng màu, tam giác này

có cạnh lớn nhất tô màu đỏ nên 2 cạnh còn lại cũng màu đỏ. Xét cạnh nhỏ nhất trong tam giác

này, thỏa mãn.

Cách 2. Tô màu cạnh nhỏ nhất của tam giác và tô màu xanh hai cạnh kia. Ta chứng minh tồn tại

một tam giác có 3 cạnh đỏ, và cạnh lớn nhất trong 2 cạnh đỏ t/m đk

Xét AB, AC, AD, AE, AF có 3 cạnh cùng màu là AB, AC, AD

Nếu cùng màu đỏ, kết hợp tam giác BCD có một cạnh màu đỏ (giả sử BC), suy ra tam giác ABC

cùng màu đỏ.

Nếu cùng màu xanh thì tam giác BCD có các cạnh cùng màu đỏ.

Bài tự luyện

Bài 14. Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại ít nhất 2 số có hiệu

chia hết cho 10.

Bài 15. Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 19941994…199400…0 chia hết cho 1995.

Bài 16. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (1999𝑘 – 1) chia hết cho104.

HD xét 105 số từ 199, 199^2; … 199^105

Bài 17. Chứng minh rằng tồn tại một số chỉ viết bởi hai chữ số chia hết cho 2003.

Xét dãy số a, aa, aaa, …; vậy aaa..aa000..00

Bài 18. Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên không chia hết cho 2 và 5 thì tồn tại bội của nó

có dạng 111…1.

HD Gọi số tự nhiên là n; xét 1, 11, 111, 111…11 chia cho n

Bài 19. Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau thì tìm được số tự

nhiên k sao cho mk – 1 chia hết cho n.

HD Xét tập hợp n số: 𝑚; 𝑚2; 𝑚3 … 𝑚𝑛+ 𝑘 = 𝑚𝑞−1


5

Bài 20. Cho tập hợp 𝑋 = {1; 2; … 2009}. Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử bất kì của X

luôn có hai phần tử có tổng bằng 2010.

HD Chia thành 1005 cặp: (1; 2009), (2; 2008), … . (1004; 1006), (1005)

Bài 21. Một tổ học tập có 12 học sinh. Khi viết chính tả, chỉ có bạn An mắc nhiều lỗi nhất, là 5

lỗi. Chứng minh rằng trong tổ ấy có ít nhất ba bạn đã mắc số lỗi bằng nhau.

Bài 22. Ở một vòng chung kết cờ vua có 8 đấu thủ tham gia. Mỗi đấu thủ đều phải gặp 7 đấu

thủ còn lại, mỗi người một trận. Chứng minh rằng, trong một thời điểm bất kì giữa các trận đấu,

bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau hoặc hai đấu thủ chưa đấu trận nào.

HD cầu thủ = thỏ; số trận (0; 1; … 7) = lồng. Tuy nhiên 0 trận và 7 trận không đồng thời tồn

tại. Vậy 8 thỏ và 6 lồng, nên có 2 đấu thủ cùng trận.

Bài 23. Chia các số 1, 2, 3, 4, 5 thành hai nhóm. Chứng minh rằng có một nhóm chứa các số a,

b, c (có thể các số trùng nhau) sao cho a + b = c.

Hd có thể xét hiệu bt với 8 số. Nhưng ở đây ta đưa về bài toán 13, bằng cách trên mp lấy 6 điểm

và kí hiệu 6 điểm này bởi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 (không liên quan đến bài toán). Khi đó mỗi đoạn

thẳng |𝑖 − 𝑗| nhận giá trị từ 1 đến 5 của đề bài.

Theo bài 13, tồn tại tam giác ba cạnh cùng màu nên tồn tại i, j, k sao cho |𝑖 − 𝑗|, |𝑗 − 𝑘|, |𝑘 − 𝑖|

thuộc cùng một nhóm. Giả sử i > j > k và đặt a = i – j; b = j – k; c = i – k, khi đó a, b, c thuộc

cùng nhóm và a = b + c. Đpcm.

Bài 24. Năm nhà du hành vũ trụ của hai nước cùng bay vào trạm không gian quốc tế. Các sô

hiệu 1, 2, 3, 4, 5 được gán ngẫu nhiên cho từng người. Chứng minh rằng có ba nhà du hành vũ

trụ cùng một quốc tịch sao cho hiệu của số hiệu hai người này là số hiệu của người kia.

Bài 25. Cho 5 số tự nhiên a, b, c, d, e. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tồn

tại một vài số có tổng chia hết cho 5.

HD xét 𝑆1 = a, … 𝑆5 = a + b + c + d + e.

Bài 26. Cho 12 số có hai chữ số. Chứng minh rằng trong chúng có ít nhất hai số mà hiệu của

chúng là số có hai chữ số giống nhau.

HD xét 12 số khi chia cho 11

Bài 27. Trong phòng có 100 người, mỗi người quen ít nhất 66 người khác. Hỏi trong mọi

trường hợp luôn tồn tại bốn người đôi một quen nhau hay không?

HD: không, ví dụ 33, 33, 34.


6

Bài 28. Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu

của chúng chia hết cho 100.

HD xét tất cả các số dư khi chia cho 100 vào 51 cặp

(0; 0), (1; 99), (2;98), … (49,51), (50; 50). Khi chia 52 số cho 100, có 52 số dư nên tồn tại ít

nhất 2 số dư thuộc cùng một cặp. Hai số dư bằng nhau -> hiệu, khác nhau -> tổng.

Bài 29. Cho 20 số tự nhiên khác nhau không vượt quá 70. Chứng minh rằng giữa các hiệu của

hai số bất kì trong chúng (số lớn trừ đi số nhỏ) luôn tìm được ít nhất 4 hiệu bằng nhau.

HD

Bài 30. Chứng mỉnh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0, ta đều tìm được số tự nhiên biểu diễn

bởi các chữ số 9 và 0 đồng thời chia hết cho n.

HD xét n + 1 số 9, 99, …, 99…99

Bài 31. Chứng minh rằng trong tám số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số, bao giờ cũng có thể chọn

được hai số mà khi viết liền nhau ta thu được một số có sáu chữ số chia hết cho 7.

HD tồn tại hiệu A – B chia hết cho 7

𝐴𝐵 = 1000𝐴 + 𝐵 = 1001𝐴 + 𝐵 − 𝐴

Bài 32. Có một người ngày nào cũng chơi cờ, nhưng một tuần chơi không quá 13 ván. Chứng

minh rằng có một số ngày liên tục mà tổng số ván cờ người này chơi đúng bằng 20 ván.

HD xét 3 tuần liên tiếp, gọi ngày thứ k số ván cờ đánh được là 𝑎𝑘. Xét 𝑠𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑖,

có 𝑠21 < 39, và trong 21 số có hai số hiệu chia hết cho 20 -> hiệu bằng 20.

Bài 33. Cho X là tập 700 số nguyên dương khác nhau. Mỗi số không lớn hơn 2006. Chứng

minh rằng trong tập X luôn tìm được hai phần tử x, y sao cho 𝑥 − 𝑦 thuộc tập hợp 𝐸 = {3; 6; 9}.

HD xét ba tập 𝑋 = {𝑎1, 𝑎2, … 𝑎700}

𝑌 = {𝑎1 + 6; 𝑎2 + 6, … 𝑎700 + 6}

𝑍 = {𝑎1 + 9; 𝑎2 + 9; … 𝑎700 + 9}

Các phần tử trong mỗi tập là khác nhau, và không vượt quá 2006 + 9 = 2015,

Có tổng cộng 2100 số, như vậy mỗi số thuộc mỗi phần tử của tập vẫn dư 5 số. nên tồn tại ít nhất

2 số bằng nhau thuộc hai tập khác nhau.


7

Bài 34. Cho hai tập hợp số nguyên dương phân biệt mà mỗi số đều nhỏ hơn n. Chứng minh

rằng nếu tổng số phần tử của hai tập hợp không nhỏ hơn n thì có thể chọn được trong mỗi tập

hợp một phần tử sao cho tổng của chúng bằng n.

HD Giả sử hai tập 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑘}; 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑚}

Xét 𝐶 = {𝑛 − 𝑎1, 𝑛 − 𝑎2, . . , 𝑛 − 𝑎𝑘}

Tập B và C có tổng số phần tử là m + k, theo giả thiết m + k > n mà mỗi phần tử của B, C đều

nguyên dương và nhỏ hơn n . ĐPCM

Bài 35. Cho năm số nguyên dương đôi một khác nhau và đều nhỏ hơn hoặc bằng 8. Chứng

minh rằng luôn tồn tại một số bằng tổng hai số còn lại (hai số này có thể bằng nhau)

HD 1 ≤ 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒 < 8; xét thêm 4 hiệu 𝑒 − 𝑎; 𝑒 − 𝑏; 𝑒 − 𝑐; 𝑒 − 𝑑. Có 5 số và 4 hiệu

nhỏ hơn 8, nguyên dương, nên tồn tại một số bằng một hiệu.

Bài 36. Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp, luôn tìm được một số mà tổng các chữ

số của nó chia hết cho 11.

HD xét 20 số đầu tiên, tồn tại 2 số có chữ số hàng đơn vị là 0 và trong 2 số có ít nhất một số có

chữ số hàng chục khác 9. Gọi là n, và tổng các chữ số đó là s. Xét 11 số: n, n + 1, n + 2, … n +

9, n + 19 có tổng các chữ số lần lượt là s + 1, s + 2, … s + 10, có một số chia hết cho 11. Nếu số

đó là s + 10 thì số cần tìm là n + 19, nếu là s + i thì số là n + i.

Bài 37. Cho tập X = {1; 2; …2010}. Chứng minh rằng trong 1006 phần tử bất kì của X luôn có

hai phần tử nguyên tố cùng nhau.

HD: xét 1005 cặp có hiệu bằng 1

Bài 38. Cho tập X = {1; 2; 3; … 200}. Chứng minh rằng với mọi tập con A của X có số phần tử

bằng 101 luôn tồn tại hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia.

HD Xét 101 phần tử: 𝑎1; 𝑎2; … 𝑎101 bất kì của X. Đặt: 𝑎𝑖 = 2𝑘𝑖𝑏𝑖. Khi đó ta có 101 số lẻ

{𝑏1; 𝑏2; . . 𝑏101} ⊂ 𝑋. Mà X chỉ có 100 số lẻ, nên tồn tại 𝑏𝑖 = 𝑏𝑗 khi đó 𝑎𝑖 , 𝑎𝑗 là bội của nhau.

Bài 39. Có 65 người đến từ hai quận, mỗi người làm một trong 4 nghề. Biết rằng cứ 5 người

cùng nghề thì có hai người cùng tuổi. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người cùng tuổi, làm cùng

một nghề và cùng đến từ một quận.

HD Theo Đ suy ra có 9 người cùng quận và cùng nghề. Ta chứng minh bằng phản chứng trong 9

người này có 3 người cùng tuổi. Thật vậy: Xét 9 người có 2 người cùng tuổi 𝐴1; 𝐵1. Xét 7 người

còn lại, (bỏ 𝐴1; 𝐵1), có 2 người cùng tuổi 𝐴2; 𝐵2, tương tự có 2 người cùng tuổi 𝐴3; 𝐵3 và 3


8

người còn lại. Xét bộ 5 người 𝐴1; 𝐴2; 𝐴3 và 2 trong số 3 người, vì 𝐴1; 𝐴2; 𝐴3 đôi một khác tuổi,

nên 2 người trong bộ cùng tuổi, gọi 𝐴4; 𝐵4. Xét bộ 𝐴1; 𝐴2; 𝐴3; 𝐴4 và người còn lại. Suy ra người

còn lại cùng tuổi với 1 trong 4 người, suy ra tồn tại 3 người cùng tuổi, trái phản chứng.

Bài 40. Đặt 17 điêm trong một tam giác đều cạnh bằng 1 (có thể đặt trên cạnh). Chứng minh

rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 1

4.

HD chia thành 16 tam giác nhỏ.

Bài 41. Cho bảng vuông gồm n x n ô vuông (n > 2). Mỗi ô vuông ghi một trong các số 0,1,2.

CM: không tồn tại bảng vuông nào mà tổng các ô trên hàng ngang; cột dọc hoặc đường chéo là

các số khác nhau.

HD 2𝑛 + 2 tổng với 2n +1 giá trị

Bài 42. Cho 17 điểm trong mặt phẳng, nối tất cả những điểm lại với nhau và tô màu các đoạn

thẳng đó bằng một trong 3 màu xanh, trắng, đen. CM: tồn tại tam giác có 3 cạnh cùng màu.

HD xét một điểm A, nối với 16 điểm còn lại thì có 6 điểm cùng màu với A, ví dụ trắng. Xét 6

điểm với nhau, nếu có một đoạn màu trắng -> xong. Nếu trong 6 đoạn chỉ có 2 màu: xanh, đen,

lại xét một điểm bất kì. Quá trình lặp.

Bài 43. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi ba màu: xanh, đỏ hoặc vàng. Chứng minh rằng

tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1 (đơn vị độ dài).

HD: xét 4 điểm có khoảng cách bằng 1 (hình thoi).

Bài 44. Trong hình tròn tâm O bán kính 1, cho bảy điểm phân biệt. Biết rằng khoảng cách giữa

hai điểm bất kì trong số đó đều không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng một trong bảy điểm đó phải

trùng với tâm O.

HD Chia hình tròn thành 6 hình quạt bằng nhau, từ đó có 2 điểm cùng nằm trong hình quạt.

Bài 45. Mỗi điểm trên đường tròn đều được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Chứng

minh rằng tồn tại tam giác cân mà có ba đỉnh cùng màu.

HD chọn ngôi sao năm cánh (ngũ giác đều nội tiếp đường tròn), ba điểm bất kì đều tạo thành

tam giác cân.

Bài 46. Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong đó không có

3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính bằng √2 có tâm là các điểm đã


9

cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần

chung của 3 đường tròn có tâm cũng chính là 3 điểm đó. (Thi HSG Quốc Gia năm 1995)

HD Chia thành 16 hình vuông, vậy 3 điểm nằm trong hình vuông này thảo mãn điều kiện bài

toán

Bài 47. Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, trong đó cứ mỗi đường thẳng đều chia hình

vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là 2/3. Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng đó có

ít nhất ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

HD 9 đường thẳng đi qua 4 điểm, chia đường nối trung điểm cạnh đối diện theo tỉ số 2/3

Bài 48. Trên một đường tròn người ta tô màu xanh một số cung sao cho hai cung màu xanh bất

kì không có điểm chung và có tổng độ dài các cung được tô màu xanh nhỏ hơn một nửa chu vi

đường tròn. Chứng minh rằng có ít nhất một đường kính của đường tròn mà hai đầu của nó

không bị tô màu.

HD Tô màu đỏ tất cả các cung đối xứng với cung màu xanh

Bài 49. Cho đường tròn có bán kính 1 và n điểm 𝐴1; 𝐴2; … 𝐴𝑛 trên mặt phẳng. Chứng minh

rằng trên đường tròn có thể tìm được điểm M sao cho 𝑀𝐴1 + 𝑀𝐴2 + ⋯ + 𝑀𝐴𝑛 ≥ 𝑛

HD Giả sử AB là đường kính, ta có 𝐴𝑖𝐴 + 𝐴𝑖𝐵 ≥ 𝐴𝐵 = 2. Vậy

(𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝐴𝑛) + (𝐵𝐴1 + 𝐵𝐴2 + ⋯ + 𝐵𝐴𝑛) ≥ 2𝑛

Bài 50. Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251 cm và chiều

rộng 4cm. Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính 2cm . Chứng

minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nói trên.

HD chia h.c.n thành hv canh 1, tồn tại hình chứa ít nhất 3 điểm. Giả sử A, B, C thì 3 điểm thuộc

(A)

Bài 51. Trong mặt phẳng cho 6 hình tròn sao cho tâm của mỗi hình tròn nằm ngoài tất cả các

hình tròn khác. Chứng minh rằng không có điểm nào chung cho cả 6 hình tròn đó.

Gọi I là điểm chung của các đường tròn, gọi 𝑂1; 𝑂2; … 𝑂6 theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ.

Vậy tồn tại một góc, giả sử 𝑂1𝐼𝑂2̂ ≤ 600 → trong tam giác 𝐼𝑂1𝑂2 tồn tại 1 góc, giả sử 𝐼𝑂1𝑂2̂ ≥

600. Suy ra 𝐼𝑂2 > 𝑂1𝑂2 suy ra (𝑂2) chứa (𝑂1)


10

Bài 52. Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong một lục giác đều có

cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh trong các điểm đã cho, có ít

nhất một góc không lớn hơn 450 và nằm trong một đường tròn có bán kính nhỏ hơn 3

5.

HD:chia lục giác thành 6 tam giác đều. Từ đó có 4 điểm nằm trong tam giác cạnh bằng 1, tức

nằm trong đường tròn 3 3

3 5r .

Xét tiếp nếu tứ giác lồi, chọn một góc ≤ 900, chọn tia nằm giữa hai góc.

Nếu tứ giác lõm, xét một điểm nằm trong tam giác là đỉnh.

BÀI TỰ LUYỆN

Bài 53. Cho đa giác lồi 8 cạnh. Chứng minh rằng có ít nhất hai đường chéo của đa giác song

song hoặc góc nhọn giữa chúng không lớn hơn 90

Bài 54. Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau. Mỗi

máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất. Chứng minh rằng trên bất kì

sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay bay đến. (Thi HSG QG lớp 9 năm 1993)

Bài 55. Cho hình tròn diện tích S, lấy n điểm bất kỳ (n>2).CMR: có ba điểm tạo thành tam giác

có diện tích nhỏ hơnS

k với k là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn

1

2

n .

Bài 56. Bên trong hình tròn bán kính 5 lấy 10 điểm bất kỳ. CM: tồn tại hai điểm có khoảng

cách nhỏ hơn 4.

Bài 57. Trong hình vuông cạnh 15 đặt 20 hình vuông nhỏ cạnh 1 từng đôi một không cắt nhau.

CMR trong hình vuông lớn có thể đặt một hình tròn bán kính 1 sao cho nó không cắt một hình

vuông nhỏ nào.

Bài 58. Cho một tờ giấy kẻ carô vô tận và một hình có diện tích nhỏ hơn diện tích một ô giấy.

CMR hình đó có thể đặt trên giấy để nó không che một đỉnh ô nào.

Bài 59. Ams 2003 – 2004

Lấy 4 điểm ở trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có 3 điểm

nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác là 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh

lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1

10.

Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với m điểm nằm trong của đa giác.


11

Nối các điểm sao cho chúng tạo thành các tam giác đôi một chỉ chung nhau nhiều nhất một cạnh

và phủ vừa kín tứ giác.

Do tổng các góc trong của tam giác bằng 360 + 4.3600 = 10.1800 nên có nhiều nhất 10 tam

giác như vậy. Do đó diện tích..

𝑇𝑄:𝑆

2𝑚 + 𝑛 − 2

Bài 60. Ams 2001 – 2002 Cho 5 đường tròn, trong đó mỗi bộ 4 đường tròn đều có một điểm

chung (điểm này nằm trên đường tròn). Chứng minh rằng 5 đường tròn cùng đi qua một điểm.

HD giả sử 5 đường tròn không đi qua một điểm. Xét 3 bộ (1,2,3,5), (1,2,4,5), (1,3,4,5) đều đi qua

A, B, C. Theo giả thiêt 5 đường tròn không đi qua 1 điểm nên A, B, C khác nhau. Từ đó (1) và (5)

trùng nhau vì cùng đi qua 3 điểm.

Bài 61. Chuyên TPHCM 2012 – 2013

Từ 625 số tự nhiên 1, 2, 3 … 625 ta chọn ra 312 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng

625. Chứng minh rằng trong 312 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương.

HD giả sử không có số chính phương, chia cặp tổng 625 và chứng minh có 2 số cùng cặp

Bài 62.

Bài 63.

Bài 64. f

Education

9 drichle