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iBIBLIOTECA CENTRAL

COORDINACIÓN ESTATAL

DE FORMACIÓN CONTINUA

S. E. E

¿Ángulos y grados?

;Dales la vuelta/

Virginia Ferrari

CORREO

MAESTRO

la vasija Libros del Rincón

Sistema de clasificación Melvil Dewey DGME

516.152

F47

2007 Ferrari, Virginia

¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta! IVirginia Ferrari;

ilus. de Beatriz Gaminde. - México : SEP : Correo del Maestro :

La Vasija, 2007.

60 p. : il. - (Libros del Rincón)

ISBN: 978-970-790-399-9 SEP

1. Ángulos (Geometría). - Literatura juvenil. 2. Ángulos

(Geometría) - Medición - Literatura juvenil. I. Gaminde, Beatriz,

il. II. t. III. Ser.

© Correo del Maestro y Ediciones La Vasija.

Primera edición SEP / Correo del Maestro / Ediciones La Vasija / Uribe y Ferrari Editores, 2007

D.R. © Uribe y Ferrari Editores, S.A. de C.V., 2007

Av. Reforma núm. 7-403 Ciudad Brisa,

53280, Naucalpan, Estado de México.

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007

Argentina 28, Centro,

06020, México, D.F.

ISBN: 978-970-756-267-7 Uribe y Ferrari Editores

ISBN: 978-970-790-399-9 SEP

Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico

o electrónico sin la autorización escrita de los coeditores.

Impreso en México

Distribución gratuita-Prohibida su venta

Dos sorpresas para Nacho 4

ÍTodos a girar! 8

Tomados de las manos 10

Un paseo en triciclo 12

El juego del reloj 14

Otro reto para Nacho 16

El ejemplo de la hormiga 20

&lro§ y caminos 22

Todas las vueltas se miden en vueltas 24

Cuatro partes iguales 26

Detectives de ángulos rectos 29

La prueba de las escuadras 33

Dílo en griego 36

¿Cuántas veces cabe? 37

¿Qué tal me veo desde este ángulo? 41

Por el llano 45

Una gran palabra y un giro muy pequeño 46

Un poco de carpintería 48

Un rmío cargado de ángulos 53

Para transportarte en la red 57

Dos sorpresas para Nacho

Martín y Nacho llegaron de la escuela con Mariana, una compañera

de clase de Martín. Cuando abrieron la puerta, Polo los recibió

ladrando. Al oír los ladridos, Carolina, la menor de los tres hermanos,

que estaba jugando en la sala, les sonrió. A la vez que dejaba la

mochila en el sillón, Martín le anunció a su madre:

—¡Mamá! ¡Mamá! Invité a Mariana a comer

porque este fin de semana tenemos que

hacer un trabajo en equipo. Hoy la maestra

nos enseñó a usar el transportador.

Polo olió los zapatos de Mariana y

después saludó a Nacho moviendo la cola.

Nacho estaba un poco sorprendido.

-¿Qué es un transportador? —preguntó—.

¿Un camión que transporta carga muy

pesada? ¿Un barco? ¿Un avión?

Mariana se rió.

—No —contestó Martín—.

Un transportador es un instrumento

que sirve para trazar y medir ángulos.

Aún más confundido, Nacho se rascó

la cabeza:

—No entiendo. ¿Qué es un ángulo?

Inmediatamente, Martín abrió su

mochila y sacó un cuaderno. Polo se

acercó a olisquear.

—Mira —le dijo a Nachos /

Éstos son ángulos —y abrió las

páginas de su cuaderno—. En

la escuela dibujé muchos. má

Después de mirar los dibujos, Nacho no

parecía satisfecho.

Entonces Martín le explicó:

—Aquí en la casa también puedes

encontrar muchos ángulos

—y empezó a señalar (

para todas partes. / *

Mariana, viendo que Nacho seguía sin comprender, se paró enfrente

suyo y ie dijo: —También podemos verlos en los movimientos que

hacemos con las partes de nuestro cuerpo.

Y Nacho sonrió al ver cómo

Mariana flexionaba el tronco,

levantaba una pierna o un brazo.

—¿Ya entendiste lo que es un ángulo? —preguntó la

niña, un poco agitada por el ejercicio.

—Miran... aaah... —refunfuñó Nacho moviendo la

cabeza de un lado a otro.

Mariana y Martín quedaron mirándose un rato

¿Cómo te explicarían a Nacho lo que era un ángulo?

Mariana suspiró y, mirando el patio de la casa,

continuó:

—Bueno, mejor te lo explicamos paso a paso,

como lo hizo la maestra con nosotros. Pero para eso

tenemos que salir adonde tengamos más espacio.

Además, vamos a necesitar un listón o un estambre.

O quizá tu papá tenga una cuerda... —dijo mirando a

Martín.

—¡Seguro que sí!—. Luego volvió a quedarse callado,

pensando. —Pero eso será después de comer, porque

mamá nos está esperando. ¡Vamos a lavarnos las manos!

Y todos salieron corriendo seguidos de Polo, que no dejaba

de mover la cola.

¡Todos a girar!

Apenas terminaron, Nacho fue el primero en salir. Era el más entusiasmado.

Después de pensar un poco, Martín propuso:

—Vamos a jugar a girar. Cada uno da varias vueltas completas sobre sí

mismo, como si tuviera un eje. Así, como un trompo o una perinola.

—¡Sí! —agregó Mariana—. Como el planeta Tierra.

Cuando Nacho estaba por empezar a girar, Martín le explicó:

—Para saber que damos una vuelta completa —dijo

buscando algo en el piso— cada uno tiene que fijar un

punto de partida. Cuando después de

girar regresa a ese punto,

significa que dio un giro

completo.

—¡Sale! —gritó Nacho—. Mi punto de partida

es la playera rayada que se está secando en el

tendedero. La miro de frente, giro y, cuando la

vuelvo a ver, cuento una vuelta. Así.

Y dio una vuelta.

8

—¡Yo quiero girar con Vani! —dijo entusiasmada Carolina abrazando a

su muñeca.

—¡Sí, sí! ¡Todos a girar! ¡Que cada uno cuente las vueltas completas que

da! —propuso Nacho.Cuando vio que Nacho y Carolina empezaban

a girar, Martín tuvo otra idea:

—Podemos contar cinco giros

completos en un sentido y

luego cinco giros completos

en el otro sentido. Uno,

dos, tres, cuatro, cinco

hacia la derecha y luego

uno, dos, tres, cuatro,

cinco hacia la izquierda.

^rt-fci^^^n

Todos empezaron a girar

y a contar a coro:

—Uno, dos...

—¡Ay, ay! —se quejó Carolina—.

Vani y yo nos estamos mareando.

Tomados de las manos

—También podemos girar en parejas —propuso Martín cuando todos

completaron los cinco giros—. Mariana y Nacho giran juntos, tomados de las

manos, pero cruzándolas. La unión de las manos es el punto de referencia

alrededor del cual van a girar. Yo iré con Carolina.

—De acuerdo —dijo Mariana—. Yo cuento las vueltas así: cuando estamos

quietos, yo estoy mirando de frente la ventana de la cocina. Luego

comenzamos a girar y cuando vuelvo a ver la ventana es que ya dimos una

vuelta completa.

—¡Sale! —gritó Nacho—. ¡Es muy divertido!

:

10

Mientras Nacho y Mariana giraban y contaban las vueltas en voz alta,

Martín se acercó a Carolina.

—Ven —le dijo—, vamos a girar juntos nosotros también,

tomados de las manos.

—¡Sííí! —exclamó Carolina—. Pero despacito para que

no me caiga.

—No te preocupes, lo vamos a hacer de manera distinta a

la de ellos —la tranquilizó—. Nos tomamos de las manos,

pero sin cruzarlas. Luego yo giro sobre mí mismo sin

salirme de este mosaico y tú das vueltas alrededor mío.

Carolina miró a la muñeca y le dijo a Martín:

—Bueno, pero entonces voy a dejar a Vani. Y tú

cuentas las vueltas.

—De acuerdo —contestó Martín—.

Una, dos, tres, cuatro...

Así estuvieron girando un buen rato.

Como Nacho y Mariana iban más rápido,

giraron más veces. Cuando se cansaron, se

quedaron parados mirando a Martín y Carolina

completar sus vueltas. Al final, también Carolina se detuvo.

—¡Qué padre! ¿Podemos seguir dando vueltas? —preguntó.

11

Un paseo en triciclo

—Sí —contestó Martín—, vamos a dar más vueltas, pero van a ser

distintas. Vamos a cambiar el punto alrededor del cual vamos a girar.

Estuvo mirando un momento alrededor suyo y siguió:

—Vamos a necesitar el poste que sostiene el tendedero y una piedrita

—dijo mientras tomaba una piedra del suelo—. El poste representa

el punto alrededor del cual giramos; la piedrita indicará el punto

donde iniciamos el giro —y la dejó a los pies de Mariana—. Cuando

cada uno regrese a ella después de haber caminado

alrededor del poste, habrá dado una vuelta

completa, un giro completo. Primero

lo hará Mariana, para que Carolina

y Nacho vean cómo —y Mariana

empezó a caminar alrededor

del poste.

Una vez que Mariana hubo terminado de dar

una vuelta completa les dijo a Nacho y Carolina:

—Ya regresé a la piedrita, al punto de salida.

El punto de partida y el punto

de llegada coinciden después de dar

una vuelta completa...

Antes de que pudiera terminar de hablar,

Nacho ya quería tomar su turno, y estaba

junto a la piedra:

—Ahora me toca a mí. Voy a dar una vuelta

completa alejándome lo más posible del poste

hasta casi tocar los muros de los vecinos.

12

—¡A mí también me toca! —agregó Carolina—. Estas

vueltas sí las puedo dar con Vani... ¡Y en mi'triciclo!

Y empezó a girar andando en su triciclo, seguida de Polo.

—Pero mira —dijo Nacho

señalando con el dedo—,

Carolina no da la vuelta en

círculo. A veces se aleja

mucho del poste y a veces se

acerca mucho. No trata de

mantener siempre la misma

distancia al poste. ¿Se vale

hacerlo así?

—¡Claro que sí! —se adelantó Mariana—. Lo importante

es que dé una vuelta completa alrededor de un punto

determinado, que en este caso es el poste.

13

El juego del reloj

Nacho no estaba conforme.

—Pero, además, Carolina no dio la vuelta para el mismo lado

que nosotros: la dio al revés —dijo mirando a Martín.

—No, no se dice "al revés". Se dice "en sentido horario".

Para saber cómo vamos a hacer el giro, lo

comparamos con las manecillas del reloj: el sentido en

que avanzan se llama "sentido horario" y el sentido

inverso se llama "sentido antihorario"

—dijo Martín mostrando su reloj a los demás.

Nacho pensó un poco más y agregó:

—¡Ah! ¡Para eso queríamos las cuerdas de papá!

Podemos hacer de cuenta que

son las manecillas del reloj, ¿no?

—¡Claro! —contestó Mariana—. Con ellas ya tendremos todos los

elementos que la maestra dijo que necesitamos para trazar un

ángulo: dos semirrectas —una que permanece fija y otra que gira—

y un centro de giro, o punto de referencia, que es el punto

donde se unen las semirrectas y que

en el ángulo se llama vértice del ángulo.

14

—Ya entendí —dijo Nacho—. En este caso, las cuerdas son

como las semirrectas. Para hacerlas girar las amarramos al poste.

—Sí —continuó Mariana—. kntonces el poste es como si fuera

el vértice, el centro de giro. Y ya no vamos a necesitar la

piedra para marcar el punto de salida. La cuerda

que permanece fija lo indicará.

—¡Muy bien! —dijo Martín—.

Practiquemos. Que cada uno de nosotros dé

otra vuelta completa llevando una cuerda tirante en la

mano y que deje la otra cuerda en el suelo para mostrar

donde inicia el giro.

—Está bien —dijo Mariana—. Pero antes de partir, cada uno debe

decir a los demás en qué sentido va a girar.

—¡Sale! —gritó Nacho—. Yo soy primero. A ver... Dejo una cuerda

en el suelo, sujeto la otra bien firme y voy a girar en sentido...

mmm... ¡antihorario!

15

Otro reto para Nacho

Cuando todos terminaron de dar una vuelta completa, se

quedaron mirando a Martín con ganas de seguir jugando.

Entonces Martín propuso:

—Bueno, llegó el momento de hacer algo un poquito diferente.

Ahora, en lugar de regresar al punto de partida dando vueltas

completas, sólo vamos a girar partes de vuelta. De esta forma,

el punto de salida y el punto de llegada no van a coincidir.

—¡Vamos a hacerlo! —gritó Nacho. Y cada uno dio un giro

alrededor del poste, sin completar una vuelta. Luego Martín

continuó:

—Y ahora vamos a avanzar sólo hasta la mitad del giro. Como sólo

vamos a recorrer la mitad de la vuelta, la llamamos media vuelta o

medio giro.

Mientras se rascaba la cabeza mirando las cuerdas en el suelo,

Nacho preguntó:

—Sí, pero... ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido la mitad

de la vuelta? ¿Tenemos que contar los pasos de una vuelta completa

y después dividir entre dos?

—¡Muy buena pregunta! —dijo Martín—. Pero lo que propones no es

correcto, porque en ese caso estarías contando los pasos que mide la

trayectoria que vas recorriendo, pero no los giros. Tú tienes que contar

las vueltas que das alrededor del poste.

Nacho parecía entender; sin embargo, no se veía del todo satisfecho:

—Entonces —dijo—, ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido

media vuelta?

Martín parecía estar preparado para esta pregunta:

—¡Ah! Mariana y yo sabemos una manera muy fácil de darnos cuenta

de que hemos llegado a la mitad de la vuelta —dijo mirándola. Después

miró a Nacho—. Con las cuerdas lo vas a ver enseguida. Tú sostienes el

extremo de una de las cuerdas mirando de frente al poste. Mariana

sostiene el extremo de la otra cuerda y se coloca acá, en el punto de

partida, junto a ti. De este modo, las cuerdas están una sobre la otra, en

el mismo lugar del inicio. Entonces Mariana comienza a girar llevando la

cuerda y mirando hacia el poste, hasta que te vea a ti de frente. Cuando los

dos se estén mirando frente a frente y las dos cuerdas estén sobre una

misma línea recta, en ese momento Mariana habrá girado media vuelta.

—Bueno, yo comienzo a girar para que lo veas —dijo Mariana—.

Voy a caminar en sentido antihorario...

Nacho, muy serio, sujetaba su cuerda mientras veía cómo Mariana se alejaba

dando una curva.

Cuando Mariana terminó de dar la media vuelta, sostuvo su cuerda muy

tirante, formando una línea recta con la cuerda de Nacho.

v-W

i

17

—Ahora —continuó Mariana mientras dejaba su cuerda en el piso—, voy a

dar la otra media vuelta que me falta para completar la vuelta entera, pero lo

voy a hacer de otra manera. Como me gusta hacer variaciones, en lugar de

caminar en círculo, voy a hacer de cuenta que

estoy recorriendo la orilla de un lago;

entonces por momentos me acercaré

y por momentos me alejaré del

centro de giro.

18

Nacho dio un suspiro. La decisión de Mariana de caminar de esa forma

volvió a confundirlo. Algo desanimado, le preguntó a Martín:

—Sí; pero, ¿cómo podemos estar seguros de que Mariana gira media

vuelta?

Martín no contestó esta vez. Parecía estar concentrado en algo. Fue

Mariana la que respondió finalmente:

—Porque la media vuelta es el único punto en que, si bien estamos

frente a frente, apenas te veo, porque estás justo detrás del poste. El poste

está exactamente entre nosotros dos. Y tu cuerda y la mía están sobre una

misma recta. Tú y yo somos los extremos de un segmento de recta que

pasa por el poste.

Nacho no terminaba de comprender y volvió a mirar a Martín, que

seguía pensando en algo. Se hizo un breve silencio.

—Mmm... ¡Ya sé! —Martín parecía tener una idea,

pero inmediatamente se metió en la casa y todos

se quedaron mirando. ¿Adonde habría ido?

No había pasado un minuto cuando Martín volvió

trayendo trozos de papeles de color que desparramó en

el suelo. Luego sacó un compás y unas tijeras de su

bolsillo y empezó a explicarles a todos,

que se sentaron alrededor de los papeles:

—Ahora tracemos círculos de diferentes tamaños

con este compás. No olvidemos que, antes

que nada, tenemos que marcar los

centros sobre los cuales vamos a

hacer girar el compás con

dos pequeñas líneas

cruzadas. Así:

19

El ejemplo de la hormiga

Una vez que tenemos los círculos trazados los recortamos —continuó Martín-

Luego, con la regla trazamos, en cada uno,

una línea recta que pase por el centro

y que toque a la circunferencia

con sus extremos. Así:

20

—Ahora hacemos un doblez en esa línea y lo marcamos muy bien —siguió.

De pronto Nacho empezó a gritar, entusiasmado por primera vez

en mucho tiempo.

—¡Ya sé! ¡Ya lo veo! —decía señalando el dibujo—. El círculo, queda dividido

en dos partes iguales, entonces cada parte es una mitad del círculo.

—¡Claro! —exclamó Martín—. Entonces, si imaginamos que una hormiguita

camina sobre la circunferencia empezando en un extremo de la línea,

¿qué parte de la vuelta recorrería al llegar al otro extremo?

Nacho no demoró en contestar.

\\

—¡Media vuelta!

—¡Bravo! —festejaron Martín

y Mariana. Carolina hacía mover los brazos

de Vani como si estuviera saludando. Polo ladraba

mientras iba y venía corriendo.

21

Giros y caminos

Todos se quedaron un rato sentados mientras miraban los

dibujos con satisfacción. Nacho fue el primero en hablar:

—Bueno, ya entendí: cualquier línea recta que atraviesa el

círculo pasando por el centro lo divide a la mitad. Entonces,

girar media circunferencia es dar una media vuelta y la otra

mitad también es media vuelta.

Se quedó pensando un instante. Después le dijo a Mariana:

—Pero eso no fue lo que tú hiciste alrededor del poste del

tendedero. Tú no dabas vueltas en círculos. Dabas vueltas

acercándote y alejándote del poste. Entonces, ¿cómo puedes

saber cuándo llegaste a la mitad?

Mariana estuvo un rato en silencio buscando las palabras que

quería usar y entonces le explicó:

—Sí, es cierto. La trayectoria que yo hacía no era circular. Pero

en ése caso tienes que saber que el giro alrededor de un punto y

la trayectoria no son lo mismo. El giro es la vuelta alrededor de

un punto. La trayectoria es el camino, el recorrido que se hace al

dar la vuelta alrededor de un punto.

—No entiendo -—dijo Nacho, y se volvió a rascar la cabeza.

Mariana señaló entonces unos papeles de colores:

—Por ejemplo, mira las trayectorias que recorté en estos

papeles. Todas tienen marcado el punto de referencia, el

punto de partida y una flechita que indica el sentido de

giro. Sin embargo, las trayectorias son distintas entre sí.

Ahora —siguió—, recorre las trayectorias con el dedo

empezando por el punto de partida. Cuando

regreses a ese punto habrás dado una vuelta

completa, ¿no?

—Sí —dijo Nacho—. Déjame hacerlo en cada

trayectoria. Voy a suponer que mi dedo es la

hormiguita que va recorriendo estos caminos.

¡Uf! Algunos son muy largos y

tienen muchas curvas...

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22

—Para que veamos mejor una media vuelta —interrumpió

Martín— podemos trazar un pequeño círculo alrededor del

punto y luego dibujar una línea recta que pase por

el punto de partida y por el centro.

Así:

23

Todas las vueltas se miden en vueltas

—Sí —dijo Mariana—, también se puede ver muy bien cómo,

en todos los casos, las vueltas y las medias vueltas son iguales,

al poner los papelitos uno arriba del otro de manera que los

centros de giro y las líneas rectas coincidan. Incluso podemos

atravesar todos los centros de giro con una tachuela —dijo

sacando una tachuela de una caja que Martín le alcanzaba—.

Así, ¿lo ven?

—Ya entendí —dijo Nacho incorporándose. Luego empezó a

hablar dándole mucha importancia a lo que estaba diciendo,

para que todos se dieran cuenta que había comprendido—. No

importa el tamaño del papel ni qué tan largo sea nuestro

recorrido alrededor del punto ni tampoco qué forma tenga. Lo

importante es que las medias vueltas son todas de la misma

medida, de media vuelta, aunque los recorridos sean muy

diferentes.

—¡Bravo! Lo explicaste muy bien —dijeron a dúo Mariana y

Martín mientras aplaudían. Carolina también hacía aplaudir las

manos de Vani.

24

La reacción de sus amigos animó a Nacho a seguir adelante:

—Lo importante es no confundir la parte de vuelta que

damos con el recorrido que hacemos —dijo sentándose de

nuevo. Polo se le subió; quería jugar con él.

—Exactamente —dijo Mariana—. Hay un caso en que esto se

ve muy bien. Cuando la Tierra da una vuelta completa alrededor

del Sol, también estamos usando la misma unidad de medida:

una vuelta completa. El tiempo que demora la Tierra en dar esa

vuelta completa se llama año.

—Sí —agregó Martín—. Y lo mismo sucede con las medias

vueltas. Todas miden lo mismo, sin importar el tiempo que

tardemos en recorrerlas. Alrededor del poste tardamos sólo unos

segundos, pero la Tierra demora aproximadamente 182 días

para dar media vuelta alrededor del Sol. Lo que estamos

midiendo es cuánto gira, o sea, el ángulo.

—¡Ya entendí! —dijo Nacho mientras acariciaba a Polo—.

Ahora vamos a descansar un rato y mañana me enseñan a usar

el transportador; así, cuando sea grande como ustedes, ya voy a

saber usarlo.

Todos se metieron en la casa, excepto Carolina y Polo que se

quedaron jugando en el patio. Carolina llevó a Vani a dar vueltas

en su triciclo, mientras Polo corría detrás de ella, ladrando.

25

Cuatro partes ¡guales

Al día siguiente, poco después de desayunar, Martín y

Mariana volvieron a reunirse en casa de Martín para

hacer la tarea. Mientras despejaban la mesa, hablaban de

la escuela y de otros amigos. Y aunque Nacho no tenía

tarea que hacer, era el más inquieto. Finalmente

preguntó:

—Hoy sí me van a enseñar a usar el transportador,

¿verdad?

—Sí, claro —contestó Martín—. Pero antes tienes que saber

algunas cosas más. Todavía no estás preparado para usar el

transportador.

¡Pobre Nacho! Creía que todo lo aprendido el día anterior

ya era suficiente.

—¿Todavía no? ¿Qué más me falta? —preguntó

desilusionado mirando afuera el poste del tendedero.

—Poco y muy fácil —lo tranquilizó Martín con una mano en

el hombro—. Mira, ya aprendiste a dar vueltas enteras y a

contarlas. También aprendiste a reconocer cuándo has dado

media vuelta. Vamos a seguir con giros más pequeños, de

un cuarto (1/4) de vuelta.

Entonces escucharon que, en el patio, Polo ladraba y corría de

un lado a otro. Le ladraba a Carolina, que estaba jugando con

Vani. Martín siguió:

—Vamos de nuevo al jardín a trabajar con las cuerdas amarradas

al poste. Pero ahora, en lugar de dos, vamos a necesitar cuatro

cuerdas. Carolina y Vani nos pueden ayudar —dijo en voz alta

para que Carolina lo escuchara desde afuera.

—¡Sí! ¡Sí! —gritó Carolina que había escuchado perfectamente—.

A Vani y a mí nos encanta ayudar.

El último en salir esta vez fue Nacho, que salió diciendo:

—¡Me parece que esto va a ser muy divertido!

Una vez en el jardín, los niños amarraron dos cuerdas más

al poste. Martín explicó:

—Primero vamos a repetir el ejercicio que hicimos ayer.

Tú, Carolina, sujetas la cuerda en el punto de partida, como lo hizo

Nacho ayer. Tú, Mariana, avanzas hasta dar una media vuelta,

también como hiciste ayer.

Mariana se puso en posición.

—Y tú, Nacho —siguió—, sólo vas a avanzar hasta la mitad de lo que

haya avanzado Mariana; es decir, un cuarto de vuelta, ¿entendido?

26

Nacho empezó a caminar, entre

confundido y divertido, mientras

decía:

—Un cuarto de vuelta es la mitad

de la mitad de la vuelta entera.

Entonces debe ser... más o menos...

por acá, ¿verdad? —y se detuvo

en un punto. Miró el suelo, luego

miró a Mariana y preguntó:

—Pero ahora, ¿cómo podemos

estar seguros de que es un cuarto

de vuelta?

Mariana estaba distraída

con Carolina, dando pasitos a un lado

y otro para que sus cuerdas quedaran

sobre una misma recta.

Entonces Martín fue quien contestó:

—Bueno, en este caso no podemos estar seguros de que sea

exactamente un cuarto de vuelta. Es, aproximadamente,

un cuarto de vuelta. Luego vamos a medir cuartos de vuelta

con mayor precisión, con la escuadra y el transportador.

A Nacho le brillaron los ojos al oír mencionar

el tan esperado instrumento.

—También hay otra manera en

que lo puedes ver —se apresuró a

agregar Mariana sin soltar la

cuerda—. Carolina, tú y yo nos

quedamos así, sujetando nuestras

cuerdas. Martín tiene que tomar

la cuarta cuerda y avanzar con ella

hasta la mitad de la otra media vuelta.

Cuando Martín llegó a la mitad de su

media vuelta, Mariana siguió:

—Hacemos de cuenta que las

cuerdas de Carolina y la mía forman

una sola línea recta y que la tuya y la

de Martín forman otra. Esas dos líneas,

cruzarse, dividen la vuelta completa

en cuatroregiones iguales. Claro, en este

las regiones sonapTr^iínadarnanJ

Cada una de esas partes es un cuarto de vuelta. Así, ¿lo ves?

28

Detectives de ángulos rectos

•Sí, lo veo —dijo Nacho, contento—. En un cuarto de vuelta

las cuerdas se ven como las manecillas del reloj cuando

marcan las tres en punto, o las nueve en punto.

—Esa comparación está muy bien —comentó Martín—.

También lo podemos ver en los círculos y las

formas divertidas que ayer recortamos en

papel —continuó diciendo, mientras

caminaba hacia la casa, seguido por los demás.

Una vez dentro, tomó los papeles de colores

que aún estaban sobre la mesa y explicó:

—Sólo tenemos que doblarlos nuevamente

a la mitad y ponerlos uno sobre otro haciendo

coincidir los puntos de giro y las líneas,

como lo hicimos ayer.

\

29

—¿Lo ves? —preguntó Mariana—.

Cada una de las cuatro partes iguales

en que se dividió la vuelta completa

recibe un nombre especial. Se llama

ángulo recto y las semirrectas que lo

forman son perpendiculares.

Nacho se quedó pensando en lo

que decían.

—Sí —dijo Martín—, es un ángulo

especial porque lo usamos frecuentemente.

Lo podemos encontrar en muchas de las

cosas que nos rodean, ¡miren! —y

empezó a señalar hacia todos lados—:

las esquinas de las paredes, de las

ventanas, de las puertas, de los

mosaicos del piso, de las mesas, de

los libros, de los cuadernos, de las

sillas... ¡por todas partes vemos

ángulos rectos!

*-'

i

30

Era cierto. Carolina se acercó a tocar la punta de la

mesa con atención. Polo olía las patas de la silla. Nacho

tocó la puerta y dijo:

—Ya veo. Algunos ángulos rectos son muy grandes y

otros son chiquitos, como los cuadritos de las hojas de mi

libreta de matemáticas.

Mariana se llevó las manos a la cabeza. Martín se dejó

caer en un sillón mientras decía:

—¡No! ¡No! ¡No!

Nacho también se dejó caer en el sillón, con los brazos

cruzados, visiblemente enojado. Entonces Martín explicó:

—No hay ángulos rectos grandes y ángulos rectos chicos.

En tu cuaderno, lo que ves chiquito son los cuadritos, pero

todos los ángulos rectos miden lo mismo porque todos son

un cuarto (1/4) de vuelta completa, ¿recuerdas?

Nacho no contestaba y tampoco lo miraba. Seguía con

los brazos cruzados. Martín insistió:

—Lo que tienes que observar es la parte de vuelta que

giraste, pero no el tamaño de los lados del ángulo. Mira,

en los papelitos que doblamos se ve claramente.

—Es más —agregó Martín—, podemos cortar

uno de esos cuartos.de vuelta y usarlo como

instrumento de medida de ángulos rectos.

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COORDINACIÓN ESTATALDE FORMACIÓN CONTINUA

SEÍ31

—Mira —continuó Martín—, si lo ponemos encima de

todos los ángulos rectos que hemos visto en la casa, verás

que todos miden lo mismo: un cuarto (1 /4) de vuelta.

Nacho volvió a entusiasmarse con la explicación. Había

olvidado su reciente malhumor.

—Sí, es cierto —dijo—. Entonces podemos decir que el

ángulo recto es uno, pero que hay muchos en las

cosas que nos rodean.

—¡Exactamente! ¡Muy bien dicho!

—exclamaron Martín y Mariana.

^ Nacho sonreía pensando que, en poco

tiempo más, ya sabría usar el

transportador.

32

La prueba de las escuadras

Mientras Mariana ayudaba a Carolina a sentar a su muñeca, agregó:

—También se puede ver con la escuadra, un instrumento especial con el

que rápidamente puedes comprobar si un ángulo es o no recto.

—Sí, ya sé lo que son las escuadras —contestó Nacho orgulloso—. Ayer

vi dos distintas entre tus útiles de geometría. Allí están. Todos se acercaron

a la mesa y se sentaron alrededor.

—Es cierto —dijo Martín tomando una—,

son distintas. Sin embargo, tienen algo en

común. ¿Lo ves?

—Ya sé —dijo nuevamente

Nacho—. Las dos tienen un

ángulo recto.

Luego de mirar las dos escuadras un rato,

preguntó:

—¿Qué tal si comprobamos con la escuadra

si el ángulo que hicimos en papel es recto?

N "

33

—¡Sí! —exclamó Martín entusiasmado con la idea—. Y

también podemos seguir buscando más ángulos rectos por la

casa, como en la unión de las paredes con el piso, de las paredes

entre sí... —decía mientras señalaba.

—Las escuadras sirven, además, para trazar ángulos rectos

rápidamente. Sólo hay que tener cuidado de sujetarla firmemente

contra el papel y deslizar el lápiz contra ella, sin levantarlo —dijo

Mariana mientras empezaba a dibujar.

Nacho estuvo mirando muy de

cerca cómo ella dibujaba un

ángulo recto.

34

Se quedó pensativo un rato y luego preguntó:

—Si las escuadras sirven para trazar y medir rápidamente

ángulos rectos, ¿para qué queremos dos escuadras que son

distintas? Con una alcanza.

—Lo que dices es lógico --respondió Martín—. ¿Ves estos

otros ángulos que tienen las escuadras? Compáralos con el ángulo

recto. ¿Qué notas? ¿Son mayores o menores que el ángulo recto?

Nacho dudó un instante:

—Son menores que el ángulo recto —dijo al final.

—Así es —continuó Martín—. Los ángulos que son

menores que el ángulo recto se llaman ángulos agudos.

—¡Ah, entonces las escuadras tienen un ángulo

recto y dos ángulos agudos! —exclamó Nacho.

—Claro; pero ahora compara los ángulos

agudos de las dos escuadras. ¿Cómo son

entre sí? —insistió Martín.

Nacho tocaba los ángulos con los dedos

mientras pensaba. Luego dijo hablando

muy despacio:

—En esta escuadra los dos ángulos

parecen ser iguales... —no parecía muy

seguro—. Y en la otra uno es«iás

amplio que el otro.

—¡Muy bien! Eres muy

observador —intervino Mariana

aplaudiendo.

y

35

Di lo en griego

—Ahora vamos a investigar —continuó Mariana ^-qué parte

del ángulo recto es cada uno de estos ángulos. Para eso

necesitamos juntar las escuadras de nosotros tres. Vamos a

poner una letra en cada ángulo agudo para no confundirnos

—dijo llevándose el lápiz a los labios, pensativa—. La maestra

nos enseñó que los ángulos se nombran con letras griegas.

Ya aprendimos algunas: alfa (a), beta (P), gamma (y), delta (6)...

—y ponía las letras en los ángulos—. A los ángulos que sean

iguales les ponemos la misma letra. Así:

P

a

36

¿Cuántas veces cabe?

—Veamos cuántas veces cabe el ángulo p en el ángulo recto (a)

—siguió Mariana. Y levantando las cejas dijo:

—Miren, cabe dos veces.

Nacho y Carolina se acercaron a la mesa para ver mejor.

a

PP

•

P

X

\\

\

p

37

—Entonces —dijo Martín— eso quiere decir que el ángulo p

es la mitad de un cuarto de vuelta, o sea un octavo (1/8) de

vuelta. Quiere decir que en una vuelta completa caben

8 de estos ángulos agudos...

—¡Sí, lo veo! —interrumpió Nacho incorporándose más sobre

la mesa y casi subido en ella—. Y ya sé cómo podemos

comprobarlo —y se puso a buscar entre las hojas—. Sobre un

papel podemos ir marcando uno a continuación del otro hasta

obtener una vuelta completa. Así —dijo y miró a Martín.

38

-Y ahora vamos a hacer el mismo proceso con los ángulos y

—sugirió Mariana—. ¿Sale?

—¡Sale! —contestaron todos a una.

Cuando terminaron, Nacho dijo:

—El ángulo y cabe seis veces.

39

—Y el 6 cabe doce veces —continuó Nacho.

—Eso quiere decir que el ángulo y es un sexto (1/6)

de vuelta completa y el ó es un doceavo (1/12) de vuelta

completa —agregó Martín.

40

¿Qué tal me veo desde este ángulo?

—Ahora, podemos hacer ángulos agudos con nuestras

manos —dijo Mariana—. Asi, miren.

Con las manos —continuó— se ve claramente que,

mientras el ángulo recto es uno solo, los ángulos agudos

son muchos.

i\íacho parecía entender y Mariana siguió:

—Miren, cada vez que acerco un poquito las manos,

formo un nuevo ángulo agudo.

—¡Sí, es cierto! —gritó Nacho—. Y también se pueden

hacer ángulos más grandes que el ángulo recto.

Así:

—Los ángulos que son más grandes que

el ángulo recto se llaman ángulos obtusos

—dijo Martín mirando a Carolina—. Y al

igual que con los agudos, puedes

formar muchos.

—¡Sí, es cierto!—volvió a gritar Nacho.

Mientras tanto, Carolina intentaba que

Vani hiciera ángulos con sus manos

de muñeca.

41

—También podemos formar

ángulos agudos, rectos y obtusos

con las partes del cuerpo —agregó

Mariana—. Por ejemplo, con el

tronco y uno de los brazos. Hagamos

de cuenta que la axila es el centro de

giro, el tronco la semirrecta que

queda inmóvil, y el brazo

la semirrecta que gira, así:

—¡Claro! Y también podemos hacerlos

con nuestro tronco, flexionando la

cintura, así —exclamó Nacho, y

empezó a inclinar el tronco hacia

delante, con las piernas muy estiradas

y firmes, y la espalda muy recta.

Martín, Mariana y los papas de los

niños, que los habían estado

observando, no podían dejar

de sonreír ante el entusiasmo de Nacho

y la idea de que aquello parecía una

clase de educación física.

42

Cuando se incorporó, a Nacho le brillaban los ojos

de alegría y no podía dejar de expresar todas las

posibilidades de hacer ángulos con las

distintas partes del cuerpo que se le venían

a la mente. "¡Son muchas!" —pensó, y

finalmente se decidió por una y dijo:

—¡Sí! ¡Sí! ¡Qué padre! Y también

podemos formar ángulos rectos,

agudos y obtusos con un brazo

solo. El codo es el punto

de giro. ¡Miren!

43

—Incluso podemos medir con la escuadra si formo

exactamente un ángulo recto.

Luego le pidió a Martín:

—Toma la escuadra y ponía en la parte interior de mi brazo.

—¡Excelente idea! —dijeron Martín y Mariana a la vez.

I \

44

Por el llano

—Y si ahora dejas el brazo estirado

—continuó Martín— el ángulo que se forma es

un ángulo llano y es igual a dos rectos; es decir,

a media vuelta. Lo podemos comprobar

fácilmente con dos escuadras, así:

—Sí —intervino Mariana, que los estaba

mirando—. Un ángulo llano es igual a media

vuelta. ¿Lo ves, Nacho?

Nacho se sorprendió mucho ante esta

observación y miraba de lado

su brazo estirado.

¡Claro!¡Lo veo! —respondió—.

Mi hombro y mi mano

son los extremos... bueno,

aproximadamente...,

de una misma línea recta.

—¿Y qué tal si yo formo ahora un ángulo con mis dedos índice y mayor y

los abro tan poquito que no lo puedo medir con ninguna de las

escuadras? —Nacho preguntó un poco divertido—. ¿Cómo voy a saber

qué parte de vuelta es?

Martín y Mariana quisieron responder al mismo tiempo, pero finalmente

Martín contestó.

45

Una gran palabra y un giro muy pequeño

—Para eso se ha inventado una unidad de medida que permite medir

giros muy pequeñitos. Es la trescientosesentava (1/360) parte de una vuelta

completa.

—¡¿La qué...?! ¡¿Cómo dijiste?! —Nacho no salía de su asombro ante

una palabra tan complicada.

—Mira, en lugar de repetirte esa palabra, mejor vamos a leer la historia

de cómo se inventó. Así entiendes lo que es y no se te olvidará—. Esta

investigación la hicimos en internet, y la maestra nos dijo que la

información es correcta, que es probable que la historia haya sido así.

Mariana abrió su cuaderno de matemáticas y leyó:

__ Cuando Mariana terminó, dijo:

—Entonces, el grado es una unidad de medida de ángulos.

Nacho se quedó mirándola un rato y luego exclamó:

—¡Qué difícil de imaginar! Un giro que es trescientos sesenta veces más

pequeño que una vuelta completa debe ser un giro muy pequeño.

¿Lo podemos ver a simple vista?

46

—¡Sí, claro! —dijo Mariana—. Aquí, en este cartel que nos regaló la

maestra, están todos y cada uno de ellos. Mira, ¡los 360 grados!

—¡Ah! —exclamó Nacho—. Y aquí hay uno sólito que está pintado de

morado.

—Sí —dijo Martín— y también están marcados, en rojo, los múltiplos

de 10: 20, 30, 40, 50...

360 grados. Todos y cada uno

Un poco de carpintería

—¡Ah! Y ya sé lo que podemos hacer —gritó Nacho, que

también quería proponer ideas nuevas—. Para ver mejor el

tamaño de un giro pequeño podemos clavar con una tachuela

dos trocitos de hilo en el centro del cartel. Los sostenemos

firmemente y, mientras dejamos uno quieto para que indique

el inicio, giramos el otro.

—Pero es más sencillo hacerlo en el geoplano circular

—intervino Mariana.

Nacho se desconcertó. Otra palabra que

no conocía.

—¡¿El geo...qué?!

—El geoplano, una tabla con clavos

donde se pueden hacer ángulos de

manera muy rápida. La maestra nos

prestó uno en el salón de clase, pero

dijo que, si queremos, cada uno

puede construir el suyo. Aquí tengo

las instrucciones que copié del

pizarrón y la guía de dónde clavar

cada clavo —dijo Mariana

desplegando un papel—. ¿Qué

tal si hacemos uno en equipo?

Nacho suspiró. "¡Otra cosa

más para aprender, antes del

transportador!", pensó.

Como si con sólo ver su

cara Mariana le hubiese

adivinado el pensamiento,

dijo:

—No te preocupes, este

geoplano circular sirve

como entrenamiento

para el uso del

transportador.

—¡Qué alivio!

—volvió a suspirar

Nacho—. Entonces

vamos a hacerlo.

Como a mi papá le gusta

mucho la carpintería, tiene muchos

pedazos de madera; él nos puede ayudar.

48

Plantilla para construir

tu geoplano circular

90°

-»O°!360°

270°

49

90°

r i r r í f

t

?Y

r

t T Tf

f

270°

Una vez que tuvieron el geoplano, Mariana explicó:

—En este geoplano, tú puedes trabajar con ligas de colores. Al.

empezar tienes dos ligas juntas; por ejemplo, una roja abajo y

una verde arriba, aquí donde está el cero, parecido a lo que

hacíamos con las cuerdas, en el jardín. Dejas la liga roja en ese

lugar para que indique el inicio y giras la verde, en sentido

antihorario, que es el más frecuente.

—¡Ah, ya sé! —exclamó Nacho—. En este geoplano puedo

hacer los mismos giros que estuvimos haciendo con las cuerdas

y con las partes de nuestro cuerpo. Puedo girar vueltas

completas, medias vueltas, cuartos de vueltas...

50

Se quedó pensativo un momento y continuó:

— Y también podemos representar ángulos rectos, agudos,

obtusos, llanos, y las mismas partes de vuelta que con las

escuadras: octavos de vuelta, sextos de vuelta, doceavos de

vuelta... Déjenme probar a mí primero. Voy a hacer muchos

ángulos con ligas de distintos colores. Así:

180°

270°

O'W

Nacho estaba tan entusiasmado haciendo giros con las ligas

y decidiendo dónde debía colocar cada una para construir

distintos ángulos, que no se dio cuenta de que los demás estaban

esperando para jugar con el geoplano. Cuando levantó la vista,

vio que Mariana y Martín lo miraban cruzados de brazos.

51

—Perdón —dijo—. Ahora es tu turno, Mariana. ¿Qué tal si me explicas

para qué sirve cada uno de los clavitos?

—Con mucho gusto —contestó Mariana, contenta de que Nacho le

pidiera tal explicación—. Mira, cada clavo indica un giro de 5°. Si quieres

marcar en el geoplano un ángulo de, por ejemplo, 60°, primero tienes que

dejar una liga donde está el cero. Luego, cuentas de 5 en 5 o de 10 en 10

grados hasta llegar a 60° y ahí colocas la segunda liga. Si quieres girar un

ángulo de 155°, es más fácil si giras primero un cuarto de vuelta, con lo que

ya tendrás 90°, y después vas contando de 10 en 10 hasta llegar a 150°, para

luego únicamente avanzar un clavo más y llegar a 155°. ¿Entendiste?

270°

—¡Sí! —exclamó Nacho dando un brinco—. Por favor déjame a mí

primero, ¿sí?

Mariana y Martín no pudieron negarse. Nacho ya estaba moviendo ligas

y contando en voz alta: "Un cuarto de vuelta y ya tenemos 90 grados, y

luego... 100,110,120... "

52

Un navio cargado de ángulos

Cuando terminó de marcar esos ángulos, se dio cuenta de que Mariana

y Martín nuevamente estaban esperando cruzados de brazos.

—¿Y cómo podemos construir ángulos que no terminan en 5 o 0?

—preguntó Nacho, algo apenado.

—En este geoplano no podemos hacerlo —le explicó Martín—. Pero

podemos trazarlos sobre una hoja de papel usando un transportador

A Nacho se le iluminó la cara.

—¡Por fin! ¡Ahora sí voy a aprender a usar el transportador!

—exclamó levantando los brazos como si hubiese metido un gol—.

Déjame verlo, por favor. ¿Cómo es? ¿Cómo se usa?

Martín tomó el transportador de su mochila y se lo enseñó:

—Es este instrumento que sirve para trazar y medir ángulos con

mucha precisión. Es la mitad de una vuelta completa y por eso está

dividido en 180 partes iguales, es decir, la mitad de 360.

Nacho se inclinó por encima de la mesa y estiró las dos manos.

—A ver... ¿me lo prestas? Quiero ver sin son 180 grados.

—¡Ah! No va a ser necesario que cuentes los grados de uno en uno.

Mira, este transportador tiene dos escalas: una por fuera y otra por

dentro. ¡Cuidado, nunca debes confundirlas! Sólo vas a usar una a la vez.

Las dos escalas están graduadas de 0 a 180, pero en sentido inverso: una

en sentido horario, y otra en sentido antihorario. A partir del cero, para

facilitarnos la lectura, están escritos los múltiplos de 10 debajo de las

rayas más largas; las rayas que son un poco más cortas indican los

números terminados en 5, y los más cortitas de todas indican los demás

grados. ¿Ves?

53

—Sí, es cierto —dijo Nacho—. Así es mucho más fácil contar los

grados. ¿Y ahora ya puedo usarlo? —Nacho insistía en apurarse.

Pero todavía faltaban más indicaciones:

—Todavía te faltan dos explicaciones más —le dijo Martín.

—¿Todavía? —preguntó Nacho con mucha ansiedad—. Bueno,

explícame rapidito, ¿no?

Martín y Mariana se miraron y sonrieron. Martín continuó con

calma.

—Mira, el transportador tiene dos usos: puedes utilizarlo para

construir ángulos de una medida determinada, o puedes usarlo para

medir ángulos que ya están trazados. Primero te voy a mostrar cómo

construir ángulos, paso a paso:

1) Trazas, con la regla, uno de los lados del ángulo, el que marca el inicio, como

la liga roja en el geoplano.

2) Este paso es muy importante y tienes que

poner mucha atención en él.

Haces coincidir el centro

del transportador con

uno de los extremos

de la línea recta y, a

la vez, tienes que

apoyar la raya que ^- •

indica el cero 8-~~

sobre esa línea, así: iiziM

*\

A

3) Luego, haces de cuenta que en la punta del lápiz

tienes el lado que va girando y con él avanzas hasta

llegar a la medida del ángulo que deseas trazar. Por

ejemplo, si quieres trazar un ángulo de 78 grados,

vas con la punta del lápiz —sin tocar el

papel— hasta el 70, luego pasas por la

rayita que indica 5 grados más,

entonces ya tienes 75; luego

cuentas 3 rayitas más y llegas

al 78. Ahí haces una

pequeñísima marca con la ^^3

punta del lápiz. SL-e

77~ gS

54

4) Levantas el transportador y, con la regla

o con el borde recto del transportador,

trazas una semirrecta qtie, partiendo

del vértice del ángulo, pase por el

punto que acabas de marcar. Y ya

quedó trazado un ángulo de 78°.

Sólo te falta ponerle una

letra griega y marcar el

sentido del giro.

—¡Ya entendí! ¡Ya entendí! —dijo Nacho brincando y aplaudiendo al

mismo tiempo—. Ahora déjenme hacer uno a mí. Voy a construir un

ángulo de... de... ¡133 grados!

Martín y Mariana se volvieron a mirar. No les quedaba de otra que

volver a esperar. Una vez que hubo terminado de trazar su ángulo de

133 grados, Nacho quería que los demás lo retaran a construir ángulos de

medidas que a él le parecían muy difíciles, como 6o, 81° y 169°. Pero

Martín y Mariana lo convencieron de que eso lo harían más tarde.

—Bueno, ahora sólo te falta aprender a medir ángulos que ya están

trazados, cómo éstos —dijo Martín, y con la regla dibujó rápidamente

algunos ángulos sobre la hoja de papel.

Luego, volvió a mirar a Nacho y le dijo: —También te lo voy a explicar

por pasos, para que sea más fácil:

1) Antes que nada, tienes que fijarte si el ángulo que vas a medir es

agudo u obtuso, para que, con sólo mirarlo, ya sepas si va a medir menos

o más de 90 grados. Por ejemplo, en estos que acabo de dibujar hay uno

recto, dos agudos y un obtuso. ¿Cuál quieres que midamos primero? —y

Nacho señalo el obtuso con el dedo. Martín continuó:

55

2) Luego, haces lo mismo que para trazar ángulos: haces

coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo,

y que la raya que indica cero grados quede sobre ese lado.

En caso de que el lado sea muy corto y que esa raya no quede

sobre la línea, tienes que prologar el lado con la regla, hacerlo

más largo.

3) A continuación, con mucho cuidado de que el

transportador no se mueva de esa posición, y sin confundirte

de escala, te fijas dónde corta el otro lado al transportador. Ése

punto es la medida del ángulo. Este ángulo mide 122°.

—¡Es facilísimo! —exclamó Nacho con lo ojos que le

brillaban de alegría.

—¿Qué tal si practicamos? —propuso Mariana muy

sonriente—. Ésa es la tarea. ¿Quieres ayudarnos?

—¡Sale! —gritó Nacho, ya con el transportador en una mano

y el lápiz en la otra.

56

Para transportarte en la red

A continuación, te sugerimos algunas páginas web sobre temas

de matemáticas correspondientes a tu grado escolar.

Es importante que siempre te asesores con tus maestros sobre

el material consultado.

http://www.universum.unam.mx/

http://www.conacyt.mx/comunicacion/revista/180/articulos.html

http://www.ilce.edu.mx/

http://edusat.ilce.edu.mx/home.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/

http://www.amc.unam.mx/

http://kan.ajusco.upn.mx/miayudante/marcoip.html

http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_Buscador?q=matematicasás=10

http://sepiensa.org.mx/

http://puemac.matem.unam.mx/index_flash.html

http://www.fciencias.unam.mx:8085/servlets/ciencias

http://www.dgsca.unam.mx/

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/rn/Paginas/ligas/home.htm

http://www.smm.org.mx/SMMP/html/

http://www.iimas.unam.mx/

57

En la serie astrolabio encontrarás:

• * Inmundicias. Del cerebro a las tripas

# * Cuéntame un cuadro

0 Antes de la tele

0 El berrinche de Moctezuma y otros poemas

¿Qué son los sentimientos?

Biblioteca _- ,, .... ,.de aula pueblo wixanka y sus dioses

% El libro de las cochinadas

El libro de los valores

* El sol alrededor del parque

• Pies para la princesa

Contaminación. La Tierra agredida

El libro de los animales misteriosos

El rey poeta. Biografía de Nezahualcóyotl

Miguel Hernández para niños

El Hijo del Viento Bibliotecaescolar

El último pájaro, la última piedra

El nombre del juego es Cervantes

Vivir en el circo ,

Gandhi •

¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta!

se imprimió por encargo de la Comisión Nacional

de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de

Reproducciones Fotomecánicas, S.A. de C.V., con

domicilio en Democracias núm. 116,

Col. San Miguel Amantla, Azcapotzalco,

C.P. 02700, México, D.F., México

en el mes de noviembre de 2007.

El tiraje fue de 96,079 ejemplares.