บทที่ 4พาราโบลา (12 ชั่วโมง)

4.1 สมการของพาราโบลา (2 ช่ัวโมง)4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 (2 ช่ัวโมง)4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 (2 ช่ัวโมง)4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 (3 ช่ัวโมง)4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ช่ัวโมง)

ในบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความรูเกี่ยวกับพาราโบลาและการเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการอยูในรูปy = ax2 + bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 เทานั้น เนื้อหาของบทนี้สวนใหญเสนอไวในรูปกิจกรรมที่ใหความรูเปนลําดับขั้นตอนของเนื้อหาที่สัมพันธ จากรูปอยางงายไปสูสมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c ดังที่ปรากฏในแตละหัวขอขางตน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรใหนักเรียนไดทํากิจกรรมทุกกิจกรรมตามลําดับ เพื่อใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณ เพื่อนําไปสูขอสรุปที่เปนลักษณะทั่วไปของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการในแตละกิจกรรมซึ่งเชื่อมโยงตอเนื่องกัน และสามารถนําความรูไปแกปญหาที่กําหนดใหได ในการจัดการเรียนการสอนเรื่องนี้ ครูและนักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณเชิงกราฟหรือคอมพิวเตอรที่มีโปรแกรมการเขียนกราฟ มาประกอบการเรยีนการสอนเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ หาความสัมพันธระหวางสมการของพาราโบลาและกราฟพาราโบลา ซ่ึงจะชวยใหนักเรียนไดพบตัวอยางที่หลากหลายและหาขอสรุปไดเร็วข้ึน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได 2. บอกลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดใหได

51

แนวทางในการจัดการเรียนรู

4.1 สมการของพาราโบลา (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถบอกไดวาสมการที่กําหนดใหเปนหรือไมเปนสมการของพาราโบลา

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการนําเขาสูบทเรียน ครูอาจสนทนาใหนักเรียนสังเกตสิ่งแวดลอมและสิ่งกอสรางรอบตัวที่มีลักษณะเปนพาราโบลา เชน สายเคเบิ้ลที่ขึงโยงสะพานแขวน สายน้ําพุที่พุงขึ้นในชวงเวลาตาง ๆ ดังที่เสนอไวในบทนําของหัวขอนี้ จากนั้นจึงแนะนําลักษณะกราฟพาราโบลาในทางคณิตศาสตร ดังตัวอยางกราฟพาราโบลาหงายและพาราโบลาคว่ําที่เสนอไวในหนังสือเรียนหนา 94 และหนา 95 ซ่ึงนักเรียนเคยพบมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 เร่ือง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว ครูอาจใชการถามตอบและยกตัวอยางสมการเชิงเสนสองตัวแปร กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร เปรียบเทียบกับสมการของพาราโบลาและกราฟพาราโบลาขางตน เพื่อโยงไปสูรูปของสมการของพาราโบลาและกราฟที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ x, y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และa ≠ 0 2. กิจกรรม “ลองคิดดู” มีเจตนาใหนักเรียนตระหนักวา เมื่อเขียนสมการในรูป y = ax2 + bx + cควรเขียน a ≠ 0 เสมอ เพราะถา a = 0 แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรซึ่งมีกราฟเปนเสนตรง 3. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” มีเจตนาใชเพื่อตรวจสอบความรูความเขาใจเกี่ยวกับสมการของพาราโบลาในขอ 1 ขอยอย 5) และขอยอย 6) ครูควรแนะนําใหนักเรียนเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูปy = ax2 + bx + c กอน แลวจึงระบุคา a, b และ c ดังตัวอยาง

กําหนดสมการ 2y = 3x – x2 – 5

เขียนเปน y = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

21- x2 + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

23 x + ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

25-

จะได a = 21- , b = 2

3 และ c = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

25-

52

4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ได 4. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 และ a < 0 ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดเนื้อหาเกี่ยวกับพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 ซ่ึงเปนสมการของพาราโบลาที่สามารถเขียนกราฟไดงาย ในกรณีนี้ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวาเมื่อกําหนด a ≠ 0 จะแยกพิจารณาสมการเปน 2 กรณี คือ เมื่อ a > 0 และ a < 0 2. กิจกรรม “กราฟของ y = x2” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษาสํารวจ สังเกตลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a = 1 ในกิจกรรมนี้นักเรียนจะไดพบคําบางคําที่เกี่ยวของกับกราฟพาราโบลา ซ่ึงไดแก แกนสมมาตรของพาราโบลา จุดต่ําสุดของกราฟ จุดสูงสุดของกราฟ คาต่ําสุดของ y และคาสูงสุดของ y เพื่อใชคําเหลานี้ในกิจกรรมตอ ๆ ไป นอกจากครูจะใหนักเรียนตอบคําถามที่กําหนดใวในกิจกรรมแลว ครูควรใหนักเรียนพิจารณากราฟและเกิดความรูสึกเชิงกราฟเชนในกรณี x > 0 เมื่อคา x เพิ่มขึ้นทีละ 1 คา y ที่เพิ่มขึ้นในแตละครั้งเปลีย่นแปลงเปนอยางไร หรือในกรณ ี x < 0 เมือ่คา x ลดลงทลีะ 1 คา y ทีเ่พิม่ขึน้ในแตละครัง้เปลีย่นแปลงเปนอยางไร และมีผลทําใหลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = x2 เปนอยางไร ทั้งนี้เพื่อใชความรูและขอสรุปที่ไดไปเปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 ตอไป 3. กิจกรรม “กราฟของ y = ax2 เมื่อ a > 0” มีเจตนาใหนักเรียนไดศึกษา สํารวจ สังเกตและเปรียบเทียบกราฟของสมการ y = ax2 เมื่อ a > 0 และ a มีคาตาง ๆ กัน เพื่อสรางขอความคาดการณที่นําไปสูขอสรุปลักษณะกราฟพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a > 0 ครูอาจใหนักเรียนสังเกตคา a ในสมการ y = ax2 เมื่อa > 0 มีผลทําใหกราฟทั้งสามบานมากหรือบานนอยตางกันอยางไร แตไมควรนําประเด็นคําถามเกี่ยวกับการบานของกราฟไปวัดผลและประเมินผล 4. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = -x2” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 เมื่อ a < 0” เปนกิจกรรมที่มีสาระในทํานองเดียวกันกับกิจกรรมที่กลาวมาแลวขางตน ครูอาจใหนักเรียนศึกษากันเปนกลุมและนําผลสรุปมาอภิปรายรวมกันในชั้นเรียน หลังจากจบกิจกรรมนี้แลวนักเรียนควรบอกลักษณะสําคัญ ๆ ของกราฟy = ax2 เมื่อ a > 0 และกราฟ y = ax2 เมื่อ a < 0 ในแงที่มีลักษณะเหมือนกันและแตกตางกันได เชน บอกไดวากราฟมีแกน Y เปนแกนสมมาตรเหมือนกัน ถา a > 0 กราฟเปนพาราโบลาหงาย แตถา a < 0 กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา เปนตน

53

5. สําหรับกิจกรรม “ภาพสะทอน” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวากราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการy = ax2 และ y = -ax2 เมื่อ a > 0 ที่สัมประสิทธิ์ของ x2 ในสมการทั้งสองเปนจํานวนตรงขามกัน จะทําใหไดกราฟทั้งสองเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน ครูอาจใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายตรวจสอบกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 3x2 และ y = -3x2 วาเปนภาพสะทอนซึ่งกันและกันหรือไมหลังจากนั้นครูควรใชคําถามเชื่อมโยงความรูตอ เชน เมื่อกําหนดกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 บนระนาบในระบบพิกัดฉาก นักเรียนจะเขียนกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -2x2 บนแกนคูเดียวกันใหไดรวดเร็ว นักเรียนจะทําไดอยางไร ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนไดรูจักนําความรูเกี่ยวกับการสะทอนมาใชใหเปนประโยชน 6. สําหรับแบบฝกหัด 4.2 ขอ 1 ครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตคา x และคา y ในตารางวาการหาคูอันดับที่สอดคลองกับสมการ คูอันดับแรกควรไดจากการแทนคา x ในสมการดวย 0 จะหาคา y ไดงายที่สุด และดวยความรูเกี่ยวกับแกนสมมาตรเมื่อแทนคา x ดวยจํานวนตรงขามกัน เชน 1 และ -1 จะได y เปนจํานวนเดียวกันนักเรียนควรใชความรูนี้มาชวยหาคา y เติมในตาราง ซ่ึงจะไดคูอันดับที่สอดคลองกับสมการเร็วข้ึน

ในการเขียนกราฟพาราโบลาครูควรใหนักเรียนใชกระดาษกราฟ เพราะจะชวยใหเขียนกราฟไดรวดเร็วและชัดเจน ในขั้นตนนี้ควรแนะนําใหนักเรียนกําหนดหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Y เปนหนวยเดียวกัน ควรเขียนตารางแสดงคา x และ y ประกอบการเขียนกราฟดวย ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเลือกกําหนดคา x เปนจํานวนเตม็ที่เมื่อแทน x ในสมการแลวไดคา y เปนจํานวนเต็มดวย ทั้งนี้ควรคํานึงถึงความสะดวกในการเขียนกราฟดวย ครูควรย้ํากับนักเรียนเกี่ยวกับการเขียนกราฟวา เมื่อเขียนเสนผานระหวางจุด จะตองพยายามเขียนใหเปนเสนโคงเรียบ สําหรับแบบฝกหัดขอ 6 ตองการใหนักเรียนสามารถนําความรูและขอสรุปที่ไดจากแบบฝกหัดขอกอนหนามาวเิคราะหสมการทีก่าํหนดใหและอธบิายลกัษณะสาํคญัของกราฟพาราโบลาทีไ่ด ครูควรใหความสาํคญักับกระบวนการเรียนรูกับนักเรียนโดยใหนักเรียนไดฝกเขียนกราฟ สังเกตลักษณะของกราฟพาราโบลาที่สัมพันธกันกับสมการแตละสมการที่กําหนดให เพื่อใหไดความคิดรวบยอดจนสามารถบอกลักษณะของกราฟจากสมการไดโดยไมตองเขียนกราฟ

4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได

54

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจดักจิกรรมการเรยีนการสอนในหวัขอนี ้ ครูควรใหนกัเรยีนสงัเกตสมการ y = ax2 + k เมื่อa ≠ 0 เปรียบเทียบกับสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 เพื่อใหนักเรียนเห็นวาสมการ y = ax2 เปนสมการที่สามารถเขียนอยูในรูปของสมการ y = ax2 + k เมื่อ k = 0 นั่นเอง ดังนั้นขอสรุปเกี่ยวกับลักษณะของกราฟของสมการ y = ax2 + k จึงมีหลายอยางเหมือนกราฟของสมการ y = ax2 เชน มีแกนสมการเปนแกน Y เหมือนกัน ลักษณะเปนพาราโบลาหงายหรือเปนพาราโบลาคว่ําเหมือนกัน กราฟจะบานมากหรือบานนอยก็ขึ้นอยูกับคา a เชนเดียวกัน ดังนั้นในการพิจารณากราฟของสมการ y = ax2 + k ในที่นี้จึงมุงพิจารณาที่คา kเมื่อ k > 0 หรือ k < 0 2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0” และกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0”ครูควรดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของกราฟที่กําหนดใหกับการเลื่อนขนานตามแนวแกน Y อาจใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายตรวจสอบความสัมพันธระหวางกราฟ เชน ลอกกราฟของสมการ y = 2x2 แลวเล่ือนกราฟขึ้นหรือลงตามแนวแกน Y ดูวาเล่ือนไปทับกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 และ y= 2x2 – 2 ไดสนิทหรือไม หลังจากจบกิจกรรมทั้งสอง ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปลักษณะที่สําคัญของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 และเชน จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ เพื่อนําความรูที่ไดไปใชตอไป 3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเขียนกราฟพาราโบลาในตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 วา จากสมการที่โจทยกําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหลักษณะของกราฟในสวนสําคัญ ๆ กอน เพื่อใหการเขียนกราฟงายขึ้น จากตัวอยางแสดงใหเห็นลักษณะของกราฟที่วิเคราะหไดดังในขอ 1 ถึงขอ 4 เมื่อทราบลักษณะที่สําคัญของกราฟแลวจึงสรางตารางเพื่อกําหนดคา x ที่เหมาะสมและหาคา y ตอไป ในการกําหนดคา x ในตารางจะสังเกตเห็นการนําหลักการที่แกน Y เปนแกนสมมาตรมากําหนดจุดตาง ๆ ที่อยูขางเดียวกันของแกนสมมาตร โดยเริ่มกําหนดคูอันดับที่เปนพิกัดของจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟกอน แลวจึงกําหนดคา x ที่อยูทางซายหรือทางขวาของแกนสมมาตรเพียงดานเดียว เมื่อหาจุดที่มีคูอันดับสอดคลองกับสมการในตารางครบแลว ครูอาจใหนักเรียนชวยกันหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานี้ ซ่ึงเปนการใชแกนสมมาตรชวยในการหาจุดเหลานั้น 4. แบบฝกหัด 4.3 สําหรับขอ 1 ครูอาจชี้แนะใหนักเรียนใชหนวยบนแกน X และหนวยบนแกน Yตางกันได สําหรับขอ 2 มีเจตนาใหนักเรียนใชขอสรุปลักษณะของกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการy = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 มาวิเคราะหกราฟที่สอดคลองกับสมการที่กําหนดให นักเรียนควรวิเคราะหไดโดยดูความสัมพันธที่คา a กับลักษณะกราฟที่เปนพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา และคา k กับจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟที่สอดคลองกับสมการแตละสมการดวย

55

4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 ได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การจัดกิจกรรมการสอนในหัวขอนี้ ครูอาจดําเนินกิจกรรมทํานองเดียวกันกับหัวขอ 4.3 โดยเปรียบเทียบสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กับสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 ที่อาจเขียนเปนสมการ y = a(x – 0)2 + k แลวใหนักเรียนเปรียบเทียบกราฟของสมการที่มีคา h = 0 และ h ≠ 0 วามีความแตกตางกันอยางไร 2. สําหรับกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2” มีเจตนาใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและสรางขอความคาดการณเพื่อหาขอสรุปวา เมื่อ h ≠ 0 ลักษณะของกราฟพาราโบลาจะเปนอยางไรโดยใหนักเรียนเห็นกราฟของสมการ y = 2x2 หรือ y = 2(x – 0)2 เปรียบเทียบกับกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 และy = 2(x + 1)2 บนแกนคูเดียวกัน ครูควรใหนักเรียนสังเกตการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ไปตามแกน X เพื่อใหนักเรียนเห็นวาคา h ในสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 บงบอกใหทราบถึงจุดต่ําสุดของกราฟอยางไร 3. สําหรับตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการวิเคราะหลักษณะที่สําคัญของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 กอนเขียนกราฟ เพราะจะชวยใหการเขียนกราฟงายขึ้นและรวดเร็วขึ้น ในการเขียนกราฟดังตัวอยางที่ 1 ถึงแมในตารางจะกําหนดคา x เปนจํานวนเต็มที่อยูทางขวาของแกนสมมาตร ครูควรชี้ใหเห็นวาเมื่อกําหนดจุดตามคูอันดับในตารางไดแลว นักเรียนอาจใชแกนสมมาตรเปนหลักในการหาจุดที่เปนภาพสะทอนของจุดเหลานั้น 4. ในการพิจารณากราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0 และ k ≠ 0 ครูอาจใหนักเรียนลองใชความรูที่ทราบแลวจากกราฟของสมการ y = ax2 + k และ y = a(x – h)2 มาคาดการณลักษณะทีสํ่าคญั ๆ ของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k วานาจะเปนอยางไร จากนัน้จงึใหตรวจสอบขอความคาดการณนั้น โดยพิจารณากราฟของสมการ y = 2(x – 1)2, y = 2(x – 1)2 + 2 และ y = 2(x – 1)2 – 2 แลวจึงใหนักเรียนทํากิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k” เพื่อยืนยันขอความคาดการณของนักเรียน ขอสรุปของกิจกรรมนี้เปนความรูหลักที่สําคัญของเรื่องกราฟพาราโบลา เมื่อนักเรียนพบเห็นสมการของพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k นักเรียนควรจินตนาการลักษณะกราฟพาราโบลาดังกลาวในวงความคิดได ดังนั้นครูจึงควรใหนักเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะหลักษณะของกราฟ จากสมการของพาราโบลาในรูปแบบตาง ๆ ใหมากพอดวย

56

เมื่อนํา (-12) ออกมานอกวงเล็บ จะตองนํา 3 ซึ่งเปนตัวประกอบรวมมาคูณดวย

5. สําหรับแบบฝกหัด 4.4 ข ขอ 3 มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะการเชื่อมโยงความรูเร่ืองการแปลงทางเรขาคณิตกับการเลื่อนขนานและการสะทอนของกราฟพาราโบลา เพื่อใหนักเรียนไดพัฒนาความรูและมีความคิดยืดหยุนในการพิจารณากราฟ ครูอาจหาโจทยในลักษณะนี้ใหนักเรียนไดทําเพิ่มเติมอีกก็ได

4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได 2. บอกจุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได 3. บอกคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนหัวขอนี้ นักเรียนจะตองใชความรูเร่ืองสมการกําลังสองในบทที่ 3 เกี่ยวกับการทําบางสวนของสมการใหเปนกําลังสองสมบูรณ เพื่อเขียนสมการในรูป y = ax2 + bx + cเมื่อ a ≠ 0 ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k ตามตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 ครูควรย้ําวิธีการคํานวณบางขั้นตอนที่นักเรียนพึงระมัดระวัง เชนจากตัวอยางที่ 1 y = 3x2 – 6x + 1 = 3(x2 – 2x) + 1 = 3(x2 – 2x + 12 – 12) + 1

= 3(x2 – 2x + 12) – 3(12) + 1จากตัวอยางที่ 2 y = -2x2 – 12x – 17 = -2(x2 + 6x) – 17 = -2(x2 + 6x + 32 – 32) – 17

= -2(x2 + 6x + 32) – (-2)(32) – 17

2. ครูควรอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียน เพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดไดวาเมื่อโจทยกําหนดสมการในรูป y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 มาให นักเรียนจะวิเคราะหลักษณะของกราฟที่กําหนดใหนี้ไดโดยไมตองเขียนกราฟก็ตอเมื่อตองทําสมการนั้นใหอยูในรูป y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอนจึงจะบอกจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟและแกนสมมาตรไดงาย เพื่อใหนักเรียนมีทักษะในเรื่องนี้ ครูอาจหาโจทยมาใหนักเรียนทําเพิ่มเติมไดอีก

ตัวประกอบรวมเปน -2 จึงตองเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บจากลบเปนบวก

นํา -2 ซึ่งเปนตัวประกอบรวมมาคูณ

57

3. แบบฝกหัด 4.5 ขอ 2 ขอยอย 4) เปนคําถามทิ้งทายใหนักเรียนหาจุดตัดของกราฟบนแกน X ถาครูเห็นสมควรที่จะเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยใชกราฟพาราโบลา ครูอาจใหความรูเพิ่มเติมโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก็ได

4. สําหรับกิจกรรม “จานพาราโบลา” และ “สะพานแขวน” ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกีย่วกบัพาราโบลาไปใชในชวีติจรงิ เปนการเชือ่มโยงสาระคณติศาสตรกบัศาสตรอ่ืน ครูอาจใหนกัเรยีนยกตวัอยางส่ิงตาง ๆ ที่อยูรอบตัวที่ใชประโยชนของพาราโบลาเพิ่มเติมอีกก็ได 5. สําหรับกิจกรรม “สูงแคไหน” และ “หาไดอยางไร” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเกี่ยวกับพาราโบลาไปใชแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในกิจกรรมทั้งสองนี้ นักเรียนจะตองเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอน จะทําใหเห็นจุดสูงสุดของกราฟและชวยใหตอบคําถามอื่น ๆ ไดงายขึ้น

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

สมการเชิงเสนและมีกราฟเปนเสนตรง

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

1. 1) a = 1, b = 1 และ c = -6

2) a = -2, b = 0 และ c = 03) a = 1, b = 0 และ c = 94) a = 2

1- , b = 2 และ c = 05) a = 1 , b = 6 และ c = 9

6) a = -1, b = -1 และ c = 41-

2. 1) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 0 และ c = 0

2) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

58

3) เปนสมการของพาราโบลา เพราะอยูในรูป y = ax2 + bx + c โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -1

4) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = 1

5) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = -1, b = -2 และ c = -6

6) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = x2”

1. พาราโบลาหงาย 2. 16 3. 16 4. 3 หรือ -3 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a > 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานมาก แตถา a มีคามากกราฟจะบานนอย

59

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = -x2”

1. พาราโบลาคว่ํา 2. -9 3. -9 4. 4 หรือ -4 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y ลดลงเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a < 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานนอย แตถา a มีคามากกราฟจะบานมาก

คําตอบกิจกรรม “ภาพสะทอน”

เปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน

60

คําตอบแบบฝกหัด 4.2

1. 1)

x -3 -2 -1 0 1 2 3y = 2x4

1 94 1 1

4 0 14 1 9

4

2)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x23 27

2 6 32 0 3

2 6 272

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4

-4

-6

4

61

3)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x32- -6 - 8

3 - 23 0 - 2

3 - 83 -6

4)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x34- -12 - 16

3 - 43 0 - 4

3 - 163 -12

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 6 80-2-4-6-8

-14

Y

62

2.x -2 -1 0 1 2

y = 3x2 12 3 0 3 12y = 21 x3

43

13 0 1

343

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

3.x -2 -1 0 1 2

y = -4x2 -16 -4 0 -4 -16y = 21- x4 -1 - 1

4 0 - 14 -1

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

63

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

4.x -2 -1 0 1 2

y = 25 x2 10 52 0 5

2 10

y = 25- x3 - 203 - 5

3 0 - 53 - 20

3

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 5.

1) พาราโบลาหงาย พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a > 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดต่ําสุด 6. 1) พาราโบลาคว่ํา พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a < 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดสูงสุด

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

64

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาต่ําสุดของ y เปน 2

จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 คือจุด (0, -2) และคาต่ําสุดของ y เปน -2

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาสูงสุดของ y เปน 2

จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 คือจุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, -2) และคาสูงสุดของ y เปน -2

4. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.3

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 5x2 + 4 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, 4)

65

3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 5x2 + 4 ไดดังนี้

x 0 1 2y = 5x2 + 4 4 9 24

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3x2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, -2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3x2 – 2 ไดดังนี้

x 0 1 2y = -3x2 – 2 -2 -5 -14

X

2

4

6

8

10

12

2 4 6 80-2-4-6-8

Y

66

3) พิจารณากราฟของสมการ y = - 21 23 +x 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, 2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = - 21 23 +x ไดดังนี้

x 0 1 2y = - 21 23 +x 2 5

323

X2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

-6

Y

-12

-10

X2 4 6 8-2-4-6-8-2

-4

-6

-8

0Y

67

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 21 - 14 x 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, -1) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 21 - 14 x ไดดังนี้

x 0 1 2y = 21 - 14 x -1 3- 4 0

2. c1 เปนกราฟของสมการ y = 5 x3

1 2−

c2 เปนกราฟของสมการ y = 3x2 – 5c3 เปนกราฟของสมการ y = -x2 + 1c4 เปนกราฟของสมการ y = 1 x4

1- 2+

Y

X

2

2 4

4

-6

60-2

-2-4

-4

-6

68

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2”

1. ทับกันไดสนิท 2. กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 มีเสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2x2 มีเสนตรง x = 0 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 คือจุด (0, -1) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (0, 1) 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 อยูทางขวาของแกน Y 5. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 อยูทางซายของแกน Y 6. กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย 7. กราฟของสมการ y = -2x2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 1)

กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, -1) 8. กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ก

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-1, 0) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

69

เขียนกราฟของสมการ y = (x + 1)2 ไดดังนี้

x -1 0 1y = (x + 1)2 0 1 4

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (1, 0) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = -3(x – 1)2 0 -3 -12

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

70

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 0) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -4(x + 2)2 0 -4 -16

-12

-2

-4

-6

-8-10

X0 2 4 6 8-2-4-6-8

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

71

4) พิจารณากราฟของสมการ y = (x – 3)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (3, 0) 3. เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = (x – 3)2 ไดดังนี้

x 3 4 5y = (x – 3)2 0 1 4

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 5)2

c2 เปนกราฟของสมการ y = (x – 1)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = (x + 3)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = (x – 2)2

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 คือจุด (1, 2) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (1, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 คือจุด (1, -2)

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

72

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 อยูเหนือแกน X จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = a(x – h)2

ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k > 0 และลงมาใตแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k < 0 6. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 2)

กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, -2) 7. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ข

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 1

3 (x – 1)2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (1, -2) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

เขียนกราฟของสมการ y = 13 (x – 1)2 – 2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = 1

3 (x – 1)2 – 2 -2 5- 32- 3

73

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, -3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 – 3 -3 -4 -7

X

2

2 4

4

60-2

-2-4-6-8

-4

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

74

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, 3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 + 3 3 2 -1

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 15 (x + 2)2 + 2

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 1

5 (x + 2)2 + 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = 1

5 (x + 2)2 + 2 2 115

145

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

Y

75

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 4)2 – 1c2 เปนกราฟของสมการ y = (x + 2)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 4)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 6)2 – 1 3. 1) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = 2 เปนเสนสะทอน

2) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = -1 เปนเสนสะทอน 3) แสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 ลงมาตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย หรือ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 ขึ้นไปตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย

4) แสดงการสะทอนหรือการเลื่อนขนาน ในกรณีแสดงการสะทอน มีแกน Y = 0 เปนเสนสะทอน ในกรณีแสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ของกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 ไปทางซายมือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย หรือกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 ไปทางขวามือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย

แบบฝกหัด 4.5 1. 1) สมการ y = x2 + 6x + 8

เขียนไดเปน y = (x + 3)2 – 1 พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 3)2 – 1

2

64

X2 4 60-2-4-6

Y

76

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-3, -1) 3. เสนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8 ไดดังนี้

x -3 -2 -1y = (x + 3)2 – 1 -1 0 3

2) สมการ y = -x2 – 4x – 2เขียนไดเปน y = -(x + 2)2 + 2

พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 2)2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -x2 – 4x – 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -(x + 2)2 + 2 2 1 -2

2

4

6

8

-22 4 60-2-4-6-8

10Y

X

77

2.

สมการ y = 2x2 + 5x – 2 เขียนไดเปน y = 2

+5 41

2 x 4 8−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) กราฟเปนพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ําสุดของกราฟคือจุด ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

841- ,4

5-

3) เสนตรง x = 45- เปนแกนสมมาตร

4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0 ,4

41 5- และจุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 0 ,4

41 5-

สมการ y = -x2 + 6x – 4 เขียนไดเปน y = -(x – 3)2 + 5 1) กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2) จุดสูงสุดของกราฟคือจุด (3, 5) 3) เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ( 3 20 , 0+ ) และจุด ( 3 20 , 0− )

Y

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

78

คําตอบกิจกรรม “จานพาราโบลา”

ควรวางอุปกรณรับความรอนไวที่โฟกัส

คําตอบกิจกรรม “สูงแคไหน”

1. 8 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 64 เมตร2. 63 เมตร3. ประมาณ 3.1 วินาที และ 12.9 วินาที

คําตอบแบบฝกหัด

1. 5 เมตร 2. 5 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 50 เมตร 3. ประมาณ 10.27 วินาที

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

1. ขอบเขตที่ดินมีลักษณะเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด 25 × 25 เมตร2

2. ขนาด 15.5 × 15.5 เมตร2

3. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ขนาด p4 × p

4 หนวย2

4. ขนาด 50 × 100 เมตร2 และไดพื้นที่ 5,000 ตารางเมตร

79

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

80

กิจกรรมเสนอแนะ 4.5

กิจกรรมนี้มีเจตนาเชื่อมโยงความรูเร่ืองสมการกําลังสองกับพาราโบลา เพื่อใหเห็นวิธีการหาคําตอบของสมการกําลังสองจากกราฟพาราโบลากับแกน X

แนวการจัดกิจกรรม ครูใชคําถามและยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของคําตอบของสมการกําลังสอง โดยพิจารณาจากจุดตัดของกราฟพาราโบลากับเสนตรง y = 0 หรือแกน X โดยใชคําถามตอเนื่องดังนี้ 1. ถากําหนดสมการของกราฟพาราโบลาเปน y = 2x2 – 4x นักเรียนคิดวา y เทากับเทาใด จึงจะทํา ให 2x2 – 4x = 0 [y = 0] 2. ถาสมการกําลังสองเปน 2x2 – 4x = 0 จํานวนใดเปนคําตอบของสมการนี้ [0 และ 2] 3. เสนตรง y = 0 เปนเสนตรงเดียวกันกับแกน X ใชหรือไม [ใช] 4. ใหนักเรียนพิจารณากราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 – 4x กับเสนตรง y = 0 หรือแกน X แลวตอบคําถามตอไปนี้

1) กราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใด [(0, 0) และ (2, 0)]2) คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้งสองคือจํานวนใด [0 และ 2]

2 4 6-2-4-6-2

2

4

6

8

10

X

Y

0

y = 2x2 – 4x

y = 0

81

3) คา x ที่ไดในขอ 2) กับคําตอบของสมการ 2x2 – 4x = 0 สัมพันธกันอยางไร [เปนจํานวนเดียวกัน] 4) นักเรียนสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสมการเปน 2x2 – 4x = 0 ไดโดยหาจุดตัด ของกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 + 4x กับแกน X ใชหรือไม [ใช]

5. ครูใหความรูกับนักเรียนวาโดยทั่วไป เราสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่อยูในรูปax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ไดโดยพิจารณาที่คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 กับกราฟของเสนตรง y = 0 หรือแกน X

6. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นการหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสองคําตอบหนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบ โดยพิจารณาจากกราฟพาราโบลากับแกน X ดังตัวอยางตอไปนี้

จากกราฟขางตนจะสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองไดดังนี้ เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 2x – 3 ตัดแกน X สองจุด คําตอบของสมการx2 – 2x – 3 = 0 จึงมี 2 คําตอบ คือ -1 และ 3 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -x2 – 4x – 4 ตัดแกน X หนึ่งจุด คําตอบของสมการ-x2 – 4x – 4 = 0 จึงมีคําตอบเดียว คือ -2 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 4x + 7 ไมตัดแกน X สมการ x2 – 4x + 7 = 0จึงไมมีคําตอบ

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

y = -x2 – 4x – 4

y = x2 – 2x – 3

y = x2 – 4x + 7Y

82

7. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแลวหาคําตอบของสมการกําลังสองที่กําหนดให

1) -x2 + x + 6 = 0 [-2 และ 3] 2) x2 – 6x + 9 = 0

[ 3]3) -5x2 + 2x – 1 = 0

[ไมมีคําตอบ]

8. ใหนักเรียนหาคําตอบของสมการกําลังสองตอไปนี้ โดยใชกราฟที่กําหนดให

1) 2x2 – 4 = 0 [ 2 และ - 2 ]

2) -x2 + 10x – 25 = 0 [5]

3) -x2 – 10x – 27 = 0 [ไมมีคําตอบ]

4) x2 + 8x + 19 = 0 [ไมมีคําตอบ]

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Y

y = -x2 + x + 6

y = -5x2 + 2x – 1

y = x2 – 6x + 9

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Yy = x2 + 8x + 19

y = -x2 + 10x – 25

y = 2x2 – 4

y = -x2 – 10x – 27