บทที่ 3เวกเตอรในสามมิติ

( 20 ชั่วโมง )

เวกเตอร นอกจากจะเปนประโยชนในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเรง แลว เวกเตอรยังเปนประโยชนในการศึกษาสาระคณิตศาสตรอ่ืนๆ เชน เรขาคณิตพีชคณิต เปนตน แนวทางในการศึกษาเวกเตอรเบื้องตนคือ การศึกษาในเชิงเรขาคณิตโดยใหนิยามวา เวกเตอรเปนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และใชรูปลูกศรแทนเวกเตอร สําหรับบทนี้จะกลาวถึงทั้งเวกเตอรในสองมิติและสามมิติควบคูกันไป โดยจะเริ่มตนจากการใหผูเรียนมีมุมมองในสามมิติ และสามารถกําหนดจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติได จากนั้นจะเริ่มศึกษาหัวขอไปตามลําดับดังนี้ เวกเตอร เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ผลคูณเชิงสเกลาร และผลคูณเชิงเวกเตอร

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเวกเตอรในสามมิติ2. หาผลบวกเวกเตอร ผลคูณเวกเตอรดวยสเกลาร ผลคูณเชิงสเกลาร และผลคูณเชิง

เวกเตอรได3. หาขนาดและทิศทางของเวกเตอรที่กําหนดใหได

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมให ผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

160

ขอเสนอแนะ

เนื่องจากเวกเตอรในสามมิติเปนเรื่องใหมสําหรับผูเรียน ดังนั้นการเริ่มตนสอนเวกเตอรในสามมิตินั้น ผูสอนควรเริ่มจากการใหผูเรียนมองเห็นภาพการตัดกันของระนาบสามระนาบที่ตั้งฉากกันแลวเกิดเปน 8 บริเวณ โดยการใชวัสดุประดิษฐสําเร็จรูป ดังนี้

จากนั้นอธิบายเพิ่มเติมวาระนาบทั้งสามจะตัดกันไดรอยตัดเปนเสนตรงสามเสน เรียกวา แกนพิกัดดังนี้

แกน X เกิดจากการตัดกันระหวางระนาบ XY และระนาบ XZแกน Y เกิดจากการตัดกันระหวางระนาบ XY และระนาบ YZแกน Z เกิดจากการตัดกันระหวางระนาบ YZ และระนาบ XZเรียกจุดตัดของแกนทั้งสามวา จุดกําเนิดและแทนดวย O

เนื่องจากระนาบสามระนาบที่ตั้งฉากกันตัดกันเกิดเปน 8 บริเวณ โดยแบงเปนดานบน 4บริเวณ และดานลาง 4 บริเวณ การเรียกชื่อระนาบแตละบริเวณนั้นจะอาศัยหลักการเดียวกับระบบพิกัดฉากสองมิติ โดยเริ่มจากดานบนหมุนทวนเข็มนาฬิกา เปนอัฐภาคที่ 1 ถึง อัฐภาคที่ 4สวนดานลางหมุนทวนเข็มนาฬิกา เปนอัฐภาคที่ 5 ถึง อัฐภาคที่ 8 ดังภาพสองมิติขางลางนี้

อัฐภาคที่ 1อัฐภาคที่ 2

อัฐภาคที่ 4อัฐภาคที่ 3

ดานลาง

อัฐภาคที่ 5อัฐภาคที่ 6

อัฐภาคที่ 8อัฐภาคที่ 7

161

สําหรับบทเรียนนี้ผูสอนอาจจะสอนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมิติ และเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติควบคูไปดวยกัน ตามหัวขอในหนังสือเรียน ดังนี้

1. เมื่อกําหนด u และ v ให ผลบวกของเวกเตอรทั้งสองนี้ไมไดขึ้นอยูกับการเลือกตําแหนงของจุดเริ่มตน กลาวคือไมวาจะเลือกจุดใดเปนจุดเริ่มตน ผลบวกของเวกเตอรที่ไดจะเปนเวกเตอรที่เทากันเสมอ

จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ดาน AB ขนานและยาวเทากับดาน DC AB = DC = u + v ดังนั้น ไมวาจุดเริ่มตนของ u จะอยูที่จุด A หรือจุด D หรือจุดอื่น ๆ ผลบวกของ u และ v จะเปนเวกเตอรที่เทากันเสมอ

2. u v+ ไมจําเปนตองเทากับ u v+

จากรูป ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุม B เปนมุมฉาก ดาน AB ยาว 4 หนวยดาน BC ยาว 3 หนวย และดาน AC ยาว5 หนวย

จะเห็นวา AC = AB + BCและ AC = AB + BC = 5 แต AB + BC = 7ดังนั้น AB + BC ≠ AB + BC นั่นคือ u + v ≠ u + vในกรณีที่ u และ v มีทิศทางเดียวกัน u + v = u + v

3. เนื่องจากเวกเตอรศูนยคือ เวกเตอรที่มีขนาดเทากับศูนย เวกเตอรศูนยจึงมีจุดเริ่มตนและจุดสิ้นสุดเปนจุดเดียวกัน ผูสอนอาจจะใชรูปสามเหลี่ยมอธิบายประกอบความหมายของเวกเตอรศูนยดังนี้

จากรูป AB + BC + CA = AA = 0 BC + CA + AB = BB = 0

CA + AB + BC = CC = 0

4A

C

B

5 3

u

vu

u vv

A

BC

D

A

C

B

ดานบน

162

เหตุผลที่ตองมีเวกเตอรศูนยเพราะถาไมมีเวกเตอรศูนยแลวจะทําใหตอบคําถาม u ( u)+ −

เปนเทาใด ไมได

4. สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชิงสเกลารที่วาถามุมระหวาง u กับ v เปน θ แลวu v⋅ = u v cos นั้น ในหนังสือเรียนไดแสดงวิธีการพิสูจนเฉพาะกรณีที่ θ เปนมุมแหลมในกรณีที่ θ เปนมุมศูนย มุมฉาก มุมปาน หรือมุมตรง ไมไดแสดงวิธีพิสูจนไว ซ่ึงถาผูเรียนสงสัยผูสอนอาจแสดงวิธีพิสูจนไดดังนี้

กรณีท่ี θ เปนมุมฉาก

ให u = OP = 1x i + 1y j

v = OQ = 2x i + 2y j

θ คือมุม POQ

PQ = 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− + −

2PQ = 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2(x y ) (x y ) 2(x x y y )+ + + − +

= 2 2u v 2(u v)+ − ⋅ ---------- (1)

เนื่องจาก θ เปนมุมฉาก ดังนั้น 2PQ = 2OP + 2OQ

= 2 2u v+ ---------- (2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา u v⋅ = 0 ---------- (3)แต θ เปนมุมฉาก จะได cos θ = 0ดังนั้น u v cosθ = 0 ---------- (4)จาก (3) และ (4) จะได u v⋅ = u v cosθ

vu X

Y

Oθ

P(x1, y1)Q(x2, y2)

163

กรณีท่ี θ เปนมุมปาน

ให u = OP = 1 1x i y j+

v = OQ = 2 2x i y j+ θ คือมุม POQ

ในทํานองเดียวกับกรณี θ เปนมุมแหลมหรือมุมฉากจะได 2PQ = 2

u + 2v – 2(u v)⋅ ---------- (1)

จากจุด P ลากเสนใหตั้งฉากกับดาน QO ที่ตอออกไปทางจุด O ที่จุด Mจะได 2PQ = 2 2PM MQ+

= 2 2 2( OP OM ) (OM OQ )− + +

= 2 2 2u ( u cos(180 )) ( u cos(180 ) v )− °− θ + °− θ +

= 2 2 2u ( u cos ) ( u cos v )− − θ + − θ+

= 2 2 2 22 2u u cos u cos 2 u v cos v− θ+ θ− θ+

= 2 2u v 2 u v cos+ − θ ---------- (2)

จาก (1) และ (2)u v⋅ = u v cos θ

กรณีที่ θ = 0° หรือ θ = 180°เมื่อ θ = 0° จะได u และ v มีทิศทางเดียวกัน

นั่นคือ u = mv เมื่อ m > 0ให v = 1 1x i y j+ จะได u = 1 1mx i my j+

u v⋅ = 2 21 1mx my+

= 2 21 1m(x y )+

vu

Q(x2, y2)P(x1, y1)

θO

MX

Y

164

แต u v cos0° = 2 2 2 21 1 1 1(m x y )( x y )+ +

= 2 21 1m(x y )+

นั่นคือ u v⋅ = u v cos0°เมื่อ θ = 180° จะได u และ v มีทิศทางตรงกันขาม

นั่นคือ u = mv− เมื่อ m > 0ให v = 1 1x i y j+ จะได u = 1 1mx i my j− −

จะพิสูจนไดในทํานองเดียวกับกรณีที่ θ = 0° วา u v⋅ = u v cos180°

สรุปไดวา ถา u กับ v เปนเวกเตอรที่ไมใช 0 และ θ เปนมุมระหวาง u กับ v แลวu v⋅ = u v cosθ

5. สมบัติที่นาสนใจอยางหนึ่งของเวกเตอรคือ ผลคูณเชิงสเกลาร เนื่องจากผลคูณเชิงสเกลารของเวกเตอรสองเวกเตอรใดก็ตามไดผลลัพธเปนปริมาณสเกลาร ประโยชนที่นําไปใชในที่นี้ คือ

การหามุมระหวางเสนตรงสองเสนโดยใช cos θ = u vu v⋅ เมื่อ θ เปนมุมระหวาง u กับ v

เนื่องจากผลคูณของเวกเตอรที่กลาวถึงในที่นี้ไดผลออกมาเปนปริมาณสเกลาร จึงมักมีขอสงสัยเสมอวาทําไมผลคูณของเวกเตอรจึงไมเปนเวกเตอร เพราะผลคูณของเวกเตอรที่เปนเวกเตอรนั้น เวกเตอรที่เปนผลลัพธจะตั้งไดฉากกับเวกเตอรทั้งสองที่นํามาคูณกัน กลาวคือจะตั้งไดฉากกับระนาบของเวกเตอรที่นํามาคูณกัน ดังนั้นแทนที่จะเปนเวกเตอรในระนาบหรือในสองมิติ จึงกลายเปนเวกเตอรในสามมิติ

6. สําหรับเรื่องผลคูณเชิงสเกลารของ u และ v ที่กลาววามุมระหวาง u กับ v เปน θ นั้นโดยทั่วไปจะหมายถึง u และ v ที่มีจุดเริ่มตนที่จุดเดียวกัน ถา u และ v ไมไดมีจุดเริ่มตนที่จุดเดียวกันอาจสรางเวกเตอรใหมเทากับ u และ v โดยใหเวกเตอรใหมนี้มีจุดเริ่มตนที่จุดเดียวกันได นอกจากนี้ขนาดของมุม θ นิยมกําหนดให 0° ≤ θ ≤ 180°

ตัวอยางเชนตองการจะหาผลคูณเชิงสเกลารของเวกเตอร u และ v ที่กําหนดใหดังรูป

เมื่อเขียน u และ v ใหมีจุดเริ่มตนจุดเดียวกัน จะไดวา มุมระหวาง u และ v เทากับ 60°

v

u15°

45° vu 60°

165

7. ในวิชาฟสิกส กลาวถึงแรงซึ่งเปนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง แรงจึงเปนปริมาณเวกเตอรดังนั้น ในการสอนเรื่องการบวกและลบเวกเตอรผูสอนอาจอาศัยตัวอยางทางฟสิกส เชน

1) ถามีแรง 2 แรงที่มีขนาดเทากันแตมีทิศทางตรงกันขาม กระทําตอวัตถุ (ดังรูป ก)ผลก็คือวัตถุจะหยุดนิ่ง

จากรูป ก แรง F1 และ F2 มีขนาด 3 นิวตัน แตมีทิศทางตรงกันขาม จะไดแรงลัพธคือ0 จึงไมทําใหวัตถุเคลื่อนที่

2) ถามีแรง 2 แรงที่มีทิศทางเดียวกันกระทําตอวัตถุ (ดังรูป ข) ผลก็คือวัตถุจะเคลื่อนที่ไปในแนวแรงทั้งสอง ดวยแรงที่มีขนาดเทากับผลบวกของแรงทั้งสองนั้น

จากรูป ข แรง F1 มีขนาด 2 นิวตัน และ F2 มีขนาด 3 นิวตัน และ แรง F1 มีทิศทางเดียวกับแรง F2 จะไดแรงลัพธมีขนาด 5 นิวตัน มีทิศทางเดียวกับแรง F1 หรือ F2 วัตถุจะเคลื่อนที่ไปดวยแรงที่มีทิศทางเดียวกับแรง F1 และ F2 โดยมีขนาด 5 นิวตัน

3) ถามีแรง 2 แรงที่ไมอยูในแนวเดียวกันกระทําตอวัตถุ (ดังรูป ค) ผลก็คือวัตถุจะเคลื่อนที่อยูในแนวเสนตรงที่อยูระหวางแรงทั้งสอง โดยมิไดเคลื่อนที่ในแนวของแรงหนึ่งแรงใด

จากรูป ค แรง F1 มีขนาด 2 นิวตัน แรง F2 มีขนาด 3 นิวตัน แตแรง F1 และ F2

ไมไดอยูในแนวเดียวกันในการหาแรงลัพธหาไดโดยสรางรูปสี่เหล่ียมดานขนานดังนี้

จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน AB = F1, AD = F2 จะได AC = F3 เปนแรงลัพธของแรง F1 และ F2 วัตถุจะเคลื่อนที่ไปดวยแรง F3 ซ่ึงมีขนาดและทิศทางเดียวกับ AC

รูป ข

รูป ค

D

รูป ก

F1 F2

F1 F2

F1

F2

AB

CF1

F2

F1

166

8. การสอนเรื่องเวกเตอรในสามมิติ เพื่อใหผูเรียนมองเห็นประโยชนและการนําไปใช ผูสอนควรยกตัวอยางโจทยปญหาใหผูเรียนมองเห็นเปนแนวทาง ดังตอไปนี้

ตัวอยางที่ 1 เครื่องบินลําหนึ่งมีความเร็ว 225 กิโลเมตรตอช่ัวโมง (ความเร็วเมื่อลมสงบ) ถาตองการ ใหเครื่องบินลํานี้ บินตรงไปทางทิศตะวันออก เมื่อมีลมพัดจากทิศใตดวยความเร็ว 45 กิโลเมตร ตอช่ัวโมง นักบินจะตองขับเครื่องบินไปในทิศทางใด และดวยความเร็วเทาใด

วิธีทํา ตองการใหเครื่องบินบินจาก A ไป BAB จะเปนเวกเตอรที่เปนผลบวกของAC และ CB ซ่ึงเปนความเร็วของเครื่องบินและของลมตามลําดับ

sin θ = ACBC = 45

225 = 0.2000

จะได θ = 11° 31′ความเร็วในการเดินทางคือ R = AC2 – BC2 = 2 2225 45−

≈ 220 กิโลเมตรตอช่ัวโมง

ตัวอยางที่ 2 แดงและดําวายน้ําไดเร็วเทากัน เมื่อไปเลนน้ําในคลองเขาทั้งสองตกลงที่จะวายน้ําแขงกัน แตจะวายคนละวิธี โดยแดงวายขามฟากกลับไปกลับมาในแนวตั้งฉากกับฝงคลอง สวนดําจะวาย ตามน้ําไปเปนระยะเทากับความกวางของคลองที่ตกลงกัน แลวจึงวายทวนน้ํากลับมาเปนระยะ เทาเดิม โดยวิธีดังกลาวทานคิดวาใครเปนผูชนะ

วิธีทํา ให v เปนความเร็วในการวายน้ําของแดงและดําในน้ํานิ่งตอนาที c เปนความเร็วของกระแสน้ําตอนาที d เปนความกวางของคลองระยะทางที่ใชในการแขงขัน เทากับ 2dใน 1 นาที แดงวายน้ําไดระยะทาง เทากับ 2 2v c−

เวลาทั้งหมดที่แดงใชในการวายน้ํา เทากับ2 2

2d

v c−

ใน 1 นาที ดําวายตามน้ําไดระยะทาง เทากับ v + cใน 1 นาที ดําวายทวนน้ําไดระยะทาง เทากับ v – cเวลาที่ดําใชในการวายกลับไปกลับมา เทากับ d d

v c v c+

− +

A B

C

θvR

167

= 2 2dv dc dv dc

v c+ + −

−

= 2 22dvv c−

เนื่องจาก v > 0 และ c > 0และ v > c

c2 > 0v2 > 0

ดังนั้น v2 > v2 – c2

v > 2 2v c− , (เพราะ v > 0)

2 2

v

v c−> 1

2 2v

v c−>

2 2

1

v c− (คูณดวย

2 2

1

v c− ทั้งสองขางของอสมการ)

เนื่องจาก d > 0ดังนั้น 2 2

2dvv c−

> 2 2

2d

v c−นั่นคือ เวลาที่ดําใชในการวายน้ํามากกวาเวลาที่แดงใชดังนั้น แดงเปนผูชนะ

ตัวอยางที่ 3 BED SORE คือ แผลที่ผิวหนังที่เกิดจากการกดทับทําใหหนังเปดและถาปลอยทิ้งไวแผลอาจเนาถึงกระดูกได อาการนี้เปนผลจากการที่คนไขนอนปวยอยูบนเตียงนานเกินไป เพื่อหลีกเลี่ยงอาการนี้จึงควรลดแรงกดทับบนเตียงอันเกิดจากน้ําหนักตัวคนไข และไมควรใหคนไขนอนอยูในทาเดียวนาน ๆ

คนไขคนหนึ่งปวยอยูบนเตียงเปนเวลานาน เพื่อหลีกเลี่ยงไมใหคนไขมีอาการของBED SORE แพทยจึงแนะนําใหยกเตียงขึ้นเปนเวลา 10 นาทีในเวลาเชาและเย็น จงหาเหตุผลเพื่อแสดงวา การยกเตียงขึ้นทําใหแรงกดทับนอยลง

F1F2 F

168

วิธีทํา เมื่อเตียงอยูในแนวราบ แรงกดทับกับพื้นเตียงคือน้ําหนักของคนไขนั่นเอง ซ่ึงเปนแรงที่อยูในแนวดิ่งให F เปนเวกเตอรแทนแรงดังกลาว

เมื่อ F เปนเวกเตอรแทนน้ําหนักของคนไขซ่ึงลงในแนวดิ่งให α เปนมุมที่เตียงทํากันแนวระดับ

F เปนผลรวมของแรงของน้ําหนักในแนวตั้งฉากกับเตียงและแรงค้ํายันของเทานั่นคือ F = F1 + F2 และ F1 ⊥ F2

จากรูป AED∧

เปนมุมที่พื้นเตียงทํากับแนวราบจะได CAD

∧ เทากับ AED

∧ เทากับ α

F

F2v = cos α

F2 = F cos α

เนื่องจาก F เปนน้ําหนักของคนไขจึงมีคาคงที่ ดังนั้น คาของ 2F จะมากหรือนอยจึงขึ้นอยูกับ cos α และจะเห็นวา เมื่อ α เพิ่มขึ้นจาก 0° แตไมเกิน 90° คาของ cos α จะนอยลงซ่ึง 0 < cos α < 1

แตเมื่อเตียงอยูในแนวราบ α = 0° 2F = F จะได แรงกดเตียงมากที่สุด

นั่นคือ เมื่อเตียงเอียงขึ้น น้ําหนักที่กดเตียง 2F จะนอยลง

AB

EC

α

F1

DF2

F

169

กิจกรรมเสนอแนะ

การฝกใหนักเรียนลงจุดในระนาบพิกัดฉากสามมิติโดยใชจินตนาการ สําหรับผูเร่ิมตนนั้นเปนเร่ืองที่ทําไดยาก ดังนั้นผูสอนควรดําเนินตามกิจกรรม ดังนี้

1. ผูสอนนําลูกโปงหนึ่งลูกที่มีดายผูกยึดปลายเสนดายดวยดินน้ํามันใหลูกโปงลอยอยูตรงหนาช้ันเรียน(ดังรูป)

ผูสอนใชการถามตอบใหผูเรียนวัดระยะที่เสนดายอยูหางจากผนังทั้งสองดาน และระยะที่ลูกโปงลอยขึ้นจากพื้นผูสอนใหผูเรียนสังเกตวา จะบอกตําแหนงของลูกโปงอยางไร ผูเรียนควรจะสรุปไดวา “การบอกตําแหนงของลูกโปง จะตองพึ่งระนาบสามระนาบตั้งฉากกัน ไดแกฝาหองทั้งสองดานและพื้นหอง วิธีนี้เปนการกําหนดตําแหนงของจุดในเวกเตอร 3 มิติ โดยใชระบบพิกัดฉาก ซ่ึงใชระนาบสามระนาบตั้งฉากกัน”

2. ผูสอนใชส่ือวัสดุประดิษฐสําเร็จรูป ซ่ึงแสดงระนาบ 3 ระนาบ ตั้งฉาก ตัดกัน สาธิตประกอบคําถาม ใหผูเรียนสังเกตแกน X แกน Y และ แกน Z วา เกิดจากการตัดกันระหวางระนาบใด ผูสอนนํากลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉากมาวางในชองบนชองแรกทางขวามือ(อัฐภาคที่ 1) เพื่อใหผูเรียนไดสังเกตวาคาที่วัดถึงตําแหนงของจุด P (x, y, z) เปนเทาใด โดยในครั้งแรกใหสังเกตคาที่วัดไปตามแกน X แกน Yและแกน Z เปนคาบวก

3. ผูสอนนํากลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีขนาดตาง ๆ กัน อีกหลาย ๆ กลองมาวาง (ขนาดของกลองควรมีความกวาง ความยาว และความสูง ที่มีหนวยตรงกับหนวยที่แบงไวในแกน X แกน Y และแกน Z) ใหนักเรียนอานคา P (x, y, z) ในจุดตาง ๆ จนกวาจะเขาใจ

35

4

170

4. ผูสอนวางกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ในชองบนทางซายมือ(อัฐภาคที่ 4) เพื่อผูเรียนจะไดสังเกตคาที่เปนลบ ใหวางหลาย ๆ กลองจนกวานักเรียนจะเขาใจ แลวใหนักเรียนลองวางกลองชิดดานลาง(อัฐภาคที่ 5 ถึง อัฐภาคที่ 8) ของทั้งทางขวามือและซายมือของแกน

เวกเตอร1. ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางปริมาณที่พบเห็นเสมอในชีวิตประจําวัน หรือผูสอนอาจจะยก

ตัวอยางใหผูเรียนกอนก็ได ปริมาณที่ผูเรียนอาจยกตัวอยางได เชน ความสูง ความเร็ว ความเรงความยาว น้ําหนัก เวลา มวล ปริมาตร งาน พลังงาน โมเมนตัม เมื่อไดตัวอยางพอสมควรแลวผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวาปริมาณใดบางที่บอกแตเพียงขนาด และปริมาณใดบางที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง

2. ผูสอนบอกผูเรียนวา ปริมาณที่บอกแตเพียงขนาด เชน ความยาว มวล เวลา ปริมาตรงาน และพลังงาน เรียกวา ปริมาณสเกลาร และอาจแทนปริมาณสเกลารดวยความยาวของสวนของเสนตรงหรือระยะทางระหวางจุดสองจุด สวนปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เชน ความเร็วความเรง แรง น้ําหนัก และโมเมนตัม เรียกวาปริมาณเวกเตอร อาจเขียนรูปแทนปริมาณเวกเตอรไดโดยใชสวนของเสนตรง และเขียนหัวลูกศรกํากับ โดยท่ีความยาวของสวนของเสนตรงจะแทนขนาดของเวกเตอร และทิศที่ลูกศรชี้คือทิศของเวกเตอร ดังรูป

3. ผูสอนบอกขอตกลงในการใชสัญลักษณแทนเวกเตอร และขนาดของเวกเตอรพรอมทั้งบอกความหมายของเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกัน เวกเตอรที่มีทิศทางตรงขามกันและเวกเตอรที่ขนานกัน

4. ผูสอนถามผูเรียนวาปริมาณสเกลารและปริมาณเวกเตอรแตกตางกันอยางไร เพื่อใหผูเรียนสรุปไดวาปริมาณสเกลารเปนปริมาณที่มีเพียงขนาด แตปริมาณเวกเตอรเปนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง จากนั้นผูสอนถามผูเรียนวา ถามี u และ v เวกเตอรทั้งสองนี้จะเทากันเมื่อไร ผูเรียนควรจะตอบไดวา u เทากับ v ในกรณีที่ u และ v มีทิศทางเดียวกันและมีขนาดเทากัน จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปบทนิยามของเวกเตอรที่เทากัน และยกตัวอยางเวกเตอรที่เทากันโดยการเขียนรูป

5. ผูสอนใหความหมายของนิเสธของเวกเตอรพรอมทั้งยกตัวอยาง

การบวกและการลบเวกเตอร1. ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาผลบวกของ u และ v เมื่อกําหนดใหแทน u และ v ดวย

สวนของเสนตรงที่ระบุทิศทาง โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหล่ียมดานขนาน

A

B

171

2. ผูสอนบอกความหมายของเวกเตอรศูนย จากนั้นผูสอนบอกผูเรียนวาเวกเตอรศูนยเปนเวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนและจุดสิ้นสุดเปนจุดเดียวกัน

3. ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการบวกเวกเตอร พรอมทั้งแสดงวาสมบัติบางขอเปนจริงโดยอาศัยรูป เชน สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุมได

4. ผูสอนบอกบทนิยามการลบเวกเตอร5. ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาผลลบของเวกเตอร u และ v เมื่อกําหนดใหแทน u และ

v ดวยสวนของเสนตรงที่ระบุทิศทาง โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหล่ียมดานขนาน6. ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา เมื่อกําหนด u และ v ให จะหา u v, u v+ − และ

v u− ไดโดยการสรางรูปสี่เหล่ียมดานขนาน เสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมดานขนานจะแทนผลบวกและผลลบที่ตองการเมื่อระบุทิศทางใหถูกตอง

การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร1. ผูสอนยกตัวอยางเวกเตอรที่ขนานกันแตมีขนาดตางกันเชน

จากรูป u, v และ w เปนเวกเตอรที่ขนานกันu มีขนาด 1 หนวยv มีขนาด 2 หนวยw มีขนาด 1

2 หนวย

ผูสอนบอกผูเรียนวา v อาจเขียนแทนดวย 2u w อาจเขียนแทนดวย 1 u

2−

ผูสอนบอกผูเรียนวาจํานวนจริง 2, 12

− เปนสเกลาร จะเห็นวามีการคูณเวกเตอรดวย

สเกลาร พรอมทั้งบอกบทนิยามการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร โดยสเกลารในที่นี้จะหมายถึงจํานวนจริงใดๆ

2. ผูสอนบอกสมบัติของการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร

v

w

u

172

เวกเตอรในระบบแกนมุมฉาก

1. ผูสอนกําหนดเวกเตอร 4321 w,w,w,w ใ หดังรูปจากรูป ผูเรียนควรบอกไดวา 1w = 11 vu +

2w = 22 vu +3w = 33 vu +4w = 44 vu +

ผูสอนบอกผูเรียนวา ถาเขียนแทน 1w ดวย 34

และเขียนแทน 2w ดวย 33

−

แลว

ผูสอนถามผูเรียนวาจะเขียนแทน 3w และ 4w ไดอยางไร ซ่ึงผูเรียนควรบอกไดวา จะเขียน

แทนดวย 53− −

และ 54−

ตามลําดับ

2. ผูสอนอธิบายความหมายของเวกเตอรในระบบแกนมุมฉากที่เขียนในรูป ab

เมื่อ a และ

b เปนจํานวนจริงใด ๆ

O X

Y

1W1V

1UO

Y

X

2U

2W 2V

X

Y

O

3W3V

3U

O X

Y

V W4U

173

ผูสอนใหผูเรียนเขียนสัญลักษณ AB ในระบบแกนมุมฉาก เมื่อ AB มีจุดเริ่มตนที่

A(x1, y1) และจุดสิ้นสุดที่ B(x2, y2) ซ่ึงผูเรียนควรจะเขียนไดเปน 2 1

2 1

x xy y

− −

3. ผูสอนบอกความหมายของการเทากันของเวกเตอร การบวกของเวกเตอร เวกเตอรศูนยนิเสธ การลบและการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร ในระบบแกนมุมฉาก พรอมทั้งยกตัวอยางประกอบ

ขนาดของเวกเตอร

1. ผูสอนใหผูเรียนบอกความหมายของสวนของเสนตรง PQ นักเรียนควรจะตอบไดวาเทากับ 2 2

2 1 2 1(x x ) (y y )− + −

2. ผูสอนถามผูเรียนวา PQ เทากับเทาใด ผูเรียนควรจะตอบไดวาPQ = 2 2

2 2 2 1(x x ) (y y )− + − ทั้งนี้เพราะขนาดของเวกเตอรก็คือความยาวของสวนของเสนตรงที่ระบุทิศทาง

3. ผูสอนใหผูเรียนเขียนสัญลักษณแทน PQ ในระบบแกนมุมฉาก ผูเรียนควรเขียนไดวา

PQ = 2 1

2 1

x xy y

− −

จากนั้น ผูสอนถามคําถามเพื่อใหผูเรียนสรุปไดวา ขนาดของเวกเตอร 2 1

2 1

x xy y

− −

จะเทากับ 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− + −

4. ผูสอนใหผูเรียนบอกขนาดของ ab

ผูเรียนควรจะบอกไดวา เทากับ 2 2a b+

เวกเตอรหนึ่งหนวย1. ผูสอนบอกความหมายของเวกเตอรหนึ่งหนวย

2. ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาเวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร ab

ดังนี้

ผูสอนใหเวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร ab

คือ m ab

เมื่อ m > 0

แลวผูสอนใหผูเรียนบอกขนาดของเวกเตอร m ab

ซ่ึงผูเรียนควรบอกไดวา

Q(x2, y2)

P(x1, y1)O X

Y

174

เนื่องจาก m ab

= mamb

ดังนั้นขนาดของ m ab

เทากับ 2 2(ma) (mb)+

แตขนาดของเวกเตอร m ab

เทากับ 1 หนวย

ดังนั้น 2 2 2m (a b )+ = 1หรือ m =

2 2

1

a b+

นั่นคือ เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร ab

คือ 2 2

1

a b+

ab

3. ผูสอนแนะนําเวกเตอรหนึ่งหนวยที่สําคัญคือ 10

และ 01

พรอมทั้งบอกสัญลักษณ

i แทน 10

และ j แทน 01

4. ผูสอนใชวิธีการตามหนังสือเรียน เพื่อใหผูเรียนเขียนเวกเตอร ab

ในรูปเวกเตอร i

และ j ซ่ึงผูเรียนควรจะเขียนไดวา ab

= ai b j+

ผูสอนกําหนดเวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนที่จุด (x1, y1) และจุดสิ้นสุดที่จุด (x2, y2) ผูเรียนควร

เขียนแทนเวกเตอร 2 1

2 1

x xy y

− −

ดวย (x2 – x1) i + (y2 – y1) j ได

175

สําหรับตัวอยางแบบทดสอบในเรื่องเวกเตอรในสามมิติ จะขอยกตัวอยางเพียงเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติเทานั้น โดยมุงเนนการนําความรูไปใช

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. กําหนด i 4 j k− + = x(i j) y( j i) z(2k j)+ + − + − จงหาคาของ x + y + z2. กําหนดให P(–2, –1, 2) และ Q(0, –5, 6) จงหาเวกเตอร 3 หนวย ที่มีทิศทาง

ตรงขามกับ PQ3. กําหนดให u = i 5j+ , v = 2i 3j k− + − และ w = 3i a j k− +

ถา u v⋅ = u w⋅ แลว a มีคาเทาใด4. กําหนดให u = 2, v = 3 และ u v− = 4 จงหา vu ⋅5. กําหนดให u = ai b j ck+ + และ v = xi y j zk+ + เมื่อ a, b, c, x, y, z

เปนจํานวนจริงใด ๆu*v = a x b y c z( )i ( ) j ( )k

2 2 2+ + +

+ +

ถา u =120

−

, v = 312

และ w = 114

−

แลว

จงหาคาของ u (v w)× ∗

6. กําหนดให OA = i 3j k− + และ OB = 4i j− จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AOB7. จงหาปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมดานขนานตัน ที่มี u = i j 3k+ + , v = i k− + และ

r = i j k− − เปนดานประกอบของทรงสี่เหล่ียมดานขนานตันนี้8. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน AC

และ BD ตัดกันที่จุด O จุด E แบงสวนของเสนตรง AB ออกเปนอัตราสวนAE : EB = 1 : 3 ถา AB = u , AD = vจงแสดงวา OE = 1 (u 2v)

4− +

9. จงแสดงวาเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูน ตัดกันเปนมุมฉาก

A E B

CDOv

u

D C

A B

176

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. i 4 j k− + = (xi x j) (y j yi) (2zk z j)+ + − + −

= (x – y) i + (x + y – z) j + 2z kx – y = 1 ----------- (1)x + y – z = –4 ----------- (2) 2z = 1 ----------- (3)

จากสมการ (3) จะได z = 12

แทนคา z ลงในสมการ (2) จะได x + y = 72

−

ดังนั้น x + y + z = –3

2. PQ = 2 2 2(0 2) ( 5 1) (6 2)+ + − + + −

= 6เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับ PQ คือ 1 2 2i j k

3 3 3− +

ดังนั้น เวกเตอร 3 หนวยที่มีทิศทางตรงขามกับ PQ คือ i 2 j 2k− + −

3 u v⋅ = 13u w⋅ = 3 – 5aจากที่โจทยกําหนดใหu v⋅ = u w⋅ดังนั้น 13 = 3 – 5a

5a = –10 a = –2

4. 2u v− = 2 2

u 2u v v− ⋅ +

16 = 4 2u v 9− ⋅ +

2u v⋅ = – 3ดังนั้น u v⋅ = 3

2−

177

5. v * w = 3 1 1 1 2 4( )i ( ) j ( )k2 2 2+ − +

+ +

= 2i 3k+

u (v w)× ∗ =i j k1 2 02 0 3

−

= 6i 3j 4k+ −

u (v w)× ∗ = 61

6. OA × OB =i j k1 3 14 1 0

−−

= i 4 j 11k+ +

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AOB เทากับ 1 OA OB2

× = 1 1382

ตารางหนวย

7. v r× =i j k1 0 11 1 1

−− −

= i k+

u (v r)⋅ × = 1 3+ = 4ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมดานขนานตัน เทากับ 4 ลูกบาศกหนวย

8. จากรูป OE = OA + AE= 1 1(CA) (AB)

2 4+

= 1 1(CB BA) (AB)2 4

+ +

= 1 1( v u) u2 4− − +

= 1 1 1v u u2 2 4

− − +

= 1 1v u2 4

− −

= 1 (u 2v)4

− +

ดังนั้น OE = 1 (u 2v)4

− +

178

9.

จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูนและ AC ⋅ BD = (AB + BC) ⋅ (AD – AB)

= (AB + AD) ⋅ (AD – AB)= (AD)2 – (AB)2

= (AD)2 – (AD)2

= 0จะไดวา AC ⊥ BDดังนั้น เสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูน ตัดกันเปนมุมฉาก

D C

A B

179

เฉลยแบบฝกหัด 3.1

1. B(3, 5, 0) C(1, 5, 0) D(1, 2, 0)E(3, 5, 3) G(1, 2, 3) H(3, 2, 3)

2. 1) E(3, 0, 0) 2) G(0, 3, 0)3) A(0, 0, 1) 4) F(3, 3, 0)5) B(0, 3, 1) 6) D(3, 0, 1)

3. 1) จุดบนแกน X มีพิกัดเปน (x, 0, 0)2) จุดบนแกน Y มีพิกัดเปน (0, y, 0)3) จุดบนแกน Z มีพิกัดเปน (0, 0, z)4) จุดในระนาบ XY มีพิกัดเปน (x, y, 0)5) จุดในระนาบ YZ มีพิกัดเปน (0, y, z)6) จุดในระนาบ XZ มีพิกัดเปน (x, 0, z)

4.

B(1, -1, 2)

A(1, 1, 1)

D(–1, –1, –2)

C(3, 2, -1)X

Y

Z

180

5. ภาพฉายของจุด P(3, –4, 8) บนระนาบ XY คือ จุด (3, –4, 0)ภาพฉายของจุด P(3, –4, 8) บนระนาบ YZ คือ จุด (0, –4, 8)ภาพฉายของจุด P(3, –4, 8) บนระนาบ XZ คือ จุด (3, 0, 8)ภาพฉายของจุด Q(7, –2, 8) บนระนาบ XY คือ จุด (7, –2, 0)ภาพฉายของจุด Q(7, –2, 8) บนระนาบ YZ คือ จุด (0, –2, 8)ภาพฉายของจุด Q(7, –2, 8) บนระนาบ XZ คือ จุด (7, 0, 8)

6. PQ = 2 2 2( 2 1) ( 1 2) (0 7)− − + − + + −

= 9 1 49+ +

= 59

7. AB = 16 25 64+ + = 105

AC = 100 4 1+ + = 105

BC = 196 9 49+ + = 254

รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ A(1, 2, 1), B(–3, 7, 9) และ C(11, 4, 2) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ก

1. ตัวอยางปริมาณสเกลาร ไดแก อัตราเร็ว ระยะทาง มวล

ตัวอยางปริมาณเวกเตอร ไดแก ความเร็ว การกระจัด แรง

181

2.

เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกัน คือ เวกเตอรที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันหรือเสนตรงที่ขนานกัน และมีหัวลูกศรไปทางเดียวกัน ในรูปเชน AF กับ BEเวกเตอรที่มีทิศทางตรงกันขาม คือ เวกเตอรที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันหรือเสนตรงที่ขนานกัน แตหัวลูกศรไปทางตรงกันขาม ในรูปเชน AF กับ DC และBE กับ DC

3. 1) 120 เมตร ไปทางทิศเหนือมาตราสวน 1 ซม. : 60 เมตร

2) 30 เมตร ไปทางทิศ 060°มาตราสวน 1 ซม. : 15 เมตร

3) 80 กิโลเมตร ไปทางทิศ 300°มาตราสวน 1 ซม. : 40 กม.

4) 10 กิโลเมตร ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือมาตราสวน 1 ซม. : 5 กม.

4. 1) DC, –CD, –BA 2) –CE, –EA3) –AD, CB 4) AD, –CB, –DA5) –EB, –DE 6) CE, –EC

EA B

CD

F

120 เมตร

ทิศเหนือ

30 เมตร060°

80 กิโลเมตร300°

10 กิโลเมตร

182

5. 1) เชน AD กับ HE BA กับ HG CB กับ FG2) เชน AD กับ HE DC กับ HG CB กับ FG3) เชน BA กับ DC BA กับ HG AD กับ CB

6. u− แทนการเดินทาง 300 กิโลเมตร ในทิศ 180° + 075° = 255°

7. ใหชายคนนี้เดินทางจากจุด A ไปถึงจุด Bเปนระยะทาง 3 กิโลเมตร ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือ แลวเขาเดินตอไปถึงจุด C เปนระยะทาง 3 กิโลเมตร ไปทางทิศ 315°

ดังนั้น ระยะทางที่เขาอยูหางจากจุดเริ่มตน AC = 2 23 3+ = 3 2 กิโลเมตรและอยูหางจากจุดเริ่มตนในทิศเหนือ

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ข

1. AB = aCA = CD + DA = c f− หรือ CA = CB + BA = b a− −

BD = BC + CD = b c+ หรือ BD = BA + AD = a f− +

DB = DA + AB = f a− + หรือ DB = DC + CB = c b− −

AF = AD + DF = f e− หรือ AF = AB + BC + CD + DF = a b c e+ + −

FA = FD + DA = e f− หรือ FA = FD + DC + CB + BA = e c b a− − −

AE = AD + DE = f c+ หรือ AE = AD + DF + FE = f e d− −

หรือ AE = AB + BC + CE = a b 2c+ +

หรือ AE = AB + BC + CD + DF + FE = a b c e d+ + − −

A

C

B

3

3

183

EA = FD + DA = e f− − หรือ EA = EF + FD + DA = d e f+ −

หรือ EA = EC + CB + BA = 2c b a− − −

หรือ EA = EF + FD + DC + CB + BA = d e c b a+ − − −

2. 1) PQ + (QS + SP) = PQ + QP = 0

2) (OR – QS) + RO = –QS + (OR + RO) = –QS = SQ3) (PQ + QR) – SR = PR - SR = PR + RS = PS

3. 1) BA2) EH3) เชน AD + DE + EA , BC + CF + FG + GB

4. AD = AB + BC + CD = u v w− + −

FD = FE + ED = u v− +

BD = BC + CD = v w−

FC = FD + DC = u v w− + +

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ค

1. 1) u = v2) u = 1 w

3−

2. 3w = (3a + 12b)u + (6a + 3b + 3) v2s = (2b – 4a + 4)u + (4a – 6b – 2) vเนื่องจาก 3w = 2s

184

ดังนั้น 3a + 12b = 2b – 4a + 47a + 10b = 4 ---------- (1)

และ 6a + 3b + 3 = 4a – 6b – 22a + 9b = –5 ---------- (2)

แกสมการไดคา a = 2 และ b = –1

3. 4) 2AE = u v+ และ 6) AE = u w2 2− เปนจริง

4. AX = 1 b2

AZ = AG + GZ = (AB + BG) + 13

GF = (AB + AH) + 13

AD = 1a c b3

+ +

EY = EF + FY = DC + 12

FC = AB + 12

HA = 1a c2

−

XZ = XD + DC + CF + FZ = 12

AD + AB + AH + 23

FG = 1 2b a c b2 3

+ + −

= 1a b c6

− +

5. OP = OB + 12

BA

= OB + 12

(BO + OA)

= 12

(OA + OB)

6.

จากรูป จะได OA = v , OB = uAB = AO + OBAB = – v + u ---------- (1)

O

A BCm n

u

v

185

และ OC = OA + AC = mv

m n+

+AB

OC = mv (u v)m n

+ −+

จาก (1)

OC = m mv v um n m n

− ++ +

OC = n mv um n m n

++ +

OC = 1 (nv mu)m n

++

7.

จาก AB = AM + MB AB = 1u

2+ CB

12

CB = AB + u ---------- (1)และ

u = v + NM u = v + NC + CM

= v + 12

AB + 12

CB

u = v + 12

AB + (AB – u )

u = v + 32

AB – u

32

AB = 2u – v

AB = v32u

34−

A

D CN

M

B

v

u

186

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ก 1) AB = 3 ( 2)

2 1− −

− = 5

1

, BA = 2 31 2− − −

= 51− −

2) AB = 1 0

4 0− − −

= 14

−

, BA = 0 ( 1)0 4− −

− = 1

4 −

3) AB = 1 ( 2)

2 ( 8)− − − − −

= 110

, BA = 2 ( 1)8 2

− − − − −

= 110

− −

4) AB =2 11 ( 1)0 2

− − − − −

= 102

−

, BA = 1 21 ( 1)2 0

− − − − −

= 102

−

5) AB =1 78 33 1

− − − −

= 852

−

, BA = 7 ( 1)3 81 3

− − − −

= 852

− −

6) AB =0 10 10 ( 1)

− − − −

= 111

− −

, BA = 1 01 01 0

− − − −

= 111

−

2. 1) a 5b− = 1 35

3 4−

−

= 1 153 20− − −

= 1617− −

2) นิเสธของ a 5b− = 1617

− − −

= 1617

187

3) 2c – d =1 1

2 2 03 7

− − −

=246

+ 107

=3413

4) นิเสธของ 2c – d =3413

−

=3413

− − −

3. 1) u v+ = a cb d

+

= a cb d+

+

= c ad b+

+

= c ad b

+

= v u+

2) (u v)λ + = a cb d

λ +

= a cb d+

λ +

= a cb d

λ + λ λ + λ

= a cb d

λ λ + λ λ

= a cb d

λ + λ

= u vλ + λ

188

3) ( v)λ µ = cd

λ µ

= cd

µ λ µ

= cd

λµ λµ

= cd

λµ

= ( )vλµ

4) ( )uλ +µ = a( )

b

λ +µ

= a ab b

λ +µ λ +µ

= a ab b

λ µ + λ µ

= a ab b

λ +µ

= u uλ +µ

5) (u v) w+ + = a c eb d f

+ +

= a c eb d f+

+ +

= a c eb d f+ +

+ +

= a c eb d f

+ + +

= a c eb d f

+ +

= u (v w)+ +

189

4. ให u =abc

, v = def

, w = ghi

1) u v+ =abc

+ def

=a db ec f

+ + +

=d ae bf c

+ + +

=def

+ abc

= v u+

2) (u v)λ + =a db ec f

+ λ + +

=a db ec f

λ + λ λ + λ λ + λ

=a db ec f

λ λ λ + λ λ λ

=a db ec f

λ + λ

= u vλ + λ

190

3) ( v)λ µ =def

λ µ

=def

µ λ µ µ

= def

λµ λµ λµ

=d

( ) ef

λµ

= ( )vλµ

4) ( )uλ +µ =a

( ) bc

λ +µ

=a ab bc c

λ +µ λ +µ λ +µ

=abc

λ λ λ

+ abc

µ µ µ

=a ab bc c

λ +µ

= u uλ +µ

191

5) (u v) w+ + =a d gb e hc f i

+ +

=a d gb e hc f i

+ + + +

=a d gb e hc f i

+ + + + + +

=a d gb e hc f i

+ + + +

=a d gb e hc f i

+ +

= u (v w)+ +

จาก 1) – 5)แสดงวา สมบัติในขอ 3 เปนจริงใน 3 มิติ

5. เวกเตอรที่ขนานกันคือ

1) 2 8 6, ,

1 4 3−

− และ 1 2

,2 4

และ 7 8,

0 0

2)1 22 , 41 2

− − −

192

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ข

1. 1) OA = 14

= 1 00 4

+

= 1 01 40 1

+

= i 4 j+

2) OS = 134

−

=1 0 0

1 0 3 1 4 00 0 1

+ −

= i 3j 4k+ −

3) AB = 4 31 2

− − −

= 71− −

= 1 07 ( 1)0 1

− + −

= 7i j− −

4) CD = 1 ( 3)2 4− −

− − = 4

6 −

= 140

– 061

= 4i 6 j−

5) PQ = 3 12 ( 1)6 2

− − − −

= 234

= 1 0 0

2 0 3 1 4 00 0 1

+ +

= 2i 3j 4k+ +

6) MN = 1 01 12 1

− − − − −

= 121

− −

= 1 0 0

1 0 2 1 01 0 1

− − +

= i 2 j k− − +

2. 1) 12

= i 2 j+

i 2 j+ = 2 21 2+ = 5

34

−

= 3i 4 j−

3i 4 j− = 2 23 ( 4)+ − = 9 16+ = 514− −

= i 4 j−

i 4 j− − = 2 2( 1) ( 4)− + − = 1 16+ = 17

32

= 3i 2 j−

3i 2 j+ = 2 23 2+ = 9 4+ = 13

193

2)113

= i j 3k+ +

i j 3k+ + = 2 2 21 1 3+ + = 11

312

−

= 3i j 2k− +

3i j 2k− + = 2 2 23 ( 1) 2+ − + = 9 1 4+ + = 14

401

− −

= 4i k− −

4i k− − = 2 2( 4) ( 1)− + − = 16 1+ = 17

3) AB = 5 17 2−

− = 4

5

= 4i 5j+

4i 5j+ = 2 24 5+ = 16 25+ = 41

4) RS =1 73 45 1

− − − −

=814

− −

= 8i j 4k− +

8i j 4k− − + = 2 2 2( 8) ( 1) 4− + − + = 64 1 16+ + = 81 = 9

3. 1) 1 3x y2 4

+

= 78

2) 1 1x y3 1

− +

= 3

2

x + 3y = 7 --------- (1) x – y = 3 -------- (1) 2x + 4y = 8 --------- (2) 3x + y = 2 -------- (2)

(1) × 2, 2x + 6y = 14 --------- (3) 4x = 5(3) – (2) 2y = 6 x = 5

4

y = 3 y = 74

−

x = –2 ดังนั้น x = 54

, y = 74

−

ดังนั้น x = –2, y = 3

194

3)1 3 1

x 1 y 2 z 13 1 2

+ +

=371

−

x + 3y + z = 3 ----------- (1)x + 2y + z = 7 ----------- (2)3x + y + 2z = –1 ----------- (3)(1) – (2), y = –4(3) – 2 × (2), x – 3y = –15

x – 3(–4) = –15x = –27

∴ z = 3 – (–27) – 3(-4)z = 42

x = –27, y = –4, z = 42

4. 1) u = 21

u = 2 22 1+ = 5

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ u คือ 2115

= 2 1i j5 5

+

2) a =131

− −

a = 2 2 21 ( 3) ( 1)+ − + − = 11

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ a คือ1

1 311 1

− −

= 1 3 1i j k11 11 11

− −

3) AB = 4 15 ( 3)− − − −

= 58−

AB = 2 2( 5) 8− + = 89

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ AB คือ 51889−

= 5 8i j89 89−

+

195

4) QC = 0 13 51 8

− − − −

= 187

− − −

, QC = 2 2 2( 1) ( 8) ( 7)− + − + − = 114

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ QC คือ 1

1 8114 7

− − −

= 1 8 7i j k114 114 114

− − −

5. 1) 8 4i j5 5

+

2) 4 12 4i j k11 11 11

− −

3) 20 32i j89 89

− +

4) 4 32 28i j k114 114 114

− − −

6. ก) PQ =3 25 51 3

− − − −

=104

−

PQ = 2 21 ( 4)+ − = 17

∴ โคไซนแสดงทิศทางของ PQ คือ 1 4, 0,17 17

−

ข) RS =2 ( 1)4 47 ( 2)

− − − − − −

= 389

−

RS = 2 2 23 ( 8) 9+ − + = 154

∴ โคไซนแสดงทิศทางของ RS คือ 3 8 9, ,154 154 154

−

ค) TV =4 ( 3)2 18 0

− − − −

= 718

TV = 2 2 27 1 8+ + = 114∴ โคไซนแสดงทิศทางของ TV คือ 7 1 8, ,

114 114 114

196

7. ก) PQ =2 10 41 3

− − − −

=342

− − −

PQ = 2 2 2( 3) ( 4) ( 2)− + − + − = 29

โคไซนแสดงทิศทางของ PQ คือ 3 4 2, ,29 29 29

− − −

ข) a =342

a = 2 2 23 4 2+ + = 29

โคไซนแสดงทิศทางของ a คือ 3 4 2, ,29 29 29

ค) OP =502

OP = 2 25 2+ = 29

โคไซนแสดงทิศทางของ OP คือ 5 2, 0,29 29

จะไดวา PQ และ a ขนานกัน โดยมีทิศทางตรงกันขาม

เฉลยแบบฝกหัด 3.4

1. 1) u v⋅ = 102) u v⋅ = 53) u v⋅ = 14) u v⋅ = –3

197

2. 1) θ = 02°

2) θ = 902°

3) θ = 902°

4) θ = 132° 20′

3. 1) 102) 403) 224) –4

4. 1) –522) 943) 804) –66

5. 1) มุมแหลม2) มุมฉาก3) มุมปาน

6. 1) เวกเตอรตั้งฉากซึ่งกันและกัน2) เวกเตอรตั้งฉากซึ่งกันและกัน3) เวกเตอรไมตั้งฉากซึ่งกันและกัน4) เวกเตอรไมตั้งฉากซึ่งกันและกัน

7. 1) m = –1, 42) m = 3 10− + , 3 10− −

198

8. ให u = ai b j+

v = ci+d jจะได u v⋅ = ac+ bd

u v+ = (a + c) i + (b + d) j2u = a2 + b2

2v = c2 + d2

จาก 2u v+ = u v u v+ + = 2 2 2 2( (a c) (b d) )( (a c) (b d) )+ + + + + +

= (a + c)2 + (b + d)2

= a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2

= (a2 + b2) + 2(ac + bd) + (c2 + d2) = 2

u + 2u v⋅ + 2v

ดังนั้น 2u v+ = 2 2

u 2u v v+ ⋅ +

และให u = ai b j+

v = ci+diจะได u – v = (a c)i (b d) j− + −

2u = a2 + b2

u v⋅ = ac + bd2v = c2 + d2

จาก u v u v− − = 2 2 2 2( (a c) (b d) ( (a c) (b d)− + − − + −

= a2 – 2ac + c2 + b2 – 2bd + d2

= a2 + b2 – 2(ac + bd) + c2 + d2

= 2 2u 2u v v− ⋅ +

ดังนั้น 2u v− = 2 2

u 2u v v− ⋅ +

199

9. u ตั้งฉากกับ v โดยที่ u 0≠ , v 0≠ ดังนั้น u v⋅ = 02

u v+ = 22u 2u v v+ ⋅ + = 2 2

u v+

10. u ตั้งฉากกับ v โดยที่ u 0≠ , v 0≠ ดังนั้น u v⋅ = 02

u v− = 22u 2u v v− ⋅ +

= 2 2u v+

11. จาก BC = BA + AC2BC = 2( BA AC )+2BC = 2 2BA 2 BA AC AC+ ⋅ ⋅ +

เพราะวา BA ตั้งฉากกับ AC จะได BA⋅AC = 0ดังนั้น a2 = c2 + b2

12. u = 5, v = 3, u v+ = 42( u v )+ = 2 2

u 2u v v+ ⋅ + 16 = 25 + 2u v 9⋅ +

7 = 25 + 2u v⋅2u v⋅ = –18

2( u v )− = 2 2u 2u v v− ⋅ +

= 25 + 18 + 92( u v )− = 52

u v− = 2 13

≈ 2(3.605)≈ 7.21

B

C A

a c

b

200

13. u = w และ u v− = v w+

2( u v )− = 2( v w )+2 2u 2u v v− ⋅ + = 2 2

v 2v w w+ ⋅ +2 2u 2u v v− ⋅ + = 2 2

u 2v w v+ ⋅ +

2u v− ⋅ = 2vw

u v cosθ = v w cos− θ

cos5π = – cos θ

cos( )5π

π− = cos θ

θ = 45π

14. OA = i + 3j , OB = 4i j+

AB = OB – OA= 4i j (i 3j)+ − +

AB = 3i 2 j−

= 9 4+

= 13

OA⋅OB = OA OB cos θ4 + 3 = ( 10)( 17)cosθ

710 17×

= cos θ

0.537 = cos θθ = cos–1(0.537)

A

BDθ

j

i

i 3j+

3i 2 j−

4i j+O

201

จาก cos θ = OD

OA

(0.537)( i + 3 j ) = OD0.537 i + 1.611 j = OD

OD = 2 20.537 1.611+

OD = 1.698จาก 2OA = 2 2OD DA+

10 = 2.883 + 2DA2DA = 7.117

DA = 2.668

พ้ืนที่รูป ∆ OAD = 12

× ฐาน × สูง

= 12

× OD × AD

= 12

× 1.698 × 2.668= 2.265

พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม OAD ประมาณ 2.27 ตารางหนวย

เฉลยแบบฝกหัด 3.5

1. 1) u = 2i 3k+ , v = i + 2 j – k

u v× =i j k2 0 31 2 1−

= 6i 5j 4k− + +

v u× =i j k1 2 12 0 3

− = 6i 5j 4k− −

202

2) u = i j k+ − , v = j

u v× =i j k1 1 10 1 0

− = i 0 j k+ +

v u× =i j k0 1 01 1 1−

= i 0 j k− + −

3) u = 2i 7 j+ , v = 5i 4 j 3k+ −

u v× =i j k2 7 05 4 3−

= 21i 6 j 27k+ −

v u× =i j k5 4 32 7 0

− = 21i 6 j 27k− − +

2. u = 5i 3j 4k− + , v = j k−

1) u v× = i j k5 3 40 1 1

−−

= i 5j 5k− + +

2) u v× = 2 2 2( 1) (5) (5)− + + = 51

3) จาก u = 25 9 16+ + = 50

และ v = 1 1+ = 2

เนื่องจาก u v× = u v sin θ

sin θ = 51100

sin θ = 0.714

203

3. ให u = ai b j ck+ +

v = di e j f k+ +

จงแสดงวา (u v) (u v)− × + = (2u) v×u v− = (a d)i (b e) j (c f )k− + − + −

u v+ = (a d)i (b e) j (c f )k+ + + + +

(u v) (u v)− × + =i j k(a d) (b e) (c f )(a d) (b e) (c f )− − −+ + +

= [(b – e)(c + f) – (b + e)(c – f)] i – [(a – d)(c + f)– (a + d)(c – f)] j + [(a – d)(b + e) – (a + d)(b – e)]k

= [bc + bf – ec – ef – (bc – ef + ec – bf)] i – [ac – dc – df+ af – (ac – df + dc – af)] j + [ab + ae – db – de– (ab – ae + db – de)]k

= 2(bf – ec) i – 2(af – dc) j + 2(ae – db)k

2u v× =i j k2a 2b 2cd e f

= (2bf – 2ec) i – (2af – 2dc) j + (2ae – 2bd)k

∴ จะไดวา (u v) (u v)− × + = 2u v×

4. 1) (u v) r⋅ ⋅ ไมมีความหมายเพราะสเกลารไมสามารถ Dot กับเวกเตอรได2) (u v)r⋅ มีความหมายเปนเวกเตอร3) (u v) r× × มีความหมายเปนเวกเตอร4) (u v) r⋅ × ไมมีความหมายเพราะสเกลารไมสามารถ Cross กับเวกเตอรได5) u (v r)⋅ × มีความหมายเปนสเกลาร

204

5. u = 2i j k− + v = i j 2k− + −

u v⋅ = 2 1 2− − − = 5

u v× =i j k2 1 11 1 2

−− −

= 1 1 2 1 2 1i j k

1 2 1 2 1 1− −

− +− − − −

= i 3j k+ +

เวกเตอรขนาด 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร u v×

คือ 1 (i 3j k)1 9 1

+ ++ +

= 1 (i 3j k)11

+ +

ดังนั้น เวกเตอรขนาด 5 หนวย ที่มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่ประกอบดวย u และ v คือ 5 (i 3j k)

11+ + และ 5 (i 3j k)

11− + +

6. พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน PORS = PO PS×

PO × PS =i j k3 2 00 3 4

−

= 2 0 3 0 3 2i j k

3 4 0 4 0 3− −

− +

PO PS× = 2 2 2( 8) 12 9− + +

= 17พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน PORS เทากับ 17 ตารางหนวย

7. พ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 AB AC2

×

AB = 8 08 22 2

− − − −

= 864

−

= 8i 6 j 4k+ −

AC = 9 012 26 2

− − −

= 9104

= 9i 10j 4k+ +

205

ดังนั้น AB × AC = i j k8 6 49 10 4

−

= 6 4 8 4 8 6i j k

10 4 9 4 9 10− −

− +

= (24 + 40) i – (32 + 36) j + (80 – 54)k = 64i 68j 26k− +

AB AC× = 2 2 264 68 26+ +

= 9396 = 18 29

∴ พ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC คือ 12AB AC× = 1 18 29

2× = 9 29

ตารางหนวย

8. 1) ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตันเทากับ u (v r)⋅ ×

v r× =i j k1 1 00 1 1

= 1 0 1 0 1 1i j k

1 1 0 1 0 1− +

= i j k− +

ดังนั้น u (v r)⋅ × = (i k) (i j k)+ ⋅ − +

= (1)(1) 0( 1) (1)(1)+ − +

= 2 = 2∴ ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตัน เทากับ 2 ลูกบาศกหนวย

206

2) v r× =i j k1 1 11 1 2

−

= 1 1 1 1 1 1i j k

1 2 1 2 1 1− −

− +

= ( 2 1)i (2 1) j (1 1)k− − − − + +

= 3i j 2k− − +

ดังนั้น u (v r)⋅ × = (2i 3j 4k) ( 3i j 2k)+ − ⋅ − − +

= 6 3 8− − − = 17− = 17∴ ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตันเทากับ 17 ลูกบาศกหนวย