บทที่ 3 กําหนดการเชิงเสน

(10 ชั่วโมง)

กําหนดการเชงิเสนเปนวิธีการอยางหนึ่งทีใ่ชในการตัดสนิใจและการแกปญหาที่เกีย่วกับการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยูอยางจํากดั เพื่อใหเกิดประโยชนสูงสุด วิธีการนี้นําไปประยุกตใชในหลาย ๆ ดาน เชน ธุรกิจ อุตสาหกรรม เกษตรกรรม การผลิต และการขนสง เปนตน การแกปญหาโดยวิธีการของกําหนดการเชิงเสน อาศัยความรูทางคณติศาสตรในการสรางแบบจําลองที่ใชสมการและอสมการเชิงเสนเพื่อหาคําตอบ ในการหาคําตอบนัน้สามารถกระทําไดหลายวิธี แตสําหรับในบทนี้จะกลาวถึงเฉพาะกรณทีี่หาคําตอบโดยใชกราฟของสมการและอสมการที่มีสองตัวแปรเทานัน้ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง แกปญหาโดยสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรและใชวิธีการของกําหนดการเชิงเสน ที่ใชกราฟของสมการและอสมการที่มีสองตัวแปรได ผลการเรียนรูที่คาดหวังดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู ชวงชั้นที่ 4 ทางดานความรู และในการจดัการเรียนรูผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/ กระบวนการทางคณติศาสตรดวยการสอดแทรกกจิกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกดิทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแกความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผุล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคดิริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้น กจิกรรมการเรียนรูควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนกัในคุณคาและมีเจตคตทิี่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวนิัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมัน่ในตนเอง สาระการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมเปนสาระการเรียนรูสําหรับการศึกษาตอและอาชีพ ดังนั้นในการจดัการเรียนรูในสาระนี้ ผูสอนควรสงเสริมใหผูเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะห โดยคํานึงถึงความสมเหตุสมผลของขอมูล ดังนั้น ในการสอนแตละสาระผูสอนจําเปนตองศึกษาสาระนั้น ๆ ใหเขาใจถองแทเสียกอนแลวเลือกวิธีสอนใหเหมาะสม เพื่อทําใหการจดัการเรียนรูไดผลดี

180

ขอเสนอแนะ 1. การศึกษาเรื่องกําหนดการเชงิเสนในบทนีเ้ปนการศึกษาขั้นพื้นฐานเทานั้น โดยมีจุดประสงคเพยีงเพื่อใหผูเรียนไดเห็นการประยุกตและประโยชนของคณิตศาสตรในชีวิตจริงบาง เนื้อหาในบทนี้อาศัยความรูพื้นฐานเรื่องสมการ อสมการ และกราฟ ในการแกปญหา ปญหาที ่ใชวิธีการของกําหนดการเชงิเสนในบทนี้จะเนนเฉพาะปญหาที่สามารถนํามาเขียนในรูปสมการและอสมการเชิงเสนสองตัวแปรเทานั้น เพื่อตองการใหผูเรียนเห็นรูปแบบและแนวทางในการแกปญหา ผูสอนควรบอกผูเรียนวา ปญหาในชวีิตจริงอาจมีความซับซอนและมีตัวแปรมากกวาสองตัว อาจเปนหลายรอยตัว ซ่ึงการแกปญหาดังกลาวสามารถใชความรูเร่ืองเมตริกซและคอมพิวเตอรมาชวยหาคําตอบได 2. ประเภทของปญหาที่ใชวิธีการกําหนดการเชิงเสน โดยทัว่ไปไดแกปญหาประเภท ตอไปนี ้ 1) การมอบหมายงาน (assignment) ปญหาการมอบหมายงานนั้นจะเกี่ยวของกับ การจัดคนหรือเครื่องจักร ใหทํางานประเภทตาง ๆ โดยแตละคนและแตละเครื่องจะทํางานเพยีงประเภทเดียวโดยมีจดุประสงคของการกําหนดลักษณะดังกลาวเพื่อใหไดผลดีที่สุดหรือเสียคาใชจายต่ําสุด 2) การผสมอาหาร (blending) ปญหาในเรื่องการผสมอาหารนั้นจะเกีย่วของกับการ หาสวนผสมวตัถุดิบเพื่อใหสอดคลองตามเกณฑตาง ๆ ที่ระบุ วัตถุดิบชนดิหนึ่ง ๆ จะมีคาใชจายใน ระดับหนึ่ง จดุประสงคของการดําเนนิการนี้จึงมักจะเปนการกําหนดวาจะผสมในลักษณะใดเพื่อ ที่จะใหเสียคาใชจายต่ําสดุ หรือใหไดผลดีที่สุดเปนไปตามเกณฑตาง ๆ ที่ตองการดวย 3) การวางแผนดาํเนินการ (planning and scheduling) เนนการตัดสินใจทีจ่ะทํา โครงการตาง ๆ ในอนาคตเพื่อใหเปนไปตามจุดมุงหมายที่ตั้งไวโดยมขีอจํากัดในเรือ่งของระยะเวลา ในการทําโครงการนั้น ๆ โดยใหผลประโยชนสูงสุดหรือเสียคาใชจายต่าํสุด 4) การจัดสรรทรัพยากร (resource allocation) ปญหาการจัดสรรทรัพยากรสวนมากจะมีโครงการที่ตองตัดสินใจตาง ๆ ซ่ึงการดําเนินการของโครงการนี้จะทําใหทรัพยากรลดนอยลง โครงการหนึ่ง ๆ จะสงผลตอจุดประสงคในปริมาณหนึ่งจงึตองการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยางจํากดั ทามกลางโครงการเหลานี้เพือ่ใหไดผลประโยชนทีด่ีที่สุด 5) การขนสง (transportation) ปญหาการขนสงนั้นเปนการขนสงสินคาหรือบริการจากแหลงผลิตไปยังผูบริโภคทั้งหลาย แหลงผลิตแตละแหลงตางก็มีสินคาเปนปริมาณจํากดัและ ผูบริโภคตางก็มีความตองการในระดับที่ตางกัน นอกจากนี้ยงัมีคาใชจายตอหนวยทีแ่ตกตางกันไปในการขนสงสินคาจากแหลงผลิตหนึ่งไปยังผูบริโภคในที่ตาง ๆ ดวย ดังนั้น ปญหาในลักษณะนีจ้ึงเปนการหารูปแบบการขนสนิคาที่จะทําใหคาใชจายรวมต่ําสุด หรือเกดิประโยชนสูงสุด โดยเปนไปตามเงือ่นไขของการผลิตและการบริโภค

181

3. การเรียนการสอนในบทนีแ้บงเปนสองสวนที่สําคัญ สวนแรกคือการเขยีนกราฟของระบบอสมการขอจํากัดเพื่อระบุอาณาบริเวณทีห่าคําตอบได สวนที่สองคือการแปลงสถานการณปญหาใหเปนระบบอสมการและการกําหนดฟงกชันจุดประสงคของปญหา ผูสอนควรใหความสําคัญกับทั้งสองสวน 4. ในเบื้องตน ผูสอนควรตรวจสอบความรูพื้นฐานของผูเรียนในเรื่องสมการและอสมการกอน ทบทวนความรูเร่ืองสมการและอสมการเชิงเสน การหาจดุตัดของเสนตรงสองเสน ตลอดจนการเขียนกราฟของระบบอสมการเชิงเสนเทาทีจ่ําเปน โดยอาจเลอืกใชแนวทางตามหนังสือเรียน ในสวนนี้ ผูสอนอาจใหผูเรียนอานทําความเขาใจเนื้อหาในหนังสือเรียนหนา 181 – 182 เกี่ยวกับการใชจดุทดสอบ (test point) เองดวย 5. แบบฝกหัด 3.2 ขอ 2 ไมไดแสดงจุดตดัของเสนตรงกับแกน X และแกน Y และจุดตัดของเสนตรงที่กําหนดให เพราะมเีจตนาใหผูเรียนไดใชแบบฝกหดันี้ทบทวนการหาจุดตัด ดวยตนเอง ทัง้นี้หากผูสอนประเมินวาผูเรียนมีพื้นฐานเกีย่วกับเรื่องนี้ไมเพียงพอ ผูสอนอาจกําหนดจุดตดัตาง ๆ ในตอนเริ่มตนเพื่อนําผูเรียนใหเขาใจมโนทัศนของอาณาบริเวณที่ถูกปดลอมกอน โดยผูสอนอาจใชชวงเวลาและวิธีการที่เหมาะสมในการทบทวนเรื่องการเขียนกราฟเสนตรงและการหาจุดตัดของเสนตรงเพิ่มเติมใหแกผูเรียน 6. แนวทางการเรยีนการสอนของบทนี้อาจมหีลายแนวทางที่แตกตางกัน แนวทางหนึ่งคือแนวทางตามลําดับเนื้อหาในหนังสือเรียน โดยเริ่มจากการเขียนกราฟ แลวนําเสนอวธีิการแกปญหากําหนดการเชงิเสนผานสถานการณปญหาในตัวอยางที่ 1 (หนา 188 – 193) สวนอีกแนวทางหนึ่ง ที่ผูสอนอาจทําไดคือ เร่ิมตนดวยการใหหาคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของฟงกชันที่กําหนดใหในอาณาบริเวณที่เปนไปได โดยยังไมนําเสนอสถานการณปญหา ผูสอนอธิบายวา คาของ 6x + 7y – 9 คือฟงกชันของ x และ y ซ่ึงสามารถเขียนในรูป f(x, y) = 6x + 7y – 9 สังเกตวา f(x, y) ก็คือ ฟงกชันจุดประสงค นั่นเอง ดังนั้น f(3, 5) คือคาของฟงกชัน f เมื่อ x = 3 และ y = 5 ซ่ึงเทากับ (6)(3) + (7)(5) – 9 = 44 จากนั้นผูสอนอธิบายวา ในบางครัง้เราอาจตองการทราบคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของฟงกชันภายใตเงื่อนไขที่กําหนดให ตัวอยางเชน หาคาสูงสุดและคาต่ําสุดของ f(x, y) = 5x – 3y โดยมีเงือ่นไขตอไปนี้ –x + y ≤ 2 x + y ≤ 6 0 ≤ x ≤ 5 y ≥ 0 เมื่อเขียนกราฟแลว ผูสอนใชแนวทางตามหนังสือเรียนหนา 191 – 193 เพื่อนําไปสูขอสรุปที่วา คาสูงสุดหรือคาต่ําสุดจะอยูที่จุดมุมของรูปหลายเหลีย่มที่ถูกกําหนดโดยเงื่อนไข จากตัวอยางขางตน จุดมุมอยูที่ (0, 0), (0, 2), (2, 4 ), (5, 1) และ (5, 0)

182

f(x, y) = 5x – 3y f(0, 0) = (5)(0) – (3)(0) = 0 f(0, 2) = (5)(0) – (3)(2) = –6 f(2, 4 ) = (5)(2) – (3)(4) = –2 f(5, 1) = (5)(5) – (3)(1) = 22 f(5, 0) = (5)(5) – (3)(0) = 25 ดังนั้น คาสูงสุดและคาต่ําสุดของ f(x, y) คือ 25 และ –6 ตามลําดับ ถาผูสอนจะดําเนินการสอนตามแนวทางที่สองนี้ก็อาจใหผูเรียนฝกตามแนวทางของแบบฝกหัด 3.3 ขอ 1 และขอ 2 กอนจนชาํนาญ แลวจึงคอยนําเขาสูเร่ืองสถานการณปญหาตอไป

7. การสรางระบบอสมการขอจํากัดจากสถานการณปญหา อาจไดตวัเลขที่มีหลายหลัก ซ่ึงทําใหลําบากในการเขียนกราฟ ผูสอนควรอธิบายกับผูเรียนวากอนการเขียนกราฟ อาจลดทอนตัวเลขที่มีหลายหลักใหงายขึ้น การทําเชนนี้ไมไดกระทบตอระบบอสมการขอจํากัดแตอยางใด เชน ระบบอสมการ 1 1x y

5 10+ ≤ 9

800000x + 500000y ≤ 40000000 ลดทอนตัวเลขใหงายขึน้เปน 2x + y ≤ 90 8x + 5y ≤ 400 ผูสอนอาจใหผูเรียนทดลองเขียนกราฟของระบบอสมการทั้งสองแลวตรวจสอบดกูราฟที่ไดวาเหมือนกันหรือไม

8. การสอนใหผูเรียนจําลําดับขัน้ตอนการแกปญหาไปใชไดทันทีไมใชเร่ืองยาก อยางไรก็ตามผูสอนควรพยายามชวยใหผูเรียนเขาใจใหไดวา ทาํไมคําตอบของปญหาจะตองพิจารณาจากจุดยอดของรูปหลายเหลีย่มของอาณาบริเวณของคําตอบที่เปนไปไดเทานั้น

9. ในกรณีที่จุดมมุสองจุดใหคาสูงสุด (หรือต่ําสุด) เชนในแบบฝกหัด 3.3 ขอ 1(2) ผูสอนควรพยายามชี้ใหผูเรียนเขาใจวายังมอีีกหลายจดุที่เปนคําตอบ และคําตอบของปญหาทั้งหมดคือจุดที่อยูบนสวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดมมุทั้งสองจุดนัน่เอง

X

Y x + y = 6 –x + y = 2

(2, 4) (0, 2)

(5, 1) (5, 0) O

x = 5

183

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงแสดงอาณาบริเวณซึ่งถูกกาํหนดดวยระบบอสมการตอไปนี ้ (1) x + 3y ≤ 15 (2) 2x + 3y ≥ 6 4x + y ≤ 16 3x – 2y ≤ 9 x ≥ 0 x + 5y ≤ 20 y ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 2. จงเขียนระบบอสมการซึ่งมีกราฟดังที่กําหนดใหตอไปนี ้ (1) (2) 3. จงหาคาต่ําสุด และสูงสุดของ M ที่สอดคลองตามอสมการขอจํากัดทีก่ําหนดใหตอไปนี ้ (1) M = x + 2y (2) M = 2x + y 3x + 2y ≥ 12 x + 2y ≤ 48 x + 3y ≥ 11 x + y ≤ 30 x ≥ 0 2x + y ≤ 50 y ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0

Y

X

(10, 38) x + 5y = 200

2x + 3y = 134

(0, 40)

(67, 0) O

x + 2y = 19 3x + 2y = 29

(19, 0) (5, 7)

29(0, )

2

Y

X O

184

4. โรงงานไอศกรีมผลิตไอศกรีมสามรส ไดแก รสสตรอเบอรี่ รสช็อกโกแลต และรสวานิลา โดยผลิตไดวันละ 200 ถัง ไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ กําไรถังละ 50 บาท ไอศกรีมรสช็อกโกแลต กําไรถังละ 40 บาท และไอศกรีมรสวานิลา กําไรถังละ 30 บาท ตามปกติความตองการของ ตลาดในแตละวัน ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง และไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายได มากกวาไอศกรีมรสสตรอเบอรี่เสมอ แตโรงงานก็ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดเต็มที่วันละ ไมเกิน 80 ถัง (1) ถาโรงงานผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่และไอศกรีมรสช็อกโกแลตวนัละ x และ y ถัง ตามลําดับ จงเขียนอสมการขอจํากัด (2) ถาโรงงานตองการกําไรสูงสุด จงเขียนฟงกชันจุดประสงค และหากําไรสูงสุด

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. (1) (2)

2. (1) x + 5y ≤ 200 (2) x + 2y ≥ 19 2x + 3y ≤ 134 3x + 2y ≥ 29 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0

3. (1) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ

Y

X

(0, 6)

3x + 2y = 12

(2, 3)

O x + 3y = 11

(11, 0)

Y (0, 5)

(3, 4)

(4, 0) O

x + 3y = 15

4x + y = 16

X

(0, 4) (5, 3)

(3, 0) O

3x – 2y = 9 x + 5y = 20 Y

X 2x + 3y = 6

(0, 2)

185

จากกราฟจะเห็นวา ไมสามารถหาคาสูงสุดของฟงกชันจุดประสงคทีส่อดคลองกับอสมการขอจํากัดได คาต่ําสดุของฟงกชันจุดประสงคหาไดจากการพิจารณาจุดมุม (0, 6), (2, 3) และ (11, 0) เมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจดุประสงค จะไดคา 8 เปนคาต่ําสุดของ M ดังนี ้

(x, y) M = x + 2y (0, 6) (2, 3) (11, 0)

12 8 11

(2) กราฟของอสมการขอจํากัดคือ

จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (0, 0), (0, 24), (12, 18 ), (20, 10) และ (25, 0)

เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา M ดังนี ้

(x, y) M = 2x + y (0, 0) (0, 24) (12, 18) (20, 10) (25, 0)

0 24 42 50 50

คาต่ําสุดของ M คือ 0 เมื่อ x = 0 และ y = 0 ทุกจุด (x, y) บนเสนตรง 2x + y = 50 เมื่อ x ∈ (20, 25) ใหคาสูงสุดของ M เทากับ 50

Y

X

x + 2y = 48

(12, 18)

2x + y = 50

(0, 24)

(20, 10)

O (25, 0)

x + y = 30

186

4. (1) อสมการขอจํากัด คือ 200 – x – y ≤ 60 (ไอศกรีมรสวานิลาขายไดไมเกิน 60 ถัง )

y ≥ x (ไอศกรีมรสช็อกโกแลตขายไดมากกวารสสตรอเบอรี่) y ≤ 80 (ผลิตไอศกรีมช็อกโกแลตไดไมเกนิ 80 ถังตอวัน) (2) ฟงกชันจุดประสงค คือ P = 50x + 40y + 30(200 – x – y ) = 6000 + 20x + 10y กราฟของอสมการขอจํากดัคือ

จุดมุมที่ไดจากอสมการขางตนคือ (60, 80), (70, 70) และ (80, 80)

เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) P = 6000 + 20x + 10y (60, 80) (70, 70) (80, 80)

8000 8100 8400

จุดมุม (80, 80 ) ใหคา P สูงสุด

ดังนั้น โรงงานควรผลิตไอศกรีมรสสตรอเบอรี่ 80 ถัง ไอศกรีมรสช็อกโกแลต 80 ถัง และไอศกรีมรสวานิลา 200 – 80 – 80 = 40 ถัง ซ่ึงจะไดกําไรวนัละ 8400 บาท

(60, 80) (80, 80) (70, 70)

140

120

100

80

60

40

20

20 40 60 80 100 120 140 O

Y

X

x = y

y = 80

200 – x – y = 60 หรือ y = –x + 140

187

เฉลยแบบฝกหัด 3.1

1. (1, 1) อยูในกราฟของอสมการ 2x + y > 2 (–1, 3), 1 1( , )

4 2 อยูในกราฟของอสมการ 2x + y < 2

(2, –2) อยูบนเสนตรงซึ่งเปนกราฟของ 2x + y = 2

2. (1) x < 2 (2) y > 3 (3) y ≤ 3 (4) x ≥ –1 (5) 2x + 2y < 4 (6) y + 2x > 2 (7) 3y – x ≤ 6 (8) x ≤ 2y – 2

X

Y x = 2

X

Y

y = 3 O O

X

Y

y = 3

O X

Y x = –1

O

X

Y

(0, 2)

O (2, 0) X

Y

(1, 0) O

(0, 2)

X

Y

(–6, 0) O

(0, 2) X

Y

O (–2, 0) (0, 1)

188

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) ไมมีบริเวณทีซ่อนทับกันของ อสมการ 0 ≤ x ≤ 2 และ y ≥ 0 และ 2x – 3y ≥ 12 2. (1) 2x + y ≤ 4 (2) x – y ≥ 1 x ≥ 0 x + 2y ≤ 6 y ≥ 0 y ≥ 0 (3) 2x + y ≤ 10 (4) 4x + y ≤ 16 4x – y ≤ 8 x + 3y ≤ 15 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 (5) 3x + 2y ≥ 12 (6) 3x + y ≥ 180 x + 3y ≥ 11 x + y ≥ 100 x ≥ 0 2x + 5y ≥ 260 y ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0

X

Y x = 1

O

x = –1

X

Y

O

y = 2

X

Y

O

x = y

(0, 1) 3 3( , )4 4

(3, 0) x + 3y = 3

X

Y

O

y – 2x = 2

(0, 2)

(–1, 0) X

Y

O

(0, 1) (1, 0)

y = –2

x + y = 1

189

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 1. (1) P = 5x + 3y 2x + 4y ≤ 80 5x + 2y ≤ 80 x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 20), (10, 15) และ (16, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 5x 3y P = 5x + 3y (0, 0) (0, 20) (10, 15) (16, 0)

0 0 50 80

0 60 45 0

0 60 95 80

ดังนั้น จดุมุม (10, 15) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 95 เมื่อ x = 10 และ y = 15

Y

X O

(0, 40) 5x + 2y = 80

(10, 15)

(40, 0)

2x + 4y = 80

(16, 0)

(0, 20)

190

(2) P = 15x + 10y 3x + 2y ≤ 80 2x + 3y ≤ 70 x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 123

3), (20, 10) และ ( 226

3, 0)

เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 15x 10y P = 15x +10y (0, 0) 0 0 0

(0, 1233

) 0 233.33 233.33

(20, 10) 300 100 400 ( 226

3, 0) 400 0 400

ดังนั้น จดุมุม (20, 10) หรือ ( 226

3, 0) จะใหคา P เทากันคือ 400

นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 400 เมื่อ x = 20 และ y = 10 หรือ x = 2263

และ y = 0 แตสังเกตวา เสนตรงที่ผานจดุ (20, 10) และจุด ( 2263

, 0) คือ สมการ 3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400 แสดงวายงัมีอีกหลายจดุที่เปนคําตอบ

Y

X

3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400 (0, 40)

2x + 3y = 70 (20, 10)

(35, 0)

(0, 1233

)

2(26 , 0)3

O

191

(3) P = 35x1 – 25x2 2x1 + 3x2 ≤ 15 3x1 + x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 5), (3, 3) และ (4, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x1, x2) 35x1 25x2 P = 35x1 – 25x2 (0, 0) 0 0 0 (0, 5) 0 125 –125 (3, 3) 105 75 30 (4, 0) 140 0 140

ดังนั้น จดุมุม (4, 0) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 140 เมื่อ x1 = 4 และ x2 = 0

X1

X2

3x1 + x2 = 12

2x1 + 3x2 = 15

(0, 12)

(0, 5)

O

(3, 3)

( 152

, 0) (4, 0)

192

(4) P = 2x + 3y x + y ≥ 4 5x + 2y ≤ 25 x ≤ 4 y ≤ 5 x ≥ 0 y ≥ 0

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 4), (0, 5), (3, 5), (4, 5

2) และ (4, 0)

เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 2x 3y P = 2x + 3y (0, 4) 0 12 12 (0, 5) 0 15 15 (3, 5) 6 15 21

(4, 52

) 8 7.5 15.5

(4, 0) 8 0 8

ดังนั้น จดุมุม (3, 5) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 21 เมื่อ x = 3 และ y = 5

X

Y 25(0, )2 5x + 2y = 25

y = 5

x = 4

(0, 4)

x + y = 4

(0, 5) (3, 5)

(5, 0) (4, 0)

(4, 52

)

O

193

(5) P = 100x + 80y x + 2y ≤ 800 3x + 2y ≤ 1200 x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 400), (200, 300), (400, 0), และ (0, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 100x 80y P = 100x + 80y (0, 0) 0 0 0

(0, 400) 0 32000 32000 (200, 300) 20000 24000 44000 (400, 0) 40000 0 40000

ดังนั้น จดุมุม (200, 300) ใหคา P สูงสุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 44000 เมื่อ x = 200 และ y = 300

X

Y

(0, 600) 3x + 2y = 1200

(0, 400) x + 2y = 800 (200, 300)

(800, 0) (400, 0) O

194

(6) P = 300x + 200y 6x + 6y ≤ 420 3x + 6y ≤ 300 4x + 2y ≤ 240 x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 50), (40, 30), (50, 20), (60, 0) และ (0, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 300x 200y P = 300x + 200y (0, 0) 0 0 0 (0, 50) 0 10000 10000 (40, 30) 12000 6000 18000 (50, 20) 15000 4000 19000 (60, 0) 18000 0 18000

ดังนั้น จดุมุม (50, 20) ใหคา P สูงสุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 19000 เมื่อ x = 50 และ y = 20

X

Y

(60, 0) O

(0, 50)

4x + 2y = 240

6x + 6y = 420

3x+ 6y = 300

(40, 30) (50, 20)

(0, 120)

(0, 70)

(70, 0) (100, 0)

195

2. (1) C = 9x + 15y 3x + 4y ≥ 25 x + 3y ≥ 15 x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 25

4), (3, 4) และ (15, 0)

เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้

(x, y) 9x 15y C = 9x + 15y (0, 25

4) 0 93.75 93.75

(3, 4) 27 60 87 (15, 0) 135 0 135

ดังนั้น จดุมุม (3, 4) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 87 เมื่อ x = 3 และ y = 4

X

Y

O

3x + 4y = 25

x + 3y = 15 (3, 4)

(15, 0) 25( , 0)3

25(0, )4

(0, 5)

196

(2) C = 28x1 + 35x2 2x1 + x2 ≥ 110 2x1 + 3x2 ≥ 170 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 110), (40, 30) และ (85, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้

(x1, x2) 28x1 35x2 C = 28x1 + 35x2 (0, 110) 0 3850 3850 (40, 30) 1120 1050 2170 (85, 0) 2380 0 2380

ดังนั้น จดุมุม (40, 30) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 2170 เมื่อ x1 = 40 และ x2 = 30

X1

X2

O

2x1 + x2 = 110

2x1 + 3x2 = 170

(85, 0) (40, 30)

(55, 0)

170(0, )3

(0, 110)

197

(3) C = 40000y1 + 32000y2 6y1 + 2y2 ≥ 12 2y1 + 2y2 ≥ 8 4y1 + 12y2 ≥ 24 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 6), (1, 3), (3, 1) และ (6, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้

(y1, y2) 40000y1 32000y2 C = 40000y1 + 32000y2 (0, 6) 0 192000 192000 (1, 3) 40000 96000 136000 (3, 1) 120000 32000 152000 (6, 0) 240000 0 240000

ดังนั้น จดุมุม (1, 3) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 136000 เมื่อ y1 = 1 และ y2 = 3

Y1

Y2

O

(0, 6) 6y1 + 2y2 = 12

(1, 3)

(3, 1)

(6, 0) (2, 0)

(0, 2) 4y1 + 12y2 = 24

2y1 + 2y2 = 8 (0, 4)

(4, 0)

198

3. (1) 160000x + 80000y ≤ 2720000 (เงินลงทุนซื้อเครื่องจักร) 90x + 54y ≤ 1620 (พื้นที่สําหรับวางเครื่องจักร) หรือ 2x + y ≤ 34 5x + 3y ≤ 90 (2) รายไดตอวัน P = 7500x + 4200y

(x, y) 7500x 4200x P = 7500x + 4200y (0, 0) (0, 30) (12, 10) (17, 0)

0 0

90000 127500

0 126000 42000

0

0 126000 132000 127500

โรงงานนี้ควรซื้อเครื่องจักรชนิด A และเครื่องจักรชนิด B อยางละ 12 เครื่อง และ 10 เครื่อง ตามลําดับ รายไดตอวันสงูสุดคือ 132000 บาท

Y

X O

2x + y = 34

5x + 3y = 90

(0, 30)

(17, 0)

(12, 10)

(0, 34)

(18, 0)

199

4. (1) x + y ≤ 10 (จํานวนพนักงาน) 10x + 30y ≤ 180 (เวลาที่ใชในการจัดกลองขึ้นรถ) หรือ x + y ≤ 10 x + 3y ≤ 18 (2) จํานวนกลองที่ขนสงไดตอวัน P = 30x + 70y

(x, y) 30x 70y P = 30x + 70y (0, 0) (0, 6) (6, 4) (10, 0)

0 0

180 300

0 420 280 0

0 420 460 300

บริษัทควรใชรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญอยางละ 6 คัน และ 4 คัน ตามลําดับ จึงจะขนสงผลิตภัณฑใหไดจาํนวนกลองมากที่สุด

X

Y

O

x + y = 10

x + 3y = 18 (6, 4) (0, 6)

(10, 0)

(0, 10)

(18, 0)

200

5. (1) 1 1x y5 10

+ ≤ 9 (เนื้อที่โครงการ) 800000x + 500000y ≤ 40000000 (เงินทุนสรางบานทั้งสองแบบ) หรือ 2x + y ≤ 90 8x + 5y ≤ 400 (2) กําไร P = 100000x + 70000y

(x, y) 100000x 70000y P = 100000x + 70000y (0, 0) (0, 80) (25, 40) (45, 0)

0 0

2500000 4500000

0 5600000 2800000

0

0 5600000 5300000 4500000

เจาของโครงการหมูบานจัดสรรควรตัดสินใจสรางทาวนเฮาสอยางเดยีว จํานวน 80 หลัง จึงจะไดผลกําไรสูงสุด ผลกําไรสูงสุดคือ 5,600,000 บาท

X

Y

(0, 80)

(25, 40)

O (45, 0)

2x + y = 90

8x + 5y = 400

(0, 90)

(50, 0)

201

6. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนเกาอี้ขาสั้นที่ผลิตในแตละวนั และ y เปนจํานวนเกาอี้ขายาวที่ผลิตในแตละวนั จะเขยีนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี ้ P = 30x + 50y และ x + 2y ≤ 8 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นตน) 2x + 2y ≤ 10 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นที่สอง) x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที ่x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจาํนวนจริงไดดงัรูป จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 4), (2, 3) และ (5, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้

(x, y) 30x 50y P = 30x + 50y (0, 0) (0, 4) (2, 3) (5, 0)

0 0 60 150

0 200 150 0

0 200 210 150

จุดมุม (2, 3) ใหคา P มากทีสุ่ด ดังนั้น ในแตละวันถาใหไดกําไรมากที่สุดควรจะผลิตเกาอี้ขาสั้น จํานวน 2 ตวั และเกาอี ้ ขายาว จํานวน 3 ตัว และจะไดกําไร 210 บาท

X

Y

O

2x + 2y = 10

x + 2y = 8

(5, 0)

(0, 4) (2, 3)

(0, 5)

(8, 0)

202

7. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนจอภาพธรรมดาทีค่วรผลิตตอสัปดาห และ y เปนจํานวนจอภาพแบนที่ควรผลิตตอสัปดาห จะเขยีนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี ้ P = 1800x + 2200y และ x + y ≤ 300 (จํานวนจอภาพทั้งสองชนิดที่ผลิต) 3600x + 5400y ≤ 1,296,000 (ตนทุนการผลิต) x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที ่x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจาํนวนจริงไดดงัรูป จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 240), (180, 120) และ (300, 0) และเมื่อแทนคาพิกัดของจดุมมุขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี ้

(x, y) 1800x 2200y P = 1800x + 2200y (0, 0)

(0, 240) (180, 120) (300, 0)

0 0

324,000 540,000

0 528,000 264,000

0

0 528,000 588,000 540,000

จุดมุม (180, 120) ใหคา P มากที่สุด ดังนั้น ในแตละสัปดาหควรจะผลิตจอภาพธรรมดา จํานวน 180 ช้ิน และจอภาพแบนจํานวน 120 ช้ิน จึงไดกําไรมากที่สุดคือไดกําไร 588,000 บาท

Y

X

(180, 120)

x + y = 300

3600x + 5400y = 1296000

O

(0, 240)

(300, 0)

(0, 300)

(360, 0)

203

8. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนชดุกลางวันที่ควรจะตัด y เปนจํานวนชดุราตรีที่ควรจะตัด จะเขยีนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี ้ P = 300x + 500y และ 2x + y ≤ 16 (ผาสีพื้นที่ตองใช) x + 3y ≤ 15 (ผาลายดอกทีต่องใช) x + 2y ≤ 11 (ผาลูกไมที่ตองใช) x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที ่x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจาํนวนจริงไดดงัรูป

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 5), (3, 4), (7, 2) และ (8, 0) และเมื่อแทนคาพิกัดของจดุมมุขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี ้

(x, y) 300x 500y P = 300x + 500y (0, 0) (0, 5) (3, 4) (7, 2) (8, 0)

0 0

900 2100 2400

0 2500 2000 1000

0

0 2500 2900 3100 2400

จุดมุม (7, 2) ใหคา P มากทีสุ่ด ดังนั้น ชางตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวัน 7 ชุด และชุดราตรี 2 ชุด จึงจะไดกําไรมากที่สุด คือมีกําไร 3,100 บาท

Y

X O

2x + y = 16

x + 2y = 11 x + 3y = 15

(7, 2)

(8, 0) (11, 0)

(0, 5)

11(0, )2

(3, 4)

(0, 16)

(15, 0)

204

9. ให C แทนคาแรงทีต่องจายใหคนงาน 2 คน x แทนจํานวนชัว่โมงในการทํางานของคนงานคนแรก และ y แทนจํานวนชัว่โมงในการทํางานของคนงานคนที่สอง จะเขยีนฟงกชันจุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี ้ C = 25x + 22y และ x + y ≥ 5 (จํานวนตู) 3x + 2y ≥ 12 (จํานวนโตะ) 3x + 6y ≥ 18 (จํานวนชั้นวางหนังสือ) x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที ่ x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจาํนวนจริงไดดงัรูป จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 6), (2, 3), (4, 1) และ (6, 0) เมื่อแทนคาพกิดัของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา C ดังนี้

(x, y) 25x 22y C = 25x + 22y (0, 6) (2, 3) (4, 1) (6, 0)

0 50 100 150

132 66 22 0

132 116 122 150

จุดมุม (2, 3) ใหคา C ต่ําที่สุด ดังนั้น ถาตองการใหเสยีคาแรงนอยที่สุดเขาควรจะจางคนงานคนที่หนึง่ทํางาน 2 ช่ัวโมง และจางคนงานคนที่สองทํางาน 3 ช่ัวโมง

X

Y

3x + 2y = 12

x + y = 5

(2, 3)

3x + 6y = 18 (4, 1)

(6, 0)

(0, 3)

(0, 5)

(0, 6)

O (4, 0) (5, 0)