Primeira Lista de Exercıcios

Algebra Linear Aplicada

Prof. Flausino Lucas

Questao 1. De dois exemplos de cada tipo de ma-triz descrito a seguir:

a) Matriz Quadrada.

b) Matriz Nula nao Quadrada.

c) Matriz Coluna.

d) Matriz Linha.

e) Matriz Diagonal.

f) Matriz Identidade.

g) Matriz Triangular Superior.

h) Matriz Triangular Inferior.

Questao 2. Construa as matrizes descritas pelasregras abaixo:

a) A2×3 = (aij) onde

aij =

{

1, se i = j2, se i 6= j

b) B5×2 = (bij) onde

bij =

{

1, se i = jij, se i 6= j

c) C4×3 = (cij) onde

cij =

2j − i, se i > j2j + i, se i < j0, se i = j

d) D3×3 = (dij) onde dij =√i+ j

e) E4×4 = (eij) onde eij e o resto inteiro da divisaode j por i.

f) F4×2 = (fij) onde fij e o resto inteiro da divisaode i por j.

Questao 3. Considere a matriz A do tipo 4 × 5onde o elemento aij dessa matriz e obtido pela se-guinte expressao 3i + 3j. Qual das opcoes abaixorepresenta o valor da soma dos elementos a31 e a33dessa matriz?(A) 40(B) 30(C) 20(D) 24(E) 26

Questao 4. A matriz A2×2 e tal que aij = 2i+3j.qual a soma dos elementos dessa matriz?

Questao 5. Considere A e B duas matrizes de or-dem 2 × 2 e 2 × 1, respectivamente. E possıvelafirmar de modo verdadeiro que:(A) a matriz resultado do produto de A ·B sera

a mesma de B ·A.(B) a matriz resultado da soma A + B sera a

mesma de B + A.(C) e possıvel calcular a adicao dessas matrizes.(D) e possıvel calcular a diferenca dessas matri-

zes.(E) e possıvel calcular o produto dessas matrizes.

Questao 6. Determine valores de a e b de modoque as matrizes:

A =

[

a+ b a− b1 3

]

e

B =

[

3 −11 3

]

sejam iguais

Questao 7. Dar solucao para a igualdade de ma-trizes:

[

2x+ 4 6 + 4y2x+ 4z 2y − 1

]

=

[

6 1414 3

]

Questao 8. Dadas as matrizes:

A =

[

2 0 1−2 1 3

]

B =

[

−2 0 11 1 2

]

1

C =

[

1 0 13 1 0

]

Determine:

a) A+B

b) A− 2B

c) A−B

d) 3A− 2B + C

e) A ·Bt

f) B · Ct

g) A · (Bt · C)

h) (A ·Bt) · C

Questao 9. Efetue as seguintes multiplicacoes:

a)

[

0 1 2]

·

123

b)

1 1 10 1 12 1 1

·

1 −1 12 0 23 −1 1

c)[

3 22 3

]

·[

1/2 −25 3/4

]

d)

1/2 −1/2 12 3/4 23 −1/3 1

·

·

0 −2 1 − 7

3

1

82

3−2 2 1

42

3 −1 1

23 0

Questao 10. Considere as matrizes:

A =

[

0 0−2 x

]

B =

[

1 x0 2x

]

C = A ·B =

[

0 0−2 4

]

Nesse caso, o conjunto de valores possıveis para xsera:(A) {−1,−2}(B) {−1, 2}(C) {1,−2}(D) {1, 2}(E) {2}

Questao 11. Uma empresa monta diferentes cai-xas de bombons, com diferentes proporcoes de tiposde bombons, conforme a tabela A:

A tabela B abaixo indica os precos de cada bom-bom em 2009, 2010 e 2011. Os precos das caixasrefletem exatamente os precos dos bombons indivi-duais.

Chamamos de A a matriz 3 × 3 com as quanti-dades definidas na tabela A, e de B a matriz 3× 3dos precos definidos na tabela B. Sendo C = A ·B,o preco da Caixa 3 em 2010 e obtido por meio doseguinte elemento de C:(A) c32 = 27, 30(B) c32 = 25, 40(C) c23 = 27, 30(D) c23 = 25, 40(E) c33 = 35, 60

Questao 12. Um restaurante, no centro da cidade,oferece tres tipos de refeicoes (A, B e C), cada uma

2

com uma composicao diferente entre arroz, saladae carne. A matriz a seguir representa o custo dasporcoes de arroz, salada e carne servidas neste res-taurante:

Essa outra matriz indica o numero de porcoes dearroz, salada e carne servidas em cada prato:

A partir dessas informacoes, podemos considerara matriz linha U, com os custos de cada porcao, ea matriz quadrada Q, com as quantidades de cadaporcao em cada refeicao. A partir do produto de Qe U, e possıvel obter a matriz que fornece o custodas refeicoes A, B e C. A transposta dessa matrize:

a)[

12 13 15]

b)

121514

c)

121315

d)[

12 15 14]

e)[

12 15 17]

Questao 13. Diga se as afirmacoes abaixo a res-peito de matrizes sao verdadeiras ou falsas. Se ver-dadeira, prove. Caso contrario, exiba um contra-exemplo:

a) Se A ·B = 0 entao A = 0 ou B = 0.

b) Se In e a matriz identidade n × n, entao, to-mando qualquer matriz An×m, temos que I ·A =A.

c) Se In e a matriz identidade n × n, entao, to-mando qualquer matriz An×m, temos que A·I =A.

d) A = At.

e) (A ·B)t = At ·Bt.

f) At ·B = Bt ·A.

g) Se A e uma matriz n×n e A2 = 0, entao A = 0.

h) Se A e uma matriz n×n e A2 = I, entao A = I

i) A · B = B · A para quaisquer matrizes A,B dotipo n× n.

j) Se A·B = B ·A, entao (A+B)2 = A2+2AB+B2

k) Se An×n e uma matriz diagonal, entao At

tambem e diagonal.

l) Se An×n e uma matriz triangular superior, entaoAt e triangular inferior.

m) Se A,B,C sao matrizes n × n tais que A · B =A · C entao B = C.

Questao 14. Uma matriz 2× 2 e chamada matriz

de rotacao de angulo θ se

Rθ =

[

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]

Mostre que:

a) R0 = I2

b) Rπ = −I2

c) Rtθ = R−θ

d) R2

θ = 2Rθ

e) Rθ ·Rtθ = I2

Questao 15. O traco de uma matriz An×n e defi-nido como a soma dos elementos da diagonal prin-cipal, ou seja, se

A =

a11 ... a1n... ... ...an1 ... ann

n×n

3

Entao tr(A) = a11 + ... + ann =∑n

i=1aii. Mostre

que:

a) tr(A) = tr(At)

b) tr(k ·A) = k · tr(A), onde k ∈ R

c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B), sendo A,B do tipon× n.

d) tr(A ·B) = tr(B ·A), sendo A,B do tipo 2× 2.

Questao 16. Mostre que, se tr(A · At) = 0, entaoA = 0.

Questao 17. Mostre que nao ha matrizes A,B am-bas 2× 2 tais que:

AB −BA =

[

1 00 1

]

Questao 18. Uma matriz An×n e dita anti-

simetrica se At = −A, ou seja aij = −aji. Mostreque toda matriz anti-simetrica tem traco nulo.

Questao 19. Mostre que se A e anti-simetrica,entao Ak e anti-simetrica para todo inteiro posi-tivo ımpar k. Encontre contra-exemplo de que estaafirmativa nao vale quando k e par.

Questao 20. Uma matriz An×n e dita simetrica

se At = A, ou seja aij = aji. Verifique que umamatriz que e ao mesmo tempo simetrica e anti-simetrica so pode ser a matriz nula.

Questao 21. Mostre que toda matriz triangularsuperior (ou inferior) simetrica e diagonal.

Questao 22. Uma matriz quadrada An×n e cha-mada idempotente se A2 = A.

a) Verifique que In e 0 sao idempotentes.

b) Encontre uma matriz idempotente diferente deIn e 0.

c) Mostre que a unica matriz idempotente in-vertıvel n× n e In.

Questao 23. Uma matriz quadrada An×n e cha-mada nilpotente se Ak = 0, para algum inteiro po-sitivo k.

a) Mostre que toda matriz nilpotente e singular.

b) Verifique que

A =

0 1 10 0 10 0 0

e nilpotente.

c) Se A e nilpotente, mostre que (In − A) e in-vertıvel.

Sugestao: Encontre (In − A)−1 nos casos emque Ak = 0, k = 1, 2, ... e verifique o padrao.

Questao 24. Sejam A,B matrizes n× n idempo-tentes

a) Mostre que, se A e B comutam (AB = BA),entao AB e idempotente.

b) Verifique que AB nem sempre e idempo-tente caso A e B nao comutem.(exiba contra-exemplo)

c) Mostre que, se A e idempotente, entao At eidempotente.

d) A+B e idempotente? justifique sua resposta.

e) Encontre todos os valores de k para que kAtambem seja idempotente.

Questao 25 (Matriz de Cambio). No dia 28 defevereiro de 2014, a cotacao do dolar no Brasil foiR$2,35 e do euro R$ 3,22. As 12 horas desse dia,Pedro dispunha dos seguintes valores: 10.000 reais,5.000 dolares, 2.000 euros.

a) Construa uma matriz de conversao de moedaspara este problema.

b) Desenhe um mecanismo matricial que permitasaber, em cada moeda, o valor das reservas to-tais de Pedro.

c) Quais os valores, convertidos em cada moeda?

Questao 26. No dia 28 de fevereiro de 2014, acotacao do dolar no Brasil foi R$2,35, do euro R$3,22 e do peso argentino R$ 0,30 . Considere trespequenos investidores que dispunham, as 12 horasdesse dia dos seguintes valores:Investidor 1: 10.000 reais, 5.000 dolares, 2.000

euros, 15.000 pesos.

4

Investidor 2: 8.000 reais, 6.000 dolares, 1.000 eu-ros, 18.000 pesosInvestidor 3: 2.500 reais, 5.000 dolares, 4.500 eu-

ros, 7300 pesos.

a) Construa uma matriz de conversao de moedaspara este problema.

b) Desenhe um mecanismo matricial que permitasaber o valor que cada investidor tem em cadauma das moedas.

c) Qual deles e o que detem mais capital?

Questao 27. No dia 08 de marco de 2013, acotacao do dolar no Brasil foi R$1,95, do euro R$2,55 e do libra R$ 2,92 . Considere dois pequenosinvestidores que dispunham, as 15 horas desse diados seguintes valores:Investidor 1: 3000 reais, 2000 dolares, 850 euros,

400 libras.Investidor 2: 1000 reais, 1700 dolares, 675 euros,

380 libras.

a) Construa uma matriz de conversao de moedaspara este problema.

b) Desenhe um mecanismo matricial que permitasaber o valor que cada investidor tem em cadauma das moedas.

c) Qual deles e o que detem mais capital?

5

Respostas ou Sugest~oes

As respostas sao para os exercıcios objetivos.Exercıcios teoricos de demonstracao nao apresen-tam resolucao.

Questao 2

a)

A =

[

1 2 22 1 2

]

b)

B =

1 1/22 13 3/24 25 5/2

c)

C =

0 5 70 0 8−1 1 0−2 0 2

d)

D =

√2

√3 2√

3 2√5

2√5

√6

e)

E =

0 0 0 01 0 1 01 2 0 11 2 3 0

f)

F =

0 10 00 10 0

Questao 3 (B) 30Questao 4 30Questao 5 (E) e possıvel calcular o produto des-

sas matrizes.Questao 6 a = 1, b = 2.Questao 7 x = 1, y = 2, z = 3Questao 8

a)

[

0 0 2−1 2 5

]

b)

[

6 0 −1−4 −1 −1

]

c)

[

4 0 0−3 0 1

]

d)

[

11 0 2−5 2 5

]

e)

[

−3 47 5

]

f)

[

−1 −63 4

]

g)

[

9 4 −322 5 7

]

h)

[

9 4 −322 5 7

]

Questao 9

a) 8

b)

6 −2 45 −1 37 −3 5

c)

[

23/2 15/216 25/4

]

d)

8/3 −1 0 41/24 −15/1613/2 −15/2 9/2 72/48 7/425/9 −19/3 17/6 −49/12 −7/24

Questao 10 (B) {−1, 2}Questao 11 (A) c32 = 27, 30Questao 12 (D)Questao 25

a) A matriz de conversao e:

1, 00 2, 35 3, 220, 43 1, 00 1, 370, 31 0, 73 1, 00

b) O mecanismo consiste no produto:

1, 00 2, 35 3, 220, 43 1, 00 1, 370, 31 0, 73 1, 00

·

1000050002000

c) Em reais, ele possui R$ 28190,00. Em dolares,US$ 12040,00. Em euros, $ 8750,00.

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