Álgebra Árabe

Expansión musulmana

APORTES• El álgebra, como teoría unificadora de los

números racionales, irracionales, etc. Que fuesen tratados como “objetos algebraicos”

• Sistema (actual) de numeración. Posicional, de base 10 o decimal, incluido un digito nulo el cero.

• Ecuaciones lineal, cuadráticas y cubicas.• Los términos: ÁLGEBRA, ALGORITMO• Que la incógnita “cosa” se la llame X

Principales exponentesAl – Khawarizmi (780-850) Fibonacci (1170 - 1250)

Al - Khawarizmi• Nació en Khawarism,

situada en la ruta de la seda.

• En 820 fue llamado por el califa Al Mamun, a quien le dedicó sus tratados de álgebra y astronomía.

• Matemático, astrónomo y geógrafo musulmán

• Se educó y trabajó en la Casa de la Sabiduría de Bagdad, en un ambiente científico y multicultural

• Difundió en el mundo árabe, las cifras hindúes y el uso del cero.

Sus obras más importantes• Álgebra: “El arte de

resolver ecuaciones”• Aritmética: “Libro de la

suma y de la resta según el calculo indio”

• Astronomía• Geografía: revisó y corrigió

a Ptolomeo (referente a África y al Oriente)

DATOS CURIOSOS• El origen del término algoritmo se encuentra en su nombre Al-Khwarizmi

• El término álgebra proviene del titulo del libro

“Al-jabr w´al-muqabalah”, que significa ciencia de la trasposición y de la simplificación.

Primer hoja del libro de “ÁLGEBRA”

Leonardo de Pisa (Fibonacci)• Nació en Pisa• Educado en Argelia, donde aprendió el sistema de numeración árabe.• Reunió material, al cual le dio un orden, método y claridad.• Fue huésped del emperador Federico II, en 1240, le conceden un

salario permanente

Sus obras más importantes• 1220 - “Liber abaci”• 1228 – Ampliación del anterior• “Práctica de la geometría”• “Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al

número y a la geometría” • Carta a Teodoro (resolución de dos problemas)• “El libro de los Números Cuadrados”

DATOS CURIOSOS• El apodo de su padre era

Bonacci (simple o bien intencionado)

• Leonardo recibe el apodo de FIBONACCI (por filius Bonacci, hijo de Bonacci)

A él se lo relaciona más con la sucesión y series, pero fue quien difundió el sistema de numeración indo - arábigo en Europa

La serie de Fibonacci se acerca al número F

Omar Khayyám • Nació en Nishapur. Allí y en

la ciudad de Balj recibió una sólida educación en los temas de las ciencias y filosofía.

• En 1070, se trasladó a Samarcanda, donde completó su ”Tesis sobre Demostraciones de Álgebra y Comparación”.

• Construyó el observatorio astronómico situado en Marv (Turkmenistán).

Sus obras más importantes• Compilación de tablas astronómicas y particularmente, la

corrección del antiguo calendario zaratustrano.• Primer procedimiento de solución de las ecuaciones

cuadráticas y cúbicas a partir de las secciones cónicas• Usó la trigonometría y la teoría de la aproximación para la

resolución de ecuaciones algebraicas por medios geométricos.

• Fue el primero que describió el desarrollo de la potencia de un binomio con exponente natural.

DATOS CURIOSOS• La incógnita X se debe a la traducción de la palabra shay o xay

(cosa) • A un asteroide, descubierto en 1980, se le dio el nombre de "(3095)

Omar Khayyam".• En su honor se puso su nombre a un importante cráter de la Luna

Los progresos del álgebra

-incluyen la resolución, de Las ecuaciones cúbica y cuártica e innovaciones en el simbolismo-El estudio y resolución de las ecuaciones de tercero y de cuarto grados se llevan a cabo en la primera mitad del sigloXVI en el seno de algebristas italianos

RESOLUCION DE ECUACION CUBICA

•  

Niccolò Fontana Tartaglia(1499-1557)

apodado Tartaglia ( tartamudo), debido a que en su niñez recibió una herida cuando las tropas de Gastón de Foix tomaban BrescIA, su ciudad natal.- Llegó a ser uno de los principales matemátICOS del  SIGLO XVI-Enseñó y explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente VenecIa, ciudad en la que FALLECIO_ Tartaglia desarrolla la fórmula general PARA RESOLVER las ecuaciones de tercer grado

OTROS APORTES• Otras aportaciones destacables

de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artillería en el cálculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la caída de los cuerpos realizados por Galileo), así como por la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón (usada para el cálculo del área del triángulo):

• Además de sus trabajos matemáticos, Tartaglia publicó las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquímedes yEuclides

entrdonde d ij es la distancia e los vértices i y j.

- en 1535 su colega del Fiore discípulo de Scipione del Ferro de quien había recibido la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta.

- A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.

- consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

-El éxito de Tartaglia en el duelo mencionado llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará.

Gerolamo Cardano (1501-1576)

• Girolamo Cardano fue iniciado en las matemáticas por su padre pero estudió

medicina en Pavía, aunque por razones de la guerra, tuvo que terminar sus estudios en

Padua. - En 1539 publicó su libro de

aritmética Practica arithmetica et mensurandi singulares. Publicó las soluciones

a las ecuaciones de tercer y cuarto grado-  en su Ars magna datado en 1545 La

solución a un caso particular de ecuación cúbica   (en notación moderna).

- Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano

llamado Lodovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce

como números imaginarios.

Método de CardanoEn el Ars Magna aparece además el genial descubrimiento de que un polinomio es divisible por los factores del tipo (x-a) donde a es raíz del polinomio, aunque no se da ninguna demostración. -Una de las consecuencias más importantes tras la publicación del Ars magna fue que la solución de la ecuación cúbica condujo a las primeras consideraciones significativas acerca de un nuevo tipo de número. -Tuvieron que aceptar la existencia de los número irracionales y de los números negativos, pero estos últimos presentaban más dificultades ya que no se les podía aproximar por números positivos a diferencia de los irracionales que podían ser aproximados fácilmente por númerosracionales. -Cardano se encontraba a menudo con el problema de que la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas le conducía a raíces cuadradas de números negativos. -en su obra tambien aparece la regla de determinantes

ARTIS MAGNE• -En 1539 publicó su libro de aritmética Practica

arithmetica et mensurandi singulares.- Publicó las soluciones a las ecuaciones de

tercer y cuarto grado en su Ars magna datado en 1545. -La solución a un caso particular de ecuación cúbica   

• (en notación moderna).- Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por

un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.

- Su libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.

OTROS APORTES-Hizo contribuciones a la hidrodinámica, apoyándose en esquemas del siglo XV, y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes.-Publicó dos enciclopedias de ciencias naturales, Sobre la sutileza de las cosas, Sobre la variedad de las cosas, que contienen una amplia variedad de invenciones, hechos y conocimientos que hoy consideramos mágicos o supersticiosos. --_También introdujo la rejilla de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido hoy como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las naves llamado gimbal.- Sus dos libros biográficos, Mi vida, y Mis libros (su autobibliografía) son dos obras maestras, que hacen además un retrato excelente de lo que pudo ser un sabio, como era, del siglo XVI, y la valoración de sus libros.

François Viète(1540-1557)

• Hijo de un procurador, Viète estudia derecho en Poitiers. En 1560, se convierte en abogado en Fontenay-le-Comte.

• Se le confían de golpe importantes asuntos, en particular la liquidación de las tierras en la región de Poitou de la viuda de Francisco I y los intereses de María Estuardo, reina de Escocia.

• En 1571, pasa a ser abogado en el Parlamento de París, y se le nombra consejero en el Parlamento de Rennes en 1573. En 1576, entra al servicio del rey Enrique III de Francia, quien le encomienda una misión especial.

• En 1580, pasa al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París, Tras la muerte de Enrique III, Viète pasa a formar parte del consejo privado de Enrique IV, y partir de 1594, se encarga exclusivamente de descifrar los códigos secretos enemigos.

APORTE AL ALGEBRA-Fue conocedor de Diofanto y Cardano, _ _estableció las reglas para la extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus (1570)._ Se lo considera uno de los principales precursores del álgebra, puesto que se dedicó así mismo al estudio de los fundamentos del álgebra, con la publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge_ introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas._ Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría plana y esférica

_En el periodo que va de 1564 a 1568 escribió dos obras, una de astronomía titulada Harmonicon coeleste que no llegó a publicarse y su gran Canon mathematicus seu ad triangula, cuya impresión duró más de ocho años y se publicó en 1579._ Las aportaciones de esta obra fueron, entre otras, la utilización sistemática de los números decimales, con empleo de la coma; la aplicación sistemática del álgebra a la trigonometría descubriendo de nuevo la mayor parte de las identidades elementales con fórmulas generales para las expresiones de las funciones; la obtención de fórmulas trigonométricas de conversión del producto de funciones en una suma o una diferencia, o la obtención de lo que hoy se conoce como teorema del coseno. _En su obra Variorum de rebus mathematicis, de 1593, formuló un enunciado equivalente al teorema de la tangente. _Pero su fama le vendría por su contribución al álgebra, con su obra In artem analyticam isagoge, que se publicó por primera vez en Tours en 1591. Sirvió para la generalización del álgebra simbólica, muy parecida a la que después Descartes culminó. Viète utilizaba las vocales para identificar a las incógnitas y las consonantes para nombrar los parámetros conocidos (al contrario que ahora), pero aún utilizaba abreviaturas para identificar operaciones.

Arthur Cayley (1821-1895)

• Nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las matemáticas

Sus obras• La Geometría del "hiperespacio" (espacio de n

dimensiones)• Es considerado como uno de los padres del

álgebra lineal, introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades.

• La obra sobre la que reposa su máxima fama es la teoría de invariantes, que se desarrolló de un modo natural de aquella vasta teoría de la que él, fue el creador y el elaborador nunca superado.

James Joseph Sylvester (1814-1897)

• nació en Londres, de padres judíos. Entró en la Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes, campo relacionado con el Álgebra Lineal.

SUS OBRAS• . hizo importantes contribuciones en el campo

de las matrices (acuñó los términos matriz, invariante, discriminante y totient, entre otros),

• teoría de las invariantes algebraicas (en colaboración con su colega A. Cayley)

• determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el método dialítico para eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales)

• creó un importante vocabulario matemático.

Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850),. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo.

A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes transformaciones:

La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución:

Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos:

Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A · B.

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

incógnitas:

coeficientes:

términos independientes:

La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional.La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales.

Teoria de grupo

• No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Para tener una idea de lo que se entiende por Grupo sin intentar una definición rigurosa:

• En Matemáticas un conjunto de elementos, por ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado a una operación matemática , por ejemplo la suma, si la suma de dos de esos elementos da un elemento de ese mismo conjunto. El Grupo constituye una Estructura Matemática.

Sin lo dramáticamente peculiar de sus vidas, habrían pasado a la historia de la ciencia, los nombres de Niels Henrik Abel y Evariste

Galois, dos ilustres matemáticos, por su talento y por la importancia de sus obras.

Niels Henrik Abel.

• Niels Henrik Abel desarrolló su obra en los primeros años del siglo XlX. En su natal Noruega, pronto se destacó en el campo de las Matemáticas a las cuales hizo aportes que sólo después de su muerte fueron altamente valorados. Sus trabajos se concentraron en la resolución de ecuaciones algebraicas y en la teoría de los grupos, fundamental concepto de la Matemática Moderna. Tal es la importancia de su contribución, que un tipo de Grupos Matemáticos se denominan Abelianos. Con motivo de conmemorarse en el 2002 el bicentenario de su nacimiento, se instituyó el Premio Abel de Matemáticas en honor a él.

Pero de tanta gloria ni siquiera sospechó Abel por la indiferencia o por la ignorancia de sus contemporáneos que no lo reconocieron al menos en su inmediato entorno, cosa muy común. No obstante sus trabajos llegaron a

Berlín y su universidad acordó nombrarlo profesor de su claustro,

distinción inmensa, pero la notificación llegó adonde hubiera podido recibirla

Abel, dos días después de morir víctima de la tuberculosis. Tenía tan

solo 27 años.

Análoga a la de Abel es la historia del francés Evariste Galois. Vivieron en la misma

época y se dedicaron también dentro de las Matemáticas al

estudio de los Grupos, pero no tenemos noticias de que se

conocieran. Al igual que Abel, sus trabajos sólo fueron

reconocidos, y de que manera, después de su muerte pero de

tal forma que en cualquier texto de Álgebra Moderna su nombre

como el de Abel es citado alrededor de veinte veces.

Evariste Galios.

• La aportación de Evariste Galois a las matemáticas no es sencilla de entender por la complejidad, incluso para los tiempos actuales, que encierra en su interior. No fue completamente comprendida por los matemáticos de su época, algunos sencillamente la ignoraron, y hasta finales del siglo XIX no se descubrió su profundidad y alcance. Se centra fundamentalmente en el campo del álgebra, rama a la que dió un impulso casi definitivo. Sus investigaciones dieron lugar a la llamada Teoría de Grupos y Cuerpos de Galois.

• Galois trabajó durante mucho tiempo en la obtención de una fórmula general válida para ecuaciones de grado 5 y superiores. Normalmente sus esfuerzos concluían en ecuaciones erróneas y más complicadas de resolver que la ecuación original . Evariste Galois

• Finalmente demostró, casi simultáneamente con Niels Henrik Abel, la imposibilidad de encontrar una solución general a estas ecuaciones utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, mediante radicales). Llegó a la conclusión de que dichas ecuaciones sólo pueden resolverse de forma aproximada utilizando técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, existen muchas ecuaciones de grado 5 y superiores perfectamente resolubles mediante radicales.

La aportación más importante que Evariste Galois hizo a las matemáticas de su tiempo fue el concepto de Grupo. El concepto no es en absoluto sencillo y Galois llegó a enunciar una condición para que una ecuación polinómica cualquiera pueda ser resoluble mediante radicales. De forma resumida Galois afirmó que si los coeficientes de una ecuación conforman una estructura de Grupo de Galois respecto de una determinada operación definida por él y el tal grupo verifica una serie de condiciones también concretadas, entonces la ecuación es resoluble mediante radicales’.