UNIVERSIDAD FERMIN TOROFACULTAD DE INGENIERIACABUDARE ESTADO LARA

Jesús Armando Rodríguez ChávezCédula de Identidad: 18.546.595

Sección: SAIA - C

Noviembre, 2014

CONJUNTO GENERADOR

ESPACIO VECTORIALDEPENDENC

IA E INDEPENDENCIA LINEAL

Generadores

Combinación Lineal:

Dada una familia de vectores v1, v2, v3, ..., vn de un espacio vectorial V(k). Una expresion de la forma ´α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn donde α1, α2, α3, ..., αn son escalares del cuerpo K es una combinación lineal de ´ v1, v2, v3, ..., vn. Al vector v ∈ V tal que v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn se llama vector combinacion lineal de los vectores ´ v1, v2, v3, ...,vn.

Ejemplo 1:

Conjunto Generador

 Un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos.

Más generalmente, si S ⊆ G, <S> es el mínimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, <S> es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos.

Si G = <S>, se dice que S genera a G, y los elementos de S se llaman generadores de G. Si S = ∅, entonces <S> es el grupo trivial {e} (lo cual concuerda con la primera definición del subgrupo generado), puesto que el resultado de un producto vacío se define como el elemento neutro.

Si S = {x}, <S> es el subgrupo conformado por las potencias de x, el cual es un grupo cíclico(más precisamente, un subgrupo cíclico de G), usualmente denotado por <x>; se dice que este grupo es generado por x. Decir que x genera el grupo G es equivalente a decir que <x> = G, caso en el cual G mismo sería un grupo cíclico; si G tiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que x tenga orden |G|.

Ejemplo 2:

S = { v 1 → , v 2 → , v 3 → } con v 1 → = 1 0 0 , v 2 → = − 3 0 0 , v 3 → = 7 0 0 genera a V = { x y z ∈ ℜ 3 / y = 0 , z = 0 } (eje x)En efecto, veamos que si a → ∈ V : a → = x 0 0 es una combinación lineal de los vectores de S .a → = α 1 v 1 → + α 2 v 2 → + α 3 v 3 → con α i ∈ ℜ(i=1,2,3)a → = α 1 1 0 0 + α 2 − 3 0 0 + α 3 7 0 0a → = α 1 0 0 + − 3 α 2 0 0 + 7 α 3 , 0 , 0a → = α 1 3 α 2 α 3 0 0

x 0 0 = α 1 − 3 α 2 + 7 α 3 , 0 , 0De acá: { α 1 − 3 α 2 + 7 α 3 = x 0 = 0 0 = 0Este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, por lo tanto, existen α 1 , α 2 yα 3 ∈ ℜ .Luego a → es generado por v 1 → , v 2 → , v 3 → . Luego a → es generado por S , y como a → es un elemento genérico de V , podemos decir que S = { v 1 → , v 2 → , v3 → } genera a V .

Otra definición alternativa sería que los vectores v1, v2,...,vn en un espacio vectorial V(K) generan a V si todo vector v en V se puede escribir como combinación lineal de los vectores ´ v1, v2,...,vn. Es decir, si existen escalares α1, α2, α3,...,αn tal que v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn para todo vector v ∈ V.

Ejemplo 3:

El conjunto de vectores S = {(1, 0),(0, 1),(1, 2),(3, 4)} genera al espacio IR2 . En efecto, note que todo vector de IR2 se puede expresar como combinación lineal de esta vectores: ´(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(1, 2) + 0(3, 4). Como puede verse no hay nada especial con los vectores (1, 2) y (3, 4). Estos vectores pueden ser reemplazados por cualquier par de vectores y el resultado sigue siendo válido. Más aun, se pueden seguir agregando m ´ as vectores al conjunto S y el resultado no varía siempre que cada escalar que sea múltiplo de él sea cero

Espacio Generado

Sean los vectores v1, v2,...,vk en un espacio vectorial V(K). El espacio generado por S = {v1, v2, ..., vk } es el conjunto de combinaciones lineales de v1, v2,...,vk. Es decir, gen {v1, v2, ..., vk } = {v ∈ V : v = α1v1 + α2v2 + · · · + αk vk }

Ejemplo 4:

Los monomios 1, x, x2 generan el subespacio de polinomios de grado menor o igual a 2. Esto es: gen = {1, x, x2} = {p(x) : p(x) = a0 + a1x + a2x2} = P2 Nótese que los escalares son a0, a1, a2. Hemos usado esta notación por la costumbre de denotar polinomios de esta forma. Claramente, este conjunto no es el único conjunto que genera a P2. Por ejemplo, el conjunto {1, x, x2, x3, x4} también genera a P2. En efecto, cualquier polinomio de grado 2 se puede expresar de la forma: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + 0x3 + 0x4

Independencia Lineal

Dependencia e Independencia Lineal

Consideremos una colección de ´ n vectores en un espacio vectorial V: v1, v2, ..., vn. Se dice que los vectores son linealmente independiente o constituyen un conjunto linealmente independiente si para toda combinación lineal α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0

Se tiene que α1 = α2 =... = αn = 0. Si los vectores no son linealmente independientes se dice que son linealmente dependientes

Ejemplo 5:

Un vector v no nulo v 6= 0 en V(K) es siempre linealmente independiente. En efecto, αv = 0 ⇒ α = 0

Ejemplo 6:

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro. Es decir, dos vectores u, v son linealmente dependientes si, y solo si existe un escalar α tal que u = αv.

Base y Dimensión

Un subconjunto B = {v1, v2, ..., vn} de un espacio vectorial V es una base de V si: v1, v2, ..., vn es una coleccion de vectores linealmente independientes gen {v1, v2, ..., vn} = V.

En este caso se dice que V es un espacio de dimensión´ n y se denota dim(V) = n. A estos espacios se les llama espacios de dimensión finita. Un espacio vectorial que no tenga una base de dimensión finita se les llama espacio de dimensión infinita. La dimensión del espacio vectorial cero es cero (a pesar de que el espacio vectorial cero no tiene base).

Ejemplo 7:

El conjunto B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0,1)} es una base para el espacio R2 y se llama la base estándar de IR3. Lo que significa que dim (IR3) = 3

Espacio Vectorial

Los espacios vectoriales son los objetos que estudia el Álgebra Lineal.

Un espacio vectoriales una tripla   conformada por:

(1) Un   grupo abeliano   , los elementos del cual denominamos vectores.

(2) Un cuerpo  , los elementos del cual denominamos escalares.(3) Una operación externa

entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones:

para cualesquiera escalares   y cualesquiera vectores  .

Es costumbre denotar el espacio vectorial   simplemente por  ; también se dice

que  es un  -espacio vectorial.

Ejemplo 8. El plano cartesiano   de puntos de la forma   con  , es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Ejemplo 9.Sea   un número natural  . El espacio   de n-plas ordenadas de números

reales en la forma   es un espacio vectorial real respecto de las siguientes operaciones:

Este ejemplo se generaliza al caso de un cuerpo cualquiera  , obteniéndose el  -espacio

canónico  .

Ejemplo 10. El conjunto   de polinomios reales en la indeterminada   con las operaciones habituales de adición y multiplicación de real por polinomio, es un espacio vectorial real.

Si cambiamos   por un cuerpo cualquiera   obtenemos el  -espacio vectorial   de polinomios con coeficientes en  .

Ejemplo 11. El conjunto   de matrices reales   con las operaciones usuales de adición y multiplicación de matriz por escalar, conforma un espacio vectorial sobre los reales.

Ejemplo 12.  Sea   un conjunto no vacío. El conjunto   de todas las funciones de   en   es un espacio vectorial real bajo las siguientes operaciones:

Si   entonces se obtiene el espacio de todas las funciones de variable real a valor

real. Si   es un intervalo abierto, por ejemplo   o  , y   es el conjunto de

funciones continuas de   en   , entonces   es un espacio vectorial real. Si   es el conjunto de números naturales, entonces resulta el espacio de las sucesiones reales.Solución:La idea es revisar todas las propiedades (axiomas) que definen un espacio vectorial. En primer lugar, nótese que en el ejemplo en cuestión, el cuerpo de escalares son los números

reales, es decir, no necesitamos demostrar que   sea efectivamente un cuerpo. Esto lo

damos por conocido. Más bien, debemos establecer que el conjunto de vectores   es un grupo abeliano y que la acción de los escalares reales por estos vectores satisfacen las propiedades de la definición de la Lección 2.

La primera observación que debemos hacer es que la suma de dos elementos de   es

nuevamente una función de   : esto es claro a partir de la definición de suma: 

actuando en   es  , en otras palabras, la operación de suma en  es interna.En segundo lugar, esta operación es asociativa en el sentido que

, donde  : en efecto, esto se debe a que la suma de

reales es una operación asociativa:

, en esta última igualdad hemos aplicado la propiedad asociativa de la suma de números reales. Se concluye entonces que

, es decir,  .La suma definida tiene elemento neutro, es decir, vector nulo: en efecto, la función

 definida por   para cada   es tal que   para

cada  .

Cada elemento   tiene su inverso respecto de esta suma, es decir, su función opuesta:

esta función opuesta se denota por   y es definida por  , para cada

. Nótese que  .La suma definida es claramente conmutativa.

Hemos pues probado que   es ciertamente un grupo abeliano.Ahora debemos verificar el cumplimiento de las propiedades relativas al producto de

escalar por vector: la operación   está bien definida, es decir, es una operación externa y cumple las siguientes propiedades:

, es decir,

, donde   es un escalar real.

, es decir,

.

, es decir,  .

Finalmente,  , es decir,  .Esto completa la demostración de todas las propiedades requeridas para tener una estructura de espacio vectorial real.