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MODULO

ÁLGEBRA LINEAL

CAMILO ZÍÑIGA

A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo

de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA � UNAD �

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Bogotá D. C., 2008

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COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

MÓDULO

CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN © Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2008 Bogotá, Colombia

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AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos

teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para

contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.

El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un

significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en

diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo

del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las

más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes

significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en

tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el

análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.

El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera

contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones

Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.

A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación

cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la

articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los

diferentes campos de formación disciplinar.

Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de

los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de

aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su

desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información

en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de

acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información

disponible en la plataforma virtual de la universidad.

La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se

tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu

investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones

documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son

obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material

impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.

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TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I

1. VECTORES EN 2R ��������������������������.9

1.1 NOCION DE

DISTANCIA����������������������������.11

1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS���������������������14

1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR�������������.20

1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES�����������..23

1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar��������.23

1.4.2 Suma de Vectores���������������������35

1.4.3 Diferencia de vectores������������������..39

1.4.4 Producto escalar����������������������43

1.5 PROYECCIONES�������������������������..52

2. VECTORES EN 3R �������������������������..58

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS�����������������62

2.2 VECTORES BASE�������������������������..66

2.3 PRODUCTO VECTORIAL���������������������..72

PROBLEMAS�������������������������������. 77

AUTOEVALUACION���������������������������.. 79

3. MATRICES�����������������������������..81

3.1 OPERACIONES CON MATRICES������������������83

3.1.1 Suma de matrices��������������������84

3.1.2 Multiplicación por escalar����������������87

3.1.3 Multiplicación de matrices���������������..88

3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES����������������...92

3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida��95

3.2.2 Inversa de una matriz���������������..99

3.2.3 Matrices Elementales����������������105

3.2.4 La Factorización LU����������������..119

4. DETERMINANTES�������������������������131

4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES�������138

4.2 INVERSAS�����������������������������.140

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ�.�������147

PROBLEMAS��������������������������������155

AUTOEVALUACION����������������������������.159

UNIDAD II

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES���������������163

5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

ELIMINACION GAUSSIANA���..�����������������186

5.2 SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

METODO DE GAUSS � JORDAN������������������.189

- 6 -

5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

REGLA DE CRAMER������������������������..195

5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU���������������.198

5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA����������������..203

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS��.�������������.206

6. RECTAS EN 3R ���������������������..�����208

7. PLANOS���������������������..��������220

8. ESPACIOS VECTORIALES������������..��������..228

PROBLEMAS���������������������������������..235

AUTOEVALUACION��������������������������.����239

- 7 -

UNIDAD 1

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

- 8 -

OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los

fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,

matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y

situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el

entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo

pertinente de las operaciones con los mismos.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a

espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas

especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas

operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas

como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver

a futuro sistemas lineales.

- 9 -

- 10 -

1.1 NOCION DE DISTANCIA

Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre

ellos.

Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que

nos establece que:

- 11 -

100

100

862

222

a

a

a

Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,

10a unidades.

- 12 -

- 13 -

- 14 -

- 15 -

- 16 -

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- 19 -

- 20 -

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- 22 -

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- 27 -

- 28 -

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- 51 -

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- 59 -

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Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL

Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.

Pag. 251

- 67 -

Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL

Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.

Pag. 263

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- 72 -

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- 99 -

- 100 -

- 101 -

- 102 -

- 103 -

- 104 -

- 105 -

- 106 -

- 107 -

- 108 -

100

011

001

1E , por lo tanto

100

011

0011

1E

100

06

10

001

2E , por lo tanto

100

060

0011

2E

100

010

021

3E , por lo tanto

100

010

0211

3E

160

010

001

4E , por lo tanto

160

010

0011

4E

3

100

010

001

5E , por lo tanto

300

010

0011

5E

100

010

3

501

6E , por lo tanto

100

010

3

501

16E

100

6

110

001

7E , por lo tanto

100

6

110

001

17E

Ahora realicemos el siguiente producto

17

16

12

11

EEEE

- 109 -

300

010

001

160

010

001

100

010

021

100

060

001

100

011

001

100

6

110

001

100

010

3

501

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

100

6

110

001

100

010

3

501

300

010

001

160

010

001

100

010

021

100

061

001

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

300

010

001

160

010

001

100

041

021

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

300

010

001

160

041

021

Seguimos

100

6

110

001

100

010

3

501

360

041

021

- 110 -

Seguimos

100

6

110

001

360

3

541

3

521

Finalmente

260

141

221

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su

inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las

inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.

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- 112 -

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- 151 -

- 152 -

- 153 -

- 154 -

UNIDAD 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y

ESPACIOS VECTORIALES

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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de

los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del

complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes

bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del

conocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el

entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.

Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son

obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de

ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia

en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad

los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en

el caso en que sea posible)

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- 188 -

- 189 -

- 190 -

- 191 -

- 192 -

- 193 -

- 194 -

5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES

EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA

El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX (con A de nn ), donde A es

invertible.

Partiendo del sistema bAX , podemos multiplicar a izquierda por 1A (Que existe,

dado que A es invertible), con lo que nos queda:

bAAXA11

Agrupando obtenemos

bAXAA 11 Simplificando

bAXI 1 Finalmente

bAX1

La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución

del sistema lineal bAX , la encontramos de la forma bAX1

.

Ejemplo

Dado el sistema lineal

17457

114

211032

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su

inversa y úsela para resolver el sistema.

Solución

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su

determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única

solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)

Encontremos el determinante:

- 195 -

225

457

114

1032

DetA

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:

1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán

2. Empleando determinantes ( AdjAA

A *det

11

)

Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la

invitación a realizarlo también por el otro método.

12

1f

12 4 ff

13 7 ff 27

1f

21 2

3ff

23 2

11ff 3225

14f

- 196 -

Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones

elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa

de A.

Es decir,

225

14

225

11

25

3225

38

225

62

25

1225

13

225

38

25

1

1A

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX1

.

Donde,

17

11

21

b

Por tanto,

17

11

21

225

14

225

11

25

3225

38

225

62

25

1225

13

225

38

25

1

X

2

1

2

X

Es decir, la solución es 2;1;2 321 xxx

31 14

13ff

32 7

19ff

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