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Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo
Tipos de agrupamentos
• Diferem um do outro pela ordem ou natureza dos elementos.
Arranjo
• Não diferem pela ordem dos seus elementos. Combinação
• São grupos fazendo a troca de posições de todos os elementos.
Permutação
Arranjos Simples
CORRIDAS - ELEIÇÕES - DISPUTAS
O quadrangular final de um torneio mundial
de basquete é disputado por quatro
seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia.
De quantas maneiras distintas podemos ter
os três primeiros colocados?
Arranjos (Definição)
• Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem ou a natureza dos seus elementos FAZ A DIFERENÇA.
• É preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
Arranjos (Fórmula)
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a
qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
Exemplo 1: A senha
• A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”?
Exemplo 2: Pares ordenados
• Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois (pares ordenados).
Permutação
Simples e
com repetição
ANAGRAMAS – FORMAÇÕES
Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro,
vão fazer uma selfie. De quantas maneiras
elas podem ser dispostas, colocadas lado a
lado?
Permutação (Definição)
• São grupos formados, fazendo a troca de posições de todos os elementos envolvidos.
• Notemos que a permutação é
um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequencia ordenada.
Permutação (Fórmula)
Permutação de n elementos.
Exemplo 1: Centenas distintas
• Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e 8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.
Exemplo 2: ANAGRAMAS
• Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas existem da palavra azul?
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Permutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.
Generalizando:
, ,
n
n!P
! ! !
Exemplo 3: ANAGRAMAS
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o raciocínio:
n
1 2 3
P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!151200
P P P 2! 3! 2! 2 3! 2
Combinação
Simples
EQUIPES - JUNTAS MÉDICAS - GRUPOS
Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio –
participam de um concurso em que serão
sorteadas três bicicletas do tipo mountain
bike. Quais os possíveis resultados do
concurso?
Combinação (Definição)
• Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos.
• Notemos que neste caso a troca da ordem dos elementos não caracteriza novos agrupamentos
Combinação de n elementos, tomados k a k.
Exemplo 1: A comissão
• Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. Quantas comissões de dois meninos de duas meninas podem ser formadas?
Exemplo 2: DIA DE PIZZA
• Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?
Observação
• Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.
Carlos Santos Junior Professor de Matemática
Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP
Carlos Guido Ferrario Lobo