Análise de séries cronológicas

Por: E. Seno FE-UAN - 2006

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Material para os estudantes do 2.º ano

ANÁLISE DE SÉRIESCRONOLÓGICAS


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Aspectos gerais

Objectivos:

identificar a natureza do fenómeno que é representado pela sequência de observações (através da procura de um padrão de comportamento);

descrever o comportamento das observações através de um modelo matemático;

prever a evolução futura do fenómeno;

rever as decisões tomadas e estabelecer estratégias.


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Aspectos gerais

Definição:

A classe de fenómenos cujo processo observacional e consequente quantificação numérica gera uma sequência de dados distribuídos no tempo édenominada série temporal.

Uma série cronológica (ou temporal) é um conjunto ordenado de valores de uma variável YYtobservados em intervalos regulares de tempo (semanas, meses, trimestres, anos, etc.).

Para períodos de tempo sucessivos (iguais) atribui-se à variável independente tt os valores 1,2, …, n , constituindo-se assim a variável dependente YYt.


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Aspectos gerais

Exemplos de séries cronológicas:

A velocidade máxima do vento em cada dia

Índices de produção Industrial

Taxas de juro

Concentração de fosfatos num determinado curso de água

Produto Interno Bruto

Vendas trimestrais

Evolução da população


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Comportamento típico das séries cronológicas

Série aleatória:

Uma série aleatória (ruído branco) resulta de oscilações aleatórias em torno de determinado valor (que se designa por nível), isto é:

Yt = µ + εt t = 1, 2, …, n

Como o seu comportamento é aleatório, não é possível usar as observações passadas para prever o futuro.

Série cronológica aleatória

3456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


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Série com tendência:

Uma série com tendência caracteriza-se por revelar, ao longo do tempo, um comportamento que pode ser linear, não linear, crescente, decrescente ou constante. Este tipo de série pode ser representado por:

Yt = µt + εt t = 1, 2, …, nem que o nível , (onde é a taxa de crescimento da série no instante tt) varia de acordo com a tendência.

11 −− += ttt τµµ 1−tτ

Série com tendência

123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


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Série com sazonalidade:

Uma série com sazonalidade revela uma periodicidade fixa no seu comportamento. Consideremos a série representada na figura seguinte.

Série com tendência e sazonalidade

02468

10121416

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


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Série com sazonalidade:

Através da observação da evolução dos valores da variável nos instantes sucessivos, facilmente se verifica que a série apresenta uma tendência crescente, uma vez que o nível da série aumenta ao longo do tempo. Para além disso também ressalta que, de 3 em 3 unidades de tempo, o comportamento de “subidas” e “descidas” se repete. Isto significa que, para além da tendência crescente existe também nesta série uma sazonalidade cujo período tem comprimento 3.

Uma série que apresente tendência e sazonalidade pode ser representada por:

Yt = µt + φt + εt t = 1, 2, …, n

onde µt representa o nível da série e φt a componente sazonal da série, no instante t.


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Decomposição das séries cronológicas

Componentes de uma série:

A análise dos valores de uma série cronológica, tal e qual como eles se nos apresentam, pouco nos revela, uma vez que esses valores incluem os efeitos de diferentes factores, sejam eles económicos, sociais, culturais, climáticos ou outros.

Para que possa ser feita uma análise rigorosa de uma série cronológica, é vantajoso isolar as diferentes componentes que representam os factores que influenciam os valores da série.


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São quatro as componentes de uma série cronológica:

TendênciaSazonalidade (ou componente sazonal)Ciclicidade (ou componente cíclica)Componente aleatória


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A tendência representa o movimento geral e de longo prazo da série, reflectindo a evolução global no sentido do crescimento (ou decrescimento) do nível da série. Para identificar esta componente é necessário retirar à série todas as flutuações.

A sazonalidade representa as flutuações periódicas da variável. Estas flutuações com periodicidade fixa (o ciclo sazonal) provocam variações alteradas das observações relativamente ao nível da série.


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A ciclicidade reflecte movimentos oscilatórios (sem periodicidade fixa) que afectam a tendência global da série, sendo apenas detectáveis para séries longas. Esta componente aparece muitas vezes associadas aos ciclos da actividade económica, em que existe alternância entre períodos de crescimento com outros de depressão.

A componente aleatória tem um carácter casual e portanto imprevisível.


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Métodos de decomposição:

Através do método de decomposição é possível identificar e isolar cada uma das componentes da série, encontrar processos adequados para estimar cada uma delas e encontrar o modelo matemático que melhor traduz a série.

Sendo: yt o valor observado para o período t,Tt a tendência no período t,St a sazonalidade no período t,Ct a ciclicidade no período t e εt o ruído (componente aleatória) no período t,

cada valor yt da variável em estudo será uma função das quatro componentes, isto é:

Yt = f(Tt, St, Ct, εt)


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Considerando que os valores da variável são o resultado da soma dos valores das quatro componentes,

Yt = Tt + St + Ct + εt

está-se a utilizar um Modelo aditivo


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Pressupostos:i. Cada componente é independentemente responsável por

uma parcela do valor observado;

ii. As diferentes componentes não estão correlacionadas;

iii. Cada componente é definida na mesma unidade de medida dos valores observados.

Os modelos aditivos utilizam-se usualmente quando as variações periódicas têm uma amplitude que se mantém aproximadamente constante, mesmo que a tendência não o seja.


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Considerando que os valores da variável são o resultado do produto dos valores das quatro componentes,

Yt = Tt × St × Ct × εt

está-se a utilizar um Modelo multiplicativo


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Pressupostos:i. Os efeitos das componentes não são independentes entre

si.

ii. As diferentes componentes estão correlacionadas;

iii. Apenas a Tendência é definida na mesma unidade de medida da série cronológica, as restantes estão definidas percentualmente em relação à Tendência.

Os modelos multiplicativos utilizam-se quando as variações periódicas vão crescendo [decrescendo] em amplitude.


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Existe também a possibilidade de variações entre estes dois modelos, obtendo-se os chamados Modelos Mistos:

Yt = (Tt + St) × Ct + εtYt = Tt × St × Ct + εt

Na escolha do modelo mais adequado a cada caso deve-se efectuar várias tentativas, com diferentes modelos, com vista a obter aquele que minimiza a componente residual, sem prejuízo da respectiva aleatoridade.

Em todo caso, o método aditivo é o mais e simples e permite adaptar a sequencia de procedimentos ao caso multiplicativo.


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Método aditivo:

Admitamos que os valores de uma série cronológica são uma função aditiva das suas quatro componentes, isto é:


Para isolar cada uma das componentes, o primeiro passo consiste em identificar o padrão da componente sazonal (ciclo sazonal) através da observação da sequência dos valores da série, ou de forma a ter uma ideia mais clara e imediata da evolução do fenómeno, através da construção de um cronograma (gráfico onde são apresentados os valores da variável em cada instante tt).

De forma a eliminar, ou pelo menos atenuar, a aleatoriedade e sazonalidade da série, calculam-se as médias móveis centradas de comprimento igual ao período sazonal.


20


Método aditivo:

Deste modo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é:

Mt = Tt + Ct

Anulada a sazonalidade e a aleatoriedade, restam a tendência e a ciclicidade. Como a ciclicidade só é detectável em séries longas, considera-se apenas a tendência.

Desta forma, os valores obtidos através das médias móveis centradas contêm a informação acerca da tendência da série.


21


Método aditivo:

O estudo da tendência é feito através do já conhecido Método dos Mínimos Quadrados. Considerando tt como a variável independente e MMt a variável dependente, a tendência da série será representada por uma recta do tipo

Tt = a + b.X

Desprezada a ciclicidade, ao retirar das observações iniciais os valores das médias móveis centradas (que contêm a informação acerca da tendência) cria-se uma série auxiliar na qual está isolada a componente sazonal.


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Método aditivo:

Dizer que a sazonalidade tem período nn, é o mesmo que dizer que existem nn sub-períodos com comportamentos diferentes. Interessa saber como se comporta a sazonalidade em cada um destes sub-períodos. Para cada sub-periodo é calculado um índice de sazonalidade, SSj , que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse período (que pode ser trimestre, etc.).

Como se trata de um modelo aditivo, é necessário garantir que a soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos é nula. Se tal não acontecer é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula:

.SS

SSSj

jjjj ∑∑×−='


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Método aditivo:

Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação:


que na prática, ignorada a ciclicidade, toma a forma:

Yt = Tt + St

Exemplo:Consideremos os valores de uma variável Yt, observados em 20 momentos distintos:


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Método aditivo:

t yt

1 32

2 212

3 495

4 198

5 74

6 290

7 615

8 214

9 103

10 293

11 653

12 320

13 120

14 350

15 795

16 392

17 197

18 443

19 752

20 452


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Método aditivo:

O cronograma referente aos valores apresentados será:

0100200300400500600700800900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


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Método aditivo:

Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo

“sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”

o que indica que a sazonalidade tem período 4.

Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade.

Vamos então comparar os resultados que se obtêm calculando médias móveis centradas de comprimento 3 e 4.


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Método aditivo:

Médias móveis de comprimento 3

Quando se pretendem calcular médias móveis de comprimento impar, usam-se tantos valores quanto os indicados pelo comprimento da média, considerando o do meio como centro. Por exemplo, no calculo de médias centradas de comprimento 3:

32463

495212323

3212 ,=

++=

++=

yyyM

73013

1984952123

4323 ,=

++=

++=

yyyM

05493

4527524433

20191819 ,=

++=

++=

yyyM


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Método aditivo:

Médias móveis de comprimento 3.

32463

49521232 ,=++

73013

198495212 ,=++

05493

452752443 ,=++

t ytMt

Comprimento n=3

1 32

2 212

3 495

4 198… … …18 443

19 752

20 452


29


Método aditivo:


Quando se pretende calcular uma média móvel, de comprimento par, para que esta possa ser centrada énecessário usar um número impar de valores, mas considerando um número de parcelas igual ao comprimento da média.

Para uma média centrada de comprimento 4, são necessários 5 valores, um ao centro e dois para cada lado. Para garantir que no cálculo entram apenas 4 parcelas utiliza-se apenas metade do primeiro e do último valores. Por exemplo:

5,2394

274198495212

232

4225

4321

3 =++++

=++++

=

yyyyy

M


30


Método aditivo:


e desta forma,

52393

274198495212

232

,=++++

54534

2452752443197

2392

,=++++

t ytMt

Comprimento n=4

1 32

2 212

3 495

4 198

5 74

… … …

16 392

17 197

18 443

19 752

20 452


31


Método aditivo:Médias móveis centradas

t yt Comprim n=3 Comprim n=4

1 32

2 212 246,3

3 495 301,7 239,5

4 198 255,7 254,5

5 74 187,3 279,25

6 290 326,3 296,25

7 615 373,0 301,875

8 214 310,7 305,875

9 103 203,3 311

10 293 349,7 329

11 653 422,0 344,375

12 320 364,3 353,625

13 120 263,3 378,5

14 350 421,7 405,25

15 795 512,3 423,875

16 392 461,3 445,125

17 197 344,0 451,375

18 443 464,0 453,5

19 752 549,0

20 452


32


Método aditivo:

Legenda do gráfico

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Observações

Médias móveis decomprimento 3Médias móveis decomprimento 4


33


Método aditivo:

Observando a representação gráfica dos valores das médias móveis centradas constata-se que realmente é o comprimento 4 (que corresponde ao período da sazonalidade) que permite anular a sazonalidade, dando origem a uma sequencia de pontos “ quase em linha recta”.


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Método aditivo:

Análise da tendência t Mt Comprimento n=4

1

2

3 239,5

4 254,5

5 279,25

6 296,25

7 301,875

8 305,875

9 311

10 329

11 344,375

12 353,625

13 378,5

14 405,25

15 423,875

16 445,125

17 451,375

18 453,5

19

20


35


Método aditivo:

Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 14,666t + 194,32 que traduz a tendência da série.

y = 14,666x + 194,32

200

250

300

350

400

450

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19


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Método aditivo:

Análise da Sazonalidade

Para isolar a componente sazonal cria-se uma série auxiliar

t yt Mt Comprimento n=4 Xt=Yt-Mt

1 32

2 212

3 495 239,5 255,5

4 198 254,5 -56,5

5 74 279,25 -205,3

6 290 296,25 -6,3

7 615 301,875 313,1

8 214 305,875 -91,9

9 103 311 -208,0

10 293 329 -36,0

11 653 344,375 308,6

12 320 353,625 -33,6

13 120 378,5 -258,5

14 350 405,25 -55,3

15 795 423,875 371,1

16 392 445,125 -53,1

17 197 451,375 -254,4

18 443 453,5 -10,5

19 752

20 452

ttt MYX −=


37


Método aditivo:


Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 sub-períodos. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse sub-período.

Como soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos deve ser nula, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j.


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Método aditivo:

1º sub-per 2º sub-per 3º sub-per 4º sub-per

255,500 -56,500

-205,250 -6,250 313,125 -91,875

-208,000 -36,000 308,625 -33,625

-258,500 -55,250 371,125 -53,125

-254,375 -10,500 Somas

Sj -231,531 -27,000 312,094 -58,781 -5,219

|Sj| 231,531 27,000 312,094 58,781 629,406

S’j -229,611 -26,776 314,681 -58,294 0


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Método aditivo:

Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação

ttt STy +=


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Método aditivo:

Previsão

Previsão para o valor da variável no instante 21:ŷ21 = T21 + S21

Recorrendo à recta de mínimos quadrados calculada anteriormente:

T21 = 14,6666×21 + 194,32 = 502,29375.

A sazonalidade no instante 21 é dada pelo índice corrigido referente ao sub-periodo 1:

S21 =S’1 = – 229,611 Assim:

ŷ21 = T21 + S21 = 502,29375 – 229,611 = 272,682.


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Método aditivo:

Previsão para o valor da variável nos instantes 22 e 23.

ŷ22 = T22 + S22 = 490,183.

ŷ23 = T23 + S23 = 846,306.


42


Método multiplicativo:

Como foi dito, é possível adaptar a sequencia de procedimentos do caso aditivo ao caso multiplicativo, havendo apenas a especificar o seguinte:

Sabemos aqui que os valores da série cronológica são uma função multiplicativa das suas quatro componentes, isto é:

Yt = Tt × St × Ct × εt

Logo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é:

Mt = Tt × Ct

A série auxiliar Xt será obtida pelo quociente entre os valores observados e as médias móveis, isto é:

Xt = yt / Mt


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A soma dos índices sazonais para todos os sub-períodostem que ser igual ao número de sub-períodos × 100.

Se tal não acontecer, é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula:

Exemplo:Consideremos a seguinte distribuição das vendas de gelado nos últimos quatro anos.

.S

KSS K

jj

jj

∑=

×=

1

'


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Anos Trimestre yt

2002 I 1

II 2

III 5

IV 2

2003 I 1

II 3

III 6

IV 3

2004 I 2

II 4

III 8

IV 4

2005 I 3

II 6

III 10

IV 5


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O cronograma referente aos valores apresentados será:

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20


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Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo

“sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”

o que indica que a sazonalidade tem período 4.

Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade. Neste caso calculamos médias móveis centradas de cumprimento 4.


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Médias móveis centradas de cumprimento 4.

t yt Mt (n=4)

1 1

2 2

3 5 2,5

4 2 2,625

5 1 2,875

6 3 3,125

7 6 3,375

8 3 3,625

9 2 4

10 4 4,375

11 8 4,625

12 4 5

13 3 5,5

14 6 5,875

15 10

16 5


48



0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20

Valoresobservados

Médiasmóveiscentradas decumprimento4


49



Análise da tendência t Mt (n=4)

3 2,5

4 2,625

5 2,875

6 3,125

7 3,375

8 3,625

9 4

10 4,375

11 4,625

12 5

13 5,5

14 5,875


50



Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 1,320659 + 0,310315t que traduz a tendência da série.

01234567

0 2 4 6 8 10 12 14 16

T t =1,3 2 0 6 59 + 0 ,3 10 3 15t


51



Análise da sazonalidade

Para isolar a componente sazonal cria-se uma série auxiliar Xt = Yt / Mt

t yt Mt (n=4) Xt=yt/Mt

1 1

2 2

3 5 2,5 2

4 2 2,625 0,7619048

5 1 2,875 0,3478261

6 3 3,125 0,96

7 6 3,375 1,7777778

8 3 3,625 0,8275862

9 2 4 0,5

10 4 4,375 0,9142857

11 8 4,625 1,7297297

12 4 5 0,8

13 3 5,5 0,5454545

14 6 5,875 1,0212766

15 10

16 5


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Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 trimestres. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse trimestre.

Como soma dos índices sazonais para todos os trimestres deve ser igual a 4, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j.


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Anos 1º trim. 2º trim. 3º trim. 4º trim.

2002 2,000 0,762

2003 0,348 0,960 1,778 0,828

2004 0,500 0,914 1,730 0,800

2005 0,545 1,021 Somas

Sj 0,464 0,965 1,836 0,796 4,062

S’j 0,457 0,950 1,808 0,784 4,000


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Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação

Yt = Tt × St

Education

Análise de séries cronológicas