Upload
josepmarialluch
View
1.167
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Anàlisi (I) Repàs de funcions Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
1 Definicions prèvies 1.1 Funcions. Imatges i antiimatges S'anomena funció real de variable real (o simplement funció) una correspondència que a cada nombre real x li assigna com a màxim un altre nombre real y . Es representa de qualsevol de les formes següents:
yxf →: ; )(xfy = ; :
( )f
x f x
El nombre y s'anomena imatge de x .El nombre x es diu antiimatge de y i es representa:
)(1 yf − . Un nombre x no pot tenir més d'una imatge, però un nombre y sí que pot tenir més d'una antiimatge. La lletra x s'anomena variable independent i la lletra y , variable dependent.
Exemple: La funció que a cada nombre real li assigna la meitat del seu triple és: 2
3)( xxf = . La
imatge de 12x = és 18212·3)12( ==f . L'antiimatge de 15y = és 10)15(1 =−f (perquè
(10) 15f = ) Per a calcular les antiimatges de b cal resoldre l’equació ( )f x b= 1.2 Domini i recorregut S'anomena domini (o camp d’existència) de la funció f el conjunt de nombres que tenen imatge, és a dir el conjunt d'antiimatges. Es representa: Dom f (o també: D f )
{ }( )Dom f x f x= ∈ ∈
S'anomena recorregut ( o conjunt imatge) de la funció f el conjunt de nombres que tenen alguna antiimatge, és a dir el conjunt d'imatges. Es representa: Rec f (o també: Im f ) Observació: El domini forma part de la definició d'una funció. Si no s'especifica s'entendrà que és el conjunt màxim de nombres que admeten imatge. A vegades ve determinat pel significat de la variable x ; per exemple, si 2( )f x x= representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat x , el domini de f és ( )0, +∞ Exemples:
1) Si 34
13)( 2 +−−
=xx
xxf el domini de ( )f x és: { } { }2 4 3 0 1,3Dom f x x x= ∈ − + ≠ = −
2) Si 123)( −= xxf el domini de f(x) és: { }3 12 0 [4, )Dom f x x= ∈ − ≥ = +∞
1.3 Gràfica S'anomena gràfica (o gràfic) de la funció f respecte d'un sistema d'eixos de coordenades perpendiculars el conjunt de punts ( , )x y del pla tals que )(xfy = . Es representa: ( )Graf f .
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 2 { }2( ) ( , ) ( )Graf f x y y f x= ∈ =
Noteu que el domini de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'abscisses, i el recorregut de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'ordenades. 1.4 Diferents tipus de funcions Funció injectiva: Una funció f és injectiva si no hi ha dos nombres diferents 1x i 2x de Dom f que tinguin la mateixa imatge; és a dir si 2121 )()( xxxfxf =⇒= Qualsevol recta paral·lela a l'eix d'abscisses tallarà la gràfica en un punt com a màxim. Exemples: 1) La funció 2)( xxf = no és injectiva, ja que 25)5()5( ==− ff .
2) La funció 3)( xxf = sí que és injectiva, ja que si 1 2( ) ( )f x f x= , 3 31 2és a dir x x=
1 2:necessàriament serà x x=
Observació: Per a veure si una funció f és o no injectiva cal plantejar l'equació: ( )f x k= . Si per a alguns valors de k admet més d'una solució, la funció no és injectiva. Funció exhaustiva o sobrejectiva: Una funció f és exhaustiva o sobrejectiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals . Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica. en un punt com a mínim. Exemple: xxxf −= 3)( és sobrejectiva però no és injectiva, ja que (0) (1)f f= . Observació: Per a veure si una funció f és o no sobrejectiva cal plantejar l'equació: ( )f x k= i comprovar que té solucions per a qualsevol valor de k . Funció bijectiva: Una funció f és bijectiva si és a la vegada injectiva i sobrejectiva. Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica en un sol punt. Exemple: 5)( xxf =
Dom f
Rec
f
x
f(x) (x , f(x))
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 3 1.5 Simetries Una funció f és parella si compleix: )()( xfxf =− per a qualsevol fDomx∈ . La seva gràfica és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (simetria axial). Exemple: 4)( xxf = Una funció f és imparella si compleix: )()( xfxf −=− per a qualsevol fDomx∈ . La seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades (simetria central) Exemple: 3)( xxf = 1.6 Periodicitat Sigui T un nombre real positiu. Una funció f és periòdica de període T si compleix:
( ) ( ) ( 2 ) ...f x f x T f x T= + = + = (dins del domini de f ). És a dir, els valors de f es repeteixen si x varia “de T en T ”.
2 Funcions elementals
2.1 Funcions polinòmiques: 11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a−−= + + + +
El seu domini és . Si el grau és imparell, el recorregut és ; si el grau és parell, el recoregut és un interval infinit.
2.1.1 Funcions lineals i afins: ( )f x mx n= + ♦ Si 0n = es diu lineal ; si 0n ≠ es diu afí. ♦ Tenen per gràfica una recta. El coeficient m s'anomena pendent de la recta i és
igual a la tangent de l'angle α que la recta forma amb l’eix d'abscisses (mesurat en sentit positiu des de l’eix d’abscisses). Si 0m = la recta és paral·lela a l'eix d'abscisses ("horitzontal") i la funció es diu funció constant.
x –x
funció imparella
f(x)
f(– x) = –f(– x)
x –x
funció parella
f(x) = f(– x)
x + 2T x x + T
Funció periòdica
x + 3T
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 4 2.1.2 Funcions quadràtiques: 2( )f x ax bx c= + + Tenen per gràfica una paràbola.
♦ Si 0a > és còncava, amb un mínim en el vèrtex. Si 0a < és convexa, amb un màxim en
el vèrtex. Les coordenades del vèrtex són: 24,
2 4b ac bVa a
⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎝ ⎠
♦ La gràfica talla l’eix d’ordenades en el punt (0, )c i l’eix d’abscisses en el punts: 1( , 0)x
i 2( , 0)x , on 1x i 2x són les solucions de l’equació: 2 0ax bx c+ + = (si en té).
♦ Si el vèrtex és ( , )V p q= , el recorregut és [ ),q +∞ , si 0a > o ( ], q−∞ , si 0a < .
2.1.3 Funcions potencials: ( ) ,nf x x amb n= ∈ Si l'exponent n és imparell, el recorregut és: Rec f = , i si és parell [0, )Rec f = +∞
♦ Totes les seves gràfiques passen pel punt (1, 1) .
(0 , )n
( )( 0)f x mx nm
= +>
α
(0 , )n ( )( 0)f x mx nm
= +<
α
0a <
c
0a >
c
V
V
2x1x
1x2x
p
q
p
q
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 5
2.2 Funcions racionals: ( )( ) , ( ) ( )( )
P xf x on P x i Q x són polinomisQ x
=
El seu domini és el conjunt de nombres reals que no anul·len el denominador: { }( ) 0Dom f x Q x= ∈ ≠
L’exemple més senzill és la funció de proporcionalitat inversa: ( ) ,kf x kx
= ∈
♦ El seu domini i el seu recorregut coincideixen
i són iguals a { }- 0 . És injectiva. ♦ La gràfica és una hipèrbola equilàtera amb
vèrtexs als punts ( )1 , ,V k k= ( )2 ,V k k= − − si 0k >
o ( )1 ,V k k= − − − , ( )2 ,V k k= − − −
si 0k < .
2.3 Funcions irracionals: ( ) ( ) , ( )nf x P x on P x és un polinomi= Si n és imparell el seu domini és . Si n és parell el domini és: { }( ) 0Dom f x P x= ∈ ≥ Les més senzilles són les funcions radicals: Si l'índex n és parell : [ )0,Dom f Rec f= = +∞ Si n és imparell : Dom f Rec f= =
( ) nf x x=
n parell
1
1
( ) nf x x=
n imparell
1
1
( ) nf x x=
= >( ) ( 0)k
f x kx
k
k
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 6
2.4 Funció valor absolut: 00
x si xx
x si x≥⎧
= ⎨− <⎩
♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ )0, +∞
♦ També es pot definir com 2x x=
2.5 Funció part entera: ( ) ( )f x E x=
♦ Es defineix la part entera de x com el nombre enter més gran entre tots els que són
mès petits o iguals que x (el que està més a prop de x per l’esquerra). Per exemple: (4) 4, (6,98) 6, ( 5,1) 6E E E= = − = − ♦ El seu domini és i el seu recorregut és el conjunt dels nombres enters.
( ) ( )f x E x=( )f x x=
n parell
( ) nf x x=
n imparell
( ) nf x x=
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 7
2.6 Funció exponencial: ( ) , 0 1xf x a amb a i a= > ≠
♦ La gràfica és una corba còncava que passa pel punt (0, 1) ♦ La funció és creixent si 1a > i decreixent si 1a < . ♦ El domini és i el recorregut és l'interval ),0( ∞+ . És injectiva però no
sobrejectiva. ♦ La funció exponencial més important és la que té com a base el nombre
irracional 2,718281828...e = ... ( ) xf x e=
2.7 Funció logarítmica: log , 0 1ay x amb a i a= > ≠
2.7.1 Si 0a > i 1a ≠ es defineix el logaritme en base a del nombre positiu x com l'exponent a què cal elevar a perquè doni x . És a dir: xaxy y
a =⇔= log El logaritme només està definit per a nombres positius ; el nombre 0 i els negatius no tenen logaritme. 2.7.2 Propietats dels logaritmes Si 0x > i 0y > es compleix: 1) yxyx aaa loglog)·(log +=
2) yxyx
aaa logloglog −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3) xpx ap
a log·log =
4) p
xx ap
alog
log =
5) 01log =a
6) 1log =aa
7) pa pa =log
♦ S'anomena funció logarítmica de base a la que a cada nombre positiu x li assigna el seu
logaritme en base a : ( ) logaf x x= ♦ El seu domini és: (0, )Dom f = +∞ i el seu recorregut és . La gràfica passa pel punt
(1, 0) . És bijectiva. ♦ Si 1a > és convexa i creixent. Si 0 1a< < és còncava i decreixent.
1a >(0 , 1)
( ) xf x a=
0 1a< <(0 , 1)
( ) xf x a=
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________8
♦ La funció logarítmica més important és la que té com a base el nombre irracional 2,718281828...e = anomenada logaritme neperià (o natural), que es representa: ( ) lnf x x=
(o ( )f x L x= )
2.8 Funcions trigonomètriques
2.8.1 Funció sinus: ( ) ( )f x sin x= ♦ És la funció que a cada nombre real x
li fa correspondre el sinus d'un angle de x radiants.
♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ ]1, 1−
♦ És periòdica, de període 2π 2.8.2 Funció cosinus: ( ) ( )f x cos x=
És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el cosinus d'un angle de x radiants.
Té els mateixos domini, recorregut i període que la funció sinus. Les gràfiques d’aquestes dues funcions s’anomenen sinusoide i cosinusoide .
2.8.3 Funció tangent: ( )f x tg x=
És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre la tangent d'un angle de x radiants. El seu recorregut és i el seu domini és:
· ,2
Dom f x x k kπ π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
És sobrejectiva, però no injectiva.
( )f x sin x=( )f x cos x=
ππ−
1
/ 2−π/ 2π
( )f x tg x=
> 1alogay x=
1
< <0 1a
logay x=
1
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________9
( )y f x=
( )y f x= −
0= +>
( )( )y f x kk
0= +<
( )( )y f x kk
0( )
( )y f x kk= +> 0
( )( )y f x kk= +<
La gràfica talla l’eix d’abscisses en els punts de la forma: ( ), 0k amb kπ ∈ És periòdica, de període π
Observació important: La variable x de les funcions trigonomètriques es mesura en radiants.
2.9 Funcions definides per intervals (o “a trossos”) Exemples:
1) 2
1 12
( ) 1 12 1
x si x
f x x si xx si x
⎧ + ≤ −⎪⎪
= − < <⎨⎪− + ≥⎪⎩
2) 2
1 0
( ) 2 0 2
1 2
si xx
f x x si x
x si x
⎧ <⎪⎪
= − + ≤ <⎨⎪ − ≥⎪⎩
3 Transformacions de la gràfica d’una funció
Funció original Translacions verticals
Reflexió entorn Translacions horitzontals de l’eix d’abscisses
–1 1
1 0
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________10
( )y f x= −( )y f x=( )=y f x
1· ( )
( )y k f xk=> 0 1
· ( )( )y k f x
k=< <
1( )y f k x
k=>
0 1( )
( )y f k x
k=< <
1( )
yf x
=
Positivació Simetrització entorn Reflexió entorn de de l’eix d’ordenades l’eix d’ordenades
Dilatació vertical Dilatació horitzontal Contracció vertical Contracció horitzontal Inversió
4 Operacions amb funcions
4.1 Operacions algebraiques Suma i diferència: ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −
gDomfDomgfDom ∩=± )(
Producte: ( · )( ) ( ) · ( )f g x f x g x= gDomfDomgfDom ∩=)·(
Quocient: ( )( )( )
f f xxg g x
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠ per a tots els valors de x tals que ( ) 0g x ≠
{ }0fDom Dom f Dom g x g(x)g
⎛ ⎞= − ∈ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∩
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________11
4.2 Composició de funcions Siguin f i g dues funcions. S'anomena funció composta de f amb g la funció: ( )( ) ( ( ))g f x g f x= (es llegeix “ f composta amb g ”) { }gDomxffDomxfgDom ∈∈= )()(
Exemple: Si 2
13)( +=
xxf i 5
62)( −=
xxg tindrem:
( )
3 12 62 ( ) 6 6 10 3 52( ) ( ( ))
5 5 10 5
xf x x xg f x g f x
+⎛ ⎞ −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠= = = = =
Observació: La composició de funcions no és pas commutativa; en general: g f f g≠
5 Funcions recíproques 5.1 Funció recíproca o inversa
Sigui f una funció injectiva. S'anomena funció recíproca (o inversa) de la funció f la funció representada: 1f − que compleix:
1( ( ))f f x x− = i 1( ( ))f f x x− = . Si ( )b f a= , llavors 1( )a f b−= . Exemple: Si 53)( += xxf llavors:
35)(
5)(3))((
1
11
−=
⇔=+⇔=
−
−−
xxf
xxfxxff
gf
g f
x f(x) g(f(x)) Dom f
Dom g
a
b
a b
f (x)
(x)f 1−
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________12 Propietat important: Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques
respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants Propietat: 1Dom f Rec f −= 1Rec f Dom f −= Les parelles següents de funcions són recíproques l'una de l'altra:
a) kxxf =)( )0()(1 ≠=− ksikxxf
b) nxxf =)( 1( ) ( )i imparellnf x x n− = ∈ c) xaxf =)( xxf alog)(1 =−
d) xkxf =)(
xkxf =− )(1
5.2 Recíproques de les funcions trigonomètriques
5.2.1 Funció arc sinus: ( )f x arcsin x= És la funció que a cada nombre x de l'interval [ ]1,1− li assigna un nombre y de l'interval
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2,
2ππ
tal que sin y x= . El seu domini és l'interval [ ]1,1− i el seu recorregut és
l'interval ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2,
2ππ
.
Exemples: 62
1 π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛arcsin ;
2)1( π=arcsin ;
323 π
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−arcsin ; )25,1(arcsin no
existeix.
Propietats: a) ( )sin arcsin x = x b) ( ) ,2 2
siarcsin sin x x x π π⎡ ⎤= ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
5.2.2 Funció arc cosinus: ( )f x = arccos x
És la funció que a cada nombre real x de l'interval [ ]1,1− li fa corespondre un nombre real y de l'interval [ ]π,0 tal que cos y x= . El seu domini és l'interval [ ]1,1− i el seu recorregut, l'interval [ ]π,0 .
Exemples: ( 1)arccos π− = ; 2
2 4arccos π⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 22 3
arccos π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
; ( 2)arccos − no
existeix. Propietats: a) ( )cos arccos x x= b) ( )arccos cos x x= si [ ]π,0∈x
Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________13
5.2.3 Funció arc tangent: ( )f x arctg x= És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre un nombre real y de l'interval
,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠ tal que tg y x= .
El seu domini és i el seu recorregut, l'interval ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Exemples: (1)4
arctg π= ;
( 3)3
arctg π− = − ; (0) 0arctg =
Propietats: a) ( )tg arctg x x=
b) ( )arctg tg x x= si ,2 2
x π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
0 –1
1
π/2
–π/2
f(x) = arcsin x
–1 1
π
0
π/2
f(x) = arccos x
( )f x arctg x=f(x) = arctg x π/2
–π/2
( )f x arctg x=