Analysis day2

Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî

èí�îðìàòèêå

�åãèîíàëüíûé ýòàï, II òóð

�àçáîð çàäà÷

Àíäðèàíîâ È. À.

Ñòðåêàëîâñêèé Î. À.

Âîëîãîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè,

êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé è �èçèêè

Âîëîãäà

2016 ã.

1/36 Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî èí�îðìàòèêå �åãèîíàëüíûé ýòàï, II òóð�àçáîð çàäà÷

¾Òðè ñûíà¿

Îñíîâíàÿ èäåÿ

×òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ñóììó êâàäðàòîâ, íåîáõîäèìî

ñòàðàòüñÿ âûáèðàòü ÷èñëà a, b è c áëèçêèìè ê n/3.


¾Òðè ñûíà¿

Îñíîâíàÿ èäåÿ. Äîêàçàòåëüñòâî

Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëåäóþùèé �àêò:

Ïóñòü ðàçëè÷íûå ïîëîæèòåëüíûå öåëûå a < b òàêîâû, ÷òîa+ b = m.

Òîãäà åñëè ñóììà a2 + b2 ìèíèìàëüíà, òî b− a ≤ 2.


¾Òðè ñûíà¿


�àññìîòðèì ïðîöåññ ¾ñáëèæåíèÿ¿ a è b:Ïóñòü b− a > 2.Òîãäà a+ 1 6= b− 1 è

(a+ 1)2 + (b− 1)2 = a2 + 2a+ 1 + b2 − 2b+ 1 =a2 + b2 + 2(a− b) + 2 < a2 + b2 − 4 + 2 < a2 + b2 ⇒ âçÿâ âìåñòî

a è b ÷èñëà a+ 1 è b− 1, ìû ïîëó÷èì äâà ðàçëè÷íûõ ÷èñëà ñ

òàêîé æå ñóììîé, íî ìåíüøåé ñóììîé êâàäðàòîâ ⇒ a è bíóæíî ñäâèãàòü äî òåõ ïîð, ïîêà a+ 1 6= b− 1 è ýòîò ïðîöåññ

îñòàíîâèòñÿ, êàê òîëüêî b− a ñòàíåò ≤ 2.


¾Òðè ñûíà¿


�àññìîòðèì òåïåðü òðè ÷èñëà a, b è c, êîòîðûå òðåáóåòñÿíàéòè â çàäà÷å.

Ïðèìåíèâ ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå äëÿ a è b ïðè�èêñèðîâàííîì c, à òàêæå äëÿ b è c ïðè �èêñèðîâàííîì a,ïîëó÷èì ÷òî âñå ÷èñëà íå áîëåå ÷åì íà 2 îòñòîÿò îò

çíà÷åíèÿ n/3:{

b− a ≤ 2

c− b ≤ 2⇒ c− a ≤ 4 ⇒ a, b, c ∈ [n/3− 2, n/3 + 2]


¾Òðè ñûíà¿

�åøåíèå ñ ïåðåáîðîì

Ïåðåáåðåì âñå òðîéêè öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ãäå êàæäîå

÷èñëî, íå áîëåå ÷åì íà 2 îòëè÷àåòñÿ îò n/3, è âûáåðåì ñðåäè

íèõ òðîéêó ñ ìèíèìàëüíîé ñóììîé êâàäðàòîâ.


¾Òðè ñûíà¿

Âûáîð îäíîé èç òð¼õ êîìáèíàöèé

×òîáû ñóììà êâàäðàòîâ áûëà ìèíèìàëüíà, íóæíî, ÷òîáû ÷èñëà

îòëè÷àëèñü êàê ìîæíî ìåíüøå.

1

Åñëè (n− 3) | 3, òî îòâåò � 〈a, a+ 1, a+ 2〉, ãäåa = (n− 3)/3.

2

Åñëè (n− 5) | 3, òî îòâåò � 〈a, a+ 2, a+ 3〉, ãäåa = (n− 5)/3.

3

Èíà÷å îòâåò � 〈a, a+ 1, a+ 3〉, ãäå a = (n− 4)/3.

Îäèí èç âàðèàíòîâ òî÷íî ïîäîéä¼ò.


Âîïðîñû ïî çàäà÷å?


¾�èïåðøàøêè¿

1

Îòñîðòèðóåì ìàññèâ x ïî âîçðàñòàíèþ.

2

Ñîçäàäèì àññîöèàòèâíûé ìàññèâ ount, ãäå ount[i℄ �

êîëè÷åñòâî ïîâòîðîâ ÷èñëà i.

3

Cîçäàäèì äâà óïîðÿäî÷åííûõ ìàññèâà all è rep, ãäå:

1

all � âñå âõîäíûå ÷èñëà áåç ïîâòîðîâ;

2

rep � âõîäíûå ÷èñëà, êîòîðûå ïîâòîðÿëèñü (íî â ìàññèâå

rep êàæäîå áóäåò â îäíîì ýêçåìïëÿðå).



Ïåðåáèðàåì ÷èñëà â àññîöèàòèâíîì ìàññèâå ount � ýòî áóäåò

íàèìåíüøåå ÷èñëî â ñ÷¼òå.

Îáîçíà÷èì åãî çà a.

Åñëè ount[a℄ ≥ 3, òî äîáàâëÿåì ê îòâåòó 1.






Åñëè ount[a℄ ≥ 2, òî ðàññìîòðèì âàðèàíò ñ÷¼òà ñ äâóìÿ

ýêçåìïëÿðàìè ÷èñëà a è åù¼ îäíèì ÷èñëîì â äèàïàçîíå

(a, a ∗ k]:1

Èñïîëüçóåì äâîè÷íûé ïîèñê ïî all äëÿ ïîèñêà êîëè÷åñòâà

÷èñåë â äèàïàçîíå.

2

�åçóëüòàò óìíîæàåì íà 3, òàê êàê äëÿ êàæäîãî ÷èñëà xåñòü 3 âàðèàíòà ñ÷¼òà: 〈a, a, x〉, 〈a, x, a〉, 〈x, a, a〉.






Ïðîáóåì ÷èñëî a âçÿòü â îäíîì ýêçåìïëÿðå:

Âàðèàíò 1: îñòàâøèåñÿ äâà ÷èñëà â ñ÷¼òå îäèíàêîâû.

1

Ñ ïîìîùüþ äâîè÷íîãî ïîèñêà ïî rep èùåì êîëè÷åñòâî

÷èñåë ñ ïîâòîðàìè â äèàïàçîíå (a, a ∗ k].2

�åçóëüòàò óìíîæàåì íà 3, òàê êàê 3 âàðèàíòà: 〈a, x, x〉,〈x, x, a〉, 〈x, a, x〉.

Âàðèàíò 2: îñòàâøèåñÿ äâà ÷èñëà â ñ÷¼òå ðàçíûå.

1

Ñ ïîìîùüþ äâîè÷íîãî ïîèñêà ïî all èùåì êîëè÷åñòâî.

2

Èñïîëüçóåì �îðìóëó Cn

2 , ðåçóëüòàò äîìíîæàåì íà 3 ïî

àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå.



Ñóùåñòâóþò àëüòåðíàòèâíûå ðåøåíèÿ äëÿ ïîäñ÷¼òà ñóììû ñ

èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ¾äâóõ óêàçàòåëåé¿, ÷òî ïîçâîëÿåò

ïîñëå ñîðòèðîâêè ïîñ÷èòàòü îòâåò çà O(N), âìåñòîO(N logN), êàê â âàðèàíòå ñ äâîè÷íûì ïîèñêîì.



Òèïè÷íûå îøèáêè

�àçáîð íå âñåõ âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé.

Âûõîäû çà ãðàíèöû ìàññèâîâ.




¾Èíòåðåñíûå ÷èñëà¿

×àñòè÷íûå ðåøåíèÿ

Ïîäçàäà÷à 1:

Äîñòàòî÷íî ïåðåáðàòü âñå ÷èñëà èç äèàïàçîíà îò L äî R è

äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî

èíòåðåñíûì.

Ïîäçàäà÷à 2

Äîñòàòî÷íî ïåðåáèðàòü òîëüêî èíòåðåñíûå ÷èñëà, ñîõðàíÿÿ

â ïåðåáîðå óæå ïîñòàâëåííóþ ÷àñòü ÷èñëà è ïîñëåäíþþ

öè�ðó.

Áóäåì äîïèñûâàòü òîëüêî òå öè�ðû, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê

ñîõðàíåíèþ ñâîéñòâà èíòåðåñíîñòè.

Ìåæäó 1 è 1018 âñåãî 4 686 824 èíòåðåñíûõ ÷èñëà, ïîýòîìó

ïåðåáîð áóäåò íåáîëüøîé.



Îñíîâíûå èäåè äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ

1

Ïóñòü c(L,R) � êîëè÷åñòâî èíòåðåñíûõ ÷èñåë îò L äî R.

2

Çàìåòèì, ÷òî c(L,R) = c(1, R) − c(1, L− 1) ⇒ äîñòàòî÷íî

óìåòü âû÷èñëÿòü òîëüêî òàêèå c, ãäå ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî 1.

3

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ c áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä

äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.



�åøåíèå 3�åé ïîäçàäà÷è, ãäå R = 10k

Ïîñêîëüêó ñàìî ÷èñëî 10k èíòåðåñíûì íå ÿâëÿåòñÿ, çàäà÷à

ñâîäèòñÿ ê ïîäñ÷åòó êîëè÷åñòâà èíòåðåñíûõ ÷èñåë, ñîñòîÿùèõ

èç k öè�ð, ïðè÷åì âåäóùèå íóëè ðàçðåøàþòñÿ (áóäåò

ïîñ÷èòàíî ëèøíåå ÷èñëî 0, ïîýòîìó èç îòâåòà âû÷òåì 1).



�åøåíèå 3�åé ïîäçàäà÷è, ãäå R = 10k

Ïóñòü d[i][j] � êîëè÷åñòâî èíòåðåñíûõ ÷èñåë èç i öè�ð,ïîñëåäíÿÿ öè�ðà êîòîðûõ ðàâíà j.

d[i][j] =

{

d[1][j] = 1 äëÿ âñåõ j

d[i][j] = sum(d[i− 1][k], k = 0 . . . j) äëÿ i > 1

Âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîèçâîäèòü ïî ìîäóëþ 109 + 7.

Ïðèìåð

1

Ïóñòü i = 3, j = 5.

2

Íàñ èíòåðåñóåò êîëè÷åñòâî èíòåðåñíûõ ÷èñåë âèäà ab5.

3

Âìåñòî ab ìîæíî ïîäñòàâëÿòü äâóçíà÷íûå èíòåðåñíûå

÷èñëà, êîòîðûå êîí÷àþòñÿ íà 0, 1, 2, 3, 4, 5 � ñóììèðóåì

èõ êîëè÷åñòâî.



Ïîëíîå ðåøåíèå

Äëÿ óäîáñòâà ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùåå (õîòÿ ìîæíî ðåøàòü è

áåç ýòîãî).

1

Åñëè R � íåèíòåðåñíîå ÷èñëî, òî çàìåíèì åãî íà

íàèáîëüøåå èíòåðåñíîå ÷èñëî < R.

2

Äëÿ ýòîãî íàéä¼ì â R ïåðâóþ ïîçèöèþ i, ãäåR[i] > R[i+ 1].

3

Óìåíüøèì R[i] íà 1, à âñå öè�ðû ïîñëå íå¼ çàìåíèì íà

äåâÿòêè.

4

Ïîñêîëüêó R[i] óìåíüøèëàñü íà 1, òî ýòà öè�ðà ìîæåò

ñòàòü ìåíüøå ïðåäûäóùåé � òîãäà íóæíî áóäåò ñäåëàòü òî

æå ñàìîå, è òàê íåñêîëüêî ðàç.




Ïðèìåð

Ïóñòü R = 24415

1

Âèäèì, ÷òî 1 > 4 � ìåíÿåì: R‘ = 24399.

2

Òåïåðü ñòàëî 3 > 4 � ïîâòîðÿåì åùå ðàç: R“ = 23999.

3

Ìû ïîëó÷èëè íàèáîëüøåå èíòåðåñíîå ÷èñëî ≤ R.




Åñëè R íå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ 10, òî íå âñå èíòåðåñíûå

÷èñëà èç òàêîãî êîëè÷åñòâà öè�ð ïîäõîäÿò.

Åñëè ðàññìîòðåòü ïðå�èêñ èíòåðåñíîãî ÷èñëà è åñëè â íåì

åñòü õîòÿ áû îäíà öè�ðà, ìåíüøàÿ ñîîòâåòñòâóþùåé

öè�ðû â R, òî ïðîäîëæåíèå ìîæåò áûòü ëþáûì.

Ïðèìåð

Ïóñòü íàñ èíòåðåñóþò ÷èñëà T ñ ïðå�èêñîì 134.

T = 134xxxxx

R = 13677899

Òàê êàê 4 < 6, òî áóêâû x ìîæíî çàìåíèòü íà ëþáûå öè�ðû

≥ 4, èäóùèå â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå.

Ïóñòü íàñ èíòåðåñóþò ÷èñëà T ñ ïðå�èêñîì 135.

T = 135xxxxx

R = 13588899

Òàê êàê 5 = 5, òî òàê óæå äåëàòü íåëüçÿ � ìîæåì âûéòè çà R.20/36 Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî èí�îðìàòèêå �åãèîíàëüíûé ýòàï, II òóð�àçáîð çàäà÷



1

Ïåðåáåðåì äëèíó îáùåãî ïðå�èêñà èíòåðåñíîãî ÷èñëà è R.Ïóñòü îíà ðàâíà k.

2

Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ k çàïóñòèì îòäåëüíîå âû÷èñëåíèå

ìåòîäîì ÄÏ:

1

Ïóñòü d[i][j] � ïî�ïðåæíåìó êîëè÷åñòâî èíòåðåñíûõ ÷èñåë

èç i öè�ð, â êîòîðûõ ïîñëåäíÿÿ öè�ðà j.2

Äîáàâëÿåòñÿ óñëîâèå: ïåðâûå k öè�ð ïðå�èêñà ñîâïàäàþò

ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè öè�ðàìè R, à ñëåäóþùàÿ öè�ðà �

ñòðîãî ìåíüøå.

3

Ôîðìóëà äëÿ ïåðåñ÷åòà íå ìåíÿåòñÿ, à íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ

ìåíÿþòñÿ:

d[k + 1][j] = 1 äëÿ òåõ j, êîòîðûå áîëüøå èëè ðàâíû k�éöè�ðå ÷èñëà R è ñòðîãî ìåíüøå åãî (k + 1)-é öè�ðû.




Ïðèìåð

Ïóñòü k = 3.T=135xxxxxR=13588899Ïåðâàÿ öè�ðà x ìîæåò áûòü òîëüêî 6 èëè 7, òî åñòü

d[3][6] = 1, d[3][7] = 1.Ïðèìå÷àíèå: ñëó÷àé, êîãäà ýòîò x ðàâåí 8, áóäåò àâòîìàòè÷åñêè

ïðè k = 4.




¾�àðìîíè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü¿

Ïóñòü x è y � äâà ïåðâûõ ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò âèä:

x, y, (y − x),−x,−y, (x − y), x, y, . . .Äëèíà ïåðèîäà ðàâíà 6.

Íóæíî ìèíèìèçèðîâàòü �óíêöèþ:

|x− b1|+ |y − b2|+ |(y − x)− b3|+ | − x− b4|+ | − y− b5|+|(x− y)− b6|+ . . .Íåìíîãî ïðåîáðàçóåì å¼:

|x− b1|+ |y − b2|+ |(y − x)− b3|+ |x− (−b4)|+|y − (−b5)|+ |(y − x)− (−b6)|+ . . .



|x− b1|+ |y − b2|+ |(y − x)− b3|+ |x− (−b4)|+ |y − (−b5)|+|(y − x)− (−b6)|+ . . .

1

Òåïåðü âñå ñëàãàåìûå ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû:

1

Âèäà |x− a|;2

Âèäà |y − b];3

Âèäà |(y − x)− c|

2

Ñîçäàäèì òðè îòäåëüíûõ ìàññèâà bx, by è byx äëÿ

õðàíåíèÿ çíà÷åíèé âû÷èòàåìûõ ýëåìåíòîâ â ýòèõ ãðóïïàõ,

è îòñîðòèðóåì èõ ïî âîçðàñòàíèþ.



Çàìåòèì, ÷òî �óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé âíèç è ïî x, è ïî y,òî åñòü èìååò îäèí ìèíèìóì.

Ýòî ìîæíî óâèäåòü, íàïðèìåð, èç òàêèõ ñîîáðàæåíèé:

1

Çà�èêñèðóåì êîíêðåòíîå x.

2

Òîãäà ñóììà ïî ïåðâîé ãðóïïå ïðåâðàòèòñÿ â êîíñòàíòó, à

âòîðàÿ è òðåòüÿ ãðóïïû ñîåäèíÿòñÿ â îäíó ñî ñëàãàåìûìè

âèäà |y − b|.

3

Îòñîðòèðóåì èõ ïî âîçðàñòàíèþ b:|y − b1|+ |y − b2|+ |y − b3|+ . . ., ãäå b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ . . ..



Êàê èçìåíèòñÿ çíà÷åíèå �óíêöèè ïðè óâåëè÷åíèè y íà 1?

Ïðèìåð: |y − 3|+ |y − 5|+ |y − 8|



1

Îáîçíà÷èì nLeft � êîëè÷åñòâî òî÷åê ñëåâà îò y, ànRight � êîëè÷åñòâî òî÷åê ñïðàâà îò y.

2 f(x, y + 1)− f(x, y) = nLeft− nRight.

3

Ïðè äâèæåíèè y ñëåâà íàïðàâî ñíà÷àëà nLeft < nRight,íî ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñòàíåò nLeft > nRight ⇒�óíêöèÿ ñíà÷àëà óáûâàåò, ïîòîì âîçðàñòàåò.

4

Äëÿ �èêñèðîâàííîãî y ðàññóæäåíèÿ áóäóò àíàëîãè÷íû.



Ñîîòâåòñòâåííî ìîæåì èñïîëüçîâàòü êàêîé-íèáóäü ÷èñëåííûé

ìåòîä îïòèìèçàöèè.

Íàïðèìåð:

Äâóìåðíûé òåðíàðíûé ïîèñê;

Ìåòîä ãðàäèåíòíîãî ñïóñêà;

Òàêîå ðåøåíèå ìîæåò íàáðàòü 100 áàëëîâ.



�åøåíèå ñ òåðíàðíûì ïîèñêîì

Îäíîìåðíûé òåðíàðíûé ïîèñê:

Ïóñòü �óíêöèÿ f(x) íà îòðåçêå [l, r] èìååò îäèí ìèíèìóì, è

íóæíî åãî íàéòè.

Àëãîðèòì:

1

Ïîñ÷èòàåì çíà÷åíèÿ �óíêöèè â òî÷êàõ

a = l + (r − l)/3, b = r − (r − l)/3.

2

Åñëè f(a) < f(b), òî àáñöèññà ìèíèìóìà ∈ [l, b], èíà÷å∈ [a, r].

3

Cóæàåì ãðàíèöû ïîèñêà è äàëüøå ïîâòîðÿåì àíàëîãè÷íî.



�åøåíèå ñ òåðíàðíûì ïîèñêîì

Äâóìåðíûé òåðíàðíûé ïîèñê � ïðîñòî äâà âëîæåííûõ

îäíîìåðíûõ òåðíàðíûõ ïîèñêà.

Çíà÷åíèå x èùåò ¾âíåøíèé¿ òåðíàðíûé ïîèñê.

Ïðè êàæäîì �èêñèðîâàííîì x çàäà÷à ïðåâðàùàåòñÿ â

îäíîìåðíóþ, è çíà÷åíèå y èùåò ¾âíóòðåííèé¿ òåðíàðíûé

ïîèñê.

�ðàíèöû ïîèñêà: îò −2× 109 äî 2× 109.



Áûñòðîå âû÷èñëåíèå �óíêöèè f â òî÷êå (x, y)

Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðå�èêñíûìè è ñó��èêñíûìè

ñóììàìè.

Ìàññèâ ïðå�èêñíûõ ñóìì äëÿ íåêîòîðîãî ìàññèâà v

óñòðîåí òàê:

pref[i℄ = v[0℄ + v[1℄ + . . . + v[i℄

Åãî íåñëîæíî ïîñòðîèòü çà ëèíåéíîå âðåìÿ.

Àíàëîãè÷íî, ìàññèâ ñó��èêñíûõ ñóìì:

suf[i℄ = v[i℄ + v[i + 1℄ + . . . + v[n℄.



Áûñòðîå âû÷èñëåíèå �óíêöèè f â òî÷êå (x, y)

×òîáû íàéòè ñóììó ïî ïåðâîé ãðóïïå, èùåì äâîè÷íûì

ïîèñêîì â bx òàêóþ ïîçèöèþ pos, ÷òî ñëåâà âñåì ýëåìåíòû

< x, ñïðàâà � ≥ x.

Sum = x ∗ pos−pref[pos - 1℄ +suf[pos℄−x ∗ (bx.size()− pos).

×àñòíûå ñëó÷àè: âñå ýëåìåíòû ìåíüøå x, âñå áîëüøå x.

Ïî îñòàëüíûì äâóì ãðóïïàì � àíàëîãè÷íî.



Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è, êîòîðûå

îïèðàþòñÿ íà ñëåäóþùèé �àêò:

Ñóùåñòâóåò ïàðà (x, y), êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò ñóììó ìîäóëåé,

òàêàÿ, ÷òî êàê ìèíèìóì â äâóõ èç òðåõ ãðóïï çíà÷åíèÿ õîòÿ áû

îäíîãî ìîäóëÿ ðàâíû íóëþ.

�åøåíèå çà O(n3):

1

Çà�èêñèðóåì äâå èç òðåõ ãðóïï.

2

Ïåðåáåðåì, êàêèå èìåííî ìîäóëè ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èâ òåì

ñàìûì x è y, âîññòàíîâèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îáíîâèì

îòâåò.

�åøåíèå çà O(n2 log n):

1

Çà�èêñèðóåì äâå èç òðåõ ãðóïï, ïåðåáåðåì, êàêèå èìåííî

ìîäóëè ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èâ òåì ñàìûì x è y.

2

Cîñ÷èòàåì çíà÷åíèå �óíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðå�èêñíûõ è

ñó��èêñíûõ ñóìì è îáíîâèì îòâåò.




Çàêëþ÷åíèå

Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!


Education

Analysis day2