24/12/2015

1

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

GEOMETRÍA

Prof. Ramiro Domínguez Gonzales

ELMENTOS

CONCEPTO

PROPIEDADES

RECONOCIENDO A LOS TRIÁNGULOS

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

CLASIFICACIÓN

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

DEFINICIÓN.-Dado tres puntos A,B,C , no alineados(coplanares); se llama triángulo ABC ala figura formada por la reunión delos segmentos: AB,BC,AC

ABC = AB U BC U AC

A

C

B

ÁNGULO

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

ELEMENTOS

LADOS : AB, BC, AC ; a , b, c

VERTICES : A ,B ,C

ANGULOSINTERNO :

EXTERNO : :

PERIMETRO : P = a + b +c

ELEMENTOS

α β θm p n

A

C

B

m

n

p

αθ

βc

ab

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

A B

α βθ

α β

C

α θ β+ + = 180o

1.- La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°

PROPIEDADES

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

2.- LA SUMA DE LOS ANGULOS EXTERNOS DE UN TRIANGULO ES 360° (uno por vértice)

A

C

B

α

θ

β

θ β α+ =+ 360o

PROPIEDADES

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

3.- Un ángulo externo de un triángulo es igual a lasuma de los dos ángulos internos no adyacentes adicho ángulo

θ

α β

BA

C

α βθ+ =

PROPIEDADES

24/12/2015

2

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

La suma de dos de sus lados

debe ser mayor que el tercero:

M

N

P

La resta de dos de sus lados debe

ser menor que el tercero:

A

+ >CB

+

+ >

>

B C

A

C

A

B

A−

B

<

CB

−

C

< A

C

−A

<

BB

A

C

PROPIEDADES DE SUS LADOS : A , B y C

PROPIEDADES

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

I.- SEGÚN SUS LADOS

* EQUILATERO : Tiene tres lados y tres ángulos congruentes

* ISOSCELES : Tiene dos lados y dos ángulos dela base congruentes

* ESCALENO : Tiene tres lados y tres ángulos no congruentes

II.- SEGÚN SUS ANGULOS

RECTANGULO : Tiene un ángulo recto (90°)

OBLICUANGULOS:

ACUTANGULOS : Tiene tres ángulos agudos

OBTUSANGULO: Tiene un ángulo obtuso

CLASIFICACIÓN

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

β β60° 60°

60°

EQUILATEROISÓSCELES ESCALENO

RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO

SEGÚN SUSLADOS

SEGÚN SUSÁNGULOS

α

β

90α + β = °

α

β θ

180α + β + θ = °

α

90 180° < α < °

CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

TRIÁNGULO A B C D E F G H I

EQUILÁTERO

ISÓSCELES

ESCALENO

RECTÁNGULO

ACUTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

13

1310

A

54

3

B7 7

3

Cm

E

60° Fa

a

G

8 8

8

H

80°

20°

I

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

SI

LADOS

ÁNGULOS

80°D

10

5

13

RECONOCIENDO A LOS TRIANGULOS

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

o53

o50

x

1.- Determine el valor de “x”

EJERCICIO Nº 1

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

o55

o50o55

x

o50

o80o70

80°+ x + 55° = 180°

135°+ x = 180°

x = 180° - 135°

x = 45°

100° + 80° = 180°

110° + 70° = 180°

c) Por ser angulo llano

SOLUCION Nº 1

24/12/2015

3

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x40°

2.- Determine el valor de “x”

EJERCICIO Nº 2

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x40°

50° 40°

40°+ x = 90°x = 90° - 40°

x = 50°

90° =40° + 50°

180° =50° + 90° + 40°

SOLUCIÓNSOLUCIÓN Nº 2

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

B A

DC

55°80°

x

3.- Determine el valor de “x”, donde AB=BC=CD.

EJECICIO Nº 3

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

B A

DC

55°80°

x 55°

50°

50°70°

a) En el ABC Por se isosceles△

AB BC CD= =

55m BAC =∡ °

b) En el BCD Por se isosceles△

50 50m CDA m DBC= ∧ =∡ ∡° °

70m ABC⇒ =∡ °

x + 50°+ 70°= 180°x + 120° = 180°

x = 60°

x = 180°- 120°

c) Por ser angulo llano

SOLUCIÓN Nº 3

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

60°

x

D AC

B4.- Si se sabe que AB=BC=CD. Determina el valor de

“x”

EJERCICIO Nº 4

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

60°

60°60°x

30°

D AC

B

120°

a) En el ABC Por se isosceles△

60°=m BAC∡ 60°⇒ =m ACB∡

6O° + 60° = 120°d) En el Por se isoscelesDCB△

30°=m DBC∡ 30°⇒ = =m BDC x∡

c) En el La suma de los

angulos interiores es 180°

DCB△

120° + 60° = 180°

AB BC CD= =

△b) En el ACD Por un ángulo externo de un triángulo

SOLUCIÓN Nº 4

24/12/2015

4

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x20°

5.-Determina el valor de “x”

EJERCICIO Nº 5

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x20°

x

2x

2x

a) En el ADC Por se isosceles△

=Como m DAC x∡

△b) En el ACD Por un ángulo externo de un triángulo

2+ = + =m DAC m ACD x x x∡ ∡

⇒ =m DCA x∡ 2x + 2x+ 20°= 180°

4x + 20° = 180°

4x = 160°

4x = 180°- 20°

A

B

C

D

x = 4 c) En el ADC Por se isosceles△

2= =m CDB m DBC x∡ ∡

d) En el CDB△

SOLUCIÓN Nº 5

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x

37°

6.- De la figura, determina el valor de “x”

EJERCICIO Nº 6

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x

37°

53°

53°

37Como m BCA =∡ °

a) En el Triangulo Rectangulo ABC

53 53 106m EAD m ADE+ = + =∡ ∡ ° ° °

53m BAC⇒ =∡ °

⇒ x = 106°

△b) En el ADE Por se isosceles

53m EAD m ADE= =∡ ∡ °

B

C

D

E

c) En el AED Por un ángulo externo de un triángulo

△

A

SOLUCIÓN Nº 6

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

20° 50°

x

7.- Del grafico, determina el valor de “x”

EJERCICIO Nº 7

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

20° 50°

70°70°

x

AC

D

B

M

a) En el AMC Por un ángulo externo de un triángulo

△

50 20 70m MAC m ACM+ = + =∡ ∡ ° ° °

△b) En el DMB Por se isosceles

70Om BMD m MDB= =∡ ∡

70° + 70°+ x = 180° 140° + x = 180°

x = 40°

x = 180°- 140°

DMB△c) En el

SOLUCIÓN Nº 7

24/12/2015

5

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

7u 12u

x AC

B

8.- Del triángulo ABC , determina el máximo y el mínimo valor que puede tomar “x”

EJERCICIO Nº 8

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

a) En el ABC Por la propiedad de sus lados

△

x < 7u + 12u

7u 12u

x AC

B

x < 18u

b) En el ABC Por la propiedad de sus lados

△

x > 12u - 7u

x > 5u

⇒ 5u < x < 18u

Rpt: Min = 6u y Max =17u

SOLUCIÓN Nº 8

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x+7 2x-1

20AC

B

10.- Determina el perímetro del triángulo

EJERCICIO Nº 9

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

x+7 2x-1

20AC

B△a) En el ABC Por se isosceles

2x - 1 = x + 7

b) En el ABC el perimetro es:△

AB BC CA+ +

2x-x =7 + 1x = 8

⇒ AB = 2x - 1

AB= 2(8) - 1 =16 - 1 =15

BC = x + 7

BC= 8 + 7 =15

CA = 20

c) El perimetro es:

AB BC CA+ +

15 15 20+ + = 50

Rpt: 50

SOLUCIÓN Nº 9

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

AC

B

o

6x+ 20 o

3x+ 40

o

x+ 50

6x + 20° + 3x+ 40° + x + 50°= 180°

10x + 110° = 180°

10x = 70°

10x = 180°- 110°

70° x =

10

x = 7°

a) Por propiedad

1.- Los ángulos interiores de un triángulo miden (6x+20 )° ; (3x+50)° y (x+50°).Determina el valor de “x”

solución

EJERCICIO Nº 10

RAMIRO

DOMINGUEZ

GONZALES

A

B

CF

20° 30°x

m A B C + 20° + 30° = 180°∢

m A B C + 50° = 180°∢

m ABC = 180° - 50°∢

m ABC = 130°∢

a) Calculamos m ABC∢

b) Como BF es bisectriz, entonces

m ABC = m ABF + m FBC∢ ∢ ∢

130° 65° 65°= +

65° 65°

△c) En el AMC Por un ángulo externo de un triángulo

m FAB m ABF m BFC+ =∡ ∡ ∢

85°20° 65° =+ ⇒ x = 85°

solución

En un ABC, la m A = 20° y m C = 30°. Si se traza

la bisectriz interior BF, determine la m BFC

−2. △ ∢ ∢

∢

EJERCICIO Nº 11