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Ilydio Pereira de Sá Geraldo Lins

Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 2

MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES

PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)

1) INTRODUÇÃO

Observe as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos da própria matemática:

1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias?

2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população era de 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes dessa cidade, em 2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual?

3. Observe a seqüência abaixo:

.. . .

. . . . . .. . . . . . . . . .1 3 6 10

Esses números são chamados de números triangulares (veja a disposição e a quantidade de pontos de cada termo). Qual será o décimo termo dessa seqüência? Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais, serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos no capítulo das progressões aritméticas e das progressões geométricas. Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que chamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um determinado fato ou fenômeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) nos primeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa na tabela a seguir:

Dia útil (Abril de 2003)

Dólar (Compra)

1 R$ 3,335

2 R$ 3,278

3 R$ 3,255

4 R$ 3,246

5 R$ 3,171

Dia útil (Abril de 2003)

Dólar (Compra)

6 R$ 3,164

7 R$ 3,184

8 R$ 3,214

9 R$ 3,213

10 R$ 3,181

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Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem uma seqüência. Convenciona-se designar por uma letra minúscula qualquer (normalmente a) a qualquer um dos termos de uma seqüência, usando como índice um número que denota a posição do termo na seqüência. Assim, a notação a1 representa o primeiro termo da seqüência, que no nosso exemplo do dólar é o valor 3,335. A notação a10 representa o décimo termo e assim sucessivamente.

� Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos an.

Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa de inflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos como saber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável e depende de diversos fatores não previsíveis. Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade, conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes:

7 10 13 16 19 22 ... +3 +3 +3 +3 +3

O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R). Portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R = 3. Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações:

� 3, 7, 11, 15, 19, 23 ... Temos R = 4. Uma progressão crescente.

� 9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ... Temos R = - 2. Uma progressão decrescente.

� 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ... Temos R = 0. … uma progressão estacionária. Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressão aritmética. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo e o anterior, a partir do segundo termo. Assim, retomando os três últimos exemplos, temos: na 1a. progressão: R = 7 - 3 = 4R = 11 -7 = 4 R = 15 - 11 = 4 etc. na 2a. progressão: R = 7 - 9 = - 2R = 5 - 7 = - 2 etc. na 3a. progressão: R = 4 - 4 = 0

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2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Passemos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão aritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R: a1 a2 a3 a4 a5 a6 .... an

+R + R + R + R + R + R .... Suponha que você conhece o primeiro termo (a1), e a razão (R). Como faremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades:

a2 = a1+ Ra3 = a1 + 2R a4 = a1 + 3R a5 = a1+ 4R ................... a10 = a1 + 9R

Vemos então que, para calcular um termo qualquer (an) é preciso somar ao 1º termo, (n -1) vezes a razão, ou seja: Fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1).R

Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9. Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24, lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir (n -1) degraus. Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes. EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38, ...? Solução: A razão da progressão é R = 17 -10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10. Desejamos calcular o trigésimo termo, ou seja, a30.A partir da fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1)R Substituindo a letra n por 30, obtemos: a30 = a1 + 29.R Daí, a30 = 10 + 29 . 7 a30 = 213 Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.

EXEMPLO 2: Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu? Solução: A progressão desse exemplo é a seguinte: 17, 19, 21, 23, ..., 63. O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então:

a1 = 17 an = 63 R = 2

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número de termos da progressão: an = a1 + (n - 1).R 63 = 17 + (n - 1). 2 63 - 17 = 2n - 2 46 = 2n - 2

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48 = 2n n = 24 A progressão tem, portanto, 24 termos.

EXEMPLO 3: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25? Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremos são os números 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A. (1, __, __, __, __, __, 25). an = a1 + (n - 1).R ou a7 = a1 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

EXEMPLO 4: Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando em dezembro do ano seguinte? Solução: Se o salário de Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dos salários é uma progressão aritmética de razão igual a 8. Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situação:

janeiro _ a1 = 270,00 fevereiro _ a2 = 278,00 ............................................ ............................................ dezembro _ a12 =janeiro _ a13 =............................................ ............................................ dezembro _ a24 = ?Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usando a fórmula do termo geral, teremos: a24 = a1 + 23.R a24 = 270 + 23.8 a24 = 270 + 184 a24 = 454 Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 454,00.

"Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o verdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes."

(Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)

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3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A) Propriedade Fundamental de uma P. A Sempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. A, o termo do meio será igual à média aritmética dos outros dois.

Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.A, teremos que x+zy=2 . Essa

propriedade decorre da própria definição da P.A, onde as diferenças entre dois termos consecutivos devem ser iguais.

De fato, se y – x = z – y , isso acarretará que 2y = x + z ou x+zy=2 .

EXEMPLO 5: Sabendo-se que ( 2x, 4x – 10, 4x , ...) são os três primeiros termos de uma P.A, obtenha:

a) o valor de x b) o valor da razão da P. A c) o valor do 25º termo dessa mesma P. A

Solução: De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. A,

teremos: 2x + 4x4x - 10 = 3x

2= . Logo, teremos x = 10. (pergunta a).

b) Se x = 10, então os três primeiros termos da P.A serão (20, 30, 40) e fica fácil perceber que a razão é igual a 10. c) a25 = a1 + 24. R, logo, a25 = 20 + 24. 10 = 20 + 240 = 260. B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.

Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo:

9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20

Poderemos fazer a demonstração para o caso geral: (a1, a2, a3... ap, ... aq,.......... an)__ p termos__ __ p termos__

Verifique que entre o primeiro termo e o termo ap existem p termos e entre o termo aq otermo an também existem p termos. Por isso esses termos são denominados de eqüidistantes dos extremos. Temos que provar que a soma desses dois termos (ap + aq ) éigual à soma dos dois extremos da P.A (a1+ an). De fato, ap = a1+ (p – 1).r e an= aq + (p – 1).r ...logo: ap – an= a1+ (p – 1).r – (aq + (p – 1).r) = a1+ pr – r – aq – pr + r

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ap – an= a1 – aq ou então ap + aq= a1 + an o que demonstra a nossa propriedade.

C) O Gráfico de uma P.A Podemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico como este:

Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho de uma escada. Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética. D) Uma outra fórmula (Recorrência) Imagine que você se encontra no 3º andar de uma escada e que deseja atingir o 9º andar. Quantos andares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, em linguagem matemática pode ser representado por: a9 = a3 + 6 . R. De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m, devemos subir (m – n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneira mais geral de escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e não obrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: am = an + (m – n) . R.

Exemplo 6: A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinado com o seu pai. Sabemos que no 5º ano após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que no 8º ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no início desse acordo? Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valores do 8º e do 5º ano de mesada. a8 = a5 + 3 . R

Substituindo os valores conhecidos, temos: 110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10. Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e determinar o valor da mesada de Luciana no início do acordo (no primeiro ano de acordo) a5 = a1 + 4 . R ou 80 = a1 + 4.10 ou a1 = 40. Resposta: No início (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 1) 1) Uma criança está brincando com palitos de fósforo. Observe o que ela está fazendo.

Se ela continuar construindo seguindo o mesmo critério usado até agora, quantos quadrados ela terá construído com 250 palitos? 2) Achar três números em P. A e tais que a soma do primeiro com o terceiro seja 12 e o

produto do primeiro pelo segundo seja 24. 3) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16 m durante o primeiro segundo, 48

m durante o segundo, 80 m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no 15o.segundo.

4) O perímetro de um triângulo retângulo é 60 m e os seus lados formam uma P. A.

Determine a área desse triângulo. 5) Qual o primeiro termo de uma P.A, de 49 termos, se o último termo vale 28 e a sua

razão é igual a ½? 6) Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, e que são múltiplos de 5? 7) Quantos números inteiros existem, de 13 até 902, e que NÃO são múltiplos de 3? 8) Qual a razão da P.A obtida quando inserimos 4 termos(meios aritméticos) entre 9 e 24? 9) (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados A e B têm fabricado, respectivamente,

3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a sua produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a sua produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção da fábrica B vai superar a produção da fábrica A?

10) Escreva uma P.A (crescente), de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.

11) Os 3 termos de uma seqüência são proporcionais aos números 3, 5 e 9. Somando 4 ao

termo do meio, a nova seqüência formada é uma P.A. Determine a seqüência inicial.

12) Considere a seqüência ...) ,87,

43,

85,

21( . Determine seus três próximos termos.

13) Seja uma P.A de 7 termos e razão igual a R. Se retirarmos o segundo, o terceiro, o

quinto e o sexto termos, teremos uma outra P.A, de razão ... 14) Em uma P.A o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o

valor do décimo termo dessa progressão? 15) Quantos termos possui uma P.A cujo primeiro termo é igual a 10x – 9y, o último é igual a

y e a razão é igual a y – x (sendo y∈x)?

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4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

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O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nos mostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança, conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. É claro que o que está na reportagem não é uma demonstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxílio das propriedades que estudamos anteriormente, podemos aproveitar a idéia de Gauss e deduzirmos tal fórmula. Vejamos: Consideremos a soma S, de todos os termos de uma P.A (finita, é claro).

n1n2n321 aaa........ aaaS ++++++= −−

É claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra ordem. Vamos escrever a mesma soma, de trás para frente:

1232n1nn aaa........ aaaS ++++++= −−

Se somarmos essas duas expressões, teremos:

)a(a........ )a(a)a(a)a(aS2 1n2n31n2n1 ++++++= −+−+

Já vimos anteriormente que todas essas somas, de termos eqüidistantes dos extremos, são iguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda parte da expressão obtida pode ser substituída por

)a(a.n)a(a..... )a(a)a(a)a(a n11nn1n1n1 +=+++++++

Logo, chegamos finalmente a, 2n.)a(aS n1 += que é a fórmula clássica para obtermos

a soma dos termos de uma progressão aritmética.

UMA CURIOSIDADE... (adaptado de Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Podemos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos de uma P.A associando à uma progressão aritmética a idéia de uma “escada”. Vejamos essa situação para uma P.A de sete termos.

Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos de todos esses degraus. Vamos usar do mesmo artifício usado pelo nosso brilhante Gauss. Imaginemos duas dessas “escadas” (uma delas invertida) e acopladas.

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Observando a figura, constatamos algo que já sabíamos – que as somas a1 + a7 , a2 + a6 ,a3 + a5 , ... são todas iguais. Logo, podemos somar da seguinte forma:

Dessa forma, temos 2

7.)a(aSou7.)a(a2S 7171

+=+=

Acredito que a “visualização” acima mostrada, bem como a história de Gauss (Revista Galileu Especial) facilitarão que você se lembre de como proceder para somar todos os termos de uma progressão aritmética.

Exemplo 7: Qual a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A na qual a6 + a45 = 160? Solução: Pela fórmula que acabamos de deduzir, sabemos que a soma dos 50 primeiros

termos de uma P.A. é dada por: 2

50 .)a(aS 501 += mas, como sabemos que a1 + a50 = a6

+ a45 = 160, teremos então: 4000 2

50 .)601(S ==

Exemplo 8: Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em progressão aritmética, 202 + 206 + 210 + ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma que foi encontrada, por engano? Solução: Observamos que a razão da P.A é igual a 4 e que o primeiro termo é 202. Logo, já podemos obter os valores da 35ª e da 50ª parcelas, necessárias à solução do problema. Cálculo da 35ª parcela a35 = a1 + 34 . R = 202 + 34 . 4 = 338 (que terá de ser descontada do total, já que ela foi “esquecida”). Cálculo da 50ª parcela a50 = a1 + 49 . R = 202 + 49 . 4 = 398

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Soma das 50 parcelas = 2

50 .)a(aS 501 += = 15000 2

50 .)398 (202 =+

Soma que foi encontrada, com a falta da 35ª parcela = 15 000 – 338 = 14 662

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma interessante e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progressões aritméticas.

Como exemplo, vamos considerar a progressão aritmética de razão R = 7, começando em a1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:

A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termo da P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquina mostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você desejar. A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se não forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente. Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17. Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, após cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos da progressão sejam acumulados na memória da calculadora. Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5 termos da progressão aparecer· no visor. O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:

Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5 primeiros termos da progressão.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 2)

1) Calcule a soma de todos os números naturais ímpares de dois algarismos.

2) Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1 m.

O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira, volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar a décima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual foi a distância total percorrida pelo jardineiro?

3) Sendo x um número real, não nulo, calcule o valor da expressão:

744475053 x.....x.x.x.x −−−−

4) Calcular a soma de todos os termos de uma P.A cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos.

5) Obtenha a soma dos termos de uma P.A crescente, cujos dois primeiros termos são

as raízes da equação x2

– 10x + 24 = 0. O número de termos dessa progressão é o dobro do valor do segundo termo.

6) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora de prova, em seguida percorre 17 km na

segunda hora (ou seja, 37 km em 2 horas) e prossegue sempre dessa forma, percorrendo 3 km a menos nas próximas horas de percurso. Quanto tempo ele levou para percorrer um total de 77 km?

7) Obtenha a razão de uma P.A de 11 termos, cuja soma dos termos é 176. Sabemos que esta razão é positiva e que a diferença entre os dois termos extremos é igual a 30.

8) Colocando-se 1540 estudantes em fila, com 1 estudante na primeira fila, 2

estudantes na segunda, 3 estudantes na terceira e assim sucessivamente, formamos um triângulo. Quantas filas tem essa formatura?

9) (UFRJ) Um painel contêm lâmpadas vermelhas e azuis. No instante inicial (t0 = 0)

acendem-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, de 2 em 2 segundos, acendem-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O número de lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética de razão igual a 4 e o de azuis decresce em progressão aritmética de razão –3. Em

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determinado instante teremos a mesma quantidade de lâmpadas vermelhas e azuis acesas. Quantas lâmpadas de cada cor estarão acesas nesse momento?

10) Para escrever seus contos um escritor procede da seguinte maneira: escreve no

primeiro dia de trabalho 20 linhas, e nos dias seguintes, escreve o número de linhas do dia anterior, acrescido de 5 linhas. Seu último conto tem 17 páginas, e em cada página 25 linhas. Calcule em quantos dias esse conto foi escrito.

GABARITOS

SÉRIE 1 01) 83 02) 4, 6, 8 03) 464 m

04) 150 m

2 05) 180 06) 127 07) 594 08) 3 09) outubro 10) (0, 4, 8)

11) 12, 20, 36 12) 1, 9/8, 5/4 13) 3R 14) 1,302 15) 11

SÉRIE 2 01) 2475 02) 846 m 03) x

-483 04) 175

05) 180 06) 7 h 07) R = 3 08) 55 09) 25 10) 10

"Nós geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que não devemos fazer. E, provavelmente, aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma descoberta."

(Samuel Smiles)

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MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES

PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G)

1) INTRODUÇÃO

Consideremos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1990 custava 100 reais, teve seu preço reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preço do ano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preços:

Ano Preço (R$) 1990 100,00 1991 110,00 1992 121,00 1993 133,10 1994 146,41

Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessa seqüência, vai observar agora que os quocientes dessas divisões serão todos iguais. Vejamos: 110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10 Se lembrarmos que o número decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremos que cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do ano anterior. Esse tipo de seqüências, onde cada termo (a partir do segundo) é obtido através da multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q), é o que chamamos de Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo. Valem para as progressões geométricas as mesmas notações e convenções que usamos para as progressões aritméticas: a1 para o primeiro termo; an para o termo geral...etc. A única diferença de notação que usaremos é que, neste caso, denotaremos a razão por q enão R, como fizemos anteriormente, pois a razão agora é obtida pela divisão de dois termos consecutivos da seqüência, e, você sabe que o resultado de uma divisão é denominado quociente. Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressão geométrica, de razão igual a 2, começando no número 3.

Perceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começando no três, o crescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ...

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2Você pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresce em progressão geométrica”.

Podemos então resumir que uma P.G é uma seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razão.

x

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Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior. Em nosso estudo, por motivos práticos, nos deteremos nas progressões geométricas de razões positivas (que é o que ocorre na grande maioria dos exemplos práticos) e, podemos usar a seguinte classificação para as P.G.

Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão é inferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é decrescente e se a razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária.

OBS: É claro que existem progressões geométricas, normalmente teóricas, cuja razão é negativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão negativa, terão seus termos variando de sinal e são ditas oscilantes.

2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.

Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de uma P.G é:

)1n(1n q.aa −=

FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões que estamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma, na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de

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parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrar também que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, terá um poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, para as propriedades e fórmulas da P.G. Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: P.A an = a1 + R. (n - 1)

P.G )1n(1n q.aa −=

Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que, como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somando sempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G. Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial que denotaremos por a0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticos que mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmula assumirá o seguinte aspecto:

n0n q.aa =

Exemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Você poderia (e deve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo, ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata de uma P.G, era só multiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11. Exemplo 2: Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ? Solução: Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos:

)1n(1n q.aa −= ou ainda 3

(n – 1) = 2187 = 3

7. Esse tipo de equação que obtivemos, onde a

incógnita se encontra no expoente, chamamos de equação exponencial e, como temos uma

Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G, bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q e o produto por uma potência.

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igualdade de potências de mesma base, é claro que seus expoentes terão de ser iguais, logo, n – 1 = 7, o que acarreta n = 8.

Exemplo 3: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho) Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 8 iguais, no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido? Solução: A população dessas bactérias forma uma P.G. Momento inicial a1 = 11 hora depois a2 = 82 horas depois a3 = 64 .................................. Como estamos querendo a quantidade de bactérias 12 horas depois do início, temos que obter o 13º termo dessa progressão geométrica. Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos:

a13 = a1 . q12

ou a13 = 1 . 812

= 68 719 476 736 bactérias.

Exemplo 4: (ITA) Obtenha os valores de x e y, de modo que a seqüência seja uma P.G (2, x, y, 1458) Solução: Verificamos que o primeiro termo é igual a 2 e que o quarto termo da P.G é igual a 1458. Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos:

)1n(1n q.aa −= ou ainda 1458 = 2.q

3. Assim, q

3= 729 = 3

6= 9

3.

Nesse caso, temos uma equação do tipo q3

= 93, o que acarretará que q = 9.

Dessa forma, podemos agora completar a progressão: (2 18 162 1458) x 9 x 9 x 9

Conclusão: x = 18 e y = 162.

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CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)

Exemplo 5: Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês. Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação? Solução: Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que denominamos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma Progressão Geométrica, como vimos no exemplo da introdução, a razão dessa P.G é o que denominamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a 1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado de 1000 . (1,02)

4. Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.

O que vimos no exemplo acima é um dos grandes usos das progressões em nossa vida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas podem (e devem) ser observadas como uma seqüência de termos com taxa de variação constante (seja para aumento ou para redução).

3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A) Propriedade Fundamental de uma P. G Sempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. G (de razão positiva), o termo do meio será igual à média geométrica dos outros dois. Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.G, teremos que z.xy = . Essa propriedade decorre da própria definição da P.G, onde o resultado (quociente) das divisões entre dois termos consecutivos devem ser iguais.

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De fato, se yz

xy = , isso acarretará que z.xy2 = ou ainda z.xy = .

Essa propriedade poderia também ser obtida diretamente da propriedade similar da P.A, bastando fazer as substituições das operações correspondentes. EXEMPLO 6: Sabendo-se que ( x - 2, 2x + 1, 5x + 10 ...) são os três primeiros termos de uma P.G crescente, obtenha:

d) o valor de x e) o valor da razão da P. G f) o valor do 6º termo dessa mesma P. G

Solução: De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. G, teremos: )10x5).(2x(1x2 +−=+ . Dessa forma, )10x5).(2x()1x2( 2 +−=+ .

4x2

+ 4x + 1 = 5x2

+ 10x – 10x – 20 x

2– 4x – 21 = 0. Resolvendo essa equação, obteremos os resultados 7 e –3. Como a P.G é

crescente, logo, a resposta válida será o valor que gerar uma razão maior do que 1. • vejamos a opção x = 7, teremos a seguinte P.G (5, 15, 45), que atende à

condição do problema. • Vejamos agora a opção x = -3, teremos a seguinte P.G (-5, -5, -5)...que não

atende ao nosso problema. Logo a resposta da primeira pergunta é x = 7. b) a razão da nossa P. G é q = 3 (15 : 5) c) o sexto termo da P.G será:

12153.5q.aa 5516 ===

B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.

Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Exemplo:

Considere a P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)

Verifique: 1 . 512 = 2 . 256 = 4 . 128 = 8 . 64 = 16 . 32 = 512.

Você pode, mais uma vez, tirar essa propriedade diretamente da propriedade similar da P.A, substituindo a operação de ADIÇÃO, pela de MULTIPLICAÇÃO.

C) Gráfico de uma P.G Vamos supor, para exemplo, uma P.G cujo primeiro termo fosse igual a 1 e a razão fosse igual a 1,5. Teríamos o seguinte tipo de gráfico:

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Você deve lembrar que, quando estudamos o gráfico da progressão aritmética, as extremidades dos segmentos verticais obtidos estavam em linha reta. Agora, na progressão geométrica, essas extremidades estão sobre uma curva, denominada curva exponencial.

4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Seja n1n2n321 aaa........ aaaS ++++++= −−Vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos então:

q.a.qaq.a........ .qa.qa.qaS.q n1n2n321 ++++++= −−

a2 a3 a4 an – 1 an

Subtraindo a primeira expressão da segunda, teremos: q.S – S = an . q - a1 e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos: S. (q – 1) = an . q - a1

S = 1qaq.a 1n

−−

A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o an pela respectiva expressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então:

S = )1q()1q(.a

n

1 −−

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Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.G finita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dos parâmetros envolvidos em cada caso. Exemplo 7: Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...) Solução: Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, pois temos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2).

S = )1q()1q(.a

n

1 −−

= 2046)11024.(2)12()12(.2

10

=−=−−

OBSERVAÇÃO:

Verifique que, quando numa P.G decrescente, o número de termos cresce indefinidamente (dizemos que n tende ao infinito), a expressão dessa soma (que tenderá a um valor limite) ficará bastante simplificada, pois o termo an tenderá a zero. Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quanto maior o número de termos, mais se aproxima de zero o último termo considerado. Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em:

S = 1qaq.a 1n

−−

substituindo an por 0, teremos então

∞θ−

=

nq1

aSlim 1

Exemplo 8: Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....) Solução: Verificamos que se trata do caso da P.G com razão menor que 1 (q = ½, P.G decrescente). Quando o número de termos tender ao infinito, o último termo tenderá a zero e poderemos aplicar a fórmula anterior, ou seja:

∞θ

==−

=−

=

n

32

21

16

211

16q1

aSlim 1

Exemplo 9 (PUC): Na figura está representado um conjunto infinito de círculos C0, C1, C2, .... Os diâmetros de todos eles estão sobre um segmento de reta de comprimento igual a 1. Além disso, o raio de Cn é a metade do raio de Cn – 1 . A área da região hachurada na figura é:

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Solução: Pela figura, verificamos que a área hachurada é igual à diferença entre a área do maior semicírculo (C0 ) e a soma das áreas dos demais semicírculos, a partir do C1.

a) Raio do semicírculo C0 = ½ . Área desse semicírculo = 82

41.

2r 2 π=

π=π

b) Raio do semicírculo C1 = ¼. Área desse semicírculo = 322

161.

2r 2 π=

π=π

c) Raio do semicírculo C2 = 1/8. Área desse semicírculo = 1282

641.

2r 2 π=

π=π

Percebemos que cada área é igual a ¼ da área anterior, logo, essas infinitas áreas formam uma P.G decrescente, de razão igual a ¼. Podemos, mais uma vez, aplicar a fórmula do limite da soma, quando o número de parcelas tende a infinito. Considerando como primeiro termo a área do semicírculo C1

∞θ

π=π=

π

=−

π

=−

=

n

2434.

324332

411

32q1

aSlim 1

Finalmente, a área hachurada pedida, será igual a: 12248π=π

−π

Dificuldades reais podem ser resolvidas; apenas as imaginárias são insuperáveis." (Theodore N. Vail)

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4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO

A) OS FATORES DE CORREÇÃO

Conforme já comentamos anteriormente, o grande uso prático das progressões geométricas está nas seqüências de taxa de variação constante. Isso ocorre em muitas situações que envolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais. Para que você resolva a maioria dessas questões que, independentemente de estarem ou não nos concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com mais detalhes os fatores de correção e a matemática do dinheiro. Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas contas, conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, as transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida de todas as pessoas. Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100 reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valores para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomar cuidado com valores monetários no tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com intervalos de 30 dias, correspondem a um único pagamento de 300 reais, numa Economia com inflação? Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora esta fato, assim como ignoram também a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar os produtos que aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas, reivindicar nossos direitos trabalhistas, ... Observe a reportagem seguinte:

Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002

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Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática do dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é a base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxílio de uma calculadora simples, você poderá entender e resolver uma grande quantidade de problemas que estão no nosso cotidiano. Após um estudo detalhado desses fatores de correção, voltaremos à reportagem da revista Veja, verificando as informações nela contidas. Nossa abordagem será feita de forma contextualizada, através de pequenas histórias que servirão para nos apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transações financeiras e de comércio.

� História 1

O salário de Maria era, em agosto de 2001, de R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu um reajuste de 12% no mês de setembro de 2001. Qual o valor do salário que Maria passou a receber a partir de setembro?

Perguntamos a dois professores nossos conhecidos como resolveriam a questão acima proposta e, obtivemos as seguintes respostas:

Acho que você concorda comigo que a solução da professora Ana está correta, uma boa solução, vejamos sua solução completa: 320 : 100 = 3,20 3,20 x 12 = 38,40 320 + 38,40 = 358,40

Professor José

A solução do professor José, que também é muito boa, está correta também, certo? Vejamos sua solução completa:

0,12 x 320 = 38,40 320 + 38,40 = 358,40

Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para descobrir o novo salário de Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, e ele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, ao multiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ou seja, quanto vale 12 centésimos de 320,00. Gostaríamos que você acompanhasse conosco uma outra forma de resolver esse problema.

12% são 12 centésimos, logo, divido 320 por 100 para achar um centésimo, depois

Professora Ana

12% são 12 centésimos ou 0,12... para saber quanto vale 0,12 de uma quantia, basta

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Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembro passou a receber 12 % a mais desse valor. No total, acho que você concorda comigo, ela vai ficar com 112% desse salário! Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 de uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Faça na sua máquina de calcular a multiplicação 1,12 x 320,00 e compare com as respostas encontradas pelos professores José e Ana.

Percebeu que obtivemos a mesma resposta? “Refletindo sobre o assunto”

Alguns alunos ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou a professora Ana, podem achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendo os problemas da mesma maneira. Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática podemos descobrir novos caminhos, e isso nos leva sempre a compreender mais essa ciência. Veja ainda uma vantagem, a última solução é bem mais rápida que as demais. Veja:

Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso: • A taxa de aumento percentual do salário foi de 12% • O fator de aumento (ou multiplicador) do salário foi de 1,12.

História 2:

Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um grande cartaz, anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar uma calça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40?

Poderíamos desenvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez na História 1. 15% correspondem a 15 centésimos do preço da calça. Um centésimo do preço da calça corresponde a 58,40 : 100, que é igual a 0,584. Quinze centésimos corresponderão a 15 x 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calça na liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64

Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1. Verifique o que vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 x 0,85? 58,40 x 0,85 = 49,64

Salário de 320,00, após receber um aumento de 12%.

1,12 x 320,00 = 358,40

GRANDE LIQUIDAÇÃO!!!

15% EM TODAS AS MERCADORIAS

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Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o desconto oferecido pela loja?

Veja que podemos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja:

Preço normal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado na liquidação = 100% - 15% = 85%. Como sabemos que 85% correspondem a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão que queríamos, encontrar o preço da calça com 15% de desconto, bastará multiplicar o preço normal de 58,40 por 0,85. Nesse caso temos:

• taxa percentual do desconto foi de 15% • fator de redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.

Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o de aumento na história 1 e o de redução na história 2, são denominados FATORES DE CORREÇÃO.

Acho que você concorda comigo que todo fator de aumento será um número maior do que 1 e todo fator de redução será um número menor do que 1. Por que será?

Exemplo 9: Se o jornal anunciar, num determinado mês, que a caderneta de poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará nos informando que os investidores estarão recebendo que correção percentual sobre o saldo anterior?

Solução: Como o fator 1,025 corresponde à taxa percentual de 102,5%, verificamos que a correção das cadernetas de poupança foi de 2,5%.

Aumentos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométricas. Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentos ou reduções sucessivas, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes de impostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre com os fatores de correção nesses casos? Vejamos um exemplo: Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qual o aumento percentual correspondente a essas duas correções? Você poderia usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essa mercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Em seguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção. Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada. Vejamos esse tipo de solução. Preço inicial = 100 reais primeira correção (3%) = 103 reais segunda correção, 4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais + 4,12 reais = 107,12 reais.

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Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que o aumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o aumento percentual foi de 7,12%. Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando para esse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essa outra possível solução. Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, com um aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03 (certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o que corresponde a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que, independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendo multiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, amesma resposta que achamos na primeira solução comentada. Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e na Matemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil) geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores de aumento correspondentes às taxas desses aumentos. Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preços ou salários. Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores de redução correspondentes às taxas dessas reduções. Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que eles normalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao aluno a falsa impressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Tal fato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou seja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situação denominada juros compostos. Exemplo 10: Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%? Solução: Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve um aumento acumulado de 69%.

Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se trata de taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa, vejamos: Supondo um valor inicial de 100 reais. Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais. Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais. Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% de aumento. O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação forem constantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação de progressões geométricas.

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História 3:

O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 no mês de abril de 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator de correção e o aumento percentual correspondente?

Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator de correção teremos o valor final, no caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo o valor final pelo valor inicial, obtém-se o fator de correção.

Valor final: valor inicial = fator de correção

No caso narrado na história 3, teremos que o fator de correção será igual a 48,00 : 40,00 = 1,225. Espero que, nesse ponto de nosso curso, você já esteja sabendo que esse fator corresponde a uma variação percentual de 22,5% (aumento do remédio). Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que: Quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator de correção) é como tivéssemos multiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225 (ou 22,5 / 100) dará o aumento havido. Que em nosso caso corresponde a 22,5%.

Verifique também o importante fato de que os números decimais podem ser transformados em percentagens por uma multiplicação por 100. Veja: 0,225 = 22,5 % (0,225 x 100) 0,15 = 15% (0,15 x 100) 0,8 = 80% (0,8 x 100) 1,32 = 132% (1,32 X 100) 2,45 = 245% (2,45 X 100)

Podemos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator de aumento e queremos obter o percentual de aumento correspondente.

Exemplos: Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento

1,45 1,45 – 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186%

� História 4:Ritinha, que recebe um salário de R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que, após todos os descontos sofridos por ela em um determinado mês, recebeu apenas R$ 299,20. Você saberia determinar o percentual do desconto a que foi submetido o salário de Ritinha? Você já verificou, na história 3, que existe um modo de obtermos o fator de correção do salário de Ritinha que, nesse caso, será um fator de redução. Antes de continuar a leitura do comentário dessa história, verifique se você está sabendo como determinamos o fator de correção. Nesse caso, o fator de redução será igual a 299,20 : 340,00 = 0,88.

Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido.

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Qual o percentual de redução do salário de Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88? Se eu disser que é de 12%, você saberia o porque dessa minha resposta? O fato é que o 0,88 obtido como fator de redução corresponde a uma taxa de 88%. Como o salário de Ritinha sem os descontos, corresponde a 100%, a redução sofrida será a diferença entre 100% e 88%, concorda? Uma outra forma de entender essa resposta, e semelhante a que vimos no fator de aumento, e lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário de Ritinha por esse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem descontos, menos a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os descontos ou seja, um percentual de 0,12 x 100 ou 12 %.

Exemplos: Fator de redução Redução gerada Percentual de redução

0,45 1 – 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 – 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 – 0,76 = 0,24 24% 0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14%

História 5: Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meu vizinho, há muitos anos atrás. Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria o preço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grande liquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que, agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estar anunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, qual a sua opinião sobre a estratégia que ele pretendia usar?

Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como referência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seria obrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me para perguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu do artifício após minha explicação.

Vejamos o que ocorreu ...

Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela, teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar um desconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo, teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %. O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o desconto posterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi sobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre 120 é maior que 20% sobre 100. Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas (aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais uma vez os fatores de correção.

Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para conhecer a redução ou desconto havido.

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1,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? E 0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%. O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um fator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria uma perda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%).

� História 6: Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se deparou com algum fato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes no cotidiano de todas as pessoas.

Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opção de pagamento?

Um aluno meu apresentou a seguinte solução:

• Preço a vista = R$ 1500,00 • Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 • Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00 • Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%

Você concorda com essa solução de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra e compare em seguida com o comentário apresentado. Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não está correta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida de R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o que denominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00. Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais, com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%. Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumento corresponde a 900 : 750 = 1,20. O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%. Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e nós, por desconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamente os juros que estão inseridos nas compras que fazemos.

� História 7: Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão. Imaginemos um jogo no qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe metade do que possui na ocasião e se perder, perde metade do que tem no momento. Uma pessoa, que entrou com R$ 128,00, fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e perdendo 3 dessas apostas. O que podemos afirmar sobre esse apostador? A) Que ele ganhou dinheiro.

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B) Que ele não ganhou, nem perdeu dinheiro. C) Que ele poderá ganhar, ou perder dinheiro, dependendo da oredem em que

ocorrerem as 3 vitórias e as 3 derrotas. D) Que ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que ocorreram as vitórias

e as derrotas. Solução: Antes de mostrarmos a solução a este jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis, para buscar alguma pista, ou descartar opções de resposta. Vamos supor que o nosso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido as três últimas. A evolução de seu capital seria: 128 θ 192 θ 288 θ 432 θ 216 θ 108 θ 54. Note que o jogador perdeu dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foi de 128 – 54 = 74 reais. Com isso já podemos descartar as opções A e B, mas, será que se as vitórias e derrotas ocorressem em outra ordem o resultado seria o mesmo? Vamos supor agora que as vitorias e derrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria... 128 θ 192 θ 96 θ 144 θ 72 θ 108 θ 54. Percebemos que chegamos ao mesmo resultado, uma perda de 74 reais. Mas poderia ser uma coincidência... Vamos usar novamente os nossos fatores de correção e tentar uma explicação convincente deste jogo. Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5. Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. O nosso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por 0,5. Como a ordem dos fatores não altera o produto, confirmamos que, independentemente da ordem das vitórias e derrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esse resultado? 128 x 1,5x1,5x1,5x0,5x0,5x0,5 = 54 Conclusão desse surpreendente jogo. Ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que se sucederam vitórias e derrotas. (opção D) VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO. Na página 23, quando começamos a conversar sobre matemática e dinheiro, exibimos uma reportagem da revista Veja, de junho de 2002, onde temos que a inflação (naquele momento) acumulada nos oito anos do plano Real, era de 179%. Baseando-se nessa informação e com a ajuda dos fatores de correção que acabamos de estudar, você poderia agora verificar se todas as informações contidas no texto estão corretas. Podemos agora resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas que apresentamos, com objetivo de apresentar os fatores de correção:

Você reparou que:

� Todo fator de aumento é um número superior a 1? � O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento

percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24.

� Todo fator de redução é um número inferior a 1?

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� O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de redução percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76.

� Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela soma das taxas a eles correspondentes?

B) À VISTA OU A PRAZO?

Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisão de comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pela propaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes sem acréscimo”. A decisão melhor decisão dependerá de uma série de fatores, como taxas de juros, disponibilidade do comprador. Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores de correção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta. É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz uma escolha ou outra. Vejamos um exemplo: Na conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro que aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada a vista por 80 reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que, nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80 reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobrir o cheque pré-datado. Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fato do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo). Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% ao mês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses (multiplicando 100 x (1,03)

2), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x

(1,03)3

), e valerão multiplicando 100 x (1,03)n

daqui a n meses. Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dos juros compostos. Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar:

� Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao mês, M x (1 + i)

n. (com a taxa i expressa na sua forma decimal)

M M x (1 + i)

n

Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou períodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i)

n

M M : (1 + i)n

PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DE MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR (1 + i)

n(OU F

n)E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i)

n(OU F

n).

VALORIZAÇÃO NO TEMPO

DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO

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Exemplo 11: Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2002. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2002, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar? Solução: Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor. Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.

Exemplo 12: Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? Solução: Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico da situação – é o que chamamos de fluxo de caixa. 5000

1 2 30

2500 x 2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)

3

2625 + x = 5788,13 x = 3163,13 Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13 Exemplo 13: Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja? Solução: Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita do problema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essa variável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a taxa procurada. Vejamos o fluxo de caixa do problema. 400

1 2

220 220

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).

Sugerimos agora “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valoa a vista) com as saídas (prestações).

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400 . F2

= 220 . F + 220 40 . F

2= 22 . F + 22 ou 20. F

2– 11. F – 11 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:

4064,3111

40100111

40)11.(20.412111

F ±≅

±=−−±

=

Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = 067,140

64,42≅

Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 3):

1) Obtenha o sexto termo de uma P.G, de razão positiva, onde o quinto e o sétimo termos valem, respectivamente 9 e 16.

2) Qual o valor da soma dos sete primeiros termos de uma P.G definida por:

2nn 3a −= ?

3) A população de um país era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa população cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que população o país atingiu em 2002?

4) Considere a progressão geométrica (100, 80, 64, ...). Qual a razão dessa P.G e a

sua representação como uma taxa de variação?

5) Qual o sétimo termo de uma P.G cujo quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135?

6) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo recipiente. Depois de 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?

7) Qual a variação da área de um retângulo cuja base sofre um aumento de 10% e a

altura sofre uma redução de 10% do seu valor?

8) A espessura de uma folha de estanho é 0,1 mm. Forma-se uma pilha com essas folhas colocando-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha será, aproximadamente:

a) a altura de um poste de luz. b) A altura de um prédio de 40 andares. c) O comprimento da praia de Copacabana. d) A distância Rio / São Paulo e) O comprimento do equador terrestre.

9) (Escola Naval)

Divide-se um segmento de comprimento L em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Divide-se, em seguida, cada uma das partes que sobraram em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Repetindo-se essa operação uma infinidade de vezes, qual será a soma dos comprimentos retirados?

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10) (Escola Naval) Ações de certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%

11) (UFRJ)

Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da manhã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de 512 000 bactérias?

12) (AFA)

A raíz da equação 1 + x + x2

+ x3

+ ... + = 4 é igual a :

13) Luciana comprou um aparelho de som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data da compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas foram de R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros de 6% ao mês, qula será o valor do terceiro pagamento que Luciana terá de fazer?

14) Uma loja oferece duas opções de pagamento para as compras. À vista, com 30% de

desconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Quanto está pagando de juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois pagamentos?

15) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00

dois meses após a compra. Se foram pagos juros de 12% sobre o saldo devedor, qual era o preço à vista desse relógio?

GABARITO (SÉRIE 3)

01) 12 02) 3

1093 03) 3 183 624 04) q = 0,8 e redução de 20% 05) 45

06) 87,38% 07) reduz 1% 08) D 09) L/2 10) D 11) 17 h 12) ¾ 13) R$198,47 14) 150% 15) R$320,15

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PARTE III – ANÁLISE COMBINATÓRIA

1) “PARA COMEÇAR A CONVERSA”…

O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO

“Caso verídico narrado pelo professor Manoel H. Botelho à Revista do Professor de Matemática (SBM, nº 18)

Inesperadamente, numa terça-feira, chegou-me uma carta. Envelope branco, sem nome do remetente. Dentro, um papel dizia simplesmente:

“Sr. Manoel. Sou seu amigo. Sei o cavalo que vai ganhar no quarto páreo do próximo sábado. Será o cavalo nº 3. Atenciosamente, Antônio Silva.”

Não sou de jogar, por princípios morais e por achar que, entendendo de Matemática e Teoria

das Probabilidades, o jogo não favorece ao jogador. Nem liguei para a enigmática carta. Quem seria Antônio Silva?

Juro, mas juro mesmo, que a única conseqüência da carta foi eu ler, pela primeira vez na minha vida, a seção de turfe no jornal de Domingo. Surpresa! Deu o cavalo nº 3 no quarto páreo de sábado. Fiquei surpreso, intrigado. Ao ler os comentários do cronista do jornal, entendi tudo. O cavalo nº 3 era o segundo principal favorito. Sua chance de ganhar era grande. Assim, até eu acerto.

A história terminaria por aí se na outra quarta-feira eu não recebesse uma nova cartinha:

“Vai dar o cavalo nº 2 no sexto páreo do domingo”.

Aquilo agora era um desafio. Corri a ler a seção de turfe no jornal. Aumentando a minha expectativa, o comentarista dizia: “No domingo, sexto páreo, o nº 2 não terá chances”. Por curiosidade, ouvi a transmissão da corrida pelo rádio. Suspense! Ganhou o nº 2. Um misto de angústia e surpresa me assaltou. Como o Antônio Silva podia saber quem ia ganhar? Afinal, o número 2 era azarão! Na terça-feira não recebi a nova cartinha, ou seria mais honesto eu dizer, não recebi a tão esperada cartinha. Chegou a desejada na quarta-feira. Simples e objetiva como sempre.

“Sr. Manoel. No domingo, primeiro páreo, vai dar o número 1. Antônio Silva.”

Embora eu não estivesse entendendo o porquê de ser eu o privilegiado receptor de tão

certeiros palpites, decidi jogar. A primeira e última vez, prometi eu.

Joguei e ganhei. Infelizmente joguei pouco e por isso pouco ganhei. Fiquei revoltado. Se muito tivesse jogado, muito teria ganho.

A espera de uma nova cartinha foi em ambiente de alta tensão. E lá veio ela, agora na sexta-feira. Os termos eram algo diferentes:

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“Sr. Manoel. Graças a meus conhecimentos, o Sr. teve três indicações certas para jogar. O Sr. deve hoje estar rico com o que ganhou. Tenho o nome do cavalo que vai dar no próximo sábado. Não quero dinheiro. Quero apenas que o Sr. jogue em sociedade comigo. O Sr. trará no mínimo cinqüenta mil reais e apostaremos esse valor no cavalo que eu lhe direi. O Sr. ficará com a metade do valor da aposta e eu, com a outra metade. Amanhã lhe telefono. Seu amigo, Antônio Silva.”

O homem era meu amigo, seguramente. A proposta era muito boa. Ele jogaria junto comigo

(se bem que com meu dinheiro, destaque-se). Eta homem seguro de seus conhecimentos! Dinheiro ele não queria. Queria apenas os boletos (poules) do jogo. Retirei o dinheiro do banco e esperei o telefonema. Não teria sido melhor ele dar o seu telefone? Não entendi o anonimato. Nem telefone, nem endereço. Só o nome, Antônio Silva. Afinal, por que um amigo permanece incógnito? Seria modéstia? Ou seria acanhamento desse meu amigo?

Sábado de manhã o telefone tocou. Era Antônio. Marcamos o encontro. Sábado, no centro da cidade, em frente ao Centro de Apostas. O meu amigo Antônio me esperaria junto ao poste, segurando um jornal aberto na Seção de Turfe.

Encontrei-o na hora certa. Quarentão algo gordo, costeletas compridas, camisa de seda transparente, cordão de ouro no pescoço, dente de ouro na boca, relógio de ouro no pulso. Apresentamo-nos e fomos direto ao guichê. Cinqüenta mil reais de aposta, vinte e cinco mil de poules para mim e outro tanto para ele. Junto ao guichê, ele finalmente falou, sussurrando o segredo. “ No quarto páreo, cavalo nº 5.” Antônio era simpático, mas de pouca conversa. Pegou os vinte e cinco mil em poules que lhe cabiam e despediu-se (estava com um filho com febre). Desapareceu na multidão.

Solitário, fui para casa esperar que desse o cavalo nº 5 no quarto páreo. O locutor do rádio foi dramaticamente claro na chegada desse páreo:

“Os cavalos Príncipe da Alegria (nº 2) e Seta Dourada (nº 6) chegam juntos e cruzam a linha de chegada”.

Perdi. Até hoje não sei o porquê. Antônio nunca mais me procurou.

Peço aos leitores ajuda para deslindar esse mistério. O mistério de Antônio, o homem que sempre ganhava (ou quase sempre) nas corridas de cavalos.

QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O “TRUQUE” USADO PELO SR. ANTÔNIO. O QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS?

COMENTÁRIO:

O espertalhão do Sr. Antônio pegou uma lista telefônica, selecionou 10 mil pessoas (Manoel entre elas) e dividiu-as em dez grupos, correspondentes aos 10 cavalos que correriam um páreo. A cada grupo enviou cartas indicando um dos cavalos como vencedor. Os mil que receberam a indicação certa (obrigatoriamente mil), ele dividiu em 10 grupos de 100 e enviou novas dicas de cavalos para outro dia, aí por diante.

No final, Antonio sempre ganhava quando dava o bote final.

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2) COMBINATÓRIA–PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

(Adaptação do Projeto Educ@ar (USP / SC) e da aula 48 do Tele-curso, da Fundação Roberto Marinho)

2.1) Elementar: O raciocínio combinatório

Exemplo inicial: "Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?" Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problema pode não perceber que se trata de uma situação que envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar de forma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.

Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis, precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com a ajuda de uma tabela retangular.

salame queijo presunto mortadela pão de forma

pão de forma com salame

pão de forma com queijo

pão de forma com presunto

pão de forma com mortadela

pão francês

pão francês com salame

pão francês com queijo

pão francês com presunto

pão francês com mortadela

pão italiano

pão italiano com salame

pão italiano com queijo

pão italiano com presunto

pão italiano com mortadela

Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:

Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecido como árvore das possibilidades.

Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemos obter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. O que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.

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Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.

Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qual leva á multiplicação.

Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" do raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos", dando um total de 12.

Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação. Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?

Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório. • "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos números podem ser escritos nestas condições?"

Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.

Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas temos duas maneiras de escolher o das dezenas.

Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foram usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.

O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles! • "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números

de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"

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Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema: Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há 3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher aqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha para o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estes números.

2.2 ) O princípio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)

A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumerando seus elementos.

As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira (adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adição de parcelas iguais.

A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória. EXEMPLO 1: Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar·, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

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solução:

O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser enunciado da seguinte forma:

Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de tornarmos as decisões d1 e d2 será n · m.

No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas: d1: escolher uma dentre as 3 blusas d2: escolher uma dentre as 2 saias

Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir. EXEMPLO 2:

Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa? Solução:

Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pela conhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma árvore o problema do cardápio do restaurante.

Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:

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d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes. d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada. d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio.

As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecem soluções gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, È preciso estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca. EXEMPLO 3:

Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo mais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quantas maneiras você poderia se alimentar pagando menos? Solução:

Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2: d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão). d2: escolher salada verde (apenas uma opção). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.

Então há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifique os

cardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).

EXEMPLO 4: Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem? Solução:

Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões:

d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções). d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j· foi escolhido para ocupar a centena (9 opções). d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j· foram utilizados (8 opções).

Portanto, o total de números formados ser· 9 · 9 · 8 = 648 números. EXEMPLO 5:

De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648 números de 3 algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como deveríamos proceder? Solução:

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O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (não podemos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi usado como último algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos (não podemos usar o zero, nem o algarismo j· empregado na última casa). Para vencer este impasse, temos três alternativas: a) Decompor o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contar separadamente os números que têm zero como último algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo último algarismo é diferente de zero (unidade 0).

Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1 · 9 · 8 = 72 números.

Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher o último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (não podemos usar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos de escolher o algarismo do meio (não podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas). Logo, temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta é, portanto, 72 + 256 = 328 números. b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada).

Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, teríamos 5 modos de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem números começados por zero, que devem ser descontados. Começando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (n„o podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas), num total de 1 · 4 · 8 = 32 números.

A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números. c) Claro que também poderíamos ter resolvido o problema determinando todos os números de 3 algarismos distintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, e abatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números.

Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números.

Fonte: “prof. Augusto César de Oliveira Morgado no livro "Análise Combinatória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991.

EXEMPLO 6 As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? Solução:

No primeiro caso:

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Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000

No segundo caso 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = = 175 760 000

A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Exercício 1. Numa sala há 5 homens e 5 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal homem-mulher?

Exercício 2. a) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem? b) Quantos destes números são divisíveis por 5?

Exercício 3. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? Exercício 4. Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão? Exercício: 5. Em um grupo existem 7 pessoas, entre elas Roberto e Ana. Quantas são as filas que podem ser formadas, de modo que Roberto seja sempre o primeiro e Ana seja sempre a última de cada fila? Exercício 6: O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 4 números distintos de 2 dígitos (de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formação do segredo (por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para experimentar cada combinação possível, trabalhando ininterruptamente e anotando cada tentativa já feita para não repeti-la, qual ser· o tempo máximo que poderá levar para abrir o cofre? Exercício 7: a) Quantas são as placas de automóvel que podem ser formadas no atual sistema de

emplacamento Brasileiro? b) O Sr.José Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seu automóvel tivesse as iniciais

do seu nome (na ordem correta do nome). Quantas placas existem nestas condições?

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Exercício 8: Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Exercício 9: Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos? Exercício 10: Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? Exercício 11: De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8×8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? Exercício 12: O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f : A → B existem? Quantas delas são injetivas?

Exercício 13: Quantos são os anagramas da palavra PRATO, que começam por uma consoante? Exercício 14: Formando-se todos os números possíveis, de 5 algarismos, permutando-se os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevendo-os em ordem crescente, responda: a) Qual será a posição ocupada pelo número 43 251? b) Qual será o valor da soma de todos esses números formados?

Exercício 15: Quantas siglas, de 3 letras distintas, podem ser formadas a partir da escolha dentre as letras: A, B, C, D, E, F?

DESAFIE O SEU RACIOCÍNIO...

1) PROVÃO – MEC – 1999 A unidade de informação nos computadores digitais é o bit (abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma seqüência de bits, podem ser criados códigos capazes de representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma seqüência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar? (A) 7! (B) 7 (C) 14 (D) 49 (E) 128

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2) PROVÃO – MEC – 1998 Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é: (A) 10.000 (B) 9.000 (C) 7.361 (D) 7.290 (E) 8.100

GABARITO – PARTE 1 – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

01) 25 Modos

09) a) 24 divisores b) 18 divisores pares c) 4 divisores quadrados

02) A) 81 Números B) 17 Números 10) 2n subconjuntos

03) 15 600 palavras 11) 8! = 40 320 modos

04) 9 765 625 gabaritos 12) a) 74 = 2401 funções b) 840 funções injetivas

05) 120 filas 13) 72 anagramas 06) 94 109 400 s ≈≈≈≈ 3 anos 14) 90ª posição 07) 10 000 placas 15) 120 Siglas 08) 192 modos PROVÃO 1: E

PROVÃO 2: D

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

1) Na extração da Loteria Federal há um concurso com 80 000 bilhetes, numerados de

00 000 a 79 999. Quantos são esses bilhetes formados por números de algarismos distintos entre si?

2) Quantos números, distintos entre si e menores que 30 000, têm exatamente 5

algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? 3) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que

o motorista culpado pelo acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de três vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era, com certeza o dígito 2. Qual a quantidade de veículos suspeitos?

4) Dispomos de quatro cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para

pintar as cinco letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos isso poderá ser feito?

5) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo

um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, determinar o número de modos diferentes de montar a composição.

6) Os números dos telefones de uma cidade eram constituídos de 6 dígitos. Sabendo-

se que o primeiro dígito nessa cidade nunca pode ser o zero, determinar o aumento ocorrido na quantidade de novos números, quando os números telefônicos passaram a ser de 7 dígitos, nessa cidade.

7) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes.

Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, determine a quantidade mínima de peças que ele deverá possuir (número de paletós mais o número de calças).

8) Se 5 moedas distinguíveis forem lançadas simultaneamente, qual será o número de

maneiras distintas delas caírem?

9) Considerando os anagramas da palavra ENIGMA, determinar: a) o número total de anagramas. b) O número de anagramas que começam com a letra A c) O número de anagramas que começam por EN. d) O número de anagramas que começam por uma vogal.

10) Usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, determinar a quantidade de números de 4 algarismos, que podem ser formados com eles, de forma que ao menos dois algarismos sejam iguais.

11) Qual a quantidade de números, formados com algarismos distintos, maiores que

50 000 e menores que 90 000, e que são divisíveis por 5?

12) Deseja-se dispor em fila 05 crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcia. Calcule o número de maneiras distintas que isso poderá ser feito de modo que Rogério e Márcia fiquem sempre vizinhos.

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13) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam de pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Determinar o número de modos que elas podem se dispor, sabendo-se que A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer sempre uma ao lado da outra.

14) Quantos são os múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos: 2, 3, 4, 6 e 9?

15) (Essa é para os “FERAS”) Num cursinho especializado em Ciências Exatas há 15 professores; cada um deles se dispõe de uma aula semanal e se ocupa de um tema da Matemática ou da Física ou da Química. Os temas das matérias abordadas são: Matemática: Álgebra, Geometria, Trigonometria, Geometria Analítica e Análise. Física: Mecânica, Termologia, Oscilações, Ótica e Eletricidade. Química: Atomística, Química Geral, Físico-Química, Química Inorgânica e Química Orgânica. No cursinho há três aulas diárias, de segunda a sexta, sendo uma de Matemática, uma de Física e uma de Química. Com os nomes dos 15 professores e seus respectivos temas, quantos são os horários diferentes que podem ser montados para a semana?

GABARITO 01) 24 192 bilhetes 06) 8 100 000 números 11) 2352 números 02) 240 números 07) 10 peças 12) 48 modos 03) 30 240 suspeitos 08) 32 modos 13) 144 modos

04) 24 modos 09) a) 720 b) 120 c) 24 d) 360 14) 72 números

05) 600 modos 10) 505 números 15) 13 436 928 000

“PARA DESCONTRAIR (COISAS DA SALA DE AULA)”

Sinto que há um braço levantado, mas acho que não devo olhar para trás...

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II) FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL

1) Definição:

Conforme já vimos em alguns problemas estudados anteriormente, em vários casos surgiram produtos do tipo: 5.4.3.2.1 ou 8.7.6.5.4.3.2.1. Para estes casos é interessante adotar-se alguma notação que simplifique este tipo de produto – surge então a notação fatorial.

Definimos fatorial de um número natural n ≥ 2 como sendo o produto de todos os números naturais de n até 1 – usamos a notação n !. Logo:

n! = n. (n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1 n ∈∈∈∈NN,, n �� �� 2

Definimos também, para os casos n = 0 e n = 1, os valores: 1! = 1 e 0! = 1

Exemplos: a) 4! = 4.3.2.1 = 24 b) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 c) 6! = 6.5.4.3! = 120

3! 3!

Observação: consideremos, por exemplo, o número 6!. Verificamos que 6! = 6.5! ou 6.5.4! ou 6.5.4.3!. Ou ainda, generalizando, temos que: n! = n. (n-1)! = n.(n-1).(n-2)!. Tal artifício de expansão com fatoriais pode ser útil em vários casos, principalmente na resolução de equações com fatoriais. Vejamos um exemplo:

Resolva a equação: (n+1)! = 30 (n-1)!

Desenvolvendo o numerador, teremos: (n+1).n(n-1)! = 30 ou ainda (n+1).n = 30. (n-1)!

Estamos diante da equação quadrática n2

+ n – 30 = 0, cujas raízes são n = 5 ou n = -6 (não serve).

2) Função Fatorial

Da definição de fatorial é imediato que, dado um número natural n, existe e é único o número n!. Dessa forma podemos definir uma função f, de N em R, tal que f(x) = x!. Essa função é chamada função fatorial, seu domínio de definição é o conjunto dos números naturais. Faça uma construção do gráfico desta função. Ela é contínua?

Verificamos que, para todo natural x ≥ 1, tem-se: f(x) = x . f(x – 1) Exemplos e questões propostas: 1) Qual o domínio de definição da função definida por f(x) = (x – 3) !? Como sabemos que só está definido fatorial de números naturais, teremos: x – 3 ≥ 0,

ou x ≥ 3. Logo, o domínio pedido será o conjunto: D(f) = {x � N | x ≥ 3}.

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2) Resolva a equação: x! = 24.

Observe que equações do tipo x! = a, mesmo que a seja um número natural, muitas vezes terá solução vazia, já que a função f(x) = x! não é sobrejetora. No caso proposto, como 24 = 4!, teremos x! = 4!, o que acarreta a solução x = 4.

3) Será a função f(x) = x! uma função injetora? Justifique a sua resposta.

4) Por que os pontos obtidos no gráfico de f(x) = x! não foram “ligados”, formando-se

uma curva?

5) Resolva a equação: (n+1)! – n! = 17n (n –1)!

6) Determine o domínio de definição da função dada pela sentença: f(x) = (-x2

+ 1)!

7) Verifique se fatorial de um número natural pode ser definido da seguinte maneira:

Dado um número n , seu fatorial é o número f(n) = n!, definido por:

f(n) = 1, se n = 0 ou f(n) = n.f(n – 1), se n é natural e n ≥ 1.

8) Considerando ainda a função definida no exercício anterior, mostre que:

F(a + 2) – f(a + 1) = (a + 1). f(a + 1) = (a + 1)2. f(a), para todo a natural.

3) PROBLEMAS DE CONTAGEM

A) PERMUTAÇÕES SIMPLES

Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação obtida a partir desses n objetos é denominada de uma permutação simples (porque todos são distintos) desses elementos. Assim, como vimos anteriormente nos problemas de filas ou de anagramas, por exemplo, temos n modos de escolha para o primeiro lugar, n – 1 modos de escolha para o segundo lugar, ......1 modo de escolha para o último lugar, ou seja: O número de modos de ordenar n objetos distintos é igual a n!. Podemos representar o número de permutações simples de n objetos distintos por Pn. Logo, temos que:

Pn = n!

Exemplos:

1) Quantos são os anagramas da palavra FLAMENGO:a) Sem quaisquer restrições? - teremos neste caso que determinar o

número de permutações simples das 8 letras distintas dessa palavra, ou seja: P8 = 8! = 40320 anagramas.

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b) Que comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? – teremos nesse caso 3 opções de escolha para a primeira letra da palavra, 5 opções de escolha para a última letra e P6 = 6! = 720 para as demais posições. Logo, aplicando o princípio fundamental da contagem, teremos um total de 3 . 5. 720 = 10 800 anagramas.

c) Que tenham sempre juntas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse caso, essas duas letras devem ser consideradas como se fossem uma única, acarretando a permutação de 7 elementos – as duas juntas e as 6 letras restantes, ou seja 7! = 5040 anagramas. Mas como a ordem não foi dbefinida, elas poderão também permutar entre si, gerando 2! = 2 variações. Logo, aplicando novamente o princípio fundamental da contagem, teremos um total de 50 040 x 2 = 10 080 anagramas.

2) Roberta, André e Bernardo fazem parte de um grupo de 7 amigos. Obtenha o

número de filas que podemos formar com esses 7 amigos, de modo que: a) Roberta, André e Bernardo estejam sempre juntos? Agora, de forma

análoga ao que vimos no exemplo anterior, basta que consideremos esses três amigos como se ocupassem uma única posição na fila, teremos assim a permutação de 5 elementos – os três juntos e os 4 restantes, ou seja 5! = 120 filas. Em seguida, como a ordem deles não foi definida, multiplicamos o resultado obtido por 3! = 6, que representa as possíveis variações de posição entre eles. Logo, teremos um total de 120 . 6 = 720 filas nas condições do problema.

b) Roberta, André e Bernardo nunca estejam (os três) juntos na fila? Agora basta determinarmos o totas de filas possíveis e subtrair o resultado obtido na pergunta anterior (Por que?), teremos então 7! – 720 = 4320 anagramas.

3) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?

Devemos tomar um certo cuidado com esse tipo de problema, pois o resultado não é

igual a 5! = 120 rodas, como poderíamos pensar “apressadamente”. Verifique que a roda ABCDE, por exemplo, tem a mesma configuração que a roda EABCD, já que o que importa agora é a posição relativa das crianças entre si. Dessa forma cada roda pode ser virada de 5 modos que repetem a mesma configuração. Assim, o número de rodas distintas que podemos obter será igual a 120 : 5 = 24 rodas.

O exemplo acima é o que definimos como sendo permutações circulares de n

elementos. Se repetirmos o mesmo raciocínio que usamos no exemplo anterior, teremos que as permutações circulares de n elementos distintos serão iguais a:

PCn = n ! = (n –1) ! n

4) Quantos são os anagramas da palavra AMORA?

Esse é outro caso que demanda um certo cuidado. A resposta seria 5! = 120 anagramas, caso todas as letras fossem distintas. Como temos duas letras A, é claro que uma permutação entre essas duas letras não geraria anagramas novos. Assim sendo cada anagrama foi contado 2! = 2 vezes (que são as letras repetidas). Logo, o número correto de anagramas é 120 : 2 = 60 anagramas.

Problemas como esse é o que denominamos de Permutações com alguns

elementos repetidos. No caso da palavra amora, indicaríamos por: 2

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P5 = 5! = 60 anagramas. 2! Analogamente, podemos generalizar para Pn = n ! .

α!.β!... α, β, ... representam a quantidade de repetições de cada um dos elementos

repetidos. 5) Quantos são os anagramas da palavra POROROCA?

Temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja: P8 = 8! = 3 360 anagramas. (o 3 indica as letras O e o 2 indica as letras R). 3! . 2! 6) Essa é para você resolver. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que

começam por vogal?

7) A figura abaixo representa uma seqüência de 6 símbolos.

+ + + ^ ^ ^Quantas são as possíveis seqüências distintas que podemos formar com esses

símbolos?

Perceba agora que estamos diante de permutações com alguns elementos repetidos, no caso, temos:

P6 = 6! = 20 seqüências 3!.3!

B) ARRANJOS SIMPLES

Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação de p objetos (p<n) obtida

a partir desses n objetos recebe a denominação de arranjo simples de n elementos, na taxa p ou arranjo de n, p a p (A n,p ).

Você pode verificar que um arranjo simples é, de certa forma, similar a uma permutação simples, sendo que em cada grupamento formado usamos apenas p elementos, dos n distintos disponíveis.

Exemplo1: Consideremos o conjunto A formado pelas cinco vogais. Os arranjos de três elementos tomados de A podem ser representados da seguinte maneira:

aei aeo aeu aie aio aiu aoe aoi aou aue aui auo

eai eao eau eia eio eiu eoa eoi eou eua eui euo

iae iao iau iea ieo ieu ioa ioe iou iua iue iuo

oae oai oau oea oei oeu oia oie oiu oua oue oui

uae uai uao uea uei ueo uia uie uio uoa uoe uoi

−−−−, �� �� , ...

3, 2

3, 3

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Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilidades; por isso escrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal pode ser escolhida entre as 4 restantes; portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal, podemos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5 vogais tomadas 3 a 3 por A 5,3 no total, teremos:

A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60

Este resultado confirma o que já fazíamos com o princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo).

Entendemos por arranjo os modos que podemos posicionar os objetos em grupo. Uma alteração na ordem determinará um novo agrupamento.

Exemplo 2: Quantas siglas, de três letras distintas, podem ser formadas a partir das letras: A, B, C, D, E, F e G?

Observe que você poderia resolver esse problema usando o princípio fundamental

da contagem (multiplicativo), e teria: 7 escolhas para a primeira letra da sigla, 6 escolhas para a segunda (já que são

letras distintas) e 5 possibilidades de escolha para a terceira letra da sigla. Pelo princípio fundamental da contagem, teríamos: 7. 6. 5 = 210 siglas.

Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso de

permutações simples e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido no primeiro caso (arranjos simples), se for multiplicado por 4!, passará a dar como resultado o segundo caso (permutações simples). Logo, podemos inferir que (A n,p ). (n – p)! = Pn.

Ou seja:

A n,p = n! .(n – p)!

Exemplo 3: Dez cavalos disputam um páreo no Jockei Clube. Quantos são os possíveis trios para as três primeiras colocações nesta corrida?

Solução: Trata-se de um caso de arranjos simples, de 10 elementos, na taxa 3, ou arranjos de

10, 3 a 3. Pelo que mostramos anteriormente, teremos: A 10,3 = 10! = 10.9.8 = 720 possíveis trios de resultados. 7!

EXERCÍCIOS:

1) Será que no número de arranjos simples de n elementos distintos, na taxa n, igual ao número de permutações simples, desses mesmos n elementos? Justifique a sua resposta.

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2) De um total de 11 romances e 3 dicionários devem-se tirar 4 romances e 1 dicionário que serão arrumados numa prateleira de tal modo que o dicionário fique sempre no meio. De quantos modos isso poderá ser feito?

3) 1 mulher e 5 homens devem sentar-se num banco que possui 5 lugares. De quantas formas isso poderá ser feito se a mulher deve sempre estar sentada em algum lugar?

4) Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?

5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

GABARITO 1) Sim, pois A n,n = n! = n !

0! 2) 23 760 modos 3) 600 modos 4) 4 536 números 5) 720 tentativas

ARRANJOS COM REPETIÇÃO

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada (repetidos ou não). Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

AR m, p = mp

Exemplos:

a) Quantas são as siglas de três letras, escolhidas a partir das letras: A, B, C, D, E, F?

Como dispomos de 6 letras, para escolher 3, teremos AR 6, 3 = 63

= 216 siglas. b) De quantas maneiras diferentes podemos responder a uma prova de múltipla-

escolha, com 20 questões de 5 opções cada uma?

Como temos 5 opções de escolha, para cada uma das 20 questões, teremos neste caso AR 5, 20 = 5

20

c) Quantas são as formas distintas de se preencher um volante da loteria esportiva, somente com palpites simples, sabendo-se que são 13 jogos e 3 opções de escolha para cada um?

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Agora temos 3 opções de escolha, para cada um dos 13 jogos, logo AR 3, 13 = 313

d) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. Qual o número de senhas possíveis?

Como o primeiro caractere da senha é obrigatoriamente uma letra, teremos 26 opções de escolha. Para cada um dos três seguintes, teremos 36 opções de escolha (26 letras + 10 algarismos), Logo, a resposta é: 26 x AR 36, 3 = 26 x 36

3

C) COMBINAÇÕES SIMPLES Dado um conjunto qualquer, com n elementos distintos, denominamos uma combinação simples com p elementos distintos, desses n disponíveis, a qualquer subconjunto com pelementos, do conjunto dado. Indicamos essas combinações, de n elementos na taxa p, por

p,nC ,

n

p

pn ou C (forma binomial)

Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo: No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

Observe que enquanto dois arranjos podem se distinguir pela ordem ou pela natureza de seus elementos, duas combinações só se distinguem pela natureza de seus elementos. Contagem do Número de Combinações

Consideremos o conjunto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combinações três a três que se podem formar com os quatro elementos de B são: abc, abd, acd, bcd. Permutando de todas as formas possíveis os três elementos de cada combinação, obtemos os arranjos simples de quatro elementos três a três, como indica o quadro:

abc abd acd bcd

abc abd acd bcd

acb adb adc bdc

bac bad cda cdb

bca bda cad cbd

cab dab dac dbc

cba dba dca dcb

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Cada combinação gera, como vemos, 3! = 6 arranjos. Portanto, as quatro combinações geram 4 x 6 = 24 arranjos. Nesta igualdade, 4 é o número de combinações e 24 é o número de arranjos. Indicando por 34,C o número de combinações de 4 elementos 3 a 3, vale, portanto, a relação:

3!A

CouA!3xC 4,34,33,43,4 ==

Usando esse mesmo raciocínio, poderemos generalizar que:

p)!.p! -(nn!

p!A

C pn,p,n ==

Exemplo a: Sete pontos pertencem a um círculo. Quantos triângulos são definidos por esses pontos?

Solução: Vejamos um dos possíveis triângulos – triângulo AFB - Se trocarmos a ordem de seus vértices, considerando por exemplo o triângulo FBA, notamos que trata-se do mesmo triângulo, logo é um problema de combinações simples.

Teremos então triângulos 356!.4

!4.5.6.7!3!.4

!7C 3,7 ===

Exemplo b: Quantos grupos de três pessoas podem ser selecionados de um conjunto de oito pessoas ? Solução: Também nesse caso, em qualquer grupo de três pessoas que formarmos, a ordem das pessoas não influenciará na formação do mesmo, também teremos um caso de

combinações simples. Ou seja, ruposg566!.5

!5.6.7.8!3!.5

!8C 3,8 ===

Exemplo c: Num plano, marcam-se doze pontos dos quais seis estão em linha reta. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se três quaisquer desses doze pontos? Solução: É uma questão semelhante a do exemplo a, também de combinações simples, sendo que, pelo fato de termos seis pontos alinhados, as combinações desses seis pontos, três a três, não definirão triângulos. Sendo assim, poderemos calcular o total de combinações desses 12 pontos, três a três e subtrair as que não formam triângulos, ou seja a combinação dos 6 pontos alinhados, três a três. Assim sendo, a quantidade de triângulos que poderão ser formados com os 12 pontos será:

triângulos 20020220!3!.3

!3.4.5.6!3!.9

!12.11.10.9 3!.3!

6! -!3!.9

!12CC 3,63,12 =−=−==−

Exemplo d: Qual o número de diagonais de um polígono convexo de n lados ? Solução: Ainda nesse caso, temos combinações simples, já que a diagonal AB, por exemplo, é a mesma da diagonal BA. Verifique também que teremos que fazer uma subtração, já que unindo-se, dois a dois, os vértices de um polígono convexo, poderemos ter diagonais ou lados desse polígono. Como queremos obter a quantidade de diagonais, vamos calcular o total de segmentos possíveis e subtrair a quantidade de lados. Logo, teremos:

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Solução:

diagonais 2

)3n.(n2

n2nnn2

)1n.(nn!2)!.2n(2)!-1).(n-n.(n n-

!2)!.2n(!nnC

2

2,n−=−−=−

−=−−

=−

=−

OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CÁLCULO DA QUANTIDADE DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO. Exemplo e: Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são vermelhas e 5 são brancas. De quantos modos podem ser tiradas 6 bolas das quais 2 são brancas? Solução: Estamos novamente diante de um caso de combinações simples (verifique) e, como queremos retirar 6 bolas, sendo 2 brancas, é lógico que as outras 4 deverão ser vermelhas. Teremos então que retirar 4, das 7 vermelhas disponíveis e retirar 2 das 5 brancas disponíveis. Como são fatos simultâneos, os dois resultados deverão ser multiplicados (princípio fundamental da contagem).

modos. 350 10x35!2!.3

!5x3!.4!

7! CxC 2,54,7 ===

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (COMBINAÇÕES SIMPLES):

1) De um grupo de 7 professores e 10 alunos quantas comissões compostas de 2 professores e 4 alunos é possível formar?

2) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferência, quantos segmentos de reta, com

extremidades nestes pontos, ficam determinados?

3) Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?

4) Propriedades: Mostre que:

CCc)

1Cb)1C)a

p-nn,pn,

nn,0,n

=

==

5) Seis homens e três mulheres inscreveram-se para trabalhar com menores carentes num projeto da prefeitura local, mas serão escolhidos apenas 5 participantes. De quantas formas podemos escolher a equipe de modo que haja sempre, pelo menos uma mulher?

6) Quantas partidas foram disputadas em um campeonato de futebol, disputado em um só turno (isto é, dois times se enfrentaram uma única vez), do qual participam 16 times?

7) Uma equipe de inspeção tem um chefe, escolhido entre 4 engenheiros e 10 técnicos,

escolhidos entre 15 outros profissionais. De quantas maneiras pode ser composta essa equipe?

8) Qual o número de subconjuntos com 2, 3 ou 4 elementos que tem um conjunto de 9

elementos?

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9) É dado um conjunto E, de 10 elementos. Quantos subconjuntos de E não são conjuntos de 4 elementos?

10) Duas retas r e s são paralelas. Existem 4 pontos marcados sobre r e outros 5 pontos,

marcados sobre s. Quantos são os triângulos que podem ser construídos unindo-se 3 desses 9 pontos?

11) Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham num hospital, quer-se formar uma junta médica de 5 elementos. Quantas juntas podem ser formadas se devem sempre participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas?

12) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas

mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?

13) Quantas saladas, contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes?

GABARITO

01) 4410 02) 28 03) 456 632 04) Aplicação direta da fórmula, lembrando que 0! = 1

05) 120

06) 120 07) 12012 08) 246 09) 814 10) 70 11) 525 12) 371 13) 210

3) COMPLEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

A) OS LEMAS DE KAPLANSKY Você vai estudar agora uma ferramenta importante do cálculo combinatório e que não costuma estar presente na maioria dos textos sobre o assunto. Observe as seguintes questões...

• 3 Provas de um concurso devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias de provas, de modo que não haja provas em dias consecutivos?

• Dado um icoságono, quantos são os triângulos que podem ser construídos, a partir

de vértices não consecutivos desse icoságono?

• Quantos são os anagramas da palavra araraquara que não possuem duas letras a consecutivas?

VOCÊ CONSEGUE PERCEBER AS SEMELHANÇAS EXISTENTES NAS TRÊS QUESTÕES PROPOSTAS ACIMA? Existem dois teoremas (Lemas de Kaplansky) que enunciaremos a seguir e que nos permitirão resolver questões semelhantes a que estão propostas. Lema 1) De quantos modos é possível formar um p-subconjunto (isto é um subconjunto com p elementos), a partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n}, no qual não haja números consecutivos?

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Por exemplo, se o conjunto fosse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, teríamos 4 opções de formarmos 3-subconjuntos onde não existiriam números consecutivos. Seriam os seguintes subconjuntos:

{1, 3, 5} {1, 3, 6} {1, 4, 6} {2, 4, 6}

É lógico que este processo de enumeração é exaustivo e nada prático, então, vamos demonstrar que o número de p-subconjuntos, sem que hajam elementos consecutivos, a partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n} é:

p,1),( +−= pnCpnf

Para facilitar o entendimento da fórmula, vamos usar a notação � para os elementos que farão parte do p-subconjunto e a notação � para os que não farão parte dele. Para o exemplo dado, com um conjunto de 6 elementos e subconjuntos de 3 elementos, teríamos 3 símbolos � e 3 símbolos � e que, em cada subconjunto não poderiam estar seguidos. Para o subconjunto {1, 3, 5}, a simbologia respectiva seria: � � � � � �

Devemos perceber que, para 6 elementos, ficam definidos 7 posições possíveis (n + 1), fixando os 3 lugares que seriam preenchidos pelos elementos que não farão parte do 3-subconjunto, sobrariam 4 posições (n – p +1) para serem escolhidas 3 para serem preenchidas pelos que farão parte do p-subconjunto.

Note que, se temos 3 elementos que não vão participar do p-subconjunto, temos 3 + 1 (n – p +1) posições para serem ocupadas pelos outros 3 elementos, que farão parte do subconjunto. Logo, em nosso exemplo, temos uma única posição para os não participantes (�) e C4,3 para os participantes (�) do 3-subconjunto.

Então, generalizando, teremos a fórmula apresentada: p,1),( +−= pnCpnf

Então, o enunciado do Lema 1 é: O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ....,,n} nos

quais não há números consecutivos é: p,1),( +−= pnCpnf

APLICAÇÕES: 1) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De

quantos modos é possível escolher os dias das provas, de modo que não haja provas em dias consecutivos?

Solução: O que se deseja é a quantidade de 3-subconjuntos, a partir de um conjunto de 7 elementos (os dias da semana) e de forma que não existam elementos consecutivos. É uma aplicação imediata do 1º Lema de Kaplansky, e, aplicando a fórmula demonstrada, teremos: 10)3,7( 3,5 == Cf2) Uma fila de cinema tem 15 cadeiras e devem sentar-se 15 alunos de um Colégio. De

quantos modos isso poderá ser feito, sabendo que os 5 rapazes do grupo não desejam estar em cadeiras contíguas?

Solução:

Em primeiro lugar, devemos aferir os modos de escolha das 5 cadeiras, sem que existam cadeiras consecutivas para esses rapazes. De acordo com o 1º Lema de Kaplansky,

� � �

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teremos: 462 )5,15( 5,11 == Cf . Escolhidas as 5 cadeiras a serem ocupadas pelos rapazes, devemos designar um homem para cada uma delas, e isso poderá ser feito de 5! modos distintos. Logo, a resposta final do problema será: 462 . 5! = 55 440 modos distintos. 3) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI nos quais não há duas letras S

consecutivas? Solução:

Essas letras deverão ocupar uma das casas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Devemos agora escolher 4 casas sem que haja casas consecutivas para colocar as letras S, o que pode ser feito de f(10,4) (Lema 1) = modos 35CC 47,4,1410 ==+− . Em seguida, devemos arrumar as 6 letras restantes (4 I, 1 M e 1 P) nas 6 casas restantes, o que é um caso de

permutações com elementos repetidos modos. 30!4!6P4

6 == Logo, o número de

anagramas pedido será igual a 35 x 30 = 1050 anagramas.

Lema 2) O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ... n} nos quais não há números consecutivos, considerando que 1 e n são consecutivos é:

p,2 ),( pnCpn

npnf −−=

Para esse segundo caso, fica mais fácil imaginar que os n elementos do conjunto estejam arrumados em círculo, como na figura abaixo (1 e n serão consecutivos)

Faremos a demonstração do segundo lema, considerando o número total de p-subconjuntos onde figure o 1, somados com o número de p-subconjuntos onde não figure o 1.

Caso A) Número de subconjuntos que incluem o 1 – Devemos neste caso, escolher p – 1 elementos no conjunto {3, 4, 5, ....., n – 1}, pois, se o 1 entra, não entrarão o 2 nem o n, para serem companheiros do 1, em cada subconjunto, sem que hajam elementos consecutivos.

Aplicando o Lema 1, teremos: 1,11-p,1)1(3)1-p,3( −−−+−−− ==− ppnpn CCnf

Caso B) Número de subconjuntos nos quais o elemento 1 não figura. Para formá-los devemos escolher p elementos em {2, 3, 4, ...., n}, não podendo ser escolhidos elementos consecutivos. Aplicando novamente o Lema 1, teremos: ppnpn CCnf ,p,11p) ,1( −+−− ==−Logo, o resultado procurado será a soma das duas respostas obtidas (confirme!), que nos remete à fórmula do Lema 2:

p,2 ),( pnCpn

npnf −−=

APLICAÇÃO:

1� 2

3�

n-1 �

n�

... �

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1) Ana deve ter aula de tênis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Ana não deseja ter aulas em dias consecutivos?

Solução:

Ana deve escolher 3 dos elementos do conjunto {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, não podendo escolher dois dias consecutivos e sendo domingo e sábado dias consecutivos. De acordo com o Lema 2, teremos o seguinte número de modos:

74.47

377)3,7( 3,372 ==−

= −Cf

B) COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO

Responda à pergunta: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 5 sabores?

Normalmente somos levados a responder que a solução é 10C 3,5 = . Esta resposta não está correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modos podemos escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas 10 possibilidades representam as combinações simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.

Na questão apresentada, a resposta correta seria 3,5CR , que são as combinações completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiríamos a hipótese da pessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, que veremos a seguir, seguirá um raciocínio que já vimos anteriormente, ao estudarmos as permutações com elementos repetidos.

Para que possamos entender melhor o nosso problema inicial, vamos supor que a loja oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combinações simples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: manga, abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...Como se pode perceber, essa opção das combinações completas dará um resultado maior que na primeira, que gerou 10 possibilidades de escolha.

Podemos encarar a solução do problema das combinações completas da escolha de 3 sabores (distintos ou não), numa loja que oferece 5 opções de escolha, como sendo as soluções inteiras e não negativas da equação:

3xxxxx 54321 =++++

Temos, portanto, 5 variáveis que representam a quantidade comprada, de cada um dos sabores oferecidos.

Se você retornar à página 17 de nosso curso, verificará que já mostramos uma

solução para esse problema, através de permutações com alguns elementos repetidos. Na ocasião, vimos que a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação do

tipo: px......xxx n321 =++++ era dado por p,1np1nP −

+− .

No nosso exemplo da sorveteria, teremos então .35!4!.3

!7PCR 3,473,5 ===

Page 63: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 63

Podemos então concluir, sobre as combinações completas de n elementos, p a p.

CR p,n = !p.)!1n(!p)1-(nP p,1n

p1n −+=−

+−

Exemplos:

1) De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece 7 opções de escolha de salgadinhos?

Solução: Pelo que vimos anteriormente, teremos que determinar a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação do tipo: 4xxxxxxx 7654321 =++++++ . A solução, como mostramos, será dada por:

.210!4!.6!10PCR 6,4

104,7 ===

2) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos é possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3 garrafas de vinho?

Solução: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponíveis (distintos

ou não). Isto será igual a .15!2!.4

!6PCR 4,262,5 === Em seguida, temos que escolher

3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis, ou seja, .20!3!.3

!6PCR 3,363,4 === Logo, o

número de pedidos de queijo e vinho, da acordo como proposto na questão, será dado por 15 x 20 = 300.

C) PRINCÍPIO DAS GAVETAS – DIRICHLET

Na análise combinatória muitas vezes somos levados a muito mais do que simplesmente contar os elementos de conjuntos ou seqüências. Em algumas ocasiões o que se pretende é verificar a existência, ou não, de conjuntos que satisfaçam a determinadas propriedades. Uma importante ferramenta para essas situações é o princípio das gavetas de Dirichlet (1805 – 1859, matemático alemão). PRINCÍPIO DAS GAVETAS - Se dispomos de n objetos para colocar em, no máximo, n –1, gavetas, então ao menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. Prova (por absurdo) – se cada uma das gavetas contiver, no máximo, 1 objeto, o número total de objetos colocados será igual a n – 1, o que contraria a hipótese de dispormos de n objetos. Logo, em uma das gavetas pelo menos teremos que colocar 2 objetos, ao menos. EXEMPLOS:

1) Em um grupo de k pessoas, pelo menos duas delas terão de aniversariar no mesmo mês, de acordo com o princípio das gavetas de Dirichlet, qual deve ser o menor valor de k?

Solução:

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 64

Como são 12 os meses do ano e queremos o valor mínimo de k, teremos, pelo princípio das gavetas que k deverá ser igual a 13. 2) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que

possamos garantir que duas delas nasceram no mesmo dia da semana? Solução: Analogamente ao caso anterior, como são 7 os dias da semana, devemos ter um

mínimo de oito pessoas no grupo (7 + 1) 3) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que

possamos garantir que três delas nasceram no mesmo dia da semana? Solução: Temos agora a proposta de que possamos garantir que três dessas pessoas

nasceram no mesmo dia da semana. Teremos nesse caso um mínimo de 15 pessoas (2 x 7 + 1) 4) Em uma caixa há 12 meias brancas e 12 meias pretas. Quantas meias devemos

retirar, ao acaso, no mínimo, para que possamos garantir que retiramos um par de meias de mesma cor? Solução: As quantidades de meias que estão registradas nesse exemplo só servem para nos

confundir, pois se queremos obter um par de meias de mesma cor, teremos que retirar no mínimo três meias, já que só existem duas cores distintas. 5) Qual o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que

possamos garantir que nele haja, pelo menos, 5 pessoas nascidas no mesmo mês? Solução: Devemos ter nesse grupo um mínimo de 49 pessoas, pois nesse caso, até 48 pessoas ainda não poderíamos garantir que 5 delas teriam nascido no mesmo mês, 12 meses x 4 = 48 pessoas.

EXERCÍCIOS GERAIS – MATEMÁTICA COMBINATÓRIA

Até agora estudamos vários tópicos importantes da Matemática Combinatória.

Todos esses tópicos vieram acompanhados de exemplos ilustrativos e exercícios propostos. Vamos agora, antes de continuarmos nosso estudo, resolver uma série de exercícios sobre todos os tópicos já estudados, a saber: Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações e Permutações Simples, Arranjos, Permutações e Combinações com Repetição e Lemas de Kaplansky.

Todos os exercícios virão com os respectivos gabaritos e você deve, sempre que necessário, recorrer à teoria contida na apostila para tirar as suas dúvidas. 1) Dez estudantes prestam um concurso. De quantas maneiras pode ser composta

a lista dos 4 primeiros colocados?

2) Quantos são os subconjuntos, com 5 elementos, do conjunto {a, b, c, d, e, f, g}, sendo que em cada subconjunto a e b estejam sempre presentes?

3) Ainda com relação ao problema anterior, quantos são os subconjuntos de 5

elementos, do conjunto dado, aos quais não pertençam os elementos a e b?

4) Sete pessoas, entre elas José e Pedro, estão reunidas para formar uma chapa com presidente, secretário, segundo-secretário e tesoureiro para concorrer às eleições de um clube. Determine em quantas das possíveis chapas:

a) José é o presidente e Pedro é o tesoureiro b) José não é o presidente e Pedro não é o tesoureiro.

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 65

5) Um deputado quer convocar 5 entre 8 políticos de seu grupo para uma reunião. No entanto, dois desses políticos têm forte rixa pessoal. De quantos modos pode ser feita a convocação de maneira que não compareçam simultaneamente os dois citados?

6) De quantas maneiras diferentes uma família de 4 pessoas pode pedir almoço (um

prato para cada pessoa), em um restaurante que oferece 8 tipos de pratos? 7) Quantas são as funções injetoras que podemos definir do conjunto A, com 5

elementos, no conjunto B, com 8 elementos? 8) Os conjuntos E e F têm, respectivamente, 4 e 10 elementos. Quantas são as

funções, de E em F, que não são injetoras?

9) Escrevendo-se em ordem crescente a lista de todos os números de 5 algarismos distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocupa o número 78 695?

10) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os números de 5 algarismos

distintos possíveis. Determine a soma de todos esses números.

11) Quantos são os anagramas da palavra BUTANOL, que apresentam a sílaba TO?

12) Quantos são os anagramas da palavra BARBARIDADE? 13) O diagrama abaixo representa algumas ruas de uma cidade. De quantos modos

uma pessoa pode dirigir-se do ponto A ao ponto B, utilizando-se sempre dos caminhos mais curtos (uma unidade de quadradinho de cada vez, horizontal ou vertical)?

14) Resolva a equação: 67

)]!3x.[(3)!2x()!4x( =

++++

15) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação abaixo?

x + y + z + w + g + p = 5

16) Quantos são os números inteiros, maiores que 4000 e menores que 9000, formados por algarismos distintos e que são múltiplos de 5?

17) Aninha deve freqüentar a academia de musculação duas vezes por semana,

durante todo o ano. Quantos são os modos dela escolher os dias de suas aulas se não deseja ter aulas em dias consecutivos?

A

B

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 66

18) Se os telefones de uma certa vila devem ter números de 5 algarismos, todos começando com 23 e todos múltiplos de 5, então o número máximo de telefones que a vila pode ter é:

19) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam

de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:

20) número natural 8 . 5

ktem 24 divisores inteiros e positivos. Determine o valor de

k.

21) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?

22) Quantas são as maneiras de um cientista escolher pelo menos duas cobaias,

num grupo de seis cobaias?

23) Um feixe de 8 retas paralelas intersecta outro conjunto de 5 retas paralelas. Quantos são os paralelogramos determinados por essas retas?

24) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto.

Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para a foto?

25) Observe o código abaixo, composto por 10 sinais, de dois tipos: ♣ e ♦ (cinco de

cada um). Quantos códigos distintos poderemos obter com esses 10 símbolos?

♣ ♦ ♦ ♣ ♣ ♣ ♦ ♦ ♣ ♦

26) Sejam duas retas paralelas r e s. Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 pontos distintos em s. Qual a razão entre o número total de quadriláteros convexos e o número total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos?

27) Sobre uma mesa colocam–se seis moedas em linha. De quantos modos

podemos obter duas caras e quatro coroas voltadas para cima?

28) Qual a quantidade de anagramas da palavra ERNESTO que começam e terminam por consoantes?

29) Quantos são os números inteiros positivos, de cinco algarismos, em que dois

algarismos adjacentes nunca sejam iguais?

30) Um professor propôs para uma de suas turmas uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Determine o número máximo de alunos que essa turma poderia ter.

31) Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não consecutivos desse polígono?

32) Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que não possuem duas

letras a consecutivas?

Page 67: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 67

Gabarito (exercícios gerais) 1) 5040

2) 10

3) 11

4) a) 20

b) 820 5) 36

6) 1 663 200 7) 6 720

8) 4 960

9) 64º

10) 5 333 280

11) 720

12) 831 600

13) 35

14) x = -1

15) 252

16) 504

17) 14

18) 200

19) 64

20) k = 5

21) 48 22) 57 23) 280 24) 48 25) 252

26) 6 / 7 27) 15 28) 720 29) 59 049 30) 21

31) 50 32) 120

4) BINÔMIO DE NEWTON Um binômio é qualquer expressão da forma x + y, ou seja, é a representação da soma algébrica de duas quantidades distintas. Considere o produto dos três binômios. ( )( )( ) nqsnqrnpsnprmqsmqrmpsmprsrqpnm +++++++=+++

Observe que consiste de oito termos, cada um dos quais possuindo três letras, sendo cada letra escolhida dentre as duas, de cada um dos binômios. O princípio multiplicativo e a propriedade distributiva nos oferecem a possibilidade de contar o número de termos de produtos desse tipo, pois se de cada um dos três parênteses vamos escolher uma letra entre as duas existentes, temos que o número de termos do produto será 32 . Naturalmente que este raciocínio pode ser estendido para um produto contendo um número qualquer de binômios. Se o produto for constituído de 4, 5 ou n binômios o número de termos do desenvolvimento será respectivamente, n2ou322,162 54 ==

Vamos tomar agora o produto de seis binômios, todos iguais. Por exemplo: ( )( )( )( )( )( )axaxaxaxaxax ++++++ .

Page 68: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 68

Como temos 64 maneiras de selecionarmos 6 letras, uma de cada binômio, e como todos os binômios são iguais a ( )ax + teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra anos 2 primeiros e a letra x nos 4 últimos, teremos 42 xa , que irá aparecer toda vez que a letra a for escolhida em exatamente 2 dos 6 binômios e a letra x nos 4 restantes. Como isto pode ser feito de 2

6C maneiras diferentes, afirmamos que o termo 42 xa irá aparecer este

número de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiente de 42 xa é igual a 26C .

Observando que qualquer termo consiste do produto de 6 letras, o termo geral é da forma qp xa , onde p + q = 6, ou seja, cada termo é da forma pp xa −6 . Como esse termo aparece

pC6 vezes a expansão acima, organizada segundo as potências decrescentes de x, é dada por

( )

6524334256

0666

1556

2446

3336

4226

5116

6006

6

0

66

6

61520156 axaxaxaxaaxxxaCxaCxaCxaCxaCxaCxaC

xaCaxp

ppp

++++++=

++++++=

=+ ∑=

No caso geral ( )nax + , cada termo será da forma pnp xa − . Note que o termo pnp xa − irá aparecer para cada escolha da letra a em p dos n fatores. Como tal escolha pode ser feita

de pnC formas diferentes, temos: ( ) ∑

=

−=+n

p

pnppn

n xaCax0

. Além disso, como,

( ) ( )nn xaax +=+ , podemos concluir que, permutando-se as letras x e a teremos,

( ) ∑=

−=+n

p

pnppn

n axCxa0

, e isto nos garante o fato já conhecido de que pnn

pn CC −= , uma vez

que, pelo argumento apresentado, o coeficiente de ppn xa − é dado por pnnC − ou, em outras

palavras, que , na expansão de ( )nax + , os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais.

Na expansão de ( ) pnpn

p

pn

n xaCax −

=∑=+

0

Denotamos o termo geral por 1+pT , o qual é dado por pnppnp xaCT −

+ =1 .

Exemplo 1 Calcular o quarto termo da expansão de ( )k+1 8 .

Solução: Temos aqui, x = 1, a = k, n = 8 e p + 1 = 4. Logo p = 3 e

.561 338338134 kkCTT === −

+

Exemplo 2 Calcular o sexto termo da expansão de ( ) .5 10yx −

Solução: Neste caso a = -5y, n =10, p + 1 = 6 e p = 5. Portanto,

( ) 555106 5 xyCT −=

( ) .500.7875 555555106 yxyxCT −=−=

Exemplo 3 Demonstrar a seguinte identidade:

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 69

nnnnn

on

n

p

pn CCCCC 2....21

0

=++++=∑=

Solução: Como ( ) ,0

∑=

−=+n

p

pnppn

n xaCax é fácil ver que, para x = a = 1, o lado direito desta

igualdade nos dá a soma pedida, que será igual a n2 . Este valor representa também, o número de subconjuntos de um conjunto contendo n elementos. Observe que o exemplo 3 nos oferece uma importante propriedade das combinações e que será muito útil na resolução de alguns problemas clássicos de Matemática Combinatória. Vamos novamente destacar essa propriedade:

1 2 .... 2o n nn n n nC C C C+ + + + =

Exemplo 4: Quantas comissões, com no mínimo duas pessoas, podemos formar a partir de um grupo de 15 pessoas. Solução: É fácil constatar que a solução desse problema será dada pela soma de várias combinações, já que as comissões poderão ter de 2 a 15 pessoas, ou seja:

2 3 4 1515 15 15 15....C C C C+ + + +

Repare que, para ficarmos de acordo com a propriedade mostrada anteriormente, visando facilitar nossos cálculos, poderemos acrescentar as combinações que estão faltando (são duas) e depois, subtrair da resposta obtida o valor que foi acrescentado. Logo, teremos:

151515

415

315

215

115

015 2..... =++++++ CCCCCC

Mas, 16115

015 =+ CC

Dessa forma, a resposta procurada será igual a 152 - 16 = 32 752 comissões. Listamos abaixo a expansão de ( )nba + para alguns valores de n.

( )( )( )( )( )( )( ) 65423324566

543223455

4322344

32233

222

1

0

61520156

510105

464

33

2

1

babbabababaaba

babbababaaba

babbabaaba

babbaaba

bababa

baba

ba

++++++=+

+++++=+

++++=+

+++=+

++=+

+=+

=+

Page 70: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 70

Coeficientes Binominais – Triângulo de Pascal

Chamamos “Triângulo de Pascal” ao triângulo formado pelos coeficientes das expansões acima, isto é,

• Os números que surgem em cada linha do triângulo de Pascal são exatamente os mesmos coeficientes dos termos da expressão de ( )nba +

• Observe também que a soma de dois termos consecutivos de uma mesma linha do triângulo corresponde ao termo da linha imediatamente inferior, isto é, 1

11 +

++ =+ p

np

np

n CCC .Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel

Linha 0 1

1ª linha 1 1

2ª linha 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 .................................

Enumeramos as linhas deste triângulo de acordo com o expoente da potência da qual os coeficientes foram retirados, isto é, a 1ª linha é “1 1” a 2ª “1 2 1” e assim sucessivamente. Enumeramos as colunas da mesma forma, isto é, a formada só de dígitos iguais a 1 é a de número zero e assim por diante. Observe que a soma dos elementos da linha 5 é:

555

45

35

25

15

05 232 ==+++++ CCCCCC . Para somarmos os elementos da n-ésima linha, só

precisamos lembrar que nnnnn CCCC ....210 +++ , representa o número de subconjuntos de um

conjunto de n elementos e assim, nnnnnn CCCC 2....210 =+++

Já mostramos que a soma dos elementos da n-ésima linha é igual a n2 e que numa mesma linha termos eqüidistantes dos extremos são iguais. No exemplo 4 mostraremos que a soma dos n primeiros elementos da coluna p é igual ao n-ésimo elemento da ( ) ésimap −+1 coluna Cada elemento do triângulo de Pascal é um número binomial e sua posição no triângulo fica determinada por um par ordenado que indica a linha e a coluna ocupada pelo binomial. Se o

1ªco

l2ª

col

col0

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 71

binomial ocupa a linha n e a coluna p sua representação será

pn

, onde n é chamado

numerador e p é o denominador do binomial. Devemos observar também que pnC

pn

=

.

Por uma questão de comodidade iremos evitar a notação de número binomial dando preferência a notação de combinações por ser um pouco mais familiar aos estudantes que já completaram um curso de análise combinatória. É claro que todas as propriedades das combinações são naturalmente legadas aos números binomiais

Veja que interessante: Uma outra justificativa do método apresentado para o

desenvolvimento dos (n + 1) termos de ( )nax + .

Você sabe que, podemos obter o desenvolvimento de ( )2ax + = (x + a) . (x + a), procedendo da seguinte maneira:

• Multiplicando cada termo de (x + a) por x • Multiplicando cada termo de (x + a) por a • Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.

Analogamente, após a obtenção de ( )2ax + podemos obter os termos de

( ) ).()( 23 axaxax ++=+ , procedendo da seguinte maneira:

• Multiplicando cada termo de ( )2ax + por x

• Multiplicando cada termo de ( )2ax + por a • Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.

Seguindo dessa mesma forma, sucessivamente, podemos obter ( ) ( ) ,..., 54 axax ++ Oraciocínio proposto nos conduz ao seguinte diagrama: (x + a)

1= x + a

x a x a( )2ax + = x

2+ 2ax + a

2

x a x a x a( )3ax + = x

3+ 3ax

2+ 3a

2x + a

3

x a x a x a x a( )4ax + = x

4+ 4ax

3+ 6a

2x

2+ 4a

3x + a

4

................................................................................................... No diagrama anterior olhando apenas os coeficientes dos termos, vemos claramente a formação do triângulo de Pascal, com seus “lados” sempre começando e terminando por 1, tendo como “miolo” os números binomiais que podem ser obtidos através da soma dos números “vizinhos” da linha anterior. (Idéia extraída do livro “O que é a matemática?” de Courant e Robbins). Exemplo 5 Demonstrar a seguinte identidade (teorema das colunas).

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 72

.... 1121

++++++ =+++ p

npp

nppp

pp

pp CCCCC

A principal propriedade do triângulo de Pascal (Relação de Stifel)

p

np

np

n CCC += +++

111

Justifica a seqüência de igualdades abaixo:

pnp

pnp

pnp

pnp

pnp

pnp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

+++

+++

−++

−+++

+++

++

+++

++

+++

+=

+=

+=

+=

+=

111

11

11

212

13

111

12

111

...............................

Se somarmos membro a membro estas igualdades (cancelando termo iguais), teremos ,....21

111

pnp

pp

pp

pp

pp

pnp CCCCCC +++

++++ +++++= que é a igualdade pedida, uma vez que

01 =+ppC . Na figura abaixo ilustramos o que acabamos de demonstrar.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemplo 6: Achar uma fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.

Solução: Isto é decorrência do exemplo anterior, pois, ( )

21...........321 2

111

312

11

+==++++=++++ +nnCCCCCn nn

Exemplo 7: Prove que 0)1(....3210 =−++−+− nn

nnnnn CCCCC

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 73

Devemos lembrar que ( ) ∑=

−=+n

p

pnppn

n xaCax0

, portanto basta tomarmos x = 1 e a = -1.

Exemplo 8: Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 10

32 1

+

xx

Escrevemos inicialmente o termo geral do desenvolvimento que é ( ) pp

pp x

xCT −

+

= 102

31011

,

portanto, pppppp xCxxCT 520

102203

101−−−

+ == . Como queremos que o termo independa de x, devemos fazer 20 – 5p = 0. Logo p = 4 e assim o termo procurado é o quinto termo e seu valor é 2104

105 == CT .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS – BINÔMIO DE NEWTON: 1. Determine o termo central ou médio do desenvolvimento de:

10

2

21

xx

2. Calcule os dois termos médios do desenvolvimento de: ( )73 2x a+

3. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 6

3 213

yx

4. No desenvolvimento de ( )nx+1 , os coeficientes do 14º e do 28º termos são iguais. Determine n.

5. Determine o quinto termo do desenvolvimento de

.21 7

3

xx

Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potências decrescentes da primeira parcela .

6. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de

.1 10

32

xx

7. Determine o coeficiente de 3x no desenvolvimento de

.2312

4

xx

8. Calcule: ( ) ( )44 yxyx −++

Page 74: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 74

9. Explique porque não existe termo independente de x no desenvolvimento de 121 +

+

n

xx .

10. Calcule m sabendo que 2541

....321

=

++

+

+

mmmmm

.

GABARITO – BINÔMIO DE NEWTON

01) 5

6638

T x= − 06) 2105 =T

02) 345

434

15120

22680

xaTxaT

=

=07) 3041280−

03) 65

2

08) 2224 2122 yxyx ++

04) n = 40 09) 2 1

2np += , logo ñ seria natural

05) 9

53516

T x−= 10) m = 8

5) PROBABILIDADES

5.1) Origem Histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimento de seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do início de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o time que ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades.

Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época (na obra Liber Ludo Alae) a expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis). Posteriormente tal relação foi difundida e conhecida como relação de Laplace. Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou a evoluir e ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vacina contra a varíola no século XVIII.

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Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seus inúmeros trabalhos nessa área foram reunidos no monumental Tratado Analítico das Probabilidades, onde são introduzidas técnicas poderosas como a das funções geradoras, que são aproximações para probabilidades com o uso do cálculo integral. Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, da Informática, etc.

Exemplo: A probabilidade de ao lançarmos um dado sair um número ímpar é 1/2. Esta definição a penas pode ser usada quando o conjunto dos casos é finito sendo que todos têm a mesma possibilidade ocorrer (equiprováveis)! 5.2) Probabilidades Discretas Definições: Experimento Aleatório: Dizemos que um experimento qualquer é aleatório quando, se repetido diversas vezes nas mesmas condições, pode gerar resultados diferentes. Experimentos aleatórios acontecem a todo momento no nosso cotidiano perguntas do tipo: será que vai chover? Qual será o resultado da partida de futebol? Quantos serão os ganhadores da Mega-Sena da semana? São questões associadas a experimentos aleatórios e que dependem do acaso. Experimentos aleatórios são os objetos de estudo do cálculo de probabilidades. Espaço Amostral: (ou de casos ou resultados): de uma experiência é o conjunto de todos os resultados possíveis. Acontecimento ou evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. A probabilidade de um acontecimento E, que é um subconjunto finito de um espaço

amostral S, de resultados igualmente prováveis, é: p(E) =( )( )

n En S

sendo n(E) e n(S) as

quantidades de elementos de E e de S, respectivamente. Exemplo: a) Qual a probabilidade de, ao lançarmos dois dados distintos, a soma dos dois números ser 7?

Solução: O Espaço amostral será aqui representado pelos 36 pares ordenados representativos das pontuações possíveis desses dois dados. Poderemos representá-lo por uma tabela de dupla entrada, vejamos:

A roleta, um dos jogos de azar preferidos pelos apostadores nos cassinos, teve sua origem na França do século XVIII. É formada por 36 elementos dispostos em três colunas de 12 números e um espaço reservado para o zero. As chamadas apostas simples são: sair par ou sair ímpar, sair vermelho ou sair preto, e sair números menores (de 1 a 18) ou sair números maiores (de 19 a 36)

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dados 1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Assinalamos os pares ordenados que atendem à condição proposta (soma 7), logo, a

probabilidade pedida será: 6 1 16,67 %

36 6p = = ≅

PROBABILIDADE X INTUIÇÃO

Lance a questão a seguir para seus alunos, logo nas aulas iniciais sobre probabilidades e solicite que tentem estimar o resultado, intuitivamente, antes de aplicar a definição ou qualquer processo de resolução. “Num determinado país sabe-se que 10% da população está infectada pelo vírus do HIV. Sabe-se também que, nos exames para detectar a doença, há 90% de acerto para o grupo dos infectados e 80% de acerto para os não infectados. Determine”: 1. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu positivo para a doença, esteja realmente infectada. 2. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para a doença, esteja realmente sadia.

Solução: Para facilitar, vamos supor que a cidade tivesse uma população de 1000 habitantes. De acordo com o texto, teremos que 100 são portadores do vírus HIV e 900 não são portadores. 1) Total de portadores detectados pelo exame: 90 % de 100 + 20 % de 900 = 270 pessoas. Logo, para respondermos à primeira pergunta, temos que 90 pessoas em 270 são realmente portadores do vírus, ou probabilidade de 90 / 270 = 33,3%. É por esse motivo que, normalmente quando um exame HIV tem re1sultado positivo, os médicos normalmente recomendam que o mesmo seja repetido. 2) Total de não portadores detectados pelo exame: 10 % de 100 + 80% de 900 = 730 pessoas, das quais 720 são realmente não portadores desse vírus. Logo, temos a probabilidade de 720 / 730 = 98,6 % de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para a doença esteja realmente sadia.

COMENTÁRIO:

Essa questão, que foi originalmente proposta aos candidatos ao Projeto Sapiens (Uma espécie de vestibular em etapas, no Rio de Janeiro), propicia através de uma abordagem simples e intuitiva, o enfoque de uma questão atual e de interesse de todos nas aulas de matemática e pode, dependendo de nossos objetivos, propiciar outras discussões como probabilidade condicional, por exemplo.

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5.3) Combinação de eventos Teorema: Seja E um evento no espaço amostral S. A probabilidade do acontecimento

complementar, __E , é dada por: p(

__E ) = 1- p(E)

Teorema: Sejam E1 e E2 dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então: p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 ∩ E2)

Exemplo: Qual a probabilidade de um número inteiro positivo selecionado aleatoriamente do conjunto dos inteiros positivos menores ou iguais a 100 ser divisível por 2 ou por 5?

Solução: Sabemos que no Universo dos inteiros positivos, inferiores ou iguais a 100 (n(S) = 100), a quantidade de números divisíveis por 2 é 50 (os pares) e a quantidade dos números divisíveis por 5 é 20 (os terminados em zero ou em cinco). Sendo que os que são divisíveis ao mesmo tempo por 2 ou por 5 (os múltiplos de 10) são 10. Logo, teremos:

1

2

1 2

1 2

50 1( )100 220 1( )

100 510 1( E )100 10

1 1 1 3, ( E ) 60%2 5 10 5

p E

p E

p E

Logo p E

= =

= =

∩ = =

∪ = + − = =

Vamos a seguir apresentar mais alguns casos de combinação de eventos, a partir de alguns exemplos propostos pelo professor Luiz Márcio Imenes em apostila da Fundação Roberto Marinho. EXEMPLO 1 Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é 5/6. Qual a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?

Solução:

O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes. Considere então os eventos: A: ter média acima de 7,0. B: saber jogar futebol. A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol. Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1/5 têm média acima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de 1/5 ou seja, 5/6 . 1/5 = 1/6 sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 1/6 .

Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro):

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P (A e B) = P (A) · P (B) EXEMPLO 2 Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho?

Solução: Considere os eventos: A : ser canhoto B : ir de Ônibus para o trabalho Claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por P(A e B) = P (A) · P (B). Calculando: P (A) = 10/30 = 1/3 P (B) = 25/30 = 5/6 P (A e B) = P (A) · P (B) = 1/3 . 5/6 = 5/18 A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 5/18. EXEMPLO 3: Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas: (natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a primeira etapa (natação) é 4/7. Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é ¾. Qual a probabilidade de que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a primeira e a segunda etapas?

A : terminar a 1a etapa da prova (natação). B : terminar a 2 a etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1a.Note que A e B não são eventos independentes, pois, para começar a 2a etapa é necessário, antes, terminar a 1a. Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B depende (esta condicionada) à ocorrência do evento A. Utilizamos então a notação B/A, que significa a dependência dos eventos, ou melhor, que o evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso deste exemplo, temos: B/A terminar a 2a etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1a etapa (natação). E agora? Como calcular P (A e B)? Simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A. O enunciado deste problema nos diz que P(A) = 4/7 e P B/A = 3/4; assim, P(A e B) = P(A) · P B/A = 4/7 . ¾ = 3/7. A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1a e a 2ª etapas é 3/7. Quando A e B não são eventos independentes a probabilidade de ocorrência de A e B é calculada por: P (A e B) = P (A) · P (B/A) onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocorreu (Probabilidade Condicional).

EXEMPLO 4

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No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é 9/10. Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é 2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista? Solução: Considere os eventos: A: aprovação na prova escrita. B: aprovação na prova prática de direção. Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso ter aprovação na prova escrita para fazer a prova prática de direção. Como a ocorrência de B está condicionada à ocorrência de A, criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendo que o candidato foi aprovado na prova escrita. Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A) Calculando: P(A) = 9/10 P(B/A) = 2/3 P(A e B) = 9/10 . 2/3 = 3/5 A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de direção é 3/5. EXEMPLO 5: Uma urna contém 4 bolas brancas e 2 vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reposição, uma segunda bola é retirada. Qual a probabilidade de ambas serem brancas? Considere os eventos: A: retirada da primeira bola branca. B: retirada da segunda bola branca. Eles são dependentes, pois a probabilidade de ocorrência de B depende do que ocorreu na retirada da primeira bola. Então: P(A) = Tendo sido retirada uma bola branca e não havendo reposição na urna, restam 5 bolas sendo 3 brancas, logo, a probabilidade de retirar-se outra bola branca é

P(B\A) = 53

Portanto P(A B) = P(A) P(B\A) = 52

53.

32 =

OBS: Este resultado poderia ser obtido diretamente da definição P(A B) = 52

25.6

23.4

2,6

2,4 ==CC

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EXEMPLO 6: Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colômbia. No primeiro tempo, a seleção brasileira cometeu 10 faltas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram reprisados, dentre os quais uma falta cometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta escolhida seja de Leonardo ou de André Cruz? Solução: Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6 das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhida dentre as 10 é 6/10 = 3/5 . Também podemos resolver este problema da seguinte maneira: Probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 3/10 . Probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = 3/10 . A probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5. Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável. Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de André Cruz), estamos interessados na probabilidade do evento A ou B. Temos então, para esse caso que: P(A ou B) = P(A) + P(B) Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometida pelos dois jogadores ao mesmo tempo, ou seja, o evento A e B é impossível. 5.3) Conceito de Probabilidade (generalização): Problema: Se eu tiver uma moeda viciada e a lançar várias vezes o que posso esperar como resultado? Definição: Dado um espaço de amostras S, de um experimento com um número finito de resultados possíveis, chama-se probabilidade de um resultado, p(s), a um valor: 0 ( ) 1, p s s S≤ ≤ ∀ �

1s S

s�

=∑Modelar uma experiência deve ser medir a freqüência relativa de um acontecimento quando o número de experiências se torna muito grande. Exemplo: Qual a probabilidade de sair caras ou coroas numa moeda viciada em que a chance de aparecer cara é duas vezes a chance de aparecer coroa.

Solução: 1) p(CA) =2 p(CO) 2) p(CA) + p(CO) = 1, por definição. 3) 2 p(CO) + p(CO) = 3 p(CO) = 1, de 1) e 2) p(CO) = 1/3 p(CA) = 2/3 Definição: A probabilidade de um acontecimento E é igual à soma das probabilidades dos resultados em E. p(E) =

s Es

�∑

Exemplo: Admita que tem um dado viciado de modo que o número 3 aparece duas vezes mais que qualquer dos outros números. Qual a probabilidade de sair um número ímpar quando lançamos o dado uma vez? Solução: P(3) = 2s

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P(1) = p(2) = p(4) = p(5) = p(6) = s Logo, 2 s + 5 s = 1 ou s = 1/7 Seja E o evento esperado (sair um número ímpar), teremos: p(E) = p(1) + p(3) + p(5) = 4/7 Uma atividade exploratória:

Um jogo de cinco dados

Uma boa experiência que pode ser feita em classe e que, através do aumento do número de registros, podemos verificar a aproximação do resultado obtido na prática, com o teórico.

Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual é a probabilidade de ganhar?

Numa fase inicial do estudo das probabilidades, os alunos ainda não têm conhecimentos que lhes permitam responder à pergunta com o valor exato. No entanto, podem obter experimentalmente uma aproximação razoável.

Para isso, a cada grupo de alunos deve ser distribuído um conjunto de 5 dados (ou solicitar que eles tragam de casa), pedimos que cada grupo faça uma série de sorteios (50, por exemplo) e que registre os resultados obtidos, destacando de alguma forma os casos que forem favoráveis ao evento proposto. Caso haja condições, podemos até simular tais sorteios numa calculadora gráfica (TI-83, por exemplo).

Seja, por exemplo os seguintes resultados que poderiam ser obtidos por um grupo:

1 2 2 3 3

2 2 5 6 4

5 1 2 3 3

Verificamos facilmente que dos três sorteios anteriores, o único que nos é favorável é o terceiro, ou seja, num universo de 3 sorteios, obtivemos a freqüência relativa de 1/3, ou 33%.

Se, numa turma, cada grupo fizer uns 50 sorteios, registrando o número de experiências e o número de vezes favoráveis, facilmente chegamos a 500 resultados. Podemos juntar os resultados de duas turmas, por exemplo e chegamos a 1000 experiências.

Num dos Colégios em que fizemos a experiência, em 1000 experiências, anotamos 276 sucessos, o que corresponde a uma freqüência relativa de 0,276 ou 27,6%.

Podemos então prever que a probabilidade de ganhar numa jogada vai ser próxima deste valor, não longe dos 28%.

Claro que quantas mais experiências fizermos, mais confiança poderemos ter nos resultados ( e isso devemos passar a nossos alunos, a experiência com grandes números). Se conseguirmos juntar os resultados de várias turmas (10 000 sorteios, por exemplo), verificaremos que a probabilidade de ocorrência do evento estará perto de 27%. Em seguida veremos o resultado exato desta probabilidade, com o auxílio da Análise Combinatória.

Cálculo da probabilidade

Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual é a probabilidade de ganhar?

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Já vimos, experimentalmente, que o resultado procurado está próximo dos 27%. Agora vamos obter o resultado exato.

O número de casos possíveis quando lançamos 5 dados são os arranjos com repetição dos 6 números, ou, pelo princípio multiplicativo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65= 7776

O número de casos favoráveis (sair 5 mas não sair 6) tem de ser feito em duas etapas:

Primeiro, não pode sair 6: são os arranjos com repetição dos números de 1 a 5.

Casos em que não sai 6 = AR 5,5 = 55 = 3125

Segundo, não pode sair 6 mas tem de sair 5. Então, aos 3125 casos anteriores temos de subtrair os casos em que também não sai 5.

Casos em que não sai 6 nem 5 = AR 4,5 = 45 = 1024

Casos em que não sai 6 mas sai 5 = 3125 – 1024 = 2101

Logo: P(sair 5 mas não sair 6) = 2101

7776≈ 0,27019

A probabilidade de ganhar o jogo é praticamente igual a 27%.

Reparemos que o valor obtido experimentalmente está bastante perto do valor teórico. 5.4) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES

Probabilidades e a Mega Sena

Tudo pelos milhões Prêmio da Mega-sena será sorteado hoje O prêmio acumulado de R$ 32 milhões da Mega-sena movimentou ontem milhares de cariocas, em filas intermináveis nas casas lotéricas. O prêmio está acumulado há seis semanas e, segundo a Caixa Econômica Federal, deverão ser feitas 59 milhões de apostas. O sorteio será realizado hoje, às 20 horas, na cidade de Santo Antonio da Platina, no Paraná. Ontem, no Rio, casas lotéricas fizeram promoções, como a da Novo México, se propondo a trocar um mosquito Aedes Aegypti, por um bilhete com seis dezenas. Outra promoção nessa loja era a troca de um bilhete da Mega-sena para quem pagasse a conta de luz com baixo consumo. Os apostadores estão confiantes e já fazem planos com o prêmio acumulado. ''Tenho fortes esperanças de ganhar. Faço apostas há dez anos com os mesmos números e doaria a metade do prêmio para uma instituição de caridade'', disse o administrador de empresas Jorge Luiz Campos. As loterias dos shoppings e da Zona Sul ficarão abertas até uma hora antes do sorteio das dezenas. Em alguns sites da Internet, é possível apostar as 19h45. As repetidas - Para quem acompanha os sorteios da Mega-sena existem algumas probabilidades que poderão fazer algum milionário no teste de logo mais. As dezenas que mais apareceram nos resultados até agora são: 42 (34 vezes), 13 (33 vezes), 41 e 43 (30 vezes); 25, 37 e 53, que saíram 29 vezes.

Jornal do Brasil – sábado, 24 de março de 2001

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INTRODUÇÃO

Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega Sena é, ao menos em determinadas ocasiões, a que desperta o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de que, pelas regras do jogo, de vez em quando, as quantias oferecidas serem bastante respeitáveis. A mídia dá ampla divulgação ao fato, tratando desde as chances de que alguém ganhe o prêmio máximo até o que o ganhador poderia fazer com todo aquele dinheiro ganho. Nós, professores de matemática, somos sempre consultados sobre o funcionamento do jogo e especialmente sobre a existência de alguma estratégia que possa melhorar as possibilidades de vitória. O presente artigo faz um breve relato sobre o jogo, mostra respostas às perguntas mais comuns e, tem como maior contribuição, o mérito do aproveitamento de um tema de interesse de todos em nossas aulas de matemática do Ensino Médio. O JOGO Faremos um breve relato do jogo para os que por princípios ou por inteligência nunca se interessaram pelo mesmo. As apostas podem ser feitas escolhendo-se no mínimo 6 e no máximo 15 dezenas dentre as 60 disponíveis, e enumeradas de 1 a 60. Cada aposta simples de 6 dezenas custa 1 real e, se você marca 8 dezenas, por exemplo, terá de pagar 28 reais (pois estas 8 dezenas lhe possibilitam concorrer com 28 jogos simples, que é o resultado de C8,6). A Caixa Econômica Federal, que administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas que contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as seis (sena) dezenas sorteadas. Se num determinado concurso ninguém acerta as seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o concurso seguinte. Existem C60,6 resultados possíveis para um sorteio. Esse número é superior a 50 milhões, mais precisamente, ele é igual a 50 063 860. Acho que todos concordamos que só alguém muito otimista acredita que vai ganhar com uma única aposta.

AS PROBABILIDADES DE SUCESSO NA MEGA-SENA

O cálculo das probabilidades de que um apostador ganhe os prêmios oferecidos é um exercício simples e interessante de Análise Combinatória. Vamos, através de um exemplo, mostrar como ele é resolvido. Vamos supor que um apostador fez um jogo com 10 dezenas e estará, portanto, concorrendo com C10,6 (210) jogos simples de 6 dezenas. Verificamos que a probabilidade de ganhar a sena vale 210 / 50 063 860, ou aproximadamente 0,00042 %. Para que este apostador ganhe a quadra, é necessário que quatro das seis dezenas apostadas estejam entre as dez nas quais ele apostou e duas estejam entre as outras 50. As quatro podem ser escolhidas de C10,4 = 210 maneiras e as outras duas de C50,2 = 1225 maneiras. Existem, portanto 210 x 1225 = 257 250 resultados que dariam o prêmio da quadra para o apostador. De modo análogo mostra-se que existem 12 600 resultados que dariam ao apostador o prêmio da quina. Logo, os valores aproximados das probabilidades de que um apostador, que jogou 10 dezenas, ganhe os prêmios da sena, quina e quadra são, respectivamente iguais a: 0,00042%; 0,025 % e 0,514 %. Com raciocínio análogo são calculadas as probabilidades de apostas com um número qualquer de dezenas.

VOCÊ SABIA?VOCÊ SABIA?VOCÊ SABIA?VOCÊ SABIA?

Que é mais fácil obter 25 caras em 25 lançamentos de uma moeda perfeita do que acertar na Mega Sena com um único jogo de 6 dezenas?

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A ACUMULAÇÃO PROGRAMADA Nas diversas loterias administradas pela Caixa, sempre que o prêmio maior não saía e a quantia ele destinada acumulava para o concurso seguinte, o interesse dos apostadores crescia, resultando num aumento considerável no número de apostas. Embora essa situação fosse interessante para a Caixa, o governo e os lotéricos, a sua ocorrência dependia do acaso. Com o objetivo de manter o interesse dos apostadores e conseqüentemente aumentar a arrecadação, foi criada a acumulação forçada que reserva uma parte do prêmio (20% do total destinado à Sena) para ser acrescentada ao rateio dos concursos cujos números terminam em zero. Assim, por exemplo, em cada um dos concursos de números 201, 202, ... 209, vinte por cento do prêmio da Sena ficam retidos para serem acrescentados ao prêmio do concurso 210. No segundo semestre de 1999, repetidas acumulações fizeram com que o prêmio superasse 60 milhões de reais. Esse valor, em torno de 30 milhões de dólares, está no nível dos prêmios de loterias do primeiro mundo, principalmente se levarmos em conta que, aqui no Brasil, ele é isento de imposto de renda.

PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES

1. Intuitivamente o que significa ter uma chance em cinqüenta milhões? Usualmente as pessoas solicitam que se façam comparações entre a possibilidade de se ganhar na Mega Sena, com outros eventos, como morrer de um desastre de avião, ser atingido por um raio ou mesmo morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer tais comparações está no fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, enquanto que todos os que apostam 6 dezenas, por exemplo, têm a mesma chance de ganhar. Fica mais fácil as pessoas entenderem usando exemplos puramente aleatórios. Por exemplo, o número de habitantes do Brasil é quase igual a três vezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre todas os brasileiros, a sua chance de ganhar um desses prêmios seria praticamente igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega Sena com um jogo mínimo, de 6 dezenas. 2. Existe alguma forma de apostar que melhore as chances do apostador? Essa pergunta é geralmente feita na sala de aula por alunos curiosos em saber se conhecemos algum “truque” que nos facilite ganhar o prêmio. A análise dos sorteios realizados até hoje indica que toas as dezenas são igualmente prováveis e que os resultados de diferentes sorteios são independentes. Não existem elementos concretos que nos permitam construir um sistema que melhore nossas chances de vitória (se existisse, provavelmente não estaríamos dando mais aulas). 3. Se eu estiver disposto a jogar 28 reais, é melhor fazer um único jogo de 8 dezenas ou vinte e oito jogos de 6 dezenas? Essa é uma questão interessante, pois, embora as duas formas de jogar sejam equivalentes (supondo 28 jogos distintos de 6 dezenas) no que diz respeito à sena, isso não é verdade com relação à quadra e à quina. De fato, com um único jogo de 8 dezenas existirão C8,5 . C52,1 = 2912 resultados possíveis que darão o prêmio da quina ao apostador. Com um único jogo de 6 dezenas, o apostador terá C6,5 . C54,1 = 324 resultados contendo uma quina. Se os 28 jogos não tiverem nenhuma quina em comum, o total de resultados favoráveis será igual a 28 x 324 = 9072. A probabilidade de acertarmos uma quina com o segundo sistema é mais do que três vezes maior do que com o primeiro. Essa diferença é, pelo menos parcialmente, compensada pelo fato de que, acertando uma quina com o jogo de 8 dezenas, receberemos três vezes o valor do prêmio.

4. Vale a pena jogar?

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Do ponto de vista teórico, é fácil ver que a resposta é não. De fato, você estaria colocando dinheiro num jogo que destina apenas 44% da arrecadação para os prêmios e no qual a sua probabilidade de ganhar alguma coisa que valha a pena é muito pequena. Para aqueles que acreditam na sorte e gostam de arriscar de vez em quando, vejam algumas sugestões: a) Nunca aposte muito dinheiro – de fato, com a aposta de 15 dezenas, que custará 5005 reais (verifique), a sua probabilidade de ganhar o prêmio é aproximadamente igual a 1/10000 ou 0,01%. Portanto, a probabilidade de que você perca o seu dinheiro é bem grande (99,99%). Se você é capaz de perder cerca de 5000 reais sem se importar, é lógico que é uma pessoa que não precisa de loterias. b) Aposte, de preferência nos concursos de final zero – Nesses concursos você não estará contribuindo para o prêmio de futuros ganhadores, estará concorrendo a um prêmio maior e principalmente a quantias que os outros já perderam.

Para justificar a fraqueza de alguns em arriscar de vez em quando, veja que, se você pode, sem sacrifício dispor de 10 reais por semana e decidir aplicá-los num investimento de cerca de 1% de juros ao mês, teria, em valores corrigidos, cerca de 678 reais após um ano e. conseqüentemente, cerca de 52 000 reais após 20 anos. Com esse procedimento, sua probabilidade de ficar rico é zero. Se você jogar 10 reais por semana, a probabilidade de que fique rico é quase zero, mas não é zero...(poderemos conferir esses dados no curso de Matemática Financeira Básica).

Adaptado da Revista do Professor de Matemática, nº 43 - Flavio Wagner Rodrigues (IME-USP) EXERCÍCIOS: 1) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE ACERTAR NA SENA, NA QUINA E NA QUADRA, DE UM CONCURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU 12 DEZENAS. 2) QUANTAS QUADRAS E QUINAS ACERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU 10 DEZENAS E ACERTOU A SENA? 3) VAMOS CONFERIR, USANDO A ANÁLISE COMBINATÓRIA, TODOS OS DADOS CONTIDOS NAS TABELA DA MEGA-SENA APRESENTADA A SEGUIR:

Probabilidade de Acerto (1 em .......) Jogadas Valor das Apostas Sena Quina Quadra

6 1,00 50.063.860 154.518 2.332 7 7,00 7.151.980 44.981 1.038 8 28,00 1.787.995 17.192 539 9 84,00 595.998 7.791 312

10 210,00 238.399 3.973 195 11 462,00 108.363 2.211 129 12 924,00 54.182 1.317 90 13 1.716,00 29.175 828 65 14 3.003,00 16.671 544 48 15 5.005,00 10.003 370 37

5.5. VERIFIQUE QUE NÃO HÁ UM ÚNICO CAMINHO CORRETO...

Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades é o fato de que eles normalmente possibilitam várias formas distintas de solução. Quase sempre isso ocorre porque, perante a situação descrita no problema, podemos encontrar diversos espaços amostrais, dependendo da abordagem que se faça. Para calcular a probabilidade aplicando a definição de Cardano/Laplace, devemos dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá

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corresponder um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casos favoráveis. O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveis e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço de resultados durante a resolução.

Vamos tomar como exemplo um problema e os vários modos de resolvê-lo:

Três bilhetes de cinema

A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos para ver um filme. Como o cinema tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. As alunas Ana, Beth e Carla, por serem muito amigas, gostariam de ficar juntas e numa das extremidades da fila.

Qual a probabilidade de que isso ocorra? Fazer um esquema ajuda, muitas vezes, a visualizar melhor o que se passa.

As três amigas querem ficar nos lugares 1, 2 e 3 ou 13, 14 e 15. Existem pelo menos quatro processos de resolver o problema. 1º Processo Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5, 7, 15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15 embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar. Os casos possíveis são as diferentes maneiras delas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de 15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes. Casos Possíveis = C 15,3 = 455 Os casos favoráveis são apenas 2: ou recebem os bilhetes 1-2-3 ou os bilhetes 13-14-15.

P(ficarem juntas numa ponta) = 2455

2º Processo Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes. O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5, 7, 15}, ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15. Os casos possíveis são, portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante. Casos Possíveis = A 15,3 = 2730 Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras de elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15. Logo, os casos favoráveis são 2 × P3 , ou seja, 12.

P(ficarem juntas numa ponta) = 122730 = 2

455

3º Processo Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos podem sentar-se nos 15 lugares.

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O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras. Os casos possíveis são, portanto as permutações de 15. Casos Possíveis = P15 = 15! Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunos também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então: Casos Favoráveis = 2 × P3 × P12

P(ficarem juntas numa ponta) = 2 × P3 × P12

P15=

2455

4º Processo Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às três amigas. A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os três últimos). Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na ponta onde a primeira ficou. Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta onde estão as amigas.

P(ficarem juntas numa ponta) = 6

15×

2

14×

1

13=

12

2730= 2

455 .

5.6) Probabilidade e Favorabilidade: (Erros comuns que são cometidos no cotidiano)

Trataremos agora de alguns aspectos simples da Teoria das Probabilidades e que normalmente não são explorados em sala de aula.

• confusão entre as duas medidas usuais de chance ou acaso: probabilidade e favorabilidade (Chance)

• a noção de valor esperado ou esperança matemática.

a) Confusão entre as medidas usuais de chance ou acaso

Existem duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. As duas são facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilidade, muitas são as situações do cotidiano onde se usa exclusivamente a favorabilidade, como é o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos de azar. Além disso, a noção de favorabilidade está mais próxima da medida subjetiva de chance. Está assim delineada uma situação que tende a produzir confusões. Vale a pena recordarmos esses conceitos:

� A probabilidade p de ocorrer um evento é o quociente entre a quantidade ou medida dos casos favoráveis pela quantidade ou medida de todas as possibilidades (favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse evento é o quociente entre as quantidade ou medida de casos favoráveis pela dos casos desfavoráveis.

No caso de um evento com um número finito de resultados, b bons ou favoráveis e r ruins ou desfavoráveis, temos que essas definições podem ser escritas como:

� p = b / ( r + b )� f = b / r

É imediato ver que o valor de p (da probabilidade) sempre tem de estar entre 0 e 1, e o valor f (da favorabilidade) entre 0 e infinito. As duas medidas implicam um modo diferente de pensar. Por exemplo:

• em termos de probabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua probabilidade for maior do que 0.5 = 50%.

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• em termos de favorabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua favorabilidade for maior do que um.

Apesar dessa diferença, as duas noções estão relacionadas. Com efeito, uma rápida manipulação algébrica nos permite expressar uma em termos da outra:

� p = f / ( 1 + f )� f = p / ( 1 - p ) (VERIFIQUE)

EXEMPLO 1 Um micro-empresário concluiu que há uma chance de 3 em 2 que seu novo negócio tenha sucesso. Traduzir isso em termos de probabilidade. Solução: O empresário expressou-se da maneira comum no cotidiano. Traduzindo isso para a terminologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu negócio ter sucesso é f = 3/2 = 1,5, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 1,5/2,5 = 0.6 = 60% .

EXEMPLO 2 Vejamos agora uma situação mais propensa a confusões: tratemos de expressar a chance de tirarmos um 3 ao lançarmos um dado. Se usarmos a probabilidade como medida de chance, diremos que a probabilidade de sucesso é 1 / 6. Mas o jogador prefere dizer que a favorabilidade do sucesso é 1 / 5. Claro que maior confusão resultará se o jogador afirmar que a chance de sucesso é 1 / 5. O ouvinte poderá entender que ele estava se referindo à probabilidade. A principal razão dos apostadores preferirem a favorabilidade, em vez de a probabilidade, é que essa lhe permite formular diretamente suas apostas. Com efeito, se ele acha que tem favorabilidade 3/2 de ganhar, ele está pronto para apostar R$ 3 000 contra R$ 2 000, ou R$ 150 contra R$ 100, etc. Isso leva a outro aspecto interessante. A maioria dos jogadores escolhe sua aposta de um modo intuitivo e assim, ao dizer que aposta R$ 300 contra $ 200, nem sempre significa que ele tenha calculado o verdadeiro valor da favorabilidade e que a mesma tenha dado f = 3/2. Caso isso efetivamente ocorra, dizemos que a aposta é honesta.

EXEMPLO 3 O time de José mantém uma performance de 8 vitórias por cada 9 partidas jogadas e José, confiante, aposta R$ 30 contra R$ 4 que seu time de futebol ganha a próxima partida. Pergunta-se: essa aposta é honesta? Solução: Para responder, precisamos calcular a chance de vitória de seu time. Poderemos dizer que p = 8/9 e que f = 8/9 / ( 1 - 8/9 ) = 8. De modo que a aposta seria honesta se fosse R$ 32 contra R$ 4. Como são apenas R$ 30 contra os R$ 4, José está fazendo uma aposta desonesta e que o favorece.

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c) Esperança Matemática ou Valor Esperado

Esse conceito surgiu antes da noção de probabilidade. Historicamente, foi introduzido para quantificar o provável ganho de um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas situações. Como é muito mal entendido, vale a pena recordar sua definição: DEFINICÃO: Se uma variável aleatória assume valores v 1, v 2, ... , v n cujas probabilidades são, respectivamente: p 1, p 2, ... , p n, sendo que p 1 + p 2 + ... + p n = 1, então o valor esperado dessa variável é:

v 1 p 1 + v 2 p 2 + ... + v n p n

EXEMPLO 1 O governo avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilidade de que a venda da estatal XYZ renda um lucro de R$ 2 500, R$ 1 500 e R$ 500, ou um prejuízo de R$ 500 (em milhares de reais). Qual o lucro esperado? Solução: valor esperado = 2 500*0.22 + 1500*0.36 + 500*0.28 - 500*0.14 = 1 160 milhares de reais.

EXEMPLO 2 Usando a noção de valor esperado, podemos facilmente ver o quão equivocada é a expectativa dos apostadores de jogos de cassino, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em média, o jogador sempre perde. Comecemos por uma loteria simples e fácil de entender: jogadores apostam $5 em um número de 000 a 999, recebendo $ 2 500 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos: as probabilidades de acertar e errar são: 0.001 e 0.999, de modo que, em cada aposta, o jogador em média recebe: 2500 * 0.001 - 5 * 0.999 = -2,495, ou seja: ele perde, em média, $ 2.50 cada vez que jogar. No caso da roleta mais comumente usada no Brasil: a roda traz os números de 1 a 36 e mais duas casas especiais denotadas por 0 e 00. Na aposta chamada "jogo no pleno" o jogador aposta num desses 38 números e o cassino paga $36 por cada $1 apostado. Conseqüentemente, o ganho esperado do jogador é:

36 * 1/38 - 1 * 37/38 = -0.0263

Ou seja, o jogador perde, em média, $ 0.0263 por cada $1 jogado. Observe que é mais lucrativo ter cassino do que loteria. Procure verificar que o roubo ainda é maior se forem usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica menor no caso das chamadas roletas internacionais, que tem os números de 1 a 36 e mais uma casa 0. Deu para entender por que tantas "boas almas" querem a legalização dos cassinos no Brasil ?

5.7) Aplicações na Área Biomédica – Genética

Probabilidade X Genética Um dos ramos de grande aplicabilidade do cálculo combinatório e das probabilidades é a Genética. Vamos agora enfocar os elementos básicos para que um professor de matemática possa usar em suas aulas, exemplos relacionados com a biologia ou mesmo com a medicina. A) Elementos de Genética: Nos organismos vivos existem duas partes componentes: o soma e o gérmem. A segunda parte é relacionada com a reprodução, que nos animais corresponde aos gametas (óvulo e espermatozóide). Esses gametas, tanto os masculinos como os femininos, transportam 23

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cromossomas que são estruturas em forma de filamentos. Nos cromossomas é que estão contidos os gens, que são os responsáveis pela transmissão dos caracteres hereditários. Quando há fecundação (união do espermatozóide ao óvulo) forma-se a célula ovo ou zigoto, com 46 cromossomas, dispostos aos pares – é o início de uma nova vida. Os dois cromossomas que constituem cada par são denominados cromossomas homólogos e os gens que se localizam no mesmo lugar nos cromossomas homólogos são os que chamamos de alelos. Os gens podem ser dominantes ou recessivos e costuma-se indicar os dominantes por letras maiúsculas e os recessivos por letras minúsculas, dessa forma, um par representado por AA significa dois gens dominantes. Quando um organismo tem dois alelos iguais para uma determinada característica (AA, se dois dominantes ou aa, se dois recessivos) dizemos que os gens para esse caráter estão em homozigose e o organismo, para essa característica é homozigoto. Quando os gens são diferentes (Aa, um dominante e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o organismo é dito heterozigoto para essa característica.O gen dominante quer esteja em homozigose ou em heterozigose manifesta seu caráter. O gen recessivo só pode se expressar quando estiver em homozigose (aa).

B) Modelo Matemático: Geração parental (gametas – 50% A e 50% a) A é dominante e a é recessivo.

Aa x Aa

A a A a

AA Aa aA aa

41

41

41

41

O quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades é o seguinte:

AAAA21

a21

A21 AA

41 Aa

41

a21 Aa

41 aa

41

APLICAÇÕES: 1) Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primogênito uma criança albina. Determinar a probabilidade de que seus dois próximos filhos sejam albinos, lembrando que albinismo é determinado por um gene recessivo a.

SOLUÇÃO Se olharmos a tabela e o modelo mostrados anteriormente, notamos que, pelo fato de ser um

gene recessivo, essa característica só se manifestará no caso aa (41

). Lembramos também que

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o fato da primeira criança ter sido albina não influenciará, nesse aspecto, o hereditariedade das

futuras crianças. Logo, a probabilidade de nascer uma criança albina será de 41

, e a de que os

dois próximos filhos sejam albinos será de 41

.41

=161

= 6,25%.

2) A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver 3 filhos, determine a probabilidade de que os três apresentem queratose.

SOLUÇÃO:

Mulher Homem

Qq x Qq

QQ Qq Qq qq

Q é dominante, logo p = 43 para cada filho nascido com queratose. Como os eventos

são independentes, teremos para os três nascerem com a anomalia, a probabilidade de:

43 .

43 .

43 = %19,42

6427 =

5.8) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADES

Consideremos um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos de sucesso e seu complementar, que chamaremos de fracasso. Vamos representar por s, aprobabilidade de ocorrência do sucesso e por f = 1 – s, a probabilidade de ocorrência do fracasso. Por exemplo: Jogamos um dado honesto e consideramos sucesso a obtenção do números 3 ou 4. O fracasso

será constituído dos resultados: 1, 2, 5 ou 6. Teremos, nesse caso, s = 31

62 = e f =

32

64 = .

Note, nos dois exemplos apresentados que s + f = 1 ou 100%. Temos o seguinte teorema, denominado Teorema Binomial em Probabilidade: “A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma seqüência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é s e a de fracasso é f

= 1 - s, é igual a ..k,knk

n fsC −”

Vamos fixar da seguinte forma: obtenção dos sucessos nas k primeiras provas e dos fracassos, nas n – k provas seguintes. Dessa forma, aplicando o princípio multiplicativo, teremos a

probabilidade s.s.s..... (k fatores). f.f.f.f... (n – k) fatores, ou seja: knk fs −.

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É claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma pois apenas a ordem dos fatores se alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n – k fracassos, em qualquer ordem é:

knk fs −. . Como temos k,nC ordens possíveis, teremos o resultado esperado:

..k,knk

n fsC −

APLICAÇÕES: 1) Um aluno marca, ao acaso, as respostas em um teste de múltipla-escolha, com 10 questões e cinco alternativas para cada uma, com apenas uma certa. Qual a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões? Solução:

Sabemos que s = 1/5 ou 0,2 e que f = 4/5 ou 0,8. Como queremos exatamente 4 sucessos em n = 10 provas e os eventos são independentes, podemos aplicar o teorema binomial:

P = 8,8%ou0,088 8,0.2,0. 644,10 =C

2) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilidade de que uma pessoa não morra, no prazo de um mês após uma determinada operação de câncer é 82%. Qual a probabilidade de que três pessoas que fizeram tal operação sobrevivam, ou seja, não morram em até um mês da cirurgia? Solução:

Temos, neste caso, s = 0,82 e f = 0,18. Estamos querendo que os três sobrevivam, ou seja, k= 3, então teremos:

P= 55,14%ou0,5514 18,0.82,0. 033,3 =C

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PROBABILIDADES

1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

Solução:Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.

Logo, k + 3k = 1 então k = 1/4.

Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

2 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

Solução:Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

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Então, substituindo, vem:

k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1, logo, teremos k = 2/9.

Assim, temos:

p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

3 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?

Solução:

Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:

P = C3,2 / C10,2 = 3/45 = 1/15

4) Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3? Solução:

Sejam os eventos: Evento A: sair o número 3; Evento complementar de A = A’: não sair o número 3. Teremos: p(A) = 1/6 = p e p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6

Portanto, a probabilidade procurada, aplicando-se o teorema binomial, será dada por:

5) UNESP 2000 - Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodoméstico X e não receber o jornal do supermercado Y.

SOLUÇÃO:

0,0042 ou 0,42%

Seja n o número de pessoas que recebem os dois jornais: Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n = 15 000 Logo, n = 3000. Portanto, 3000 domicílios recebem os dois jornais.

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Dessa forma, teremos 10 000 – 3000 = 7000 domicílios que só recebem o jornal do supermercado X. Logo, a probabilidade procurada será 7000 / 30 000 = 0,233 = 23,3 %

EXERCÍCIOS GERAIS – PROBABILIDADES – QUESTÕES DE CONCURSOS

1)(Concurso para Professores do Ensino Médio – Governo do Estado do Rio de Janeiro – 1990) A tabela seguinte fornece, por sexo e por curso, o número de estudantes matriculados num colégio estadual.

Homens Mulheres Form. Geral 400 200

Form. De Professores 80 320

Escolhendo, ao acaso, um desses estudantes obtenha as seguintes probabilidades: A) do elemento escolhido ser homem ou ser do curso de formação geral B) do elemento escolhido ser mulher, dado que é do curso de formação de professores.

2) (Concurso para Professores – Macaé – Ensino Fundamental) Uma comissão de 3 elementos será escolhida entre os alunos: Ari, Bernardo, Carlos, David, Eurico, Fernando e Gustavo. A probabilidade de Gustavo pertencer a essa comissão é de, aproximadamente: a) 43% b) 45% c) 47% d) 49%

3) (Concurso para Professores CEI – RJ – 1996) Observe a figura abaixo.

0

1 1

2 32

Esta figura sugere uma roleta de um programa de televisão. Gira-se o ponteiro e anota-se o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. A probabilidade de que o produto dos números obtidos seja igual a 6, é: a) 1/9 b) 1/6 c) ¼ d) 1/3 e) ½

4) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 1997) Um jogo de loteria, conhecido como Quina da Felicidade, é composto de uma cartela numerada de 1 a 50 (01, 02, ....50). É considerado vencedor o apostador que conseguir acertar a quina (coleção de 5 números) sorteada dentre os 50 números. João fez apenas um jogo com 10 dezenas e Pedro fez 50 jogos distintos de 5 dezenas. Quem tem maior probabilidade de vencer? Quais são essas probabilidades?

5) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença RJ – 1998) A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino?

6) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de São Gonçalo RJ – 1998) Dois dados (cúbicos) distintos e honestos são lançados sobre uma mesa. A probabilidade da soma dos valores obtidos nas faces superiores ser igual a 5 é de:

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 95

a) 1/3 b) ¼ c) 1/5 d) 1/6 e) 1/9 7) (Concurso para Professores – Ensino Médio – FAETEC RJ – 1998) Num setor em que trabalham 6 homens e 4 mulheres, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 2 representantes desse setor. A probabilidade de que a comissão venha a ser formada somente por homens é de: a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6 8) (Concurso para Professores – Fundação Educacional de Barra Mansa – 1998) Uma caixa contém 200 bolas numeradas de 1 a 200. Retirando-se uma delas ao acaso, a probabilidade de que ela esteja numerada com um número múltiplo de 13 é de: a) 6,5% b) 7,0% c) 7,5% d) 8,0% e) 8,5% 9) (Concurso de Professores – SME do Rio de Janeiro – 1998) Teresa deseja comprar 2 periquitos numa loja que tem igual número de machos e fêmeas. Se Teresa escolhe ao acaso dois periquitos, a probabilidade de que ela compre dos periquitos machos é: a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85% 8) (Concurso de Professores – SME de Mesquita – 2002) Retirando-se 4 bolas de uma caixa contendo 3 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 5 bolas pretas, a probabilidade de que pelo menos uma das 4 bolas retiradas seja branca é: a) 41/55 b) 14/55 c) 55/14 d) 1/55

12) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001) Marcos e Celia querem ter 3 filhos. A chance de que o casal tenha três filhas é de: a) 11% b) 12,5% c) 33,3% d) 37,5% 13) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001) Oito pontos sobre uma circunferência são os vértices de um octógono regular. Se 4 desses oito pontos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de se obter um quadrado é: a) 1/70 b) 1/35 c) 2/35 d) 2/7 14) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Duque de Caxias – 2002) Em um grupo de 20 pessoas, a probabilidade de que nele haja, pelo menos, duas pessoas nascidas num mesmo mês é igual a: a) 0,12 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 5/3 15) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Niterói – 2003) Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade de sair a soma menor do que 5, nas faces voltadas para cima desses dois dados, é: a) 1/18 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/36 e) 5/9

GABARITO 01) a) 68% b) 80% 02) A 03) A

04) João 0,000119 e

0,000024 05) 46 %

06) E 07) B 08) C 09) A 10) 1,98 % 11) A 12) B 13) B 14) D 15) B

Nem mesmo toda a ciência do homem lhe bastaria para conhecer a extensão da sua ignorância."

(Leoni Kaseff)

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 96

V) Matrizes e Determinantes

1. Introdução Quando utilizamos programas gráficos nos computadores não nos damos conta do que está por detrás das operações que efetuamos, mas é bom que saibamos que estas operações só são possíveis porque antes mesmo de serem desenvolvidos os computadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das matrizes. Programas como o Word, o Excel e outros, não poderiam ser criados se não existissem as matrizes. Cada movimento executado com uma figura colocada na tela de seu computador corresponde a uma operação de matrizes. A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais de cinema, da televisão, dos games de computadores e em inúmeras simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes. Nestas aplicações, nosso problema reside na rapidez com que precisamos realizar as multiplicações para que os resultados pareçam mais realísticos. É aí, exatamente que entra a informática e quanto mais ágeis forem os co-processadores de nossos computadores, tanto mais e melhores serão os benefícios que deles podemos usufruir. Problemas que envolvem campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicas, e etc, são reduzidos a sistemas de equações lineares com número excessivamente grande de equações e incógnitas cuja solução só é plausível com o uso de matrizes. Só para termos uma idéia de o quanto as matrizes fazem parte de nossas vidas, basta saber que a distribuição de energia elétrica, de gás e outros serviços como telecomunicação seriam absolutamente inviáveis em grande escala, como nas redes estaduais, não fosse o uso de matrizes gigantescas operadas por computadores.

É bem comum no nosso cotidiano estarmos interessados em comparar medidas ou aspectos de diversos objetos. A forma mais eficiente de fazermos isso é, através de uma tabela de dupla entrada onde, numa das entradas relacionamos os objetos a serem observados e na outra, as medidas ou aspectos que queremos comparar. Por exemplo, suponha que estamos precisando comprar feijão, arroz, açúcar e café. Vamos pesquisar os menores preços nos supermercados Baratão, Bom Demais e Pague Pouco e para anotarmos seus preços fazemos a seguinte tabela: Feijão(Kg) Arroz(Kg) Açúcar(Kg) Café(Kg) Baratão 1,98 2,20 2,55 4,30 Bom Demais 2,10 2,38 2,15 3,95 Pague Pouco 1,80 2,40 2,30 4,15

Uma matriz é exatamente uma tabela como a que construímos acima com a única diferença que não enfatizamos os significados das linhas e colunas (talvez por já estar explícito).

15,430,240,280,195,315,238,210,230,455,220,298,1

ou

15,430,240,280,195,315,238,210,230,455,220,298,1

Se o número de objetos a serem observados, for muito grande a disposição em forma de matriz torna-se ainda mais eficiente. Naturalmente que o número de linhas e colunas da matriz, isto é, o tipo de matriz, depende exclusivamente do problema que está sendo analisado. Em geral nomeamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas. Uma matriz Aque possui m linhas e n colunas pode ser representada por:

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 97

( )mxnij

mnm

n

n

n

mxn a

aa

aaaaaaaaaaaa

A =

=

..................

...............

1

3333231

2232221

1131211

Qualquer elemento da matriz A é da forma ija , onde os índices i e j servem apenas para indicar, respectivamente a linha e a coluna do elemento considerado.

2.Tipos Especiais de Matrizes

2.1 Matriz linha É uma matriz da forma 1xn. Por exemplo: [ ]70231 =xB

2.2 Matriz Coluna

É uma matriz da forma mx1. Por exemplo :

=

40631

15xC

2.3 Matriz Nula

È uma matriz de qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos. Exemplo

=

000000

32xD

2.4 Matriz Quadrada

É uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ex

=

5031

22xE .

Uma matriz quadrada de n linhas e n colunas é denominada matriz quadrada de ordem nou matriz nxn.Existem dois conjuntos de elementos de uma matriz quadrada que merecem destaque, e que são chamados de Diagonal Principal e Diagonal Secundária. Os elementos de uma matriz quadrada A de ordem n tais que i = j, constituem a Diagonal Principal e os elementos dessa mesma matriz A tais que i + j = n + 1, constituem a Diagonal Secundária. Exemplo.

Seja a matriz

=

952310642

A

A Diagonal Principal é o conjunto { }9,1,2=DP e a Diagonal Secundária é o conjunto { }2,1,6=DS

2.5 Matriz Triangular

É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 98

Ex

=

751022003

M

=

300410521

N

2.6 Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são todos nulos.

Ex.

=

4000010000500003

F

2.7 Matriz Identidade É uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a unidade. Abaixo apresentamos exemplos de matrizes identidades de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

[ ]11 =I

=

1001

2I

=

100010001

3I

2.8 Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada onde se observa jiij aa =2.9 Matriz Anti-simétrica

É uma matriz quadrada onde se observa jiij aa −=

3. Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo mxn e apresentam elementos que ocupam a mesma posição, iguais. Se ( ) ( )

mxnijmxnij bBaA == e , então ijij baBA =⇔=

4.Matriz Transposta Considere uma matriz M do tipo mxn, chamamos de matriz transposta de M (representamos por tM ) a matriz do tipo nxm que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas

colunas da matriz M. Ex.

=

342168071

M a transposta será a matriz

=

310467281

tM

5. Operações de Matrizes

5.1 Adição de matrizes

Duas matrizes são conformes para a adição se forem do mesmo tipo, e isto significa que se as matrizes não forem do mesmo tipo não estará definida a adição entre elas. Dadas duas matrizes do mesmo tipo mxn ( )mxnaA ij= e ( )

mxnijbB = , a adição destas matrizes tem como

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 99

resultado uma outra matriz do mesmo tipo , digamos ( )mxnijcC = tal que ijijij bac += para

todo { }mi ....,3,2,1� e todo { }nj ......,,3,2,1�

5.1.1 Propriedades da Adição de Matrizes A justificativa para a validade das propriedades abaixo apresentadas decorre do fato de que adicionar matrizes implica adicionar elementos (números reais) que ocupam as mesmas posições nas matrizes. Como a adição de números reais apresenta estas propriedades, elas serão preservadas para a adição de matrizes.

Propriedade Comutativa

A + B = B + A

Propriedade Associativa

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Existência do Elemento Neutro A + 0 = 0 + A = AO símbolo 0, aqui usado, representa a matriz nula de mesmo tipo que A

Existência do Elemento Oposto

A + (-A) = 0 A matriz oposta representada pelo símbolo –A, é a matriz que se obtém quando trocamos o sinal de todos os elementos da matriz A.

Transposta da Soma

ttt BAB)(A +=+

Convém enfatizar que se A é uma matriz anti-simétrica, então AA t −= . Exemplo de uma matriz anti-simétrica:

−−=

03130212-0

A . Observe que os elementos da diagonal principal são todos nulos.

6. Multiplicação de uma Matriz por um Escalar

Considerada uma matriz A do tipo mxn e um número real − , o produto .A− é a matriz do tipo mxn que se obtém multiplicando todos os elementos de A por − , ou seja,

( ) ( ) je,a.A.eaASe ijij ∀∀=⇒ℜ�= imxnmxn

−−− .

6.1 Propriedades da multiplicação de matriz por escalar

Sejam A e B matrizes do mesmo tipo e �− e números reais. 6.1.1 ( ) ( )A..A. �−�− = .6.1.2 ( ) .BA.BA −−− +=+ .6.1.3 ( ) .B.AA. −−�− +=+

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 100

6.1.4 ( ) tt A.A. −− = .6.1.5 1. A = A. 6.2 Multiplicação de Matrizes Sejam as matrizes ( ) ( )

nxpjkmxnij ba == BeA . O produto de A por B ( representa-se A.B ou

AB) é a matriz ( )mxpikc=C , onde qualquer elemento ikc é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da k-ésima coluna de B.

nkimkikikiik babababac .......... 332211 ++++= .Observe que para definir multiplicação de matrizes é condição sine qua non que as matrizes tenham as seguintes características: o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda e a matriz resultante terá, por via de conseqüência, o número de linhas e colunas respectivamente iguais ao número de linhas da primeira e ao número de colunas da segunda matriz. Da definição acima, decorre que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, se A e B são duas matrizes é falso afirmar que A.B = B.A. Entretanto se as matrizes A e B forem quadradas e de mesma ordem pode acontecer de que A.B = B.A. Neste caso, dizemos que as matrizes A e B, comutam.

Há um dispositivo prático que facilita sobremodo a multiplicação matricial que

passaremos a expor. Considere as matrizes

=

−=

875012-

Be354112031-

A O produto

de A por B se obtém armando um dispositivo semelhante a um jogo da velha e escrevendo-se os elementos das matrizes como mostramos a seguir: .

A soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz A pelos elementos das colunas da matriz B são colocados no 4º quadrante do jogo da velha. Assim, o resultado procurado é

−=

529153142

A.B

Convém notar que o produto B.A sequer é possível e a matriz A.B tem o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.

A.B

-1 3 0 2 1 1

4 5 -3

-2 1 0 5

7 8

-1(-2) + 3.0 +0.7

2.(-2 ) + 1.0 +1.7

4(-2) + 5.0 +(-3).7

-1.1 + 3.5 +0.8

2.1 + 1.5 +1.8

4.1 + 5.5 +(-3).8

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6.3 Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz inversa de A e representamos por -1A amatriz que atende a seguinte condição IA.AA.A -1-1 ==

6.4 Propriedades do Produto de Matrizes

Associativa A.(B.C) =(A.B).C

Distributiva à Direita em Relação à Adição (A + B).C = A.C + B.C Distributiva à Esquerda em Relação à Adição A.(B + C) = A.B + A.C Transposta do Produto ( ) tt A.BA.B =t

Inversa do Produto ( ) 111 .. −−− = ABBA

Também é válida a seguinte propriedade : ℜ�== −−−− ,.B)A.(.A).B(A.B)(

Exercícios

1. Considere a matriz ( )32xijaA = tal que

≥+<−

=2se2

,2se23ijiiji

aij Construa a matriz A.

2. Considere a seguinte matriz, quadrada de ordem 3:

−+

+=

62...8......4

ppnnm

mA .

Sendo A uma matriz anti-simétrica, determine os termos .e, 231312 aaa3. Seja A uma matriz quadrada de ordem ,2 20 a matriz nula de mesma ordem, e

tA a matriz transposta de A.Demonstre que, se ,. 2OAA t = então .2OA =

4. Seja ( )22xijaA = a matriz dos elementos

( )

==

jiisen

jijaij se,

2

se,cos∞∞

. Determine a matriz 2A .

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 102

5. Considere as matrizes:

−=

210

521

A∞

e

−−=

74

1130

B .

a) determine o termo 21x da matriz ( A.B). b) determine o termo 22x da matriz (A.B).

6. Sejam as matrizes

=

1321

A e

=13

31B .

Determine a matriz BA .XquetalX, -1=

7. Obter a segunda linha da matriz A sabendo que:

−−−−−−

=−

7111811310116

1A

8. Calcular ( )1−+ AA 2 , sabendo que

=−

85321A

9. Calcular ( )( )11 −− −+ AAAA sabendo que

=

17821

A

10. Calcular, supondo que exista, a inversa da matriz

=

dcba

A . Qual é a condição

sobre a, b, c, d para que exista 1−A ?

Respostas

1.

−−=

864311

A 2. 3;8;4 231312 −=== aaa 3. Tome uma matriz de

2ª ordem qualquer, construa a transposta efetue o produto e use a igualdade de matrizes.

4.

=

10012A 5. 24121 +−=x 14122 +−=x 6.

−=

2011

X

7. 2;2;3 232221 −=−== aaa 8.

100010

9.

−28828872288

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 103

10.

−−−

−−

−=−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

A 1 e 0∈− bcad

Testes de Vestibulares

1. (Fatec-SP) Seja ( )ijaA = uma matriz quadrada de ordem 2 tal que

≥+

<=

+

jiparaijipara

aji

ij 12

2. Nestas condições:

a)

=

5842

A b)

=

6582

A c)

=

5582

A

d)

=

5282

A e) nda.

2. (UFMT) Sejam as matrizes ( )

32xijaA = tal que ijaij 3−= ; ( ) 23xbB ij= tal que 22 jibij += e ( )

22xijcC = tal que ijcij = . O elemento de maior módulo dentre os que

formam a diagonal principal da matriz P, onde CABP 20+= , é: a) 20 b) 9 c) 0 d) -12 e) -15

3. (UFU-MG) Se A é uma matriz diagonal de ordem 2 tal que

−=

270082A , então 1−A

é a matriz:

a)

310

021

b)

10

121

c)

30

021

d)

1001

e)

11

021

4. (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada, usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo 321 ,, PPP desse restaurante. saladacarnearroz

=

231

Csaladacarnearroz

=

022121112

P

3

2

1

PpratoPpratoPprato

A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos 321 ,, PPP é:

a)

897

b)

444

c)

4119

d)

862

e)

422

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 104

5. (ITA-SP) Sendo

−−−

−=

213230121

A , então o elemento da terceira linha e primeira

coluna de sua inversa será igual a:

a) 85

b) 119

c) 116

d) 132

− e) 131

6. (UFU-MG) A solução da equação matricial BXAt −= , onde

tABA e223

,

133

222

001

−=

−= é a transposta de A , é:

a)

0012

01

b) ( )021 c)

−−

2326

222222

003

d)

02

1

e) não existe a matriz X.

7. (MACKENZIE-SP) Com relação à matriz

−−=

100111010

A a alternativa correta é:

a) 319 IA = b) AA =20 c) 221 AA = d) 222 AA = e) 3

18 IA =

8. (CESGRANRIO) Para que valores de k existe uma única matriz

yx

, tal que

=

−−00

121

yx

kk

?

a) 1−∈k b) 2−=k c) 12 =−= kouk d) 12 ∈−∈ kek e) 12 −∈∈ kek

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 105

9. (UNIRIO) Para que a matriz

=

0cos011cos

θθθ

θθ

sensensen

A , seja inversível, é necessário

que:

a) ∞∞θ k24

+∈ b) ∞∞θ k22

+∈ c) ∞θ k∈ d) ∞θ k2∈ e) 2

2 ∞∞θ ±∈ k

10. (UERJ) Considere as matrizes

−=

=

1111

e19941995199419941994199419941994

BA

Seja BBBAAA .e. 22 == . Determine a matriz ( )( )BABABAC −+−−= 22

a)

− 01

10b)

1001

c)

− 01

01d)

0110

e)

−0011

Respostas dos Testes

1. c 2. d 3. a 4. a 5. b

6. d 7. e 8. e 9. c 10. a

7. Determinantes

Determinante associado a uma matriz quadrada, é o número real obtido de forma única por meio de operações efetuadas com os elementos de matriz.

Antes de darmos uma definição formal de determinante de uma matriz quadrada qualquer, optamos por fazer uma apresentação homeopática, mostrando primeiramente como calcular determinantes de matrizes de 1ª, 2ª e 3ª ordens. Na verdade esses determinantes são os mais usados nos problemas que são abordados no Ensino Médio.

Em seguida daremos uma definição geral e constataremos que a forma como calculamos os determinantes até 3ª ordem está absolutamente de acordo com esta definição

7.1 Determinante de 1ª ordem

O determinante de uma matriz de 1ª ordem é igual ao único elemento da matriz. Portanto, se ( )11aA = , o seu determinante será igual ao elemento 11a , representamos esse fato

escrevendo 1111det aaA == .

7.2 Determinante de 2ª ordem

O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Se

=

2221

1211

aaaa

A , então 211222112221

1211 ..det aaaaaaaa

A −== .

Page 106: Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 106

7.3 Determinante de 3ª ordem O determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 3 é obtido através da seguinte seqüência operacional:

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−++=

Indica-se, para simplificar o processo, a utilização do dispositivo de Sarrus, que consiste na repetição ordenada das duas primeiras colunas após a barra vertical direita e nas multiplicações (3, precedidas do sinal +) dos 3 elementos situados na direção da diagonal principal e (3 multiplicações, precedidas do sinal -) dos 3 elementos situados na direção da diagonal secundária.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

3231

2221

1211

aaaaaa

=

= 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++8. Propriedades dos determinantes

O cálculo do determinante associado á uma matriz pode ser simplificado através de certas propriedades. A seguir serão descritas algumas dessas propriedades e, para tal, deve-se considerar: i) A e B matrizes quadradas de ordem m≥2 ; e ii) uma fila como sendo uma linha ou uma coluna. Propriedade 1 - o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta

).det(det tAA =θPropriedade 2 - se todos os elementos de uma fila de A forem nulos, então det A = 0. Propriedade 3 - se duas filas paralelas de A forem trocadas de posição, será obtida uma matriz B, tal que det B = - (detA). Propriedade 4 - se todos os elementos de uma fila de A forem multiplicados por número real k, obter-se-á uma matriz B, tal que det B = k(detA), .k R�

Propriedade 5 – se duas filas paralelas de A forem formadas por elementos respectivamente iguais, então det A = 0. Propriedade 6 - se duas filas paralelas de A forem integradas por elementos respectivamente proporcionais, então det A = 0. Propriedade 7 - Teorema de Jacobiθ adicionando à fila de A uma outra fila paralela (previamente multiplicada por Rk � ), obter-se-á uma matriz B, tal que: det B = det A.

Propriedade 8 - Teorema de Binet det (A.B) = (detA).(det B) Propriedade 9 - se A é uma matriz triangular (ver item 2.5), então det A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A. Propriedade 10 - se uma fila de A é a composição linear de outras filas paralelas, então det A = 0.

- - - + + +

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Exemplo:

−−−−=

402571402

A

−−−−−−−−−

=4)4.(1)2(2255.1)1(2144.1.2.22

Observe que a 2ª coluna é a combinação linear da 1ª e da 3ª colunas, e, portanto, det A = 0.

Propriedade 11 - se a matriz A é inversível, então .det

1)det( 1

AA =− com det A .0∈

9. MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR

Definição : Chama-se Menor Complementar ( )ijD de um elemento ija de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz.

Por exemplo, dada a matriz

=

562703131

A , o menor complementar do

elemento 723 =a , de acordo com a definição acima seria o seguinte determinante:

06231

23 ==D . De modo análogo podemos calcular 425670

11 −==D ;

15273

12 ==D ; 186203

13 ==D ; 95163

21 ==D ; 35211

22 ==D ;

217013

31 ==D ; 47311

32 ==D e finalmente 90331

33 −==D

Definição : Chama-se Cofator de um elemento ija de uma matriz ao número

( ) ijji

ij DC .1 +−=

Assim o cofator do elemento 32a da matriz dada acima é : ( ) 4.1 3223

32 −=−= + DC .

Definição Geral de Determinantes A definição geral para o determinante de uma matriz nxn será dada pelo seguinte: Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila ( linha ou coluna)pelos seus respectivos cofatores. O teorema de Laplace nos permite calcular o determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já temos regras práticas para o cálculo de determinantes de 1ª , 2ª e 3ª ordem, só recorremos a esse teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Convém ressaltar que o teorema de Laplace nos possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, sua aplicação à um determinante de 4ª ordem, implicará no cálculo de 4 determinantes de 3ª ordem. A esta altura, pode-se perceber que o cálculo de determinantes de 5ª ordem em diante, mesmo com a aplicação do teorema de Laplace, é uma tarefa extremamente laboriosa e que justifica plenamente o uso de planilhas eletrônicas, como por exemplo, o programa Lótus 1-2-3 ou Excel. De qualquer modo, a escolha de uma fila com o maior número possível de elementos nulos facilita, por razões óbvias, a aplicação deste teorema.

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 108

10 - SOBRE MATRIZ INVERSA

10.1 Conforme foi observado no item 6.3 da unidade sobre matrizes, a forma de se obter, se existir, a inversa de uma matriz envolve um processo pouco prático. No entanto, se uma matriz é inversível de ordem 2, pode-se recorrer à uma técnica alternativa para obtenção de 1−A .

=

dcba

Ase

−=⇒ −

acbd

AA

det11

Na verdade, é possível generalizar o processo acima para encontrar a inversa de uma matriz de uma ordem qualquer, para tanto vamos definir a matriz adjunta de uma matriz dada Definição. Chama-se matriz cofatora de uma matriz A (representa-se por cof A) a matriz que se obtém substituindo-se cada elemento da matriz A pelo seu respectivo cofator. Definição. Chama-se matriz adjunta de uma matriz A, a matriz ( )tAcofAAdj =. , isto é, a matriz transposta da matriz cofatora da matriz A dada. Agora é possível encontrara matriz inversa de uma matriz A qualquer da seguinte forma:

AAdjA

Adet

11 =− , ou seja, devemos encontrar a matriz adjunta da matriz A e dividi-la pelo

determinante de A.

10.2. Se A é uma matriz quadrada de ordem m, existirá 1−A se, e somente se, det .0∈A

11. Determinante Especial de Vandermonde.

Determinante de Vandermonde (ou de potências) é aquele formado com potências sucessivas de n bases distintas

4434421n

lkcba ,.....,,,,

Exemplo

11111

22222

.............................................

.....................

11...........111

−−−−−

=

nnnnn lkcba

lkcbalkcba

D

O cálculo do determinante de Vandermonde se efetua segundo a seguinte expressão: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )kljljkclbkbdbcalacabD −−−−−−−−−−= ................

Exercício 1. Desenvolver o determinante de Vandermonde de bases 7, 4 , 8, 3.

Solução:

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Trata-se de um determinante de 4ª ordem cuja matriz é :

815126434396416493847

1111

. Então o

valor D do seu determinante será:

( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) 2405.1.4.4.1.3834348737874 =−−−−=−−−−−−=D

Exercício 2. Calcule o determinante de Vandermonde de base 2x, (1 – x), (1 + x).

Solução: Chamando de D o valor do determinante, temos:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( ) xxxxxxxxxxxxD 2862.13111.21.21 23 +−=−−=−−+−+−−=

12. Abaixamento da ordem de um Determinante Regra de Chió Para abaixar a ordem de um determinante, usamos a seguinte regra atribuída ao matemático Chio:

i) Escolhe-se um elemento igual a 1 (não havendo, use as propriedades e torne um elemento igual a 1)

ii) Elimine a linha e a coluna que se cruzam no elemento 1 escolhido, e obtenha assim o menor complementar deste elemento.

iii) Subtraia de cada elemento do menor complementar obtido, o produto dos elementos das filas suprimidas que se cruzam nesse elemento.

iv) O determinante obtido na etapa anterior deve ser precedido do sinal ( ) ji+−1 ,onde i e j representam a linha e a coluna a que pertence o elemento 1 escolhido.

Exemplo. Use a regra de Chio para calcular o determinante:

3131

405132 −

.

Solução Escolhemos o elemento 1 que ocupa a linha 3 e a coluna 2, isto é, i = 3 e j = 2. Portanto temos:

( ) ( ) ( )( ) 54504145

1011

3.040.35

3.3131.32

.1

3131

405132

23 −=+−=−

−=−−

−−−−=

−+

EXERCÍCIOS – Série 1

1. Dê o valor do determinante abaixo sob a forma de um produto de 3 fatores.

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cbabbaaaa

2. Dada a matriz

−−=

245130621

A , calcule seu determinante usando a regra

de Sarrus.

3. Usando a definição geral, calcule o determinante da matriz

−=

582010731

A

4. Encontre o valor de k para que a matriz abaixo seja inversível.

−− 835101

27 k

.

5. Calcule 222 94

32111

aaaaaa

6. Calcule x de modo que 0101213

013=

− xx

7. Calcule o valor do determinante :

l

ba

+

++

1....111.....................................

1......1111.......1111......111

8. Usando a informação dada em 9.1, calcule a inversa da matriz

−−

=1123

A

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9. (FATEC-SP) Dê o conjunto X dos números que satisfazem a equação

0

0130211223000

=

−xx

x

10. Calcule os seguintes determinantes:

a)

2111142312120201

−−

b)

3322223443210030

Respostas Exercícios Série 1.

1. ( )( )cbbaa −− 2. - 102 3. 9 4. 5∈k

5. 32a 6. 21=x 7.. a.b.c....l 8.

−−

=−

31211A

9. X = { -1, 0, 1 } 10. a) 3 b) – 24

EXERCÍCIOS – Série 2

1. Usando propriedades de determinantes descubra quais dentre as matrizes abaixo têm determinante nulo.

−−

=

24323251669311045

A

=

0325032581926923

B

−=

5123031200410008

C

−−=

5104630186024203

D

−−

=

7000300022504392

E

−−−

−−

=

5386205452132054

F

2. Sendo

=

10000150010303152

A , calcule det A.

3. Use a regra de Chio para abaixar a ordem e resolver o determinante:

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5123301242651032

−−−

−−−

4. Obter x de modo que se tenha: 23

04614513021

751

=

−+−

xx

xx

5. Calcule o determinante:

7354086000110002

−−

6. Prove que o determinante 591031651

é múltiplo de 13.

7. Calcule o valor do determinante 9312551421

8. Dadas as matrizes

=

=

322315

e642235

cba

Bcba

A de determinantes

não nulos, para quaisquer valores de reais de a, b e c, que relação deve existir entre os de terminantes de A e B.

9. Seja a matriz

=

987

654

321

kkkkkkkkk

M na qual os elementos 9321 .......,,,, kkkk , formam

uma P.G., determine o valor de det M.

10. Calcule o valor de x, sabendo que o determinante da matriz

xx

x

431021001

é igual

a 256

Respostas EXERCÍCIOS – SÉRIE 2

1. A, B, D, E e F 2. 300 3. 40 4. 21

5. -112

6. use a propriedade 4 7. – 6 8. det A = 2.det B. 9. zero 10. 83

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Sistemas Lineares

1) Introdução:

O que é uma equação linear? E um sistema linear?

Neste capítulo não só responderemos às perguntas acima, como mostraremos diversas aplicações importantes, no cotidiano, relacionadas com esse tema. Mostraremos ainda como as matrizes e os determinantes que, estudamos no capítulo anterior estão também relacionadas com esse tema.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I II IIIA 4 3 2B 5 2 3C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear (ou sistema do 1º grau)

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 423 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 272 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles três grandes produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

� x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

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� a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (números reais ou complexos); � b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 02. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y x = -4 2. x2 + y2 = 93. x + 2 y - 3 z w = 04. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma seqüência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A seqüência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Exercícios resolvidos:

1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?

Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.

2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado (α , β , γ ) é solução.

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Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β .Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α , β , 14 - 5α + 2β ).

Observe que arbitrando-se os valores para α e β , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos γ = 14 - 5α + 2β = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (α , β , 14 - 5α + 2β ) a solução genérica.

Agora resolva estes:

1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?

Resp : S = φ

2 - Determine o valor de p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : p = - 17/6

2) Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

� x1, x2, ..., xn são as incógnitas; � a11, a12, ..., amn são os coeficientes; � b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

3) Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares:

=

mn

m b

bb

x

xx

a

a

...

b

...

x

.

a.... a...

a.... aaa.... a

3

2

1

3

2

1

mnm21

2n2221

1n1211

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Pode-se sempre usar a representação matricial de um sistema e simplificar a sua escrita, trabalhando direto com as matrizes que o representam.

OBS:

mnm21

2n2221

1n1211

a.... a...

a.... aaa.... a

ma

a

mmnm21

22n2221

11n1211

ba.... a...

ba.... aaba.... a

ma

a

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência (r1, r2, ...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2... ... ... ...

am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

4) Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

� Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

A matriz ao lado é denominada de matriz incompleta do sistema linear.

A matriz ao lado é denominada de matriz completa do sistema linear.

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(a) Se tem uma única solução, o sistema é determinado.

(b) Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

� Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

1. Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -12x - y = 8

2. Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

3. Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4x + 3y = 5

5) Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1 3x + 6y = 422x - 4y = 12 S2 1x + 2y = 14

1x - 2y = 6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Exemplo: UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina) Se os sistemas

x + y = 1S1:x - 2y = -5

ax – by = 5 S2:ay – bx = -1

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são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:

a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10

Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:x + y = 1x - 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 ∴ y = 2. Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 ∴ x = -1. O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1,vem: a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5 (I) a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1 (II) Multiplicando ambos os membros da primeira equação (I) por 2, fica: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (II), fica: -3b = 9 ∴ b = - 3Substituindo o valor encontrado para b na equação (II) acima (poderia ser também na outra equação), teremos: 2 a + (-3) = -1 ∴ a = 1. Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. Portanto a alternativa correta é a letra E.

Exemplo 2: Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

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Portanto, 3m + 10 = 0, de onde conclui-se: m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na seqüência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 9 ~

4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0

x + 2y - z = 2 2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

~3x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1 3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3 x+2y-z=2

2x -3y + 2z = 0 4x + y - 5z = 9

~3x+6y-3z=6 2x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9 A equação resultante fica na linha 3

6) Resolução de sistemas lineares por escalonamento (Método de Gauss)

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 202x - y - z = -15

-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

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Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 2x - 1y - 1z = -15

-4x+1y-5z=-41 ~

1x + 2y + 2z = 35 2x-1y-1z=-15

-4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L2 1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15

-4x+1y-5z=-41 ~

1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85

-4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35

0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41

~1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85

0x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3 1x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -85 0x + 9y + 3z = 99

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L3 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

~1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L3 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18 ~

1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 0y + 1z = 9

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 0z = 8 0x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1 1x + 2y + 2z = 35 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~1x + 0y + 0z = 1

0x+1y+0z=8 0x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientes 1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~x = 1y = 8z = 9

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Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Poderíamos também fazer todas essas operações de transformação de um sistema em outro, equivalente, escalonado, usando apenas a matriz completa do sistema, não sendo necessário escrever as variáveis do sistema, o que facilitaria bastante a nossa escrita. Vejamos um exemplo:

Resolva, por escalonamento (método de Gauss) o sistema:

−=+−−=++

=++

82532172

72

zyxzyx

zyx

Vamos representar a matriz completa desse sistema:

8-25-3-21 1727121

13 51071-307121

Vamos agora trocar de posição as duas últimas linhas, com o propósito de que o coeficiente da variável y seja igual a 1 na 2ª equação.

71-3013 5107121

32-16-0013 5107121

Observe que o sistema já está escalonado e que a 3ª linha corresponde a -16z = -32, ou z = 2.

A 2ª linha corresponde a: y + 5z = 13, ou y + 10 = 13, ou y = 3.

A 1ª linha corresponde a: x + 2y + z = 7, ou x + 6 + 2 = 7, ou ainda x = -1. Logo, a solução é: S = {(-1, 3, 2)}.

OBSERVAÇÃO: Podemos discutir um sistema linear (nXn) através de seu equivalente escalonado, ou seja, pela análise de sua última linha:

• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, o sistema será INDETERMINADO, pois corresponderá a uma equação do tipo 0x + 0y + 0z + .... = 0, que é verdade para quaisquer valores de x, y, z, ...

• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, com exceção do último, o sistema será IMPOSSÍVEL, pois corresponderá a uma

Vamos multiplicar a 1ª linha por -2 e somar com a 2ª, e também multiplicar a 1ª linha por 3 e somar com a 3ª teremos:

Vamos multiplicar a 2ª linha por -3 e somar com a 3ª.

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equação do tipo 0x + 0y + 0z + ... = k ≠ 0, que não é satisfeita para quaisquer valores das variáveis.

• Nos demais casos o sistema será POSSÍVEL E DETERMINADO,admitindo apenas uma solução.

Problema de aplicação:

UFBa 1995 – A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em três mesas diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a conta em reais.

Sendo r reais a conta da mesa III, calcule r

NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGE

RANTE

VALOR DA CONTA

R$ MESA I 3 2 3 4 11,00 MESA II 2 1 1 2 6,00 MESA III 6 5 9 10 r

Solução: Sejam x , y e z os preços unitários (em reais) , das porções de arroz, feijão , frango e w o preço unitário do refrigerante. Poderemos escrever o seguinte sistema linear: 3x + 2y + 3z + 4w = 11 2x + 1y + 1z + 2w = 6 6x + 5y + 9z + 10w = r Temos então, um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas. Vamos resolver este sistema pelo método de escalonamento :

De modo a eliminar x na segunda e terceira equações, vamos multiplicar a primeira equação por ( - 2 ) e a segunda equação por ( + 3), resultando: – 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 6x + 3y + 3z + 6w = 18 6x + 5y + 9z + 10w = r Vamos agora substituir as segunda e terceira equações, pela soma delas com a primeira equação, resultando: – 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 – y – 3 z – 2 w = – 4

y + 3z + 2 w = – 22 + r Somando as segunda e terceira equações acima, mantendo a primeira equação, fica:

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– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 0y + 0z + 0w = – 26 + r Daí vem imediatamente que 0 = - 26 + r , de onde concluímos inevitavelmente: r = 26.

Portanto, a despesa da Mesa III será igual a 26 reais ( R$ 26,00 ).

7) Regra de Cramer

Você, quando era aluno do curso fundamental estudou várias técnicas para a solução de um sistema do primeiro grau: adição, substituição, comparação, método gráfico. Agora, você vai aprender uma regra que servirá para resolver sistemas lineares possíveis e determinados, através do uso de DETERMINANTES. Esta regra é conhecida por REGRA DE CRAMER.

Vamos, em primeiro lugar, apresentar a solução para um sistema (2x2), ou seja, de duas equações e duas incógnitas. Em seguida, generalizaremos a solução para um número maior de equações e de incógnitas.

Seja o sistema:

=+=+

22221

11211

byaxabyaxa

vamos resolvê-lo pelo método da adição, como

fazíamos na 6ª série.

−=−=+=+=+

122221212211222221

221221222112211211

a-)a-(.a)(.a

abyaaxabyaxaabyaaxabyaxa

(I)Somando as equações obtidas, teremos: 12222112212211 )( ababxaaaa −=−

obtivemos o valor de x, através da “eliminação” do y.

−=−=+=+=+

112221111211122221

211211221112111211

a-)a-(.a)(.a

abyaaxabyaxaabyaaxabyaxa

(II) Somando as equações obtidas, teremos: 11221122112112 )( ababyaaaa −=−

obtivemos agora o valor de y, através da “eliminação” do x.

Observe que, se formarmos matrizes quadradas associadas ao sistema, e calcularmos seus determinantes, teremos:

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D = 21122211

2221

1211 aaaaaaaa

−= 122221

222

121 abababab

D −==x

221112

222

111 ababbaba

D −==y

Observe e responda. A partir do sistema dado, como foram obtidas as matrizes D, Dx e Dy?

Se você comparar os valores encontrados para esses determinantes com os valores obtidos para x e y quando aplicamos o método da adição, pode concluir que:

DD

yeD

D y== Xx o que só será válido para sistemas possíveis e determinados, ou seja,

com D ≠ 0.

Exemplo: Resolva o sistema abaixo, aplicando a regra de Cramer.

=+−=−1623

252yxyx

Solução:

21938 ye4

1976 xLogo,

3863216 32-2

D

768042165-2

D0)(19144235-2

D

y

x

====

=+==

=+−=−

=∈=+==

Podemos agora, generalizar esse processo para um sistema de n equações e n incógintas.

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

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a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2... ... ... ...

an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

� Matriz dos coeficientes (ou incompleta): Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.

Matriz dos coeficientesa11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... anj ... ann � Matriz Aumentada do sistema (ou completa): Formada todos os coeficientes

das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.

Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1

a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann bn

� Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1n

a21 a22 ... b2 ... a2n

... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)≠0

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 126

Exemplo 1: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x – 2y + 3z = 153x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 41 -2 3 3 1 6

271540

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1ª., 2ª. e 3ª. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

27 3 415 -2 3∆x= 40 1 6

2 27 41 15 3∆y=3 40 6

2 3 27 1 -2 15 ∆z=3 1 40

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(∆x)/det(A) = 65/7y = det(∆y)/det(A) = 1/7z = det(∆z)/det(A) = 14/7

Exemplo 2:

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3

2x - y + z = 12

4x + 3y - 5z = 6

Teremos:

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Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = ∆ x1 / ∆ = 120 / 24 = 5

x2 = ∆ x2 / ∆ = 48 / 24 = 2

x3 = ∆ x3 / ∆ = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 04x + 2y - z = 0x - y + 2z = 0

Para esse tipo de sistema basta calcular o determinante associado à sua matriz incompleta. Caso ele seja diferente de zero, o sistema será possível e determinado, ou seja, admite apenas a solução trivial. Caso ele seja igual a zero, o sistema será indeterminado.

No exemplo proposto, teremos:

-3 82-6-112-821-11-2431-2

=++=

Logo, como o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado, admitindo apenas a solução trivial

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Resolva o sistema:

2) Discuta o sistema:

3) (UFR-PE) Para que valor de k

o sistema não possui solução ?

4) (FEI-SP) Para quais condições de "a" e "b"

se tem o sistema indeterminado?

5)Resolva os sistemas abaixo e classifique quanto ao número de soluções aplicando o escalonamento.

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 129

6)Resolva e classifique os sistemas quanto ao número de soluções, por escalonamento.

7) Em um determinado semestre, o professor de matemática aplicou três provas em sua avaliação da aprendizagem. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Fernando que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na segunda e 6 na terceira obteve no final 54 pontos. Jorge obteve 6, 5 e 4 acertos totalizando 47 pontos. Ana acertou 2, 7 e 5 questões atingindo 50 pontos. Qual é o valor dos pesos de cada prova?

8) Resolva o sistema:

=+=+=−

64042

yxzyzx

pelos métodos de Escalonamento de Regra de Cramer.

9) Obtenha o valor de m, para que o sistema

=+=+

=−

6823

102

myxyx

yxtenha uma única solução.

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10) Qual o valor da incógnita w no sistema:

=++=++=++=++

432

1

wzywzxwyxzyx

Consulta aos sites: “Matemática Essencial” – http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html“Matemática do Científico ao Vestibular” - http://www.terra.com.br/matematica/

Livro de Referência: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 1999.

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5. IEZZI, G ET ALLI – Fundamentos de Matemática Elementar. SP – Ed. Atual, 1997

6. IMENES, L. M, Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho – Ensino Médio

7. INTERNET – www.cef.gov.br/loteria/probabilidades -

www.terravista.pt/enseada/1524/mat5.html - www.athena.mat.ufrgs.br

8. LIMA, ELON ET ALLI – A Matemática no Ensino Médio, RJ, SBM, 1998.

9. MORGADO, A. César e outros – Análise Combinatória e Probabilidades – impa / SBM,

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11. SIMON, G. & Freund J. – Estatística Aplicada: Economia, Administração e

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12. TROTTA, F. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: Ed.

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