Ap trigonometria numeros complexo

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoça

UnisulVirtual

2007

Trigonometria e Números Complexos

Disciplina na modalidade a distância

Créditos

Unisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educação Superior a Distância

Campus UnisulVirtualRua João Pereira dos Santos, 303Palhoça - SC - 88130-475Fone/fax: (48) 3279-1541 e3279-1542E-mail: [email protected]: www.virtual.unisul.br

Reitor UnisulGerson Luiz Joner da Silveira

Vice-Reitor e Pró-Reitor AcadêmicoSebastião Salésio Heerdt

Chefe de Gabinete da ReitoriaFabian Martins de Castro

Pró-Reitor AdministrativoMarcus Vinícius Anátoles da Silva Ferreira

Campus SulDiretor: Valter Alves Schmitz NetoDiretora adjunta: Alexandra Orsoni

Campus NorteDiretor: Ailton Nazareno SoaresDiretora adjunta: Cibele Schuelter

Campus UnisulVirtualDiretor: João VianneyDiretora adjunta: Jucimara Roesler

Equipe UnisulVirtual

AdministraçãoRenato André LuzValmir Venício Inácio

BibliotecáriaSoraya Arruda Waltrick

Cerimonial de FormaturaJackson Schuelter Wiggers

Coordenação dos CursosAdriano Sérgio da CunhaAloísio José RodriguesAna Luisa MülbertAna Paula Reusing PachecoCátia Melissa S. Rodrigues (Auxiliar)Charles Cesconetto

Diva Marília FlemmingItamar Pedro BevilaquaJanete Elza FelisbinoJucimara RoeslerLilian Cristina Pettres (Auxiliar)Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo CavalcantiMauri Luiz HeerdtMauro Faccioni Filho Michelle Denise Durieux Lopes DestriMoacir HeerdtNélio HerzmannOnei Tadeu DutraPatrícia AlbertonPatrícia PozzaRaulino Jacó BrüningRose Clér E. BecheTade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância)

Design GráficoCristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Adriana Ferreira dos SantosAlex Sandro XavierEvandro Guedes MachadoFernando Roberto Dias ZimmermannHigor Ghisi LucianoPedro Paulo Alves TeixeiraRafael PessiVilson Martins Filho

Gerência de Relacionamento com o MercadoWalter Félix Cardoso Júnior

Logística de Encontros PresenciaisMarcia Luz de Oliveira (Coordenadora) Aracelli AraldiGraciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. PereiraJosé Carlos TeixeiraLetícia Cristina BarbosaKênia Alexandra Costa HermannPriscila Santos Alves

Logística de MateriaisJeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador)Eduardo Kraus

Monitoria e SuporteRafael da Cunha Lara (Coordenador)Adriana SilveiraCaroline MendonçaDyego RachadelEdison Rodrigo ValimFrancielle ArrudaGabriela Malinverni BarbieriJosiane Conceição LealMaria Eugênia Ferreira CeleghinRachel Lopes C. PintoSimone Andréa de CastilhoTatiane SilvaVinícius Maycot Serafim

Produção Industrial e SuporteArthur Emmanuel F. Silveira (Coordenador) Francisco Asp

Projetos CorporativosDiane Dal Mago Vanderlei Brasil

Secretaria de Ensino a DistânciaKarine Augusta Zanoni(Secretária de Ensino)Ana Luísa Mittelztatt Ana Paula Pereira Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina SbardellaFranciele da Silva BruchadoGrasiela MartinsJames Marcel Silva RibeiroLamuniê SouzaLiana Pamplona Marcelo PereiraMarcos Alcides Medeiros JuniorMaria Isabel AragonOlavo LajúsPriscilla Geovana PaganiSilvana Henrique SilvaVilmar Isaurino Vidal

Secretária ExecutivaViviane Schalata Martins

TecnologiaOsmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador)Ricardo Alexandre BianchiniRodrigo de Barcelos Martins

Equipe Didático-pedagógica

Capacitação e Apoio Pedagógico à TutoriaAngelita Marçal Flores (Coordenadora)Caroline BatistaEnzo de Oliveira MoreiraPatrícia MeneghelVanessa Francine Corrêa

Design InstrucionalDaniela Erani Monteiro Will (Coordenadora)Carmen Maria Cipriani PandiniCarolina Hoeller da Silva BoeingDênia Falcão de BittencourtFlávia Lumi MatuzawaKarla Leonora Dahse NunesLeandro Kingeski PachecoLigia Maria Soufen TumoloMárcia LochViviane BastosViviani PoyerNúcleo de Avaliação da AprendizagemMárcia Loch (Coordenadora)Cristina Klipp de OliveiraSilvana Denise Guimarães

Pesquisa e DesenvolvimentoDênia Falcão de Bittencourt (Coordenadora)Núcleo de AcessibilidadeVanessa de Andrade Manuel

Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.

Rosana Camilo da RosaEliane Darela

Paulo Henrique Rufino

Palhoça

UnisulVirtual

2007

Design Instrucional

Karla Leonora Dahse Nunes

2ª edição revista e atualizada


Livro didático

Copyright © UnisulVirtual 2007 Nenhum a parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.

Edição --- Livro Didático

Professores Conteudistas Rosana Cam ilo da Rosa

Eliane Darela Paulo Henrique Ru.no

Design Instrucional

Karla Leonora Dahse Nunes

ISBN 978-85-60694-32-7

Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual

Diagram ação Fernando Roberto Dias Zimmerm ann

Revisão Ortográfica

B2B

516.24 R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca U niversitária da U nisul

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Sumário

Palavras dos professores

Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura.

É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos.

Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades.

Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos.

Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco.

Profª. Eliane Darela, Msc. Prof . Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.

Plano de estudo

O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação.

São elementos deste processo:

o livro didático;

o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);

as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais).

Carga Horária

60 horas – 4 créditos.

Ementa

Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos.

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Objetivo(s)

Geral

A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade.

Específicos

Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.

Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.

Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.

Introduzir o conceito das funções circulares.

Reduzir arco ao 1º quadrante.

Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas.

Resolver equações e inequações trigonométricas.

Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.

Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.

Compreender o conceito de números complexos.

Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss.

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Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.

Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica.

Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.

Unidades de estudo: 5

Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos

Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais.

Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria

Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.

Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas.

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Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas

O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas.

Unidade 5 - Números Complexos

Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número.

Agenda de atividades/ Cronograma

Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor.

Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.

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Atividades

Avaliação a Distância

Avaliação Presencial

Avaliação Final (caso necessário)

Demais atividades (registro pessoal)

UNIDADE 1

Estudando a Trigonometria nos Triângulos

Objetivos de aprendizagem

Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.

Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.

Seções de estudo

Seção 1 Introdução à Trigonometria

Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos

1

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Para início de conversa

Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto.

A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia.

Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades.

SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria

O que é trigonometria?

Tri = três

gonos = ângulos

metria = medição

Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.

19


Unidade 1

Você sabia...

Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º).

O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos.

Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo.

A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.

Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música.

Para compreender, acesse o site sugerido na seção ‘saiba mais’ ao final desta unidade.

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SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo

Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:

Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros;

Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros;

Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros.

Figura 1.1: Representação da situação problema

Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados.

21


Unidade 1

Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura

Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU

Logo: BSAS

CTAT

DUAU

= = → = = =3050

4575

60100

0 6, (valor

constante).

Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α.Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados.

Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal

Temos: ABAS

ACAT

ADAU

= = → = = =4050

6075

80100

0 8, (valor

constante).

22


Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α.Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal.

Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal

Temos: BSAB

CTAC

DUAD

= = → = = =3040

4560

6080

0 75, (valor

constante).

Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α.Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo.

23


Unidade 1

Generalizando, tem-se:

Figura 1.5: Triângulo retângulo

Na figura, 1.5 tem-se:

O triângulo ABC é retângulo em A;

O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a);

Os lados b e c denominam-se catetos;

O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;

O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.

Você lembra do Teorema de Pitágoras?

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

a2=b2+c2

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Desta forma, tem-se:

sen ba

β

β

= =

=

cateto opostohipotenusa

cateto adjacentehipote

cosnnusa

cateto oposto cateto adjacente

=

= =

ca

tg bc

β

De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.

Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática?

Retrospectiva histórica

Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real.

Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática.

25


Unidade 1

Figura 1.6 – PitágorasFonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-

ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006

Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas.

O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.

Saiba mais

Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.

Ângulos notáveis

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade.

26


Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela:

27


Unidade 1

Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º.

Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos.

Você sabia...

Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.

28


Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento.

1) Calcule o valor de x:


Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente.

tg

tg

55

553

1 4283

4

º

º

,

,

=

=

=

=

cateto opostocateto adjacentex

x

x 2284cm

2) Determine o valor de x:


29


Unidade 1

Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x.

sen cateto opostohipotenusa

sen

30

3016

12 162 16

8

º

º

=

=

=

==

x

x

xx cmm

3) Encontre o valor de x:


Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x.

cos cateto adjacentehipotenusa

cos

60

60 10

12

10

20

º

º

=

=

=

=

x

xx cm

30


E então?

Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos?

Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem).

Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo:

P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m.

Modelo real Modelo matemático

Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1

Solução:

A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste.

31


Unidade 1

tg cateto opostocateto adjacente

tg

68º

68º

=

= x2 4

2 475

,

, ==

=

x

x2 4

5 94,

, m

Lembre-se:

A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica.

Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.

P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará?



Solução:

Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.

32


sen cateto opostohipotenusa

sen

36º

36º 80

=

=

=

=

x

x

x

0 58880

,

447 04, m

Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.

P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º.



Solução:

A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.

tg 20º cateto opostocateto adjacente

tg 50

=

=

=

20

0 364

º

,

x

xx

x50

18 20= , m

33


Unidade 1

Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 1,50 = 19,70 metros.

Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.

Você sabia...

Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais.

Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática.

Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...

Retrospectiva Histórica

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação.

Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica.

34


Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.

No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste.

Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria.

Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores.

SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos

As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.

Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.

Você sabia...

Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.

35


Unidade 1

Lei dos senos

Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio.

Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º.


Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado

Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.

Teorema

Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos:

a b c

sen A sen B sen C^ ^ ^= =

36


Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:

Figura 1.14: Lei dos senos

Agora observe a resolução do problema!

10045 120

1002

23

22

2100 3

2100 3

2100 3

222

100

send

send

d

d

d

d

º º

.

=

=

=

=

=

= 664

100 62

50 6122 47

d

dd m

=

== ,

Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.

37


Unidade 1

Existem três casos a considerar:

O triângulo ABC é retângulo;

O triângulo ABC é obtusângulo;

O triângulo ABC é acutângulo.

Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.15:

Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração

Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC respectivamente.

No triângulo retângulo AH1C, temos que

sen C sen C^

1^

= ⇒ =hb

h b1 . . [1]

No triângulo retângulo AH1B, temos que

sen B sen B^

1^

= ⇒ =hc

h c1 . . [2]

Comparando [1] e [2], temos:

b.sen C^

= c.sen B^

⇒ = sen B sen C

^ ^b c [A]

38


No triângulo retângulo BH2C, temos que

sen C sen C^

2^

= ⇒ =ha

h a2 . . [3]

No triângulo retângulo AH2B, temos que

sen A sen A^

2^

= ⇒ =hc

h c2 . . [4]

Comparando [3] e [4], temos:

a.sen C^

= c.sen A^

⇒ = sen A sen C

^ ^a c [B]

De [A] e [B] podemos concluir que:a b c

sen A sen B sen C^ ^ ^= =

Lei dos cossenos

Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte.


Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.

39


Unidade 1

Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o teorema:

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja:

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

. . .cos

. . .cos

. . .cos

^

^

CC^

Figura 1.17: lei do cossenos

Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: AB AC BC AC BCdd

2 2 2

2 2 2

2

2 12030 50 2 30 50 0 5900

= + −= + − −=

. . .cos º. . .( , )

++ +=

==

2500 15004900

490070

2d

dd m

Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.

40


Existem três casos a considerar:

O triângulo ABC é retângulo;

O triângulo ABC é obtusângulo;

O triângulo ABC é acutângulo.

Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde, Â é reto e Â é obtuso respectivamente.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18:

Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração

Demonstração:

O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.

Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19.

41


Unidade 1

Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.

Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, temos:

b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2

h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]

Substituindo [1] em [2], temos:

a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2

a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]

Note no triângulo A H C ^

que temos: cos A mb

^=

Logo m = b.cosÂ [4]

Substituindo [4] em [3], temos:

a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ

De forma análoga, você demonstra que:

b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B^

.

c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C^

.

42



Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele.

Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.Capturado em 16/04/06.

Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria

O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito à visualização de vários conceitos explorados no triângulo retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos o software Thales.

Síntese

Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os

Você poderá encontrar o software acessando o site:

http://www.unifra.br/cursos/downloads.asp?curs=25&grad=Matem%C3%A1tica&endereco=matematica

43


Unidade 1

exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.

Atividades de auto-avaliação

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.

2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?

3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:

a)

44


b)

4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:

5) Observando a seguinte figura, determine:

a) O valor de a;

45


Unidade 1

b) O valor de b;

c) A medida do segmento AD.

6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:

7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC.

46


8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.

9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?

10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C?

11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo.

12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm .

47


Unidade 1

13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º.

14) Determine o valor de x na figura abaixo:

15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?

16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo?

48


17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo.

18) Prove a lei dos cossenos quando:

a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

19) Prove a lei dos senos quando:

a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

Desafios na Trigonometria

1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?

49


Unidade 1

2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

Saiba mais

Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, Mecânica, etc.

Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:

http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua e também a aplicação da trigonometria na construção de um túnel.

UNIDADE 2

Conceitos Básicos da Trigonometria


Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.

Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º.

Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º.

Reduzir arco ao 1º quadrante.

Seções de estudo

Seção 1 Arcos e Ângulos

Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica

Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Seção 4 Simetrias

Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante

2

52



Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária.

Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática.

SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos

Considere a circunferência na figura 2.1.

Figura 2.1: Arco de circunferência

Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência.

53


Unidade 2

Temos:

O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco;

o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco.

Você sabia...

Arco nulo é o ponto;Arco de uma volta é a circunferência.

Ângulo Central

Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.

Observe a figura 2.2:

Figura 2.2: Ângulo Central

A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.

A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.

54


Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco.


Figura 2.3: Arcos de circunferência

Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente.

Unidades de medida de arcos e ângulos

Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.

Grau

Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes:

11360

º = da circunferência.

55


Unidade 2

Você sabia...

Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.11̀60

= do grau.

11̀ `60

= do minuto.

Radiano

Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 2.4:

Figura 2.4: Radiano

Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido será igual à do raio.

56


Relação entre grau e radiano

Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula 2C rπ= , onde r é o raio da circunferência.

Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação:

360º → 2π rad ou 180º → π rad

É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades:

Desenho

Grau 90 180 270 360

Grado 100 200 300 400

Radiano π/2 π 3π/2 2π

Observação:

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano:

1) Vamos converter 300º em radianos.

1803001803001830353 5

53

radx

radx

radx

radx

x rad

x rad

π

π

π

π

ππ

→

→

=

=

=

=

=

57


Unidade 2

Note que você deverá usar a simplificação até transformar a fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma de fração e não em forma decimal.

2) Transforme 34

radπ em graus.

Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:

3 3.180 540 1354 4 4

radπ= = =

3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.

Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:

1º = 60’

15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’

Agora, transforma-se 180º também em minutos:

180º = 180.60’ = 10800’

Então, tem-se:

1080093010800

9301080

9336031

360 3131360

'

'

'

radx

rad' x

radx

radx

x rad

x rad

π

π

π

π

ππ

→

→

=

=

=

=

=

58


Tudo com você!

Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto.

Comprimento de arco de circunferência

Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido.

Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco 2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio.

Então, tem-se:

Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de comprimento

, pode-se estabelecer:

Comprimento do arco Medida do arco

r _________________________ 1 rad

_________________________ α rad

que fornece a relação =α . r

Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos.

59


Unidade 2

Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de arco de circunferência.

1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:

Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência

Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo que α =3 rad.

Resolução:

=α.r

=3.6

=18 cm

2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?

34 53

1 5

.r4,5 .

,

, rad

αα

α

α

==

=

=

3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade do pêndulo. Use π=3,14.

60


Figura 2.6: Pêndulo

Resolução:

O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.

O ângulo α =2.35º = 70º.

Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus.

1807018070

187

18 7718

º radº xº radº x

radx

x rad

x rad

π

π

π

ππ

→→

=

=

=

=

Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .

=α.r7 2518175

18175 3 14

1830 53

.

. ,

, cm

π

π

=

=

=

=

61


Unidade 2

Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente.

SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica

Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma circunferência que conhecemos, só que com características específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a figura 2.7:

Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico

O centro da circunferência é O(0,0).

O raio da circunferência é unitário, r = 1.

O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A.

O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.

Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade.

62


Veja alguns exemplos:

1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são:

a) 130º

Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.

b) -120º

Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.

63


Unidade 2

c) 5)3

c radπ

Neste exemplo, você observa que o arco de 53

radπ partiu

do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.

Arcos Côngruos

Observe as circunferências representadas na figura 2.8:

Figura 2.8: Arcos Côngruos

Você pode observar que o arco permanece com a mesma extremidade, independentemente do número de voltas completas na circunferência.

Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:

Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência.

64


Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º.

Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º

É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência.

Dessa forma, podemos escrever:

60º = 60º + 0.360º

420º = 60º + 1.360º

780º = 60º + 2.360º

Assim:

Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:

α + k. 360º, k ∈ Z

Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:

α +2kπ, k ∈ Z

É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas.

65


Unidade 2

Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.

Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.

Acompanhe alguns exemplos:

1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 1240º.

Solução:

Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a sua primeira determinação positiva.

Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o número de voltas completas.

A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será:

β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z

2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a -1352º.

Solução:

Daí, -272º + 360º = 88º.

66


Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.

A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:

β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z

3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão

geral dos arcos côngruos a 113

radπ .

Solução:

Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente:

Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par.

Logo, 53

radπ é a primeira determinação positiva de 113

radπ .

A expressão geral dos arcos côngruos a 113

radπ será:

β = 53π + 2 ,kπ, k ∈ Z.

67


Unidade 2

4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante onde está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 1720º

Solução:

Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.

Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 270º < 280º < 360º.

b) 194π

Solução:

Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação

positiva do arco, que é 34

radπ .

Como você percebe, este arco é côngruo a 194π rad e, portanto,

ambos possuem a mesma extremidade.

Logo, o arco de 194π rad está é no 2º quadrante.

Para entender melhor, note que 34

radπ é equivalente a 135º.

68


Você sabia...

Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.

Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1.

(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004)

SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0

2πα< < .

Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou

ângulos maiores que 2π rad, algo impensável quando se trabalhava

com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!

Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Considere a figura 2.10:

69


Unidade 2

Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência

Então:

Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”;

Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’.

Veja por que:

Figura 2.11: Seno e Cosseno

70


Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1.

Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12:

Figura 2.12: Triângulo Retângulo

Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:

'

'1

'''

cateto opostosen xhipotenusa

MMsen xOMMMsen x

sen x MMsen x OM

=

=

=

==

cos

'cos

'cos1

cos '

cateto adjacentexhipotenusa

OMxOM

OMx

x OM

=

=

=

=

Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.

Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.

Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos.

71


Unidade 2

Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,

são eles: 30º ou 6π rad, 45º ou

4π rad e 60º ou

3π rad. Observe a

representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:

1sen6 2

36 2

cos

π

π

=

=

2sen4 2

2cos4 2

π

π

=

=

3sen3 2

1cos3 2

π

π

=

=

Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou

2π rad, 180º ou π rad,

270º ou 32π rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um

deles, representa o seno e o cosseno. Observe:

72


73


Unidade 2

Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e cosseno representados geometricamente.

Tabela 2.1: Valores Notáveis

x 0 (30º)6π (45º)

4π (60º)

3π (90º)

2π (180º)π 3 (270º)

2π 2 (360º)π

senx 012

22

32

1 0 -1 0

cosx 13

22

212

0 -1 0 1

Você sabia...

Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.

Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e cossenos de arcos maiores que 360º.

74


1) Calcule o valor de sen1845º.

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:

Então, sen1845º = sen45º = 22

.

Logo, 21845º2

sen = .

2) Calcule o valor de cos(-900º).

Solução:

Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).

Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-se da primeira determinação positiva.

Assim: -180º + 360º = 180º.

Logo, a primeira determinação positiva é 180º.

Tem-se, então, que:

cos(-900º)=cos180º=-1

Logo, cos(-900º)=-1

3) Calcule o valor de 19sen .3π .

Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.19 18 6

3 3 3 3π π π ππ= + = +

Assim, temos que 3π

é a primeira determinação positiva de 193π .

75


Unidade 2

Dessa forma, 19 3sen sen3 3 2π π

= = .

Logo, 19 3sen3 2π

= .

Que tal conhecer mais sobre a história do seno?


Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a “Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o

comprimento da corda subtendida por um ângulo x é x2sen2

.


Figura 2.13: Meia corda

76


^

22

2 2

OB r

AO B xAB

xsenr

x ABsenr

=

=

=

=

Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.

O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de seno. Não é incrível?

Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpg Acesso em 28/06/06.

Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o Almagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno.

77


Unidade 2

Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06)

A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje.

SEÇÃO 4 - Simetrias

Considere a circunferência trigonométrica representada na figura 2.16:

Figura 2.16: Simetria

78


Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retângulo M1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A.

Os pontos M2, M3 e M4, são ditos simétricos de M1, no 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente.

Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medida α, em grau ou radiano.

Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria existente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e 2.18.

Em Grau:

Figura 2.17: Simetria em graus

Em Radiano:

Figura 2.18: Simetria em radianos

79


Unidade 2

Utilizando as unidades indicadas em cada circunferência trigonométrica, determine as medidas dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta positiva:

a)

Solução:

Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D

e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e

são congruentes de medida 60º.

Logo, os arcos , e , serão determinados do seguinte modo:

=180º - 60º

=120º.

= 180º + 60º

= 240º.

= 360º - 60º

= 300º.

80


b)

Solução:

Veja que o arco é 1712

π rad, e que os pontos B, C

e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e

são congruentes de medida 1712

π rad.

Logo, os arcos , e serão determinados do seguinte modo:

81


Unidade 2

SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante

Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria estudada, poderá determinar os valores do seno e cosseno de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro quadrante.

Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e 2.20:

Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno

Observe a tabela 2.2:

Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno

Quadrante cos α sen α1º + +

2º - +

3º - -

4º + -

Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem do quadrante a que pertence a extremidade do arco.

Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo seno e o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do arco dado.

82


Observe como se faz esta redução:

Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante:

Figura 2.21: 2º Quadrante

Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.

Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante:


Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e cossenos simétricos.

83


Unidade 2

Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:


Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos simétricos e cossenos iguais.

De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos.

Acompanhe os exemplos a seguir:

1) Calcule sen150º e cos150º.

Solução:

O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeiro caso da redução:

x = 180º - 150º

x = 30º

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado.

Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:1150º 30º2

sen sen= =

3cos150º cos30º2

= − = −

84


Logo, 1150º2

sen = e 3cos150º2

= −

2) Obtenha sen 240º e cos 240º.

Solução:

O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo caso da redução:

x = 240º - 180º

x = 60º


Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:3240º 60º

2sen sen= − = −

1cos 240º cos 60º2

= − = −

Logo,3240º

2sen = − e 1cos 240º .

2= − .

3) Determine sen 315º e cos 315º.

Solução:

O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:

x = 360º - 315º

x = 45º.


85


Unidade 2

Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:2315º 45º

2sen sen= − = −

2cos315º cos 45º2

= =

Logo, 2315º2

sen = − e 2cos315º .2

= .

4) Determine 7 7sen e cos6 6π π .

Solução:

O arco de 76π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo

caso da redução:7 6

x π π= −

7 66

x π π−=

.6

x π= .

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.

Como 76π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do

seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, temos:7 16 6 2

sen senπ π= − = −

7 3cos cos6 6 2π π

= − = −

Logo: 7 1 7 3cos6 2 6 2

sen e π π= − = − .

86


5) Determine 2460ºsen e cos 2460º..

Solução:

É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º.

O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:

x = 360º - 300º

x = 60º

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia a obter o seno e cosseno procurado.

Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, temos:32460º 300º 60º

2sen sen sen= = − = −

1cos 2460º cos300º cos 60º2

= = =

Logo, 32460º2

sen = − e 1cos 2460º2

= .

87


Unidade 2

6) Calcule o valor de 45 90 135270 2. 315

sen º sen º sen ºMsen º sen º

+ +=

+.

Solução:

Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.

245º2

90º 1

2135º 45º2

270º 1

2315º 45º2

sen

sen

sen sen

sen

sen sen

=

=

= =

= −

= − = − .

Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se:

2 2 2 21 1 2 12 2 21 2 1 221 2.

2

M+ + + +

= = = − − − −

− + −

.

Racionalizando o denominador, tem-se:2 1 1 2 2 2 1 2 1. 1

1 2 11 2 1 2M + − + − + − +

= = = = −− −− − − +

.

88



1) Expresse em graus (º):

a) 53π rad

b) 43π rad

c) 76π

rad

d) 9π rad

2) Expresse em radianos (rad):

a) 20º

89


Unidade 2

b) 315º

c) 120º

d) 67º30´

3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14.

4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 14,13 km.

90


5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:

6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:

a) 1550º

b) 95

6π

rad

c) –65

6π

rad

7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:

a) -760º

91


Unidade 2

b) 3120º

c) 15

2π

rad

d) 25

4π

rad

8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa.

9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15

2π

rad.

10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:

a) 3π

rad e 30

3π

rad

b) – 30º e 330º

92


c) 2º e 1082º

11) Determine:

) 390º) cos 1845º

5)3

) 600º) cos 480º

a senb

c sen

d sene

π

==

=

==

12) Determine o valor da expressão:

a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º

b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= 2π

.

c) C =

7sen cos 33

13sen 6

π π

π

−

93


Unidade 2

Desafio na Trigonometria

Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?

Síntese

Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maiores que 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triângulo retângulo.

Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano, que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, você estudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhados terão que estar inseridos no radiano.

Saiba mais

Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na circunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos.

Você poderá encontrar o software Thales acessando o site:

http://www.unifra.br/cursos/downloads.asp?curs=25&grad=Matem%C3%A1tica&endereco=matematica

UNIDADE 3

Estudando as Funções Trigonométricas


Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes situações problemas.

Construir o gráfico das funções trigonométricas.

Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas.

Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para a construção dos gráficos das funções trigonométricas.

Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções trigonométricas inversas.

Seções de estudo

Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno

Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante

Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas

3

96



Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que as funções circulares são periódicas e que elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.

Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais funções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno, bem como das funções trigonométricas inversas.

O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidade na construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade. É importante que você reconheça a tecnologia, tão presente no nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia no desenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficos e cálculos sistemáticos.

SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno

Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno na circunferência trigonométrica. Estas funções são periódicas de variáveis reais, por isso, são adequadas para descreverem fenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória.

As aplicações destas funções não se restringem apenas aos estudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramos da Física que analisam os movimentos, são utilizadas na decomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicar movimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimento do corpo num plano inclinado, entre outros.

97


Unidade 3

Você sabia...

Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditos periódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado.

Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar as ondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas.

Função Seno


Figura 3.1: Função Seno

A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco de medida x∈IR, associa a ordenada y do ponto P.

f(x) = senx

O domínio da função seno é D(f)=IR

A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1].

98


Função Cosseno


Figura 3.2: Função Cosseno

A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arco de medida x∈IR associa a abscissa x do ponto P.

f(x) = cos x

O domínio da função cosseno é D(f)=IR.

A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1].

Gráfico da Função Seno: Senóide

Seja f(x) = sen x

Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.1: Valores do seno

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0

99


Unidade 3

Observe o gráfico na figura 3.3:

Figura 3.3: f(x) = senx

Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo [-2π ,2π ], tem-se que:

A função é periódica de período 2π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja, toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor.

O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1].

O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2π ,2π ].

Nos intervalos ] [2 ,π π− − e ] [0; π , a função f(x)=sen x assume valores positivos.

100


Nos intervalos ] [,0π− e ] [; 2π π , a função f(x)=sen x assume valores negativos.

A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos

32 ;2ππ − −

, ,2 2π π −

e 3 ;22π π

.

A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos

3 ;2 2π π− −

e 3;

2 2π π

.

A função f(x)=sen x é ímpar pois f(x) = -f(-x).

A função f(x)=sen x possui valor máximo quando

32

x π−= rad e

2x π

= rad.

A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando 2

x π−=

rad e 3

2x π

= rad.

Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se:

O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a senóide ao longo do eixo x.

O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].

A função f(x)= sen x possui valor máximo para | 2 ,

2x IR x k k Zπ π ∈ = + ∈

.

A função f(x)= sen x possui valor mínimo para 3| 2 ,2

x IR x k k Zπ π ∈ = + ∈

.

101


Unidade 3

Você lembra?

Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da Matemática Elementar I’ cada uma das características das funções y=sen x e y=cos x, citadas. Assim, você deve lembrar das definições formais de função periódica, função par e ímpar. Então:

Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo

x ∈D(f).

Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x no seu domínio temos f(x)=f(-x).

Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f(x)=-f(-x).

Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide

Seja f(x) = cos x

Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.2: Valores do cosseno

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1

102


Agora observe o gráfico na figura 3.4:

Figura 3.4: f(x) = cos x

Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo [-2π ,2π ], tem-se que:

A função é periódica de período 2π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja, toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o mesmo valor.

O estudo da variação nos mostra que f(x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1].

O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2π ,2π ].

Nos intervalos 32 ,2ππ − −

, ,2 2π π −

e 3 ; 22π π

a

função f(x)=cos x assume valores positivos.

Nos intervalos 32 2

,π π − − e 3;

2 2π π

, a função

f(x)=cosx assume valores negativos.

103


Unidade 3

A função f(x)=cos x é crescente nos intervalos [ ];0π− e [ ], 2π π .

A função f(x)=cos x é decrescente nos intervalos [ ]2 ;π π− − e [ ]0;π .

A função f(x)=cos x é par, pois, f(x) = f(-x).

A função f(x)=cos x possui valor máximo quando 0x = rad .

A função f(x)=cos x possui valor mínimo quando x π= − rad e x π= rad.

Generalizando algumas características da função f(x)= cos x tem-se:

O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a cossenóide ao longo do eixo x.

O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].

A função f(x)= cos x possui valor máximo para { }| 2 ,x IR x k k Zπ∈ = ∈ .

A função f(x)= cos x possui valor mínimo para { }| 2 ,x IR x k k Zπ π∈ = + ∈ .

1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período.

) ( ) 2) ( ) 1

a f x sen xb f x sen x

= += −

a) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração do gráfico:

104


Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x

x sen x y=2+sen x y

0 sen0=0 y=2+0 2

2π sen

2π =1 y=2+1 3

π senπ =0 y=2+0 2

32π sen 3

2π =-1 y=2+(-1) 1

2π sen 2π =0 y=2+0 2

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.5.

Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x

D=IR;

Im=[1,3];

P=2π .

b) Solução:

Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico:

105


Unidade 3

Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1

x senx y=senx - 1 y

0 sen0=0 y=0-1 -1

2π

sen2π

=1 y=1-1 0

π senπ =0 y=0-1 -1

32π sen 3

2π =-1 y=-1-1 -2

2π sen 2π =0 y=0-1 -1


Figura 3.6: f(x) = sen x -1

D=IR;

Im=[-2,0];

P=2π .

106


Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.3 no intervalo [0, 2π ], você poderá observar que f(x)=2+sen x pode ser obtida transladando-se o gráfico de y=sen x em duas unidades no sentido positivo de Oy.

Quando se compara o gráfico de f(x) = sen x-1, observa-se que ele pode ser obtido fazendo a translação de uma unidade do gráfico f(x)=sen x, no sentido negativo de Oy.

2) Construa o gráfico da função f(x)=sen2x , dê o domínio, a

imagem e o período.

Você sabia...

Multiplicando o valor de x da função y=senx por um número real, vamos observar que o período da função fica 2π dividido por este número. Por exemplo, y=sen(kx) o período

é P= .

Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.5 para a elaboração do gráfico. Para isso, calcula-se o período desta função, pois se nota que o mesmo será diferente de 2π .

Observe: P=

Como k = 12

, temos:

P=

Como o seno é uma função periódica de período 2π , basta variar o argumento x

2 num intervalo de amplitude 2π . Atribuindo

a x

2valores adequados e pertencentes ao intervalo [ ]0, 2π e

calculando x e y, temos:

107


Unidade 3

Tabela 3.5: Valores de ( )2xf x sen=

2x

x y=sen2x y

0 0 y=sen0 0

2π π

y=sen2π 1

π 2π y=senπ 0

32π

3π y=sen32π -1

2π 4π y=sen 2π 0

Note como é calculado o valor de x:

02

2.00

x

xx

=

==

2 22 2.

x

xx

π

ππ

=

==

2

2.2

x

xx

π

ππ

=

==

32 22 2.3

3

x

xx

π

ππ

=

==

22

2.24

x

xx

π

ππ

=

==

Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7.

Figura 3.7: ( )2xf x sen=

108


3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período.

) cos 2) cos 4

a y xb y x

==

a) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração do gráfico.

De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função

y= cos 2x.

Nesta função k=2, logo:2 2

2P

kπ π π= = =

Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x

2x x y=cos 2x y

0 0 y=cos 0 1

2π

4π

y=cos2π 0

π2π

y=cosπ -1

32π 3

4π

y=cos32π

0

2π π y=cos 2π 1

109


Unidade 3

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano, representado na figura 3.8.

Figura 3.8: f(x) = cos 2x

D = IR;

Im = [-1,1];

P = π.

b) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração do gráfico.

Calculando o período da função y= cos4x, tem-se:

Nesta função k=4, logo:2 24 4 2

P π π π= = = .

110


Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x

4x x y=cos4x y

0 0 y=cos0 1

2π

8π

y=cos2π 0

π4π

y=cos π -1

32π 3

8π

y=cos 32π 0

2π2π

y=cos 2π 1


Figura 3.9: f(x) = cos 4x

D = IR;

Im = [-1,1];

P = 2π

.

111


Unidade 3

Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidas sobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes.

Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, o coeficiente de x, menor é o período da função.

4) Determine apenas o sinal de cos 345π .

Solução:

cos 345π = cos 4

5π pois, 4

5π é a primeira determinação positiva de

34

5π , que é um arco do segundo quadrante.

Logo, o sinal de cos 345π será negativo.

5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que esta igualdade seja verdadeira?

Solução:

Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter

1 1sen x− ≤ ≤ .

Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequação simultânea:-1 5 +1 1-1-1 5 1-1-2 5 0

2 0-5 52- 05

kk

k

k

k

≤ ≤≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

Logo, a solução desse problema será 2| 05

S k IR k = ∈ − ≤ ≤

.

Fique de olho nas aplicações

As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideais para descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam o tempo como variável independente.

112


As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritos por senóides.

O movimento harmônico simples é um tipo de movimento periódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento de um corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de um ponto de equilíbrio.

Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funções trigonométricas nestes fenômenos.

1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita pela função ( ) 0,9 0,7

6 6h t sen tπ π = + +

, cuja representação

gráfica é mostrada na figura 3.10:

Figura 3.10: Altitude do mar

Pergunta-se:

a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas?

b) Na maré alta, qual a altitude do mar?

c) Na maré baixa, qual a altitude do mar?

Alguns exemplos foram extraídos e adaptados do livro ‘Quanta Matemática em fascículos para o ensino médio’. Fascículo 4. Autores: Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi Filho. Editora Saraiva. Ano 2000.

113


Unidade 3

d) Qual é a amplitude da onda?

e) Qual o período dessa senóide?

Solução:

Analisando o gráfico, pode-se concluir que:

a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marés baixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas.

b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros.

c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marés baixas.

d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros.

A amplitude foi calculada da seguinte forma: 1,6 0,2 1,4 0,72 2−

= = .

Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é

identificar o coeficiente do seno na função ( ) 0,9 0,76 6

h t sen tπ π = + +

.

e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maiores altitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é:

P = 14 - 2

P = 12 horas

2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, um garoto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por:

( ) 80 20.cos .2

y t t ππ = + −

em que y é o deslocamento vertical da onda

em cm e t é o tempo em segundos.

114


De posse desses dados, responda:

a) Qual o gráfico da função?

b) Qual é o período da função?

c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função?

d) Qual é a amplitude do movimento?

Solução:

a)

Figura 3.11: Movimento da corda

115


Unidade 3

b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assim sendo, o período dessa cossenóide é:

P = 2,5 - 0,5

P = 2 horas

c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo é P(1,5;60).

d) A amplitude é de 20 centímetros.

A amplitude foi calculada da seguinte forma: 100 60 40 202 2−

= = .

Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóide é identificar o coeficiente do cosseno na função

( ) 80 20.cos .2

y t t ππ = + −

.

3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo, tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmões de um adulto, em condições físicas normais e em repouso, pode ser descrito por:

y(t) 2,5 0,5.cos t.3π2 = +

em que y é o volume em litros para um

ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos.

A partir dos dados, determine:

a) A representação gráfica desta situação;

b) O volume médio do pulmão desse adulto;

c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude;

d) O período de um ciclo inspiração/expiração.

116


Solução:

a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12:

Figura 3.12: Respiração pulmonar

b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando o gráfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros. Fazendo a média, tem-se 2,5 litros.

c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros

ou 500 ml, pois, 3 2 1 0 5 500 l2 2

, litros m−= = = .

d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontrado fazendo a diferença entre as duas cristas.

SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente, secante e cossecante

Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas decorrentes do seno e cosseno. São elas:

117


Unidade 3

Tangente;

Cotangente;

Secante e cossecante.

Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir.

Função Tangente


Figura 3.13: Função tangente

Geometricamente, definimos tangente do arco a ordenada do ponto T, ou seja:

tgx=AT.

Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, na disciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆ OM´M.

118


Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os lados correspondentes, o que permite escrever:

1 coscos

cos 0cos

AT OM"OA OM'tgx senx

xtgx. x senx

senxtgx ; ( x )x

=

=

=

= ≠

Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulos notáveis.

Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada um desses valores.

Observe as figuras 3.14 e 3.15:

Figura 3.14: Tangente dos arcos de , .6 4 3

rad rad e radπ π π

Figura 3.15: Tangente de 30 , , , 2

2 2rad rad rad rad e radπ ππ π .

119


Unidade 3

Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela 3.8 com os valores notáveis da tangente.

Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente

x 0 6π

4π

3π

2π π 3

2π

2 π

tgx 03

31 3 Não

existe 0 Não existe 0

Gráfico da Função Tangente: Tangentóide

Seja f(x) = tg x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.9: Valores da tangente

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

tg x 0 Não existe 0 Não

existe 0 Não existe 0 Não

existe0

Figura 3.16: f(x)=tg x

120


Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.16, tem-se que:

A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [π ,2π ], ou seja, toda vez que somarmos π a um determinado valor de x, a função tangente assume o mesmo valor.

Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráfico da tangente tende ao infinito positivo ou negativo.

O estudo da variação nos mostra que, no intervalo [-2π ,2π ], f(x)=tg x é sempre crescente.

O domínio da função f(x)=tg x é: 3 3 3 3( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2

D f π π π π π π π ππ π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪

A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.

Nos intervalos 3 32 , , , , 0, ,2 2 2 2

eπ π π ππ π π − − − − , a

função f(x)=tg x assume valores positivos.

No intervalo 3 3, , ,0 , , , 22 2 2 2

eπ π π ππ π π − − − , a

função f(x)=tg x assume valores negativos.

A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.)


O domínio da função f(x)=tgx é D( f ) x IR|x k , k Z

2π π = ∈ ≠ + ∈

.

A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.

121


Unidade 3


1) Determine o valor de 11 .3

tg π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11 .

3π

Então, 11 5 3.3 3 3

tg tg tgπ π π= = − = −

Lembre-se que 5

3radπ é um arco do 4º quadrante. Tem-se,

então, que fazer a redução ao primeiro quadrante.

Logo, 11 3.3

tg π= −

2) Determine o valor de 13 .4

tg π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 13 .4π

Então, 13 5 1.4 4 4

tg tg tgπ π π= = =

Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiro quadrante.

Logo, 13 1.4

tg π=

3) Encontre o valor de 11 .tg π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π.

Então, 11 0.tg tgπ π= =

Logo, 11 0.tg π =

122


4) Calcule o valor de 253

tg π .

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 253π rad.

25 243 3 3π π π

= + .

Assim, a primeira determinação positiva é 3π rad.

Temos, então, que tg 253π =tg

3π = 3 .

Logo, tg 25

3π = 3 .

5) Qual é o domínio da função 2 ?3

y tg x π = −

Como o domínio da função y=tgx é

D( f ) x IR|x k , k Z2π π = ∈ ≠ + ∈

, tem-se:

2

22 3526

512 2

x k2

2x- k3

x k

x k

kx

π π

π π π

π π π

π π

π π

≠ +

≠ +

≠ + +

≠ +

≠ +

Logo, o domínio da função 23

y tg x π = −

é

5 kD( f ) x IR|x , k Z12 2π π = ∈ ≠ + ∈

.

123


Unidade 3

Função Cotangente


Figura 3.17: Função Cotangente

Geometricamente, definimos cotangente do arco a abscissa do ponto C, ou seja:

cotg x=BC.

Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M é semelhante ao ∆ OBC.

Assim, pode-se escrever:' '

' "

cos1

cos , 0

OM MMBC OB

OM OMBC OB

x sen xBC

xBC sen xsen x

=

=

=

= ≠

Logo, tem-se coscot , ( 0)xg x sen xsen x

= ≠ .

Uma outra relação que representa a cotangente é: 1cot 0gx , (tgx )

tgx= ≠ .

124


Gráfico da Função Cotangente

Seja f(x) = cotg x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relaçãocoscot , ( 0)xg x sen xsen x

= ≠ , com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.10: Valores da cotangente

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

cotgx Não existe 0 Não

existe 0 Não existe 0 Não

existe 0 Não existe

Figura 3.18: f(x)=cotg x

Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.18, tem-se que:

125


Unidade 3

A função é periódica de período π .

Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe, o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ou negativo.

O estudo da variação nos mostra que no intervalo [-2π ,2π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente.

O domínio da função f(x)=cotg x é ] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .

A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR.

Nos intervalos 32 , , , ,2 2π ππ π − − − −

0; 2π

e 3;

2ππ

,

a função f(x)=cotg x assume valores positivos.

No intervalo 3 , , 0 ,2 2π ππ − − −

; 2π π

e 3 ;2

2π π

a

função f(x)=cotg x assume valores negativos.

A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x).


O domínio da função f(x)=cotg x é { }( ) | , k ZD f x IR x kπ= ∈ ≠ ∈ .

A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR .

Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente.

1) Determine o valor de 37cot6

g π .

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 376π :

37 366 6 6π π π

= +

Temos que

6radπ é a primeira determinação positiva de 37 .

6π

Então: 3cos37 3 26 2cot cot 316 6 2 1

6 2

g g .sen

ππ π

π= = = = =

126


Logo, 37cot 36

g π= .

2) Calcule o valor de 13cot4

g π .

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 134π rad.

13 8 54 4 4π π π

= + .

Assim, a primeira determinação positiva é 54π rad.

Tem-se, então, que 2cos13 5 4 2cot cot cot 1

4 4 4 24 2

g g gsen

ππ π π

π= = = = = .

Observe que:

Fizemos a redução ao primeiro quadrante.

O arco 54π rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a

cotangente é positiva.

Logo, 13cot 14

g π= .

3) Determine o valor de 7cot .4

g π

Solução:

Lembre-se que 74π é um arco do 4º quadrante e, neste, a

cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se:

724 4π ππ − =

2cos7 4 2cot cot 14 4 2

4 2

g gsen

ππ π

π= − = − = − = −

127


Unidade 3

Logo, 7cot 1.4

g π= −

4) Qual é o domínio da função cot 24

y g x π = +

?

Como o domínio da função coty gx= é

{ }D( f ) x IR|x k , k Zπ= ∈ ≠ ∈ , tem-se:

Nesta função, o arco é 2 ,logo:4

2 .4

2 .4

.4

2

8 2

x k

x

x k

x k

kx

kx

ππ

π π

π π

π π

π π

≠

+

+ ≠

≠ − +

− +≠

≠ − +

kD x IR|x - , k Z8 2π π = ∈ ≠ + ∈

Conheça a origem da tangente e da cotangente.

128



A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho da sombra.

Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente, associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança de triângulos.

As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi, primeiramente, usado por Edmund Gunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino “cotangente de A”, que significa “tangente do complementar de A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” para cotangente.

129


Unidade 3

Função Secante e Função Cossecante


Figura 3.19: Secante e Cossecante

Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência, interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

Geometricamente, define-se:

secante do arco o segmento OS, ou seja, sec x=OS;

cossecante do arco o segmento OD, ou seja, cosec x=OD.

Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS é semelhante ao ∆ OM´M.

Dessa forma:

cos 11

. cos 11

cos

'OM OMOM OS

xOS

OS x

OSx

=

=

=

=

130


Logo:

1sec , (cos 0)cos

x xx

= ≠

Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o ∆OM’M é semelhante ao ∆OMD.

11

11

OD OMOM MM'OD

sen xOD . sen x

ODsen x

=

=

=

=

Logo:

1cos , ( 0)ec x sen xsen x

= ≠

Gráfico da Função Secante

Seja f(x) = sec x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação

1seccos

xx

= , com x variando [ ]2 ,2π π− .

Tabela 3.11: Valores da secante

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

secx 1 Não existe -1 Não

existe 1 Não existe -1 Não

existe 1

131


Unidade 3

Figura 3.20: f(x)=sec x

Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura 3.20, no intervalo [ ]2 ,2π π− , tem-se que:

A função é periódica de período 2π .

O domínio da função f(x)=secx é: 3 3 3 3( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2

D f π π π π π π π ππ π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪

A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos 3 32 , , , , 0, , .

2 2 2 2eπ π π ππ π π − − − −

A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos

3 3, , ,0 , , , 22 2 2 2

eπ π π ππ π π − − − .

Nos intervalos 32 , , ,2 2 2

eπ π ππ − − −

3 ;22π π

, temos

sec x ≥ 1.

Nos intervalos 3 ,2 2π π − −

e 3; 2 2π π

, sec x ≤ -1.

A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x).

132



O domínio da função f(x)=sec x é D( f ) x IR | x k , k Z

2π π = ∈ ≠ + ∈

.

A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

Gráfico da Função Cossecante

Seja f(x) = cosec x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação 1cos ecx

senx= , com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.12: Valores da cossecante

x -2π32π

− -π2π

− 02π

π32π

2π

cosecx Não existe 1 Não

existe -1 Não existe 1 Não

existe -1 Não existe

133


Unidade 3

Figura 3.21: f(x)=cosec x

Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo [-2π ,2π ], representada na figura 3.21’, temos que:

A função é periódica de período 2π .

O domínio da função f(x)=cosec x é:

] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .

A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos 3 3

2 2 2 2, , , , , e , .π π π ππ π π π − − − −

A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos 3 32 , , ,0 , 0, , 2

2 2 2 2eπ π π ππ π − − −

.

Nos intervalos ] [ ] [2 , 0,eπ π π− − , temos cosecx ≥ 1.

Nos intervalos ] [;0π− e ] [, 2π π , cosecx ≤ -1.

A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x.

134



O domínio da função f(x)=cosec x é { }D(f) x IR | x k , k Zπ= ∈ ≠ ∈ .

A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)=] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante e cossecante.

1) Determine o valor de 9sec .2π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 92

radπ .9 82 2 2π π π

= +

A primeira determinação positiva de 92

radπ é 2

radπ .

Então: 9sec sec2 2

não existeπ π= →

Logo, 9sec2

não existeπ→ .

2) Determine o valor de 59cos .4

ec π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 59 .4π

Tem-se que 34

radπ é a primeira determinação positiva de 59 .

4radπ

Assim, 59 3cos cos cos 24 4 4

ec ec ecπ π π= = = .

Logo: 59cos 2

4ec π

= .

135


Unidade 3

3) Qual é o domínio da função sec2

y x π = −

?

Como o domínio da função secy x= é

( ) x |x , k Z2

D f IR kπ π = ∈ ≠ + ∈

, tem-se:

2

Nesta função, o arco é x ,logo:2

.2 2

.2 222

x k

x k

x k

x k

x k

π π

π

π π π

π π π

π π

π π

≠ +

−

− ≠ +

≠ + +

≠ +

≠ +{ }( ) | ,D f x IR k k Zπ π= ∈ + ∈ .

4) Qual é o domínio da função cos 32

y ec x π = −

?

Nesta função, o arco é 3

2x π −

, logo:

32

32

6 3

x k

x k

x k

π π

π π

π π

− ≠

≠ +

≠ +

Logo, ( ) | ,6 3

D f x IR x k k Zπ π = ∈ ≠ + ∈

.

136



Acredita-se que, por volta do final do século IX, as seis funções trigonométricas comuns já estavam bem estabelecidas e as identidades que as relacionavam estavam em plena aplicação.

O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998), figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicando-se à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas, usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente, bem como as funções secante e cossecante, estas últimas inventadas por ele próprio.

Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomiean-tique/arabe.htm (acesso em 28/06/06).

SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricas inversas

Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar a função inversa para as funções trigonométricas, pois, como são funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não são inversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos gerar uma nova função que possua uma inversa.

Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funções trigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversa para cada caso.

137


Unidade 3

Função Arco Seno

Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio ,2 2π π −

e,

tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, e somente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1−

corresponde ,2 2

y π π ∈ − .

Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura 3.23:

Figura 3.23 : Função y = arc sen x

A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintes características da função

y = arc sen x:

o domínio da função é D = [-1,1];

a imagem da função é , ;2 2π π −

é crescente em todo seu domínio.

138


Função Arco Cosseno

Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o domínio [0,π].

A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1− corresponde [ ]0,y π∈ .

Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura 3.24:

Figura 3.24: Função y = arc cos x

A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintes características da função

y = arc cos x:

o domínio da função é D = [-1,1];

a imagem da função é [ ]0,π ;

é decrescente em todo seu domínio.

139


Unidade 3

Função Arco Tangente

A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x, se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde

,2 2

y π π ∈ − .

Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura 3.25:

Figura 3.25: Função y = arc tg x

A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintes características da função y = arc tg x:

o domínio da função é D = IR;

a imagem da função é ;2 2π π −

;

é crescente em todo seu domínio.

140


Função Arco Cotangente

A função inversa da função cotangente é definida como

y = arc cotg x = 2

arc tgxπ− , onde, para cada x real, corresponde

] [0,y π∈ .

Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura 3.26:

Figura 3.26: Função y = arc cotg x

A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintes características da função y = arc cotg x:

o domínio da função é D = IR;

a imagem da função é ] [0,y π∈ ;

é decrescente em todo seu domínio.

Função Arco Secante

A função inversa da função secante é definida como 1sec cosy arc x arx

= =

, onde, para cada x real, tal que 1x ≥ ,

corresponde [ ]0,y π= com y ≠ 2π .

141


Unidade 3

Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura 3.27:

Figura 3.27: Função y = arc sec x

A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintes características da função y = arc sec x:

o domínio da função é { }| | | 1 ;D x IR x= ∈ ≥

a imagem da função é [ ]0, ;2

e y ππ ≠

é crescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .

Função Arco Cosecante

A função inversa da função cossecante é definida como 1arccosy x arsenx

= =

, onde, para cada x real, tal que, 1x ≥ , corresponde ,

2 2y π π = −

com y ≠ 0.

Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura 3.28:

142


Figura 3.28: Função y = arc cosec x

A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintes características da função y = arc cosec x:

o domínio da função é { }| | | 1 ;D x IR x= ∈ ≥

a imagem da função é , 0;2 2

e yπ π − ≠ é decrescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .

Que tal alguns exemplos?

Exemplos:

1) Qual o valor de 1sec 22

y arcsen =

?

Solução:1sec 22

y arcsen =

.

Fazendo 12

x arcsen= , deve-se procurar um arco cujo seno é igual

143


Unidade 3

a 12

.

Então, o arco procurado deve ser 6

x radπ= , pois, de acordo com

a definição, o arco deve pertencer ao intervalo ,2 2π π −

.

Dessa forma, substituindo x em 1sec 22

y arcsen =

, pode-se escrever:

1 1 1sec 2 sec 2 sec 2.12 6 3 cos3 2

arcsen π ππ

= = = = =

Logo, o valor de 1sec 22

y arcsen =

é 2.

2) Qual o valor de 210. arccos2

E sen −

= ?

Solução:

210. arccos2

E sen −

=

Fazendo 2cos2

x ar −= , deve-se procurar um arco cujo cosseno é

igual a 22

− .

Então, o arco procurado deve ser 34

x radπ= , pois, de acordo com

a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [ ]0,π .

Dessa forma, substituindo x em 210. arccos2

E sen −

= , pode-

se escrever:

210. arccos2

310.4

210.2

5 2.

E sen

E sen

E

E

π

−=

=

=

=

144


Lembre-se que 34

radπ é um arco do 2º quadrante e foi necessário

fazer redução ao primeiro quadrante.

Logo, o valor de 210. arccos2

E sen −

= é 5 2 .

3) Sabendo que 0,125tgθ = , determine o valor de θ .

Solução:

Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica. Veja:

Tem-se que:

0,125tgθ = .

Pode-se escrever:

0,125arctgθ = .

Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125.

Você deverá programar sua calculadora no modo rad.

Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora, tecle tan-1.

Você obtém: 0,124θ =

Logo, o ângulo procurado é 0,124θ = rad.

145


Unidade 3

Pesquise

Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria

No ensino da Trigonometria, o uso de softwares matemáticos pode ser muito interessante para auxiliar na construção dos gráficos das funções circulares.

Nesta unidade, os gráficos foram construídos no software GRAPH 4.1, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/graph/.

Você conheceu e aprendeu a utilizar esse software na disciplina ‘Informática Aplicada à Educação Matemática’.

Como sugestão, indicamos novamente o software Thales, que possui um ambiente de trabalho bastante interessante, no estudo das funções trigonométricas. Com ele, é possível visualizar simultaneamente o comportamento das funções no ciclo trigonométrico e no plano cartesiano.


1) Determine:

37)6

a tg π=

7) cot2

b g π=

5)sec4

c π − =

31) cos6

d ec π=

5)3

e tg π=

146


2) Qual o sinal da expressão:

3. 03 4

5.3 6

tg tg tgy

tg tg

π π

π π

−=

− −

.


a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π

.

b)

7sen cos 33

13tg 6

B

π π

π

−= .

4) Que número é maior: 3 5 ?4 6

tg ou tgπ π

147


Unidade 3

5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções:

) 2

) 2.cos4

) 3 2

a y sen xxb y

c y sen x

= − +

=

= −

6) Analisando os gráficos:

) 2a y sen x=

148


) 2 cosb y x= +

)2xc y tg =

149


Unidade 3

Responda os itens a seguir:

a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?

b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?

c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa?

d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva?

e) Qual o período da função y= tg(x/2)?

7) Determine o valor de k, sabendo-se que sen x = 3k - 7.

150


8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x?

9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação

horária y(t) 4 3.cos t4π π = + +

, em que t é o tempo transcorrido,

em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir:

a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;

b) Qual o ponto de partida do corpo?

c) Qual o seu período de oscilação?

d) Qual a amplitude do movimento?

151


Unidade 3

10) Determine o domínio de cada uma das funções:

( )

) 54

) cot2

) sec 3

) cos 23

a y tg x

b y g x

c y x

d y ec x

π

π

π

π

= −

= +

= −

= +


y tg =

?

12) Encontre o valor de 32. arcsen

2y tg

=

.

152


13) Determine o valor de 33 .

3y arctg arctg= +


1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função

315 5

12 2y(t) sen tπ π = + +

, onde t indica o tempo (em horas)

decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) no instante t. Determine:

a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);

b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu, no primeiro dia de observação.

153


Unidade 3

2) (Mack-SP) O valor de 3 1 353 4 2

tg arctg arcsen

−

pode ser dado por:

a) 0

b) 1

c) 12

d) -1

e) 12

−

3) O valor de 1 12 3 arcsen arccos2 2

arctg + + é:

a) 56π

b) 2π

c) 6π

d) 76π

e) π

154


Síntese

Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôde conhecer suas características, bem como perceber suas várias aplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nos fenômenos que envolvem periodicidade.

Você constatou que as funções trigonométricas podem ter seus domínios restringidos, de modo que gerem uma função inversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções resultantes tornam-se parte de suas definições.

Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguir modelar situações práticas que as envolvem.

Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequações trigonométricas, que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática.

Saiba mais

Para que você aprofunde seu conhecimento na história da trigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor é Edward Kennedy.

Com relação à periodicidade das funções, característica bastante importante das funções circulares, uma boa idéia é acessar um site de busca e analisar textos referentes a esse assunto na Internet.

UNIDADE 4

Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas


Reconhecer as relações trigonométricas.

Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.

Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.

Resolver equações e inequações trigonométricas.

Seções de estudo

Seção 1 Relações Trigonométricas

Seção 2 Adição e Subtração de Arcos

Seção 3 Arco Duplo

Seção 4 Equações Trigonométricas

Seção 5 Inequações Trigonométricas

4

156



Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar com as relações entre os valores das funções trigonométricas, denominadas relações trigonométricas.

As transformações trigonométricas serão abordadas e você também irá resolver, ainda nesta unidade, as equações e inequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, torna-se necessário o uso das relações e transformações trigonométricas na resolução dessas equações.

São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentos dentro da Trigonometria.

SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas

Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o 1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricas fundamentais.

Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricas fundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funções trigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seção anterior.

É importante saber que as relações trigonométricas fundamentais recebem este nome por serem distintas e completamente independentes umas das outras.

Elas também permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de um arco qualquer, encontremos, se existirem, os valores das demais funções circulares do mesmo arco. Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação de expressões.

As cinco relações trigonométricas fundamentais mais importantes são:

157


Unidade 4

1ª Relação

Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental

Observando a figura 4.1, tem-se:

1OM =

cosOM' x=

MM' OM" senx= =

Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M, tem-se:

( ) ( ) ( )2 2 2OM OM' OM"= +

( ) ( ) ( )2 2 21 cos x senx= +

2 2cos 1sen x x+ =

2ª Relação

cossenxtgx

x=

Esta relação só será válida para todo x ≠ 2

kπ π+ e k é um número inteiro.

158


3ª Relação

coscot xgxsenx

=

Esta relação só será válida para todo x kπ≠ e k é um número inteiro.

4ª Relação

1seccos

xx

=

Esta relação só será válida para todo x ≠ 2

kπ π+ e k é um número inteiro.

5ª Relação

1cossec xsenx

=

Esta relação só será válida para todo x kπ≠ e k é um número inteiro.

Existem outras relações trigonométricas derivadas das relações fundamentais, importantes para simplificar a resolução de alguns problemas. Acompanhe:

1ª relação

Como sencos

xtgxx

= e coscotsen

xgxx

= , pode-se obter a seguinte

relação 1cot gxtgx

= , válida para todo x kπ≠ .

2ª relação

Você já viu que sen2x + cos2x = 1.

Assim, se dividir a equação por cos2x, tem-se: 2 2

2 2 2

sen cos 1cos cos cos

x xx x x

+ = , como sencos

xtgxx

= e 1seccos

xx

= .

159


Unidade 4

Logo, 2 2sec 1x tg x= + , válida para todo x ≠ 2

kπ π+ .

3ª relação

Sabe-se que sen2x + cos2x = 1.

Assim, dividindo a equação por sen2x, tem-se: 2 2

2 2 2

sen cos 1sen sen sen

x xx x x

+ = .

Como coscot xgxsenx

= e 1cossecsen

xx

= .

Logo, 2 21 cot cosg x ec x+ = , válida para todo x kπ≠ .

Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir.

1) Sabendo que 13

senx = e que 3 22

xπ π< < , determine o valor do cosx.

Solução:

Aplicando-se a relação sen2x+cos2x=1, tem-se:2 2

22

2

2

2

2

cos 1

1 cos 13

1 cos 19

1cos 19

9 1cos9

8cos9

8cos9

2 2cos .3

sen x x

x

x

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±

160


Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante, tem-se que o cosseno é positivo.

Logo, 2 2cos3

x = .

2) Se secx= 4, com 02

x π≤ ≤ , qual o valor da tgx?

Solução:

Sabendo que 1seccos

xx

= , então:sec 4

1 4cos4cos 1

1cos4

x

xx

x

=

=

=

=

Substituindo 1cos4

x = na relação 2 2cos 1sen x x+ = , tem-se:

2 2

22

2

2

2

2

cos 1

1 14

1 116

1116

16 116

1516

1516154

sen x x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

senx

senx

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±

161


Unidade 4

Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno é positivo.

Logo, 154

sen x = .

Seguindo ao valor da tangente:

cos1541415 4.4 115.

senxtgxx

tgx

tgx

tgx

=

=

=

=

3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente

as equações 13

ksenx += e cosx=-k, determine o valor de k.

Solução:

Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1 tem-se:

( )

2 2

32

22

2 2

2 2

2

cos 1

1 13

2 1 192 1 9 9

9 92 1 9 9

10 2 8 0

sen x x

k k

k k k

k k k

k k kk k

+ =

+ + − =

+ ++ =

+ + +=

+ + + =

+ − =

Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se:

k’ = -1 e k” = 45

162


Como k é um número real positivo, a solução do problema será:

k = 45

.

4) Simplifique a expressão 2

22

cot1 cot

g x sen xg x

++

.

Solução:

Fazem-se as seguintes substituições na expressão:

21 cot g x+ por 2cos ec x.

2cot g x por 2

2

cos xsen x

.

22

2

22

2

2

22

2

2 22

2

2 2

cot1 cot

cotcos

cos

1

cos1

cos 1.

g x sen xg x

g x sen xec x

xsen x sen x

sen x

x sen x. sen xsen x

x sen x

++

+

+

+

+ =

A forma simplificada da expressão 2

22

cot1 cot

g x sen xg x

++

é 1.

SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos

Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo que sen 60º+sen 30º.

163


Unidade 4

Tem-se que:

(60º 30º ) 90º 1sen sen+ = = e3 1 3 160º 30º

2 2 2sen sen +

+ = + = .

Vê-se então que esses valores são diferentes.

Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir:

( ) .cos .cos( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .cos( ) cos .cos .

( )1 .

( )1 .

sen a b sen a b senb asen a b sen a b senb a

a b a b senb sen aa b a b senb sen a

tga tgbtg a btga tgb


• + = +• − = −• + = −• − = +

+• + =

−−

• − =+

Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja: cos( ) cos .cos .a b a b senb sen a− = + .

Demonstração:

Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), do plano, é dada por:

Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano

164


2 2 2( , ) ( ) ( )B A B Ad A B x x y y= − + −

2 2( , ) B A B Ad A B (x x ) (y y )= − + − .

Seja a figura 4.3:

Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos

Na circunferência trigonométrica tem-se:

os arcos a e b;

o arco a-b;

M representa a extremidade do arco a;

N representa a extremidade do arco b;

P representa a extremidade do arco a-b;

A representa a extremidade do arco nulo.

Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontos P e A, M e N são iguais.

Escreve-se então: 2 2( , ) ( , )d P A d M N=

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2P A P A M N M NX X Y Y X X Y Y− + − = − + − [1]

165


Unidade 4

Note que:

as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b));

as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena);

as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb);

as coordenadas do ponto A são: A(1,0).

Assim substituindo em [1] tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2cos( ) 1 ( ) 0 cos cosa b sen a b a b sena senb− − + − − = − + −

Desenvolvendo a equação e sabendo que:2 2( ) cos ( ) 1sen a b a b− + − = ;2 2cos 1sen a a+ = ;2 2cos 1sen b b+ = .

Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membros A e B, então:

( ) ( ) [ ] [ ]2 2 2 2cos 1 0 cos cosA a b sen a b e B a b sen a senb = − − + − − = − + − .

Desenvolvendo A, tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

cos 1 0

cos 2cos 1

2 2cos

A a b sen a b

A a b a b sen a b

A a b

= − − + − − = − − − + + −

= − −

Desenvolvendo B, tem-se:

[ ] [ ]

( )

2 2

2 2 2 2

cos cos

cos 2.cos .cos cos 2. .2 2 cos .cos .

B a b sen a senb

B a a b b sen a sen a senb sen bB a b sen a senb

= − + −

= − + + − +

= − +

Como A=B, tem-se:

( )2 2cos( ) 2 2 cos .cos .a b a b sen a senb− − = − +

166


Para simplificar a equação, divide-se por (-2):1 1cos( ) 1 (cos .cos . )

:cos( ) cos .cos .

a b a b sen a senbLogo

a b a b sen a senb

− + − = − + +

− = +

As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida.

cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = −

Demonstração:

Substituindo b por –b tem-se:

( )cos ( ) cos .cos( ) . ( )a b a b sen a sen b− − = − + − [2]

Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par.

Logo, tem-se:

( )sen b senb− = − .

cos( ) cosb b− = .

Substituindo em [2] tem-se:

cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = − .

Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e do seno da soma:

Seno da diferença: ( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb− = − .

Demonstração:

Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar:

Para todo x real, tem-se:

cos2

cos .2

x senx

sen x x

π

π

− = − =

167


Unidade 4

Dessa forma:

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) .cos cos .

cos2

cos2

cos .cos .2 2

.cos cos . .

sen a b sen a b a senb

sen a b a b

sen a b a b

sen a b a b sen a senb

sen a b sena b a senb

π

π

π π

− = −

− = − − − = − + − = − − −

− = −

Seno da soma: ( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb+ = + .

Demonstração:

Substituindo b por –b, tem-se:

( )( ) ( ) .cos ( ) cos . ( )sen a b sen a b sen a b a sen b+ = − − = − − − [3]

Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par.

Logo:

( )sen b senb− = − .

cos( ) cosb b− = .

Substituindo em [3], tem-se:

( ) .cos cos .sen a b sen a b a senb+ = + .

Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e da diferença de dois arcos.

( )1 .tga tgbtg a b

tga tgb−

− =+

.

Demonstração:

Você já conhece a relação fundamental cossenxtgx

x= .

Na demonstração a seguir, ela será utilizada.

168


Então, tem-se que: ( ) ( ) .cos cos .cos( ) cos .cos .sen a b sena b a senbtg a b

a b a b sena senb− −

− = =− +

.

Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo diferente de zero, encontra-se:

( )( )cos( )

.cos cos .cos .cos( ) cos .cos .cos .cos

cos cos( ) .1cos .cos

( ) .1 .

sen a btg a ba b

sena b a senba btg a b a b sena senba b

sena senba btg a b sena senb

a b


−− =

−

−

− =+

−− =

+

−− =

+

De forma análoga, demonstra-se que: 1tga tgbtg(a b)

tga.tgb+

+ =−

.


Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm (acesso em 28/06/06).

169


Unidade 4

Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental 2 2cos 1sen x x+ = . Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são:

( ) .cos .cos( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .cos( ) cos .cos .

sen x y sen x y sen y xsen x y sen x y sen y x

x y x y sen y sen xx y x y sen y sen x

• + = +• − = −• + = −• − = +

Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos.

1) Calcule cos75º.

Solução:

Para calcular cos 75º pode-se escrever 75º 30º 45º= + .cos 75º cos(30º 45º )cos 75º cos30º.cos 45º 30º. 45º

3 2 1 2cos 75º . .2 2 2 2

sen sen= += −

= −

6 2cos 75º4 4

= −

6 2cos 75º .4−

=

2) Determine 15ºsen .

Solução:

Faz-se 15º = 45º - 30º.15º (45º 30º )15º 45º.cos30º 30º.cos 45º

2 3 1 215º . .2 2 2 2

sen sensen sen sen

sen

= −= −

= −

6 215º4 4

sen = −

170


6 215º .4

sen −=

Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Isso se deve ao fato de serem arcos complementares.

3) Escreva na forma simplificada a expressão

( ) cos2

A sen x xππ = + + −

, para todo x∈IR.

Solução:

( ) cos2

cos cos cos cos2 2

0 cos 1 0 cos 1

0.

A sen x x

A sen . x senx. . x sen .senx

A . x senx.( ) . x .senxA senx senxA

ππ

π ππ π

= + + −

= + + +

= + − + += − +=

4) Qual o valor da tg15º?

Solução:

Pode-se fazer 15º=60º-45º.

171


Unidade 4

t1

60 4560 451 60 45

3 1151 3 1

3 1 1 3151 3 1 3

3 9 1 3151 9

2 3 4151 34 2 315

215 2 3.

tga tgbg(a b)tga.tgb

tg º tg ºtg( º º )tg º .tg º

tg º.

tg º .

tg º

tg º

tg º

tg º

−− =

+−

− =+

−=

+

− −=

+ −

− − +=

−

−=

−− +

=−

= −

SEÇÃO 3 - Arco duplo

Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funções trigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas.

Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem ser utilizadas as seguintes identidades:

2 2 .cossen x sen x x=2 2cos 2 cosx x sen x= −

2

221

tgxtg xtg x

=−

Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando as fórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadas na seção anterior.

2 2 .cossen x sen x x=

172


Demonstração:

2 ( )2 .cos .cos2 2. .cos .

sen x sen x xsen x sen x x sen x xsen x sen x x

= += +=

2 2cos 2 cosx x sen x= −

Demonstração:

2 2

cos 2 cos( )cos 2 cos .cos .cos 2 cos .

x x xx x x sen x sen xx x sen x

= += −

= −

2

221

tgxtg xtg x

=−

Demonstração:

2

2

221

2

21

22 .1

tgxtg xtg x

tg x tg(x x)tgx tgxtg x

tgx.tgxtgxtg xtg x

=−

= ++

=−

=−


Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: 2 2 cossen x sen x . x= , embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu

cos cossen(x y) sen x . y sen y . x+ = + , fazendo x = y.

Acompanhe os exemplos!!!

173


Unidade 4

1) Sendo senx= 13

e 02

x π< < , calcule:

a) sen 2x

b) cos 2x

Solução:

Inicia-se calculando o valor do cos x, utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1.

2 2

22

2

2

2

2

cos 1

1 cos 13

1 cos 19

1cos 19

9 1cos9

8cos9

8cos9

2 2cos3

2 2cos .3

sen x x

x

x

x

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±

=

Já sabendo o valor do cosx, resolve-se o problema proposto:

2 2 cos

1 2 22 23 3

4 22 .9

a) sen x sen x. x

sen x . .

sen x

=

=

=

174


2 2

2 2

cos 2 cos

2 2 1cos 23 3

4 2 1cos 29 9

7cos 2 .9

b) x x sen x

x

. x

x

= −

= −

= −

=

2) Dado 32

senx = , com 2

xπ π< < , determine a tg 2x.

Solução:

Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x para descobrir o valor da tg x.

Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1, tendo então:

2 2

2

2

2

2

2

2

cos 1

3 cos 12

3 cos 14

3cos 14

4 3cos4

1cos4

1cos4

1cos21cos .2

sen x x

x

x

x

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±

= −

175


Unidade 4

Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, pois se está trabalhando com um arco do 2º quadrante.

Calculando o valor da tg x, tem-se:

cos3

2123 2.

2 1

3

senxtgxx

tgx

tgx

tgx

=

=−

= −

= −

Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema proposto utilizando-se a identidade tg2x.

( )( )2

2. 32

1 3

2 321 32 32

22 3

tg x

tg x

tg x

tg x

−=

− −

−=

−−

=−

=

Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e, para isso, será necessária a utilização de todas as transformações trigonométricas estudadas nesta unidade.

SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas

Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como sua importância na resolução de vários problemas.

176


As diferentes equações possuem nomes específicos em função de suas características específicas. Por exemplo: 2 4 9x − = é denominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob o radical.

Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas que recebem este nome porque são equações em que figuram as funções trigonométricas com um arco desconhecido.

Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizar artifícios e transformações que nos permitam chegar a equações básicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma, podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a.

Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas:

2

) 0)1 cos 0

) 2 2.cos

a sen xb x sen x

c sen x x

=

− + =

=

Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem a equação dada.

Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equações trigonométricas:

1) Resolver a equação 12

sen x = no intervalo [ ]0,2π .

Solução:

Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrante.

O arco cujo seno corresponde a 12

é 6π no primeiro quadrante e,

utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo

quadrante: 56 6π ππ − = .

Observe a representação da solução na figura 4.5.

177


Unidade 4

Figura 4.5: 12

sen x = ; [ ]0;2π

Logo, a solução desta equação é 5,6 6

S π π =

.


sen x = , com x ∈ 0, 2π

.

Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa a situação do problema.

Figura 4.6: 12

sen x = ;x ∈ 0, 2π

Logo, como 16 2

sen π= , então a solução é S =

6π

.

178



senx = .

Solução:

Note que, novamente, é a mesma equação que está sendo trabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe a figura 4.7:

Figura 4.7: 12

sen x =

Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerar todas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, a congruência de arcos.

Logo, a solução geral será: 5S x IR|x 2k ou x 2k , k Z

6 6π ππ π = ∈ = + = + ∈

.

Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou a expressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seu tutor.

179


Unidade 4

4) Resolver a equação 2 sen2x – 5 senx + 2 = 0, com x ∈ 0, 2π

.

Solução:

Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do 2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva.

Os coeficientes da equação são:

a = 2

b = - 5

c = 2

O discriminante da equação é:

2

2

4( 5) 4.2.29

Assim:

2( 5) 9

2.25 3

4Obtemos, portanto, que:

21 .2

b ac

bsenxa

senx

senx

senx

senx

∆ = −

∆ = − −∆ =

− ± ∆=

− − ±=

±=

=

=

Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2.

Logo, busca-se a solução para 12

sen x = .

Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2.

Portanto, x = 6π e se escreve a solução S =

6π

.

180


5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [ ]0; 2π .

Solução:

Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se:2 2cos

2. .cos 2cossen x x

sen x x x=

=

Resolvendo a equação:2. .cos 2.cos 02.cos .( 1) 0.

sen x x xx sen x

− =− =

Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quando um dos fatores for zero. Dessa forma:

2.cos 0 1 0.x ou sen x= − =

Assim, tem-se duas equações para resolver:2.cos 0cos 0

xx

==

ou 1 01

sen xsen x

− ==

Encontrando a solução para cos x = 0, no intervalo dado tem-se:

2x π

= ou 32

x π= .

Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se:

2x π

= .

Logo, a solução da equação 2 2cossen x x= no intervalo [ ]0,2π é

S = 3,2 2π π

.

181


Unidade 4

SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas

Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações também possuem nomes específicos em função de suas características.

Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas que recebem este nome por serem desigualdades nas quais figuram funções trigonométricas com arcos desconhecidos.

Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma forma que nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações que permitam chegar a inequações básicas do tipo

sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR.

É importante observar que as desigualdades > e < podem ser ≥ e ≤, não interferindo no método de resolução.

Por exemplo, são inequações trigonométricas:11)2

32) cos2

3) 1

sen x

x

tg x

>

≤

>

Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental a construção da circunferência trigonométrica representando a situação do problema.

Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequações trigonométricas:

1) Resolver a inequação 12

sen x ≥ , com 0 < x < 2π.

Solução:

Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto

cuja distância do centro é 12

.

Faz-se a análise para valores acima de 12

tendo em vista que 12

sen x ≥ .

182


Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 12

.

Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que

compõem a solução desta inequação estão entre 5 e 6 6π π (parte

destacada na circunferência).

Figura 4.8: 12

sen x ≥

Logo, a solução será:5|

6 6S x IR xπ π = ∈ ≤ ≤

.

2) Resolver a inequação cos x < - 22

, com 0 < x < 2π.

Solução:

Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto

cuja distância do centro é - 22

.

Faz-se a análise para valores menores que - 22

tendo em vista

que cos x < - 22

.

Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 22

.

Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que

compõem a solução desta inequação estão entre 3 5 e 4 4π π

(parte destacada na circunferência).

183


Unidade 4

Figura 4.9: 2cos

2x < −

Logo, a solução será:3 5|4 4

S x IR xπ π = ∈ < <

.

3) Qual é a solução da inequação 3tg x > no intervalo [ ]0,2π ?

Solução:

Figura 4.10: tgx 3>

184


Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe:

Para os valores reais de x tais que 2

x π≠ e 3

2x π

≠ a tg x existe.

Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a

tg3π .

Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o

arco 43π para o qual a tangente também é 3 .

Tem-se que: 3tg x > .

Logo, a solução será:4 3

3 2 3 2S x IR | x ou xπ π π π = ∈ < < < <

.

Síntese

Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações trigonométricas que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática.

Você pôde observar que não existe um modo único de resolver equações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equações do tipo sen x = a , cos x = b ou tg x.

Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, para encontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-se das equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos que satisfazem a desigualdade do problema.

Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos, mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades de auto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor.

185


Unidade 4


1) Sabendo que 12

sen x = e que 3x2ππ < < , determine o valor de

cos x.

2) Sabe-se que 35

sen x = − e 3 22

xπ π< < . Qual o valor da cotg x?

3) Sabendo que 3

2sen x = e

2xπ π< < , determine o valor da expressão

2 2sec cos .x x+

4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cossen x x= − e que

2

xπ π< < ?

186


5) Se 5sec3

x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

( )2 216 cot cosA g x ec x= + .

6) Se 13

sen x = , com 0 ≤ x ≤ 2π , calcule o valor da expressão

cotsec costgx gxy

x x+

=−

.

7) Calcule o valor de 2cos cossec .sec

1ec x x xy

tgx−

=−

, dado 14

sen x = .

8) Se 5sec3

x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

2 225.cos 16.cot .A x g x= −

187


Unidade 4

9) Determine:

) 105º) 75º)cos15º

a senb tgc

===

10) Sabendo que 35

sen x = e que 2

xπ π< < , calcule o valor de

cos

3xπ +

.

11) Calcule o valor numérico da expressão

cos( 30º ) cos( 30º )cos( 30º ) (30º )

x xyx sen x

+ + −=

+ + −.

12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º )y x x= + + − .

188


13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x

14) Sabendo que 1cos3

x = , calcular cos 2 .x

15) Se 1cos2

sen x x− = , calcule o valor de 2 .sen x

16) Sendo 1cot2

g x = , calcule 2 .tg x

17) Sendo 21 cos 2 2.cosE x x= − + , calcular 2 3E E E+ + .

189


Unidade 4

18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?

19) Se cot 4tg x g x+ = , quanto vale 2sen x ?

20) Sendo 45ºa b+ = e 23

tg a = , calcule tg b .

21) Resolver a equação 2 2 0sen x sen x+ − = para 0 2x π≤ ≤ .

22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .

190


23) Determine o conjunto solução da equação 2 0sen x sen x− = sendo 0 x .π≤ ≤

24) Resolva em IR a equação:

2

3 3 2sen x sen xπ π + + − =

.

25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintes inequações:

12

2cos2

1

3cos2

a) sen x

b) x

c) tg x

d) x

< −

≥ −

≤

<

191


Unidade 4


1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 2x π≤ ≤ , tais que ( )2cos 1sen x x+ = é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) maior que 5

2) No intervalo 0 2x π≤ < , a equação 2cos

1x sen x

sen x=

+, apresenta

exatamente:

a) Uma única solução.

b) Duas soluções.

c) Três soluções.

d) Quatro soluções.

e) Cinco soluções.

192


Saiba mais

Se você ficou interessado em conhecer outras equações trigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet. Como sugestão, acesse o site:

http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Titulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es%20Trigonom%C3%A9tricas%5D

UNIDADE 5

Números complexos


Compreender o conceito de números complexos.

Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss.

Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z, bem como a sua representação geométrica.

Apresentar a forma trigonométrica de z.

Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica.

Seções de estudo

Seção 1 Introdução

Seção 2 A álgebra dos números complexos

Seção 3 A forma trigonométrica dos números complexos

5

194



Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seus conhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudados por você.

Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicados e também possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo.

Com esta característica (extração da raiz quadrada de número negativo) é possível resolver equações que não possuem solução dentro do conjunto dos reais.

Os números complexos são da forma a+bi, sendo a e b reais e i a chamada unidade imaginária, para qual i2 =-1.

O papel desses números é de fundamental importância nos diversos ramos da matemática além de ser instrumentos necessários em campos da ciência e da tecnologia.

SEÇÃO 1 - Introdução

Os números complexos se originaram no século XVII, quando Descartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativo que o matemático italiano Cardano utilizava na resolução de equações de 3º grau.

Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza desses novos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu que equações do tipo x2 + a = 0, só poderiam ser resolvidas com essas raízes.

Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com uma notação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dos Números Complexos representado por .

A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande história na área de matemática, tem inúmeras aplicações na engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a

195


Unidade 5

descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, a representação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação também se estende em áreas próprias da matemática, da computação gráfica e da topologia.

SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos

Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexos e, para isso, deve conhecer de que forma são expressos esses números.

Conhecendo o “i”

Inicia-se este estudo com a resolução da equação x2+1=0 tendo como universo o conjunto dos reais:

2

2

1 01

1

xx

x

+ =

= −

= ± −

Logo, o conjunto solução é S = ∅.

Você sabia...

Quem utilizou o símbolo i para 1− pela primeira vez foi Leonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso por Gauss em 1801.

Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual se admita a existência da 1− , que será substituída por i, a equação passará a ter solução não vazia.

Veja que a solução da equação será:2

2

1 01

1

xx

xx i

+ =

= −

= ± −= ±

196


Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação.

Dessa forma, o conjunto solução será: { },S i i= − .

Vejamos, agora, outro exemplo: x2 - 6x +13=0.

Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação:

x2 - 6x +13=0

( )

2

2

4. .

6 4.1.1316

b a c∆ = −

∆ = − −

∆ = −

Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente.

Então vamos considerar como universo um conjunto no qual se admita a existência 1− , que será substituída por i .

( )

2.6 16

26 16. 1

26 4 1

26 4

2' 3 2" 3 2

bxa

x

x

x

ix

x ix i

− ± ∆=

± −=

± −=

± −=

±=

= −= +

Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação.

Dessa forma, o conjunto solução será: { }3 2 ;3 2S i i= − + .

Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados números complexos.

197


Unidade 5

Você sabia...

A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friderich Gauss em 1832.

Figura 5.1: Gauss www.corrosion-doctors.org/.../GaussBio.htm

Capturado em 23/07/06

Definindo o número complexo

Número complexo é todo par ordenado (a,b) que pode ser escrito na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = 1− .


a) z = 2+3i, temos: a = 2 e b = 3

b) z = -3 +i, temos: a =-3 e b = 1

c) z = -2i, temos: a = 0 e b =-2

Definindo o conjunto dos números complexos

O Conjunto dos Números Complexos é todo conjunto cujos elementos são da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = 1− :

= {z = a+bi | a ∈IR, b ∈ IR, i = 1− }.

198


Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébrica de um número complexo, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i2=-1 ou i= 1− .

Observe o diagrama representado na figura 5.2:

Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos

Como todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo número real é um número complexo em que b=0 na forma a+bi.

Note que, como um número complexo é dividido em parte real e parte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi, podemos considerar as seguintes situações:

z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 e b ≠ 0;

z é real quando z = a, onde b=0.

Você sabia...

Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637.

199


Unidade 5

Exemplos:

a) z= -5+7i

Note que:

-5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5;

7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7;

b) 34iz =

Re(z) = 0

Im(z)= 34

Pode-se concluir que z é um imaginário puro.

c) z = -4,6

Re(z) = -4,6

Im(z)= 0

Pode-se concluir que z é um número real.

d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4)i seja um número real?

Solução:

Note que para que z seja um número real é necessário que sua parte imaginária seja igual a zero, assim tem-se:

Im(z) = 0

k+4 = 0

k = - 4

Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4.

e) Determine o valor de x de modo que z = (x2 - 25) + (2y - 8)i seja imaginário puro.

200


Solução:

Você já sabe que para que z seja imaginário puro deve ter:

Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0, assim tem-se:

Re(z) = 0

x2 - 25 = 0

x2 = 25

x = ± 5

Im(z) ≠ 0

2y - 8 ≠ 0

2y ≠ 8

y ≠ 4

Igualdade de números complexos

A igualdade entre dois números complexos se estabelece quando apresentam, simultaneamente, partes reais iguais e partes imaginárias iguais.

Dessa forma:

Sendo z1= a + bi e z

2= c + di, z

1= z

2 quando a = c e b = d.

Exemplos:

1) Sejam os números complexos z1= -3 + xi e z

2 = 6y- 8i,

determine os valores reais de x e y de modo que z1= z

2.

Solução:

Como z1= z

2 tem-se que:

201


Unidade 5

Re(z1) = Re(z

2) e Im(z

1) = Im(z

2)

-3 = 6y x = -8

y = 36

−

y = 12

−

Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e 12

− .

2) Dados os números complexos z1 = (3x + y) + 5i e

z2 = 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z

1 seja

igual a z2.

Solução:

Como z1= z

2 tem-se que:

Re(z1) = Re(z

2) e Im(z

2)= Im(z

1)

3x + y = 8 e x - 2y = 5

Note que há um sistema de duas equações para resolver:

Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistema pelo método da adição.

O sistema equivalente será:6 2 16

2 5x yx y

+ = − =Somando as equações tem-se:7 21

3x

x=

=Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1.

Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1.

Você sabia...

No conjunto dos números complexos não existe relação de ordem, isto é, um número complexo não é maior nem menor que outro.

202


Operações entre números complexos

Adição

A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida da seguinte forma:


2= c + di, z

1+z

2 = (a+c) + (b+d)i

Exemplo:

Sendo z1=3+5i e z

2=-4+10i, determine z

1+z

2.

Solução:


2= c + di, z

1+z

2 = (a+c) + (b+d)i

z1+z

2=(3+5i)+(-4+10i)

z1+z

2 = 3+5i-4+10i

z1+z

2 = (3-4)+(5+10)i

z1+z

2 = -1+15i

Logo, z1+z

2 = -1+15i.

Subtração

A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di

é estabelecida da seguinte forma:


2= c + di, z

1-z

2 = (a-b) + (b-d)i

Exemplo:

Considere 11z 7i2

= − e 22 1z i3 4

= + e calcule z1- z

2.

203


Unidade 5

Solução:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 172 3 4

1 2 172 3 41 2 172 3 43 4 28 1

6 41 296 4

z z i i

z z i i

z z i

z z i

iz z

− = − − +

− = − − −

− = − + − −

− − − − = +

− = − −

Logo, 1 21 296 4

iz z− = − − .

Multiplicação

O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida da seguinte forma:


2= c + di, z

1.z

2= (ac-bd) + (ad+bc)i

Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicação de binômios no conjunto dos reais e considerando que i2 = -1.

z1.z

2 = (a+bi).(c+di)

z1.z

2 = ac+adi+bci+bdi2

z1.z

2 = ac+adi+bci+bd(-1)

z1.z

2 = ac+adi+bci-bd

z1.z

2 = ac-bd+adi+bci

z1.z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i

204


Exemplo:

Sendo z1 = 1+5i e z

2 = 6-3i, determine z

1.z

2.

Solução:

z1.z

2=(1+5i).(6-3i)

z1.z

2 = 6-3i+30i-15i2

z1.z

2 = 6+27i-15.(-1)

z1.z

2 = 21+27i

Logo, z1.z

2 = 21+27i.

Você sabia...

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.

Conjugado

Sendo z = a+bi , o número z = a - bi representa o conjugado de z.

Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z.

Exemplo:

Dê o conjugado dos seguintes números complexos:

205


Unidade 5

Vale ressaltar que, sendo {z, z1, z

2} ⊂ , tem-se as seguintes

propriedades:

1) z ∈ IR ∴ z = z

2) 1 2 1 2z z z z+ = +

3) 1 2 1 2z z z z− = −

4) 1 2 1 2z . z z . z=

5) 1 12

2 2

z , z 0z

zz

= ≠

6) ( ) ( )nnz z ,n Z= ∈

Divisão

A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor desde que o divisor seja diferente de zero.

Pode-se escrever da seguinte forma:

21 12

22 2

. , 0z z z zz z z

= ≠

Exemplo:

Sendo z1 = 1+i e z

2 = 4-3i, calcule:

1

2

) zaz

Solução:1

22

12

2

1

2

1

2

1

2

(1 ) (4 3 ).(4 3 ) (4 3 )

4 3 4 316 12 12 94 7 3.( 1)

16 9.( 1)4 7 3

16 91 7

25

z i iz i iz i i iz i i iz izz izz iz

+ +=

− +

+ + +=

+ − −+ + −

=− −

+ −=

++

=

206


2

1

) zbz

Solução:

2

12

22

1

2

1

2

1

2

1

(4 3 ) (1 ).(1 ) (1 )

4 4 3 31

4 7 3.( 1)1 ( 1)

4 7 31 1

1 72

z i iz i iz i i iz iz izz izz iz

− −=

+ −

− − +=

−− + −

=− −

− −=

+−

=

Potências de i

Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-se obter um critério.

Observe a tabela 5.1:

Tabela 5.1: Potências de iExpoente (n) Potências de i (in)0 i0= 11 i1= i2 i2= -13 i3= i2.i=(-1).i=-i4 i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 5 i5= i4.i=1.i=i6 i6= i5.i=i.i=i2=-17 i7= i6.i=(-1).i=-i8 i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=19 i9= i8.i=1.i=i

Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um número natural n ≥ 4, dividindo n por 4 temos:

207


Unidade 5

Logo, pode-se escrever n = 4.q + r, com r∈ {0,1,2,3}.

Dessa forma, in = i4q+r=(i4)q.ir=1q.ir=ir .

Veja que para calcular as potências de i (in) cujo o expoente é maior ou igual a 4, basta dividir o expoente n por 4 e elevar i ao valor que corresponde ao resto da divisão, ou seja, o valor de r.

Exemplo:

Calcular o valor de:

a) i27

Solução:

Agora se escreve: i27= i3=-i

b) i529

Solução:

Logo: i529= i1=i

Que tal resolver alguns exercícios para reforçar a aprendizagem das operações estudadas até o momento?

208


1) Considere os números complexos z1 = 2-2i e z

2 = 1+3i e efetue

as seguintes operações:

a) (z1+z

2)2

Solução:

(z1+z

2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2

(z1+z

2)2 = (3+i)2

(z1+z

2)2 = 32+2.3.i+i2

(z1+z

2)2 = 9+6i+(-1)

(z1+z

2)2 = 8+6i

b) ( )22 1.z z

Solução:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

2

2 22 1

2 22 1

22 1

22 1

22 1

22 1

22 1

. 1 3 . 2 2

. (1 6i 9 ). 2 2

. (1 6i-9) . 2 2

. 8 6 . 2 2

. 16 16 12 12

. 16 4 12.( 1)

. 28 4

z z i i

z z i i

z z i

z z i i

z z i i i

z z i

z z i

= + +

= + + +

= + +

= − + +

= − − + +

= − − + −

= − −

2) Determine o número complexo z, tal que i.z (z z) 1 2i+ + = + .

Solução:

Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade

i.z (z z) 1 2i+ + = + temos:

209


Unidade 5

i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i

ai+bi2+2a = 1+2i

2a - b +ai = 1+2i

Utilizando-se a igualdade entre dois números complexos obtém-se:

2a b 1a 2− =

= Substituindo, tem-se:

Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i.

3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja um imaginário puro.

Solução:

Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i)2 tem-se:

(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi +9i2

(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi - 9

(2x+3i)2 = (4x2 -9) + 12xi

Você já sabe que para que um número complexo seja imaginário puro deve ter Re(z)=0 e Im(z) ≠ 0.

210


Logo:

Re(z)=0 Im(z) ≠ 0

4x2 -9 = 0 12x ≠ 0

4x2 = 9 x ≠ 0

x2 = 94

x =

32

±

Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja

imaginário puro deve ter 32

x = ± .

4) Determine o valor de 92 45

311

i ii+ .

Solução:92 45 0 1

311 3

i i i i 1 ii i i+ + +

= =−

.

Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão.

Agora será feita a divisão de 1 ii

+−

, multiplicando a expressão pelo

conjugado do denominador. Observe:2

2

1 i i i i 1 i. 1 ii i i 1

+ + − += = = − +

− −

Portanto, a expressão 92 45

311

i ii+ corresponde a 1 i− + .

5) Determine o conjugado do complexo 11 i .

1 i

−− +

Solução:

Lembre que, uma potência de expoente negativo equivale ao inverso da base com o expoente positivo, desde que o denominador seja diferente de zero.

211


Unidade 5

Assim, o número complexo 11 i

1 i

−− +

pode ser escrito da seguinte

forma 1 i1 i

+ −

.

Efetuando a divisão do número complexo temos:2

2

1 i 1 i 1 i 1 i i i 1 2i 1 2i. i1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2

+ + + + + + + − = = = = = − − + − +

Logo, z i e z i= = − .

SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos números complexos

O Plano de Argand-Gauss

Você já estudou que qualquer número real está associado a um ponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjunto numérico que também tem sua representação geométrica.

Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi está associado a um par de números reais (a,b).

Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto do plano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).

212



Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi

Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesiano ortogonal para representar o conjunto dos números complexos.

O plano em que são representados os elementos de é chamado plano de Argand-Gauss.

Que tal conhecer um pouco da história do plano de Argand-Gauss?

213


Unidade 5


Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticos Caspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand, descobriram que os números complexos admitiam uma representação geométrica. Gauss imaginava essa representação por meio dos pontos de um plano enquanto que Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetores coplanares.

Como Wessel e Argand tinham pouca representatividade seus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na época.

Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses números no plano cartesiano.

Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais (a,b) e reescreveu as definições geométricas de Gauss na forma algébrica.

Figura 5.4: Hamiltonwww.at-mix.de/hamilton.htm

Capturado em 23/07/06

214


Módulo e Argumento

Agora que você já sabe que um número complexo pode ser representado no plano, estudará a seguir o significado desta representação.


Figura 5.5: Módulo e argumento

A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada de módulo do número complexo z=a+bi, que se denota por |z|=ρ.

Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula:2 2a bρ = + .

Demonstração:

No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras, pois, trata-se de um triângulo retângulo:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2 2

OP OA AP

a b

a b

ρ

ρ

= +

= +

= +

Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações:acosθρ

= e bsen θρ

= .

215


Unidade 5

A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-se argumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z).

O argumento θ pertence ao intervalo de [ [0 2; π .

Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de alguns exercícios envolvendo módulo e argumento.

1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos e represente-os geometricamente.

a) z=1+i

Solução:

Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:

Re(z)=a=1 e Im(z)=b=1.

Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=

Agora, calcula-se o argumento θ:

1 22 22

2

acos

cos .

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

1 22 22

2

bsen

sen .

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem 2

2 é 45

4 rad ou π o .

Logo, θ = 454

rad ou π θ = o .

216


Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i

Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é

θ = 4

radπ e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica.

b) z=3i

Solução:

Identifica-se o valor de a e b:

Re(z)=a=0 e Im(z)=b=3

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2

2 20 3

0 9

93

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= +

= +

==

Calcula-se o argumento θ:

030

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

331

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

217


Unidade 5

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é

902

rad ou π o .

Logo, 902

rad ou πθ θ= = o .

Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i

Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é

θ = 2

radπ e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica.

c) z=-3

Solução:

Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:

Re(z)=a=-3 e Im(z)=b=0

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:

( )

2 2

2 23 0

9 0

93

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= − +

= +

==

218



331

acos

-cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

= −

030

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é 180 rad ou π o .

Logo, 180 rad ou θ π θ= = o .

Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3

Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento é θ = radπ e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica.

d) z= 3 i− +

Solução:

Identifica-se o valor de a e b:

Re(z)=a=- 3 e Im(z)=b=1.

219


Unidade 5

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:

( )

2 2

2 23 1

3 1

42

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= − +

= +

==


32

acos

-cos

θρ

θ

=

=

12

bsen

sen

θρ

θ

=

=

O ângulo cujo cosseno é 32

− e o seno 12

pertence ao 2o

quadrante, cujo arco simétrico no 1º quadrante é x=6

radπ , logo, deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante.

Fazendo a redução tem-se:

656

x

-

rad

θ ππθ π

πθ

= −

=

=

Desta forma 56

radπθ = .

Figura 5.9: Representação geométrica de z= 3 i− +

Você deve lembrar que já estudou esta redução na Unidade 2.

220


Portanto, sendo z= 3 i− + , seu módulo ρ = 2, o argumento é 56

radπθ = e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica.

2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento 53

radπθ = determine o número complexo na forma a+bi.

Solução:

Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores do seno e cosseno do argumento:

5 33 2

5 13 2

sen sen

cos cos

πθ

πθ

= = −

= =

Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco 53

radπθ = ao primeiro quadrante.

Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma:

12 32 3

32

acos

a

a

a

θρ

=

=

=

=

32 3

2 332

bsen

b

b

b

θρ

=

− =

= −

= −

Logo: 3 32 2

z i= − .

Forma trigonométrica ou polar de um número complexo

Agora que você já conhece o módulo e o argumento de um número complexo, poderá representá-lo numa forma denominada trigonométrica ou polar.

Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo ponto P(a,b).

221


Unidade 5

Você já sabe que acosθρ

= e bsen θρ

= .

Isolando a e b nas respectivas relações tem-se:a cos e b .senρ θ ρ θ= =

Substituindo em z=a+bi:

( )z cos sen .iz . cos isen

ρ θ ρ θρ θ θ

= +

= +

Portanto, ( )z . cos isenρ θ θ= + é a forma trigonométrica ou polar do complexo z.

Exemplos:

1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i.

Solução:

Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular o módulo e o argumento do complexo.

Cálculo do módulo:

2 2

2 22 2

4 4

8

2 2

a bρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=

=

Cálculo do argumento:

22 2122

2

acos

cos

cos

cos

θρ

θ

θ

θ

=

=

=

=

22 2122

2

bsen

sen

sen

sen

θρ

θ

θ

θ

=

=

=

=

222


Logo, 454

rad ou πθ θ= = o .

Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é:( )

2 24 4

z . cos isen

z . cos isen

ρ θ θ

π π

= +

= +

2) Escreva na forma algébrica o número complexo

z=5.(cos270º + i sen270º).

Solução:

Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º.

cos270º = 0 e sen270º = -1

Agora se substitui esses valores no complexo5.(cos 270º . 270º )5.[0 .( 1)]5.(0 )

5

z i senz iz iz i

= += + −= −= −

Portanto, a forma algébrica de 5.(cos 270º 270º )z isen= + é z=-5i.

Operações na forma trigonométrica ou polar

Multiplicação

Sejam os números complexos

z1 = ρ1(cosθ

1 + isenθ

1) e

z2 = ρ2(cosθ

2 + isenθ

2)

Efetuando a multiplicação entre z1 e z

2, tem-se:

z1. z

2 = ρ

1(cosθ

1 + isenθ

1) . ρ

2(cosθ

2 + isenθ

2)

z1. z

2=ρ

1. ρ

2(cosθ

1. cosθ

2 + icosθ

1. senθ

2+ isenθ

1. cosθ

2+ i2senθ

1.senθ

2)

z1. z

2=ρ

1. ρ

2[(cosθ

1.cosθ

2-senθ

1.senθ

2) + i(cosθ

1.senθ

2+ senθ

1.cosθ

2)]

223


Unidade 5

Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade 4, tem-se:

z1. z

2 =ρ

1. ρ

2[cos(θ

1+θ

2)+isen(θ

1+θ

2)]

Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos e somar os argumentos dos complexos.

Exemplo:

Efetue z1. z2, sendo 1 3z . cos i.sen3 3π π = +

e

22 22.(cos . )3 3

z i senπ π= + .

Solução:

Dos complexos retira-se os seguintes dados:

1 1

2 2

33223

e

e

πρ θ

πρ θ

= = = =

Substituindo-se esses dados em z1. z

2 =ρ1. ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]

tem-se:

( )

1 2

1 2

1 2

2 23 23 3 3 3

3 363 3

6

z .z . . cos isen

z .z . cos isen

z .z . cos isen

π π π π

π π

π π

= + + + = +

= +

Divisão

Sejam os números complexos

z1 = ρ1(cosθ

1 + isenθ

1) e z

2 = ρ

2(cosθ

2 + isenθ

2) com z

2 ≠ 0

224


Efetuando a divisão entre z1 e z2, tem-se:( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1 2 2 21 1 2

2 2 2 2 2 2 2 22

21 2 1 2 1 2 1 2 1 21

2 2 22 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 21

2

. cos isen cos isenz z z. .z z cos isen cos isenz

. . cos .cos cos .isen isen cos i sen senzz . . cos i .sen

. cos .cos sen sen i sen cos cozz

ρ θ θ ρ θ θρ θ θ ρ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ

ρ ρ θ θ

ρ θ θ θ θ θ θ

+ −= =

+ −

− + −=

−

+ + −=

( )

( ) ( )

1 2

2

1 11 2 1 2

2 2

s .sen

z . cos i.senz

θ θρ

ρ θ θ θ θρ

= − + −

Como você observa, novamente utilizam-se as transformações trigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que:

( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

z . cos i.senz

ρ θ θ θ θρ

= − + −

Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrair os argumentos dos complexos.

Exemplo:

Sendo z1 = 12(cos40º+isen40º) e z

2 = 2(cos10º+isen10º), calcule 1

2

zz

.

Solução:

Dos complexos retira-se os seguintes dados:1 1

2 2

12 402 10

e º e º

ρ θρ θ

= = = =

Substituindo esses dados em ( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

z . cos i.senz

ρ θ θ θ θρ

= − + − , tem-se:

( ) ( )

( )

1

2

1

2

12 cos 40 10 40 102

6 cos30 30

z . º º i.sen º ºzz º isen ºz

= − + −

= +

225


Unidade 5

Potenciação

Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ).

Tem-se que:

z2 = z.z

z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ)

Lembre-se que na multiplicação de números complexos, na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.

Então, se escreve:

z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ)

Para z3 pode-se escrever:

z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ)

z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ)

Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado ao expoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente.

É possível generalizar estes resultados por meio do teorema demonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre:

Teorema:

Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ).

226



Figura 5.10: Moivrewww.swlearning.com/.../bio8.2.html

Acesso em 25/07/06.

Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667 em Vitry-le-François, em Champagne na França. Era um matemático famoso pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria e pelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em 1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreu em 27 de novembro de 1754 em Londres.

Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre”Acesso em 25/07/06.

Exemplos:

1) Determine (1+i)8.

Solução:

Inicialmente devemos escrever o complexo na forma trigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e o argumento.

227


Unidade 5


2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=


122

2

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

122

2

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Logo, θ = 45º ou θ = 4

radπ.

Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica:( )2 cos 45 45z . i sen = +

Logo:

( ) ( )( )( )

88

8 4

8

8

2 cos 8 45 8 45

2 cos 360 360

16 1 0

16

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . i.

z

= +

= +

= +

=

Dessa forma, (1+i)8 = 16.

2) Qual é o valor de ( )103 i− ?

Solução:

Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se o módulo e o argumento.

228



( ) ( )

2 2

2 23 1

3 1

42

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= + −

= +

==


32

acos

cos

θρ

θ

=

=

12

bsen

-sen

θρ

θ

=

=

Logo, θ = 330º ou θ = 116

radπ pois, como você observa, fez-se a

redução ao primeiro quadrante.

Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica:

( )2 cos 330 330z . i sen = + .

Logo:

( )( )( )

10 10

10

10

10

10

2 cos10 330 10 330

1024 cos 3300 3300

1024 cos 60 60

1 310242 2

512 512 3

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . º i sen º

z i

z i

= +

= +

= +

= +

= +

Dessa forma, ( )103 i− =512 512 3 i+ .

229


Unidade 5

Radiciação

Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo, tal que: (zk)n = z.

Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z.


1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4.

Solução:

Deve-se mostrar que (zk)4 = z.

Tem-se que:

(zk)4 = (1+i)4

Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência.

Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.

Cálculo do módulo:2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=


122

2

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

122

2

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=


radπ .

230


Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica:

( )2 cos 45 45kz . i sen = +

Logo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

44

4 2

4

4

2 cos 4 45 4 45

2 cos180 180

4 1 0

4

k

k

k

k

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . - i.

z -

= +

= +

= +

=

Então, 1+i é a raiz quarta de -4.

2) Encontre as raízes quadradas de z 4 4 3 i= + .

Solução:

Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica.

Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.


( )

2 2

224 4 3

16 16 3

648

a b

.

ρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= +

= +

==


4812

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

4 383

2

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

231


Unidade 5


radπ.

Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica:

83 3

z . cos i sen π π = +

Note que o problema é encontrar zk ∈ tal que (z

k)2 = z.

Escrevendo-se zk=ρ.(cosθ + i senθ).

Logo:

(zk)2 = z

( ) 28

3 3. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +

Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem:

( )2 2 2 83 3

. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +

Essa igualdade se estabelece quando:2 8

2 2

ρ

ρ

=

=

e 2 23

6

k. , k Z

k. , k Z

πθ π

πθ π

= + ∈

= + ∈

Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros

para k:

Se k=0, 6πθ = , pois temos 0

6 6. π πθ π= + = .

Logo:

0

0

0

2 26 6

3 12 22 2

6 2

z cos isen

z i.

z i

π π = +

= +

= +

Se k=1, 76πθ = , pois 71

6 6 6.π π πθ π π= + = + = .

232


Logo:

1

1

1

7 7z 2 2 cos isen6 6

3 1z 2 2 i.2 2

z 6 2 i

π π = + −

= −

= − −

Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fez-se redução ao primeiro quadrante.

Se k=2, temos que 1326 6

.π πθ π= + = .

Perceba que 136π é um arco côngruo a

6π e, dessa forma, o

número complexo que seria encontrado coincidiria com o complexo z0, a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessário atribuir outros valores para k.

Finalizando, as duas raízes quadradas de 4 4 3z i= + são 0 6 2z i= + e 1 6 2z i= − − .

Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula:.2 .2cos .n

kk kz i senn n

θ π θ πρ + + = +

, onde n é o índice da raiz

procurada.

Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre.

Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão. Note o exemplo a seguir:

3) Determinar as raízes cúbicas de z=8.

Solução:

Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é:.2 .2cos .n

kk kz i senn n

θ π θ πρ + + = +

233


Unidade 5


2 2

2 28 0

648

a bρ

ρ

ρρ

= +

= +

==


881

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

080

bsen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Logo 0θ = .

Portanto a forma trigonométrica do complexo é 8(cos 0 0)z isen= + .

Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma:

3

.2 .2cos .

0 2 0 28 cos .3 3

2 22. cos .3 3

nk

k

k

k kz i senn nk kz i sen

k kz i sen

θ π θ πρ

π π

π π

+ + = +

+ + = +

= +

O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe:( ) ( )0

1

2

0 2. cos 0 0 2. 1 .0 2

2 2 1 31 2. cos 2. 1 33 3 2 2

4 4 1 32 2. cos 2. 1 33 3 2 2

k z isen i

k z isen i i

k z isen i i

π π

π π

= ⇒ = + = + =

= ⇒ = + = − + = − + = ⇒ = + = − − = − −

234


Representação geométrica:

Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8

Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre uma circunferência, pois temos que as imagens das n raízes de um número complexo, para 3,n ≥ são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos numa circunferência de centro na origem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que

3 8 2r = = .

A Física com os Números Complexos

Os números complexos são muito úteis para realizar operações geométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha com grandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, a correspondência entre as operações com os números complexos e as transformações geométricas são muito úteis.

Representação Vetorial

Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo do número complexo z=a+bi. Este ponto individualiza um vetor com origem em z = 0.

235


Unidade 5

Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi

O número complexo z pode ser concebido como o segmento orientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pela translação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i.

Figura 5.13: Representação do complexo z = 3+3i

236


As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais. Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7).

Figura 5.14: Adição de números complexos

Multiplicar um número complexo por i, corresponde a girar 90º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem desse complexo.

Acompanhe o exemplo:

(5+2i).i = 5i + 2i2 = -2 +5i

Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15:

Figura 5.15: Representação do complexo z = -2+5i

237


Unidade 5

Conheça agora como surgiram os números complexos.


Os números complexos surgiram em meados do século XVI com o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando a fórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações do tipo 3 0x ax b+ + = .

A equação resolvida foi 3 15 4 0x x− − = , que aplicando a fórmula de

Cardano 3 2 3 2

3 3

2 27 4 2 27 4b a b b a bx = − + + + − − + ele

obteve o seguinte resultado:3 32 121 2 121x = + − + − − .

A existência de um radicando negativo era um sinal de que o problema que gerou essa equação não teria solução. Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação

3 15 4 0x x− − = , que x=4 era uma solução.

Embora considerando impossível a existência de 121− , Bombelli teve que admitir a utilidade desse número como ferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever

121− de outra forma: ( )121 121. 1 11. 1− = − = − .

Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízes quadradas de números negativos; fazendo

( )21− =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardano

funcionava perfeitamente em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus resultados.

Assim, passou a desenvolver regras para operar com esses novos entes matemáticos, chamando-os de “números fictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou “números imaginários”.

Foi Euler, mais tarde, que substituiu 1− pela letra i, dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto numérico: O conjunto dos números complexos.

238


Síntese

Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece um novo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos.

É importante que você tenha percebido que, no conjunto estudado, os números apresentam duas representações: algébrica e trigonométrica.

Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidas são adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adição e subtração, mas trabalha-se com a radiciação.

Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, com certeza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão para o desenvolvimento de suas atividades como profissional da educação.

É importante que você verifique, no EVA, se suas atividades estão todas prontas e revisadas.


1) Resolva as equações no universo dos números complexos:

a) x2 + 4 = 0

b) x2 – 4 x + 5 = 0

239


Unidade 5

2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .

3) Determine x e y, para que o número complexo

z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja:

a) um número real.

b) Um número imaginário puro.

4) Calcule:

a) (2 + 3i) + (2 – i)

b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)

c) ( )2 1 4 23 2

i i i + − − + −

240


5) Efetue:

a) (2 – i).(1 + 3i)

b) 1 1.2 2

i i + −

c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)

6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:

( )2

2)2

4 2)2 21

)2

iai

ibi

ic

i

− +

+−

+−

7) Qual o conjugado do número complexo 3

1 2z

i=

+?

241


Unidade 5

8) Determine o valor real de x para que o produto

(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.

9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.

10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .

11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*.

12) Simplificando 101 50

100 49

(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2)

i ii i

+ −− − −

, obtém-se:

242


13) Se 38 3

2

(10 ).(1 )

i i izi

+ −=

−, determine 2ρ .

14) Se k é um número real e o argumento de k 2iz3 2i

+=

− é 45º, então

calcule |z|.

15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se

o argumento de z é 270º, então calcule 1z

.

16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.

243


Unidade 5

17) Sendo z1=

4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º)

determine z1.z

2.

18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z

2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o

valor de 2

1

zz

?

19) Calcule:

a) (1 – i)6

b) 100

1 32 2

i

− +

244


20) Calcule:

a) As raízes quadradas de 2 3z i= + .

b) As raízes quartas de z=-4.

Desafios em números complexos

1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:

2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i)200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é:

245


Unidade 5

3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6=1. Qual a área deste polígono?

Saiba mais

Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre os conteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa na Internet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Para isso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações de Números Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações. Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meio da ferramenta Exposição.

Para concluir o estudo

Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar uma mensagem para você, futuro professor de Matemática, realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados, no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula.

O exercício de sua futura profissão requer o conhecimento de todos os conteúdos de Matemática estudados no seu curso, porém, você deve ir além dos conteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereça ao aluno oportunidades para uma educação de qualidade.

Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégias metodológicas, relacionadas com o uso de diferentes mídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessa disciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modo geral, em especial softwares educacionais. O uso de softwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma, inova o ensino da Matemática.

Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para sua formação.

Sucesso!!!

Sobre os professores conteudistas

Eliane Darela

Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Administração e Matemática. É, também, professora de Matemática do Ensino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989.

Paulo Henrique Rufino

Especialista em Matemática Superior pela Fundação Educacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos da Matemática, Licenciatura em Química, Administração, Tecnologia em Gestão de Agronegócios e Gestão Estratégica das Organizações. É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplina Matemática Financeira. Atua, também, como professor de Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede Pública Estadual, desde 1991.

Rosana Camilo da Rosa

Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Química Industrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência da Computação e Matemática. É professora do Ensino Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISUL e, também, atua como professora de Matemática no Ensino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989.

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação

Unidade 1

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.

Solução:

Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é

retângulo, tem-se 30oÂ = , , AC a= , 2aHC = e AH h= .

No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras para obtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.

22 2

22 2

22

2

434

32

aa h

aa h

a h

ah

= +

− =

=

=

252


. 12sen 30º2

3. 32cos30º

2

. 1 1 3 3230º .. 33 3 3 3

2

acat opostohipotenusa a

acat adj

hipotenusa aa

cat opostotgcat adj a

= = =

= = =

= = = = =

3. 32sen 60º

2

. 12cos 60º2

3. 260º 3

.2

acat opostohipotenusa a

acat adj

hipotenusa a

acat opostotg acat adj

= = =

= = =

= = =

2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?

Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se:

30oB∧

= , . 18cat oposto = , . .cat adj c= e hipotenusa a= .

253


Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidas solicitadas no problema.

18 1 18sen 30º 362

3cos30º 2 36 3 18 336 2 36

aa ac c c c

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:

a)

Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidas solicitadas x e y, tem-se:

9cos 60º

1 92

18

x

xx

=

=

=

sen 60º

32 18

9 3

yx

y

y

=

=

=

b)

254


Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidas solicitadas x e y, dessa forma, tem-se:

2 3sen 60º

3 2 32

4

y

yy

=

=

=

2 360º

2 33

2

tgx

xx

=

=

=

4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:

Reescrevendo o trapézio, tem-se:

Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe:

1345º

2 132

26 2.2 2

13 2

cosx

x

x

x

=

=

=

=

255


Agora, para encontrar o valor de y tem-se:

45º13

11313

ytg

y

y

=

=

=

5) Observando a seguinte figura, determine:

a) O valor de a;

b) O valor de b;

c) A medida do segmento AD.

a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja:

25º100

0,466100

46,6

atg

a

a

=

=

=

b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente:

46,670º

46,62,75

46,62,7517

tgb

b

b

b

=

=

=

=

256


c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma:

AD = AB – DB

AD = 100 - b

AD = 100 – 17

AD = 83

6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:

Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão cosseno no ∆ADB:

4cos 45º

2 42

2 8

8 2.2 2

4 2

DB

DBDB

DB

DB

=

=

=

=

=

Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC.

2 230º

3 2 23

3 6 2

6 2 3.3 3

2 6

tgy

y

y

y

y

=

=

=

=

=

30º4 2

12 4 22 4 2

2 2

xsen

x

x

x

=

=

=

=

257


7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC.

Observando a figura, tem-se que:

A DC 120º , logo C 30ºdessa forma o ADC é isósceles.

∧ ∧

= =∆

Assim, pode-se escrever que 40cmAD DC= = .

Logo, o é retânguloBDC∆ é retângulo.

Portanto,

sen 60º40

32 40

20 3

x

x

x

=

=

=

8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.

De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa a largura do rio:

258


O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos:

60 360º

60 33

60

tgd

dd m

=

=

=

Logo, a largura do rio é de 60 metros.

9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?

Note que, de acordo com a figura para resolver este problema, usaremos a razão tangente:

64º30

2,0530

30.2,0561,50

htg

h

hh m

=

=

==

Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros.

10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C?

259


De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representa a distância procurada:

Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para a resolução do problema:

sen 45º4

22 4

2 4 2

2 2

x

x

x

x km

=

=

=

=

A distância procurada é de 2 2 km .

11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo.

A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura do prédio e x a distância do estudante ao prédio:

Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se:

^

120º log

30º

B DC o

B

∧

=

=

260


Dessa forma, 20CD DB m= = .

O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno para o cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x:

60º20

32 20

2 20 3

10 3

hsen

h

h

h

=

=

=

=

cos 60º20

12 20

10

x

x

x

=

=

=

Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m de distância do prédio.

12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm .

Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC é um triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e a medida de um de seus lados.

3 3sen 45º sen 60º.sen 60º 3 3.sen 45º

3 3 3. 2.2 23 2

x

x

x

x

=

=

=

=

13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que: MP=10 2 cm; med(

^M )=60º e med(

^P )=75º.

261


Usando o teorema angular de Tales, temos:

^ ^ ^ ^ ^

180º 60º 75º 180º 45ºR M P R R+ + = ⇒ + + = ⇒ =

Aplicando a Lei dos Senos, temos:


2 3. 10 2.2 210 3

x

x

x

x

=

=

=

=

14) Determine o valor de x na figura abaixo:


^ ^ ^

^

^

^

180º

105º 30º 180º

180º 135º

45º

A B C

B

B

B

+ + =

+ + =

= −

=

Aplicando a Lei dos Senos, temos:


1 2. 5 2.2 2

10

x

x

x

x

=

=

=

=

262


15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?

No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer, onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo.

2 2 2

2

2

2

1 2 2.1.2.cos 60º11 4 4.2

5 23

3

x

x

xx

x

= + −

= + −

= −

=

= No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC,

para podermos calcular o perímetro.

30º3

33 3

3 91

3cos30º

3 32

2

1 2 1 26

atg

a

aa

b

bb

P AD DC CB BAPP

=

=

==

=

=

=

= + + += + + +=

263


16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo?


180º

60º 75º 180º

45º

A B C

C

C

∧ ∧ ∧

∧

∧

+ + =

+ + =

=

Aplicando a Lei dos senos, temos:

18 260º 45º

. 45º 18 2. 60º

2 3. 18 2.2 218 3

xsen senx sen sen

x

x

=

=

=

=

17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menor ângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo.

264


Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos:

2 2 2

2

2

2

8 8 2.8.8.cos 60º164 64 128.2

64 64 6464

8

x

x

xxx cm

= + −

= + −

= + −

==

18) Prove a lei dos cossenos quando:

a) o ângulo Â for reto

Demonstração

b) o ângulo Â for obtuso

Demonstração

19) Prove a lei dos senos quando:

a) o ângulo Â for reto

Demonstração

b) o ângulo Â for obtuso

Demonstração


1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?

73 73

83 83

ca c a

cb c b

= ⇒ = = ⇒ =

265


Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se:

^2 2 2

2 22

2 2 22

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2. . .cos

7 8 82. . .cos3 3 3

49 64 16 .cos9 9 3

49 64 9 48 .cos

49 73 48 .cos

24 48 .cos24cos481cos2

60º

a b c b c A

c c cc c A

c c c Ac

c c c c A

c c c A

c c A

A

A

A

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

= + −

= + −

= + −

= + −

− = −

− = −

=

=

=

2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

De acordo com o enunciado do problema, temos:

266


Aplicando a Lei dos cossenos, temos:

2 2 2

2

2

2

50 80 2.50.80.cos 60º12500 6400 8000.2

8900 40004900

70

x

x

xxx m

= + −

= + −

= −

==

Unidade 2

1) Expresse em graus (º):

a) 53π rad

b) 43π rad

c) 76π rad

d) 9π

rad

Solução:

Para transformar de radiano para graus, basta substituir radπ por 180º .

1.a) 53

5.180º 5.60º 300º3

radπ

= =

1.b) 4 4.180º 4.60º 240º3 3

radπ= = =

1.c) 7 7.180º 7.30º 210º6 6

radπ= = =

1.d) 180º 20º9 9

radπ= =

267


2) Expresse em radianos(rad):

a) 20º

b) 315º

c) 120º

d) 67º30´

Solução:

Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por 180º

radπ.

2.a) 20º

20º.

180º 9rad radπ π

=

2.b) 315º

35 7315º.180º 20 4

rad rad radπ π π= =

2.c) 120º

2120º.

180º 3rad radπ π

=

2.d) 67º 30́

1º 60́67º x

→→

´67º .60 40201º

x′

′= =

Logo, 67º 30́ 4020́ 30́ 4050́= + = .

1º 60́180º y

→→

180º.60 108001º

y′

′= =

268


Portanto,

10800́4050́

radzπ→

→

4050 .108008121692438

z rad

z rad

z rad

z rad

π

π

π

π

′=

′

=

=

=

3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14.

103,1422.3,14.1062,8

r cm

C rCC cm

ππ

=====

4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km.

Como o diâmetro vale:

d= 100cm

Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m

A distância a ser percorrida é de 14,13 14130km m= e o comprimento de uma roda de bicicleta é igual a

2. . 2.3,14.0,5 3,14C r C C mπ= ⇒ = ⇒ = .

Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e o comprimento da roda.

Número de voltas = 14130 45003,14

= .

269


5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é:

Dados do problema:

360º

?Aplicando a fórmula, temos :

2. . .360º. .

180º3,14.60º .3

180º3,14

r cm

l

rl

rl

l

l cm

α

π α

π α

==

=

=

=

=

=

6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:

a) 1550º

Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo:

Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550º é 110º, que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que a extremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante.

b) 956π rad


95

6π 84 11 1114

6 6 6π π ππ= + = +

270


Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de

95

6radπ

é 11

6radπ

que é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se

concluir que a extremidade do arco de 95

6radπ

está no 4o quadrante.

c) -65

6π

rad


-65

6π 60 5 410

6 6 6π π ππ= − − = − −

Tem-se que 23

radπ− é a primeira determinação negativa do arco e

devemos achar a primeira determinação positiva:

2 423 3

radπ ππ − =

Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de

65

6radπ

− é 43

radπ que é um arco do 3o quadrante, logo pode-

se concluir que a extremidade do arco de 65

6radπ

− está no 3o quadrante.

7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:

a) -760º

Vamos dividir 760º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva−

Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim a primeira determinação positiva é 360º-40º=320º.

Logo, a expressão geral será:

EG=320º+k.360º, k∈Z

b) 3120º

Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva

271


Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º.

Logo, a expressão geral será:

EG=240º+k.360º, k∈Z

c) 15

2π

rad

15 15 3Vamos representar o número rad por 62 2 2

3 é 1ªdeterminação positiva2

3 2 , .2

EG k k Z

π π ππ

π

π π

= +

= + ∈

d) -25

4π

rad

25 25Vamos representar o número por 64 4 4

Como - rad é a primeira determinação negativa, vamos encontar a1ª determinação positiva:4

8 72 .4 4 47 25rad é 1ªdeterminação positiva de rad 4 4

Assim, a e

Logo

π π ππ

π

π π π ππ

π π

− − = − −

−− = =

−

xpressão geral será:7EG 2k , k Z.4π π= + ∈

8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa.

Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva.

Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º

Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa.

Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º.

272


9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 152π rad.

Vamos representar o número por

é a primeira determinação positiva

Logo a expressão geral é3 22

15 15 362 2 2

3 rad .2

:

EG k ,k Z.

π π ππ

π

π π

= +

= + ∈

10) Identifique quais pares de arcos são côngruos?

a) 3π

rad e 30

3π

rad

Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de 30

3π

rad que é 0 rad, pois .

30 10 03

radπ π= + .

Logo, esse par de arcos não é côngruo.

b) – 30º e 330º

Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é 360º-30º=330º.

Logo, esse par de arcos é côngruo.

c) 2º e 1082º

Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, que é 2º, pois,

Logo, esse par de arcos é côngruo.

11) Determine:

1) sen 390º sen(360º 30º ) sen 30º2

2) cos 1845º cos(1800º 45º ) cos 45º2

5 5 3) 23 3 3 2

3) sen 600º sen(360º 240º ) sen 240º sen(240º 180º ) sen 60º2

) cos 480º cos(360º 120º ) cos120º cos(180

a

b

c sen sen sen

d

e

π π ππ

= + = =

= + = =

= − = − = −

= + = = − = =

= + = =1º 120º ) cos 60º2

− = =

273


Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcos côngruos e a redução ao 1º quadrante.


a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º

( )330º 2.cos 0º 60º360º 330º 2.cos 0º 60º30º 2.cos 0º 60º

1 32.12 25 3 .

2

A sen senA sen senA sen sen

A

A

= − +

= − − +

= − − +

= − − +

− +=

b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= 2π

.

Substituindo x por 2π

, tem-se:

3 cos8 cos 22

3. cos8. cos 2.2 2 2

3 cos 4 cos2

3 cos 2 cos2

1 1 ( 1)1

B sen x x x para x

B sen

B sen

B sen

BB

π

π π π

π π π

π π π

= + − =

= + −

= + −

= + −

= − + − −=

c) C = 7sen cos 33

13sen 6

π π

π

−

274


Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcos côngruos.

( )6sen cos 23 3

12sen6 6

sen cos3

sen6

3 3 2( 1)2 2 3 2.1 1

2 2

C

C

C

π π π π

π π

π π

π

+ − + =

+

−=

+− −

= = = +


Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?

Dados do problema:

r1=9cm

r2=2cm

Calcula-se o comprimento da circunferência C2:

2

2

2. . r2. .2 4

CC cm

ππ π

== =

Observe a figura:

275


1

1

2. .2. .9 18

Agora encontra-se o valor do arco x:18 360º4

360º.4 20º.4 80º18 1

C rC

x

x

ππ π

ππ

ππ

== =

→→

= = =

Logo, o valor do ângulo central é 80º.

Unidade 3

1) Determine:

37 36 3)6 6 6 6 3

a tg tg tgπ π π π = + = =

7 4 3 3) cot cot cot 02 2 2 2

b g g gπ π π π = + = =

5 5 3 3 12 24 4 4 4 4 2

2

c )sec sec sec sec secπ π π π ππ π − = − = = − = − = − = −

31 24 7 7 7 1 216 6 6 6 6 62

d ) cos ec cos ec cos ec cos ec cos ecπ π π π π ππ = + = = − = − = − = −

5 52 33 3 3

e ) tg tg tgπ π ππ = − = − = −

276


2) Qual o sinal da expressão:

3. 03 4

5.3 6

tg tg tgy

tg tg

π π

π π

−=

− −

.

( )

3. 03 4

5.3 6

. 03 4

5 7.3 6

3 . 1 01

.3 63

33.3

3

tg tg tgy

tg tg

tg tg tgy

tg tg

ytg tg

y

y

π π

π π

π π

π π

π π

−=

− −

− − =

− −=

−

−=

−

=


a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π .

Substituindo x por 2π , temos:

3 8 2sen cos2 2 2

3sen cos 42

1 1 0 0

A tg

A tg

A

π π π

π π π

= + −

= + −

= − + − =

b)

7sen cos 33B 13tg

6

π π

π

−=

277


( ) ( )

6sen cos(2 )3 3

126 6

sen cos3

63 3 2( 1) 3 2 3 23 3 3 3 2 32 2 . . .

2 2 23 3 3 3 33 3

Btg

Btg

B

π π π π

π π

π π

π

+ − + =

+

−=

+− − + + +

= = = = =

4) Que número é maior: 3 5 ?4 6

tg ou tgπ π

3 14 4

5 36 6 3

tg tg

tg tg

π π

π π

= − = −

= − = −

Esses valores foram obtidos utilizando redução ao primeiro quadrante.

Logo, 5 3 .6 4

tg tgπ π>

5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções:

) 2 sen

) 2.cos4

) 3 sen 2

a y xxb y

c y x

= − +

=

= −

Neste exercício sugere-se a utilização do software GRAPH 4.1. Observe as análises feitas no exercício 6.

278


6) Analisando os gráficos:

2y sen x=

279


2 cosy x= +

280


2xy tg =

Responda os itens a seguir:

a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?

b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?

c) Em que intervalo a função 2y sen x= é negativa?

d) Em que intervalo a função 2 cosy x= + é positiva?

e) Qual o período da função 2xy tg =

?

281


[ ]

22

22

2 1 12 1 3

23 2

2 20 2

2

a ) y sen x D Ry cos x D R

xy tg D { x R / x k }

b ) y sen x Im [ , ]y cos x Im [ , ]

xy tg Im ] , [

c ) ; e ,

d ) ;e ) P

π π

π ππ π

ππ

= == + =

= = ∈ ≠ +

= = −= + =

= = − ∞ ∞

=

7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7.

Sabe-se que 1 sen 1x− ≤ ≤ , tem-se:

( )

1 11 3 7 1

7 1 3 7 7 1 76 3 8 36 3 83 3 3

823

senxk

kkk

k

− ≤ ≤− ≤ − ≤

− ≤ − + ≤ +

≤ ≤ ÷

≤ ≤

≤ ≤

Logo: 8| 23

k R k ∈ ≤ ≤

8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x?

( ) 5 cos51

5 1 45 1 6

Im [4,6]

f x xaba ba b

= +==− = − =+ = + =

=

282


9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação

horária y(t) 4 3.cos t4π π = + +

, em que t é o tempo transcorrido,

em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir:

a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;

b) qual o ponto de partida do corpo?

O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0:

(0) 4 3.cos .0

4(0) 4 3.cos(0) 1

y

yy

π π

π

= + +

= +=

A extremidade a estava a 1cm da parede.

283


c) qual o seu período de oscilação?

2 2 8 segundos

4

Pmπ π

π= = =

d) Qual a amplitude do movimento?

Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela função do valor mínimo:

7-1 = 6cm.

10) Determine o domínio de cada uma das funções:

( )

) 54

54 2

20 2 44 4

20 3 43 420 20320 5

3{ / }20 5

) cot2

2

2

{ / }2

) sec 3

32

6 2 22 2

6 3 2

{2 3

a y tg x

x k

x k

x kkx

x k

D x IR x k

b y g x

x k

x k

D x IR x k

c y x

x k

x k

x k

x k D x I

π

π π π

π π π

π ππ π

π π

π π

π

π π

π π

π π

πππ π

π π π

π ππ π

= −

− ≠ +

− +≠

≠ +

≠ +

≠ +

= ∈ ≠ +

= +

+ ≠

≠ − +

= ∈ ≠ − +

= −

− ≠ +

− +≠

≠ +

≠ + = ∈ / }2 3

) cos 23

23

6 33 3

6 3

{ / }6 2 6 2

R x k

d y ec x

x k

x k

x k

x k D x IR x k

π π

π

π π

π π

π ππ π π π

≠ +

= +

+ ≠

+≠

≠ − +

≠ − + = ∈ ≠ − +

284



y tg =

?

Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar 1arccos e usar a definição.2

x=

Logo, o arco cujo cosseno vale 12

é 3

x radπ= .

Portanto, 22 3

3 3y tg tgπ π = = = −

.

12) Encontre o valor de 32. arcsen2

y tg

=

.

Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar

3 e usar a definição.2

arcsen x=

Logo, o arco cujo seno vale 32

é 3

x radπ= .

Portanto, 2 22 3

3 3 3 3y tg tg tg tgπ π π ππ = = = − = − = −

.

13) Determine o valor de 33 .

3y arctg arctg= +

Para calcular o valor de y, vamos considerar:

333

33 .3

, .3 6

arctg a e arctg b

tg a e tg b

Logo a ebπ π

= =

= =

= =

285


Portanto, 3 6 2

y π π π= + = .


1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função

315 5

12 2y(t) sen tπ π = + +

onde t indica o tempo (em horas)

decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) no instante t. Detemine:

a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);

286


b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperatura ocorreu no primeiro dia de observação.

A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se:

315 512 2

312 15 5 1212 2512 15 52

12 15 5 112 20

y(t) sen t

y( ) sen .

y( ) .sen

y( ) .y( )

π π

π π

π

= + +

= + +

= +

= +=

A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-se às 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15.

2) (Mack-SP) O valor de 3 1 35 arcsen

3 4 2tg arctg

−

pode ser dado

por:

a) 0

b) 1

c) 12

d) -1

e) 12

−

3 3Vamos considerar arctg a e arcsen b e aplicando a definição das funções circulares3 23 3inversas teremos tg a e senb .

3 2

Logo, a e b .6 3

1 5 3 3Portanto, tg 5. . tg tg tg - tg 1.6 4 3 6 12 4 4 4

π π

π π π π π π ππ

= =

= =

= =

− = − = = = − = −

3) O valor de 1 12 3 arcsen arccos2 2

arctg + + é:

a) 56π

287


b) 2π

c) 6π

d) 76π

e) π

Vamos considerar e e aplicando a definição das funções

circulares inversas, tem -se : e

Logo,3 6 3

Portanto,6 3

1 1arctg 3 a,arcsen b arccos c2 2

1 1tg a 3 ,senb cosc .2 2

a ,b e c .

72. rad3 6

π π π

π π π π

= = =

= = =

= = =

+ + =

Unidade 4

1) Sabendo que 1sen2

x = − e que 32

x ππ < < , então determine o valor de cos x.

Para determinarmos o valor do cos x, vamos usar a 1ª relação fundamental da trigonometria.

22 2 2 2 2 2

2

1 3 cos ?2 2

1 1cos 1 cos 1 cos 1 cos 12 4

3 3cos cos4 4

Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos:

3cos .2

senx com x x

sen x x x sen x x x

x x

x

ππ= − < < =

+ = ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒

= ⇒ = ±

= −

288


2) Sabe-se que 35

sen x = − e 3 x 22π π< < . Qual o valor da cotg x?

Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relação fundamental da trigonometria:

2 2

22

2

3 3 25 21

315

9125

1625

1625

45

44 55

3 5 35

x

senx com x cot gx ?

cos x sen x

cos x

cos x

cos x

cos x

cos x

cos xUsaremos, agora, a relação cot gx para encontrar o valor da cotg x : senx

cos xcot gx .senx

π π= − < < =

= −

= − −

= −

=

= ±

=

=

= = = −−

43

. = −

3) Sabendo que 3

2sen x = e x

2π π< < , determine o valor da expressão

2 2sec cos .x x+

289


2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

3 sec cos ?2 2

Calcularemos, primeiramente, o cos :cos 1cos 1

3cos 12

3cos 14

1cos4

1cos4

Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que:1cos2

Na seqüênci

senx com x x x

xx sen xx sen x

x

x

x

x

x

π π= < < + =

+ =

= −

= −

= −

=

= ±

= −

22 2 2

1a, utilizando sec , tem se:cos

1seccos1sec 12

sec 2Substituindo os valores encontrados na expressão:

1 1 16 1 17sec cos ( 2) 4 .2 4 4 4

xx

xx

x

x

x x

= −

=

=−

= −

+ + = − + − = + = =

290


4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cossen x x= − e que

2

xπ π< < ?

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

?cos ?

2cos2

Substituindo -2cos na relação trigonométrica fundamental tem-se:cos 1

2cos cos 1

4cos cos 15cos 1

1cos5

1cos5

Observando o quadrante do arco tem

senxx

senx x com x

xsen x x

x x

x xx

x

x

x

π π

==

= − < <

+ =

− + =

+ =

=

=

= ±

-se:

5cos5

52.cos 2.5

2 5 .5

x

senx x senx

senx

= −

= − ⇒ = − −

=

5) Se 5sec3

x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

( )2 216 cot cosA g x ec x= + .

2 2

2 2

2 2

5sec 1º 16.(cot cos ) ?3

1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :cos

5sec3

1 5cos 35cos 3

3cos5

Agora, calcularemos o sen :sen cos 1sen 1 cos

x x quadrante A g x ec x

x xx

x

xx

x

xx xx x

sen

= ∈ = + =

=

=

=

=

=

+ =

= −2

2

2

2

3159125

1625

1625

45

Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :coscot

33 5 35cot .4 5 4 4

51cos

1 5cos 4 45

Substituindo os

x

sen x

sen x

senx

senx

x x x xxgx

senx

gx

ecxsenx

ecx

= −

= −

=

= ±

=

=

= = =

=

= =

valores encontrados na expressão tem-se:

291


2 2

2 2

2 2

5sec 1º 16.(cot cos ) ?3

1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :cos

5sec3

1 5cos 35cos 3

3cos5

Agora, calcularemos o sen :sen cos 1sen 1 cos

x x quadrante A g x ec x

x xx

x

xx

x

xx xx x

sen

= ∈ = + =

=

=

=

=

=

+ =

= −2

2

2

2

3159125

1625

1625

45

Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :coscot

33 5 35cot .4 5 4 4

51cos

1 5cos 4 45

Substituindo os

x

sen x

sen x

senx

senx

x x x xxgx

senx

gx

ecxsenx

ecx

= −

= −

=

= ±

=

=

= = =

=

= =

valores encontrados na expressão tem-se:

2 2

2 2

16.(cot cos )

3 516.4 4

9 2516.16 16

4116.16

41.

A g x ec x

A

A

A

A

= +

= +

= +

=

=

292


6) Se 13

sen x = , com 0 ≤ x ≤ 2π , calcule o valor da expressão

cotsec costgx gxy

x x+

=−

.

Inicialmente, simplifica-se a expressão cot

sec costgx gxy

x x+

=−

utilizando as relações trigonométricas estudadas:

2 2

2

sen coscos sen

1 coscossen cos

sen .cos1 cos

cos

x xx xy

xxx xx xy

xx

+=

−

+

=−

Como 2 2sen cos 1x x+ = e 2 21 cos senx x− = , tem-se:

2

2

3

3

1.cos

cos1 cos..cos

1

Substituindo o valor do sen , tem-se:1 1 27.11

273

senx xysen x

xxy

senx x sen x

ysen x

x

y

=

=

=

= = =

7) Calcule o valor de 2cos cossec .sec

1ec x x xy

tgx−

=−

, dado 14

sen x = .

Inicialmente, simplifica-se a expressão 2cos cos .sec

1ec x ecx xy

tgx−

=−

utilizando as relações trigonométricas estudadas:

293


2

2

2

2

22

11 1 1

1

1 1 111

164

cos ec x cos ecx.sec xytgx

.sen x senx cos xy senx

cos xcos x senxsen x.cos xy cos x senx

cos xcos x senx cos xy .sen x.cos x cos x senx

Substituindo o valor do sen x, tem-se:

ysen x

−=

−

−=

−

−

=−

− = −

= = = =

16.

8) Se 5sec3

x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

2 225.cos 16.cot .A x g x= −

2 2

2 2

2 2

5sec 1º 25.cos 16.cot3

1Utilizando a relação secx calcula-se o cosx:cosx

5sec3

1 5cos 35cos 3

3cos5

Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen cos 1: sen cos 1

x x quadrante A x g x

x

xx

x

x xx x

= ∈ = −

=

=

=

=

=

+ =

+ =2

2

2

2 2

2 2

3 sen 15

1625

1625

45

Obtêm-se o valor da cotgx:coscot

33 5 35cot .4 5 4 4

5Substituindo os valores na expressão tem-se:

25.cos 16.cot

3 325. 16.5 4

25.

x

sen x

senx

senx

xgxsenx

gx

A x g x

A

A

+ =

=

= ±

=

=

= = =

= −

= −

=9 916.25 16

9 90.

AA

−

= −=

294


9) Determine:

) 105º

3 2 2 1 6 2105º (60º 45º ) 60º .cos 45º 45º.cos 60º . . .2 2 2 2 4

) 75º

3 3 3145º 30º 3 3 3 3 12 6 33 375º (45º 30º ) . 2 3.1 45º. 30º 63 3 3 3 3 3 31 1.

3 3)cos15º

cos15º cos (45º 30º ) co

a sen

sen sen sen sen

b tg

tg tgtg tgtg tg

c

+= + = + = + =

+++ + + +

= + = = = = = = +− − − +

−

= − =2 3 2 1 6 2s 45º.cos30º 45º. 30º . . .

2 2 2 2 4sen sen +

+ = + =

295


10) Sabendo que 35

sen x = e que 2

xπ π< < , calcule o valor de

3cos xπ +

.

2 2

2 2

22

2

2

3 cos ?5 2 3

Inicialmente calcula-se o valor do cosx:sen cos 1cos 1

3cos 159cos 125

16cos25

16cos25

4cos5

Utilizando a fórmula da adição cos cos co

senx com x x

x xx sen x

x

x

x

x

x

(a b) a.

π ππ = < < + =

+ =

= −

= −

= −

=

= ±

= −

+ = s :

cos cos .cos .3 3 3

1 4 3 3cos . .3 2 5 2 5

4 3 3cos .3 10

b - sen a.senb

x x sen senx

x

x

π π π

π

π

+ = −

+ = − −

− − + =

296


11) Calcule o valor numérico da expressão

cos( 30º ) cos( 30º )cos( 60º ) sen(30º )

x xyx x+ + −

=− + −

.

cos( 30º ) cos( 30º )cos( 60º ) (30º )cos .cos30º . 30º cos .cos30º . 30ºcos .cos 60º . 60º 30º.cos .cos30º

2cos .cos30ºcos . 30º cos . 30º2cos .cos30º2cos .

x xyx sen xx senx sen x senx senyx senx sen sen x senx

xyx sen x sen

xyx sen

+ + −=

− + −− + +

=+ + −

=+

=30º

32123.

y

y

=

=

12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º )y x x= + + − .

Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se:cos(120º ) cos(120º )cos120º.cos 120º cos120º.cos 120º.2cos120º.cos

Reduzindo 120º ao primeiro qu

y x xy x sen senx x sen senxy x

= + + −= − + +=

( )adrante tem-se:

2. cos 60º .cos12. .cos2

cos

y x

y x

y x

= −

= −

= −

13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x

2

2

5 2 ?22

12.5 10 102

1 5 1 25 2452

12

tgx tg xtgxtg xtg x

tg x

tg x

= =

=−

= = =− − −

= −

297


14) Sabendo que 1cos3

x = , calcular cos 2 .x

2

2 2

22

2

2

2 2

Calcula - se o valor do utilizando relação trigonométrica :1

1

113

119

89

89

83

Utilizando a fórmula do arco duplo tem -se :2

2

2

sen x sen x cos xsen x cos x

sen x

sen x

sen x

senx

senx

cos x cos x sen x

cos

+ =

= −

= −

= −

=

= ±

=

= −221 8

3 3

1 829 9

729

x

cos x

cos x .

= −

= −

= −

298


15) Se 1cos2

sen x x− = , calcule o valor de 2 .sen x

( )2

2

2 2

2 2

1 22

Pode - se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe :

12

124124

Pela relação fundamental tem -se :

senx cos x sen x ?

senx cos x

sen x senx.cos x cos x

sen x cos x senx.cos x

s

− = =

− =

− + =

+ − =

2 2 1 epela transformação do arco duplo tem -se logo pode - se escrever :

11 24

11 24

324

en x cos x 2senx.cosx sen2x,

sen x

sen x

sen x

+ ==

− =

− =

=

16) Sendo 1cot2

g x = , calcule 2 .tg x

2

2

1cot 2 ?21cot2

1 122

221

2.221 2

421 4

423

gx tg x

gx

tgxtgx

tgxtg xtg x

tg x

tg x

tg x

= =

=

=

=

=−

=−

=−

= −

299


17) Sendo 21 cos 2 2.cosE x x= − + calcular 2 3E E E+ + .

( )

2 2 3

2 2 2

2 2 2

2 2

2 3 2 3

1 cos 2 2cos ?Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:

1 cos 2cos

1 cos 2cos1 cos

Pela relação fundamental, tem-se:1 1 2

2 2 2 2 4 8 14.

E x x E E E

E x sen x x

E x sen x xE sen x x

EE E E

= − + + + =

= − − +

= − + +

= + +

= + =

+ + = + + = + + =

18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?

Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas:

( )

( ) ( )

( )2 2

10º cot 10º . 20º

10º cos10º10º cot 10º . 20º . 2.10ºcos10º 10º

Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se:

10º cos 10º10º cot 10º . 20º10º.cos10º

tg g sen

sentg g sen sensen

sentg g sensen

+ =

+ = +

++ =

( )

( )( )

.2 10º .cos10

110º cot 10º . 20º .2. 10º .cos10º10º.cos10º

10º cot 10º . 20º 1.2

10º cot 10º . 20º 2.

sen

tg g sen sensen

tg g sen

tg g sen

°

+ =

+ =

+ =

300


19) Se cot 4tg x g x+ = , então quanto vale 2sen x ?

Utilizando as relações trigonométricas tem-se:

2 2

2 2

cot 4 2 ?cos 4

coscos 4. .cos

.cos .coscos 4. .cos

Pela relação trigonométrica tem-se:1 4. .cos

1.cos4

Sabendo que 2 2. .cos , pode-se

tgx gx sen xsenx x

x senxsen x x senx x

senx x senx xsen x x senx x

senx x

senx x

sen x senx x

+ = =

+ =

+=

+ =

=

=

= substituir o resultado obtido acima:12 2.4

12 .2

sen x

sen x

=

=

20) Sendo 45ºa b+ = e 23

tg a = , calcule tg b .

( )

Utilizando a fórmula tg(a b), tem-se:

1 .2345º 21 .

3231 21 .

32 21 .3 3

3 2 2 33 3

3 2 2 33 2 3 25 1

1 .5


tgbtg

tgb

tgb

tgb

tgb tgb

tgb tgb

tgb tgbtgb tgb

tgb

tgb

++

+ =−

+=

−

+=

−

− = +

− +=

− = +− = +

=

=

301


21) Resolver a equação 2 2 0sen x sen x+ − = para 0 2x π≤ ≤ .

( )

2

o

2

2 0 0 2Observe que esta equação representa uma equação do 2 grau cuja a incógnita é portanto pode - se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação :

1 4 1 21 8 9

1

sen x senx xsen x,

. .

senx

π+ − = ≤ ≤

∆ = − −

∆ = + =

− ±=

92 1

1 324 22 12 2

Como 1 1 então 1

Portanto,2

2

.

senx

sen x e sen x

senx senx

x

S

π

π

− ±=

= − = − = =

− ≤ ≤ =

=

=

22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .

302


23) Determine o conjunto solução da equação 2 0sen x sen x− = sendo 0 x .π≤ ≤

( )

2 0 02 0

Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:2 .cos 0Colocando-se senx em evidência, tem-se:

. 2cos 1 0Aplicando a lei do anulamento,tem se:

0

2cos 1 0 cos

sen x senx xsen x senx

senx x senx

senx x

senx

x x

π− = ≤ ≤− =

− =

− =

−

=

− = ⇒ =12

Observando o intervalo de definição, tem-se:0 0 ou1cos2 3

0, , .3

senx x x

x x

S

ππ

π π

= ⇒ = =

= ⇒ =

=

24) Resolva em IR a equação:

23 3 2

sen x sen xπ π + + − =

303


25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintes inequações:

12

a) sen x < −

7 11{ / }6 6

S x IR xπ π= ∈ < <

2cos2

b) x ≥ −

3 5{ / 0 2 }4 4

S x IR x ou xπ π π= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

304


1c) tg x ≤

5 3{ / 0 2 }4 2 4 2

S x IR x ou x ou xπ π π π π= ∈ ≤ ≤ < ≤ < <

3cos2

d) x <

11{ / }6 6

S x IR xπ π= ∈ < <

305



1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 2x π≤ ≤ , tais que ( )2cos 1sen x x+ = é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) Maior que 5

( )

( )

2

2 2

2 2

0 2 cos 1Desenvolvendo o quadrado da soma, temos:

2 .cos cos 1

cos 2. .cos 1

1 2 .cos 12 .cos 02 0 cos 0

0onde tem-se 0, 2cos 0

3tem-se 2 2

Logo

x senx x

sen x senx x x

sen x x senx x

senx xsenx xsenx ou x

senxx x e x

x

x e x

π

π π

π π

≤ ≤ + =

+ + =

+ + =

+ ==

= ==

= = ==

= =

3 a solução é 0, , , , 2 .2 2

Portanto o número de soluções é 5.

S π ππ π =

2) No intervalo 0 2x π≤ < , a equação 2cos

1x sen x

sen x=

+, apresenta

exatamente:

a) uma única solução.

b) duas soluções.

c) três soluções.

d) quatro soluções.

e) cinco soluções.

306


( ) ( )( ) ( )

2

2

2

cos1Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se:11Como1 sen x é uma diferença de dois quadrados, temos: 1 senx . 1 senx

1 . 11

simplificando o fator comum tem

x sen xsen x

sen x senxsenx

senx senxsenx

senx

=+

−=

+− − +

− +=

+os :

11 2

12

5Logo, os valores que satisfazem a igualdade são e .6 6

Portanto, são duas soluções.

senx senxsenx

senx

π π

− ==

=

Unidade 5

1) Resolva as equações no universo dos números complexos:

a) x2 + 4 = 0

a = 1, b = 0, c = 4

( )

2

2

1

2

4. .0 4.1.40 16 16

2.0 16

2.10 16. 1

216. 1

24.222

{2 , 2 }

b a c

bxa

x

x

x

ix

x ix iS i i

∆ = −

∆ = −∆ = − = −

− ± ∆=

− ± −=

± −=

± −=

±=

= += −

= −

307


( )

2

2

1

2

4. .0 4.1.40 16 16

2.0 16

2.10 16. 1

216. 1

24.222

{2 , 2 }

b a c

bxa

x

x

x

ix

x ix iS i i

∆ = −

∆ = −∆ = − = −

− ± ∆=

− ± −=

± −=

± −=

±=

= += −

= −

b) x2 – 4 x + 5 = 0

( )2

1, 4, 5

4 4.1.516 20

4

( 4) 42.1

4 4.( 1)2

4 4. 12

4 2.2

2{2 , 2 }

a b c

x

x

x

ix

x iS i i

= = − =

∆ = − −

∆ = −∆ = −

− − ± −=

± −=

± −=

±=

= ±= + −

2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .

2z - 3iz 0( 3 ) 0

Ultizando a Lei do Anulamento, tem se :0

3 03{0, 3 }

z z i

zouz iz iS i

=− =

−=

− ===

308


3) Determine x e y, para que o número complexo

z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja:

a) Um número real.

2

2

Im( ) 04 04

42

zyy

yy

=

− =

=

= ±= ±

b) Um número imaginário puro.

2

2

Re( ) 0 Im( ) 04 2 04 2

24124 04

42

z e zxx

x

x

yy

yy

= ≠− ==

=

=

− ≠

≠

≠ ±≠ ±

4) Calcule:

a) (2 + 3i) + (2 – i)

(2 3i) (2- i) 2 3 2 4 2i i i+ + = + + − = + .

b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)

(6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) = 6 5 2 4 2 7 5i i i i− + − − − = − .

c) ( )2 1 4 23 2

i i i + − − + −

( )2 1 4 2

3 2i i i + − − + −

=

2 1 2 1 4 3 24 254 2 43 2 3 2 6 6

i i i − ++ − + + − = − + = = .

309


5) Efetue:

a) (2 – i).(1 + 3i)

2(2 ).(1 3 ) 2 6 3 2 6 3 5 5i i i i i i i i− + = + − − = + − + = + .

b) 1 1.2 2

i i + −

21 1 1 1 1 1 1 4 5. 12 2 4 2 2 4 4 4

i i i i i + − + = − + − = + = =

.

c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)

( ) [ ] ( )2

2

1 .(2 ) .(1 2 ) 2 2 .(1 2 ) 2 2 1 .(1 2 ) 3 .(1 2 )

3 6 2 3 6 2 1 7 .

i i i i i i i i i i i i

i i i i i i

+ − + = − + − + = − + + + = + + = + + + = + + − = +

6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

2

2

2 2

2

2 2 2

2

22 2 4 2 4 2 1 2) . .2 2 2 4 4 2

4 2 2 2 8 4 2 2 2 24 2 8 6 2 2 6 6 2) . 1 2 .4 2 62 2 2 2 2 2 4 2

1 1 2 1 2 1 2 (2 ) 4 2 4 2 2 4) . .2 2 2 (2 ) (2 ) 4 4 1 5 5

ii i i i i iai i i i

i i i i ii i ib ii i i i

i i i i i i i i ic ii i i i i i

− +− + − − + += = = =

− −

+ + + + ++ + − += = = = = +

+− − + −

+ + + + − + + −= = = = = = − +

− − − − + − +

7) Qual o conjugado do número complexo 3

1 2z

i=

+?

( )( ) 2

Inicialmente coloca-se z na forma a bi:1 23 3 6 3 6 3 6.

(1 2 ) 1 2 1 4 1 4 5 53 6 3 6Como .5 5 5 5

i i iz ii i i

z i z i

+

− − −= = = = −

+ − − +

= − ⇒ = +

310


8) Determine o valor real de x para que o produto

(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.

Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

212 2 . 18 2 216 12 .( 2) 36 2 . 2

12 2 . 18 2 216 12 24 36 2 4

12 2 . 18 2 212 (12 60)

i x i i x i i x

i x i xi i i x

i x i x i

− + − = + − − − − − + − = + − − + − − + − = + −

Dessa forma tem-se:

Im( ) 0 12 60 012 60

60125

z xx

x

x

= ⇒ − ==

=

=

9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.

Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se:

( )22

2 2 2

2

2

2

18

. 145

Se , tem se que z .Substituindo no sistema, tem-se:

1818

2 189

. 145( ).( ) 145

145

9 14581 145

145 8164

648

Portanto, o módulo d

z z

z z

z a bi a bi

z za bi a bi

aa

z za bi a bi

a bi

b ib

bb

bb

+ =

== + − = −

+ =+ + − =

==

=+ − =

− =

− =

+ =

= −

=

= ±= ±

e a.b 9.( 8) 72.= ± =

311


10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .

( ) ( )

250 104 37

125 522 2 1

2

125 52

2Aplicando propriedade de potência, tem-se:

2

Sabe-se que i 1, logo:( 1) ( 1) 2

1 1 22Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se:

i i i a bi

i i i a bi

i a bii a bi

i a bi

a

+ + = +

+ + = +

= −

− + − + = +− + + = +

= +

0 2e b= =

11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*.

Aplicando as propriedades de potência, tem-se:

( )

( )

8 3

42 3

4

Sabe - se que 1 e tem -se

1

Observe que sempre será positivo, pois representa um número par1

8n 3 n

n8n 3

2 3

n8n 3

4n

8n 3

8n 3

i i .i

i i .i

i i i, :

i .( i )

(-1) 4n .i .( i )i i.

+

+

+

+

+

=

= = − = −

= − −

= −

= −

312


12) Simplificando 101 50

100 49

(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2)

i ii i

+ −− − −

, obtém-se:

Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência de mesma base:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )

101 50101 50

100 100 49 49100 49

101 50101 50

100 49100 49

101 100 50 49101 50

100 49

101 50

2 . 2(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2) 1 . 2 . 1 . 2

2 2(2 ) .(2 ) .( 2 ) .( 2) 2 1. 2

2 . 2(2 ) .(2 )( 2 ) .( 2) 1(2 ) .(2 )

i ii ii i i i

i ii ii i i i

i ii ii ii i

− −

+ −+ −=

− − − − + − −

+ −+ −=

− − − + − −

+ −+ −=

− − − −

+ − ( ) ( )100 49

101 502

100 49

101 50

100 49

101 50

100 49

2 . 2( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) (4 2 2 )

( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) (4 1)

( 2 ) .( 2)(2 ) .(2 ) 5.

( 2 ) .( 2)

i ii ii i i i ii ii ii ii ii i

= − + −− − −

+ −= − − + −

− − −

+ −= − +

− − −

+ −= −

− − −

13) Se 38 3

2

(10 ).(1 )

i i izi

+ −=

−, determine 2ρ .

Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa forma deve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi:

( )

( )

38 3

2

2 3 4

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2

2

(10 ).1

101 2

1 10.( ) 11 2 1

( 2 10 ) 2.2 2

4 204

4 204

55 1, logo:

z 5 - i

5 ( 1)25 1 26

Portanto, 26.

i i izi

i i izi i

izii iz

i ii iz

iiz

z ia e b

a bρρρ

ρ

+ −=

−

+ −=

− +

− + − −=

− −− −

=−

− −=

−− +

=

= −= = −=

= +

= + −

= + =

=

313


( )

( )

38 3

2

2 3 4

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2

2

(10 ).1

101 2

1 10.( ) 11 2 1

( 2 10 ) 2.2 2

4 204

4 204

55 1, logo:

z 5 - i

5 ( 1)25 1 26

Portanto, 26.

i i izi

i i izi i

izii iz

i ii iz

iiz

z ia e b

a bρρρ

ρ

+ −=

−

+ −=

− +

− + − −=

− −− −

=−

− −=

−− +

=

= −= = −=

= +

= + −

= + =

=

14) Se k é um número real e o argumento de k 2iz3 2i

+=

− é 45º, então

calcule |z|.

Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:

( )( )

( )( )

2

2

2 3 2 3 2 6 4 (3 4) (2 6).3 2 3 2 9 4 9 4

3 4 2 613 13

Como o argumento principal é 45 , tem se : Re( ) Im( )3 4 2 6

13 133 4 2 63 2 6 4

10Substituindo o valor de k em z, tem-se: z

k i i k ki i i k k izi i i

k kz i

z zk k

k kk k

k

°

+ + + + + − + += = =

− + − +

− += +

− =− +

=

− = +− = +

=

=2 2

2 2

2 2i

z

2 2

8 2 2

Portanto, z 2 2

a b

z

z

+

= +

= +

= =

=

314


15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se o

argumento de z é 270º, então calcule 1z

.

Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:

2

2 2

2

2

24 44 4

Como o argumento principal é tem -se que é um número imaginário puro e negativoLogo e

4 04

42

Para tem -se4 4 2 4 4

2

2

z ( x i )z x xi iz ( x ) xi

270 , z ., Re(z) 0 Im(z) 0

xx

xx

, x 2, :z (2 ) . i ( )

= −

= − +

= − −

= ≠

− =

=

= ±= ±

=

= − − = − −

o

2

8 8Para tem -se

4 4 2 4 4 8 8Portanto 8Logo1 1 8 8 8

8 8 64 64 8

2

i i, x -2, :

z ((-2) ) .( )i ( ) i i, z i.

i i i i. .z i i i

= −=

= − − − = − + == −

= = = =− −

16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.

2

2

2

( ) 2 4 5( 1) 2( 1) 4( 1) 5( 1) 2( 2 1) 4 4 5( 1) 2( 1 2 1) 4 1( 1) 2.( 2 ) 4 1( 1) 4 4 1( 1) 1.

f z z zf i i if i i i if i i if i i if i i if i

= + +

− = − + − +

− = − + + − +− = − − + + +− = − + +− = − + +− =

315


17) Sendo z1=4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2.

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

4 10

2 20

. . cos .

. 4.2 cos(10 20 ) . (10 20 )

. 8. cos30 . 30

3 1. 8. .2 2

8 3 8.2 2

. 4 3 4 .

z ez e

z z i sen

z z i sen

z z i sen

z z i

z z i

z z i

ρ θ

ρ θ

ρ ρ θ θ θ θ

⇒ = =

⇒ = =

= + + + = + + +

= +

= +

= +

= +

18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor

de 2

1

zz

?

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

2 22 1 2 1

1 1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2 30

4 60

4 60 30 60 302

2 30 30

3 122 2

2 3 22 2

3

z ez ez . cos i.senzz . cos( ) i.sen( )zz . cos i.senz

z . i.z

z izz i.z

ρ θ

ρ θρ θ θ θ θρ

⇒ = =

⇒ = =

= − + −

= − + −

= +

= +

= +

= +

o

o

o o o o

o o

316


19) Calcule:

a) (1 – i)6

( ) ( ) [ ] ( )3 36 2 3 32 31 1 1 2 1 2 1 2 8 8.( ) 8i i i i i i i i i − = − = − + = − − = − = − = − − =

b) 1001 32 2

i

− +

[ ]( )

2 2

22

100 100

100

1 32 2

1 31002 2

1 3 1 3 12 2 4 4

112

1 2

332

1 2120

1 100 120 100 120

12000 12000

n n

z i

n , a ,b

a b

acos cos

bsen sen

z . cos( n ) i.sen( n )

z . cos . i.sen( . )

z cos i.sen

ρ

ρ

θ θρ

θ θρ

θρ θ θ

= − +

= = − =

= +

= − + = + =

−= ⇒ = = −

= ⇒ = =

=

= +

= + = +

o

o o

o o

100

100

100

120 120

60 60

1 32 2

o

o

Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 :z cos i.senFaz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120z cos i.sen

z i.

= +

= − +

= − +

o o

o o

317


20) Calcule:

a) As raízes quadradas de 1 3z i= + .

( )

2 2

22

1 3

1 3

1 3

1 3 4 212

32

3

23 3

2 23 32

2 2k

z i

a e b

a b

acos cos

bsen sen

Logo, 60 rad

z .(cos i.sen )

As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula:

k kz . cos i.sen com k {0,

ρ

ρ

ρ

θ θρ

θ θρ

πθ

π π

π ππ π

= +

= =

= +

= +

= + = =

= ⇒ =

= ⇒ =

= =

= +

+ + = + ∈

o

0

1

3 1 6 20 2 26 6 2 2 2 2

7 7 3 1 6 21 2 26 6 2 2 2 2

1}

k z . cos i.sen . i. i.

k z . cos i.sen . i. i.

π π

π π

= ⇒ = + = + = + = ⇒ = + = − − = − −

318


b) As raízes quartas de z=-4.

( )

2 2

2 2

4k

0

44 0

4 0

16 0 44cos cos 1

40 04

Logo, 4.(cos . )

As raízes quartas de z são dadas pela fórmula:2 2z 4. cos . com k {0,1, 2, 3}4 4

k 0 z 2

za e b

a b

a

bsen sen

z i sen

k ki sen

ρ

ρ

ρ

θ θρ

θ θρ

θ ππ π

π π π π

= −= − =

= +

= − +

= + =−

= ⇒ = = −

= ⇒ = =

== +

+ + = + ∈

= ⇒ =

1

2

3

2 2. cos . 2. 14 4 2 2

3 3 2 21 2. cos . 2. 14 4 2 2

5 5 2 22 2. cos . 2. 14 4 2 2

7 7 2 23 2. cos . 2. 14 4 2 2

i sen i i

k z i sen i i

k z i sen i i

k z i sen i i

π π

π π

π π

π π

+ = + = + = ⇒ = + = − + = − + = ⇒ = + = − − = − − = ⇒ = + = − = −

319


Desafios em números complexos

1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:

Aplicando as propriedades de potência:

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

2

2

2

3

3

3 3

3

2 (1 ) 16

2 1 16

2 1 2 16

2 1 2 1 16

2 2 16

2. 2 16

2 8

2 2 .( )

Lembrando que -i i , tem-se:

2 2 .

2 (2 ) 3

n n

nn

nn

n n

n n

n

n

n

n

n

i i i

i i i

i i i i

i i i

i i i

i i

i i

i i

i i

i i n

+ = −

+ + = −

+ + + = −

+ + − = −

+ = −

= −

= −

= −

=

=

= ⇒ =

2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i)200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é:

( )

( )

1002 2

1002

100

4 2 2

4 1

1 5

1 5

200 3

200 3

200 3

200 3

200

(-i) (2 i).(2 - i) i i ( i i i ) ( i )

(-i) (2 i).(2 - i) i i i

(-i) (2 i).(2 - i) i i

(-i) (2 i).(2 - i) i i(-i) (2 i)

+ + + = − + + − − + −

+ + + = + + −

+ + + = − + −

+ + + = + −

+ + 63.(2 - i) i i.+ = −

320


3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6=1. Qual a área deste polígono?

6

6

0

1

2

1

11

Calcula-se o módulo e o argumento de z:1 0

Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se:

cos .3 3

Então:k 0 z cos 0 . 0 1

1 31 cos .3 3 2 22 2 1 32 cos .3 3 2 2

3

k

z

zz

k kz i sen

i sen

k z i sen i

k z i sen i

k

ρ θ

π π

π π

π π

=

==

= ⇒ =

= +

= ⇒ = + =

= ⇒ = + = +

= ⇒ = + = − +

=

3

4

5

cos . 1

4 4 1 34 cos .3 3 2 2

5 5 1 35 cos .3 3 2 2

Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus:

1 3 1 3(1,0); , ; , ;2 2 2 2

z i sen

k z i sen i

k z i sen i

π π

π π

π π

⇒ = + = −

= ⇒ = + = − −

= ⇒ = + = −

−

( ) 1 3 1 31,0 ; , ,

2 2 2 2e

− − − −

Observe a figura:

321


Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular o lado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos no plano.

Vamos escolher dois vértices consecutivos:

(1,0) e 1 3,2 2

( ) ( )2 22 1 2 1

22

22

1 31 02 2

1 32 2

1 34 4

1.

d x x y y

d

d

d

d

= − + −

= − + −

= +

= +

=

Cálculo da Área do hexágono:

2

2

3 32

Tem-se que d , onde é a medida do lado do hexágono, logo:

3.1 32

3 3 . .2

A

A

A u a

=

=

=

=

Referências

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CARMO, Manfredo P. Trigonometria e Números Complexos. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, RJ.

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FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER, Christian – Tópicos de Matemática Elementar. Palhoça: Unisul Virtual, 2005, 246p.

FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. , volume 1/ Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano; tradução Paulo Boschcov. Saão Paulo: Addison Wesley, 2002.

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NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000.

324


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PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2004, vol 2 e 3.

ZAPIROLLO, Maria Jose Couto de Vasconcelos. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha. CANDIDO, Suzana Laino. Matemática – Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do Brasil, 2004.

325


Anexo – Tabela de Razões Trigonométricas

Education

Ap trigonometria numeros complexo