Aplicacão da teoria do risco a seguros

Introducao.Distribuicoes usuais para a severidade

Aproximacoes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.Tratado de Resseguro Stop-Loss

Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ruına.

5. aplicacao da teoria do risco a seguros

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1 Introducao.

2 Distribuicoes usuais para a severidade

3 Aproximacoes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.

4 Tratado de Resseguro Stop-Loss

5 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ruına.

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Introducao.

O objectivo deste capıtulo e o de indicar varios modos de aplicacao de Teoria do Riscoa Problemas de Seguros. Sao assim aflorados os tipos usuais de distribuicoes paradiferentes ramos de seguros; seguidamente, sao referidos 2 metodos de aproximacaodos modelos de risco individual para uma carteira de apolices por modelos de riscocolectivo; e estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidadede ruına; e, por fim, faz-se referencia a outros princıpios de calculo de premio,realcando que os topicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados a luzdesses princıpios.

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Introducao.

O objectivo principal deste capıtulo e o de indicar varios modos deaplicacao da Teoria do Risco a Problemas de Seguros.Nos dois capıtulos anteriores foi desenvolvido o modelo de RiscoColectivo. Este modelo foi construıdo sob a suposicao de que

uma coleccao de apolices

↓ gera

um numero aleatorio de indemnizacoes (sinistros) em cada perıodo

e

cada indemnizacao (sinistro) e de montante aleatorio

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Introducao.

A aplicacao de semelhante modelo exige informacao acerca de :

distribuicao do numero de indemnizacoes

distribuicao do montante de indemnizacao individual

Como foi salientado, nao e tarefa especıfica nesta abordagem levara cabo toda uma metodologia de modelacao face a dados reais.Ao longo da exposicao temos suposto que ambos os modelos saoconhecidos a partida, fruto eventualmente de todo um trabalho demodelacao previo.

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Introducao.

No entanto, sera seguidamente dada uma breve ilustracao do tipode distribuicoes que usualmente se tem revelado mais frequentesna modelacao de dados reais, para diferentes ramos de seguros:

Incendio

Automovel

Incapacidade Temporaria

Hospitalar

Seguidamente, serao referidos dois metodos de aproximacao dosmodelos de risco individual para uma carteira de apolices pormodelos de risco colectivo, atraves de distribuicoes de PoissonComposta convenientes.Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito doresseguro na Probabilidade de Ruına.

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Distribuicoes usuais para a severidade

distribuicoes usuais para a severidade

Sera feita uma breve apresentacao de algumas distribuicoes associadas aos

montantes de indemnizacao, em Seguros de Incendio, Acidentes Pessoais no Ramo

Automovel, Incapacidade Temporaria, Internamento Hospitalar. Nos ramos

mencionados sao referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais,

Gama, associados a problemas actuarias correntes.

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Referiremos 4 aplicacoes especıficas, de modo a dar uma visao doleque de aplicacoes associadas a modelos em Teoria do Risco.

SEGURO DE INCENDIO

SINISTRO −→ incendio numa estrutura segura que origina danode perdas.Na literatura ligada a problemas actuariais tem sido sugeridasalgumas distribuicoes standard, com parametros a estimar a partirda amostra dos montantes de sinistro no perıodo de estudo. Cabeaqui referir o caracter altamente assimetrico das distribuicoes, comde caudas pesadas.

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Lognormal:

fX (x ; m, σ) =1

xσ√

2πexp

{− (log x −m)2

2σ2

}, m ∈ <, x > 0, σ > 0

Se Y _ N (m, σ) entao X = eY _ LN (m, σ).

µX = exp

(m +

σ2

2

)σ2

X = (eσ2 − 1) exp

(2m + σ2

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Pareto:

fX (x ; x0, α) =αxα0xα+1 , x > x0 > 0, α > 0

µX =αx0

α− 1(existe para α > 1)

σ2X =

αx20

(α− 2)(α− 1)2(existe para α > 2)

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Mistura de Exponenciais:

fX (x ; p, q, α, β) = pαe−αx + qβe−βx ,

para x > 0, α, β > 0, 0 < p < 1, p + q = 1.

µX =p

α+

q

β

σ2X =

p(1 + q)

α2+

q(1 + p)

β2− 2pq

αβ

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ACIDENTE DE AUTOMOVEL

SINISTRO −→ dano num automovel originado por um acidente.

A distribuicao Gama(α, β) com localizacao tem sido sugerida paraestes casos.

Os parametros envolvidos devem ser estimados a partir da amostrados montantes de indemnizacao.

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INCAPACIDADE TEMPORARIA

Este seguro e caracterizado por estabelecer benefıcios para pessoasincapacitadas temporariamente.

Existe um perıodo de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia daocorrencia da causa da incapacidade e o comeco do pagamentodos benefıcios por parte da Seguradora.Existe igualmente um limite superior para o perıodo de pagamento(13 semanas, por exemplo).

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O benefıcio c e um montante diario fixo; assim, o montante deindemnizacao e directamente proporcional ao perıodo de tempo emque se verifica a incapacidade, a partir do perıodo de espera.

Seja Y a v.a. do ”tempo (em dias) a que se refere o benefıcio”.

A distribuicao do montante de indemnizacao, X = cY , e entao:

P[X = x ] = P[cY = x ] = P[Y =x

c], x = c , 2c, 3c , · · · , 91c

no caso de 13 semanas como limite superior do suporte de Y .Quer dizer, tudo se resume a modelacao da v.a. Y que esta nabase de X .

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INTERNAMENTO HOSPITALAR

Supondo tambem um benefıcio diario constante c em caso deinternamento hospitalar , este exemplo e semelhante ao anterior,excluindo o perıodo de espera.

Assim, sendo Y a v.a. do ”numero de dias de internamentohospitalar”, e considerando m o numero maximo de dias para osquais sao pagos os benefıcios por parte da Seguradora,

P[X = x ] = P[Y =x

c], x = c, 2c , 3c , · · · ,mc

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Aproximacoes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.

Aproximacoes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo

Nos 2 metodos apresentados, pretende-se dar uma visao comparativa de como

aproximar os modelos individual e colectivo, este ultimo com uma distribuicao Poisson

Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos

e o modelo de risco individual original.

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Os modelos de risco individual e de risco colectivo sao estruturasalternativas construıdas de modo a captar os aspectosfundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum paracada um dos modelos e o desenvolvimento da distribuicao do totaldas indemnizacoes, S .

Devido a complexidade computacional de calcular a distribuicao dototal das indemnizacoes para uma carteira com n apolices usando omodelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar adistribuicao usando a distribuicao de Poisson Composta,normalmente associada aos modelos de risco colectivo.

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Relembremos que o modelo de risco individual para n apolicesmodela o total de indemnizacoes do seguinte modo:

S =n∑

j=1

Xj ,

onde Xj representa a indemnizacao relativa a apolice j ,j = 1, . . . , n.

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Considera-se que os montantes individuais de indemnizacao,

Xj = IjBj ,

com Ij a v.a. indicadora de ocorrencia de indemnizacao para aapolice j ,

Ij :

{1 0qj 1− qj

e Bj a v.a. do montante de indemnizacao, caso ocorra, com f.d. Fj ,

µj = E [Bj ] e σ2j = Var [Bj ].

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Considera-se que Ij e Bj , j = 1, · · · , n, sao mutuamenteindependentes.

Assim, para a carteira das n apolices

E [S ] =n∑

j=1

qjµj (1)

Var [S ] =n∑

j=1

qj(1− qj)µ2j +

n∑j=1

qjσ2j (2)

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Iremos apresentar 2 metodos de aproximacao ao modelo PoissonComposto.

METODO 1:

Aproximar a distribuicao de S atraves de S∗ _ PC(λ∗,FX∗), com:

λ∗ =n∑

j=1

λ∗j , λ∗j = qj

FX∗(x) =n∑

j=1

λ∗jλ∗

Fj(x)

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Justificacao:

A f.g.m. para a indemnizacao referente a apolice j , paraj = 1, · · · , n,

MXj(r) = E [eXj r ]

= E [eXj r |Ij = 0]P[Ij = 0] + E [eXj r |Ij = 1]P[Ij = 1]

= 1 · (1− qj) + E [eBj r ]qj

= (1− qj) + MBj(r) · qj

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pelo que a f.g.m. do total de indemnizacoes no modelo de riscoindividual e

MS(r) =n∏

j=1

MXj(r)

=n∏

j=1

[(1− qj) + MBj

(r) · qj

]

=n∏

j=1

[1 + qj

(MBj

(r)− 1)]

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Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se

log MS(r) =n∑

j=1

log[1 + qj

(MBj

(r)− 1)]

=n∑

j=1

∞∑k=1

(−1)k+1

k

[qj

(MBj

(r)− 1)]k

O metodo baseia-se na aproximacao que utiliza apenas o 1o termono desenvolvimento em serie na expressao anterior, vindo entao

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log MS(r) ∼=n∑

j=1

[qj

(MBj

(r)− 1)]

= λ∗n∑

j=1

λ∗jλ∗(MBj

(r)− 1)

= λ∗

n∑j=1

λ∗jλ∗

MBj(r)−

n∑j=1

λ∗jλ∗

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= λ∗

n∑j=1

λ∗jλ∗

MBj(r)− 1

, com λ∗ =n∑

j=1

λ∗j , λ∗j = qj

= λ∗ (MX∗(r)− 1) , com MX∗(r) =n∑

j=1

λ∗jλ∗

MBj(r),

sendo MX∗(r) a f.g.m. associado a f.d. FX∗(x); de imediato eidentificado o modelo Poisson Composto, com

MS∗(r) = exp {λ∗ (MX∗(r)− 1)} .

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Consequencias da aproximacao S∗:

1) Coincidencia do valor medio das indemnizacoes agregadas domodelo individual com o da aproximacao, ja que

E [S∗] = λ∗p∗1 = λ∗E [X ∗] = λ∗n∑

j=1

λ∗jλ∗µj =

n∑j=1

qjµj = E [S ],

como se constata por (1).

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2) Variancia das indemnizacoes agregadas no modelo aproximadosuperior a variancia no modelo individual, em (2), ja que

Var [S∗] = λ∗p∗2

= λ∗E [(X ∗)2]

= λ∗n∑

j=1

λ∗jλ∗

(σ2 + µ2j )

=n∑

j=1

qj(σ2 + µ2

j )

> Var [S ]

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3) Coincidencia do numero esperado de sinistros do modeloaproximado com o do modelo individual, ja que

E [n∑

j=1

Ij ] =n∑

j=1

E [Ij ] =n∑

j=1

qj =n∑

j=1

λ∗j = λ∗.

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Observacao:

No caso de montante de indemnizacao degenerado numaconstante, Bj = bj , as conclusoes da aproximacao pelo Metodo 1tem por base a seguinte particularizacao :

µj = bj σ2j = 0 fX∗(x) = P[X ∗ = x ] =

∑{j :bj =x}

qj

λ∗.

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METODO 2:

Aproximar a distribuicao de S atraves de S _ PC(λ,FX ), com:

λ =n∑

j=1

λj , λj = − log(1− qj)

FX (x) =n∑

j=1

λj

λFj(x)

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Justificacao:

Semelhante a do Metodo 1, se considerarmos que λj∼= λ∗j , i.e.,

− log(1− qj) ∼= qj , para valores de qj proximos de 0,j = 1, 2, · · · , n, o que e razoavel em muitas situacoes em que aprobabilidade de ocorrencia de indemnizacao e pequena.

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Consequencias da aproximacao S :

1) Coincidencia da probabilidade de nao ocorrencia de sinistros nomodelo individual e no da aproximacao, ja que

P[0 sinistros na carteira no modelo S] =n∏

j=1

P[Ij = 0] =n∏

j=1

(1−qj)

= exp

logn∏

j=1

(1− qj)

= exp

n∑j=1

log(1− qj)

= e−λ

Ora, tem-se que

e−λ = P[0 sinistros na carteira no modelo S ].

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2) Valor medio das indemnizacoes agregadas no modeloaproximado superior ao do modelo individual, ja que tendo ematencao que

− log(1− qj) =∞∑

k=1

qkj

k> qj , j = 1, 2, · · · , n,

tem-se que

E [S ] = λp1 = λE [X ] = λ

n∑j=1

λj

λµj

= −n∑

j=1

log(1− qj)µj >

n∑j=1

qjµj ,

como se constata por (1).

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Observacao:

Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradoraefectua contratos de seguro de Vida (apolices anuais) para duasunidades de benefıcio de montantes 1 e 2, respectivamente, e paraindivıduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10.

A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homogeneos, deacordo com o ”no de indivıduos segurados”, nk , em cada uma dasclasses assim criadas (de acordo com o montante de benefıcio bk ea probabilidade de indemnizacao qk , k = 1, 2, 3, 4):

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k qk bk nk

1 0.02 1 5002 0.02 2 5003 0.10 1 3004 0.10 2 500

n = 1800

Aproximar a distribuicao de S atraves de uma distribuicao dePoisson Composta, utilizando os dois metodos referidos,comparando as variancias obtidas com a variancia do modelo derisco individual original.

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Resolucao: Pelo Metodo 1,

λ∗ =1800∑j=1

qj =4∑

k=1

nkqk = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100,

A f.m.p. para X ∗ e fX∗(x) = P[X ∗ = x ] =∑{j :bj =x}

qj

λ∗, pelo que

P[X ∗ = 1] =500(0.02) + 300(0.10)

100= 0.4

P[X ∗ = 2] =500(0.02) + 500(0.10)

100= 0.6

p∗2 = E [(X ∗)2] = 12(0.4) + 22(0.6) = 2.8

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pelo que

Var [S∗] = λ∗p∗2 = 100× 2.8 = 280 > 256

Pelo Metodo 2,

λ = −1800∑j=1

log(1− qj) = −4∑

k=1

nk log(1− qk)

= −500 log(0.98)− 500 log(0.98)− 300 log(0.90)− 500 log(0.90)

= 104.5,

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A f.m.p. para X e fX (x) = P[X = x ] =∑{j :bj =x}

− log(1− qj)

λ, pelo

que

P[X = 1] =−500 log(0.98)− 300 log(0.90)

104.5= 0.399

P[X = 2] =−500 log(0.98)− 500 log(0.90)

104.5= 0.601

p2 = E [X 2] = 12(0.399) + 22(0.601) = 2.803

pelo que

Var [S ] = λp2 = 104.5× 2.803 ∼= 292.914 > 280 > 256.

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Tratado de Resseguro Stop-Loss


Sera aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o calculo do

premio de resseguro. Neste paragrafo entra em jogo a relacao entre as tres entidades:

Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No calculo de

resseguro Stop-Loss sao obtidas as formulas recursivas de acordo com dedutıveis

estipulados, sendo dado enfase ao caso em que as indemnizacoes individuais assumem

valores nos inteiros positivos. Por outro lado e uma constante desta seccao evidenciar

ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados sao agora adaptados para esta

relacao entre as 3 entidades em questao.

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O conceito de seguro com um dedutıvel (ou retencao) ja foiapresentado anteriormente, como um tipo de tratado optimo quemaximiza a utilidade esperada, supondo fixado o premio a partida.Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscospara a seguradora.Seja S o total de indemnizacoes num dado perıodo, para umaCompanhia Seguradora.Para um Tratado de Resseguro Stop-Loss com Dedutıvel d , omontante pago pela Resseguradora a Seguradora Cedente e oexcesso positivo sobre um limite fixado d :

Id := (N∑

i=1

Xi−d)+ = (S−d)+ = max(S−d , 0) =

{0, S < dS − d , S ≥ d

,

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e, consequentemente, o montante de indemnizacoes retidas pelaSeguradora cedente e

S − Id := min(S , d) =

{S , S < dd , S ≥ d

.

Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora ve assimlimitado superiormente por d o montante das indemnizacoesretidas na Companhia.

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Neste paragrafo entra em jogo a relacao entre as tres entidades:Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e aResseguradora. Por outro lado, realcamos o facto de que osconceitos anteriormente apresentados sao agora adaptados paraesta relacao entre as 3 entidades em questao, sempre sob o pontode vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central.Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que oestudo e desenvolvido sob o ponto de vista da ”SeguradoraCedente”.

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Debrucemo-nos, em seguida, sobre

Metodos de Calculo do Premio de Resseguro Stop-Loss comdedutıvel d

Comecemos pelo premio puro respectivo, E [Id ], o que correspondea um limite inferior para o premio Stop-Loss real.

Denotemos por FS e fS respectivamente a f.d. de S e a f.d.p. de S .Entao:

E [Id ] =

∫ ∞d

(x − d)fS(x)dx (3)

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Por outro lado,

E [Id ] =

∫ ∞0

(x − d)fS(x)dx −∫ d

0(x − d)fS(x)dx

=

∫ ∞0

xfS(x)dx − d

∫ ∞0

fS(x)dx +

∫ d

0(d − x)fS(x)dx ,

pelo que (3) e equivalente a

E [Id ] = E [S ]− d +

∫ d

0(d − x)fS(x)dx (4)

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Notando que fS(x) = − ddx [1− FS(x)], podemos exprimir o premio

puro do resseguro em termos da f.d. de S , ja que

E [Id ] =

∫ ∞d

(x − d)fS(x)dx =

∫ ∞d

(d − x)d

dx[1− FS(x)]dx

= (d − x)[1− FS(x)]|∞d +

∫ ∞d

[1− FS(x)]dx ,

integrando por partes

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pelo que, notando que limx→∞ x [1− FS(x)] = 0, se obtem

E [Id ] =

∫ ∞d

[1− FS(x)]dx (5)

e tambem

E [Id ] = E [S ]−∫ d

0[1− FS(x)]dx (6)

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Observacao:

Se d = 0, entao E [Id ] = E [I0] = E [S ], o que de certo modoequivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite deretencao nulo entao tera de pagar por premio de resseguro opremio puro referente a todas as indemnizacoes agregadas do riscoassociado.

Observacao:

As expressoes (5) e (6) sao validas para distribuicoes maisgenericas, incluindo discretas ou mistas.

A utilizacao mais conveniente de uma das expressoes (3), (4), (5)ou (6) depende do problema particular em questao.

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Exemplo:

Considere que e sensato modelar atraves de uma distribuicaoGama(α, β) as indemnizacoes agregadas associadas a determinadotipo de risco dentro de uma seguradora, S . Denotando porFS(x ;α, β) =

∫ x0 β

α xα−1

Γ(α) e−βxdx a f.d. associada a S , mostrar que

E [Id ] =α

β[1− FS(d ;α + 1, β)]− d [1− FS(d ;α, β)].

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Resolucao:

E [Id ] =

∫ ∞d

(x − d)fS(x ;α, β)dx

=

∫ ∞d

(x − d)βαxα−1

Γ(α)e−βxdx

=

∫ ∞d

βαxα

Γ(α)e−βxdx − d

∫ ∞d

fS(x ;α, β)dx

= αβ

∫ ∞d

βα+1 xα

Γ(α + 1)e−βxdx − d [1− FS(d ;α, β)]

= αβ [1− FS(d ;α + 1, β)]− d [1− FS(d ;α, β)].

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Formulas Recursivas para E [Id ] com indemnizacoes inteiras

Consideremos agora o caso particular de S com valores no suportedos inteiros

x = 0, 1, 2, · · ·

fS(x) = P[S = x ]

d ∈ N

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Observacao:

O Premio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedutıvel d /∈ ℵpara o caso de indemnizacoes inteiras obtem-se por interpolacaolinear nos inteiros que contem d (Exercıcio 8.9(∗)).

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Para o caso discreto as expressoes (3)e (4) tem a sua contrapartida

E [Id ] =∞∑

x=d+1

(x − d)fS(x) = E [S ]− d +d−1∑x=0

(d − x)fS(x) (7)

enquanto que para as expressoes (5)e (6) se obtem

E [Id ] =

∫ ∞d

[1− FS(x)]dx

=

∫ d+1

d[1− FS(x)]dx +

∫ d+2

d+1[1− FS(x)]dx + · · · ,

= [1− FS(d)] + [1− FS(d + 1)] + · · · ,

E [Id ] =∞∑

x=d

[1− FS(x)] (8)

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e tambem

E [Id ] =∞∑

x=0

[1− FS(x)]−d−1∑x=0

[1− FS(x)]

E [Id ] = E [S ]−d−1∑x=0

[1− FS(x)] (9)

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Em geral, obtem-se assim uma formula recursiva:

E [Id+1] = E [Id ]− [1− FS(d)], d = 0, 1, 2, · · ·

E [I0] = E [S ](10)

Este metodo e muito util para o caso de as indemnizacoesagregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, comseveridade nos valores inteiros positivos, ja que tambem para essecaso a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente.

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Formulas Recursivas para S _ PC(λ,FX ) com fX (x) = P[X = x ],x = 1, 2, · · ·A partir dos Valores Iniciais

fS(0) = P[S = 0] = e−λ

E [I0] = E [S ] = λp1 = λE [X ](11)

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sao usadas as Formulas Recursivas

fS(x) = P[S = x ] =λ

x

∞∑j=1

jfX (j)fS(x − j)

FS(x) = FS(x − 1) + fS(x)

E [Ix ] = E [Ix−1]− {1− FS(x − 1)}, x = 1, 2, 3, · · ·(12)

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Exemplo:

Uma carteira de apolices produz um no de sinistros, N, numperıodo fixo, de acordo com

n 0 1 2 3

P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2

e indemnizacoes individuais X com

x 1 2 3

P[X = x ] 0.5 0.4 0.1

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Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas asf.d. e f.m.p. de S , obtendo-se

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9fS (x) 0.1000 0.1500 0.2200 0.2150 0.1640 0.0950 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002FS (x) 0.1000 0.2500 0.4700 0.6850 0.8490 0.9440 0.9848 0.9974 0.9998 1.0000

Calcular o Premio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedutıvel ded = 7.

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Resolucao:

E [I7] =∞∑

x=8

(x − 7)fS(x) =9∑

x=8

(x − 7)fS(x)

= 1 · fS(8) + 2 · fS(9) = 0.0024 + 2(0.0002) = 0.0028,

ou, alternativamente,

E [I7] =∞∑

x=7

[1− FS(x)] =8∑

x=7

[1− FS(x)] = 0.0028

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Observacao:

Para o caso de S ter suporte nao limitado superiormente e maisconveniente utilizar as expressoes alternativas equivalentes parasomatorios finitos (ou integrais num intervalo limitado).

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Exemplo:

Supondo que S tem distribuicao Poisson Composta com λ = 1.5 eP[X = 1] = 2

3 e P[X = 2] = 13 , calcular fS(x), FS(x) e E [Ix ] para

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.

Resolucao:

Recorrendo as expressoes (11) e (12), obtem-se os valores iniciais

fS(0) = FS(0) = e−λ = e−1.5 = 0.223

E [I0] = E [S ] = λp1 = 1.5× E [X ] = 1.5× 4

3= 2

e em seguida as expressoes recursivas

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fS(x) =λ

x

2∑j=1

jfX (j)fS(x − j)

=1.5

x[fX (1)fS(x − 1) + 2fX (2)fS(x − 2)]

=1

x[fS(x − 1) + fS(x − 2)], x = 1, 2, · · · , 6

Por exemplo, fS(1) = fS(0) = 0.223 e assim sucessivamente,obtendo-se no final

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x fS(x) FS(x) E [Ix ]

0 0.223 0.223 2.0001 0.223 0.446 1.2232 0.223 0.669 0.6693 0.149 0.818 0.3384 0.093 0.911 0.1565 0.048 0.959 0.0676 0.024 0.983 0.026

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Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ruına

Este paragrafo aborda o tema proposto de uma forma introdutoria, visando um

compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a seguranca

esperada por outro. Estabelecendo como medida de seguranca exactamente um limite

superior para a probabilidade de ruına, pretende-se que a seleccao do contrato entre os

resseguros admissıveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. E

exactamente neste paragrafo que o significado da designacao dada anteriormente de

coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado

tratado de resseguro o valor daquele coeficiente nao e suficientemente elevado (ao

qual corresponde um valor de probabilidade de ruına mais baixo), devera ser tomado

em consideracao um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o

referido parametro ( e a baixar a probabilidade de ruına, consequentemente).

Essencialmente, a custa de exemplos ilustrativos e feita uma comparacao do

desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss.

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Questoes acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem serrespondidas de diferentes maneiras.

Uma da abordagens foi considerada a luz da teoria da utilidade.Assim, face a adopcao de uma funcao utilidade por parte daSeguradora e tendo a sua disposicao diversos tipos de contrato deResseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde amaior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muitosimples conceptualmente, mas que na pratica nao e muitoexplorada, fundamentalmente devido a escolha da funcao utilidademais apropriada.

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Posteriormente, foi considerada uma taxa de premio quecontemplava alguma carga de seguranca relativamente ao processode risco associado, nomeadamente,

c = (1 + θ)λp1 (13)

supondo p1 = E [X ] a indemnizacao individual esperada numperıodo de tempo unitario.

Em termos de Resseguro Stop-Loss, debrucamo-nos anteriormentesobre o calculo do premio puro associado ao resseguro comdedutıvel d , E [Id ], que nao e mais do que um limite inferior dovalor real do premio a pagar pela transferencia de parte dasindemnizacoes acima de certo montante de retencao.

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Tal como no caso geral, a real taxa de premio a pagar no caso deutilizacao do princıpio do valor medio obedece ao enquadramentogeral do tipo

Taxa do Premiode Resseguro

=(1+Coeficiente de Segu-ranca para Resseguro )

×Taxa Esperada dasIndemnizacoes paraResseguro

Isto e, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivo S ,h(S) ≤ S , a taxa de premio para o colectivo sera

ch = (1 + ξh)E [h(S)] (14)

sendo a taxa no colectivo afectada de uma carga de segurancaξhE [h(S)] .

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Observacao:

Note-se que sendo o taxa de premio de Resseguro determinadapela Resseguradora, o coeficiente de seguranca ξh e obtido a custade (14). Em particular, o estudo efectuado na seccao anterior comresultados para a taxa de premio puro E [Id ] equivale a considerarξh = 0.

Alternativamente a abordagem seguida anteriormente,consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certaforma contemplando um compromisso entre o ganho esperado, porum lado, e a seguranca esperada, por outro.

Devido a carga contida no premio de Resseguro, a aquisicao deResseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo,um contrato de resseguro conveniente implica um acrescimo deseguranca para a Companhia Cedente.

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Face a determinada condicao de seguranca pre-estabelecida, osegurador selecciona de entre os contratos de resseguro admissıveisaquele que produz um ganho esperado mais elevado.

Que medida de seguranca escolher?

Iremos considerar a probabilidade de ruına.

Um requisito possıvel podera ser uma condicao limitativa para aProbabilidade de Ruına, do tipo

PROBABILIDADE DE RUINA ≤ 1%

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Iremos desenvolver este estudo para determinados tratados deresseguro, para os quais seja possıvel determinar o respectivoCoeficiente de Ajustamento, R, (ou R).

Tornar-se-a agora mais clara a designacao de R: se paradeterminado tratado de resseguro o valor de R nao esuficientemente elevado (e ao qual corresponde um valor deProbabilidade de Ruına nao suficientemente baixo) devera sertomado em consideracao um reajustamento do contrato de formaa aumentar o R associado (e a baixar a probabilidade de ruına,consequentemente).

Iremos com o exemplo seguinte abordar a questao, para o caso deum Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem a sua escolha umde tres dedutıveis a estabelecer.

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Exemplo:

Uma Seguradora possui uma carteira de apolices que produzindemnizacoes agregadas anuais que sao independentes eidenticamente distribuıdas como uma Poisson Composta comλ = 1.5, com fX (1) = 2

3 e fX (2) = 13 . Os premios anuais sao de

montante c = 2.5.

a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resultadesta carteira (ou seja, com cobertura completa porparte desta companhia seguradora, ou ainda supondoo caso extremo de um dedutıvel d =∞).

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b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Losspara uma carga de seguranca associada de 100%.Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta deum contrato de resseguro stop-Loss afectado de umdedutıvel de

1 d = 3;2 d = 4;3 d = 5.

Comparar estas tres alternativas que a companhiatem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado.

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Resolucao: a) Estamos perante a definicao discreta do coeficientede ajustamento, ja que sao mencionados premios anuais e ocomportamento da indemnizacoes agregadas anuais.Assim, o processo de reservas associado e dado pelo modelo

Un = u + nc − Sn, Sn =n∑

i=1

Wi

onde Wi representa as indemnizacoes agregadas no ano i , sendoconsiderado que Wi i.i.d. a W _ PC(λ; FX ), com λ = 1.5 ec = 2.5.Para este caso particular foi mostrado que R ≡ R, i.e., R e solucaoda equacao do modelo a tempo contınuo

λ+ cr = λMX (r)

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Ora neste caso a f.g.m. associada as indemnizacoes individuais X e

MX (r) = E [erX ] = fX (1)er + fX (2)e2r =2

3er +

1

3e2r ,

donde o coeficiente de ajustamento associado a esta coberturatotal, R, e solucao da equacao transcendente

1.5 + 2.5r = er +1

2e2r ,

que resolvida iterativamente resulta em

R = 0.28

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Consideraremos o estudo do caso d = 4, ja que para os outrosvalores do dedutıvel o desenvolvimento e semelhante.No Exemplo foram calculados varios valores para a taxa do premiopuro, E [Id ], em particular E [I4] = 0.156 .De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradoraestabeleceu uma taxa de Premio de Resseguro que esta afectadade um coeficiente de seguranca

ξI4 = 100%,

i.e., denotando por cI4 o premio de resseguro anual para umStop-Loss com dedutıvel d = 4,

cI4 = (1 + ξI4)E [I4] = 2E [I4] = 0.312

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Assim, o Premio Retido anual na seguradora, cretido , sera igual aomontante recebido pelos seus segurados c subtraıdo do premio deResseguro, cI4 , que a empresa cedente tera de pagar aresseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e.,

cretido = c − cI4

ou seja,cretido = 2.5− 0.312 = 2.188

Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente ve asua responsabilidade desagravada, ficando com as indemnizacoesretidas

Wi =

{Wi , Wi = 0, 1, 2, 3, 44, Wi > 4

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sendo Wi i.i.d. a W que corresponde a v.a. W truncada em 4.Assim, ja nao tem lugar o modelo Poisson Composto e teremos derecorrer a equacao geral para determinacao do Coeficiente deAjustamento R associado a este tipo de tratado

e−cretido r MW (r) = 1

ou seja, considerando que fW (x) = fW (x) para x = 0, 1, 2, 3 e

fW (4) = 1− FW (3) e que Wd= S do Exemplo, entao R e solucao

da equacao

e−2.188r

{3∑

x=0

fS(x)exr + [1− FS(3)]e4r

}= 1;

note-se que fS e FS foram previamente calculadas recursivamenteno Exemplo 8.4.

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Por metodos numericos iterativos e possıvel determinar

R = 0.35,

pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente, Gretido ,sera igual ao montante de premios retido na companhia adicionadodo pagamento esperado de indemnizacoes pela Resseguradora esubtraıdo do montante esperado de indemnizacoes que tera depagar aos seus segurados; i.e.,

Gretido = cretido + E [I4]− E [W ]

= 2.188 + 0.156− λE [X ]

= 2.188 + 0.156− 1.5× 4

3= 0.344

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Para os outros valores de dedutıvel, d = 3, d = 5 e d =∞(semresseguro) os valores sao os seguintes:

d R Gretido

3 0.25 0.162

4 0.35 0.344

5 0.34 0.433∞ 0.28 0.500

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Comentario Final:

Relativamente a seguranca, em termos da probabilidade deruına ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, odedutıvel de d = 4 e preferıvel a d = 5, uma vez que oprimeiro produz R = 0.35 superior a R = 0.34.

Contudo, em termos do Ganho esperado d = 4 e pior do qued = 5 uma vez que o primeiro produz Gretido = 0.344 inferiora Gretido = 0.433.

Por outro lado, escolher um dedutıvel de d = 3 nao temsentido, ja que isso corresponde a um desempenho pior tantoem termos de seguranca como de ganho esperado do queausencia de resseguro (d =∞).

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Observacao

ote-se que o caso extremo de uma transferencia total dasindemnizacoes para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz avalores de um coeficiente de ajustamento R = 0 e portanto a ruınacerta. Realmente o valor correspondente de ganho esperado enegativo e de Gretido = −1.5 .

No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradorae Seguradora cedente sao estipulados em funcao das indemnizacoesagregadas.

Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguroem que os pagamentos da Resseguradora a Seguradora dependemdos montantes individuais.

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Em geral, uma cobertura deste tipo e definida em termos de umafuncao h(X ), com 0 ≤ h(X ) ≤ X .

Dois tipos de Tratado ja foram apresentados:

Resseguro Quota-Share (ou Proporcional)

h(X ) = αX , 0 ≤ α ≤ 1

Resseguro Excess-of-Loss (ou Excesso de Perda)

h(X ) = (X−β)+ = max(X−β, 0) =

{0, X < βX − β, X ≥ β , β ≥ 0

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Observacao:

1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α = 0 eα = 1 correspondem respectivamente a ausencia de resseguroe a resseguro de cobertura total. Para o ResseguroExcess-of-Loss β =∞ e a ausencia de resseguro enquanto queβ = 0 e resseguro de cobertura total.

2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivoreferente ao total de indemnizacoes as definicoes daquelestratados correspondem, respectivamente, a

αN∑

i=1

Xi eN∑

i=1

(Xi − β)+.

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No que se segue consideraremos novamente o modelo PoissonComposto PC(λ,FX ), com premios de resseguro pagoscontinuamente a uma taxa ch; assim, sendo c a taxa dos premioscontinuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retempremios a uma taxa cretido = c − ch. Entao o Coeficiente deAjustamento, Rh, relativo ao resseguro h e, consequentemente,associado as indemnizacoes retidas Xretido = X − h(X ) e a solucaonao trivial da equacao:

λ+ cretidor = λMXretido(r)

ou seja,

λ+ (c − ch)r = λ

∫ ∞0

er [x−h(x)]fX (x)dx

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Supondo que e aplicado o princıpio do valor medio a taxa depremio de resseguro, relativamente a um total de indemnizacoespagas pela resseguradora Sh, e do tipo

ch = (1 + ξh)E [Sh] = (1 + ξh)λE [h(X )]

e a taxa dos premios recebidos pelos segurados relativamente aum total de indemnizacoes S e como anteriormente

c = (1 + θ)E [S ] = (1 + θ)λE [X ]

vem, consequentemente, uma taxa de premios retidosrelativamente a um total de indemnizacoes retidas Sretido da forma

cretido = (1 + θ∗)E [Sretido ]⇐⇒ c − ch = (1 + θ∗)λE [X − h(X )]

Nos exemplos que se seguem exploraremos estes conceitos para osdois tipos de tratado de resseguro e diferentes coeficientes deseguranca associados.

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Exemplo:

Suponha-se que as indemnizacoes formam um processo de PoissonComposto, com λ = 1 e X _ U(0, 1). Os premios sao recebidosde acordo com uma taxa c = 1. Calcular o Coeficiente deAjustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional comα = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1 e se o coeficiente de seguranca pararesseguro e de

a) ξh = 100%; b) ξh = 140% .

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Resolucao:

A taxa de premio de resseguro e

ch = (1+ξh)λE [h(X )] = (1+ξh)λ

∫ 1

0h(x)fX (x)dx = (1+ξh)λ

∫ 1

0αxdx

pelo que

ch = (1 + ξh)λα

2.

a) Neste caso ξh = 100% e ch = α, vindo o coeficiente deajustamento como solucao da equacao

λ+ (c − ch)r = λ

∫ ∞0


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ou seja,

1 + (1− α)r =

∫ 1

0er(1−α)xdx ⇐⇒ 1 + (1− α)r =

er(1−α) − 1

r(1− α)

Considere-se o primeiro caso de α = 0 (ausencia de resseguro). Aresolucao por metodos numericos da equacao

1 + r =er − 1

r

conduz neste caso a R = 1.793.

Ora, como

1 + r =er − 1

r⇐⇒ 1 + (1− α)

r

1− α=

er

1−α (1−α) − 1r

1−α(1− α);

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fazendo r∗ := r1−α , somos conduzidos a equacao

1 + (1− α)r∗ =er∗(1−α) − 1

r∗(1− α),

pelo que as solucoes nao trivias da equacao determinante docoeficiente de ajustamento para os outros valores de α 6= 0correspondem a solucao encontrada para α = 0 escaladaconvenientemente, i.e.,

R ≡ Rα =1.793

1− α, α = 0.1, 0.2, · · · , 1.0

b) No caso de ξh = 140% os calculos sao semelhantes, vindo

ch = 1.2α

e R ≡ Rα e solucao da equacao

1 + (1− 1.2α)r =er(1−α) − 1

r(1− α)91 / 107





As solucoes para os casos a) e b) estao resumidas na tabela

Coeficiente de ajustamento Rαα ξh = 100% ξh = 140%

0.0 1.793 1.7930.1 1.993 1.9360.2 2.242 2.0950.3 2.562 2.2680.4 2.989 2.4360.5 3.587 2.5380.6 4.483 2.3350.7 5.978 0.635

0.8 8.966 − ←− α=5/7

0.9 17.933 −1.0 ∞ −

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Comentario Final:

Vejamos a que carga de seguranca, aplicada aos segurados,corresponde um premio c = 1:

c = (1 + θ)E [S ] = (1 + θ)λE [X ] = (1 + θ) · 1 · 1

2=⇒ θ = 1.

Em a), as cargas de seguranca para resseguro e para ossegurados sao iguais, i.e., ξh = θ = 1, e R ≡ Rα e crescentecom α (e a probabilidade de ruına?).

Em b), a carga de seguranca para resseguro e superior aaplicada aos segurados, i.e., ξh = 1.4 > θ = 1 e R ≡ Rα ecrescente de α = 0 ate α = 0.5 e depois decresce (e aprobabilidade de ruına?).

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Ainda em b) facamos uma analise mais detalhada do que seesta a passar em termos da ruına. Vejamos para que valor deα a taxa de premios retidos e igual ao valor esperado dasindemnizacoes retidas; quer dizer como

cretido = c−ch = 1−1.2α e E [Sretido ] = λE [X−h(X )] = 1· 1− α2

determine-se α por forma a que

cretido = E [Sretido ]⇐⇒ 1− 1.2α =1− α

2.

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Entao para este valor de α = 5/7, tem-se obviamente

cretido = (1 + θ∗)E [Sretido ] ⇐⇒ θ∗ = 0

concluindo que existe Ruına Certa para a Companhia Cedente.

O mesmo sucede para valores α > 5/7, pois isso equivale adizer que θ∗ < 0 e, consequentemente, cretido < E [Sretido ]

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Exemplo:

Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir umResseguro para uma cobertura Excess-of-Loss comβ = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1.Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente deseguranca para resseguro e dea) ξh = 100%; b) ξh = 140% .

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Resolucao:

A taxa de premio de resseguro e

ch = (1+ξh)λE [h(X )] = (1+ξh)λ

∫ ∞0

h(x)fX (x)dx = (1+ξh)

∫ 1

β

(x−β)dx

pelo que ch = (1 + ξh)(1− β)2

2.

a) No caso de ξh = 100% obtem-se ch = (1− β)2 e R ≡ Rβ esolucao nao trivial da equacao

λ+ (c − ch)r = λ

∫ ∞0


ou seja,

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1 + [1− (1− β)2]r =

∫ β

0erxdx +

∫ 1

βerβdx ,

pelo que tudo se resume a resolucao, por metodos numericos, daequacao

1 + [1− (1− β)2]r =erβ − 1

r+ (1− β)erβ

b) Neste caso ξh = 140% vindo ch = 1.2(1− β)2 e a consequenteequacao a resolver

1 + [1− 1.2(1− β)2]r =erβ − 1

r+ (1− β)erβ.

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As solucoes nao triviais das equacoes estao resumidas na tabela

Coeficiente de ajustamento Rββ ξh = 100% ξh = 140%

1.0 1.793 1.7930.9 1.833 1.8280.8 1.940 1.9200.7 2.116 2.0620.6 2.378 2.2590.5 2.768 2.5180.4 3.373 2.8400.3 4.400 3.1380.2 6.478 2.525

0.1 12.746 − ←− β=1−√

5/7

0.0 ∞ −

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Comentario Final:

A analise deste caso e semelhante ao do ResseguroProporcional, bastando notar que para o valor deβ = 1−

√5/7, se tem

1− 1.2(1− β)2 = (1 + θ∗)1− (1− β)2

2

⇐⇒ cretido = (1 + θ∗)E [Sretido ]

⇐⇒ θ∗ = 0

concuindo que para valores inferiores de β existe Ruına Certapara a Companhia Cedente.

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Exemplo:

Comparar os resultados dos exercıcios anteriores referentes aoresseguro proporcional hα(X ) e ao resseguro Excess-of-Loss hβ(X ),para os pares (α, β) tais que

E [hα(X )] = E [hβ(X )]

.

Resolucao:

Os pares (α, β) verificam a igualdade α2 = (1−β)2

2 , pelo queescrevendo α como funcao de β, α = (1− β)2 e comprocedimentos semelhantes aos expostos nos 2 exemplos anterioresobtem-se a tabela:

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Coeficientes de ajustamento para hα(X ) e hβ(X )

ξhα = 100% ξhβ = 100% ξhα = 140% ξhβ = 140%

α β Rα Rβ Rα Rβ0.00 1.0 1.793 1.793 1.793 1.7930.01 0.9 1.811 1.833 1.807 1.8280.04 0.8 1.868 1.940 1.848 1.9200.09 0.7 1.971 2.116 1.921 2.0620.16 0.6 2.135 2.378 2.030 2.2590.25 0.5 2.391 2.768 2.181 2.5180.36 0.4 2.802 3.373 2.372 2.8400.49 0.3 3.516 4.400 2.535 3.1380.64 0.2 4.981 6.478 1.992 2.5250.81 0.1 9.438 12.746 − −1.00 0.0 ∞ ∞ − −

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comentario:

Para uma dada carga de seguranca, o resseguro Excess-of-Lossconduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores deProbabilidade de Ruına inferiores) aos obtidos por uma coberturaProporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento deresseguro.

No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstracaoencontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclusaodo exemplo anterior e um caso particular do resultado geral, decerto modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Losscomparativamente a outro tipo de tratados como havia sidoreferido no inıcio do curso, sob a perspectiva da Utilidade.

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Teorema:

Considere-se um Resseguro h(X ), 0 ≤ h(X ) ≤ X , de taxa depremio ch. Seja hβ(X ) um Tratado Excess-of-Loss com dedutıvel βe seja chβ a sua taxa de premio. Sejam Rh e Rhβ os respectivosCoeficientes de Ajustamento.Se E [h(X )] = E [hβ(X )] e ch = chβ entao Rh ≤ Rhβ .

Observacao:

Note-se que dizer que as taxas de premios sao iguais e equivalentea dizer que a seguranca e igual, ja que

ch = chβ ⇐⇒ (1+ξh)λE [h(X )] = (1+ξβ)λE [hβ(X )]⇐⇒ ξh = ξhβ

uma vez que E [h(X )] = E [hβ(X )].

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De acordo com as condicoes do teorema as conclusoescomparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento sopodem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro.

Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga deresseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento efazendo simultanemaente decrescer os premios de resseguro.

No ultimo caso apresentado, temos exemplificada essa situacao doseguinte modo:

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Para α = 0.49 e ξhα = 100%, o valor da taxa de resseguro e de

chα = 2α

2= 0.49,

enquanto que para β = 0.3 e ξhβ = 140% a taxa de ressegurorespectiva e de

chβ = 2.4(1− β)2

2= 0.58,

verificando-se quechα < chβ .

Quanto aos coeficientes de ajustamento tambem o TratadoProporcional oferece vantagem, ja que

Rα = 3.516 > Rβ = 3.138,

associando igualmente uma menor probabilidade de ruına paraaquele tratado.

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Uma escolha conveniente de resseguro devera ter estes doisobjectivos: por um lado, uma

taxa de premio tao baixa quanto possıvel e conduzir amaior seguranca, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento

e, consequentemente, a menor probabilidade de Ruına.

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Education

Aplicacão da teoria do risco a seguros