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Presentacion del curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias
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ECUACIÓN DIFERENCIAL Es aquella en la cual aparecen variables y
sus derivadas respecto a una o más variables independientes
Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
nn
n
n =+
+
++
+
+
−
−
−−
−
− 012
2
22
2
21
1
1 ......)(
USO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se utilizan para representar modelos matemáticos de fenómenos físicos o sociales, tales como:
cuerdaladeamientoalx
friccióndeecoeficient
ustedsobre
cuerdaladefuerzaxb
pesosumg
xxbmgxm
arg
)(
)(
==
==
−+=′′
β
β
2
2
2
2
2
2
)()( rRa
Rg
Rr
Rg
dt
rd
l
ll
t
t
−++
+−=
NOTACIÓN EN LA ECUACIÓN DE LANZAMIENTO A LA LUNA
r = distancia de la superficie de la Tierra a la posición del cohete.
g = aceleración de la gravedad de la Tierra
Rt = Radio de la Tierra Rl = Radio de la Luna gl = aceleración de la gravedad de la
Luna a = distancia superficie Tierra,
superf. Luna
X= oscilaciones del puente
Este sistema permite predecir el clima
N = cantidad de carbono 14 en el fósil
ECUACIONES DIFERENCIALESDE PRIMER ORDEN
Problema de Epidemiología: Un problema
importante de la biología y de la
medicina trata de la ocurrencia,
propagación y control de una enfermedad contagiosa; si un
porcentaje grande no común de una
población adquiere la enfermedad, decimos
que hay una EPIDEMIA
Supongamos que restringimos el universo a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades, entonces …..
EL MODELO MATEMÁTICO ES …
La velocidad de contagio (dNi/dt) es proporcional al número de contagiados (Ni) y al número de personas no contagiadas en contacto con los primeros (N-Ni)
Ni)-Ni(Nα=dt
dNi
SOLUCIÓN DEL MODELO
teNoNN
Niα
−+
=11
SITUACIONES PARTICULARES Si en el
establecimiento existen 1000 estudiantes, que inicialmente hubo un contagiado, y que a los 4 días hubieron 3 contagiados más, entonces el modelo quedará de la siguiente forma
4)997
3*999(
9991
1
1000
tNi
+=
PRONÓSTICO
A LOS 15 DÍAS SE TENDRÍAN
58 CONTAGIADOS
Aplicación a la Química Dos químicos, A y B, reaccionan para
formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas es proporcional a la masa de los reactivos que aun no intervienen en la reacción (ley de acción de masas). Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x /
3lb.) de B, Por tanto:
)3
20)(3
2x-k(10
x
dt
dx −=
La solución del modelo es
45kte c ) x - 15 ( / ) x -60 ( =
Condiciones especiales
x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3 Lo que transforma a la solución general en:
10
10t
41
)e-60(1x t
e−=
Interpretación
Cuando
Por tanto la mayor cantidad de producto C que se podría alcanzar es de 15 lbs.
15 , →∞→ xt
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
F(t)
Movimiento Armónico Simple:
Ecuación diferencial para el movimiento forzado no amortiguado:
d²x/dt² + ω²x = F(t) donde:
X(t) representa el desplazamiento instantaneo F(t) fuerza motriz que interviene a lo largo del
movimiento
el de pende que masa la m
y resorte del delasticida de constante lak con m
k=ω
Ejemplo concreto
Se pende una masa m=1/16 unidades de un resorte cuya constante de elasticidad k=1 unidades. Sobre el sistema interviene una F(t)=10sen(4t) a lo largo del movimiento. Suponiendo que la masa parte de la posición de equilibrio con una velocidad igual a 2 unidades hacia arriba, encuentre la ecuación que describa el movimiento de m
Ecuación del sistema:
d²x/dt² + 16x = 10sen(4t)
Solución de la ecuación SOLUCIÓN GENERAL:
CONDICIONES INICIALES x(0)=0 Y x´(0)=-2, ENTONCES LA SOLUCIÓN SE TRANSFORMA EN:
)4(4
5)4()4cos( 21 ttsentsenCtC ++
)4(4
5)4(
2
1)( ttsentsentX +−=
Gráfica de la solución:
EJEMPLO DE RESONANCIA MECÁNICA
CAIDA DEL DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA (NARROWS)
FIN DE PRESENTACIÓN
GRACIAS