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IFSC / Cálculo I Prof. Júlio César TOMIO Página 1 de 17 Funções Trigonométricas [ou Circulares] ● Introdução: A trigonometria originou-se com parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa, de certa forma, medida de figuras com três ângulos [lados] e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em ternos de triângulos. No entanto, as funções trigonométricas podem ser definidas usando-se o círculo unitário [trigonométrico], uma definição que as faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente são periódicos também. O nível da água em uma bacia sujeita às mares, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente alternada e a posição de moléculas de ar transmitindo uma nota musical variam regularmente. Tais fenômenos, entre outros, são representados por funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares. Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Conceito Inicial: O Círculo Trigonométrico: O Círculo Trigonométrico, também conhecido como circunferência ou ciclo trigonométrico, é uma circunferência de raio unitário, centrada na origem dum sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. Nele, foi convencionado que a orientação no sentido anti-horário nos dará a contagem positiva dos ângulos [ou arcos], e conseqüentemente, no sentido horário, os ângulos serão dados como negativos. ● Unidades Angulares: As unidades para ângulo são: o grau [ º ], o radiano [ rad ] e o grado [ gr ]. Vale observar que, no SI [Sistema Internacional de Unidades], a unidade para ângulo plano é o radiano. Das unidades em questão, o radiano é a única que dispensa a utilização de seu símbolo, neste caso “rad”. Assim, no ciclo trigonométrico abaixo, temos as extremidades dos quadrantes indicadas com as 3 unidades angulares mencionadas: 90º 0 360º 270º 180º 100gr 400gr 300gr 200gr 0gr Em nosso estudo, as unidades angulares mais utilizadas serão o radiano e o grau. Assim, a conversão entre elas pode ser feita através de uma regra de três, usando-se a relação: 180º rad Observação: A partir do exposto até aqui, é possível indicarmos um ângulo maior que 360º ou mesmo um ângulo negativo; e isso implicará no comportamento periódico das funções trigonométricas que veremos a seguir. Arcos côngruos [ou congruentes] São arcos [ou ângulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que diferem um do outro apenas pelo número de voltas no ciclo trigonométrico, independente do sentido da orientação. Veja: ... º 710 º 350 º 1090 º 730 º 370 º 10 Note que: º 360 º 10 º 370 º 360 ). 1 ( º 10 º 360 º 360 º 10 º 730 º 360 ). 2 ( º 10 º 360 º 360 º 360 º 10 º 1090 º 360 ). 3 ( º 10 º 360 º 10 º 350 º 360 ). 1 ( º 10 º 360 º 360 º 10 º 710 º 360 ). 2 ( º 10 Assim, todo ângulo tem uma expressão geral do tipo: º 360 . 0 k , com k Sendo k o número de voltas e 0 a “1ª determinação positiva”. Para o caso acima, temos: º 360 . º 10 k , com k .

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Funções Trigonométricas [ou Circulares] ● Introdução:

A trigonometria originou-se com parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa, de certa forma, medida de figuras com três ângulos [lados] e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em ternos de triângulos. No entanto, as funções trigonométricas podem ser definidas usando-se o círculo unitário [trigonométrico], uma definição que as faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente são periódicos também. O nível da água em uma bacia sujeita às mares, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente alternada e a posição de moléculas de ar transmitindo uma nota musical variam regularmente. Tais fenômenos, entre outros, são representados por funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares.

Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

● Conceito Inicial: O Círculo Trigonométrico:

O Círculo Trigonométrico, também conhecido como circunferência ou ciclo trigonométrico, é uma circunferência de raio unitário, centrada na origem dum sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. Nele, foi convencionado que a

orientação no sentido anti-horário nos dará a contagem positiva dos ângulos [ou arcos], e conseqüentemente, no sentido horário, os ângulos serão dados como negativos.

● Unidades Angulares:

As unidades para ângulo são: o grau [ º ], o radiano [ rad ] e o grado [ gr ]. Vale observar que, no SI [Sistema Internacional de Unidades], a unidade para ângulo plano é o radiano. Das unidades em questão, o radiano é a única que dispensa a utilização de seu símbolo, neste caso “rad”. Assim, no ciclo trigonométrico abaixo, temos as extremidades dos quadrantes indicadas com as 3 unidades angulares mencionadas:

90º

0

360º

270º

180º

100gr

400gr

300gr

200gr 0gr

Em nosso estudo, as unidades angulares mais utilizadas serão o radiano e o grau. Assim, a conversão entre elas pode ser feita através de uma regra de três, usando-se a relação:

180º rad

Observação: A partir do exposto até aqui, é possível indicarmos um ângulo maior que 360º ou mesmo um ângulo negativo; e isso implicará no comportamento periódico das funções trigonométricas que veremos a seguir.

Arcos côngruos [ou congruentes]

São arcos [ou ângulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que diferem um do outro apenas pelo número de voltas no ciclo trigonométrico, independente do sentido da orientação. Veja:

...º710º350º1090º730º370º10

Note que: º360º10º370 º360).1(º10

º360º360º10º730 º360).2(º10

º360º360º360º10º1090 º360).3(º10

º360º10º350 º360).1(º10

º360º360º10º710 º360).2(º10

Assim, todo ângulo tem uma expressão geral do tipo:

º360.0 k , com k

Sendo k o número de voltas e 0 a “1ª determinação positiva”.

Para o caso acima, temos: º360.º10 k , com k .

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Definição de Radiano: um ângulo de 1 radiano é definido com sendo o ângulo no centro do círculo unitário que limita [determina] um arco de comprimento 1 nesse círculo, medido no sentido anti-horário [Figura 1].

Figura 1 Figura 2 [Fonte: Wikipédia]

Isso implica que 1 radiano corresponde ao arco com o mesmo comprimento do raio da circunferência em questão [Figura 2]. Notas: a palavra “radiano” remete a palavra raio [radius]. Quando temos a particularidade do raio ser unitário, será indiferente falar em arco ou ângulo.

Decorrente disso, podemos calcular o comprimento de qualquer arco de uma circunferência através do ângulo central ,

dado em radianos.

Assim: R

Definimos como Perímetro ou Comprimento C , uma volta completa

na circunferência. A relação acima fica assim adaptada:

RC 2

● As Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Unitário

Os valores de sen serão medidos no “eixo x” do sistema cartesiano ortogonal associado e os valores de cos serão

medidos no “eixo y”. Os valores de tg serão medidos num eixo vertical tangente à circunferência trigonométrica na

origem os arcos.

tgsencosec cotg

cossec

Os valores de secante [sec] e cossecante [cosec] de um ângulo serão medidos nos eixos “x” e “y”, respectivamente, e os valores da cotangente [cotg] de um ângulo serão medidos num eixo horizontal tangente à circunferência trigonométrica.

Comprimento AP = 1

R = 1

= 1 rad

R

Comprimento do arco = raio

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Seno de um Ângulo :

O seno de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a projeção

ortogonal da extremidade “P” do arco de sobre o eixo “y” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com arcos

em cada um dos quadrantes.

1º Quadrante 2º Quadrante

θsenOM

Note que:

θ)(senθsen

3º Quadrante 4º Quadrante

θsenOM

Observação: É importante verificar que o seno de um ângulo qualquer estará sempre compreendido no intervalo:

1sen1

Cosseno de um Ângulo :

O cosseno de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a

projeção ortogonal da extremidade “P” do arco de sobre o eixo “x” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes.

1º Quadrante 2º Quadrante

θcosON

Note que:

θ)cos(θcos

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3º Quadrante 4º Quadrante

θcosON

Observação: É importante verificar que o cosseno de um ângulo qualquer estará sempre compreendido no intervalo:

1cos1

Tangente de um Ângulo :

A tangente de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do ciclo trigonométrico [ponto A] com a

intersecção [ponto T] da reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pela extremidade “P” do arco de . Veja os

quatros possíveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes.

1º Quadrante 2º Quadrante

AT = tgθ

Note que:

θ)(tgθtg

3º Quadrante 4º Quadrante

AT = tgθ

Observação: É importante notar que a tangente de um ângulo só existirá se: º180.º90 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θtg pode assumir qualquer valor real, ou seja: θtg

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A Relação Fundamental da Trigonometria: 1cos22

sen

Podemos deduzi-la facilmente através do círculo trigonométrico. Veja:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo acima, temos:

222)()()( catcathip

222)(cos)()1( sen

1cos

22 sen

Alguns Valores Trigonométricos:

Para sua observação, na tabela abaixo apresentamos alguns valores trigonométricos, além dos já vistos anteriormente.

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º

sen

0 2

1

2

2

2

3

1 2

3

2

2

2

1

0

1

0

sen

cos

1 2

3

2

2

2

1

0 2

1

2

2

2

3

1

0

1

cos

tg

0 3

3

1

3

3

1 3

3

0

0

tg

Nota: experimente encontrar alguns dos valores trigonométricos em sua calculadora científica!

Uma Animação na Web!

Em http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.html você poderá “interagir” com um círculo trigonométrico para observar a variação dos valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer.

Secante, Cossecante e Cotangente de um Ângulo :

Veja abaixo as relações para um ângulo no 1º quadrante. A interpretação para os demais quadrantes fica a cargo do leitor.

OS = sec θ OC = cosec θ BQ = cotg θ

É importante notar que a secante de um ângulo só existirá se: º180.º90 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θsec terá variação: 1θsec ou 1θsec

É importante notar que a cossecante de um ângulo só existirá se: º180.º0 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θcosec terá variação: 1θcosec ou 1θcosec

É importante notar que a cotangente de um ângulo só existirá se: º180.º0 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θcotg pode assumir qualquer valor real, ou seja: θcotg

cos

sen

1

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Resumo das variações dos sinais das funções nos quadrantes

1o Q 2o Q 3o Q 4o Q

Seno + + – –

Cosseno + – – +

Tangente + – + –

Cotangente + – + –

Secante + – – +

Cossecante + + – –

Funções com Sinais Positivos nos Quadrantes!

Mais Relações:

Podemos relacionar algumas funções trigonométricas entre si. Então segue abaixo, outras relações trigonométricas para um arco qualquer x . Incluímos nessa lista, a relação fundamental da trigonometria [vista anteriormente] como lembrete.

1cos22

xxsen x

xsenxtg

cos

xx

cos

1sec

xsenx

1cosec

xsen

x

xtgx

cos1cotg

xtgx22

1sec xx22

cotg1cosec

● Algumas Aplicações de Funções Trigonométricas

Variação Angular de Movimento:

A variação do ângulo “Y” em relação ao tempo “t” (em segundos) de uma corrida “leve” pode ser dada por:

4

3

3

8

9tsenY

Fonte: GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. Vol. 2. 1. ed. São Paulo: FTD, 2000.

Insolação Diária:

O modelo matemático que indica o número de horas do dia, com luz solar “L”, de uma determinada cidade norte americana, “t” dias após 1º de Janeiro é:

Fonte: J. Stewart – Cálculo Vol. 1 – p. 34

)80t(

365

2sen8,212)t(L

sen cosec

todas

cos sec

tg cotg

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O Processo Respiratório:

Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar “F” na traquéia, em ambos os sentidos (inspiração e expiração), e a pressão interpleural “P” (pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos intercostais) são funções periódicas do tempo “t”, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t > 0, em que “k”, “A”, “B” e “C” são constantes reais positivas e “ß” é a freqüência respiratória, por:

F(t) = A.sen (ß.t) com P(t)= C – B.F(t + k/ß)

Densidade do Ar:

O modelo matemático desenvolvido pelo pesquisador brasileiro Prof. César Monteiro de Barros, determina a densidade do ar

(em kg/m3) em função da altitude H , em metros, para um limite de até 30.000 m de altitude.

876,029349)000131914,1(58,1 Hsen

● Funções Trigonométricas – Definições Funções Trigonométricas [ou Circulares] são funções que possuem pelo menos uma das relações trigonométricas estudas anteriormente. Nosso estudo ficará concentrado em modelos específicos de funções que envolvem somente o seno ou o cosseno de um ângulo. FUNÇÃO SENO

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xsenxf )( .

Representação Gráfica:

Características:

Domínio: D Conjunto Imagem: 11|1,1Im yy

Alguns Conceitos Associados:

Amplitude [ A ] é a metade da distância entre o valor máximo e mínimo da função (se existirem).

Período [ p ] é o espaço [ou menor tempo] necessário para que a função execute um ciclo completo.

Assim, na função xsenxf )( temos que a Amplitude é: 1A e o período é: 2p .

Nota: Funções que possuem período [e que por isso formam ciclos repetidos] são chamadas de funções periódicas.

2p

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FUNÇÃO COSSENO

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xxf cos)( .

Representação Gráfica:

Características:

Domínio: D Conjunto Imagem: 11|1,1Im yy

Amplitude: 1A Período: 2p

Note que, se “deslocarmos horizontalmente” o gráfico da função xy cos em rad2/ , esse novo gráfico ficará

idêntico ao gráfico da função xseny . Por esse motivo, gráficos que têm a forma de uma curva seno ou cosseno são

chamados de senoidais. Podemos ainda dizer que a DIFERENÇA DE FASE entre xseny e xy cos é 2/ .

FUNÇÃO TANGENTE

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xtgxf )( .

Representação Gráfica:

Características:

Domínio:

ZkcomkxxD ,2

/

Conjunto Imagem: Im

Amplitude: .temnão Período: p

A função xtgxf )( tem assíntotas verticais em

Zkcomkx ,2

.

2p

x

p =

Assíntota Vertical

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Observações:

Pesquise e reflita sobre a representação gráfica das funções xy sec , xy cosec e xy cotg .

As funções trigonométricas, considerando certas restrições, possuem inversa. As funções xseny e xy cos , por

exemplo, têm como inversas: xy sen arc e xy cos arc , respectivamente. [Procure saber mais!]

Nas calculadoras científicas mais comuns encontraremos as funções inversas sen arc e cos arc , por exemplo,

representadas por -1sen e -1cos , respectivamente. Esta última representação [com expoente (–1)] é apenas um padrão

de simplificação, muito provavelmente de origem norte-americana. ● Variando Parâmetros das Funções Circulares

Vamos estudar o comportamento gráfico da função circular SENO, através da variação dos parâmetros: Amplitude, Período, Deslocamento Vertical e Descolamento Horizontal (fase). O raciocínio é análogo para o comportamento da função COSSENO. Variação da Amplitude:

Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:

Variação do Período:

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Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:

Deslocamento Vertical:

Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:

Deslocamento Horizontal (diferença de fase):

Fique Ligado!

Observe as notações abaixo:

2)2( xsenxsen

pois

xsenxsen 22

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atg

atgatg

21

22

tgbtga

tgbtgabatg

1)(

Representando esses mesmos gráficos, porém agora, apresentando-os em um único período, temos:

Observação:

2cos

xsenx

● Função Periódica Genérica [ou Generalizada]: Agora, podemos escrever uma função periódica generalizada:

)()( dcxsenbaxf ou )(cos)( dcxbaxf

Sendo que:

Amplitude: || bA Período: ||

2

cp

Desloc. Horizontal:

c

dDH

Desloc. Vertical: aDV

Transformações Trigonométricas para Arcos:

Tais transformações apresentadas abaixo, não farão parte de nosso estudo neste momento. Entretanto, torna-se oportuno apresentá-las agora. Procure relembrar e aprender um pouco mais!

asenbbsenabasen coscos)( senbsenababa coscos)(cos

asenaasen cos22 asenaa 22cos2cos

2

cos1

2

aasen

2

cos1

2cos

aa

a

aatg

cos1

cos1

2

2cos

22

babasenbsenasen

2cos

22

babasenbsenasen

2cos

2cos2coscos

bababa

222coscos

basen

basenba

Agora, para refletir... Não se pode transformar o que não se aceita. (Jung)

Nota: Os gráficos das “variações” aqui apresentados foram retirados do artigo: Função Trigonométrica: Um Enfoque Aplicado ao Ensino Técnico, de autoria das Professoras Maristela de Quadros Albé e Rosane

Maria Jardim Filippsen.

Para Descontrair!

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EXERCÍCIOS – Funções Trigonométricas [ou Circulares] 1) Esboce o gráfico das funções dadas a seguir, indicando para cada caso, a amplitude, o período, os deslocamentos e também o conjunto Imagem. [Obs.: não é necessário representar mais que um período da função dada]

a) f(x) = 3.sen(x)

b) f(x) = –3.sen(x)

c) f(t) = 5.cos(t)

d) f(t) = –5.cos(t)

e) y = 1 + sen(x)

f) y = cos(x/2)

g) y = sen(5x) + 1

h) y = sen(x + )

2) Com base no círculo trigonométrico ao lado, determine os valores pedidos a seguir.

a) sen 30º = _________ i) sen 270º = _________

b) cos 60º = _________ j) cos 270º = _________

c) sen 150º = _________ k) sen (–90º) = _________

d) cos 150º = _________ l) cos (–90º) = _________

e) sen 90º = _________ m) sen 315º = _________

f) cos 90º = _________ n) sen (–45º) = _________

g) sen 210º = _________ o) cos 315º = _________

h) cos 210º = _________ p) cos (–45º) = _________

Observação: Confira as respostas em sua calculadora científica!

3) Em 10 de fevereiro de 1990, a maré alta numa determinada cidade foi à meia noite. A altura de água no porto é uma

função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura (em pés) é aproximada pela fórmula:

ty

6cos9,45

, onde “t” é o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990.

a) Esboce um gráfico dessa função em 10 de fevereiro de 1990 [de t = 0 até t = 24h] b) Qual era a altura da água à maré alta? c) Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água nesse momento? d) Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés? e) Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés?

4) (UCS) Nossa respiração é um fenômeno cíclico, com períodos alternados de inspiração e expiração. Em um determinado

adulto, a velocidade do ar nos pulmões em função do tempo, em segundos, decorrido a partir do início de uma inspiração é

dada pela equação

5

25,0)(

tsentv

. Determine o tempo do ciclo respiratório completo desse adulto [em segundos].

5) Num certo lugar, as marés altas ocorrem à 0 h e às 12 h com altitude de 0,9 m , enquanto que as marés baixas ocorrem

às 6 h e às 18 h com altitude de 0,1 m . Nessas condições, qual a função que descreve a altitude do mar [em metros] em

relação ao horário “t”, em horas?

i) y = 2.sen(x + )

j) y = ½(cos 3x) + 1

k) y = – 2 + cos(t/4)

l) y = – 2 + 2.sen(4x)

m) y = 3.cos(x + ) – 1

n) y = 1+ 2.sen(x + /2)

o) y = – cos(2t) – 2

p) y = 1 – 3.cos(x + )

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6) Quando uma onda senoidal se propaga em uma corda, sua fonte realiza, na vertical, um movimento harmônico simples e

tem sua posição y , em função do tempo t , dada pela lei ).cos()( tAty , em que A é a amplitude, é a fase

inicial e é a pulsação do movimento. Sabendo que uma onda se propaga de acordo com a equação

tty

42cos3)(

, analise as sentenças abaixo assinalando [V] para as afirmações verdadeiras e [F] para as falsas.

( ) A amplitude é igual a 3.

( ) A fase inicial é igual a /4.

( ) A pulsação da onda é igual a 2.

( ) A posição da vertical da onda é 2, para o tempo decorrido de 3/2.

7) Determine a função geradora de cada um dos gráficos dados a seguir:

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8) Utilizando como referência o triângulo ao lado, mostre que a tangente de

um ângulo pode ser calculada através da divisão do seno pelo cosseno do

mesmo ângulo, ou seja: x

xx

cos

sentg .

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS NOTA: Alguns dos gráficos apresentados a seguir contêm “deformidades” na sua curvatura!

1a)

Amplitude: 3A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }33{Im y/Ry

1b)

Amplitude: 3A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }33{Im y/Ry

1c)

Amplitude: 5A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }55{Im y/Ry

1d)

Amplitude: 5A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }55{Im y/Ry

a

c

b

y = 3 sen x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270 360

y = -3 sen x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270 360

y = 5 cos t

-5-4-3-2-1012345

0 90 180 270 360

y = -5 cos t

-5-4-3-2-1012345

0 90 180 270 360

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1e)

Amplitude: 1A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }20{Im y/Ry

1f)

Amplitude: 1A

Período: 4p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }11{Im y/Ry

1g)

Amplitude: 1A

Período: 5/2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }20{Im y/Ry

1h)

Amplitude: 1A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: DH

Conjunto Imagem: }11{Im y/Ry

1i)

Amplitude: 2A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: DH

Conjunto Imagem: }22{Im y/Ry

y = sen (x) + 1

-2

-1

0

1

2

0 90 180 270 360

y = cos(x/2)

-1

-0,5

0

0,5

1

0 180 360 540 720

y=sen(5x)+1

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 18 36 54 72

y=sen(x+p)

-1

-0,5

0

0,5

1

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

y=2 sen(x+p)

-2

-1

0

1

2

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

Page 16: Apostila  001 trigonometria funcoes trigo

IFSC / Cálculo I Prof. Júlio César TOMIO

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1j)

Amplitude: 2/1A

Período: 3/2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }2/32/1{Im y/Ry

1k)

Amplitude: 1A

Período: 8p

Deslocamento Vertical: 2DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }13{Im y/Ry

1l)

Amplitude: 2A

Período: 2/p

Deslocamento Vertical: 2DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }04{Im y/Ry

1m)

Amplitude: 3A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: DH

Conjunto Imagem: }24{Im y/Ry

1n)

Amplitude: 2A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: 2/DH

Conjunto Imagem: }31{Im y/Ry

y=0,5(cos3x)+1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 30 60 90 120

y=(cosx/4)-2

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 360 720 1080 1440

y=2sen(4x)-2

-4

-3

-2

-1

0

0 22,5 45 67,5 90

y=3cos(x+p)-1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

y=2sen(x+p/2)+1

-2

-1

0

1

2

3

-180 -90 0 90 180 270 360

Page 17: Apostila  001 trigonometria funcoes trigo

IFSC / Cálculo I Prof. Júlio César TOMIO

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1o)

Amplitude: 1A

Período: p

Deslocamento Vertical: 2DV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }13{Im y/Ry

1p)

Amplitude: 3A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: 1DV

Deslocamento Horizontal: DH

Conjunto Imagem: }42{Im y/Ry

3a)

3b) 9,9pés 3c) Às 6h e às 18h com altura de 0,1pé 3d) 12h [discutir significado] 3e) 4,9pés [discutir significado]

4) 5 segundos 5)

ty

6cos4,05,0

6) V – F – V – F

7a)

)2(23)( xsenxf 7b)

xxf

4

3cos9,01,0)( 7c)

22

1)(

xsenxf

7d)

2

3

2

1cos)(

xxf 7e)

2)(

xsenxf 7f)

2cos35)(

xxf

Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. (Sócrates)

y=-cos(2x)-2

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

0 45 90 135 180

y=-3cos(x+p)+1

-2

-1

0

1

2

3

4

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

9,90

7,45

2,55

0,10

2,55

7,45

9,90

7,45

2,55

0,10

2,55

7,45

9,90

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Alt

ura

da

mar

é (

s)

t (horas)

10 de fevereiro de 1990