Apostila mat concursos

Matemática para Concursos 1

? Índice

Conjuntos numéricos..........2 Intervalos reais..........4 Razão..........5 Escalas..........6 Proporção..........6 Números diretamente e proporcionais..........7 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais..........9 Regra de três..........10 Procentagem..........14 Equações de 1º grau..........15 Equações de 2º grau..........18 Inequações de 1º grau..........22 Inequações de 2º grau..........23 Sistemas lineares..........24 Funções..........26 Função de 1º grau..........32 Função de 2º grau..........33 Equação exponencial..........38 Função exponencial..........38 Logaritmos..........39 Sistema de medidas de tempo.........41 Sistema decimal de medidas.........41 Progressão aritmética (P.A.)..........42 Progressão geométrica (P.G.)..........47 Princípios de contagem..........55 Arranjo simples..........55 Permutação simples..........56 Combinação simples..........57 Noções de probabilidade..........58 Noções de estatística..........62 Gráficos de barras e colunas..........62 Médias..........63 Mediana..........65 Moda..........65 Desvio..........65 Variância..........65 Desvio padrão..........65 Geometria plana..........66 Teorema de Tales..........66 Razões trigonométricas..........67 Semelhança de polígonos..........69 Quadriláteros..........70 Geometria espacial..........73 Poliedros..........76 Prismas..........77 Paralelepípedo..........78 Cilindro..........81 Cone..........82 Pirâmide..........83 Troncos..........84 Esfera..........85 Juros simples..........91 Descontos simples..........97 Juros compostos..........98 Descontos compostos..........101 Rendas certas..........104 Sistemas de amortização..........106


“Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta.”

Carl Friedrich Gauss

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( IN ) N= {0,1,2,3,4,5,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto N* :

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..} o zero foi excluído do conjunto N.

Podemos considerar os números naturais ordenados sobre uma reta, conforme o esquema abaixo.

7 1211109861 54320 Importante:

O asterisco (*) representa a eliminação do elemento zero (0) do conjunto.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z ) Z = {... –3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ...} Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes subconjuntos de Z: Z* = Z – { 0 } Z + = conjunto dos números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Z _ = conjunto dos números inteiros não positivos = {..., - 4, -3, -2, -1, 0}

*Z = conjunto dos números inteiros positivos

={1, 2, 3, 4, 5, ...}

*Z = conjunto dos números inteiros negativos

= {..., -4, -3, -2, -1} Observe que Z + = IN Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta conforme abaixo.

1 654320-5 -1-2-3-4-6 Importante: 1) A _ parte não positiva do conjunto 2) A + parte não negativa do conjunto

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os números racionais. Entao: -2, -5/4 , -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo, são

números racionais.

Todo número racional pode ser colocado em forma a

b com a

Z, b Z e b 0. Exemplos: -2 = -2/1 = -4/2 = -6/3 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 -5/4 = 5/-4 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 Assim, podemos escrever:

Q = {x | x = a

b, com a Z, b Z e b 0}

É interessante considerar a representação decimal de um

número racional a

b, que se obtém dividindo-se a por b:

Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada

na forma de número racional a

b.

1 5 30 5

2 10 6,

1 3 12

0 33333 9 36

, ....

Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta, conforme o esquema abaixo.

1 654320-5 -1-2-3-4-6 12

13

- 125

3710

- 215

285

83

-

É importante lembrar que: entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro ; entre dois racionais sempre existe outro racional.

10 5

2,

51 25

4,

75

3 7520

,

Estes exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.

1 0 3333 0 33

, .... ,

7

11666 1166

, ... ,

6 0 857142857142 0 8571427

, ... ,

Estes exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.


Exemplos: entre 1 e 5/4 existe 6/5 entre 6/5 e 3/2 existe 5/4

Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso não significa que preencha todos os pontos da reta, conforme veremos a seguir.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )

Consideremos, por exemplo, os números 2 e 3 . Vamos determinar a sua representação decimal:

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508 ... Observamos então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais

,que não podem ser escritos na forma a

b.

Observe a seguinte construção que nos mostra a representação geométrica de um número irracional :

1 2

1 Outros exemplos :

- 2 = -1,414213...

- 5 = -2,236068.... e = 2,718...(base do logaritmo Natural) = 3,1415926535...

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R ) Dados os conjuntos dos números Racionais ( Q ) e irracionais ( I ), define-se o conjunto dos números reais como: -

ou IR Q I x / x Q x I

Assim, são números reais: os números naturais (N); os números inteiros (Z) ; os números racionais(Q) ; os números irracionais ( I ). Como subconjuntos importantes de R, temos:

*R = R – {0} (reais não nulos)

R = conjunto dos números reais não negativos.

R = conjunto dos números reais não positivos.

*R = conjunto dos números reais positivos.

*R = conjuntos dos números reais negativos.

Como os números reais resultam da união dos números racionais com os números irracionais, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais: cada ponto representará um único número real e cada número real será representado por um único ponto. A esta reta nos referimos como reta real. Atenção: Existem 2 exceções nos R ,a saber: a) divisão por zero; b) raízes de índice par com radicando negativo. O diagrama abaixo ilustra a disposição dos conjuntos.

INTERVALOS

Intervalos são subconjuntos de R, determinados por dois

números reais a e b, com ba . Os intervalos podem ser: Fechados Quando suas extremidades pertencem ao conjunto. A representação de intervalo fechado é feita com colchetes virados para dentro. Ex: 5,252/ xIRx

Abertos Quando suas extremidades não pertencem ao conjunto. A representação deste intervalo pode ser feita de duas maneiras: com colchetes virados para fora ou com parênteses. Ex: 5,25,252/ xIRx

Semi-Abertos (à direita ou à esquerda) Quando apenas uma das extremidades não pertence ao conjunto. Ex: 5,25,252/ xIRx

5,25,252/ xIRx

Infinitos Quando uma das extremidades é infinito. Ex: ,55/ xIRx

2,2/ xIRx


Obs: Subconjuntos importantes de IR 1. IRxIRx ,00/ Conjunto dos números

reais não negativos 2. IRxIRx 0,0/ Conjunto dos números

reais não positivos

3. *,00/ IRxIRx Conjunto dos números

reais positivos

4. *0,0/ IRxIRx Conjunto dos números

reais negativos

OPERAÇÕES COM INTERVALOS Em alguns casos, como na resolução de inequações, se faz necessário à união ou intersecção de intervalos. Nestes casos, é sempre interessante que se faça uma representação geométrica para realizar a operação, lembrando sempre que os intervalos também são conjuntos e por isso as definições das operações entre conjuntos continuam valendo. Exemplos: Sejam os intervalos 8,0A , 9,4B e

93/ xIRxC determine:

a) CBA

0 8

0 9

A

4 9

B

AUB

3 9

C

3 9

(A B)U C

b) BCA

0 8A

3 9

C

0 3

A-C

4 9

B

4 90 3(A-C)UB

c) ACB

3 9

C4 9

B

4

B

0 8A

C

B C( )-A

9

8 9 Exercícios

01) Se 0 1 2 3 4 5 6 7A , , , , , , , ,.... , então a é equivalente a:

a) *x Q

b) x R

c) 0 7x N / x

d) x Z

e) 0 7x I / x

02) Resolva:

a) 1 2

2 3

b) 06 =

c) 13

d) 3

1

2

e) 2

3a

f) 5 3a a

g) 22

h) 2 35 5

i) 2

1

3

j) 3

0 45

,

l) 2

3

2

m) 0

7

9

n) 12

o) 2

1 3 11

3 10 3

p) 1 1

4 5 1 0 12 4

, . ,

q) 2 3

3 1 12 1

4 5.

r) 1 2

3

2 2

2

s) 1 2

2 31 12 2

2 2.

03)Dados os números racionais 12 22 16

5 35 9 3

; ; e ,

podemos afirmar que:

a) 22 12

9 5

b) 22 12

9 5

c) 12 22

5 9

d) 12 22

5 9


04) O maior entre os números 2 2 2 3

3 3 2 2

4 4 5 5 e , , é:

a) 2

3

4

b) 2

3

4

c) 2

2

5

d) 3

2

5

05) Transformando 6000 em potência de 10, temos: 06) Resolva:

a) 1

0 13

,

b) 2 1

3 2.

c)

1

1

2

1 1

3 2

07) O valor da expressão 81 49

81 49

08) Calcule o valor de x, na proporção 3 1 4

2 1 3 2 5

x /

/ ,

RAZÃO

Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, com o segundo número diferente de zero.

Numa razão a

b, “a” é o primeiro termo, ou antecedente, e “b”

é o segundo termo, ou conseqüente.

A razão inversa de a

b é

b

a, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Exemplos:

a) 4

5= = 0,8

b) 7

4= =

4 3 71 75

4 4 4,

c) A razão de 10 para certo número é 2. Qual é esse número?

102 5x

x

Exercícios

09) (CESPE/UnB) Se uma corda de 30 metros de comprimento é dividida em duas partes, cujos comprimentos estão na razão 2:3, então o comprimento da menor parte, em metros, é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 10) (CESPE/UnB) Em uma loja, o preço x da resma de papel ofício é maior que o preço y da resma do mesmo papel vendido em outra loja. Sabendo que estes preços estão na razão de 101:99, assinale a opção correta:

a) A razão x y

x y é igual a

100

99

b) Se 10 00x y , , então 5 05x ,

c) Se 0 10x y , , então 11 00x y ,

d) Se 3 30y , , então x é maior que 3,40

e) A razão x

x y é igual a

1

2

11) A razão entre dois números é de 3 para 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é?

12) O valor de x e y na proporção 3 2

x y, sabendo que x

– y = 5 13) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do número de pretas, então o número de bolas brancas é? 14) Se a razão entre os números a e b, nesta ordem, é 0,75, então a razão entre os números a + b e b é: 15) Em uma sala de aula há 19 rapazes e 23 moças. Que razão pode ser estabelecida entre o total de rapazes e o total de alunos da sala? 16) A razão entre 20 minutos e uma hora é: 17) A diferença entre dois números racionais é 30 e a razão entre o dobro do maior e o menor é 6. Determine o número maior. 18) Sabendo que a diferença entre dois números racionais é igual a 28 e que a razão entre o dobro do maior e o triplo do menor é 1, calcule o menor número.

19) Qual é a razão igual a 3

7, cujo antecedente é igual a 6 ?

20) Numa cidade, há uma bicicleta para cada 4 jovens. a) Qual a razão entre o número de bicicletas e o de jovens? b) Qual a razão inversa? 21) Marcelo levantou uma bola de ferro pesando 15 Kg, e Mateus, outra pesando 20 Kg. Qual a razão entre os pesos levantados por Marcelo e Mateus?


22) Qual a razão igual a razão 2

5, cujo antecedente é igual a

8?

23) Qual a razão igual a razão 1

4, cujo conseqüente é igual a

12? 24) Quem tem maior razão de acertos : Antônio, que, em 40 exercícios, acertou 32, ou Paulo, que, em 36 exercícios, acertou 28? 25) A razão da terça parte de um número para o triplo desse mesmo número é?

a) 1

9

b) 1

3

c) 3 d) 9 26) O produto de duas razões inversas é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 27) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma.

Assim sendo, se a área do distrito federal for de 5.800 2Km aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203

hab/ 2Km , então o numero de habitantes deverá ser:

a) superior a 61 5 10,

b) inferior a 611 10,

c) superior a 61 3 10,

d) exatamente 61 3 10,

e) aproximadamente 61 2 10,

28) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. a Razão ficou: a) dividida por 2 b) multiplicada por 5 c) dividida por 10 d) multiplicada por 10

ESCALAS

Na vida prática, utiliza-se a ESCALA, porque nem sempre é possível desenhar os objetos em tamanho natural. Escala é a relação que existe entre as dimensões dos objetos reais e as de sua representação. Na escala natural o desenho tem as mesmas dimensões do objeto real, 1: 1 ( 1 para 1), 1 cm normal do desenho é igual a 1 cm do objeto. Na escala de Redução a representação gráfica é menor que a dimensão do objeto, 1: 2 ( 1 para 2), 1 cm normal do desenho equivale a 2 cm do objeto.

Na escala de aumento a representação gráfica tem dimensão maior que a do objeto, 2 : 1 ( 2 para 1) 2 cm do desenho equivalem a 1 cm do objeto.

ESCALA1comprimento do desenho

comprimento real correspondente n1 : n

Exemplo: A planta de uma casa está na escala 1 : 50, ou seja, uma medida no desenho representa uma outra 50 vezes maior. Assim, um comprimento de 8 cm na planta corresponde a quantos metros na realidade?

1 8 1

50 50

comp. na planta

comp. real x

x = 400 cm ou 4 m Exercícios 29) Na planta de uma casa, um muro de 2 metros está representado por um segmento de 4 centímetros. Qual é a escala dessa planta?

Obs: comprimento no desenho

escalacomprimento real

30) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala do desenho Medida do desenho Medida Real

1:250 10cm X 1:400 25cm Y 1:600 25cm 150m

As medidas X e Y são respectivamente?

31) Num mapa, cuja escala é 1

3 000 000. ., a estrada Belém –

Brasília tem 67 cm. Calcular, em Km , a distância real. a) 1.010 Km. b) 2.010 Km. c) 510 Km. d) 1000 Km.

PROPORÇÃO Proporção é a igualdade entre duas razões.

a c

b d ( b 0 e d 0 )

(Lê-se a está para b, assim como c está para d ) Escrevendo a, b, c e d, chamamos a e d de extremos da proporção e b e c são os meios da proporção. Exemplo:

1 2

2 4


Exemplo:

2 124

3 6 3

xx x

Outras Propriedades

a c a c a c

b d b d b d

Exercícios 32) Zeca possui em seu sítio 26 porcos, 10 vacas e 24 frangos. A fração que representa os animais mamíferos em relação ao total de animais é: a)3/5 b)1/4 c)2/3 d)5/3 e)2/5 33) A razão entre o preço de um aparelho de som e o preço de uma televisão é de 2 para 9. Se o aparelho de som custou R$ 5.796,00 , qual o preço da televisão ? 34) Numa cidade 3/16 dos moradores são de nacionalidade estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de brasileiros na cidade é: a) 23.865. b) 24.375. c) 25.435. d) 25.985. e) 26.125. 35) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21 ? 36) Uma indústria prepara combustível, utilizando álcool e gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 7. Com 3600 litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser misturados? 37) O comprimento e a largura de uma lanchonete são proporcionais a 4 e 3. O comprimento é 10 metros. Qual a largura da lanchonete?

38) A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2, nessa ordem, é equivalente a: a) 2,25% b) 4,75% c) 22,5% d) 27,5% e) 47,5%

39) Uma mistura contém ferro e chumbo na razão de 3 para 7. Quantos quilogramas de ferro há em 960 quilogramas dessa mistura ? 40) Determine uma fração equivalente a 2/3 que, adicionada de uma unidade no numerador e subtraída de uma unidade no denominador resulte em uma fração equivalente a ¾ . 41) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a: a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % e) 6,5 % f) 7,5 %

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo: Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais:

( 2, 3, x ) e ( 6, y, 15 ) Resolução:

2 3

6 15

x

y

2 3

6 y 9y

2

6 15

x 5x

Exercícios 42) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais:

a) ( 6, x, 9 ) e ( 18, 12, y ) b) ( x, y, 4 ) e ( 12, 10, 8 )

DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo: Divida 70 em partes diretamente proporcionais a 3 e 7. Resolução: a) Deve-se representar os números procurados por x e y. b) Considera-se as sucessões (x, y) e (3, 7) como

diretamente proporcionais

Propriedade Fundamental das Proporções

“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao

produto dos meios”

Os números a, b e c são diretamente proporcionais aos números x, y e t quando se tem:

a b c a b c

x y t x y t


Logo: 3 7

x y e sabe-se que x + y = 70

Então:

3 7 3 7

x y x you ;

Assim:

70

10 3

x21x

70

10 7

y49y

Exercícios

43) Dividir 1830 em partes diretamente proporcionais a 1/3, 1/4 e 1/7. 44) Dividir R$ 4.000,00 em partes diretamente proporcionais a 0,4 ; 1,2 e 3,4. 45) Um prêmio, no valor de R$ 4650,00, deve ser dividido entre três funcionários de uma empresa, na razão direta de seus tempos de trabalho na mesma. Se um trabalha há 4 anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio, a maior das partes a ser distribuída será no valor de: a) R$ 2000,00 b) R$ 1950,00 c) R$ 1750,00 d) R$ 1600,00 46) Dois irmãos jogaram na loto, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um prêmio de R$ 162.000,00.O prêmio recebido pelo segundo jogador foi: a) R$ 6.300,00 b) R$ 8.900,00 c) R$ 10.800,00 d) R$ 11.200,00 e) R$ 99.000,00

47) Um terreno, de forma quadrangular, tem a medida dos lados proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. Se o perímetro desse terreno é 70m, a medida, em metros, do maior lado é ?

48) Três amigos fizeram um bolão para concorrer na Mega Sena. Antônio entrou com R$ 4,00 , Luís com R$ 6,50 e Paulo com R$ 2,00. Foram sorteados e ganharam R$100.000,00. Quanto deve receber cada um ? 49) Três amigas resolveram trabalhar em sociedade. Porém, o tempo que elas dispunham era desigual. Ao entregar uma encomenda, elas verificaram que Maria das Graças havia trabalhado 9/10 do total de sessões de trabalho, Carla compareceu a 4/5 e Fernanda a 3/4 das sessões. Tendo recebido R$ 2.450,00 pelo trabalho, quanto deve receber cada uma? 50) A quantia de R$ 1320,00 foi dividida entre Marcos e Carlos, na razão direta de suas idades. Se Marcos tem 29 anos e Carlos 26 anos, a parte que coube a Carlos corresponde a: a) R$ 486,00 b) R$ 528,00

c) R$ 624,00 d) R$ 686,00 51) (CESPE/UnB) O encarregado de uma escavação de uma rede de esgotos dispõe de 540 litros de combustível para distribuir entre os operadores de dois tratores e de uma escavadeira. Um dos tratores consome 18 litros de combustível por hora, enquanto que outro, por ser mais novo, consome apenas 16 litros por hora. Já a escadeira tem um consumo de 26 litros de combustível por hora. Se os encarregado distribui todo o combustível de tal forma que todas as máquinas possam trabalhar pelo mesmo período de tempo, operador da escavadeira receberá uma quantidade de combustível igual a: a) 228 b) 234 c) 240 d) 244 e) 248 52) (CESPE/UnB) Considere que os operários Pedro, Carlos e Paulo tenham sido contratados para fazer reparos em um edifício. Pedro trabalhou durante 20 horas, Carlos trabalhou durante 25 horas e Paulo, durante 32 horas. Eles dividiram uma quantia de R$ 616,00, valor combinado pelo serviço, proporcionalmente ao número de horas que cada um trabalhou. Assinale a alternativa falsa: a) Paulo recebeu menos que Pedro e Carlos juntos b) Carlos recebeu mais de 6/5 do que Pedro recebeu c) Pedro Recebeu R$100,00 53) (CESPE/UnB) Considere que para a vigilância de um depósito de material bélico, um turno de 60 horas é dividido entre os agentes de segurança Paulo, Pedro e Mário, e que o número de horas de serviço de cada um deles é diretamente proporcional aos números 3, 4 e 8, respectivamente. Então o número de horas de serviço de Paulo é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo: Verifique se as sucessões são inversamente proporcionais: ( 2, 6, 9 ) e ( 18, 6, 4 ) Resolução:

Os números a, b e c são inversamente proporcionais aos números x, y e t, quando se tem:

1 1 1

a b ca.x b.y c.t

x y t


2 6 92 18 6 6 9 4 36 36 36

1 1 1

18 6 4

. . .

Logo, as sucessões são inversamente proporcionais. Exercícios 54) Verifique se as seqüências são inversamente proporcionais: ( 4, 5, 3 ) e ( 15, 12, 20 ) 55)Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo – se que elas são inversamente proporcionais : a) ( x, 8, 6 ) e ( 12, 3, y ) b) ( 5, 6, x ) e ( 30, y, 2 )

DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo: Dividindo 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4; obtém-se: Resolução: a) Deve-se representar os números procurados por x, y e t. b) Considera-se as sucessões ( x, y, t ) e ( 2, 3, 4 ) como

inversamente proporcionais.

Logo: 1 1 1

2 3 4

x y t e sabe-se que x + y + t = 52

Então:

1 1 1 1 1 1

2 3 4 2 3 4

x y t x y tou ou

52 52 1252 48

6 4 3 13 13

12 12

148 48 24

1 2

2

xx x

148 48 16

1 3

3

yy y

148 48 12

1 4

4

tt t

Exercícios 56) Reparta 36 em partes inversamente proporcionais aos números 3 e 6. 57) Divida 33 em partes inversamente proporcionais aos números 1/3 e 1/8. 58) Uma empresa distribuiu um prêmio de R$ 900,00 entre três funcionárias. Cada uma receberá uma gratificação cujo valor é inversamente proporcional ao número de faltas dadas

no ano anterior. Cristina faltou 8 dias, Gláucia faltou 6 dias e Juliane 3 dias. Quanto receberá cada uma? 59) Um tio ofereceu R$ 60,00 para ser repartido entre três sobrinhos, em partes inversamente proporcionais ao número de faltas que eles deram no semestre anterior. Se dois deles faltaram duas vezes e o outro 5, quanto cada um recebeu? 60) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 5. 61) Dividir 6.500 em três partes inversamente proporcionais aos números: 2,5 ; 5/6 e 5/17. 62) O perímetro de um terreno é de 72 metros. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno é? 63) (CESPE/UnB) Três marceneiros receberam R$ 6000,00 pela execução conjunta de uma reforma de certo prédio. Um dos artífices trabalhou 5 dias; o outro 4 dias e meio; e o terceiro , 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 anos, 22 anos e seis meses, 26 anos e oito meses. Eles haviam acertado repartir, entre si, a remuneração global em partes diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um e inversamente proporcionais às respectivas idades. Com base na situação acima, assinale a alternativa verdadeira. a) O marceneiro que trabalhou 5 dias, recebeu 2/3 da quantia recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 dias; b) O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor quantia; c) O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 1/4 da remuneração global; d) A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11/15 da remuneração global.

GRANDEZAS

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. s Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção em que a primeira. Exemplo: Um carro percorre, com velocidade constante, em uma hora, 60 Km e, em duas horas, 120 Km.

TEMPO DISTÂNCIA PROPORÇÃO 1h 60 km 1 60

2 120

2h 120 km


Podemos notar que quando duplicado o tempo a distância também duplicou-se.

INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na proporção inversa em que a primeira cresce.

Exemplo: Um carro percorre uma distância fixa em quatro horas com velocidade constante de 100 Km/h. Com 50 Km/h de velocidade a distância é percorrida em oito horas.

TEMPO VELOCIDADE PROPORÇÃO 4 h 100 Km/h 4 50

8 100 8 h 50 km/h

Neste exemplo, quando a velocidade é reduzida à metade o tempo de percurso dobra.

REGRA DE TRÊS Simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 X

Identificação do tipo de relação:

Área Energia

1,2

1,5

400

X Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Área Energia

1,2

1,5

400

X

1 2 400

1 5

1 2 600

600500

1 2

,

, x

, x

x,

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

400 3 480 x


Velocidade Tempo

400

480

3

X Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Velocidade Tempo

400

480

3

X

3 480

400

480 1200

12002 5

480

x

x

x ,

=

=

= =

Os termos foraminvertidos

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço(R$)

3 120

5 X


Camisetas Preço

3

5

120

X


Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço também aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Camisetas Preço

3

5

120

X

3 120

5

3 600

600200

3

xx

x

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com três ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160 5 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Horas Caminhões

8

5

20

X

Volume

160

125 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas Caminhões

8

5

20

X

Volume

160

125


20 160 5

125 8

20 800 8 4

1000 10 5

4 100

10025

4

.x

xx

x

=

= = =

=

= =

Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias

8 20 5 4 x 16

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Homens Carrinhos

8

4

20

X

Dias

5

16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Homens Carrinhos

8

4

20

X

Dias

5

16

20 8 5

4 16

20 40 10 5

64 16 8

5 160

16032

5

.x

xx

x

Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem.

Pedreiros Dias Altura

2 9 2 3 x 4

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.

Pedreiros Dias

2

3

9

X

Altura

2

4 Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Pedreiros Dias

2

3

9

X

Altura

2

4 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


9 2 3

4 2

9 6 3

8 4

3 36

3612

3

.x

xx

x

=

= =

=

= =

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios 64) Se 5 torneiras enchem um tanque em 7h 30min, 9 torneiras encherão o mesmo tanque em quanto tempo?(Dê a resposta em horas) 65) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias? 66) Um relógio atrasa 4 minutos a cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 120 horas? 67) Seis operários gastam 20 dias para construir uma casa. Quanto tempo gastaria 10 operários para construir a mesma casa? 68) Para fazer um carregamento de areia, 6 caminhões de

5 3m de capacidade fizeram 30 viagens. O número de viagens

necessárias para que 10 caminhões de 6 3m façam o mesmo carregamento será ? 69) Uma pessoa dá 90 passos por minuto, com passos de 70 cm, faz um trajeto de treinamento em 4h 20min. Quanto tempo levará para percorrer essa mesma distância com passos de 65cm, dando 100 passos por minuto? 70) Um circo pode ser armado, por 15 homens, em 3 dias de trabalho de 10 horas por dia. Em quantos dias 25 homens armariam o circo, trabalhando 9 horas por dia? 71) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 16 72) Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. 20 homens, para asfaltar 2 Km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia gastarão quantos dias?

73) 15 teares, trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias, produzem 600 m de pano. Quantos teares são necessários para fazer 1.200 m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia? 74) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 Km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 Km, consumirá quantos litros ? 75) Para fazer uma toalha quadrada de renda com 1 m de lado, uma rendeira utiliza 16 novelos de linha. Para fazer uma outra toalha quadrada com 2 m de lado, com o mesmo ponto e a mesma linha, ela utilizará uma quantidade de novelos igual a: a) 256 b) 128 c) 64 d) 32 e) 28

76) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido a evaporação, esse índice subiu para 15%. Determine, em litros o volume de água evaporada. 77) Um ciclista percorreu 3/10 de uma prova em 1/4 de hora. Mantendo a mesma velocidade, determine o tempo gasto, em minutos, para completar o restante da prova. 78) Um motociclista percorre 200 Km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 Km, se rodar 5 horas por dia ? 79) Em 3 horas 3 torneiras despejam 3600 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas ? 80) Fiz meus cálculos: durante 25 dias de férias eu precisaria ler 12 páginas por dia para terminar a leitura pedida pela escola. Infelizmente, eu nem peguei o livro. Agora, só restam 15 dias de férias. Quantas páginas terei de ler por dia, para completar a leitura no último dia de férias? 81) Um livro tem 120 páginas de 40 linhas, cada linha com 12 cm de comprimento. Quantas páginas teria esse livro se houvesse 60 linhas em cada página, e as linhas tivessem 10 cm de comprimento? 82) Em 30 dias, uma frota de 34 táxis consome 85.000 litros de combustível. Um pequeno incêndio no estacionamento da frota destruiu 4 táxis. Calcule agora para quantos dias serão suficientes os 100.000 litros de combustível que a frota tem em estoque, supondo que os táxis restantes continuem rodando normalmente.

83) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 2m em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto

tempo limpará uma área de 11900 2m ? 84) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas? 85) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer uma nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava


quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar doze horas por dia, executando o serviço em: a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias e) 15 dias 86) Com a velocidade média de 42 Km/h um carro percorre uma distância em 6 horas e 30 minutos. Que velocidade deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 5 horas e 15 minutos? 87) Uma tinturaria paga a quantia de R$ 750,00 pelo consumo de energia elétrica, durante 6 dias, de um ferro elétrico que funciona 5 horas por dia. A despesa que esse ferro dará mensalmente, se funcionar 9 horas por dia será de: a) R$ 3750,00 b) R$ 4500,00 c) R$ 6759,00 d) R$ 7250,00 88) Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês: a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00. 89) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é: a) 48 b) 50 c) 52)(()) d) 54 e) 56 90) Um determinado serviço é realizado por uma única maquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço? a) 3 horas. b) 9 horas. c) 25 horas. d) 4 horas e 50 minutos. e) 6 horas e 40 minutos. 91) Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de: a) 2 minutos e 30 segundos. b) 5 minutos.

c) 6 minutos e 15 segundos. d) 7 minutos. e) 7 minutos e 30 segundos. 92) Na construção de 6 Km de uma ponte, foram empregados 30 operários, durante 60 dias, trabalhando 8 horas por dia. Nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas por dia, em quantos dias construirão 10 Km dessa ponte? 93) (CESPE/UnB) Com velocidade constante de 65 Km/h, um veículo vai de uma cidade a outra em 3 horas e 7 minutos. Então, se a velocidade for aumentada em 20 km/h e mantida constante, o intervalo de tempo para que o veículo faça o mesmo trajeto será de: a) 2h 19min b) 2h 20min c) 2h 21min d) 2h 22min e) 2h 23min 94) CESPE/UnB) Se 6 pessoas trabalhando 8 horas por dias cumprem uma determinada tarefa em 9 dias, então 12 pessoas, trabalhando 9 horas nas mesmas condições, concluirão a mesma tarefa em: a) 8 dias b) 7 dias c) 6 dias d) 5 dias e) 4 dias 95) (CESPE/UnB) Considere que 8 copiadoras igualmente produtivas, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias 160.000 cópias. Então, em 5 dias de trabalho, 7 dessas copiadoras, trabalhando seis horas por dia produzirão: a) 205.000 cópias b) 207.000 cópias c) 208.500 cópias d) 210.000 cópias e) 210.900 cópias 96) (CESPE/UnB) Para o tratamento de água de um reservatório de 45000 litros, recomendam-se 180g de cloro. Seguindo a proporcionalidade recomendada, para um reservatório de 215000 litros de capacidade, mas que esta somente com 4/5 de sua capacidade, a quantidade de cloro a ser adicionada a água deverá ser: a) Inferior a 0,5 kg b) Maior que 0,5 kg e menor que 0,6 kg c) Maior que 0,6 kg e menor que 0,7 kg d) Maior que 0,7 kg e menor que 0,8 kg e) Superior a 0,8 kg 97) (CESPE/UnB) Com o regime de trabalho de 8 horas diárias, 12 empregados são necessários para dar proteção aos recursos hídricos de uma empresa, em uma área de 100 Km2. Tendo passado a adotar o regime de trabalho de 6 horas diárias e necessitando ampliar a área a ser protegida para 200 Km2, a empresa terá de aumentar o número desses empregados para: a) 18 b) 24 c) 28 d) 32 e) 36


98) (CESPE/UnB) Considerando que todos os consultores de uma empresa desempenhem as suas atividades com a mesma eficiência e que todos os processos que eles analisam demandem o mesmo tempo de análise, se 10 homens analisam 400 processos em 9 horas, então 8 homens analisariam 560 processos em quantas horas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 99) (CESPE/UnB) Os 33 alunos formandos de uma escola estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu 2343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem trabalhado na produção desses convites, o número de convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria igual a: a) 7987 b) 8591 c) 8737 d) 8926 e) 9328

PORCENTAGEM É toda razão na qual o denominador é 100, ou seja,

100

NN .

Exemplos:

a) 35

35 0 35100

% ,

b) 25

25 500 500 125100

% de

Exercícios 100) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) Um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine o valor da comissão. 101) Quanto é 18% de a + b, quando a = 7/3 e b = 5?

102) Se 0,6% de1

3 3 13

x , então o valor de x é:

a) 3,4% b) 9,8% c) 34% d) 54% e) 98%

103) Paulo ganha 70 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a menos do que ganha Paulo. Quantos salários mínimos mensais ganha Joaquim? 104) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a: a) 480 b) 640 c) 240 d) 160 e) 180 105) Em Florianópolis, com suas 42 praias, são esperados para a temporada de 1998, 60% de turistas estrangeiros e um total de 150000 turistas nacionais. A previsão de estrangeiro é: a) 375000 b) 250000 c) 400000 d) 150000 e) 225000

106) Seja 269 5 4 8

5x , . Então, o valor de 0,3% de x

é: a) 0,66 b) 0,066 c) 2,2 d) 6,6 e) 3,3 107) O preço de um carro “zero Km” é de R$ 10.000,00. Sabe-se que ele sofre uma desvalorização anual de 20%. Decorridos 3 anos de uso, seu preço será de: a) R$ 17.280,00 b) R$ 6.740,00 c) R$ 5.120,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 3.806,00 108) Com 20% de desconto, paguei R$ 64,00 por uma capa. O preço sem desconto é: a) R$ 90,00 b) R$ 76,80 c) R$ 80,00 d) R$ 66,00 109) Uma fábrica tem 350 operários. O número de mulheres corresponde a 40% do número de homens. O número de homens, é: a) 280 b) 250 c) 220 d) 210 e) 140 110) Um comerciante marcou o preço de venda de uma mercadoria computando um lucro de 18% sobre o preço de custo. Se em uma promoção, ele der 18% de desconto sobre o preço de venda, concluímos que: a) ganhará dinheiro b) perderá dinheiro c) empatará


d) é impossível determinar se perderá, ganhará ou empatará, pois não se conhece o preço de venda da mercadoria. e) é impossível determinar se perderá, ganhará ou empatará, pois não se conhece o preço de compra da mercadoria. 111) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 50m por R$ 1.000,00. Se ele vender 20m com lucro de 60%, 20m com lucro de 35% e 10m pelo preço de custo, o seu lucro total na venda dessa peça será de: a) 38% b) 15% c) 5% d) 12% e) 25% 112) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia pagar uma dívida de R$ 92,00 e ainda ficaria com R$ 8,80. A quantia que possuo é: 113) As promoções do tipo ``leve 3 e pague 2`` comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: a) 50/3 % b) 20% c) 25% d) 30% e) 100/3 %

114) A organização de uma festa distribuiu 200 ingressos para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para mulheres. As 500 pessoas com ingresso foram à festa. a) Determine o percentual de mulheres na festa. b) Se os organizadores quisessem ter igual número de homens e de mulheres na festa, quantos ingressos a mais eles deveriam distribuir apenas para pessoas do sexo feminino? 115) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço P e paga um imposto no valor de 15% de P. Ao revendê-la, o comerciante cobrou um valor 75% superior ao preço P. O lucro deste comerciante, em relação ao custo total, é aproximadamente de: a) 45% b) 52% c) 55% d) 59% e) 60% 116) Ao vender um artigo por R$ 2000,00, obtive um lucro de 25%. O valor do meu lucro corresponde, na unidade monetária em uso, a: a) 250,00 b) 400,00 c) 500,00 d) 1500,00 e) 1600,00 117) No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% à impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão, 325%, o aumento percentual no custo do livro foi de: a) 278,1%

b) 280,5% c) 283,7% d) 285,4% e) 287,8% 118) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: a) R$ 170,00 b) R$ 144,00 c) R$ 160,00 d) R$ 150,00 119) Uma loja realiza uma liquidação vendendo certa mercadoria por R$ 950,00, com prejuízo de 5% sobre o preço de custo. De quanto foi o prejuízo? a) R$ 50,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 80,00 120) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de: a) R$ 302,00 b) R$ 402,00 c) R$ 450,00 d) R$ 462,00 121) Num lote de 1000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote? a) 66 b) 70 c) 42 d) 80

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAUS

EQUAÇÃO É toda a sentença aberta expressa por uma igualdade.

EQUAÇÃO DE 1º GRAU

É toda equação que pode ser reduzida a forma 0ax b , com a 0 e a e b R. A solução é dada quando isolamos x. Assim: a x + b = 0 x = -b/a S = {-b/a }. Exemplos: 01 - Resolva as equações do 1º grau: a) 2 8 3 10x x b) 2 6 12x

c) 2

2x

x

d) 3 5x


Resolução: a) 2 8 3 10 8 10 3 2 2x x x x x b) 2 6 12 2 12 6 2 6 3x x x x

c) 2

2 2 2 2 2 2x

x x x x xx

d) 3 5 5 3 2x x x 02 - Problema: Em uma cidade A uma corrida de táxi custa R$ 5,00 pela bandeirada e R$ 0,20 por quilômetro rodado. Na cidade B a bandeirada custa R$ 2,00 mais R$ 0,30 o quilômetro. Quantos quilômetros uma pessoa pode rodar para pagar o mesmo nas duas cidades? Resolução: Chamando de X a quantidade de quilômetros rodados, temos: Custo de uma corrida na cidade A. 5,00 + 0,20x Custo de uma corrida na cidade B. 2,00 + 0,30x Como queremos gastar o mesmo em ambas as cidades, devemos igualar os custos. Daí: 5,00 0,20 2,00 0,30

0, 20 0,30 2,00 5,00

0,10 3,00

3,00

0,10

30

x x

x x

x

x

x

Logo, para que os custos de ambas as corridas seja igual, devemos rodar 30 quilômetros.

Exercícios Nos exercícios de 122 a 126 resolva as equações. 122) 3 5 2 8x x

123) 4 1 2 5x x

124) 4 1

53

x

125) 4

1 53

x

126) 1 5

2 1 12x

Problemas do 1° grau 127) O dobro de um número diminuído de 3 é igual a 11. Qual é o número? 128) A soma de um número com a sua quinta parte é 2. Qual

é esse número? 129) A soma de dois números consecutivos é 25. Calcule os números. 130) Um fazendeiro repartiu 240 reses entre seus três herdeiros na seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. A parte recebida pelo primeiro herdeiro foi? 131) A soma das idades de duas pessoas é 42 anos e a diferença é 6 anos. Quais são as idades? 132) A soma de dois números é 44 e a diferença é 4. Quais são esses números? a) 20 e 24 b) 18 e 6 c) 18 e 20 d) 26 e 20 133) Atualmente, quando um empregado sai de férias tem direito a 1/3 do salário como abono. João, ao sair de férias, disse: “Estou ganhando muito pouco. O abono mais R$ 600 ( de horas extras e atrasados) equivale a três vezes o meu salário”. João ganha em reais: a) R$ 175,00 b) R$ 200,00 c) R$ 225,00 d) R$ 300,00 134) A minha idade é, hoje, o triplo da sua. E daqui a 5 anos, será o dobro da sua.Qual é, hoje, a soma das nossas idades? a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 20 135) Hoje, um pai tem o dobro da idade de um filho. Dez anos atrás, o pai tinha o triplo da idade que o filho tinha. Hoje, a idade do pai é: a) 20 b) 25 c) 40 d) 30 136) A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse mesmo número é 187. Este número é: a) primo b) múltiplo de 3. c) divisível por 4. d)múltiplo de 5. 137) Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o menor dos três é divisível por: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 138) As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há 6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade de Felipe. A idade atual de Carlos é: a) 20


b) 22 c) 26 d) 28 139) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel, e a metade do que sobra, para a alimentação. Descontados o dinheiro do aluguel e o da alimentação, coloco um terço do que sobra na poupança, restando então R$ 1.200,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário? 140) Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual a quarta parte do número de irmãos. Cada filho de Luiz Antônio tem o número de irmãos igual ao triplo do número de irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é: a)5 b)6 c)11 d)16 e)21 141) Resolva os sistemas:

a) 3 10

5 2 16

x y

x y

b) 4 3 2

8 5 26

x y

x y

c)

4 3 6 1 60

3 524

2 3

( x ) ( y )

x y

142) Marcelo e Renato têm juntos 360 figurinhas. Se Marcelo der 40 figurinhas para Renato, eles ficarão com igual número de figurinhas. O número de figurinhas de Renato, inicialmente, era: a) 140 b) 160 c) 200 d) 220 143) Num grupo de cavalos e patos, num total de 100 animais, o número de pés excede o número de cabeças em 150 unidades. O número de cavalos é: a) 25 b) 30 c) 50 d) 75 144) (CESPE/UnB) Um grupo composto de x empregados de uma empresa pretende comprar um presente de R$ 70,00 para o chefe, dividindo esse valor em partes iguais. Devido à desistência de dois colegas em participarem do evento, o encarregado da compra solicitou mais R$ 4,00 de cada participante restante. Com base nas informações acima, assinale a alternativa correta.

a) A equação 70 74

4 2x x permite determinar o número x

de empregados da empresa b) Inicialmente, o grupo de empregados era composto por mais de 8 participantes c) Cada empregado participante do evento contribuirá com mais de R$ 10,00 para a compra do presente

145) (CESPE/UnB) Ao fazer o controle de entrada e saída de veículos de garagem de uma empresa, o encarregado de segurança registrou a saída de 10 veículos, alguns com capacidade de transporte de 7 passageiros, outros com capacidade de transporte de 3 passageiros. Sabendo que todos os veículos deixaram a garagem com sua lotação máxima e que 54 passageiros foram transportados, a quantidade de veículos com capacidade de 7 passageiros que saiu da garagem foi igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 146) Uma criança comprou n canetas por 300 reais e n+4 lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou é: a) 8 e 12 b) 10 e 14 c) 12 e 16 d) 16 e 12 e) 12 e 8

147) O número 110

3 foi dividido em três parcelas de modo

que 10

3 da primeira é igual à segunda, e a terceira é o dobro

da segunda. A menor parcela é:

a) 10

3

b) 20

3

c) 10 d) 100

e) 100

3

148) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, o número original de garrafas de vinho na caixa é: a) 42 b) 33 c) 30 d) 24 e) 18 149) Maria e Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7


150) (CESPE/UnB) Um juiz tem quatro servidores em seu gabinete. Ele deixa uma pilha de processos para serem divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro servidor conta os processos e retira a quarta parte para analisar. O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte que encontrou e deixa 54 processos para serem divididos entre os outros dois servidores. Quantos foram os processos deixados pelo juiz? a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 151) (CESPE/UnB) Um ciclista deseja percorrer 800 km em cinco dias. Se, no primeiro dia, ele consegue percorrer 1/5 do total e, no segundo dia, ele percorre 1/4 do restante do percurso, então, nos três dias subseqüentes, ele deverá percorrer: a) 240 km b) 360 km c) 400 km d) 440 km e) 480 km 152) (CESPE/UnB) Marcos e Pedro receberam, no início de abril, mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é: a) Inferior a R$ 240,00 b) Superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00 c) Superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00 d) Superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00 e) Superior a R$ 360,00

EQUAÇÃO DE 2º GRAU É toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a 0 e a, b e c R .

Equações completas e incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

29 20 0x x e 2

10 16 0x x são equações completas; Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

2 36 0

0

x

b

2 10 0

0

x x

c

24 0

0

x

b c

Raízes de uma equação de 2º grau Resolver uma equação de 2º grau significa determinar suas raízes. Raiz é um número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Resolução de equações incompletas Quando a equação tem c = 0 as sua raízes são do tipo:

0x e b

xa

Quando a equação tem b=0 suas raízes são simétricas (um número é o oposto do outro) e as mesmas só serão reais se

0c

a, caso contrário a equação não tem solução no

conjunto dos reais. Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos à fórmula de Bhaskara.

2 4

2

b b acx

a , e podemos representar as duas raízes

reais por 'x e "x , assim:

2

2

4'

2

4"

2

b b acx

a

b b acx

a

Discriminante

Denominamos discriminante o radical 24b ac que é

representado pela letra grega (delta).

24b ac

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

x2

b

a

De acordo com o discriminante temos três casos a considerar:

1º Caso - 0 - O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes.

2º Caso - 0 - O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais.

3º Caso - 0 - O valor de não existe no conjunto dos reais, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números complexos. Exemplos: 01 – Resolva as equações do 2º grau abaixo:

a) 25 6 0x x


Temos:

1

5

6

a

b

c

Assim:

2

2

4

5 4 1 6

25 24 1

b ac

. .

2

5 13

5 1 2

5 122

2

bx

a

x'x

x"

3 2S ,

b) 24 4 0x x

Temos:

1

4

5

a

b

c

Assim:

2

2

4

4 4 1 4

16 16 0

b ac

. .

2

4 02

4 0 2

4 022

2

bx

a

x'x

x"

2S

c) 22 3 0x x

Temos:

1

2

3

a

b

c

Assim:

2

2

4

2 4 1 3

4 12 8

b ac

. .

Como 0 a equação não possui soluções reais. Ou seja, S Ø

02 - Problema: João comprou um terreno de forma retangular com área e igual a 300 m2. Se um lado é 5 m maior que o outro, qual as dimensões do terreno de João? Resolução:

Chamando o lado menor do retângulo de x, o outro medirá (x+5), já que um é maior do que o outro em 5m. Se a área é 300 m2, então o produto entre as dimensões dos lados deve ser igual a 300.

2

2

5 300

5 300

5 300 0

' 20

" 15

x x

x x

x x

x

x

Como procuramos à dimensão de um terreno, o valor (-20) não nos serve. Então um lado do terreno mede 15m. Por conseqüência o outro mede 20m. (15+5). Relação entre coeficientes e as raízes de uma equação do 2° grau Estas relações entre as raízes tabém são conhecidas como relações de Girard, ou simplesmente, regra da Soma e Produto.

Então, se uma equação da forma 20ax bx c , com

coeficientes reais a , b e c , admite x' e x" como suas raízes reais, podemos escrever:

bx' x" soma

ac

x' x" produtoa

Exemplos: 01 – Determinar as raízes das equações do 2ª grau, utilizando soma e produto.

a) 211 18 0x x

Resolução: Devemos procurar dois números x' e x" tais que:

1111

1

1818

1

x' x"

x' x"

Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a 18.

1 18 18

2 9 18

3 6 18

Agora, devemos identificar se existe um destes pares que verifique a soma. Assim:

1 18 19

2 9 11

3 6 9

(não verifica)

(verifica)

(não verifica)


Então, o conjunto solução é 2 9S , .

b) 25 24 0x x


55

1

2424

1

x' x"

x' x"

Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a (- 24). É importante observar que o produto tem sinal negativo, assim os fatores devem ter sinais opostos, porém nos preocuparemos com os sinais apenas no passo seguinte.

1 24 24

2 12 24

3 8 24

4 6 24


1 24 23

1 24 23

2 12 10

2 12 10

3 8 5

3 8 5

4 6 2

4 6 2

(não verifica)

(não verifica)

(não verifica)

(não verifica)

(não verifica)

(verifica)

(não verifica)

(não verifica)


c) 210 16 0x x


1010

1

1616

1

x' x"

x' x"

Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a 16. É importante observar que o produto tem positivo, assim os fatores devem ter sinais iguais, porém a soma é negativa e isso nos diz que se existirem raízes reais elas serão também negativas.

1 16 16

2 8 16

4 4 16


1 16 17

2 8 10

4 4 8

(não verifica)

(verifica)

(não verifica)


Exercícios

153) 25 4 0x x

154) 28 15 0x x

155) 25 14 0x x

156) 27 6 0x x

157) 211 10 0x x

158) 22 8 0x x

159) 26 16 0x x

160) 26 0x x

161) 22 5 2 0x x

162) 24 17 15 0x x

163) 22 6 0x x

164) 210 19 6 0x x

165) 27 18 9 0x x

166) 25 7 0x x

167) 210 24 0x x

168) 25 24 0x x

169) 211 30 0x x

170) 25 36 0x x

171) 25 13 6 0x x

172) 23 8 16 0x x

173) 216 16 3 0x x

174) 26 7 10 0x x

175) 26 10 0x x

176) 212 27 0x x

177) 22 35 0x x

178) 28 12 0x x

179) 22 99 0x x

180) 28 29 15 0x x

181) 29 41 20 0x x

182) 212 29 15 0x x

183) 24 25 6 0x x

184) 22 3 0x x

185) 26 5 0x x

186) O conjunto verdade da equação 2

12 2

x x

x x é:


187) A raiz da equação de 1o grau

1 2 3 4

1 1 1 1

x x x x

x x x x é:

a) 2 b) 5 c)-5 d) 3 e) 1

188) Resolva a equação: 1 3 7

1 1 2 1

x

x x ( x )

189) Resolva a equação: 3 1 2 1 2

4 8 2 3

( x ) ( x ) x x

a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) n.r.a.

190) Resolva a equação 1 3

0 4 0 2 12 2

, x , x :

191) Resolva a equação

2

4 1 25 42 4

x( x ) x

192) Na equação (x - b)²- (x - a)² = a² - b2, a afirmativa correta é: a) Se a b a equação é determinada. b) Se a b a equação é impossível. c) Se a b a equação é indeterminada. d) Se a = b a equação é impossível. e) Se a = b a equação é determinada.

193) A equação 4 81 3

x xa

a a é indeterminada para:

a) a = l ou a = 3 b) a = 2 c) a = 3 d) a 1;a 2;a 3 e) a = -2 194) Calcule a soma e o produto das raízes da equação 2x² - 8x = 0. 195) Qual é o valor de m, sabendo-se que a equação x2 - 7x + m = 0 admite uma raiz igual a 3? 196) A soma das raízes da equação 2x² - 3x + 1 = 0 é: a) 3/2 b) –3/2 c) 1/2 d) –1/2 e) 1 197) Qual é o valor de m em x² – mx +12 = 0, se uma raiz é o triplo da outra raiz? 198) Calcule o valor de “81m” de modo que a equação x² - (2m+1) x + m – 1 = 0, admita 2 como raiz.

199) O valor de “a + b”, sabendo que 1 e 2 são raízes da equação x² – ax + b = 0 é: a) 4 b) 5 c) – 4 d) -5 e) N.r.a. 200) O valor de m para o qual a equação

27 3 0

2

mx x tenha uma raiz nula é:

a) 7 b) 6 c) 0 d)-6 201) A equação do 2o grau a.x² - 4x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é: a) b) 2 c) -1 d) -2 e) 0 202) O valor do “c” na equação 64x²- 160x + c = 0, de modo que uma raiz seja o triplo da outra é: a) 15 b) 25 c) 3 d) 75 e) n.r.a. 203) Calcule o valor de “3m”, de modo que a diferença entre as raízes da equação x² - 15x + 6m +2 = 0, seja 3. 204) Valor de “p”, sabendo que a diferença entre as raízes da equação 2x2- (p-1)x + p +1 = 0, é igual a l é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 205) O valor e k para que a equação

2 2300 299 42 1( k k )x x tenha -6 e 7 como raízes é:

a) -1 b) 0

c) 3

2

d) 3

3

e) n.d.a Problemas do 2° grau 206) O quadrado de um número diminuído do seu quádruplo é igual a 12. Qual é esse número? a) -2 ou 6 b) 2 ou -6 c) 1 ou 3 d) 3 ou 2


207) Um número natural diminuído do seu inverso é igual a 3/2. Qual é esse número? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 208) A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos pares é 20. A soma desses números é: a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 209) Um número é tal que se do seu quadrado subtrairmos o triplo do seu antecedente obtemos a unidade. Calcule o número. 210) Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do maior seja igual à soma dos quadrados dos outros dois. 211) Há oito anos o quadrado da minha idade era exatamente igual ao décuplo da idade que terei daqui a doze anos. Qual a minha idade? 212) A raiz quadrada de um número diminuído do seu próprio número é igual a -2. Qual é esse número? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 213) A soma das idades de Leonardo e Mauricio é 27 anos. Sabe-se ainda que há dois anos o produto de suas idades era 126 anos. Calcule suas idades. 214) Um número é tal que, dividindo-o pela soma de seus dois algarismos obtém-se 4. Calcule-o sabendo-se ainda que o produto desses algarismos é 8. 215) Deseja-se repartir 25 moedas entre dois irmãos de tal modo que diferença dos quadrados das partes de cada um seja 175. Quantas moedas deverá receber cada um?

INEQUAÇÕES Denominamos inequação toda sentença aberta por uma desigualdade.

INEQUAÇÕES DE 1o GRAU

As inequações de 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: 0ax b , 0ax b ,

0ax b , 0ax b , com a e b R 0a .

Para resolvermos uma inequação do 1o grau, basta isolarmos a variável. Atenção: Se multiplicarmos ou dividirmos uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade se inverte. Exemplos:

01 - Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) 0. Isolando a variável temos: 4 1 2 6 0

2 1 0

2 1 1

2 1

x x

x

x

x

x

S x R x ou

1

2

1 1 / [ ,+ [

2 2

02 - Determinar o conjunto verdade da inequação

1 4 1 2

3 2 4 6

4 4 24 24 3 4 2

12 12

20 20 4

21 16 1

21 16

16

21

x ( x ) x x

x x x x

- x x

- x - -

x

x

16 16

21 21S x R | x ou - , ] [

Exercícios 216)Quais são os valores de x, no conjunto dos números naturais (N), que satisfazem a inequação 7x – 8 < 4x + 1? 217) Resolvendo a inequação 2x + 4(x – 1) x +16, encontra-se o conjunto solução : a) S = (- ; 4 [ b) S = ( - ; 4 ] c) S = ] 4 ; + ) d) S = [4 ; + ) e) n.r.a 218) Resolva as inequações:

a) 12 3

x x

b) 3 1 1 1

2 4 2

( x ) x

c) 5 3 1 3 5 1 3 18

2 4 8 3

( x ) x ( x )

219) O conjunto solução da inequação

1 2 10

5 2 10 1 2( a ) ( a ) é o intervalo:


220) O maior número inteiro “x” que satisfaz a inequação 2,1x + 1,1 < 10,9 – 2,8x é: 221) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 4 6 2 14x x e 2 10 6 2x x . 222) (CESPE/UnB) A intersecção entre os conjuntos-soluções das desigualdades 2 3 7 100x e 10 2 80 30x contém exatamente quantos números naturais? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DE 1º GRAU A solução de um sistema de inequações é encontrada através da intersecção dos conjuntos solução de cada uma das inequações que compõem o sistema.

Exercícios 223) O conjunto solução do sistema:

1 0

2 2

x

x x

224) Resolver o sistema

4 93

7

3 102 5

4

xx

xx

225) O conjunto solução do sistema do sistema.

1 0

2 0

x

x

a) S = {x R / x > 2} b) S = {x R / x < 2} c) S = {x R / x > 1} d) S = {x R / x < 1} Problemas 226) O dobro de um número diminuído da sua metade é maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é: 227) A diferença entre o dobro de um número e 10 é maior que zero. O conjunto verdade dessa sentença é: 228) A soma de um número com sua terça parte é maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é:

INEQUAÇÕES DO 2o GRAU São desigualdades do tipo : ax² + bx + c 0 , ax² + bx + c > 0 , ax² + bx + c 0 e ax² + bx + c < 0 , sempre com a 0. Para resolvermos essas inequações , devemos analisar o estudo do sinal da inequação do 2o grau , seguindo os seguintes passos:

1o passo: Determina-se as raízes (esta vai ser assumida ou não , dependendo do sinal da desigualdade) Desigualdade do tipo:

a) > ou < não assume b) ou assume.

2o passo: Analisando-se o estudo do sinal , temos: a) Se > 0 x’ x” entre as raízes sinal contrário de a; para fora das raízes mesmo sinal de a; b) Se = 0 x’ = x” à esquerda e à direita da raiz mesmo sinal de a; c) Se < 0 x R toda ela tem o sinal de a; 3o passo: Dar a solução conforme a desigualdade fornecida. Assim temos:

1- Se > 0

x' x"

Mesmo sinalde “a”


Sinal contráriode “a”

2- Se = 0

x' x"=



3- Se < 0


Exemplos: 01 - Resolver a inequação x² - 3x + 2 > 0. Inicialmente iremos achar as raízes (não serão assumidas pois a inequação é > 0). x² - 3x + 2 > 0. S = 3 x’= 2 P = 2 x”=1 Como temos duas raízes reais e diferentes :



Sinal contráriode “a”

1 2

Como a inequação está pedindo valores > 0 temos : S = (- ; 1[ ] 2 ; + ) 02 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - 10x + 25 0.


Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a inequação é 0.) x² - 10x + 25 0 S = 10 x’ = 5 P = 25 x”= 5 Como temos duas raízes reais e iguais:



5

Como a inequação está pedindo valores 0 temos : S = R ou S = (- ; + ). 03 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - x + 1 0 Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a inequação é 0.) x² - x + 1 0 S = 1 x R , < 0 P = 1 Como não temos raízes reais:


Como a inequação está pedindo valores 0 temos: S = . Atenção: A única maneira do trinômio ax² + bx + c , se sempre positivo ou negativo (conforme o sinal de “a” ) ocorrerá quando < 0. Exercícios 229) Resolva as seguintes inequações: a) x² - 2x – 3 > 0 b) – 4x² + 11x – 6 0 c) 9x² - 6x + 1 > 0 d) x² - 5x < 0 e) x² + 4x + 7 > 0 f) - x² + 10x – 25 > 0 g) - x² + 9x – 8 0 h) x² – 3 < 0 i) - x² - x – 6 < 0 j) 2x² > 3x k) 1 x² l) x < x² m) ( x –1 )² 3 – x n) x(x + 4) > - 4 ( x + 4 )

230) O conjunto solução da inequação x² - 9x + 18 0 é o intervalo: a) ]3;6[ b) [3;6] c) ( - ;3] [6;+ ) d) ( - ;3[ ]6;+ ) e) n.r.a. 231) O único valor real “x”que não satisfaz a inequação: - x² + 8x - 16 < 0 é : 232) Resolvendo a inequação x² - 3x + 20 > 0 , encontra-se o conjunto solução: a) S = ( - ; 3] b) S = [3; + ) c) S = ]3 ; + ) d) S = (- ; 5 ] e) (- ; + ) 233) Resolver, em R, o sistema:

2

2

0

3 2 0

x x

x x

234) Dê o conjunto da inequação : 2 22 6x x x

OBS: A solução da inequação simultânea é feita através de um sistema de inequações. Problemas 235) A soma de um número com seu quadrado é menor que 6. O conjunto solução dessa sentença é: 236) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença é: 237) A diferença entre o quadrado de um número e a sua metade é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença é:

SISTEMAS LINEARES Chama-se de sistema linear ao conjunto formado por equações lineares. Exemplos:

a) 5

1

x y

x yé um sistema linear que possui 2 equações e 2

variáveis.

b)

3

1

2 4

x y z

x y z

x y z

é um sistema linear que possui 3 equações

e 3 variáveis. Classificação de um Sistema Linear


det ermi n ado(uma única solução)possível

Sistema Linear in det ermin ado(inf initas soluções)

impossível(não tem solução)

RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

ESCALONAMENTO Escalonar um sistema é fazer, através da transformação do sistema em outro equivalente, com que o número de coeficientes nulos em cada equação do sistema aumente de equação para equação. Esta transformação pode ser feita aplicando as propriedades abaixo descritas. Propriedades: 1. A troca de posições das equações dentro do sistema, determina um sistema equivalente ao original; 2. A multiplicação de uma ou mais equações do sistema por

um número k k IR , determina um sistema equivalente;

3. A adição de uma equação do sistema com outra equação

do sistema multiplicada por um número k k IR ,

determina um sistema equivalente. Técnica do escalonamento Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como primeira equação do sistema aquela que tiver como coeficiente da primeira incógnita igual a 1. Se nenhuma das equações satisfizer esta condição, devemos

escolher uma delas pra multiplicar por k k IR ,

escolhendo k de modo que após a multiplicação, o coeficiente da primeira incógnita seja 1. b) Feito isso, através de operações de adição entre a primeira e as demais equações anulamos os coeficientes da primeira incógnita abaixo da primeira equação. c) Repete-se o processo, agora realizando operações entre a segunda e as demais (a primeira não deverá ser mais utilizada), a fim de anular os coeficientes da segunda incógnita abaixo da segunda equação; d) O processo segue até que o sistema esteja escalonado. Exemplos: 01 – Determine, se possível, o conjunto solução de cada um dos sistemas lineares abaixo:

a)

3 2 2 12

10

4 2 3 29

x y z

x y z

x y z

Primeiramente, vamos trocar de posição as duas primeiras linhas, fazendo com que o primeiro coeficiente da primeira incógnita do sistema seja igual a 1.

10

3 2 2 12

4 2 3 29

x y z

x y z

x y z

Fazendo 1 2

3L L (multiplicamos a primeira linha por (-3)

e adicionamos o resultado a segunda) e 1 3

4L L ,

obtemos:

10

0 18

0 2 11

x y z

y z

y z

Fazendo 2 3

2L L , obtemos:

10

0 18

0 0 25

x y z

y z

z

Assim:

25

18 18 18 25 7

10 10 10 7 25 8

z

y z y z y

x y z x y z x

8 7 25S , , - O sistema tem solução única, ou seja, é

possível e determinado.

b)

4 3 5

2 6 4 4

5 15 10 10

x y z

x y z

x y z

Fazendo 1 2

2L L e 1 3

5L L obtemos:

4 3 5

0 2 2 6

0 5 5 15

x y z

y z

y z

Fazendo 2 3

52

L L vem:

4 3 5

0 2 2 6

0 0 0 0

x y z

y z

O sistema tem menos equações do que incógnitas. Assim, dizemos que tem uma variável livre e por isso é dito possível e indeterminado. Neste caso, podemos escrever a solução em função da variável livre.

7 3S z , z,z ; z IR


c)

2 3 6

4 5 4 38

8 10 18 20

x y z

x y z

x y z

Fazendo 1 2

4L L e 1 3

8L L obtemos:

2 3 6

0 3 5 14

0 6 6 28

x y z

y z

y z

Fazendo 2 3

2L L obtemos:

2 3 6

0 3 5 14

0 0 0 56

x y z

y z

Como é absurda a igualdade encontrada 0 56 , dizemos

que o sistema é impossível. Isto é, não tem solução.

S Ø

REGRA DE CRAMER Resolver um sistema linear pela Regra de Cramer onde a solução é obtida pelas relações:

yx zDD D

x ; y ; zD D D

...

Sendo: D é o determinante da matriz incompleta;

x y zD ;D ;D ..., são os determinantes obtidos da matriz

incompleta, substituindo-se a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes. Exercícios

238) Resolver o sistema 0

2 1

x y

x y

239) Resolva o sistema

0

2 1

2

x y z

x y z

x y z

Discussão de um Sistema Linear - Sistema possível e determinado : D ≠ 0 ( tem uma só solução ) - Sistema possível e indeterminado : D = 0 e

0x y z nD D D ... D (infinitas soluções)

- Sistema impossível : D = 0 e ( 0xD ou 0yD ou ...

0nD ) ( não tem solução )

Exercícios

240) Para que valor de m o sistema 2

1

x my

x yé possível e

determinado. 241) Calcule o valor de a para que o sistema

2 3

3 9

x y

x ayseja indeterminado.

242) Para que o sistema 2 1

1 3 2

x ky

x y seja impossível, o

valor de K deve ser?

SISTEMAS HOMOGÊNEOS Um sistema linear é homogêneo quando todos os termos independentes de todas as equações são iguais a zero. Exemplos:

a) 2 0

2 0

x y

x y

b)

2 0

4 2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

Discussão de um Sistema Homogêneo Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial ( 0; 0; 0; ...;0) Se D ≠ 0 : o sistema é possível e determinado. Se D = 0 : o sistema é possível e indeterminado. Exercícios

243) As soluções a; b; c do sistema

1

5 4 3 1

6 3 2 1

a b c

a b c

a b c

.

244) Dê o conjunto solução do sistema

2 38

1 11

x y

x y

.

245) O sistema 4

3

x my

x y k é possível e determinado.

Então, temos sempre: a) m = 0 b) m ≠ k

c) 1

3m

d) 1

3m

246) Para que valores de m e p o sistema é possível e indeterminado.


3 2

2 6 3

mx y

x y p

FUNÇÕES

Definição: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e um só elemento y do conjunto B. Pode-se escrever: f:A B (lê-se: f é uma função de A em B) ou f (x) = y OBS: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que define uma função: y = x + 5 ou f (x) = x + 5 y = x² ou f (x) = x² A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f(x) significam o mesmo na linguagem matemática. Exemplos: 01 - Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x A e y B. x = 0 y = 0 + 5 = 5 x = 5 y = 5 + 5 = 10 x = 15 y = 15 + 5 = 20

Observamos que: todos os elementos de A estão associados a elementos de

B; cada elemento de A está associado a um único elemento

de B. Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula

5y x é uma função de A em B.

02 - Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5}e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x A e y B.

Este exemplo NÃO expressa uma função de A em B, pois ao elemento – 2 do conjunto A não está associado nenhum elemento de B. 03 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x²,

A relação expressa pela fórmula y = x², neste caso, representa uma função de A em B , pois: todos os elementos de A estão associados a elementos de

B; cada elemento de A está associado a um único elemento

de B. 04 - Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {-2, 2, 3}, seja a

relação de A em B expressa pela fórmula 4y = x , com x A

e y B.

Este exemplo NÃO representa uma função de A em B, pois ao elemento 16 do conjunto A estão associados dois elementos (- 2 e 2) do conjunto B. Outros exemplos: a)

É função

b)

É função

c)

Não é função, pois, o elemento 5 do conjunto “A” não está associado a nenhum elemento de “B”. d)


Não é função, pois, o elemento -1 do conjunto “A” não está associado a dois elementos do conjunto “B”. Exercícios 247) Observe os digramas abaixo, que representam relações de A em B. Assinale com F aquelas que são funções e com a letra R as que não são funções. a)

b)

c)

d)

e)

f)

248) Resolva os problemas: a) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} expressa pela fórmula y = x + 3, com x A e y B. Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. b) Seja f uma relação de A = {- 1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6, 8} expressa pela fórmula y = 2x. Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. c) Dados A = {- 2, - 1, 1, 2} e B = {- 8, - 4, -1, 0, 1, 4, 8}, e uma relação f de A em B expressa pela fórmula y = x³, com x A e y B, faça o diagrama e verifique se f é uma função de

A em B. 249) Dado A = {x N | x 6}, determine os pares ordenados da relação R = {(x, y) A² | x + 2y = 6} e diga se R é função ou não.

250) A tabela a seguir representa o consumo em Km/l de um carro em movimento.

Velocidade (km/h)

Consumo (km/l)

40 8 60 10 80 13 90 10 100 9 120 8

Faça um diagrama de flechas e diga se a tabela representa ou não uma função. 251) Observe os gráficos abaixo e assinale com F aqueles que são funções e com a letra R os que não são funções. a)

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

-1

-2

-3

-4

b)


X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

5

6

7

8

c)

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

5

6

7

8

d)

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

e)

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

8

7

6

5

0

DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos considerar a função f : A B definida por 1 y x ou

1f ( x ) x .

Observando o diagrama da função, vamos definir: O conjunto A é denominado DOMÍNIO DA FUNÇÃO, que indicamos por D. No exemplo acima, D = {0, 1, 2}. O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição ou campo de existência da função. O conjunto {1, 2, 3}, que é um subconjunto de B, é denominado CONJUNTO IMAGEM da função, que indicamos por Im = {1, 2, 3}. No exemplo acima:

1 é a imagem de 0 pela função ; indica-se f (0) = 1; 2 é a imagem de 1 pela função ; indica-se f (1) = 2; 3 é a imagem de 2 pela função ; indica-se f (2) = 3.

O conjunto B, tal que Im B, é denominado CONTRADOMÍNIO da função. Outro exemplo: Sendo A = {-3, -1, 1, 3, 5} e B = {- 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}, na função: f : A B; y = x + 1 Temos:

D(f) = {-3, -1, 1, 3, 5} = A CD(f) = { - 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8} = B Im(f) = {-2, 0 2, 4, 6}

VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO Para se obter, o valor numérico da função, devemos substituir na lei fornecida o valor de x indicado; assim obtendo o valor de f (x) = y. Exemplos: 01 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4}, determinar o conjunto imagem da função f: A B definida por f (x) = x + 2. Resolução: f(-3) = (-3) + 2 = -1 f(-1) = (-1) + 2 = 1 f(0) = 0 + 2 = 2 f(2) = 2 + 2 = 4


Observando o diagrama, temos: Im = {-1, 1, 2, 4} 02 - Seja a função f : R R definida por f(x) = x² - 10x + 8. Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = -1, ou seja, tenha imagem –1 pela função f dada. Resolução: f(x) = x² - 10x + 8 f(x) = -1 x² - 10x + 8 = -1 x² - 10x + 8 + 1 = 0 x² - 10x + 9 = 0 x’ = 9 x” = 1 Logo : x = 9 ou x = 1. 03 - Dada a função f : R R definida por f(x) = ax + b, com a, b R, calcular a e b, sabendo-se que f(1) = 4 e f(-1) = -2. Resolução: f(x) = ax + b f(1) = a(1) + b 4 = a + b f(x) = ax + b f(-1) = a . (-1) + b -2 = - a + b

Vamos, então, resolver o sistema: 4

2

a b

a b

-a + b = -2 b = -2 + a a + b = 4 a + (-2 + a) = 4 2a = 6 a = 3 b = -2 + a b = -2 + 3 b = 1 logo: a = 3 e b = 1 OBS: Se o problema pedisse a lei que define a função f, teríamos: f (x) = 3x + 1 04 - Sejam as funções f : R R definida por f (x) = 2x – 1 e g: R R, definida por g (x) = x + m. Determinar o valor de m para que se tenha f (2) + g (-1) = 7. Resolução: f (x) = 2x – 1 f (2) = 2.(2) – 1 f (2) = 3 g (x) = x + m g (-1) = (-1) + m

g (-1) = m – 1 f (2) + g (-1) = 7 3 + (m – 1) = 7 m + 2 = 7 m = 5. Exercícios 252) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1} e B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine: a) o conjunto imagem da função f : A B definida por

f ( x ) x²

b) o conjunto imagem da função f : A B definida por

2 2f ( x ) x

c) o conjunto imagem da função f: A B definida por

1f ( x ) x² -

253) Sendo f : R R uma função definida por

23 10f x x x , calcule:

a) f(-2) b) f(0) c) f(5) d) f(-1) e) f(3) f) f(1/2) 254) Dada a funçâo f : R R definida por f (x) = x² - 5x + 6, calcule os valores reais de x para que se tenha: a)f(x) = 0 b)f(x) = 12 c)f(x) = 6 255) Dados A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}e a função f = {(x. y) A X B | y = x2 + 1}, determine: a) a imagem do -1 pela função f. b) se 4 é imagem de algum elemento de A pela função f. c) o valor de x para o qual a função f tem imagem igual a 5. 256) Dadas as funções definidas por f (x) = 2x + (1/2) e g(x) = (2x/5) + 1,determine o valor de f(2) + g(5). 257) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x - b. Calcule o valor de a e de b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3 258) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m, n R. Se f (2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n.

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim: 1o - Funções sem restrição: Se é dado apenas f(x) = 2x - 5, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D = R. Exemplos: a) f (x) = 3x + 1


b) f (x) = 2x² - 7x + 3 c) f (x) = x³ - 4 Regra geral D = R 2° - Funções com restrição:

a) 1

f xx

Aqui, devemos notar que podemos aplicar qualquer valor real de x em f, exceto o 0 (zero), pois não podemos escrever uma

fração com denominador zero. Logo, *0D f R R .

b) 2

3

xf x

x

Observe que ao aplicarmos (- 3) a função, encontramos:

2 3 63

3 3 0f . Como vimos anteriormente, não

podemos escrever uma fração com denominador nulo. Então,

3D f R .

Generalizando: sempre que a variável x aparece no

denominador de uma função devemos escrever que a expressão do denominador deve ser diferente de

zero 0 .

c) f x x

Neste caso, devemos lembrar que não podemos extrair a raiz

quadrada de números negativos. Então D f R

d) 4f x x

Devemos encontrar os valores de x que fazem a expressão 4 x se tornar um número real não negativo. Ou seja, devemos fazer 4 0x . Resolvendo a desigualdade temos:

4x . Assim / 4D f x R x

Generalizando: quando a variável x encontra-se no

interior de um radical de índice par, devemos fazer com que o valor da expressão seja sempre maior ou

igual a zero 0 .

OBS: Se houver mais de uma restrição em uma mesma função, devemos fazer a intersecção entre esses conjuntos. Exercícios 259) Determine o domínio das funções abaixo:

a) 5

xf ( x )

x

b) 2

2

xf ( x )

x

c) 1

3f ( x )

x

d) 2

4

xf ( x )

x

e) 1

1f ( x )

x

f) 2f ( x ) x

g) 3f ( x ) x

h) 1

2f ( x )

x

i) 23 2y x x

j) 26 9f ( x ) x x

l) 2

4

xf ( x )

x

m) 2

1

6 5f ( x )

x x

n) 2

4

xf ( x )

x

o) 2 1

xf ( x )

x

p) 2

1

9 20f ( x )

x x

q) 1

3

xf ( x )

x x

r) 2

1

3 2y

x x

s) 2

2

2f ( x )

x x

t) 2

2 5

6 5

xy

x x

u) 31f ( x ) x

v) 3

3

8y

x

260) Calcule o domínio das funções:

a) 2 7f ( x ) x

b) 3f ( x ) x

c) 1f ( x ) x


d) 4 1f ( x ) x

e) 25 6f ( x ) x x

f) 4 1 2f ( x ) x 261) Determine o domínio de cada função:

a) 7

3

xf ( x )

x

b) 2

5

7 12

xy

x x

c) 2 1

2 6

xf ( x )

x

d) 2

3 7

4

xf ( x )

x

e) 4

xf ( x )

x

f) 2 6

4

xf ( x )

x

FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU: FUNÇÃO LINEAR

Toda função :f R R definida por f x ax b , com *a R e b R , é chamada de função polinomial do 1° grau

ou função afim, onde: - “a ” é o coeficiente angular da função; - “b ” é o coeficiente linear da função. O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é uma reta. O coeficiente angular ( a ) nos mostra a inclinação desta reta, ou seja, se 0a a reta é crescente, se 0a a

reta é decrescente e o coeficiente linear b da função é o

ponto onde a reta intercepta o eixo “y”. Particularmente quando 0b , ela é chamada de função

linear, e a sentença matemática que a define é f x ax .

Exemplos: São funções polinomiais do 1° grau:

a) 2 3f x x 2

3

a

b

b) 4 3f x x 3

4

a

b

c) 52

xf x

1

2

5

a

b

d) 4 1

5

xf x

4

5

1

5

a

b

Gráfico Cartesiano de uma Função Polinomial do 1° Grau.

Como vimos anteriormente o gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é uma reta, logo para que possamos determinar sua representação no plano cartesiano necessitamos definir dois pontos (par ordenado (x, y)) quaisquer no plano que podem ser determinados a partir da escolha de qualquer valor de x, que aplicados na função determinarão os valores de y. Exemplos: 01 – Construir o gráfico da função 2y x .

0 2

1 1

x y

x y

x y0 21 1

10

1

2

x

y

Um outro modo de traçar o gráfico da função é utilizando-se os pontos dados pelo coeficiente linear e a raiz ou zero da função, respectivamente os pontos de intersecção da reta com os eixos y e x. Lembrete: Como a raiz ou zero da função é o ponto de intersecção da reta com o eixo x, o valor de y neste ponto é igual a zero. Logo para determinarmos a raiz da função, devemos substituir y por zero e resolver a equação. 02 – Um móvel se desloca em uma rodovia da cidade A para

B, segundo a função 80 100s t t , sendo s (espaço) em

Km e t (tempo) em horas. Sabendo que A esta localizada no km 100 desta rodovia e B dista 350 Km de A, pede-se: a)mO gráfico da função s:

100

600

500

400

300

200

1 654320 ( )t h

( )s km

b)mA posição do móvel para t=3 horas;


3 100 80 3 100 80 3 340t s t t s

O móvel está no Km 340 da rodovia. c)mO tempo de viagem gasto pelo móvel para chegar ao destino;

O móvel chega ao destino quando 450s t . Isto porque

ele partiu da cidade A, localizada no Km 100 da rodovia e a cidade B dista 350 Km de A. Logo,

35450 450 100 80 350 80

8s t t t t h

d)mA posição do móvel para t=0. Explique o significado disso.

0 100 80 0 100 80 0 100t s t t s

100s t é a cidade A, o início do deslocamento.

Exercícios

262) Faça o gráfico das funções, indicando os coeficientes e suas raízes. a) 2 1f ( x ) - x

b) 2f ( x ) x -

c) 12

xf ( x ) -

d) 1

2 3

xf ( x ) -

e) 1

22

f ( x ) x -

f) 2 1

3 2

xf ( x ) -

263) O gráfico de f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0 é uma: a) reta horizontal contida no primeiro e segundo quadrantes. b) reta vertical. c) figura não conhecida. d) reta não passando pela origem e nem paralela a nenhum dos eixos. e) n.r.a 264) Qual função corresponde ao gráfico:

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4 265) Sendo a > 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f ( x ) ax b é: a)

X

Y

b)

X

Y

c)

X

Y

d)

X

Y

266) (CESPE/UnB) O custo mensal da conta de água de uma residência corresponde a fórmula

5100

xC x , em que C representa a quantidade de

reais e x, o consumo mensal em litros. Para que a conta não ultrapasse R$ 25,00, o consumo mensal, em litros, deverá ser, no máximo de: a) 1900 b) 2000 c) 2100 d) 2200 e) 2300


267) Ao chegar em um aeroporto, um turista informou-se sobra a locação de automóveis e organizou as informações na seguinte tabela:

Opções Diária (R$) Preço por Km rodado

LOCADORA 1 50,00 0,20 LOCADORA 2 30,00 0,60 LOCADORA 3 60,00 Km livre

Determine a partir de quantos Km rodados é mais vantajoso utilizar a locadora 3. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA

Uma função :f R R dada por 2f x ax bx c , em

que , , a b c R e 0a é chamada função polinomial do 2°

grau ou função quadrática. Exemplos: São funções polinomiais do 2° grau:

2

2

2 3 4

2 1

f x x x

f x x x

24f x x

2

2

3

3 4

f x x x

f x x

Gráfico Cartesiano

O gráfico cartesiano de uma função quadrática

2y ax bx c de :f R R é uma curva denominada

parábola. Para traçá-lo, devemos construir uma tabela atribuindo valores para x e determinando o valor de y correspondente pela função. Exemplos:

01 – Traçar o gráfico da função 28 12f x x x .

x 28 12y x x y

0 20 8 0 12y . 12

222 8 2 12y . 0

4 24 8 4 12y . -4

626 8 6 12y . 0

8 28 8 8 12y . 12

02 – Traçar o gráfico da função 2

8 12f x x x .

x 2 8 12y x x y

020 8 0 12y . -12

2 22 8 2 12y . 0

424 8 4 12y . 4

6 26 8 6 12y . 0

8 28 8 8 12y . -12

Traçados esses dois gráficos podemos analisar alguns coeficientes importantes nas funções quadráticas. Coeficiente “a” - Concavidade da Parábola

Podemos observar nos gráficos traçados anteriormente que as parábolas têm concavidades distintas, no 1° exemplo com a concavidade para cima e no 2° com a concavidade para baixo. Isto se dá pelo sinal do coeficiente “a”, ou seja: - Se 0a , ou seja, positivo, a concavidade da parábola é para cima. Como no exemplo 01. - Se 0a , ou seja, negativo, a concavidade da parábola é para baixo. Como no exemplo 02. Coeficiente “c” - Intersecção da Parábola com o eixo “y”

Para determinar esta intersecção basta substituir o valor de x por zero na função.

22 0 0 0f x ax bx c f a b c y c

Observando os gráficos dos exemplos anteriores, encontramos, respectivamente (0, 12) e (0, -12) como pontos de intersecção das funções com o eixo y. Zeros ou Raízes da Função

Para se determinar os zeros de 2f x ax bx c , basta

fazer 0f x .

Então: 20ax bx c

Utilizando-se a fórmula de Bhaskara temos:

1

2

2

2

2

bx

b axa b

xa

em que 24b ac

Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) são os pontos de intersecção da parábola com eixo x.

Quando 0 , a função tem duas raízes reais

distintas 1 2

x x e a parábola intercepta o eixo x

em dois pontos diferentes. Quando 0 , a função tem duas raízes reais

iguais 1 2

x x e a parábola intercepta o eixo x em

um ponto.


Quando 0 , a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x.

Ainda observando os gráficos construídos anteriormente temos que: - No exemplo 1, as raízes são x1=2 e x2=6 - No exemplo 2, as raízes são x1=2 e x2=6 Exemplos: 01 – Determinar o número de raízes de cada uma das funções abaixo, bem como seus valores.

a) 26 8f x x x

Calculando temos:

2

2

4

6 4 1 8

36 32

4

b ac

Como 0 , a função tem duas raízes reais e distintas. Logo:

1

2

6 44

6 4 2

2 2 1 6 42

2

xb

xa

x

b) 24 4f x x x

Calculando temos:

2

2

4

4 4 1 4

16 16

0

b ac

Como 0 , a função tem duas raízes reais e iguais. Logo:

1

2

4 02

4 0 2

2 2 1 4 02

2

xb

xa

x

c) 25 2 2f x x x

Calculando temos:

2

2

4

2 4 5 2

4 40

36

b ac

Como 0 , a função não tem raízes reais e não se faz necessário continuar com os cálculos.

02 – Encontrar os valores de “k” para que a função 2

3 4 1f x x x k tenha duas raízes reais e iguais.

Para que a função tenha duas raízes reais e iguais é necessário que 0 . Logo:

2

2

0 4 0

4 4 3 1 0

16 12 1 0

16 12 12 0

4 12 0

12 4

4 1

12 3

b ac

k

k

k

k

k

k

Interpretação Geométrica das Raízes da Função Quadrática

Abaixo, um quadro esquemático relacionando a concavidade da parábola e as raízes de uma função do 2° grau.

( ) 0f x <

( ) 0f x > ( ) 0f x >

x' x" x ( ) 0f x <

( ) 0f x >

( ) 0f x <

x"x'x

0a > 0a <

( ) 0f x >( ) 0f x >

x

( ) 0f x < ( ) 0f x < x

( ) 0f x > ( ) 0f x >

xx' x"=( ) 0f x < ( ) 0f x < x

x' x"=

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é uma importante ferramenta para a resolução de problemas envolvendo as funções do 2° grau. O

vértice , v vV x y é composto por duas coordenadas o xv e yv

que podem ser calculados a partir das fórmulas.

2v

bx

a

4vy a

A coordenada do vértice em x determina o eixo de simetria da parábola. A coordenada do vértice em y determina o valor máximo (quando a concavidade é voltada para baixo) ou mínimo (quando a concavidade é voltada para cima). Obs:


1 - Podemos encontrar as coordenadas do vértice sem a utilização das fórmulas, encontrando primeiramente o valor da coordenada x, fazendo a média aritmética simples entre as raízes, e com este valor aplicado a função encontrar o valor da coordenada y. 2 – Além dos valores máximos e mínimos da função, a coordenada de y do vértice, também nos ajuda a encontrar a imagem da função:

Se 0a , a função tem valor mínimo e a imagem é

Im ,f vy

Se 0a , a função tem valor máximo e a imagem é

Im ,f vy

Exemplo: 01 – Uma pedra é lançada para cima e sua trajetória é dada

pela função 240 5h t t t , onde h é a altura da pedra em

metros em função do tempo t decorrido. A partir dos dados acima responda: a) Com quantos segundos a pedra volta a tocar o solo? A pedra toca o solo quando sua altura é igual a zero, ou seja,

independente do tempo 0h t .

Substituindo h t por zero temos:

240 5 0t t Resolvendo a equação do 2° grau obtida encontramos:

10t - a pedra esta sendo lançada.

28t - a pedra volta a tocar o solo.

b) Em que tempo a pedra atinge sua altura máxima? A pedra atinge a altura máxima na metade do tempo em que demora a tocar o solo, ou seja, no eixo de simetria da parábola, coordenada do eixo x.

Logo: 40 40

42 2 5 10

v

bx

a

Obs: Observe que fazendo a média entre as raízes da função (

10t e

28t ) também se obtém x = 4.

c) Qual é a altura máxima? Como a pedra é lançada para cima, a trajetória descrita é uma parábola com concavidade voltada para baixo, tem ponto de máximo, que é obtido calculando-se o coordenada do vér4tice em y.

240 4 5 0 160080

4 4 5 20vy a

Obs: Veja que se aplicarmos o valor do vértice em x na função também obteremos y = 80. d) qual o tempo decorrido quando a pedra esta a 60 metros de altura?

Substituindo h t por 60 temos:

240 5 60t t Igualando a zero.

25 40 60 0t t Encontrando as raízes.

1

2

2

6

t

t

Como visto no item c, a altura máxima é 80m, então a pedra atinge 60 metros tanto na subida com

12t como na

descida com 2

6t . É importante notar que estes tempos

são simétricos, 2 segundos antes e depois do tempo médio. Estudo do Sinal da Função

Sabemos que estudar o sinal de uma função, significa determinar os valores de x que tornam a função:

Positiva 0f x ou 0y

Negativa 0f x ou 0y

Nula 0f x ou 0y

No estudo da função quadrática vamos estudar três casos relacionando a concavidade da parábola e os zeros da função. 1° caso: 0 Neste caso a função admite duas raízes reais e distintas e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:

x' x" xx"x'

x

0a > 0a <

( )

( )

( )

0

0

0

para ou

para

para ou

f x x x' x x"

f x x' x x"

f x x x' x x"

> < >

< < <

= = =

( )

( )

( )

0

0

0

para

para ou

para ou

f x x' x x"

f x x x' x x"

f x x x' x x"

> < <

< < >

= = =

x' x" x xx' x"

( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x < ( ) 0f x >( ) 0f x >

2° caso: 0 Neste caso a função admite duas raízes reais e iguais e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:


x x

0a > 0a <

x x

( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x >

x' x"=

x' x"=

x' x"=

x' x"=

( )

( )

( )

0

0

0

para ou

não existe real

para

f x x x' x x"

f x x

f x x x' x"

> < >

<

= = =

( )

( )

( )

0

0

0

para ou

não existe real

para

f x x x' x x"

f x x

f x x x' x"

< < >

>

= = =

3° caso: 0 Neste caso a função não admite raízes reais e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:

xx

0a > 0a <

x x

( ) 0f x <( ) 0f x >

( )

( )

( )

0

0

0

para todo real

não existe real

não existe real

f x x

f x x

f x x

>

<

=

( )

( )

( )

0

0

0

para todo real

não existe real

não existe real

f x x

f x x

f x x

<

>

=

Exercícios 268) Faça o gráfico das funções.

a) 21f ( x ) x

b) 21 f ( x ) x

c) 2 f ( x ) x x

d) 23 2f ( x ) x x

e) 212 20f ( x ) x x

269) Seja a função quadrática 2f ( x ) ax bx c , (a; b; c

R e a ≠ 0). Quando a < 0 e 0 , a função poderá ter, por gráfico: a)

X

Y

b)

X

Y

c)

X

Y

d)

Y

270) Sabe-se que o gráfico abaixo representa uma função do segundo grau. Esta função é?

X

Y

1 2 3 4-1-2-3-4

1

2

-1

-2

-3

-4

271) (CESPE/UnB) Considerando que o número de altas de

um hospital pode ser expresso pela função 214f t t t ,

em que t = 1, 2, 3, 4, ... 12 correspondente aos meses de janeiro, fevereiro, março, ...., dezembro, respectivamente, então o número máximo de altas nesse período foi de: a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52 272) (CESPE/UnB) O consumo de água, em litros, de uma repartição durante um dia de experiente é expresso pela

função 222 105f t t t , em que 0y , é dado em

litros e t é o tempo, em horas. Supondo que (a, 0) e (b, 0) são os pontos de intersecção do gráfico da função y com o eixo Ot. Com base nas informações acima assinale a afirmativa correta. a) a + b = 15. b) O maior consumo de água foi de 16 litros. c) O consumo de água foi superior a 12 litros no intervalo

de tempo 9 14t . 273) (CESPE/UnB) Considere que, em reais, o lucro mensal de uma empresa na venda de x unidades de determinado

produto seja dado por 1000 L x , em que

222 48L x x x . A partir dessas informações,

assinale a alternativa correta: a) O lucro dessa empresa é sempre superior a R$

72000,00


b) O lucro mensal será maior que R$ 37000,00, se a empresa vender entre 5 e 17 unidades desse produto

c) O lucro máximo mensal se dá quando são comercializadas 1200 unidades do produto

d) A empresa nunca terá prejuízo em um mês para qualquer quantidade x de produtos vendidos.

274) A função cujo gráfico se encontra totalmente abaixo do eixo x é:

a) 2400 1y x x

b) 2111y x x

c) 2100 100 1y x x

d) 2400y x x

e) 2400 100y x x

275) (CESPE/UnB) A figura abaixo apresenta os gráficos apresenta os gráficos das funções do 2° grau definidas por

2f x ax bx c e 2g x px qx r . A partir desses

dados, assinale a alternativa correta.

( )f x

( )g x

x

y

a) O produto ap é negativo

b) Existe, no máximo, um valor x0 tal que 0 0f x g x

c) Os gráficos permitem concluir que 24b ac

276) (CESPE/UnB) O número de ocorrências policiais no dia x do mês é dado pelo valor da função

212 27f x x x , e nos dias em que ocorrências foram

registradas são aqueles que 0f x . Com base nas

informações acima, assinale a alternativa falsa. a) O maior número de ocorrências em um único dia foi inferior a 10 b) Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de ocorrências registradas vai aumentando c) O número de dias em que foram registradas ocorrências é superior a 9

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos: 1) 3x =81 (a solução é x=4) 2) 2x-5=16 (a solução é x=9) 3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

0 1m na a m n, a ,a

Exemplos: 1) 3x=81 Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 E daí, x=4.

2) 3 81

4 256

x

Resolução:

Fazendo

44

4

81 3 3

256 4 4 temos:

4

3 3

4 4

x

Logo, 4x

3) 43 27x

Resolução:

Fazendo 3

344 427 3 3 , temos: 343 3x

Logo, 3

4x

4) 23x-1 = 322x Resolução: 23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10, de onde x=-1/7. 5) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0. Resolução: Vamos resolver esta equação através de uma transformação: 32x–6.3x–27 = 0 (3x)2-6.3x–27 = 0 Fazendo 3x = y, obtemos: y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’ = -3 e y’’ = 9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y: y’=-3 3x’ = -3 não existe x’, pois potência de base positiva é positiva y’’=9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 x’’ = 2 Portanto a solução é x = 2 Exercícios 222) Resolva as equações abaixo:

a) 4 32x

b) 1 39 27

x x

c) 1 12 2 5 2 46

x x x.

d) 23 12 3 27 0

x x.


FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR�IR+ definida por xf ( x ) a , com a IR+ e

a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

Gráfico da função exponencial Temos 2 casos a considerar: � quando a>1; � quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes:

01. 2xy (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2 y 1/4 ½ 1 2 4

-2 -1 210

3

2

1

-1

x

y

4

02. 1

2

x

y (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


x -2 -1 0 1 2

y 4 2 1 1/2 1/4

-2 -1 21x0

3

2

1

-1

y

4

Nos dois exemplos, podemos observar que:

a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

1a > 0 1a< <

IR IR

xx

yy

xx

yy

Exercícios 223) Esboce os gráficos das funções abaixo:

a) 1

3

x

y

b) 3xy

279)

A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas, foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função f(x) = 2x, no qual estão marcados os pontos de abscissas x = k e x = 2k. No sistema da direita, está representado o gráfico da função g(x) = x e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abscissas dos pontos marcados no gráfico à direita é igual a 56. Considerando essas informações, julgue o item abaixo. a)Na situação apresentada, o valor do número real k é tal que

330 1 32k k

LOGARITMOS

Definição de logaritmo

0 1 0 x

aa b x log b a ;a ;b

Onde: a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo


x= logaritmo Exemplos:

01. 5

232 5 2 32log

02. 2

416 2 4 16log

03. 0

51 0 5 1log

Conseqüências da definição Sendo b>0 ,a>0 e a 1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas conseqüências da definição de logaritmo:

1 0alog

1alog a

m

alog a m

log baa b a alog b log c b c

Propriedades operatórias dos logaritmos

Logaritmo do produto

a a alog ( x.y ) log x log y

Logaritmo do quociente

a a a

xlog log x log y

y

Logaritmo da potência

m

a alog x m.log x

Caso particular:

Como m

mn nb b temos:

mn

a a

mlog b log b

n

Mudança de base

ca

c

log blog b

log a

Exercícios 280) Calcule:

a) 2

4

256log

b) 381 729log .

c) 2 2

2 8log log

d) 3 4 55 3 4log .log .log

281) Sabendo que 2alog x , 3alog y e 5alog z ,

calcule 2 3

4a

x ylog

z.

282) Calcule

16log x sabendo que

2log x y .

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+�IR definida por f(x)=logax, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). Gráfico cartesiano da função logarítmica Temos 2 casos a considerar: � quando a>1; � quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: 1)

2y log x (nesse caso, a=2, logo a>1)


x 1/4 1/2 1 2 4

y -2 -1 0 1 2

x

y

-1 0 1 2 4

-1

-2

1

2

2) 12

y log x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


x 1/4 1/2 1 2 4

y 2 1 0 -1 -2


x

y

-1 0 1 2 4

-1

-2

1

2

Nos dois exemplos, podemos observar que: o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da

função é x=1; y assume todos os valores reais, portanto o conjunto

imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

1a > 0 1a< <

f(x) é crescente e Im=IRPara quaisquer x e x do domínio: x >x y >y (as desigualdades têm mesmo sentido)

1 2 2 1 2 1

f(x) é decrescente e Im=IRPara quaisquer x e x do domínio: x >x y <y (as desigualdades têm sentidos opostos)

1 2 2 1 2 1

x

y

x

y

Exercícios 283) Calcule o domínio das funções abaixo:

a) 2

2y log x

b) 1

2x

y log x

c) 2

39

xy log x

284) Esboce os gráficos das funções:

a)

2y log x

b) 1

2

y log x

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos: 1) log3x

=5 (a solução é x=243) 2) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) 3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) 4) logx+1(x

2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Exemplos resolvidos: 1) log3(x+5) = 2 Resolução: Condição de existência: x+5>0 => x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 3

2 => x=9-5 => x=4 Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 2) log2(log4 x) = 1 Resolução: Condição de existência: x>0 e log4x>0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 4

2 = x => x=16 Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 3) Resolva o sistema:

7

3 2 1

log x log y

log x log y

Resolução: Condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 => log x =3 => x=103 Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. Exercícios 285) Resolva as equações abaixo:

a) 2

6 3log x

b) 3 3

3 2 1log x log x

c) 2 22 5 3 2 1log x log x

SISTEMA DE MEDIDAS DE TEMPO

1 dia = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1 ano = 365 dias 1 mês = 30 dias 286) Quanto é ¼ do número de minutos de uma hora? 287) Quantos minutos são 5/12 de uma hora?

SISTEMA DECIMAL DE MEDIDAS a) Unidades de Comprimento 1 Km (quilômetro) = 1.000 m 1 hm (hectômetro) = 100 m 1 dam (decâmetro) = 10 m


1 m = 10 dm (decímetro) 1 m = 100 cm (centímetro) 1 m = 1000 mm (milímetro) b) Unidades de superficie 1 Km2 (quilômetro quadrado) = 1.000.000 m2 1 hm2 (hectômetro quadrado) = 10.000 m2 1 dam2 (decâmetro quadrado) = 100 m2 c) Unidades de Volume 1 Km3 (quilômetro cúbico) = 1.000.000.000 m3 1 hm3 (hectômetro cúbico) = 1.000.000 m3 1 dam3 (decâmetro cúbico) = 1.000 m3 1 m3 = 1.000 dm3 (decímetro cúbico) 1 m3 = 1000.000 cm3 (centímetro cúbico) 1 m3 = 1.000.000.000 mm3 (milímetro cúbico) d) Unidades de Massa 1 Kg (quilograma) = 1000 g 1 hg (hectograma) = 100 g 1 dag (decagrama) = 10 g 1 g = 10 dg (decigramas) 1 g = 100 cg (centigramas) 1 g = 1000 mg (miligramas) e) Unidade de Capacidade 1 Kl (quilolitro) = 1000 l 1 hl (hectolitro) = 100 l 1 dal (decalitro) = 10 l 1 l = 10 dl (decilitro) 1 l = 100 cl (centilitro) 1 l = 1000 ml (mililitro) Relação entre medidas de Volume e Capacidade

3

3

3

1 1000

1 1

1000 1

m l

dm l

cm l

Exercícios 288) Transforme: a) 1,32 hm em m b) 0,1 km em dam c) 231,12 mm em cm d) 1,03 cm em m e) 1,02 hm2 em dam2

f) 0,05 m2 em c m2 g) 1,36 mm2 em cm2 h) 4,1 dm2 em dam2 289) Transformar: a) 0,015 m em dm b) 2,5 hm em dam c) 121,6 cm em dm d) 0,04mm em cm 290) Resolva a expressão abaixo, dando o resultado em m2.

2 2 20 12 1 6 2, hm , m dam é igual a ?

SEQUÊNCIAS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)

É uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão. Exemplos: a) (4, 10 , 16 , 22 , 28) Nesta seqüência, observamos que: 10 = 4 + 6 16 = 10 + 6 22 = 16 + 6 28 = 22 + 6

Número fixo = razão = 6 b) ( 12, 7 ,2 , -3 , -8 , -13) Nesta seqüência, observamos que: 7 = 12 + (-5) 2 = 7 + (-5) -3 = 2 + ( -5) -8 = -3 + ( - 5) - 13 = - 8 + (-5)

Número fixo = razão = -5 c) ( a + 1 , a + 2, a + 3) Nesta seqüência, observamos que: a + 2 = a + 1 + 1 a + 3 = a + 2 + 1

Número fixo = razão = 1 d) (5,5,5,5,....) Nesta seqüência, observamos que: 5 = 5 + 0

Número fixo = razão = 0 Dada a P.A ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão r , podemos determinar esta razão assim : r = a2 - a1 = a4 - a3 = ... = a n + 1 - a n = ... Classificação de uma P.A Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante. Exemplos: (3, 4,5 ,6 ,7) é uma P.A crescente ; r = 1 r > 0 (10, 8 ,6) é uma P.A decrescente ; r = -2 r < 0 (5, 5, 5, 5) é uma P.A constante ; r = 0

Fórmula do Termo Geral de uma P.A. an = a1 + ( n -1) .r


Onde: a1 é o primeiro termo; n é o número de termos; r é a razão; an é o enésimo termo ( termo geral ou último termo). Exemplos: 01 - Encontrar o termo geral da P.A.( 4,7,....). a1 = 4 r = 7 – 4 = 3 n = n an = a1 + ( n -1) .r an = 4 + ( n- 1) . 3 an = 4 + 3n - 3

an = 3n + 1 02 - Qual é o vigésimo termo da P.A. (3,8,...)? a1 = 3 r = 8 – 3 = 5 n = 20 an = a1 + ( n -1) .r a20 = 3 + ( 20 – 1). 5 a20 = 3 + 95 a20 = 98 03 - Determinar o número de termos da P.A. (-3, 1 , 5 ,...., 113). r = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4 an = a1 + ( n -1) .r 113 = -3 + ( n – 1).4 113 = - 3 + 4n – 4 120 = 4n n = 30 04 - Achar o número de múltiplos de 5 , compreendidos entre 21 e 623. O maior múltiplo de 5 antes de 623 é 620 Então an = 620 O menor múltiplo de 5 depois de 21 é 25 Então a1 = 25 Como serão os múltiplos de 5 a razão será 5. an = a1 + ( n -1) .r 620 = 25 + ( n – 1) 5 620 = 25 + 5n – 5 600 = 5n n = 120 Exercícios 291) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4 , 10 , ....) ? 292) Hoje um atleta nada 500 m e, nos próximos dias, ele deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior . No 15o dia, ele quer nadar 3.300 metros. Determine: a) A distância que ele deverá nadar a mais por dia ? b) A distância que deverá nadar no 10o dia ? 293) Calcule o número de termos da P.A. (5,10,...,785).

294) Quantos múltiplos de 9 exitem entre os números 105 e 1000? Propriedades da P.A. 1a propriedade : Seja P.A (a,b,c). Podemos dizer que b é a média aritmética de a e c. Assim:

2

a cb

Exemplo: Na P.A ( 5, 8, 11, 14) 8 = (11 + 5) / 2 11 = ( 14 + 8) / 2 2a propriedade : Em toda P.A finita , a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo: Na P.A. ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10) temos : 10 + 0 = 10 8 + 2 = 10 6 + 4 = 10 3a propriedade : Fórmula do termo geral : an = ak + ( n -k) .r Exemplo: a10 = a6 + (10 – 6).r a10 = a6 + 4r Exemplos: 01 - O valor de x de modo que x-3 ; x + 1; 3x + 3 sejam termos consecutivos de uma P.A., é: Pela 1a propriedade:

x +1 = [(x-3) + (3x + 3)] /2 x + 1 = 4x /2 2x +2 = 4x 2x = 2 x = 1

02 - Numa P.A. onde o a1 = 7 e a7 = 19 , qual a sua razão ? Pela 3a propriedade: an = ak + ( n -k) .r a7 = a1 + ( 7-1) .r a7 = a1 + 6r 19 = 7 + 6r 12 = 6r r = 2 03 - Sabendo-se que uma P.A. a3 = - 3 e a10 = 32, o valor de a8 é? Pela 3a propriedade: an = ak + ( n -k) .r an = ak + ( n -k) .r a10 = a3 + (10 – 3) .r a8 = a3 + (8 –3) r a10 = a3 + 7r a8 = a3 + 5r 32 = - 3 + 7r a8 = -3 + 5.5 35 = 7r a8 = 22 r = 5


04 - Numa P.A a3 + a6 = 29 e a4 + a7 =35 . Escreva essa P.A. Temos: a4 = a3 + r e a7 = a6 + r a4 + a7 =35 (a3 + r) + (a6 + r) = 35 (a3 + a6 )+ 2r = 35 Sabemos que : a3 + a6 = 29. Logo, 29 + 2r = 35 2r = 35 – 29 2r = 6 r = 3 Temos: a3 + a6 = 29 (a1 + 2r) + ( a1 + 5r) = 29 2a1 + 7r = 29 2a1 + 7. 3 = 29 2a1 + 21 = 29 2a1 = 8 a1 = 4 Então a P.A é (4, 7 , 10 , 13.....) Exercícios 295) Numa P.A., a4 = 12 e a9 = 27. Calcule a3

296) Numa progressão aritmética, o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20 . Calcule o primeiro termo e a razão dessa progressão . 297) Determine a razão de uma P.A. com 10 termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 53. 298) Determine a progressão aritmética em que: a1 + a2 + a3 = 12 a3 + a4 + a5 = 30 299) Numa P.A. crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 27 e a soma dos termos de ordem par é 36. Escreva essa P.A. 300) Em uma P.A , a soma do primeiro com o terceiro termo é 16 e a razão é igual aos 5/3 do primeiro termo. Calcule o primeiro termo e a razão dessa P.A. 301) Determine a progressão aritmética em que: a1 + 3a2 = 5 4a3 - 2a6 = - 8

302) Determine a progressão aritmética em que: a) 2a1 + a2 = 11

a1 - a4 = -3

b) 6a1 + a3 = 9/2 a4 - a7 = -3/2 303) Determine x de modo que os números reais 10/x ; x – 3 e x + 3 , nesta ordem , formem uma P.A 304) O valor de x para que a seqüência ( x – 5; 8 ; 2x – 6) seja uma P.A é um número:

a) par b) maior que 10 c) primo d) múltiplo de 7 e) quadrado perfeito 305) Sabendo que a seqüência ( 1 – 3x , x – 2 , 2x + 1) é uma P.A , determine o valor de x. a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 6

Representações especiais de uma P.A Podemos utilizar as seguintes representações de P.A., que facilitam a resolução de exercícios:

P.A de 3 Termos : ( x – r , x , x + r ) razão = r

P.A. de 4 Termos : ( x – 3r , x – r , x + r , x + 3r) razão = 2r;

P.A de 5 Termos : (x – 2r , x – r , x , x + r , x + 2r) razão = r. Exemplos: 01 - Três números estão em P.A. crescente, de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números. 3 números em P.A. = ( x – r , x , x + r) (x- r) + (x) + ( x + r) =18 3x = 18 x = 6 (x- r).(x).( x + r) = 66 (6-r) (6) . (6 + r) = 66 (6 – r) (6 + r) = 66/6 36 + 6r – 6r - r² = 11 36 - r² = 11 36 – 11 = r² r² = 25

r = 25 r = 5 Como a P.A. deve ser crescente utilizaremos r = 5. 1o termo = 6-(5) = 1 2o termo = 6 3o termo = 6 + 5 = 11 Logo a P.A é (1 ; 6 ; 11) 02 - Num triângulo, as medidas dos ângulos internos estão em P.A. e o menor dos ângulos mede 40o. Calcule as medidas dos outros dois ângulos do triângulo. 3 ângulos em P.A. ( x – r ; x ; x + r ) O menor dos ângulos = x – r = 40o A soma dos ângulos internos de um triângulo = 180o x – r + x + x + r = 180o 3x = 180o x = 60o


x – r = 40o 60o – r = 40o 60o – 40o = r r = 20o x + r = 20o + 60o = 80o Os ângulos são: (40o; 60o; 80o) Exercícios 306) A soma de três números em P.A. crescente é 21 e a soma de seus quadrados é 165. Ache os três números. 307) Determine a razão de uma progressão aritmética crescente de três termos não nulos, em que o termo médio é igual ao produto dos extremos e o produto dos três termos é igual à soma deles. 308) A soma de cinco números, reais e inteiros, em progressão aritmética é 25 e o produto, -880. Determine esses números. 309) Ache três números em P.A. crescente, sabendo que o seu produto é igual à soma dos três e que o maior vale a soma dos dois menores. 310) O perímetro de um triângulo retângulo mede 24 cm. Calcule as medidas dos lados, sabendo que elas estão em P.A. 311) (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, calcule as medidas dos lados desse triângulo. 312) Determine cinco números em P.A. crescente, sabendo que sua soma vale 5 e o produto dos termos extremos é -99 313) Ache quatro números em P.A. crescente, sabendo que a soma entre eles é 34 e o produto dos meios vale 66 314) Determine quatro números, em progressão aritmética, sabendo-se que sua soma é 26 e que a soma de seus quadrados é 214. Interpolação Aritmética Neste item vamos aprender a intercalar números reais entre dois números dados, de tal forma que todos passem a construir uma progressão aritmética. Exemplos: 01 - Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. 6,__,__,__,__,__,30 a1 = 6 an = a7 = 30 n = k + 2 = 5 + 2 = 7 an = a1 + ( n -1) .r 30 = 6 + (7-1). r 30 = 6 + 6r 24 = 6r r = 4 S = (6,10,14,18,22,26,30). 02 - Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4? r = 4

a1 = 100 an = 124 an = a1 + ( n -1) .r 124 = 100 + (n – 1) 4 124 – 100 = 4n – 4 24 + 4 = 4n 4n =28 n = 7 Como o n = 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 – 2 = 5 meios. S = 5 meios Exercícios 315) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37 316) Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184 317) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8? 318) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500 319) Determine o número mínimo de meios que se deve inserir entre 20 e 70 para que se tenha uma P.A. de razão r < 2 320) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. 321) Interpolam-se n meios aritméticos entre 10 e 20, e (n + 1) meios aritméticos entre 40 e 50. O quociente entre a razão da progressão formada no primeiro caso e a razão do segundo é igual a 8/7. Quantos termos têm cada uma das progressões? Soma dos Termos de uma P.A. FINITA Pela segunda propriedades das P.A’s. vista anteriormente, a soma n primeiros termos de uma P.A. é dada por:

1

2

n

n

a a nS

Onde: a1 = é o primeiro termo; an = é o enésimo termo;

n = é o número de termos; Sn = é a soma dos n termos. Exemplos: 01 - Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A.( 2,5,....). a1 = 2 r = 3 n = 30 Inicialmente encontraremos a30, pois, precisaremos para a fórmula da soma: an = a1 + ( n -1) .r a30 = 2 + (30 – 1 ) . 3


a30 = 2 + (29) .3 a30 = 89 Calculo da soma :

1

2

n

n

a a nS

S30 = (2 + 89) 30 / 2 S30 = 1365 02 - Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo-se que os termos do 1o membro formam uma P.A. a1 = 1 an = x Sn = 280 r = 6 Inicialmente acharemos an; an = a1 + ( n -1) .r x = 1 + ( n – 1) 6 x = 1 + 6n – 6 x = 6n – 5 Substituiremos x na fórmula da soma: Sn = (a1 + an ) n /2 280 = (1 + x) n /2 280 = ( 1 + 6n – 5) n / 2 280 = (6n – 4) n /2 280 = (6n² - 4n) / 2 560 = 6n² - 4n 6n² - 4n – 560 = 0.(1/2) 3n² - 2n – 280 = 0 n’ = 30/3 = 10 n” = -28/3 Como n não pode ser negativo temos n = 10 Substituindo temos: x = 6n – 5 x = 6 . (10) – 5 x = 60 – 5 x = 55 03 - A soma dos seis termos consecutivos de uma P.A é 12 e o último termo é 7. Calcule os termos da P.A.. S6 = 12 a6 = 7 Sn = (a1 + an ) n /2 an = a1 + ( n -1) .r S6 = (a1 + a6 ) 6/2 a6 = a1 + (6 –1).r 12 = (a1 + 7). 3 7 = -3 + 5 r 12 = 3 a1 + 21 10 = 5r 3a1 = 12 – 21 r = 2 3a1 = -9 a1 = - 3 A P.A é ( -3;-1;1;3;5;7) 04 - Foi feita uma rifa com cartões numerados de 1 a 20. Quem tirar o cartão de número 1 paga R$ 1, 00; quem tirar o cartão de número 2 paga R$ 2, 00 e assim por diante. Quanto renderá a rifa? Temos que: n = 20 a1 = 1 a2 = 2 a3 = 3 ....

a20 = 20 S20 = ? Sn = (a1 + an ) n /2 S20 = (1 + a20) 20 / 2 S20 = (1 + 20) 10 S20 = 210 A rifa renderá R$ 210,00 05 - Calcule a soma de todos os números naturais entre 20 e 400, cujo algarismo das unidades é 2. a1 = 22 a2 = 32 r = 10 an = 392 an = a1 + ( n -1) .r 392 = 22 + ( n – 1). 10 370 = 10n – 10 380 = 10n n = 38 Sn = (a1 + an ) n /2 S38 = (22 + 392) 38/2 S38 = (414) 19 S38 = 7866 06 - A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n² + 2n , n .Escreva essa P.A.. Sn = n² + 2n S2 = a1 + a2 S1 = a1 8 = 3 + a2 S1 = (1)² + 2.(1) a2 = 5 S1 = 3 r = a2 - a1 a1 = 3 r = 5 - 3 S2 = a1 + a2 r = 2 S2 = (2)² + 2. (2) S2 = 8 P.A = (3,5,7,9,...) Exercícios 322) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6, ...) 323) Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A. (8, 2, ...) 324) Qual é a soma dos 50 primeiros termos da seqüência (-1/2;0;1/2;1;....) 325) 0s dois primeiros termos de uma seqüência são 2 e 1/2. Calcule a soma dos 20 primeiros termos, supondo que se trata de uma progressão aritmética. 326) Numa P.A.,a1 = - 3 e r = 5. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa P.A. 327) Se x = (1 + 3 + ... + 49) é a soma dos ímpares de l a 49,se y = (2 + 4 +...+ 50) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule x - y. 328) Ao se efetuar a soma de 50 parcelas da P.A. (202,206,210, ...), por distração não foi somada a 35a parcela. Qual foi a soma encontrada? 329) Determine a soma dos 60 primeiros termos da


progressão aritmética em que: 2a1 + a3 = -11 a2 - 3a5 = -12

330) Seja S1 a soma dos n primeiros termos da P.A. (8, 12, ...) e seja S2 a soma dos n primeiros termos da P.A. (17, 19, ...), sendo n 0. Determine n para que S1 = S2. 331) Numa progressão aritmética onde a3 = 17 e a13 = 87, calcule a soma dos 19 primeiros termos. 332) Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300. 333) Calcule a soma dos números inteiros positivos inferiores a 501 e que não sejam divisíveis por 7. 334) Qual é a soma dos múltiplos de 7 com dois, três ou quatro algarismos? 335) A soma de dez termos consecutivos de uma P.A. é 200 e o primeiro termo é 2. Calcule os termos dessa P.A. 336) Em uma progressão aritmética, a soma do 3o com o 7o termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros termos vale 216. Determine essa progressão. 337) (FEI-SP) Se Pn representa a soma dos n primeiros números pares (excluído evidentemente o zero) e se In representa a soma dos n primeiros números ímpares, calcule Dn = Pn – In. 338) Resolva a equação 2 + 5 + 8 + ... + x = 77, sabendo que os termos do primeiro membro estão em P.A. 339) Uma seqüência é tal que a1 = 8 e an = an - 1 + 12, com n 2. Calcule a soma dos vinte primeiros termos dessa seqüência. 340) Seja a progressão aritmética (a1, a2, ..., a10), onde a1 = 4 e a2 = 4k. Determine k, para que a soma dos termos da P.A. seja 250. 341) Calcule o 1o termo e a razão de uma P.A cuja soma dos n primeiros termos é n² + 4n para todo n natural . 342) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 7 , a razão vale 1/3 e a soma de todos eles , 85. Calcule: a) o número de termos da progressão ; b) o último termo da progressão .

343) Resolva a equação: 1 3 5 2 1 50

2 4 6 2 51

... ( x )

... x

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) É uma seqüência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão(q). Exemplos: 01 - (4, 8, 16, 32, 64) Nesta seqüência, observamos que: 8 = 4 . 2 16 = 8 . 2

32 = 16 . 2 64 = 32 . 2

Número fixo ( razão = 2) 02 - ( 6, -18, 54, - 162) Nesta seqüência , observamos que: -18 = 6 . (- 3) 54 = -18 . (- 3) -162 = 54 . (- 3)

Número fixo ( razão = -3) 03 - (8, 2, ½ , 1/8 , 1/32) Nesta seqüência , observamos que: 2 = 8 . (¼) ½ = 2 . (¼) 1/8 = ½ . (¼) 1/32 = 1/8 . (¼)

Número fixo ( razão = 1/4) 04 - (4,4,4,4,4, ....) Nesta seqüência , observamos que: 4 = 4 . (1) ..................

Número fixo ( razão = 1) Dada a P.G. ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão q , podemos determinar esta razão assim :

32 4

1 2 3 1

n

n

a aa aq ...

a a a a, para uma P.G de termos não

nulos . Classificação de uma P.G Crescente: cada termo é maior que o anterior. Exemplos: a) (4, 8, 16, 32, 64, ...) a1 > 0 e q > 1 b) ( - 64, - 32, -16, - 8, - 4, ....) a1 < 0 e 0 < q < 1 Decrescente: cada termo é menor que o anterior. Exemplos: a) (256. 64 , 16 , ...) a1 > 0 e 0 < q < 1 b) ( - 2 , - 10 , - 50 , ....) a1 < 0 e q > 1

Constante: todos os termos são iguais 1

0a .

Exemplos: a) (2,2,2,2, ....) q = 1 b) (4,4,4,4,...) q = 1 Oscilante ou Alternante: cada termo tem o sinal contrário ao anterior. Exemplos: a) ( 2 , -6 , 18 , - 54 , ...) q < 0 b) ( - 4 , 8 , - 16 , 32 ) q < 0 Fórmula do Termo Geral de uma P.G. Seja a P.G. ( a1 , a2 , a3 , ... , a n , a n + 1 , ...) de razão q.


a1 = a1 . qº a2 = a1 . q¹ a3 = a2 . q = a1 . q² a4 = a3 . q = a1 . q³

an = an - 1 .q = a1 .q ⁿ¹־ an = a1 .q ⁿ ¹־ Exemplos: 01 - Encontrar o termo geral da P.G. ( 2 , 4 , ....) . Temos: a1 = 2 q = 4/2 = 2 n = n an = a1 .q ⁿ ¹־; substituindo temos: an = 2. 2 ⁿ ¹־ an = 2ⁿ 02 - Achar o décimo termo da P.G.(2, 6 ,...). Temos: a1 = 2 q = 3 n = 10 an = a1 .q ⁿ ¹־; Substituindo temos: a10 = 2 . 3¹º ¹־ a10 = 2 . 3

9 03 - Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo desta P.G. Temos: n = 4 q = 5 a4 = 375 an = a1 .q ⁿ ¹־; Substituindo temos: a4 = a1 .q³ 375 = a1 . 5³ 375 = 125 a1 a1 = 3 04 - Numa P.G de 6 termos , o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcular a razão dessa P.G.. Temos: n = 6 a1 = 2 a6 = 486 an = a1 .q ⁿ ¹־; Substituindo temos: a6 = a1 . q

5

486 = 2 . q5 q5 = 243

q = 5 243 q = 3 05 - Calcule o número de termos da P.G. (243, 81, ... , 1/729 ). Temos: a1 = 243

an = 1/729 q = 1/3 an = a1 .q ⁿ ¹־; Substituindo temos: 1/729 = 243 . (1/3) ⁿ ¹־ 1/36 = 35 . (3) - n + 1 3 –6 = 3 5 – n +1 3 –6 = 36 – n -6 = 6 – n n = 6 + 6 n = 12 Exercícios 344) Escreva uma P.G. de quatro termos onde a1 = x / y³ e q = y² 345) Encontre o termo geral da P.G. ( 2, 1, ... ). 346) Calcule o 10o termo da P.G. ( 1, 5, ...). 347) Qual é o 6o termo da P.G.(512, 256, ...)? 348) Qual é o 7o termo da P.G. ( ½ , -1, ...)?

349) Numa P.G. ,tem-se : a1 = 1 , q = 3 , calcule a7 . 350) Calcule o 9o termo da P.G. ( 1/9, 1/3,...). 351) Em uma P.G. , a4 = 128 e q = 4. Ache a1 . 352) Determine o número de termos da P.G. ( 1 , 2 , ... , 256). 353) Qual é o primeiro termo de uma P.G., na qual o 11o termo é 3072 e a razão é 2? 354) Uma P.G. tem 6 termos , sendo 2 o último termo e ¼ a razão . Qual é o primeiro termo desta P.G.? 355) Numa P.G., a1 = ¼ e a7 = 16. Calcule a razão desta P.G. 356) Numa P.G., o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000 . Qual é a razão desta P.G. 357) Hoje uma editora produz 20000 livros e , a cada dia , deve produzir 30% a mais do que produziu no dia anterior . a) Quanto deverá produzir daqui a 5 dias? b) Em quantos dias deverá produzir 33800 livros? Interpolação Geométrica. Assim como vimos na interpolação aritmética, a interpolação geométrica nada mais é do que a inserção de elementos entre dois extremos, fazendo com que estes formem um P.G.. Exemplo: Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48. Temos: (3 , _ , _ , _ , 48) a1 = 3 a5 = 48 n = 3 + 2 = 5 an = a1 .q ⁿ ¹־; substituindo temos:


48 = 3 . q 5 - 1 3q4 = 48 q4 = 16

q = 4 16 q = 2 Então, teremos: Para q = 2 ( 3 , 6 , 12 , 24 , 48) Para q = - 2 ( 3 , - 6 , 12 , - 24 , 48) Observações que podem auxiliar na resolução dos problemas de P.G. Em alguns problemas, é sempre conveniente colocarmos os termos em função de a1 e q, lembrando que a2 = a1 . q ; a3 = a1 . q² ; a4 = a1 . q³ ; ... , a10 = a1 .q

9 , e assim por diante. Exemplos: 01 - Numa P.G. . o 2o termo é 8 e o 5o termo é 512. Escrever essa P.G. Temos: a2 = 8 a5 = 512 Como: a2 = a1 . q a5 = a1 . q

4

Isolando a1 temos : a1 = a2 /q a1 = a5 / q

4 Igualando: a2 /q = a5 / q

4

4

8 512

q q

512q = 8 q4 q3 = 512 / 8 q3 = 64

q = 3 64 q = 4 Substituindo q = 4 na equação a1 = a2 /q a1 = 8/4 a1 = 2 A P.G. é (2, 8, 32, 128, 512) 02 - Em uma P.G. , a soma do segundo termo com o terceiro é 18 e a soma do sexto com o sétimo é 288. Calcular a razão dessa P.G.

2

12 3 1 1

5 6 5

6 7 1 1 1

1 1818 18

288 288 1 288

a q q eq.Ia a a q a q

a a a q a q a q q eq.II

Dividindo a (eq.II pela eq. I) temos:

5

1 4

1

1 28816 2

1 18

a q qq q

a q q

03 - Ache a progressão geométrica em que:

1 2 3

4 5 6

7

56

a a a

a a a

Escrevendo em função de a1 e q temos:

2

1 2 3 1 1 1

3 4 5

4 5 6 1 1 1

7 7

56 56

a a a a a q a q

a a a a q a q a q

22

1 1 11 1 1

3 23 4 5

1 1 11 1 1

77

5656

a a q a qa a q a q

q a a q a qa q a q a q

Logo, 3 37 56 8 2q q q

Assim e P.G. é (1, 2, 4, 8,...) Exercícios 358) Insira 4 meios geométricos entre 1 e 243. 359) entre os números 18 e b foram inseridos 2 termos , obtendo-se uma P.G. de razão 3. Qual é o valor de b? 360) Insira dois meios geométricos reais entre – 3 e 24. 361) Interpole cinco meios geométricos entre ¾ e 48. 362) Numa P.G., a5 = 32 e a8 = 256. Calcule q e a1 . 363) O terceiro termo de uma P.G. crescente é 2 e o sétimo 512. Calcule o quinto termo dessa progressão. 364) Em uma P.G. de termos reais, sabe-se que a4 = 48 e a7 = 16/9. Calcule a razão dessa progressão. 365) Calcule uma P.G. de quatro termos, sabendo que a soma do primeiro com o terceiro vale 150 e a soma do segundo com o quarto vale 1.050. 366) São dados quatro números em P.G. crescente. A soma dos extremos é 27 e a soma dos meios é 18. Determine-os. 367) Numa P.G. de 5 termos , a soma dos dois primeiros é 32 e a soma dos dois últimos é 864 . Qual o terceiro termo da P.G.? 368) Numa progressão geométrica, a diferença entre o 2o e o 1o termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576. Calcule o 1o termo dessa progressão. 369) Ache a progressão geométrica em que:

1 2 3

4 5 6

6

48

a a a

a a a

370) Numa P.G. crescente, de quatro termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão e a diferença entre o segundo e o primeiro termos vale 30. Escreva a P.G. 371) A soma do 2o, 4o e 7o termos de uma P.G. é 370; a soma do 3o, 5o e 8o termos é 740. Calcule o primeiro termo e a razão da P.G. Propriedades da P.G. 1a propriedade: Dada a P.G.(a,b,c), nesta ordem , temos que b é a média geométrica de a e c.

2b a c b a c Exemplo:


Dada a P.G. ( 2 , 6 , 18 , 54 , ...) podemos notar que: 6² = 2 . 18 18² = 6 . 54 2a propriedade: Em toda P.G. finita , o produto de dois termos eqüidistantes do extremos é igual ao produto dos extremos . Exemplo: Dada a P.G. (2 , 6 , 18 ,54 ,...) podemos notar que: 2 . 54 = 108 6 . 18 = 108 Exemplos: 01 - O valor de x para que ( 1 + x ) , (13 + x) e ( 49 + x), sejam termos consecutivos de uma P.G.. ( 13 + x )² = (1 + x ) ( 49 + x ) 13² + 2. (13).x + x² = 49 + x + 49x + x² 169 + 26x + x² = 49 + 50x + x² 169 + 26x = 49 + 50x 169 – 49 = 50x – 26x 120 = 24x x = 5 02 - Sabendo que x , x + 9 e x + 45 formam , nessa ordem , uma P.G. de termos não- nulos , determine x. ( x + 9)² = x . ( x + 45) x² + 2 x 9 + 9² = x² + 45 x 18x + 81 = 45x 81 = 45x – 18x 81 = 27x x = 81/27 x = 3 Exercícios 372) A seqüência 1, 3a – 4 , 9a² - 8 é uma progressão geométrica . Calcule a. 373) Determine o valor de x , de modo que os números x + 1 , x + 4 , x + 10 formem , nesta ordem , uma P.G. 374) Dados os números 1, 3 e 4 , nesta ordem , determine o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma P.G. 375) Que número deve ser somado a – 2 ,7 e 43 para que os números obtidos estejam em P.G.? 376) Que número deve ser somado a 1 , 4 e 10 para que os resultados fiquem em P.G.? Representações especiais de uma P.G. Podemos utilizar as seguintes representações de P.G. , que facilitam a resolução de exercícios. P.G. de 3 termos : (x/q, x , x.q) razão = q; P.G. de 4 termos : (x/q4, x/q2 , x , x.q2 ) razão = q2 ; P.G. de 5 termos : (x/q2 , x/q , x , x.q , x.q2 ) razão = q

Exemplo: Numa P.G. crescente de 3 termos , sabendo que o produto dos termos é 27 e a diferença entre os extremos é 8 . O valor do 3o termo é: P.G de 3 termos (x/q , x , x.q) (x/q).x.x.q = 27 x³ = 27 x = 3

8x

( x.q )q

2

8( x.q ) x

q

3 q² - 3 = 8q 3 q² - 8q - 3 = 0 q’= 9/3 = 3 como a P.G é crescente a razão não pode ser negativa. q” = -1/3 q = 3 A P.G. é ( 1 , 3 , 9) O terceiro termo é 9. Exercícios 377) A soma de três números em P.G. crescente é 195 e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 120. Qual o 1o termo da P.G.? 378) A soma de três números em P.G. é 42 e o produto entre eles é 512. Calcule os três números . 379) A soma de 3 números em P.G. crescente é 26 e o termo do meio é 6 . O maior desses números é dado por: a) 36 b) 18 c) 24 d) 12 e) n.d.a. 380) Os ângulos de um quadrilátero formam uma P.G.. Sabendo-se que a medida , em graus , do último ângulo é nove vezes maior que a do segundo ângulo, este segundo ângulo mede: Soma dos Termos de uma P.G. Finita.

11

1

na ( q )Sn

q, q 1

ou

1

1

na .q a

Snq

, q 1

Soma dos Termos de uma P.G. infinita. Lim n

1

1

aSn

q ; com –1 < q < 1

Exemplos:


01 - Dada a progressão geométrica (1 , 3 , 9 , 27, ...) calcular: a) a soma dos 6 primeiros termos . b) o valor de n para que a soma dos n primeiros termos

seja 29.524. a) temos: a1 =1 q = 3 n = 6

11

1

na ( q )Sn

q

6

6

1 3 1

3 1

( )S

6

729 1

2S

S6 = 364

b) 11

1

na ( q )Sn

q

1 3 129524

3 1

n( )

3n - 1 = 59048 3n = 59049 3n = 310 n = 10 02 - Dar o valor de x na igualdade x + 3x + ... + 729x = 5 465, sabendo-se que os termos do 1o membro formam uma P.G. Temos: a1 = x q = 3x / x = 3 an = 729x Sn = 5465 Inicialmente acharemos o valor de n. an = a1 .q ⁿ ¹־ 729x = x . 3ⁿ ¹־ 729 = 3ⁿ ¹־ 36 = 3ⁿ ¹־ n = 7

11

1

na ( q )Sn

q

73 15465

3 1

x.( )

2187 15465

2

x( )

5465 1093

5

x

x

03 - Calcular a soma dos termos da P.G.(1, ¼,1/16,...) Temos: P.G. infinita a1 = 1 q = ¼

1

1

aSn

q

1

11

4

Sn

1

3

4

Sn

4

3Sn

04 - Determine x na equação: 80x + 40x + 20x + ... = 320 Temos: a1 = 80x q = 1/2

1

1

aSn

q

80320

11

2

x

80320

1

2

x

160 80

2

x

x

Exercícios 381) Ache a soma dos 10 primeiros termos das progressões: a)(2,4,8,...) b)( -1 , 4 , - 16,...) 382) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...). 383) Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G. onde a1 = 1 e q = 2? 384) Calcule a soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500 000) 385) Numa progressão geométrica crescente, o 2o termo é

igual a 2 e o terceiro termo é o dobro do primeiro. a) Escreva uma expressão designatória do termo geral da progressão.

b) Calcule a soma dos 12 primeiros termos da progressão. 386) Numa P.G., a soma dos termos é 728. Sabendo-se que an = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo dessa P.G. 387) Ache a soma dos termos da P.G. (1, 10,... 1015 ) 388) Quantos termos devemos considerar na P.G. (3, 6, ...) para se obter uma soma de 765? 389) Numa P.G., a2 6 e a4 = 54. Ache a soma dos 5 primeiros termos. 390) Resolva a equação l0x + 20x + 40x + ... + 1280x = 7650,sabendo que os termos do 1o membro estão em progressão geométrica. 391) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações


crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100000 unidades monetárias e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel? 392) Ache o valor para o qual converge cada uma das seguintes séries : a) 20 + 4 + (4/5) + (4/25) + ... b) 1 – (1/2) + (1/4) – ( 1/8) + ... c) 8 + 2 + (1/2) + (1/8) + ... 393) Os raios de infinitos círculos são dados pelos termos da progressão (6, 3, 3/2,...). Calcule a soma das áreas desses círculos. 394) Resolva as equações onde o primeiro membro representa a soma dos termos de uma P.G. infinita: a) x + (x/3) + (x/9) + ... = 12 b) x² - (x²/2) + (x²/4) – (x²/8) + ... = 6 c) 21 + x + 21 + 2x + 21 + 3x + ... = 2/3 395) (ITA-SP) Partindo de um quadrado Q1 , cujo lado mede a , consideramos os quadrados Q2 , Q3 , Q4 , ... , Qn , tais que os vértices de cada um são os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das áreas dos quadrados Q1 , Q2 , Q3 ,..., Qn . 396) Resolva o sistema :

122 8 32

10 7

x y x y x y...

x y

397) (Fuvest-SP) Ao escalar uma trilha de montanha , um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 m na segunda hora, 64 m na terceira hora e assim sucessivamente . Determine o tempo ( em horas) necessário para completar um percurso de : a) 480 m b) 500 m c) 600 m 398) (UE-Maringá) Determine o valor de x R , x > 0 , que satisfaça a igualdade: 1 + x + x² + (x²/2) + (x²/4) + (x²/8) + ... + (x²/2n - 1) + ... = 56. 399) (Vunesp) O limite da soma dos termos de uma P.G. decrescente ilimitada , cujo primeiro termo é q, vale 7 vezes o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma progressão geométrica. Calcule os valores possíveis de q. Produto dos Termos de uma P.G. Pn = (a1)

n .q n (n – 1) / 2 Exemplo: Calcular o produto dos 7 primeiros termos da P.G. (1, -3, 9, ...) Temos : a1 = 1 q = - 3 a7 = a1 q

6 a7 = 1.(-3)

6 a7 = + 729 n = 7 Pn = (a1)

n .q n (n – 1) / 2

P7 = ( 1 )7 . (–3) 7 ( 7 – 1 )/ 2

P7 = 1 . (-3) 21

P7 = (-3) 21

Exercícios 400) Calcule o produto dos 7 termos iniciais da P.G.(2, 1, ...) 401) Numa progressão geométrica , temos : a1 = 8 e q = -1/2 . Calcule o produto dos seus : a) 8 primeiros termos. b) 11 primeiro termos. 402) Calcule o produto dos termos da P.G. (1/8, 1/4, 1/2, 1, ..., 8, 16, 32) 403) Se o oitavo termo de uma progressão geométrica é ½ e a razão é ½. O primeiro termo dessa progressão é: a) 2 –1 b) 2 c) 2 6 d) 2 8

e) 1

82

404) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa progressão geométrica é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1/2 405) Se os números a ; a + 1 ; a – 3 formam nessa ordem uma P.G. , então a razão dessa P.G. é : a) - 4 b) -2 c) -1 d) 1 e) 4 406) O quarto termo da seqüência geométrica (3/1 , 1 , 2/3, ... ) é: a) 2/9 b) 1/3 c) 9/4 d) 4/9 e) 1 407) O número dos termos da P.G. ( 1/9 , 1/3 , 1 , ... , 729) é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 81 e) 4 408) (PUC – SP) Se a seqüência (4x , 2x + 1, x – 1) é uma P.G, então o valor de x é : a) – 1/8 b) –8 c) –1 d) 8


e) n.d.a 409) Numa progressão geométrica de cinco termos, a soma do terceiro termo com o quinto termo é 60, e a soma do segundo com o quarto é 30. O produto do primeiro termo pelo razão é: a) 15 b) 10 c) 3 d) 2 e) n.r.a.

410) (Fuvest - SP) O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de razão positivo valem respectivamente 10 e 16.O sexto termo dessa P.G. é: a) 13

b) 10 6 c) 4

d) 4 10 e) 10 411) A soma do segundo, quarto e sétimo termos de uma P.G. é 370; a somo do terceiro, quinto e oitavo termos é 740. Podemos afirmar que o primeiro termo e o razão da PG. são: a)3 e 2 b) 4 e 2 c) 5 e 2 d)6 e 1,5 e) n.r.a. 412) A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é : a) 48 b) 84 c) 128 d) 64 e) 96 413) Numa progressão geométrica, a soma do quarto termo com o sexto termo é 160, e a soma do sétimo com o nono termo é 1280. Então o primeiro termo e a razão dessa progressão geométrica valem, respectivamente: a)4 e 2 b) 2 e 4 c) 4 e 4 d) 2 e 2 e) n.r.a. 414) Em um certo tipo de jogo, o prêmio pago a cada acertador é 18 vezes o valor de sua aposta. Certo apostador resolve manter o seguinte esquema de jogo: aposta Cr$ 1, 00 na primeira tentativa e, nas seguintes, aposta sempre o dobro da aposta anterior. Na 11º tentativa ele acerta. Assinale a alternativa que completa a frase: “O apostador...”: a) nessa tentativa apostou Cr$ 1 .000,00. b) investiu no jogo Cr$ 2.048,00. c) recebeu de prêmio Cr$ 18.430,00. d) obteve um lucro de Cr$ 16.385,00. e) teve um prejuízo de Cr$ 1 .024,00. 415) Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.G., determine

a razão dessa progressão. (Sugestão: aplicar o teorema de Pitágoras.) 416) A soma dos seis primeiros termos da P.G. (1/3,1/6,1/12,...) é a) 12/33 b) 15/32 c) 21/33 d) 21/32 e) 2/3 417) Qual a razão de uma P.G. de três termos em que a soma dos termos é 14 e o produto 64? a) q = 4 b) q = 2 c) q = 2 ou q = 1/2 d) q = 4 ou q = 1 e) n.r.a. 418) (Fuvest-SP) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão. 419) A soma da série infinita 1 + (1/5) + (1/25) + (1/125) + ... é: a) 6/5 b) 7/5 c) 5/4 d) 2 e) 7/4 420) O valor de x na equação x + (x/2) + (x/4) + (x/8) + ... = 40 é : a) -10 b) 10 c) -20 d) 20 e) 25 421) A seqüência (a, 2b - a, 3b, ... ) é uma progressão aritmética e a seqüência (a, b, 3a + b - 1, ...) é uma progressão geométrica. Calcule a e b 422) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia 210 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se o fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos, pode-se concluir que: a) o trabalho estará terminado em menos de 20 de dias. b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias. c) o trabalho estará terminado em 58 dias. d) o funcionário nunca terminará o trabalho. e) o trabalho estará terminado em 60 dias. 423) Sabe-se que numa P.G. a3 = 16 e a6 = 1024. Escreva essa P.G. 424) Calcule x e y, sabendo que a sucessão x, y, 9 é uma P.A. crescente e a sucessão x, y, 12 é uma P.G. crescente. 425) Numa P.G. crescente, com 5 termos, a5 = 810 e a3 = 90.


Escreva essa P.G. 426) A soma dos termos da PA..: a1, a2 , a3 , é 15. Adicionando-se 3, 7 e 17, respectivamente, ao primeiro, segundo e terceiro termo, obtém-se uma P.G. de razão maior do que 1. A P.G. é: a) (6, 12, 24) b) (5, 15, 45) c) (4, 12, 36) d) (24, 12, 6) e) não sei 427) Sabendo que numa P.G. Sn = 1456, q = 3 e n = 6, calcule a1 428) Quais as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero, sabendo-se que elas estão em P.G. de razão 2? 429) (Fuvest-SP) Seja Sn, a soma dos n primeiros termos da seqüência infinita: a) Calcule S5. b) Qual o valor de Sn, quando n tende a ? 430) Um micróbio (de tamanho desprezível) parte da origem de um sistema de coordenadas. Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega no ponto (1, 0). Aí ele vira 90o no sentido anti-horário e anda ½ unidade até o ponto (1 , ½) Ele continua desta maneira, sempre descrevendo ângulos de 90o no sentido anti-horário e andando a metade da distância da vez anterior. Continuando indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um determinado ponto. Quais são as coordenadas desse ponto? 431) Consideremos a equação 3x + 2x + (4x/3) +... = 288, na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma P.G. infinita. Então, o valor de x é: a) 32 b) 24 c) 16 d) 14 e) 12 432)Calcule o 10o termo da progressão ( 2– 6 , 2–5 , ... ) 433) O 20o termo da P.G.(5,1,1/5,...)é : 434) Numa P.G. de 6 termos, a razão é 5, O produto do1º termo com o último é 12500. Determine o valor do 3o termo. OBS : considere a P.G. de termos positivos. 435) Sejam x e y números positivos. Se os números 3, x e y formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, e se os números x, y e 9 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então x + y é igual a: a) 43/4 b) 45/4 c) 47/4 d) 49/4 436) Numa P.G. a soma do 2o e 4o termos é 60 e a soma do 5o e 7o é 1620. A soma da razão com o 1o termo é : 437) Em uma progressão geométrica, o terceiro termo é 16/9 e o sétimo termo é 144. Determine o seu quinto termo. 438) (F.C. Chagas-RJ) Os números reais a e b são tais que a seqüência (-6; a; b) é uma P.A. de razão r, e (a; b; 48) é uma

P.G. de razão q. O número de divisores positivos do produto r. q é: a)9 b)8 c)6 d)4 e)3 439) A soma de três números positivos em P.A. é 30. Se a esses números forem acrescentados 1, 4 e 14, respectivamente, os novos números estarão em P.G. Ache aqueles números. 440) Seja (b1, b2, b3) uma progressão geométrica de razão maior do que 1. Se b1 + b2 + b3 = 91 e (b1 + 25 , b2 + 27, b3 + 1) é uma progressão aritmética, calcule b1, b2 e b3 441) Seja x, 6, y uma progressão aritmética, onde x e y são dois números positivos, a sucessão x, 10, y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é: 442) Dada uma P.A. de 5 termos, com r 0 (razão): a) determine-os, sabendo que o 1o , o 2o e o 4o termos, nesta ordem, formam uma P.G. cujá soma é 14. b) calcule o 5o termo da P.G. 443) Três números cuja soma é 18 estão em P.A.; se somarmos 1 ao terceiro, sem alterar os outros dois, eles vão constituir uma P.G. Ache os três números (em P.A.). 444) O lado de um triângulo eqüilátero mede 5 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. Calcule o limite das somas dos perímetros de todos os triângulos assim obtidos. 445) São dados 3 números inteiros em progressão geométrica cuja soma é 26. Determine esses números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética. 446) A soma de três termos em P.A. crescente é 12. Se somarmos 2 ao terceiro termo, a nova seqüência constitui uma P.G.. Calcule o produto dos três termos da progressão geométrica. 447) O número 57 foi dividido em três partes que estão em P.G. de razão 2/3. O termo médio dessa P.G. é: 448) Na progressão geométrica (10, 2, 2/5 , 2/25 , ...), a posição do termo 2/625 é: 449) (Santo André-SP) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5o termo dessa seqüência. 450) Os números positivos a e b são tais que (a, b, 10) é uma progressão aritmética de razão r e (2/3, a, b) é uma progressão geométrica de razão q. Calcule o valor de q/r . 451) Se a, b, c são termos consecutivos de uma P.A. de razão 5 e (a + 2), b, (c - 1) são termos consecutivos de uma P.G., então o valor de a + b + c é: 452) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S)


01) A razão de P.A.em que a1 = -8 e a20 = 30 é r = 2. 02) A soma dos termos da P.A. (5,8,..., 41) é 299. 04) O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e a7 = 3/16 é 12. 08) A soma dos termos da P.G. (5, 5/2 , 5/4...) é 10. 453) Sejam quatro números representados por: 2x -1, x + 2 , x2 + 4x , y + (1/3). Calcule x, y N sabendo que os três primeiros estão em P.A. e os três últimos estão em P.G. 454) O lado de um triângulo equilátero mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo triângulo, obtém-se um outro triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente. a) Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos. b) Determine a soma das áreas de todos os triângulos. 455) Numa progressão geométrica, o 1o e o 2o termos são, respectivamente, iguais a 8 e 4. Calcule a soma dos cinco termos consecutivos da progressão a partir do 3o (inclusive). 456) Um micróbio (de tamanho desprezível) parte da origem de um sistema de coordenadas. Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega no ponto (1, 0). Aí ele vira 90o no sentido anti-horário e anda ½ unidade até o ponto (1 , ½) Ele continua desta maneira, sempre descrevendo ângulos de 90o no sentido anti-horário e andando a metade da distância da vez anterior. Continuando indefinidamente, ele vai se aproximar cada vez mais de um determinado ponto. Quais são as coordenadas desse ponto? 457) Se a seqüência (x, 2, y) é uma P.A. e a seqüência (x,

3 , y) é uma P.G., calcule x e y. 458) Sabendo que a seqüência (1- 3x, x- 2,2x +1)é uma P.A. e que a seqüência (4y, 2y - 1, y + 1) é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s): 01) O valor de x é 2. 02) A P.A. é crescente. 04) A soma dos termos da P.A. é zero. 08) –3/2 é a razão da P.G. 16) O valor de y é 1/8. 459) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu. Determine a distância total per-corrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. 460) Se n é um número natural e x = 2n, a soma dos divisores de x é: 01) 2 (2n – 1) 02) 2n + 1 - 1 04) 2n - 1 08) 2n - 2 16) 2n - 1 461) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s): 01) Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02) O valor de x que satisfaz a equação (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +...+ (x + 28) = 155 é x =1

04) O oitavo termo da P.G.( 2 ,2,...) é a8 = 12. 08) A soma dos termos da P.G.(1/3 , 2/9 , 4/27 ,...) é igual a 1.

462) Uma pessoa A chega às 14 horas para um encontro que havia marcado com uma pessoa B. Como B não chegara ainda, A resolveu esperar um tempo t1 igual a meia hora e, após isto, um tempo t2 = (½)t1 e, após um tempo, t3 = (1/2)t2 e assim por diante. Se B não veio ao encontro, quanto tempo A esperou até ir embora? 463) O número 38 é dividido em três parcelas positivas formando uma progressão geométrica, de tal modo que, se for adicionada uma unidade à segunda parcela, obtém-se uma progressão aritmética. Ache a maior das parcelas.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIOS DE CONTAGEM Se um acontecimento é composto de duas etapas sucessivas, independentes uma da outra e se a primeira pode ocorrer de n modos e a segunda etapa pode ocorrer de m modos, então, o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento é m x n. Exemplo: 01) Dispomos de cimento, três tipos de areia e quatro tipos de brita. Determine a quantidade de tipos diferentes de concreto que poderia ser feita, aparecendo os três elementos na sua formação.

1

2

1

3

4

1

2

2

3

4

1

2

3

3

4

B

BA

B

B

B

BC A 1.3.4 12

B

B

B

BA

B

B

ARRANJO SIMPLES Definição: É um tipo de agrupamento, sem repetição, em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Exemplos:

01 - Seja o conjunto , ,A a b c . Quantos agrupamentos

de dois elementos podemos construir? Resolução: Podemos construir os seguintes pares de elementos: ab, ac, ba, bc, ca e cb Podemos notar que ab ba pela ordem dos elementos e ab bc pela natureza dos elementos. Estes agrupamentos são chamados de arranjos simples. Para o cálculo do Arranjo Simples podemos utilizar a seguinte fórmula:


p

n n ,p

n!A A

n p !

Onde (n) é o número de elementos distintos do conjunto e (p) é um número natural menor que (n). Lê-se arranjo de “n” elementos tomados “p” a “p”. 02 - Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever? Resolução: Vamos escrever números com quatro algarismos da forma: 1234, 1235, 1236, 1243, 1245, 1246, ..., 2134,...note que os números 1234 e 2134 são diferentes pela ordem e 1234 e 1235 são diferentes pela natureza. Desta forma para calcularmos o número de possibilidades para escrevermos os números de quatro algarismos vamos usar a fórmula do Arranjo Simples.

p

n

n!A

n p !4

6

6 6 5 4 3 2

6 4

! !A

! 2!360

03 - Em um campeonato de futebol participam 10 clubes, todos com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os três primeiros lugares? Resolução: Se nomearmos 10 times de A, B, C, D, E, F, G, H, I e J eles podem se classificar das seguintes maneiras: 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar Agrupamento A B C ABC A B D ABD A B E ABE B C A BCA B A C BAC

M M M M Podemos notar que os agrupamentos são distintos tanto pela ordem quanto pela natureza. Logo temos um problema de arranjos simples.

p

n

n!A

n p !3

10

10 10 9 8 7

10 3

! !A

! 7!720

São 720 possibilidades de agrupamentos dos 3 primeiros colocados. 04 - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Resolução: Devemos formar números do tipo: 123, 132, 124, 142,... De modo que 132 123 pela ordem e 132 143 pela natureza. Então temos um problema de arranjo simples onde:

9 3 e n p .

Logo p

n

n!A

n p !3

9

9 9 8 7 6

9 3

! !A

! 6!504

É possível escrever 504 números de três algarismos distintos

05 - Em um grupo de 6 pessoas, de quantas maneiras podemos formar comissões com um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro? Resolução: Chamando as pessoas de A, B, C, D, E e F. Vamos formar grupos de 3 pessoas, onde a posição, ou seja, a ordem que ela ocupa dentro do grupo faz diferença. E também, grupos com elementos de natureza diferente são diferentes entre si. Portanto temos um problema de Arranjos Simples, onde

6 3 e n p

p

n

n!A

n p !3

6

6 6 5 4 3

6 3

! !A

! 3!120

Podemos formar 120 comissões.

PERMUTAÇÃO SIMPLES Definição: São arranjos simples de “n” elementos tomados “n” a “n”. Ou seja, as permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, portanto só diferem entre si pela ordem dos mesmos. Exemplos: 01 - Quantos ANAGRAMAS (palavras diferentes com ou sem significado) podemos formar com as letras da palavra AMOR. Resolução: Vamos formar palavras de 4 letras distintas. Podemos escolher qualquer das quatro letras para a primeira posição, 3 letras (não podemos repetir a primeira) para a segunda posição, 2 letras para a terceira posição (não podemos repetir as duas anteriores) e apenas uma escolha para a quarta posição. Então o número de ANAGRAMAS é: 4 3 2 1 24 Para calcularmos uma permutação simples podemos utilizar a seguinte fórmula:

nP n! Onde “n” é o número de elementos do conjunto. Lê-se permutação de “n” elementos. 02 - Quantos ANAGRAMAS podem ser formados com a palavra VESTIBULAR, em que as três letras VES, nesta ordem, permaneçam juntas? Resolução: A palavra VESTIBULAR tem dez letras, se fossemos permutar todas as letras de modo aleatório estaríamos fazendo uma permutação de dez elementos. Mas pelo enunciado precisamos que as letras VES estejam sempre juntas e nesta ordem, ou seja, podemos considerar que estas três letras estarão “empacotadas” e que não trocam de lugar dentro deste pacote. Então vamos permutar apenas 8 elementos (as letras T, I, B, U, L, A, R e o pacote VES).


88 8 7 6 5 4 3 2 1 40320

nP n! P ! Logo o número de anagramas da palavra VESTIBULAR onde as letras VES aparecem sempre juntas nesta ordem é 40320. 03 - Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7? Resolução: Dispomos de quatro algarismos para formarmos números também com quatro algarismos, ou seja, apenas vamos permutar (trocar) os elementos dentro do agrupamento. Logo,

44 4 3 2 1 24

nP n! P !

Podemos ainda utilizar o Princípio Fundamental da Contagem pois, temos 4 possibilidades de escolha para o primeiro algarismo, 3 para o segundo algarismo (já que não podemos repetir o primeiro), 2 para a escolha do terceiro (já que não podemos repetir os dois anteriores) e 1 escolha para o quarto algarismo. Fazendo o produto 4 3 2 1 obtemos 24 possibilidades. 04 - Quantos são os ANAGRAMAS (palavras com ou sem sentido) da palavra EDITORA: a) que começam por A? Resolução: Vamos formar anagramas do tipo: AEDITOR, AEDITRO, AEDIRTO, AEDIROT..., ou seja, com o “A” fixo na primeira posição, podemos permutar os demais elementos da palavra EDITORA. Então temos uma permutação de seis elementos.

66 6 5 4 3 2 1 720

nP n! P !

Portanto podemos formar 720 ANAGRAMAS da palavra EDITORA que iniciam por “A” b) que começam por A e terminam por E? Resolução: Vamos formar anagramas do tipo: ADITORE, ADITROE, ADIRTOE, ADIROTE..., ou seja, com o “A” e o “E” fixos na primeira e última posição respectivamente, podemos permutar os demais elementos da palavra EDITORA. Então temos uma permutação de cinco elementos.

55 5 4 3 2 1 120

nP n! P !

Portanto podemos formar 120 ANAGRAMAS da palavra EDITORA que iniciam por “A” e terminam em “E”. 05 - Numa prateleira existem cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química. a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los? Resolução: Chamando os livros de Matemática de

1 2 3 4 5, , , e M M M M M , os de Física de

1 2 3, e F F F e os de

Química de 1 2 e Q Q , podemos ordená-los na estante da

seguinte maneira:

1 2 3 4 5 1 2 3 1 2

1 2 3 4 5 1 2 3 2 1

1 2 3 4 5 1 3 2 2 1

1 2 3 4 5 1 3 2 1 2

M M M M M F F F Q Q

M M M M M F F F Q Q

M M M M M F F F Q Q

M M M M M F F F Q Q

M

Estamos apenas trocando a ordem dos livros na estante, ou seja, estamos permutando os dez livros.

1010 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3628800

nP n! P !

Existem 3628800 maneiras diferentes de arrumá-los na estante. b) De quantos modos podemos arrumá-los de modo que os livros de cada matéria fiquem juntos? Resolução: Aqui vamos organizar os livros desta forma:

1 2 3 4 5 1 2 3 1 2

1 2 3 4 5 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 1 2 3 4 5

1 2 3 1 2 3 4 5 1 2

M M M M M F F F Q Q

M M M M M Q Q F F F

F F F Q Q M M M M M

F F F M M M M M Q Q

M

Considerando que os livros estivessem “empacotados” por disciplina, bastaria então permutar os três pacotes.

33 3 2 1 6

nP n! P !

Mas, dentro de cada “pacote” os livros podem estar dispostos de várias maneiras. Como são cinco livros de Matemática, temos uma permutação de cinco elementos.

55 5 4 3 2 1 120

nP n! P !

Como são três livros de Física, temos uma permutação de três elementos.

33 3 2 1 6

nP n! P !

Como são dois livros de Química, temos uma permutação de dois elementos.

22 2 1 2

nP n! P !

Como cada permutação é independente da outra temos:

{ { { {3 5 3 26 120 6 2 8640

"pacotes" QuímicaMatemática Física

P P P P

Existem 8640 maneiras diferentes de agrupar os livros. c) De quantos modos podemos arrumá-los de modo que os livros de física fiquem sempre juntos? Resolução: Vamos considerar agora que apenas os livros de Física estão “empacotados”, ou seja, vamos permutar oito elementos (5 livros de Matemática, 2 de Química e um “pacote” de Física).


88 8 7 6 5 4 3 2 1 40320nP n! P !

Mas devemos lembrar que os livros de Física podem ser permutados dentro do “pacote”.

33 3 2 1 6nP n! P !

E depois fazendo

8 340320 6 241920P P

COMBINAÇÃO SIMPLES

É o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Exemplos: 01 - Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com cinco alunos (A, B, C, D e E) de uma classe? Resolução: Vamos formar comissões do tipo AB, AC, AD, AE, BA, BC, BD, BE, CA, CB, CD, CE, DA, DB, DC, DE, EA, EB, EC e ED. Mas, AB=BA, AC=CA, ..., DE=ED, ou seja, representam a mesma comissão. Devemos observar que precisamos apenas das comissões que diferem pela natureza (componentes), sendo a ordem em que aparecem desprezível. Logo, temos pela frente um problema de Combinação Simples e podemos utilizar a seguinte fórmula:

2

5

5 5 4 3

2 5 2

p

n

n! ! !C C

p! n p ! ! ! 2 3! !10

02 - Por que um cartão para aposta da Mega-Sena com 6 números marcados custa R$ 1,50, com 7 números marcados custa R$ 10,50 e com oito números marcados custa R$ 42,00? Como são determinados esses valores? Resolução: Imagine que você marque no cartão 7 dezenas, que vamos representar por A, B, C, D, E, F, e G. Lembre que serão sorteadas apenas 6 dezenas, ou seja, em seu cartão sempre estará sobrando uma dezena. Logo você pode formar diversos agrupamentos com essas dezenas. Exemplo: ABCDEF, ABCDEG, ABCEFG.... Note que os cartões onde estão marcadas as dezenas ABCDEF e FABCDE, são diferentes apenas pela ordem e, isso os torna iguais. Já os cartões ABCDEF e ABCDEG são diferentes pela natureza dos elementos. Temos um problema de Combinação Simples de sete elementos tomados seis a seis.

6

7

7 7 6

6 7 6

p

n

n! ! !C C

p! n p ! ! ! 6!7

1!

Portanto quando marcamos sete números em um cartão, na verdade estamos preenchendo o equivalente a sete cartões. E, aplicando o mesmo raciocínio para a marcação de oito números temos:

6

8

8 8 7 6

6 8 6

p

n

n! ! !C C

p! n p ! ! ! 6!28

2!

Por isso o cartão com sete dezenas custa R$ 10,50 (7 x R$ 1,50) e o com oito dezenas R$ 42,00 (28 x R$ 1,50). 03 - Quantas comissões constituídas de três pessoas podem ser formadas com cinco pessoas? Resolução: Vamos chamar as pessoas de A, B, C, D e E. Precisamos formar grupos de três pessoas. O grupo ABC é igual ao grupo CBA pois a ordem neste caso não tem importância, mas os grupos ABC e ABD são diferentes pela natureza dos elementos. Portanto temos um problema de combinação simples, onde

5 3 e n p

3

5

5

3 5 3

5 4 3 2

p

n

n! !C C

p! n p ! ! !

!

3 2! !

5 4 3

310

2

Podemos formar 10 comissões. 04 - Uma classe tem dez alunos e cinco alunas, formam-se comissões de quatro alunos e duas alunas. Quantas comissões diferentes posso formar? Resolução: Vamos dividir o nosso problema em duas partes. O de formar comissões de quatro alunos e o de formar comissões de duas alunas. Desta forma, de dez alunos vamos formar grupos de quatro alunos, lembrando que a ordem dos alunos dentro dos grupos não é importante, mas grupos com alunos diferentes são diferentes entre si. Portanto vamos resolver um problema de combinação simples onde 10 4 e n p

4

10

10 10 9 8 7 6

4 10 4

p

n

n! ! !C C

p! n p ! ! ! 4 6! !

10 9 8 7

4 3 2

630210

3

E analogamente, vamos formar grupos de duas alunas dentre as cinco.

2

5

5 5 4 3

2 5 2

p

n

n! ! !C C

p! n p ! ! ! 2 3! !10

Agora, devemos lembrar que a cada comissão de alunos, teremos dez comissões de alunas. Logo o total de comissões

será dado por 4 2

10 5210 10 2100C C

Podemos formar 2100 comissões diferentes. Exercícios 464) Quantos números com quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. 465) Para a diretoria de um clube concorrem dois candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 4 a secretário e 10 a tesoureiro. Quantas chapas podem ser formadas?


466) De quantos modos distintos podemos entrar numa casa que tem 2 portões e 3 portas? 467) Quatro times de futebol disputam um torneio. Quantas são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares? 468) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 469) Para ir da cidade “A” para uma cidade “B” existem 3 estradas, e de “B” para “C” existem duas estradas. De quantas maneiras diferentes podemos ir de “A” até “C”, passando por “B”? 470) Para ir de uma cidade A para outra cidade B dispomos de quatro empresas de ônibus, três de aviões e duas de navios. De quantos modos podemos viajar de A até B? 471) As linhas telefônicas de certa cidade começam todas pelo algarismo 6 e possuem seis dígitos. Quantas linhas, nessas condições, podem ser instaladas? 472) (CESPE/UnB) Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que: a) Apenas 9 pessoas participaram da reunião b) Apenas 10 pessoas participaram da reunião c) Apenas 11 pessoas participaram da reunião d) Apenas 12 pessoas participaram da reunião e) Apenas 13 pessoas participaram da reunião 473) (CESPE/UnB) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui 5 vogais. Com base nessas informações, assinale a alternativa verdadeira. a) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos. b) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição dos caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos. c) O número total de códigos diferentes formados por três letras distintas é superior a 15.000. 474) (CESPE/UnB) Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta. a) Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então ela poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas. b) Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então ela poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas. c) Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

Experimento Aleatório Chama-se experimento aleatório todo aquele cujo resultado é imprevisível, mesmo que esse experimento, em condições semelhantes, possa ser repetido um número qualquer de vezes. Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório. Indicaremos por U ou . Exemplos: 1) No lançamento de um dado, os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Logo neste caso U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(U) será o número de elementos do conjunto U, no caso do dado, n(U) = 6. 2) No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis são: cara ou coroa. Logo neste caso U = { cara, coroa} 3) No lançamento de duas moedas, os resultados possíveis são: (cara, cara) , (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa). Logo neste caso U = {(cara, cara) , (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}. Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Assim, no lançamento de um dado, o evento “obter número primo” é A = {2, 3, 5}, subconjunto de U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Quando A = U, o evento é certo. Quando A = Ø, o evento é impossível.

Evento complementar: são dois eventos A e A , tais que:

A A = U : o evento união é o próprio espaço amostral.

A A = { } : o evento intersecção é o conjunto vazio. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par : A = { 2, 4, 6}.

Evento A : ocorrência de um número ímpar: A = {1, 3, 5}.

A A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U

A A = { }

Então A e A são eventos complementares. Exercícios 475) No experimento aleatório lançamento de 3 moedas, qual é o espaço amostral? 476) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, determinar os seguintes eventos: a) números cuja soma seja 8 b) números iguais c) números cuja soma seja 14. 477) determinar o espaço amostral do experimento aleatório no lançamento de um dado e duas moedas e o evento coroa, coroa e um número par. 478) No lançamento de um dado, o complementar do evento “obter um número primo” é : a) A = {1, 4, 6} b) A = {1, 2, 3, 5} c) A = {1, 2, 4, 5} d) A = {2, 3,5} e) n.r.a


479) No lançamento de 2 dados obter o evento cuja soma dos dois números seja igual a 5, aparece quantas vezes? a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) n.r.a 480) Considerando o experimento aleatório nascimento de 2 gatos, qual o número de elementos do espaço amostral considerando que os gatos podem ser macho ou fêmea, nas cores preto, branco, amarelo ou cinza. a) n(U) = 8 b) n(U) = 16 c) n(U) = 12 d) n(U) = 14 e) n.r.a 481) No lançamento de um dado, o evento obter um número múltiplo de 2 ocorre quantas vezes? a) 3 b) 2 c) 6 d) 4 e) n.r.a 482) Considerando o experimento sorteio de um número de 1 a 15, quais das alternativas representa o evento obter um número múltiplo de 3. a) A = { 3, 6, 9, 12, 14} b) A = { 3, 6, 9, 12, 15} c) A = { 3, 6, 9, 12, 14, 15} d) A = {3, 6, 10, 15} Probabilidade de um evento Seja U um espaço amostral equiprovável, de um experimento aleatório, e A, um evento desse espaço amostral. A probabilidade de um evento é definida pelo número real P(A), tal que:

n( A )P( A )

n(U )

onde n(A): nº de elementos do evento A. n(U): nº de elementos do espaço amostral U. Propriedades das Probabilidades 1º Propriedade: A probabilidade de um evento certo é igual a 1, isto é: P(A) = 1 Exemplo: A probabilidade de sair número menor ou igual a 6, no lançamento de um dado. 2º Propriedade: A probabilidade de ocorrer um evento A no espaço amostral U é sempre maior ou igual a zero e menor ou igual a 1, isto é: 0 1P( A )

Exercícios 483) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: a) o número 3 b) um número par c) um número maior que 2. 484) Considere o experimento aleatório: “Lançar dois dados e obter as faces voltadas para cima” Determine a probabilidade de se obter: a) A soma dos pontos igual a 10 b) O número em uma das faces igual ao dobro do nº na outra face. c) A soma dos pontos igual a 13. d) A soma dos pontos menor ou igual a 12. e) Sair faces iguais. 485) Na escolha de um número de 1 a 25, qual a probabilidade de que seja sorteado um número múltiplo de 6? 486) Ao jogarmos dois dados distintos, qual a probabilidade de obtermos pontos diferentes nos dois dados? 487) Retirando uma bola de uma urna que contém 15 bolas, numeradas de 1 a 15, qual a probabilidade de se obter um número primo? a) 2/5 b) 1/2 c)1/4 d) 1/6 e) n.r.a 488) Qual a probabilidade de se obterem dois valetes, num baralho de 52 cartas, extraindo-se simultaneamente 2 cartas. a) 1/120 b) 1/121 c) 1/30 d) 15/221 e) n.r.a 489) Dois dados, um branco e outro preto, são lançados simultaneamente sobre uma mesa. Qual a probabilidade das somas dos valores obtidos nas faces do dois dados ser igual a 5? a) 1/6 b) 1/3 c) 1/9 d) 1/4 e) n.r.a 490) Três moedas são lançadas simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter uma cara e 2 coroas? a) 1/6 b) 1/8 c) 3/8 d) 1/4 e) n.r.a Probabilidade da união de eventos Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral U, tem-se que:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)


Exercícios 491) Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 5? 492) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é: a) 1/6 b) 4/9 c) 2/11 d) 5/18 e) n.r.a 493) Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verificou-se que 200 lêem o jornal A, 300 lêem o jornal B e 150 lêem os jornais A e B. Qual a probabilidade de, sorteando-se uma pessoa, ela ser leitora do jornal A ou do jornal B? 494) Extrai-se aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta extraída ser valete ou carta de paus? 495) Numa urna há 40 bolas brancas, 25 bolas pretas e 15 vermelhas, todas de mesmo formato e indistinguíveis pelo tato. Retirando-se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de que ela seja preta ou vermelha. 496) Qual a probabilidade de obter, no lançamento de um dado, um número par ou primo? 497) De um coleção de 8 livros de matemática, 5 de física e 7 de química, retira-se um livro. Calcule a probabilidade desse livro ser de física ou química. 498) Num grupo de 200 estudantes, 60 gostam de matemática, 40 gostam de música e 20 gostam tanto de matemática quanto de música. Escolhendo-se um estudante ao acaso, qual é a probabilidade dele gostar de matemática ou de música? 499) Num lançamento simultâneo de dois dados, qual é a probabilidade de se obter a soma igual a 3 ou 7? 500) Numa escola de 1200 alunos, 550 gostam de rock; 230 gostam de samba e 120 gostam de samba e de rock. Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele gostar de samba ou de rock? 501) No sorteio de um número natural de 1 a 15. A probabilidade de se obter um número primo ou par é? 502) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter soma 5 ou 8? 503) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento “retirada de uma bola” e considere os eventos: A = { a bola retirada possui um número múltiplo de 2} B = { a bola retirada possui um número múltiplo de 5} Então a probabilidade do evento A B é? 504) Retirando uma carta de um baralho, comum, de 52 cartas. Qual a probabilidade da carta retirada ser de copas ou um rei? 505) (CESPE/UnB) Muitas pessoas Têm buscado na atividade física uma saída para o estresse da vida moderna.

Em uma pesquisa solicitou-se a 220 pessoas que respondessem a seguinte pergunta: Você pratica algum tipo de atividade física? Os resultados da pesquisa estão na tabela abaixo:

Sexo Sim Não Feminino 46 82 Masculino 38 54

Considerando essa amostra e escolhendo-se ao acaso uma pessoa que pratique uma atividade física, a probabilidade de ela ser do sexo feminino: a) É inferior a 42% b) Está entre 42% e 46% c) Está entre 46% e 52% d) Está entre 52% e 56% e) É superior a 56% 506) (CESPE/UnB) Em 2001, no relatório de pesquisa rodoviária publicado pela confederação Nacional de Transportes, foi divulgada a tabela acima, que mostra as condições de conservação de 45.294 quilômetros de estradas brasilleiras. Com base nesses dados, assinale a alternativa correta.

Estado Geral Extensão avaliada (km) Ótimo 1.291 Bom 12.864

Deficiente 30.009 Ruim 980

Péssimo 150 Total 45.294

a) A probabilidade de um viajante que transita nessas estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em condições ótimas e boas é maior que 30%. b) Da extensão total de estradas avaliadas, mais de 0,6estão em condições deficientes. 507) (CESPE/UnB) Suponha que os candidatos X, Y e Z estão concorrendo a uma vaga em um escritório e somente um deles deverá ser escolhido. Se a probabilidade de X ser escolhido for de 7/12 e a de Y ser o escolhido for de 1/6, então a probabilidade de Z ser escolhido é: a) Inferior a 10% b) Superior a 10% e inferior a 20% c) Superior a 20% e inferior a 30% d) Superior a 40% e inferior a 50% e) Superior a 50% 508) (CESPE/UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

Estado em que ocorreu o acidente

Total de vítimas fatais Sexo

Masculino Sexo

feminino Maranhão 225 81 Paraíba 153 42 Paraná 532 142 Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada umas das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições que ocorreu o acidente. Com base nessas


informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. I. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2. II. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. III. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no Estado do Paraná de superior a 0,5. IV. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27. V. A chance que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. A seqüência correta de respostas é: a) C, E, C, E, C b) C, E, E, C, E c) C, C, C, C, C d) E, E, E, E, E e) C, E, E, E, C 509) (CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣), espadas (♠), copas (♥) e ouros (♦). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contém as figuras do rei, dama e valete, respectivamente. Com base nessas informações, assinale a alternativa falsa. a) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13. b) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52. c) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26. 510) (CESPE/UnB) Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta. a) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha todos os empregados de nível superior será inferior a 0,03. b) Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha pelo menos uma pessoa de nível médio será inferior a 0,55.

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA Estatística é a parte da matemática que trata dos métodos científicos para coleta, organização, resumo e análise de dados. Podemos dividi-la em duas: Estatística Descritiva, que apenas descreve e analisa os dados, sem tirar conclusões, e Estatística Indutiva, que trata das inferências e conclusões, isto é, com base na análise de dados são tiradas conclusões.

População e amostra População é o conjunto de elementos de um determinado conjunto que tem a mesma característica. Como nem sempre é possível analisar todos os elementos de um conjunto, considera-se então apenas uma parte do todo, um subconjunto da população. Este subconjunto é chamado de Amostra. Os resultados obtidos do levantamento de dados da amostra podem ser estendidos a toda a população.

Variáveis contínuas e discretas As variáveis que assumem apenas valores inteiros são ditas discretas, e as que assumem quaisquer valores em um intervalo são chamadas de contínuas. De forma geral, as contagens resultam em variáveis discretas, e as medições em variáveis contínuas. Construção e interpretação de gráficos Um dos meios utilizados para representar e analisar dados é expresso por meio de figuras denominadas gráficos. Eles são fundamentais nos meios de comunicação como: jornais, revistas e Internet. Vejamos a seguir alguns tipos de gráficos: gráficos de barras e colunas e gráficos circulares.

GRÁFICOS DE BARRAS E COLUNAS Gráficos em Barras (Horizontais) Os gráficos em barra têm por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos de igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas.

Tipo De Programa

45

21

33

6

15

0 20 40 60

Filmes

Jornalismo

Telenovelas

Educativos

Outros

Audiência

Gráfico de Barras Agrupadas


Tipo De Programa

23

15

10

1

10

22

6

23

5

5

0 10 20 30

Filmes

Telenovelas

Outros

Feminino

Masculino

Colunas O gráfico em colunas é feito da mesma maneira que o de barras só que na forma vertical.

Tipo De Programa

4521

33

6 150

20

40

60

Filmes Jornalismo Telenovelas Educativos Outros

Audiência

Gráfico de Colunas Justapostas ou Agrupadas

23

15

10

1

10

22

6

23

5 5

0

5

10

15

20

25

Filmes Jornalismo Telenovelas Educativos Outros

Masculino

Feminino

Gráficos circulares (setores) Os gráficos circulares são utilizados para representar as relações entre as partes de um todo. Exemplo:

Tipo De Programas

37

135

27

18Filmes

Outros

Educativos

Telenovelas

Jornalismo

ORGANIZAÇÃO DE DADOS

Rol Quando obtemos um conjunto de dados de uma determinada coleta, estes dados são chamados de dados brutos. Para que possam ser mais bem analisados, devemos colocá-los em

ordem crescente ou decrescente. Essa nova organização é conhecida como rol. Desta maneira, podemos obter a amplitude do rol, que e a diferença entre o maior valor e o menor valor da coleta. Exemplo: A tabela abaixo apresenta a coleta de dados referente ao número de vezes que um grupo de 20 pessoas foram ao cinema nos últimos 6 meses. Dados brutos

1 5 3 1 2 5 6 1 2 0 0 2 4 7 5 3 3 5 8 4

Rol (dados organizados em ordem crescente)

0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 8

Freqüência O número de vezes que determinado valor se repete em um conjunto de dados é denominado freqüência. Desta maneira podemos construir uma nova tabela associando os valores a suas freqüências. Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, obtemos a tabela: Freqüência 2 3 3 3 2 4 1 1 1 N° de idas ao cinema

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Classes Quando o conjunto de dados é muito extenso, podemos dividi-lo em intervalos, denominados classes. Analise de dados Quando o conjunto de dados for muito extenso, trabalhar com a distribuição de freqüências torna-se muito complicado e por isso costuma-se usar algumas medidas que resumem características do fenômeno estudado. Essas medidas, de certo modo, condensam informações relativas a distribuição de dados. As mais comuns são as medidas de Tendência Central. As medidas de Tendência Central mais utilizadas são:

Média aritmética Mediana Moda

MÉDIAS

Média Aritmética Simples A média aritmética simples de um conjunto de dados é obtida pelo quociente da soma desses dados pelo número de parcelas.


A média aritmética pode ser representada pela notação X . Exemplo: Calcular a média aritmética dos números: 2, 4 e 6. Resolução:

2 4 6

3X

12

3X

4X Média aritmética Ponderada Quando em um conjunto de dados possui repetição de elementos, a essa repetição denominamos peso. Assim, a média aritmética ponderada é obtida através da soma dos produtos de cada elemento pelo seu respectivo peso dividida pela soma dos respectivos pesos. Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 1, 3, 6, 6, 8, 8 e 10. Resolução: Podemos atribuir aos elementos 1, 3 e 10 o peso 1 devido a cada um deles aparecer apenas 1 vez. Já os elementos 6 e 8 repetem-se 2 vezes, assim atribuímos a eles o peso 2. Assim;

1 3 2 6 2 8 10 426

1 1 2 2 1 7pX

Média Geométrica A média geométrica de um conjunto de elementos é a raiz de índice igual ao número de fatores do produto desses elementos. Exemplo: Calcular a média geométrica dos números 1 e 0,04. Resolução:

1 0 04

0 04

4

100

2

10

0 2

g

g

g

g

g

m . ,

m ,

m

m

m ,

Calcular média geométrica dos números 1

100, 20 e 40.

Resolução:

3

3

3

120 40

100

800

100

8

2

g

g

g

g

m

m

m

m

Média Harmônica A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses números. Exemplo: Calcular a média harmônica dos números 2 e 3. Resolução:

1

1 1

2 3

2

hm 1

3 2

6

2

hm 1

5 1

6 2

hm

1

5

12

hm 12

5hm 2 4hm ,

Exercícios 511) Dados os números 1, 2 e 4, calcule: a) a média aritmética b) a média geométrica c) a média ponderada cujos pesos são 2; 1 e 1. d) a média harmônica. 512) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos restantes será? 513) A média aritmética dos números 2, 1/4 e 0,1 é? 514) A média ponderada dos números 2, 3 e 5 cujos pesos são 1, 1 e 2 é igual a? 515) A média harmônica entre os números a, b, considerando a , b números inteiros positivos, é:

a) 2

a b

ab

b) 2ab

a b

c) ab

a b

d) 2

a b

e) n.r.a 516) Colocando em ordem crescente a média aritmética; a média geométrica e a média harmônica dos números 1; 2 e 4, teremos:


a) A h gm m m

b) h g Am m m

c) g A hm m m

d) h A gm m m

e) n.r.a 517) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda, com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se: I – média harmônica dos números a e b; II – média ponderada dos números a e b; III – média geométrica entre os números a e b; IV – média aritmética simples entre a e b.

a) a.b

b) a

b

c) 2

a b

d) 2ab

a b

e) a.b 518) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se retirarmos desse conjunto três números, de valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é: a) 26,92 b) 26,80 c) 26,62 d) 26,38 e) n.r.a

MEDIANA ( DM )

A mediana se identifica com a posição central de um conjunto ordenado e o separa em duas partes com a mesma quantidade de elementos. Se, por exemplo, relacionarmos em ordem crescente os tempos de chegada de uma corrida com 15 participantes, a mediana corresponderá ao resultado do corredor que chegou em oitavo lugar, já que um número igual de participantes (7) chegou antes e depois dele. Se um conjunto de elementos tiver um número de termos pares, a mediana será a média aritmética simples dos dois termos médios. Exemplos: 01. Determine a mediana do conjunto {1, 7, 2, 5, 2, 5, 3, 2, 10}. Resolução: Primeiramente vamos organizar os dados em ordem crescente. {1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 7, 10}. Então o elemento médio do conjunto é o elemento 3.

3DM

02. Determine a mediana do conjunto {2, 3, 6, 1 ,4 ,9, 6, 8, 1, 8}.

Resolução: Organizando os dados em ordem crescente: {1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 9}. Neste caso os elemento médios são 4 e 6. Logo a mediana

será 4 6

52

DM X .

MODA ( OM )

A moda é o elemento que aparece com maior freqüência em um conjunto, isto é, aquele que aparece mais vezes. Ao contrário de média e da mediana, a moda pode não ser única. Isto acontece quando dois ou mais elementos ocorrem com a mesma freqüência. Exemplos: 01. Qual é a moda do conjunto {5, 3, 7, 1, 5, 2, 9} Resolução: Neste caso ordena-se o conjunto, obtendo: {1, 2, 3, 5, 5, 7, 9}. O elemento que aparece com maior número de vezes, neste caso o 5, é a moda. Este conjunto é dito unimodal. Em alguns casos pode ocorrer a presença de dois ou mais elementos com maior freqüência. Neste caso, o conjunto é chamado bimodal (duas modas) ou multimodal (três ou mais modas). Um conjunto também pode não ter moda, chamado então de amodal. Anteriormente, estudamos algumas medidas de Tendência Central, como média aritmética, mediana e moda. Porém, muitas vezes necessitamos saber o comportamento de dados em torno dos valores centrais, ou seja, o quanto estão próximos ou distantes destes. Para isto utilizaremos as chamadas Medidas de Dispersão, que são:

Desvio Variância Desvio Padrão

DESVIO Chamamos de desvio a diferença entre cada um dos valores dados e a média aritmética do conjunto em questão. Sendo

assim o desvio é dado por iX X onde X é a média

aritmética dos elementos iX .

Exemplo: 01. Dado o conjunto {1, 3, 5, 7, 9}, calcule os desvios. Resolução: Primeiro devemos calcular a média aritmética do conjunto.

1 3 5 7 9 255

5 5X

Então os desvios serão dados por:


1 5 4

3 5 2

5 5 0

7 5 2

9 5 4

iX X

Obs: é importante lembrar que existirá um desvio para cada elemento do conjunto e que o somatório destes será sempre igual à zero.

VARIÂNCIA ( 2

xS )

Por definição, a variância é média aritmética dos quadrados dos desvios.

Então a variância é dada por:

2

2 1

¨n

i

ix

X X

Sn

Obs: A variância será diretamente proporcional a dispersão dos elementos do conjunto em relação a sua média aritmética. Ou seja, quanto mais próximos numericamente de sua média aritmética estiverem os elementos menor será a variância. Podemos citar como exemplos os conjuntos {4, 5, 6} e {1, 5, 9}. Verificamos que suas médias aritméticas são iguais a 5. Porém, se calcularmos suas respectivas variâncias encontraremos para a segunda um valor superior ao da primeira devido a dispersão dos dados.

DESVIO-PADRÃO ( S ) O desvio-padrão é a medida de dispersão mais usada. O desvio-padrão é obtido através da raiz quadrada da variância.

Assim: 2

xS S

Exercícios 519) (ICMS-MG/95) O desvio-padrão do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a: a) 1,25 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0 520) (ICMS/95) O desvio-padrão do conjunto de dados A = {2, 4, 6, 8, 10} é aproximadamente igual a: a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6 521) (GDF/94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de 10 indivíduos. Os números representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio-padrão desta amostra é:

a) 3

b) 9

c) 10

d) 30 522) (CESPE/UnB) Em minutos, os tempos gastos por 5 funcionários de uma repartição, para digitar determinado texto, foram: 17, 20, 18, 21 e 24. Com base nesses dados, assinale a alternativa verdadeira. a) A média aritmética dos tempos gastos pelos funcionários para digitar os textos foi de 22 minutos. b) A mediana da seqüência formada pelos tempos dados acima é superior a 22 minutos. O desvio-padrão da seqüência de tempos observados é inferior a 3 minutos

GEOMETRIA PLANA

Segmentos proporcionais A figura a seguir, representa três retas paralelas cortadas por duas retas transversais, uma dessas retas ao cortar as paralelas, forma dois segmentos representados por AB e BC. Algo muito interessante acontece. Se AB e BC forem iguais (no exemplo AB = BC = 1 cm) e analisarmos a outra reta transversal, os dois novos segmentos A’B’ (lê-se: “A linha, B linha”) e B’C’ também serão iguais, neste exemplo medindo 1,5 cm.

Da mesma forma, se traçássemos uma quarta reta paralela passando pelo ponto D tal que também CD = 1, então quanto mediria C’D’? É claro que, pelo mesmo motivo, C’D’ = 1,5 = B’C’= A’B’.

Podemos enunciar isto da seguinte maneira: quando um feixe (isto é, um conjunto de três ou mais retas) de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais, (no exemplo, AB = BC = CD = 1), então os segmentos na outra reta também o serão (A’B’=B’C’=C’D’=1,5). Mas, e se os segmentos na primeira reta não forem iguais? Como no exemplo acima, onde AB = 1 cm e BD = 2 cm o que podemos dizer sobre A’B’ e B’D’ (além do fato de que também não são iguais)? Veja a figura abaixo: se A ’ B ’ = 3 cm, temos B’D’ = 6 cm. Olhe para estes quatro números da figura: 1; 2; 1,5 e 3. Tomados nesta ordem, formam duas

frações iguais: 1 1 5

2 3

,.


Dizemos que estes quatro números são números proporcionais, e escrevemos: “1 está para 2, assim como 1,5 está para 3. Assim, os segmentos que têm estas medidas, na figura representados respectivamente por AB, BC, A’B’ e B’C’, são segmentos proporcionais. De um modo geral, definimos: AB e BC são segmentos proporcionais a

A’B’ e B’C’ (nesta ordem), se AB A' B'

BC B' C'

TEOREMA DE TALES

Como se pôde ver na figura anterior, o feixe de retas paralelas “transporta” uma razão de segmentos: ali, a razão

dos segmentos AB e BC (no caso, 1

2) é igual à razão dos

segmentos A’B’ e B’C’ (3

6). O Teorema de Tales fala

exatamente isso: Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.

Exemplo: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.

Assim:

BC EF

AB DE

AB BC

DE EF

DE EF

AB BC

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura:

Hipotenusa: BC

Catetos: AC e AB Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: BC m(BC ) = a

Cateto: AC m( AC ) = b

Cateto: AB m( AB ) = c Ângulos: A, B e C Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

cateto oposto

hipotenusaseno

Assim:

b

sen Ba


c

sen Ca

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

cateto adjacentecosseno

hipotenusa

Assim:

cos c

Ba

cos b

Ca

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

cateto opostotangente

cateto adjacente

Assim:

b

tg Bc

c

tg Cb

Exemplo:

9 3

15 5

12 4

15 5

9 3

12 4

sen B

cos B

tg B

12 4

15 5

9 3

15 5

12 4

9 3

sen C

cos C

tg C

Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim:

b

sen B b a senBa

c

cos B c a cos Ba

b a senB senB

tg B tg Bc a cos B cos B

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Considere as figuras:

Quadrado de lado l e diagonal

Triângulo eqüilátero de lado I e altura


Seno, cosseno e tangente de 30º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

SEMELHANÇA DE POLIGONOS

Introdução Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos têm a mesma forma, mas de tamanhos diferentes. Dizemos que esses mapas são figuras semelhantes. Nessas figuras podemos identificar: AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo) CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

, e - ângulos agudos formados pelos segmentos

AB .

Medindo os segmentos de reta AB e CD e os ângulos

( , e ) das figuras, podemos organizar a seguinte

tabela:


m ( AB ) m (CD ) ângulo

Fig. A 3,9 cm 1,3 cm = 90º

Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º

Fig. C 6,0 cm 2,0 cm = 90º

Observe que:

Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;

As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:

Os ângulos correspondentes têm medidas iguais; As medidas dos segmentos correspondentes são

proporcionais; Os elementos das figuras são comuns. Têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Outros exemplos de figuras semelhantes:

Polígonos Semelhantes Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

Observe que: Os ângulos correspondentes são congruentes:

Os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos: ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ") Ou seja: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é

Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. Propriedades Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos. Demonstração: Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A' Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:


Exemplo: Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo. Solução: Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

QUADRILÁTEROS Definição: Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABDC Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

Elementos Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.

Lados:

Diagonais: Ângulos internos ou ângulos do

quadrilátero ABCD: . Observações

Todo quadrilátero tem duas diagonais. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das

medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

Côncavos e Convexos Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º. (i) Do triângulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180º. (ii) Adicionando (i) com (i) , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º a + b + c + d = 360º


Observações: Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo: Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º. Se = 360º Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Exemplo:

h é a altura do paralelogramo. O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos: Retângulo Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos). Exemplo:

Losango Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes. Exemplo:

Quadrado Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes. Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.

Trapézio É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases. Exemplo:

Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos. Destacamos alguns trapézios: Trapézio retângulo É aquele que apresenta dois ângulos retos.


Exemplo:

Trapézio isósceles É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes. Exemplo:

Trapézio escaleno É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes. Exemplo:

Propriedades dos Paralelogramos 1ª Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H: ABCD é paralelogramo.

T:

2ª Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.


T: 3ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo

T: 4ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.


T:

Resumindo: Num paralelogramo:

Os lados opostos são congruentes; Cada diagonal o divide em dois triângulos

congruentes; Os ângulos opostos são congruentes; As diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo. As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD é retângulo.

H: .


GEOMETRIA ESPACIAL

Conceitos primitivos São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto

Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

Planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Postulados sobre o plano e o espaço P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado. P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos. P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços. Posições relativas de duas retas No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:


Temos que considerar dois casos particulares: retas perpendiculares: r s

retas ortogonais: r s

Postulado de Euclides ou das retas paralelas

P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:

Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:

Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

Duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situações: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano

Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são

concorrentes em P quando .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P. c) reta paralela ao plano Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto,

r // .

Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que: Se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :


Para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes,

contidas em :

Observe na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos Consideramos as seguintes situações: a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

Dois planos, e , são concorrentes quando sua

intersecção é uma única reta:

c) planos paralelos

Dois planos, e , são paralelos quando sua intersecção

é vazia:

Perpendicularismo entre planos

Dois planos, e , são perpendiculares se, e somente se,

existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes. Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano.

A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano.


A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano.

A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta.

POLIEDROS Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa

face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. Classificação Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

Tetraedro: quatro faces Pentaedro: cinco faces Hexaedro: seis faces Heptaedro: sete faces Octaedro: oito faces Icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas

Octaedro

8faces triangulares 6 vértices 12 arestas

Icosaedro

20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 Onde:

V é o número de vértices, A é o número de arestas; F é o número de faces.

Observe os exemplos:


V=8; A=12; F=6V - A + F = 28 - 12 + 6 = 2

V=12; A=18; F=8V - A + F = 212 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico. Prismas Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, e , um polígono convexo R contido em e uma reta r que

intercepta e , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o

segmento PP' , paralelo à reta r (P’ pertence a ) :

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos

os segmentos congruentes PP' paralelos a r. Elementos do prisma Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

Bases: as regiões poligonais R e S

Altura: à distância h entre os planos e

Arestas das bases: os lados

( dos polígonos)

Arestas laterais: os segmentos

Faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C,

CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Classificação Um prisma pode ser:

Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

Prisma Reto Prisma Oblíquo Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

Prisma Triangular Regular Prisma Hexagonal Regular Observação: As faces laterais de um prisma regular são retângulos congruentes.


Secção Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base) c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2AB Exemplo: Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

h

a

aa

a

a

a

Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:

ParalelepípedoOblíquo

ParalelepípedoReto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir:

d = diagonal da based = diagonal do paralelepípedob

p

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:


Área lateral Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc) Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

A = 2( ab + ac + bc)T Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1.

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo

retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a = b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir:

d =diagonal do cubod = diagonal da basec

b

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:


Área lateral A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

A =4aL

2

Área total A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

A =6aT

2

Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a3

Generalização do volume de um prisma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a , intercepta os sólidos e determina

secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então: V2 = ABh Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

V = A hprisma b

Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, e , um círculo R contido em e uma reta r que intercepta

e , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o

segmento CC' , paralelo à reta r (C’ pertence a ):

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de

todos os segmentos CC' congruentes e paralelos a r. Elementos do cilindro Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

Bases: os círculos de centro O e O'e raios r

Altura: a distância h entre os planos e

Geratriz: qualquer segmento de extremidades nos

pontos das circunferências das bases (por exemplo, AA' ) e paralelo à reta r Classificação do Cilindro Um cilindro pode ser:

Circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;


Circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do

retângulo ABCD pelo lado BC gera o cilindro a seguir:

A reta BC contém os centros das bases e é o eixo do cilindro. Secção Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de

dimensões 2 r e h : 2LA rh

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

2

BA r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases

2

2 2 2 2T L BA A A rh r r r h

Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e

determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do

círculo de raio r 2

BA r ;

Portanto, seu volume é:


Cilindro eqüilátero Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

2

2 2 2

2 2 2 4

2 4 2 6

L L L

T L B

A rh A r r A r

A A A r r r

Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V (vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto

de todos os segmentos VP , (P pertence a C).

Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

Altura: distância h do vértice V ao plano Geratriz (g): segmento com uma extremidade no

ponto V e outra num ponto da circunferência Raio da base: raio R do círculo

Eixo de rotação: reta VO determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

2 2 2g h r

Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento

:

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB): área do circulo do raio R

c) área total (AT): soma da área lateral com a área da base

Volume O volume de um cone é dado pela equação

21 1

3 3CONE BV A h r h


Pirâmides Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V (vértice) fora de , chamamos de pirâmide o

conjunto de todos os segmentos VP , (P pertence a R).

Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

Base: o polígono convexo R

Arestas da base: os lados AB;BC;CD;DE;EA do polígono

Arestas laterais: os segmentos VA;VB;VC;VD;VE

Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA

Altura: distância h do ponto V ao plano Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja:

Pirâmide QuadrangularRegular

Pirâmide HexagonalRegular

Observações: 1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas são congruentes).

TetraedroTetraedroRegular

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Octaedro OctaedroRegular

Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

As arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;

A secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;

As áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

Assim, temos:


A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base (AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) c) área total (AT): união da área lateral com a área da base

AT = AL +AB Para uma pirâmide regular, temos:

Em que:

Volume O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais.

Logo, o volume da pirâmide é dado por: 1

3BPIRÂMIDE

V A h

Troncos Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone. Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

As bases são polígonos regulares paralelos e

semelhantes; As faces laterais são trapézios isósceles

congruentes. Áreas Temos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)

A =A +A +AT L B b

Volume O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

3TP B b B b

hV A A A A

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

3

V ' h'

V H

Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

As bases maior e menor são paralelas; A altura do tronco é dada pela distância entre os

planos que contém as bases. Áreas Temos: a) área lateral


b) área total

2 2

2 2

T L B b

T

A A A A R r g R r

A R r g R r

Volume O volume de um tronco de cone regular é dado por:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

3 3

3 3

TC B b B b

TC

h hV A A A A R r R r

h hV R r R r R r Rr

Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

2 3

B

b

AR H H V H; ;

r h A h V ' h

Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume O volume da esfera de raio R é dado por:

34

3ESFERAV R

Partes da esfera Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

2

4ESFERAS R

Zona esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da zona esférica é dada por:

2S Rh Calota esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da calota esférica é dada por:

2S Rh Fuso esférico O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo

0 2 em torno de seu eixo:

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

2

22 42

2

rad

radE

Fuso

Fuso

S RS R

S


Ou

2 2360 4

360 90°E

Fuso

Fuso

S R RS

S

Cunha esférica Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em

torno de seu eixo de um ângulo 0 2 :

O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

3

2

42 23

2 3

rad

radE

Cunha

Cunha

RVV R

V

Ou

3

24360 3

360 270°E

Cunha

Cunha

RV RV

V

Exercícios 523) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 524) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? 525) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? 526) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos: a) a = 25 e b = 12 b) a = 14 e b = 10 527) Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regiões poligonais em triângulos.

528) Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?

529) A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados? 530) É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados? 531) É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm? 532) Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm? 533) Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo: a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b. Quadrado com perímetro 12cm. c. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm.

d. Quadrado com perímetro 12 3 cm. 534) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? 535) Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados? 536) Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante? a. A base é multiplicada por 3; b. A altura é dividida por 2; c. A base é aumentada 25%; d. A base é diminuída 25%. 537) Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d. 538) Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30°. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a. 539) Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45°. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a. 540) Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30° e cada um dos dados abaixo:

a. AD = 4 3 cm e AB = 8 cm

b. AX = 3 cm e AB = 4 2 cm c. AB = 10 cm e AD = 6 cm

d. AB = 6 cm e AX= 3 3 cm


541) A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?

542) A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do

quadrado mede 2 2 m, calcular a área frontal desta casa. 543) O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o: a. dobro da área de T1? b. triplo da área de T1? c. quádruplo da área de T1? 544) Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Altura e Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2) a) 5 10 b) 5 12 c) 2 3 3 3

d) 6 12 545) Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas de um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm2) a) 10 6 4 b) 5 3 24 c) 5 3 12 d) 1/3 1 e) 5 2 3 2 4 6

546) Calcular a medida do lado de um triângulo eqüilátero

com a área igual a 9 3 unidades de área. 547) Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo eqüilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?

548) Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não está no interior do trapézio. 549) Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está na figura ao lado, se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidas são dadas em cm. 550) Na figura representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo ao segmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área do trapézio PQST, sob as seguintes condições: a. RT=1 cm, RP=2 cm b. RT=2 cm, TP=3 cm c. TS=2 cm, PQ=3 cm

d. TS= 3 cm, PQ=2 cm Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR. 551) Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujas medidas são dadas por: a. Lado = 6 cm b. Apótema = 3 cm c. Raio = 6 cm d. Perímetro de medida t cm 552) Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por: a. Lado = 4 cm

b. Apótema = 2 3 cm c. Raio = 6 cm d. Perímetro = t cm


553) ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC? 554) Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se às medidas do polígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetro e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.

L (cm) a (cm) p (cm) A (cm2) Triângulo 2 3

Pentágono k 4 Hexágono k Octógono t k Decágono 40 40k

555) Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na razão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros? 556) Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a 36 cm² e 64 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexágono)? 557) Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a 50 cm² e 100 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentágono)? 558) No triângulo ABC, desenhado abaixo, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com área igual à área do triângulo ABC? 559) A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígono semelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois polígonos? 560) Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ? 561) O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm² mede 4 cm. Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm. 562) Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9 vezes maior. 563) Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos eqüiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência?

564) Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DEC e ABC? 565) Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de raio r e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas? 566) Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e um segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois

hexágonos é 56 3 u.a, qual é o raio da circunferência? 567) O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo? 568) O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado do quadrado EFGC? 569) De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do octógono? 570) Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a: a) r = 5cm b) r = 3,5cm c) r = 3kcm d) r = a/2cm


571) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 572) Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros. 573) Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

574) Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d. a) r=3cm

b) d=3k 2 cm

c) r=2 3 cm d) d=9cm 575) Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm. (coroa circular)

576) Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos? 577) Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo eqüilátero cujo lado mede 18 cm? 578) Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é 27 cm²? 579) Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda? 580) Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.

581) Considere um hexágono regular cuja área é 48 3 cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. 582) Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus. 583) Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular a área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120°. 584) Seja um triângulo eqüilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região hachurada como a da figura ao lado. Calcular a área desta região. 585) Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo. 586) Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado. 587) Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.


588) Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos? 589) Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB. 590) Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior. 591) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone. 592) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

593) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. 594) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

595) Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. 596) Um cilindro circular eqüilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por: 597) Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

598) Considerando a//b//c no desenho abaixo, calcule o valor de x.

599) Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa em km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias que faltam.

600) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?


601) Considerando a//b//c//d, calcule os valores de x e y. a)

b)

JUROS SIMPLES Chamamos de juros a remuneração paga pela aplicação de um capital (C), a uma taxa de juros (i) durante certo tempo (t). Se essa remuneração incide somente sobre o capital e ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples. Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos de montante (M). Assim, observamos que os juros são a variação entre o capital e o montante. Logo,

J C i t

1M C J M C C i t M C i t

Obs: - (i) e (t) devem estar na mesma unidade de tempo. - (i) deve estar na forma unitária. Taxa de Juros A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a proporção entre os juros e o capital. A taxa de juros deve sempre estar associada a um período de tempo.

Taxas Porcentuais e Unitárias Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma taxa porcentual representa uma razão centesimal fazendo uso do símbolo (%). Assim, temos:

1818

100 taxa porcentual%

Entretanto, podemos representar a razão centesimal na forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou taxa unitária:

180 18

100 taxa unitária,

Taxas proporcionais Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção direta com os respectivos tempos, considerados numa mesma unidade. Exemplo: As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são proporcionais, pois:

72 6

12 1 meses mês

% %

Ou seja: 72% está para 12 meses (1 ano) assim como 6% está para 1 mês. Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por períodos de tempo também iguais. Atenção: No regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais. Exemplo: Aplicar X reais, durante algum tempo, à taxa de juros simples de 2% a.m. nos daria juros iguais aqueles que obteríamos se aplicássemos os mesmos X reais, durante o mesmo tempo, mas à taxa de juros simples de 6% a.t. (ao trimestre). Então dizemos que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6% a.t. Notemos que 2% a.m. e 6% a.1. são também taxas proporcionais, pois:

6 2

3 1 meses mês

% %

Juros Comerciais e Juros Exatos Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, quadrimestre, semestre ou ano).


A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática; de acordo com uma das duas convenções abaixo: Prazo comercial - considera-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais freqüente nos problemas de juros simples e os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados de juros comerciais ou juros ordinários. Prazo exato - consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. Cada mês poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (para os demais meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos. Prazo Médio e Taxa Média Prazo Médio Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados pelos valores correspondentes das taxas e dos capitais a eles associados. Exemplo: Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria o prazo médio para estas três aplicações? PRAZOS

(A) CAPITAL

(B) TAXAS

(C) PRODUTOS (A x B x C)

PESOS (B x C)

3 meses 1.000,00 2 3 x 1 x 2 = 6 1 x 2 = 2

2 meses 2.000,00 3 2 x 2 x 3 = 12 2 x 3 = 6

1 mês 3.000,00 4 1 x 3 x 4 = 12 3 x 4 = 12

Prazo médio 6 12 12 30

1 52 6 12 20

meses,

Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. Isto significa que, se nós trocássemos os três prazos por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. Taxa média É uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. A taxa média é sempre a média das taxas ponderadas pelos valores correspondentes dos prazos e dos capitais a eles associados. Exemplo: Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, às taxas de 2%, 3% e 4% ao mês, durante 3, 2 e 1 mês, respectivamente. Qual seria a taxa média para estas três aplicações?

TAXAS (A)

CAPITAIS (B)

PRAZOS (C)

PRODUTOS (A x B x C)

PESOS (B x C)

2 1.000,00 3 3 x 1 x 2 = 6 1 x 3 = 3

3 2.000,00 2 3 x 2 x 2 = 12 2 x 2 = 4

4 3.000,00 1 4 x 3 x 1 = 12 3 x 1 = 3

taxa média 6 12 12 30

33 4 3 10

a.m.%

Portanto, a taxa média seria de 3% ao mês. Isto significa que, se nós trocássemos as três taxas (2%, 3% e 4%) todas para 3% a.m., o total de juros produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. Exemplos: 1. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros a receber? Solução: Temos:

800 00

3 0 03

2 meses

C ,

i %a.m. , a.m.

t

J ?

Como (i) e (t) já estão na mesma unidade de tempo, podemos utilizar a equação: J C i t Assim: 800 0 03 2 48 00J , ,

O valor dos juros recebidos pelo capital aplicado é de RS 48,00 2. Um capital de R$ 23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 9% a. a. Determine o montante desta aplicação. Solução: A taxa é de 9% ao ano, mas a aplicação durou 8 meses. Se em um ano temos 12 meses, quantos anos serão equivalentes a 8 meses? Com uma regra de três teremos:

Meses Anos

128

1X

8 212 8

12 3x x ano

Temos então:

23 500 00

9 0 09

28

3 meses

C . ,

i %a.a. , a.a.

t ano

J ?

M ?

Assim:

223 500 0 09 1 410 00

3J C i t J . , . ,

23 500 1 410 24 910 00M C J . . . ,


Logo, o montante da aplicação será de R$ 24.910,00 ao final dos 8 meses. 3. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 8 meses resultou num montante de R$ 66.000,00. Qual foi a taxa mensal desta aplicação? Solução:

50 000 00

66 000

8 meses

C . ,

M .

t

i ?

Lembrando que os juros são a variação (diferença) do capital aplicado para o montante, teremos:

66 000 50 000 16 000M C J J M C J . . .

Assim:

16 000 10 04 4

50 000 8 25

J .J C i t i i , %a.m.

C t .

A taxa de aplicação foi de 4% a.m.

4. De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa de 12% ao mês? Solução: O enunciado apresentou um prazo em meses e dias, mas não indicou se o juro deve ser comercial ou exato. Presume-se, em casos como este, que o juro seja comercial. Pela convenção do prazo comercial, 3 meses e 10 dias nos dão: 3 meses + 10 dias = (3 x 30) + 10 dias = 90+ 10 dias = 100 dias Agora, calculamos a taxa equivalente para os 100 dias (regra de três)

Dias Taxa

301

12X

Assim: 30 12

12 20 4

30 5

x

x , %

Então:

0 4i , %a.d. Finalmente, determinamos o juro pedido:

2 300 00

100

0 4

C . ,

t dias

i , %a.d .

J ?

2 300 0 004 100 920 00J C i t J . , , Portanto, o juro é de R$ 920,00.

5. Determinar quantos dias, exatamente, durou uma aplicação que teve início em 18 de maio de certo ano e término em 10 de setembro do mesmo ano. Solução: Quando esta situação ocorre no meio de um problema em provas de concursos, quase sempre somos obrigados a resolvê-la sem o auxílio da chamada "tabela para contagem de dias entre datas". Entretanto, é possível resolvê-la com o seguinte procedimento: 1° passo: Multiplicar por 30 a diferença entre o mês de término e o mês de início. (obs.: devemos subtrair 2 dias do resultado se passarmos de fevereiro para março). De maio até setembro, são 4 meses: 4 x 30 = 120 dias 2° passo: Acrescentar mais 1 dia para cada dia 31 compreendido entre as datas de início e término. 3° passo: Adicionar o dia do término e subtrair o dia do início, obtendo o número exato de dias. término: dia 10 ......... + 10 dias início: dia 18 ............. - 18 dias Portanto, transcorreram exatamente: 120 + 3 + 10 – 18 = 115 dias. 6. Um capital de R$ 5.300,00 foi aplicado no dia 25 de março de certo ano, à taxa anual de 10%. Considerando o critério de juros simples exatos, qual o valor do montante desta aplicação em 6 de junho do mesmo ano? Solução: Devemos, inicialmente, determinar a duração exata da aplicação, em dias. 1º - de março a junho, são 3 meses 3 x 30 = 90 dias 2º - 31/março e 31/maio, são mais 2 dias 3º - +6 (término) - 25 (início) + 6 - 25 = -19 dias Duração da aplicação = 73 dias Ajustando a taxa a duração da aplicação:

Dias Taxa

36573

10X

Assim: 365 730

7302

365

x

x %

Finalmente, determinamos o juro pedido:

5 300 00

2

C . ,

p% t i %

J ?

5 300 0 02 106 00J C i t J . , ,

Portanto, o montante procurado é igual a R$ 5.406,00, pois:

5 300 00 106 00 5 406 00M C J . , , . ,


Exercícios 602) (Metrô-Técnico em Contabilidade-IDR/94) Qual o juro obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples de 10% ao mês? 603) (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 60% a.m.? 604) (Metrô-Assistente Administrativo-IDR/94) Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 40% a.m. Após um semestre, qual o valor do montante obtido? 605) (CEB-Contador-Superior-IDR/94) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36%a.a. Após quatro meses, qual é o valor do montante? 606) (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.600,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 15% ao ano? 607) (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) Qual o valor do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante 7 meses, para obter juro de R$ 8.568,00? 608) (TTN/89) A que taxa anual o capital de $ 288,00, em 2 meses e 15 dias, renderia $ 6,60 de juros simples? 609) (TTN/89) Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a., durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a., mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36, qual foi o capital inicial da primeira operação? 610) Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro. 611) Obtive uma renda (juros) total de R$ 1.290,00 proveniente das aplicações de dois capitais a juros de 6% a.a., durante 4 meses. Se eu aplicasse a diferença entre os dois capitais a 12% a.a., durante o mesmo período, obteria um rendimento de R$ 540,00. Quais eram os valores dos capitais aplicados? 612) Um capital de R$ 94.000,00 foi aplicado sendo uma parte a 6% a.m., outra a 8% a.m. e o restante a 10% a.m., todas durante 10 meses. Determine o valor da terceira parte sabendo que os juros das três foram iguais. 613) (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Dividir o capital de R$ 441.000, em duas partes de modo que a primeira, aplicada a 5,5% ao mês e a segunda a 60% ao ano, produzam, no fim do mesmo tempo de aplicação, juros de mesmo valor. 614) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em períodos de tempo iguais, sejam obtidos rendimentos iguais para os dois capitais, a taxa de aplicação do menor deles deve superar a do maior em quantos por cento? 615) (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21 % ao ano. Qual a taxa única, a que a mesma poderia empregar todo o capital, a fim de obter o mesmo rendimento anual?

616) Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas à mesma taxa de juros, produziram montantes de R$ 1.500,00 e R$ 1.200,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual o valor do capital? 617) Aplicando-se R$ 100.000 durante 90 dias, obteve-se um rendimento de R$ 10.800,00. Qual seria o rendimento obtido em um ano se a taxa mensal de juros fosse 0,1% maior (x% + 0,1%)? 618) Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas, produziram montantes de R$ 4.200,00 e R$ 3.400,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual era o valor do capital se a taxa de juros da primeira aplicação estava para a da segunda assim como 2 está para 1 ? 619) (TTN/85) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada? a) 20% ao ano b) 125% ao ano c) 12,5% ao ano d) 200% ao ano e) 10% ao ano 620) (TTN/85) Um capital de $ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu $ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 27 dias 621) (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros são de: a) $ 700,00 b) $1.000,00 c) $1.600,00 d) $ 600,00 e) $ 900,00 622) (AFTN/91) Um capital no valor de 50, aplicado a juro simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e)68 623) (TTN/94) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$ 8.736,00? a) R$ 9.800,00 b) R$ 9.760,66 c) R$ 9.600,00 d) R$ 10.308,48 e) R$ 9.522,24 624) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a $ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de: a) $1.100,00 b) $1.000,00


c) $1.392,00 d) $ 1.200,00 e) $1.399,68 625) (TTN/92) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00 rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? a) 6m b) 7m c) 8m d) 9m e) 10m 626) (AG.SEG-TRT/ES-90) Obtendo-se, em 10 meses, $ 120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital de $ 200.000,00 à taxa de 6% a.m. Determine o tempo necessário para se ganharem os mesmos juros, caso a taxa seja de 60% a.a. a) 8 meses b) 1 ano e 3 meses c) 1 ano d) 10 meses e) 13 meses 627) (AG.SEG.-TRT/ES-90) Em março de 1990, o governo brasileiro, numa tentativa de acabar com a inflação, reteve o dinheiro do povo. Uma pessoa verificou que, ao final de 45 dias, à taxa de 4,2% ao mês obteve, de acordo com seu saldo em cruzados novos, juros de $ 630,00. Qual foi a quantia retida? a) $ 18.000,00 b) $ 20.000,00 c) $ 36.000,00 d) $ 5.000,00 e) $ 10.000,00 628) (AG.SEG.-TRT/ES-90) Emprestei 1/4 do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No fim de um ano recebi $ 102,00 de juros. Determine o capital. a) $ 680,00 b) $ 840,00 c) $ 1.200,00 d) $ 2.530,00 e) $ 12.600,00 629) (AG.SEG.-TRT/ES-90) A que taxa mensal deverá a firma "O Dura" aplicar seu capital de $ 300.000,00, para que, em 2 anos e 4 meses, renda juros equivalentes a 98% de si mesmo? a) 42% a.m. b) 3,5% a.m. c) 35% a.m. d) 4,2% a.m. e) 18% a.m. 630) (AT.JUD.-TRT/GO-90) Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para se obter $ 6.000,00 de juros em 4 meses. a) $ 10.000,00 b) $ 25.000,00 c) $ 100.000,00 d) $ 180.000,00 e) $ 250.000,00

631) (AT.JUD.-TRT/GO-90) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de $ 27.000,00, dispondo de $ 90.000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5% 632) (AT.JUD.-TST/ES-90) Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 anos? a) 50% a.a. b) 128 4/7% a.a. c) 142 6/7% a.a. d) 12/7% a.m. e) 12% a.m. 633) (AT.JUD.-TST/ES-90) Depositei certa importância em um Banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de $ 1.600.000,00, que representavam 80% do capital. Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa contratada foi de 16% a.m. a) 5 meses e 20 dias b) 5 meses c) 4 meses e 10 dias d) 4 meses e) 6 meses e 5 dias 634) (AT.JUD.-TST/ES-90) O capital de $ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado 1 ano e 3 meses. a) 6% a.m. b) 60% a.a. c) 5% a.a. d) 66% a.a. e) 50% a.a. 635) (AFC-TCU/92) Um investidor aplicou $ 2.000.000,00, no dia 6/1/86, a uma taxa de 22,5% ao mês. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000,00. a) 5 dias após sua aplicação b) após 130 dias de aplicação c) aos 15/5/86 d) aos 19/1/86 e) após 52 dias de sua aplicação 636) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Certo investidor aplicou $ 870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante, no final de 3 anos? a) $ 4.628,40 b) $ 35.078,40 c) $ 4.800,40 d) $ 35.780,40 e) $ 4.860,40 637) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Um imposto no valor de $ 488,00 esta sendo pago com atraso de 3 meses. Se a Prefeitura cobrar juros de 25% ao ano, o contribuinte terá de pagar um acréscimo de: a) $ 30,20


b) $ 30,30 c) $ 30,40 d) $ 30,50 e) $ 30,60 638) (AUX.PROC.-PG/RJ-90) Certo capital, aplicado durante 9 meses à taxa de 35% ao ano, rendeu $ 191,63 de juros. O valor desse capital era de: a) $ 690,00 b) $ 700,00 c) $ 710,00 d) $ 720,00 e) $ 730,00 639) (TTN-RJ/92) Um fogão é vendido por $ 600,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542,88, após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação? a) 5% b) 12% c) 15% d) 16% e) 20% 640) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por $ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período? a) $ 420.000,00 b) $ 450.000,00 c) $ 480.000,00 d) $ 520.000,00 e) $ 500.000,00 641) (TTN/92) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00 rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? a) 6m b) 7m c) 8m d) 9m e) 10m 642) (TTN/92) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de $ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: a) $ 30.2 10,00 b) $ 10.070,00 c) $ 15.105,00 d) $ 20.140,00 e) $ 5.035,00 643) (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de R$: a) 11.200,00

b) 13.200,00 c) 13.500,00 d) 12.700,00 e) 12.400,00 644) (TTN/94) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$: a) 4.600,00 b) 4.400,00 c) 4.200,00 d) 4.800,00 e) 4.900,00 645) (AFTN/85) O preço à vista de uma mercadoria é de $ 100.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $ 100.160, vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de: a) 98,4% b) 99,6% c) 100,8% d) 102,0% e) 103,2% 646) (AFTN/85) João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, os montantes eram de $ 117.000 e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: a) $ 150.000 b) $ 160.000 c) $ 170.000 d) $ 180.000 e) $ 200.000 647) (AFTN/85) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de 4 meses e o segundo por 5 meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram $ 39.540 e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em $ 12.660, a soma dos dois capitais iniciais era de: a) $ 140.000 b) $ 143.000 c) $ 145.000 d) $ 147.000 e) $ 115.000

DESCONTOS SIMPLES Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito. São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias, as duplicatas e as letras de câmbio. Valor Nominal, ou valor de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título.


Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do mesmo. É sempre menor que o valor nominal pois o título sofreu um desconto. O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado (que sofreu desconto - não confundir com "valor do desconto"), valor pago. Prazo de Antecipação é o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo. Estudaremos dois tipos de desconto: 1º) Desconto "por fora", ou desconto comercial é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor nominal. No desconto comercial o valor nominal é equivalente a 100%, ou seja, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título.

ValorLíquido

ValorNominal

100%(100-d)%

+ %Desconto

d

DESCONTO COMERCIAL

Considerando: N – Valor Nominal A – Valor Atual i – Taxa de desconto t – Período de antecipação

D – Valor do desconto Comercial Temos:

D N i t

Assim, o valor atual após o desconto é dado por:

A N D

2°) Desconto "por dentro", ou desconto racional é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido. No desconto racional o valor líquido é equivalente a 100%, isto é, devemos aplicar uma taxa sobre o valor líquido para que obtenhamos o valor nominal.

ValorLíquido

ValorNominal

100% (100+d)%

+ %Desconto

d

DESCONTO RACIONAL

Vamos usar a notação “d” para o desconto racional. Assim:

1N A i t e d N A .

Exemplos: 01. Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00, descontado 2 meses antes do vencimento à taxa de 15% a. m. Solução: Temos:

650 00

15

2

N ,

i %a.m.

t meses

d ?

Assim:

650 650500

1 1 0 15 2 1 3

NA

i t , ,

Logo:

650 500 150 00d N A d , O desconto sofrido pelo título foi de R$ 150,00. 02. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00. Solução: Temos:

608 00

12

60 2

A ,

i %a.m.

t dias meses

N ?

Assim, como A N D temos que D N A . Logo:

608 608800

1 1 0 12 2 0 76

AN A N i t N

i t , ,

Como o valor nominal é de R$ 800,00 e o valor atual é de R$ 608,00 o desconto comercial foi de R$ 192,00. OBS: É importante lembrar que aplicados às mesmas condições, o valor do desconto comercial é sempre maior que o desconto racional.

TAXA DE JUROS SIMPLES EM UMA OPERAÇÃO DE DESCONTO COMERCIAL

Uma duplicata de valor igual a R$ 1000,00 é descontada comercialmente 1 mês antes de seu vencimento a uma taxa de juros simples de 20% a.m.. Assim o valor líquido descontado será de R$ 800,00. Observe que se aplicarmos novamente a taxa de 20% obteremos R$ 960,00 que não é o valor nominal da duplicata. Assim, chamamos de taxa efetiva de juros da operação

efi , a taxa que aplicada ao valor atual nos fornece o valor

nominal do título. A taxa efetiva também pode ser chamada de taxa implícita da operação ou taxa de rentabilidade para o banco. A taxa efetiva é sempre maior que a taxa de desconto. Exercícios

648) (TCDF/94) Um título com valor nominal de $ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? 649) (CEB/94) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?


650) (METRÔ/94) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? 651) (METRÔ/94) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de $ 2.040,00, quatro meses antes de seu vencimento. Qual o valor, em dólar, que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? 652) Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$ 8.320,00, descontada à taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu vencimento. 653) Qual o prazo de antecipação de um título que descontado racionalmente, à taxa de juros de 8% a.m. produziu um desconto equivalente a 1/6 do seu valor nominal? 654) O valor atual racional de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal. Calcular a taxa anual de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 6 meses. 655) Aceitei um título vencível a 1 ano, 1 mês e 10 dias. Tendo sido descontado por dentro a 9% a.a., deu R$ 1.000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do título? 656) Qual é o valor do desconto bancário sofrido por uma promissória de R$ 1.000,00, à taxa de 8% a.m., 3 meses antes do seu vencimento? 657) A que taxa anual, um título de R$ 2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de desconto por fora? 658) Descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses antes do vencimento, um título sofreu um desconto de R$ 24.000,00. Qual era o valor nominal desse título? 659) Uma nota promissória de R$ 1.800,00, tem valor líquido de R$ 1.200,00 quando descontada por fora três meses antes do seu vencimento. Qual é a taxa mensal do desconto? 660) Um título de R$ 8.400,00 produziu um desconto por fora de R$ 105,00, quando descontado um mês e meio antes do seu vencimento. Qual é a taxa anual desse desconto? 661) Um título com valor nominal de R$ 2.400,00 é descontado por fora a uma taxa de 4,5% ao mês, com antecedência de 6 meses. Qual é o valor do desconto?

662) Uma nota promissória foi descontada por fora, três meses e dez dias antes do seu vencimento, à taxa de 10% a.m., produzindo um desconto de R$ 400,00. Qual era o valor de face da promissória?

JUROS COMPOSTOS

Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a integrar o valor do capital ou montante que serviu de base para o seu cálculo de modo que o total assim conseguido será a base do cálculo dos juros do próximo período. Assim, o montante M de um capital C à uma taxa unitária i de juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos é dado por:

1n

M C i

O fator 1n

i é chamado de fator de capitalização.

Dá-se o nome de capitalização ao processo de incorporação dos juros ao capital ou montante de uma operação financeira. Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de capitalização simples e regime de capitalização composta no lugar de regime de juros simples e regime de juros compostos, respectivamente. Exemplos: 01. Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% ao mês. Calcular o montante desta aplicação após três meses. Solução: Resumindo os dados do problema, temos:

200 00

20

3

C ,

i %a.m.

t meses

Devemos calcular o montante:

1n

M C i

Substituindo os elementos dados na fórmula do montante, obteremos:

3

3

1

200 1 0 2

200 1 2

200 1 728

345 60

nM C i

M ,

M ,

M ,

M ,

Ou seja, o montante da aplicação, após os três meses será de R$ 345,60. 02. Calcular o montante da aplicação de R$ 10.000,00 à taxa composta de 8% a.t. durante um ano. Solução: Temos:

10 000 00

8

1 4

C . ,

i %a.t.

n ano trimestres

Substituindo os elementos na formula geral do montante temos:

4

4

1

10000 1 0 08

10000 1 08

10000 1 360488

13 604 88

nM C i

M ,

M ,

M ,

M . ,

04. Determinar o tempo necessário para o capital de R$ 20.000,00 gerar um montante de R$ 28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês. Solução: Temos:

20 000 00

28 142 00

5

C . ,

M . ,

i %a.m.

n ?

Aplicando os valores na fórmula do montante:


1

28142 20000 1 0 05

281421 05

20000

1 05 1 4071

n

n

n

n

M C i

,

,

, ,

Aqui a resposta poderá ser encontrada de duas maneiras: 1ª) Procurar em uma tabela financeira o valor de 1,4071 na coluna referente a i = 5% o valor referente a n. Neste caso n = 7. 2ª) Aplicar o logaritmo em ambos os membros da igualdade. (em algumas provas o valor do logaritmo é fornecido)

1 05 1 05

1 05

1 05 1 4071

1 4071

7

n

, ,

,

log , log ,

n log ,

n

05. Certo capital, ao final de quatro meses, rendeu 46,41% de juros no regime de juros compostos. Se esse mesmo capital ficasse aplicado durante dez meses, à mesma taxa a no mesmo regime, quanto renderia? Solução: Temos que:

46 41 0 4641

0 4641 1 4641

J , %C , C

M C J M C , C , C

Aplicando na fórmula do montante:

4

4

1

1 4641 1

1 4641 1

nM C i

, C C i

, i

Aqui, ou procuramos na linha de n = 4 o valor de i correspondente a 1,4641 ou aplicamos a raiz quarta em ambos os lados da igualdade. Neste caso i = 10% a.m. Então, quando n = 10 temos:

10

10

1

1 0 1

110

2 593732

nM C i

M C ,

M C ,

M , C

E os juros serão:

2 593732 1 593732 159 37

J M C

J , C C , C , %

ESTUDO DAS TAXAS

Neste tópico vamos fazer a diferenciação entre os tipos de taxas. TAXA NOMINAL – É aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização. TAXA EFETIVA – É aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com o período de capitalização.

TAXAS EQUIVALENTES – São aquelas referidas a períodos diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.

Se I e i são taxas equivalentes: 1 1n

I i , onde n é o

número de períodos que i será capitalizada em I . OBS: Nos enunciados de problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, freqüentemente se omite o período de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo indicado pela taxa. Exemplos: 01. Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 7%. Solução:

7

3

i %a.m.

I ?%a.t.

n

Assim:

3

3

1 1

1 1 0 07

1 1 07

1 225043 1

0 225043 22 50

nI i

I ,

I ,

I ,

I , , %a.t.

02. Calcular a taxa ao quadrimestre equivalente à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal. Solução: Taxa nominal - 60i %a.a com capitalização mensal

Taxa efetiva - 60

512

i %a.m. %a.m.

Taxa equivalente - I ?%a.q.

4n

4

4

1 1

1 0 05 1

1 05 1

1 215506 1

0 215506 21 60

nI i

I ,

I ,

I ,

I , , %a.q.

03. Um capital foi aplicado durante quatro anos à taxa de 8% a.a. no regime de juros simples. Caso houvesse sido aplicado a juros compostos pelo mesmo prazo, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria recebido R$ 4.856,90 a mais. Qual o capital aplicado? Solução: Juros simples:

0 08 4 0 32

0 32 1 32

S

S

J C i t C , , C

M C J C , C , C


Juros Compostos:

8

8

1

1 0 08

1 08

1 368569

n

C

C

C

C

M C i

M C ,

M C ,

M , C

Assim:

4856 90

1 368569 1 32 4856 90

0 048569 4856 90

4856 90100 000 00

0 048569

C SM M ,

, C , C ,

, C ,

,C . ,

,

O capital aplicado foi de R$ 100.000,00

CONVENÇÕES LINEAR E EXPONENCIAL Quando desejamos atualizar um capital no regime de juros compostos por um número de períodos não inteiros, podemos fazê-lo de duas maneiras: 1ª) Convenção linear – O capital é atualizado no número inteiro de períodos no regime de juros compostos e corrigido a juros simples no período fracionário. 2ª) Convenção exponencial – O montante é calculado a juros compostos sobre o período total da aplicação. Exemplo: 01. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa composta de 12% a.m., durante três meses e vinte dias produz um montante igual a:

Calculando pela convenção exponencial: 12

3 20

10 000

i %a.m.

n meses dias

C .

M ?

Aplicação a juros compostos no número inteiro de períodos

1

3

1

3

1

1

1

1

10000 1 0 12

10000 112

10000 1 404928

14049 28

nM C i

M ,

M ,

M ,

M ,

Correção a juros simples no período fracionário

220

3n dias mês

1C M

2

2

2

2

1

214049 28 1 0 12

3

14049 28 1 08

15173 22

M C i t

M , ,

M , ,

M ,

Calculando pela convenção exponencial

12

2 113 20 3

3 3

10 000

i %a.m.

n meses dias mês mês

C .

M ?

Assim:

113

113

1

10000 1 0 12

10000 112

10000 1 515186

15151 86

nM C i

M ,

M ,

M ,

M ,

Podemos verificar que o montante calculado nas duas situações é diferente. E sempre que calcularmos o montante em um período fracionário, o calculado pela convenção linear será sempre maior.

DESCONTOS COMPOSTOS

Assim como quando estudamos os descontos simples, nos descontos compostos também temos dois tipos de descontos, o comercial e o racional, e suas definições são análogas as anteriores. Desconto Comercial Composto – é o desconto que incide diretamente sobre o valor nominal período a período. Assim:

1n

A N i

Onde: A – valor atual N – valor nominal I – taxa do desconto N – número de períodos da antecipação Desconto Racional Composto – descontar um título racionalmente no regime de juros compostos é encontrar um valor atual (A) que capitalizado a taxa i se obtenha o valor nominal (N), ou seja, (N) é um montante de (A). Assim:

1n

NA

i

Onde: A – valor atual N – valor nominal I – taxa do desconto N – número de períodos da antecipação Exemplos: 01.Um título no valor de R$ 40.000,00 foi saldado três meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10% a.m.. Qual o valor recebido? Solução:


10

3

40 000

i %a.m.

n meses

N .

A ?

3

3

1

40000 1 0 10

40000 0 9

40000 0 729

29160 00

nA N i

A ,

A ,

A ,

A ,

02. Qual o valor atual de um título de valor nominal R$ 11.248,64 descontado racionalmente à taxa composta de 4% a.a., três anos antes de seu vencimento? Solução:

4

3

11 248 64

i %a.a.

n anos

N . ,

A ?

Neste problema devemos descapitalizar N por três períodos. Então:

3

3

1

11248 64

1 0 04

11248 64

1 04

11248 64

1124864

10000

n

NA

i

,A

,

,A

,

,A

,

A

03. Um título no valor de R$ 100.000,00 vencível em 6 meses deve ser substituído por dois títulos de mesmo valor, vencíveis em 3 e 10 meses, respectivamente. Se a taxa de juros compostos é de 5% a.m., qual o valor de cada título? Solução: Observe o esquema abaixo:

1 654320 10987

Vencimentodo título

Nova Parcela(P)

Nova parcela(P)

Vamos levar todas as parcelas para a data focal (mês 10). Assim a soma da parcela com vencimento no mês 10 com a parcela de vencimento no mês 3 capitalizada por sete períodos no regime de juros simples deve ser igual ao valor do título capitalizado por quatro períodos. Logo,

7 4

4

7

1 1

1 0 05 100000 1 0 05

100000 1 05 100000 1 215506

1 1 40711 1 05

121550 6050496 70

2 4071

n nP i P N i

P , P ,

, ,P

,,

,P ,

,

Exercícos 663) (ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a certa taxa, chamarmos: M1- Montante calculado no regime de juros simples; M2- Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial; M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear. Teremos: a) M3 > M 1 para qualquer t > 0 ; b) M3 = M 1 para qualquer 0 < t < 1; c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro; d) M3 < M2 quando t é inteiro; e) M2 > M1 para qualquer t > 0. 664) (CEB – Contador - IDR-94) A aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$10.358,00 b) R$10.368,00 c) R$10.378,00 d) R$ 10.388,00 665) (Metrô-Técnico em Contabilidade) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? a) R$ 26.420,00 b) R$ 26.520,00 c) R$ 26.620,00 d) R$ 26.720,00 666) (Metrô-Assistente Administrativo) Um capital de US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado: (1,05)12 = 1,79586. a) US$ 3.291,72 b) US$ 3.391,72 c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 667) (ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado: a) de $ 3.000,00; b) de $13.000,00; c) inferior a $ 13.000,00; d) superior a $ 13.000,00; e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.


668) (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial. 669) (TCDF) Um investidor aplicou a quantia de $ 100.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 4 meses? a) $ 140.410,00 b) $ 142.410,00 c) $144.410,00 d) $ 146.410,00 670) (CEB - Contador) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses? a) R$ 801,00 b) R$ 802,00 c) R$ 803,00 d) R$ 804,00 671) (TCDF) No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é então de: a) 1,00025% a.b. b) 1,0025% a.b. c) 1,025% a.b. d) 1,25% a.b. 672) (Banco Central) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b) 21 % c) 22% d) 23% e) 24% 673) (TCU) O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um desconto de 20%. O mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta. a) A melhor opção é o pagamento à vista, b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento. c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 192,00. d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 210,00. e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 252,00. 674) (AFTN/85) Uma pessoa aplicou $ 10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) $ 16.590

b) $ 16.602 c) $ 16.698 d) $ 16.705 e) $ 16.730 Obs.: (1,15)3 = 1,5209 675) (AFTN/91) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196% d) 18,174% e) 18% 676) (AFC-ESAF/93) Um título de valor inicial $ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) $ 313,84 b) $ 285,31 c) $ 281,26 d) $ 259,37 e) $ 251,81 677) (AFTN/85) Um capital de $ 100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimestral igual à inflação. Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre é de, aproximadamente: a) $ 123.065 b) $ 153.065 c) $ 202.045 d) $ 212.045 e) $ 222.045 678) (AFC-TCU/92) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio; b) 6 meses; c) 3 meses e meio; d) 5 meses; e) 3 meses. 679) (AFTN/96) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% 680) (AFTN/96) Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00%


d) 5,20% e) 4,80% 681) (CESPE/UnB) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de: a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 c) R$ 190,00 d) R$ 200,00 e) R$ 220,00 682) (CESPE/UnB) Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20% a.a., capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se esperar:

a) 5

1 05

log

log ,trimestres

b) 2

1 05

log

log , trimestres

c) 5

1 2

log

log , trimestres

d) 2

1 2

log

log , trimestres

e) 20

1 2

log

log , trimestres

683) (CESPE/UnB) A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110% 684) (CESPE/UnB) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir. a) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior. b) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes, quando produzem o mesmo montante no final de determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. c) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva. d) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada. e) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente. 685) (TCU) Deseja-se comprar um bem que custa X reais, mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, à taxa mensal de 26%, enquanto que o bem sofre mensalmente um reajuste de 20%. Considere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 = 2,021; log 0,54 = -0,27. Assinale a opção correta.

a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser adquirido com o montante obtido. b) O número n de meses necessários para o investimento alcançar o valor do bem é dado pela fórmula: X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a aquisição do bem será 23. d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele momento. e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido. 686) (CESPE/UnB) Acerca de uma aplicação realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, à taxa nominal de 42% ao ano, para o capital C1, e à taxa efetiva de 21 % ao ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo. a) A taxa nominal, para a aplicação do capital C2 , é igual a 20% ao ano. b) A taxa de capitalização semestral do capital C1, é igual a 20%. c) A taxa de capitalização semestral do capital C1, é exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C2. d) O montante do capital C 1 é 21% maior que o montante do capital C2, no prazo estabelecido para a aplicação. e) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, à mesma taxa estabelecida, o montante de C 2 (ao final do 2° ano de aplicação) será igual ao montante de C1, (ao final do 1° ano de aplicação). 687) (CEB -Contador) Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por ele? a) R$ 21.600,00 b) R$ 21.700,00 c) R$ 21.800,00 d) R$ 21.900,00 688) (TCDF) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 meses, a quantia de $ 1.000.000,00 à taxa de juros compostos de 19,9% a.m. No entanto, 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.? Considere 1,1996 = 2,97. a) $ 2.400.000,00 b) $ 2.500.000,00 c) $ 2.600.000,00 d) $ 2.700.000,00 689) (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00, 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final): a) $ 429.304,00 b) $ 440.740,00 c) $ 446.728,00 d) $ 449.785,00 e) $ 451.682,00 Obs.:


3

4

6

1 84 1 22538514

1 84 11646742

1 84 110697115

, ,

, ,

, ,

690) (ESAF) João tem um compromisso representado por 2 (duas) promissórias: uma de $ 200.000,00 e outra de $ 150.000,00, vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final): a) $ 420.829,00 b) $ 430.750,00 c) $ 445.723,00 d) $ 450.345,00 e) $ 456.703,00 691) (AFTN/85) Uma letra de câmbio no valor de $ 800.000, com vencimento daqui a 3 anos, deve ser substituída por duas letras de câmbio, de mesmo valor nominal cada, com vencimentos daqui a 2 anos e 5 anos respectivamente. Calcular o valor nominal das novas letras, sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa de juro composto do desconto é de 10% ao semestre. a) $ 511.305 b) $ 311.305 c) $ 433.382 d) $ 411.305 e) $ 382.433 692) (AFTN/91) Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate. a) US$ 751,314.80 b) US$ 750,000.00 c) US$ 748,573.00 d) US$ 729,000.00 e) US$ 700,000.00 693) (TCDF) Uma empresa estabelece uni contrato de "leasing" para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de $ 1.166.400,00, descontada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de: a) $194.089,00 b) $186.624,00 c) $ 166.400,00 d) $ 116.640,00

RENDAS CERTAS

Denominamos renda à sucessão de valores R1, R2, R3, ... usados para constituir-se um capital ou para pagamento parcelado de uma dívida. Cada um dos valores R chama-se termo ou parcela . As rendas podem ser classificadas sob diversos aspectos:

1. Quanto ao número de termos: renda temporária - o número de termos é finito. renda perpétua - o número de termos é infinito. 2. Quanto ao valor de cada termo:

renda constante - os valores dos termos são todos iguais. renda variável - os valores dos termos não são todos iguais. 3. Quanto à periodicidade dos seus termos:

renda periódica - quando os pagamentos ocorrem a intervalos de tempo iguais. renda não-periódica - quando os pagamentos não ocorrem a intervalos de tempo iguais. 4. Quanto à data de vencimento do primeiro termo: Postecipada – quando o primeiro pagamento ocorre um período após o início do negócio. Antecipada – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no dia do início do negócio. Diferida – quando o primeiro pagamento ocorre (m + 1) períodos após o início do negócio, ou seja, existem m períodos sem pagamentos. Neste tópico trabalharemos com as séries uniformes de pagamentos (rendas certas ou anuidades)

RENDA POSTECIPADA Para que possamos encontrar o valor de uma determinada renda (A) onde o primeiro pagamento é feito após um período do início do negócio, devemos fazer a soma dos termos (R) trazendo todos até a data focal zero (data do fechamento do negócio), descapitalizando cada um dos termos a juros compostos. Observe o esquema abaixo:

1 20

(A)

(R) (R) (R) (R)

1n - n......

Assim:

2 3 11 1 1 1 1

n n

R R R R RA .......

i i i i i

Esta soma corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica. Então aplicando os valores na devida fórmula, obtemos:

1 1n

iA R

i

O fator 1 1

ni

i é chamado de fator de valor atual e é

tabelado sob a notação:

1 1n

n ,i%

ia

i


Assim:

n ,i%A R a

Exemplo: 01. Um empréstimo foi financiado em cinco prestações mensais e consecutivas de R$ 1.000,00, sendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos do mercado é de 8% a.m., qual o valor do empréstimo? Solução:

1 000 00

8

5

R . ,

i %a.m.

n

A ?

5

1 1

1 1 0 081000

0 08

ni

A Ri

,A

,

Para que possamos calcular o valor da renda, devemos procurar o valor do fator de valor atual em uma tabela, ou no caso de um concurso público receber este valor, ou parte dele no enunciado. Assim, tomando o valor de

5 8, %a na tabela temos:

1000 3 992710

3 992 71

A ,

A . ,

Logo o valor da renda é R$ 3.992,71. Vamos imaginar que precisemos calcular o valor total pago após o último pagamento e chamamos esse montante de valor futuro (F).

1 20

(A)

(R) (R) (R) (R)

1n - n......

(F)

(F) corresponde a capitalizar (A) por n períodos, ou seja,

1n

F A i

1 11

1 1

n

n

n

iF R i

i

iF R

i

O fator 1 1

ni

i chamamos de fator de acumulação de

capital ou fator de valor futuro e é tabelado sob a notação:

1 1n

n ,i%

is

i

Assim, n n ,i%F R s

Portanto, no nosso exemplo 01 o valor total pago após a última prestação será:

5

5

5

5

1 0 08 11000

0 08

1000 5 86660

5 866 60

n n ,i%F R s

,F

,

F ,

F . ,

O mesmo valor futuro pode ser determinado capitalizando-se o valor atual A por 5 períodos

5

5

5

5

1

3 992 71 1 0 08

3 992 71 1 469382

5 866 60

n

nF A i

F . , ,

F . , ,

F . ,

02 . Em uma série uniforme, o valor da prestação anual de um financiamento com taxa efetiva de 8% a.a., no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor principal é R$ 10.000,00 é o prazo da operação é de quatro anos, é de? Solução:

10 000 00

8

4

A . ,

i %a.a.

n

R ?

4

4

1 1

1 1 0 0810000

0 08

10000

1 1 0 08

0 08

10000

3 312127

3019 21

ni

A Ri

,R

,

R,

,

R,

R ,

O valor de cada prestação será de R$ 3.019,21

RENDA ANTECIPADA

Conforme visto anteriormente, uma renda antecipada é uma série de pagamentos onde o primeiro é realizado exatamente na data do início do negócio. Assim:

1

1

1n ,i%

n n ,i%

A R a

F R s

Onde 1n

F é o valor futuro imediatamente após o último

pagamento. Exemplo: 01. Um televisor será pago através de uma série de 5 pagamentos mensais iguais no valor de R$ 800,00 cada, à


taxa de 10% a.m. onde o primeiro pagamento será efetuado no dia da compra. Determine o valor atual do televisor. Solução: Renda antecipada

800 00

10

5

R ,

i %a.m.

n

A ?

1

5 110

4 10

1

800 1

800 1

800 3 169865 1

800 4 169865

3335 89

n ,i%

, %

, %

A R a

A a

A a

A ,

A ,

A ,

O valor atual do televisor é R$ 3.335,89

RENDA DIFERIDA (com carência)

Na renda diferida temos a série de pagamentos iniciada após um período de carência após o fechamento do negócio. Assim, se tivermos um período m de carência, faremos uso das seguintes fórmulas:

m n ,i% m ,i%

n ,i%

A R a a

F R s

Exemplo: 01. Uma pessoa deve receber cinco prestações mensais iguais a R$ 1.000,00, com a primeira ao final de sete meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3% a.m., qual o valor atual das prestações? Solução: Renda diferida com carência de 6 meses

1 000 00

3

5

6

R . ,

i %a.m.

n

m

A ?

6 5 3 6 31000

1000 9 252624 5 417191

1000 3 83543

3835 43

m n,i% m ,i%

, % , %

A R a a

A a a

A , ,

A ,

A ,

O valor atual das prestações é de R$ 3.835,43

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Chamamos de sistemas de amortização as diferentes formas de devolução de um empréstimo. Dentre essas formas utilizadas na prática, destacamos o Sistema Francês (Tabela

Price), o Sistema das Amortizações Constantes (SAC) e o Sistema Americano. Na devolução de um empréstimo, cada prestação paga, é composta de duas parcelas: uma referente ao pagamento dos juros e outra referente a cota de amortização. Veremos a seguir as diferenças entre os sistemas citados anteriormente.

SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE)

Esta forma de amortização é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos, que pode ser antecipada, postecipada ou diferida, ou seja, tem todas as prestações fixas. Vamos trabalhar inicialmente com o que é de praxe. Com as anuidades postecipadas e havendo necessidade poderemos estender todos os conceitos para as séries antecipadas ou diferidas. Exemplo: 01. Considere a compra de um veículo no valor de R$ 20.000,00 a ser financiado em 20 prestações mensais postecipadas, pelo Sistema Francês, com juros compostos de 2% ao mês. Construa a planilha de pagamentos. Solução: Na planilha de pagamentos devem estar discriminados em cada instante o valor das prestações, as cotas de amortização e juros e o saldo devedor. Então:

20 000 00

2

20

A . ,

i %a.m.

n

R ?

20

1 1

1 1 0 0220000

0 02

20000 16 351433

20000

16 351433

1223 14

ni

A Ri

,R

,

R ,

R,

R ,

Logo o valor de cada uma das prestações será igual R$ 1.223,14 e a planilha de pagamentos ficará assim:

K Pk Jk Ak Sk0 20.000,001 1.223,14 400,00 823,14 19.176,862 1.223,14 383,54 839,60 18.337,263 1.223,14 366,75 856,39 17.480,864 1.223,14 349,62 873,52 16.607,345 1.223,14 332,15 890,99 15.716,356 1.223,14 314,33 908,81 14.807,537 1.223,14 296,15 926,99 13.880,548 1.223,14 277,61 945,53 12.935,019 1.223,14 258,70 964,44 11.970,5810 1.223,14 239,41 983,73 10.986,8511 1.223,14 219,74 1.003,40 9.983,4412 1.223,14 199,67 1.023,47 8.959,9713 1.223,14 179,20 1.043,94 7.916,0314 1.223,14 158,32 1.064,82 6.851,2115 1.223,14 137,02 1.086,12 5.765,1016 1.223,14 115,30 1.107,84 4.657,2617 1.223,14 93,15 1.129,99 3.527,2618 1.223,14 70,55 1.152,59 2.374,6719 1.223,14 47,49 1.175,65 1.199,0220 1.223,14 23,98 1.199,16


Onde: K – é p período; Pk – a prestação no período K; Jk – a cota de juros na prestação k; Ak – a cota de amortização na prestação k; Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela k. Obs: A diferença entre o último saldo devedor e o valor da cota de amortização se deve aos arredondamentos realizados ao longo da planilha. É importante notarmos que no Sistema Francês:

O valor das prestações é fixo; O valor das cotas de amortização é crescente; O valor das cotas de juros é decrescente; Última cota de amortização igual ao saldo devedor

após o pagamento da penúltima prestação; Podemos também encontrar o saldo devedor após o pagamento de cada uma das prestações através da fórmula:

k n k ,i%S R a

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Neste sistema, as cotas de amortização são constantes e dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. Então os valores das prestações serão diferentes a cada pagamento. Consideremos aqui a anuidade também na forma postecipada. Exemplo: 01. Considere a compra de um veículo no valor de R$ 20.000,00 a ser financiado em 20 prestações mensais postecipadas, pelo SAC, com juros compostos de 2% ao mês. Construa a planilha de pagamentos. Solução: Na planilha de pagamentos devem estar discriminados em cada instante o valor das prestações, as cotas de amortização e juros e o saldo devedor. Então:

20 000 00

2

20

A . ,

i %a.m.

n

20000

100020

k

AA

n

O valor de cada cota de amortização será de R$ 1.000,00 O valor de cada prestação será a soma da cota de amortização com a cota dos juros calculada sempre sobre o último saldo devedor.

k Pk Jk Ak Sk0 20.000,001 1.400,00 400,00 1.000,00 19.000,002 1.380,00 380,00 1.000,00 18.000,003 1.360,00 360,00 1.000,00 17.000,004 1.340,00 340,00 1.000,00 16.000,005 1.320,00 320,00 1.000,00 15.000,006 1.300,00 300,00 1.000,00 14.000,007 1.280,00 280,00 1.000,00 13.000,008 1.260,00 260,00 1.000,00 12.000,009 1.240,00 240,00 1.000,00 11.000,0010 1.220,00 220,00 1.000,00 10.000,0011 1.200,00 200,00 1.000,00 9.000,0012 1.180,00 180,00 1.000,00 8.000,0013 1.160,00 160,00 1.000,00 7.000,0014 1.140,00 140,00 1.000,00 6.000,0015 1.120,00 120,00 1.000,00 5.000,0016 1.100,00 100,00 1.000,00 4.000,0017 1.080,00 80,00 1.000,00 3.000,0018 1.060,00 60,00 1.000,00 2.000,0019 1.040,00 40,00 1.000,00 1.000,0020 1.020,00 20,00 1.000,00

Onde: K – é p período; Pk – a prestação no período K; Jk – a cota de juros na prestação k; Ak – a cota de amortização na prestação k; Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela k. É importante notarmos que no SAC:

As cotas de amortização são constantes; Prestações com valores decrescentes; Saldo devedor decrescente em forma de P.A.; Última cota de amortização igual ao saldo devedor

após o pagamento da última parcela.

SISTEMA AMERICANO

Nesta forma de amortização durante todo o período de financiamento são devolvidos apenas os juros e na última data é que ocorre o pagamento do empréstimo acrescido dos juros de um período. Exemplo: 01. Considere a compra de um veículo no valor de R$ 20.000,00 a ser financiado em 20 prestações mensais postecipadas, pelo Sistema Americano, com juros compostos de 2% ao mês. Construa a planilha de pagamentos. Solução: Na planilha de pagamentos devem estar discriminados em cada instante o valor das prestações, as cotas de amortização e juros e o saldo devedor. Então:

20 000 00

2

20

A . ,

i %a.m.

n


K Pk Jk Ak Sk0 20.000,001 400,00 400,00 0,00 20.000,002 400,00 400,00 0,00 20.000,003 400,00 400,00 0,00 20.000,004 400,00 400,00 0,00 20.000,005 400,00 400,00 0,00 20.000,006 400,00 400,00 0,00 20.000,007 400,00 400,00 0,00 20.000,008 400,00 400,00 0,00 20.000,009 400,00 400,00 0,00 20.000,0010 400,00 400,00 0,00 20.000,0011 400,00 400,00 0,00 20.000,0012 400,00 400,00 0,00 20.000,0013 400,00 400,00 0,00 20.000,0014 400,00 400,00 0,00 20.000,0015 400,00 400,00 0,00 20.000,0016 400,00 400,00 0,00 20.000,0017 400,00 400,00 0,00 20.000,0018 400,00 400,00 0,00 20.000,0019 400,00 400,00 0,00 20.000,0020 20.400,00 400,00 20.000,00

Onde: K – é p período;

Pk – a prestação no período K; Jk – a cota de juros na prestação k; Ak – a cota de amortização na prestação k; Sk – o saldo devedor após o pagamento da parcela k.

CONCLUSÕES FINAIS SOBRE OS SISTEMAS DE

AMORTIZAÇÃO

Geralmente as prestações são postecipadas. Caso contrário o problema fará referência;

Quando a taxa estiver se referindo a um período diferente do período das prestações será uma taxa nominal;

A primeira prestação será maior no SAC; No sistema Americano são pagas as maiores cotas

de juros. Exercícios

694) (Banco Central) Depositando mensalmente 10 URVs em um fundo que rende 1 % ao mês, o montante imediatamente após o 20° depósito será de: a) 244,04 URVs b) 240 URVs c) 220,2 URVs d) 220 URVs e) 202 URVs 695) (Banco Central) Tomou-se um empréstimo de 100 URVs, para pagamento em 10 prestações mensais sucessivas iguais, a juros de 1% ao mês, a primeira prestação sendo paga um mês após o empréstimo. O valor de cada prestação é de, aproximadamente: a) 10,8 URVs b) 10,6 URVs c) 10,4 URVs d) 10,2 URVs e) 10 URVs 696) (ESAF) O preço de um automóvel é de $ 500.000,00. Um comprador ofereceu $ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m.. O valor de cada prestação, desprezados os centavos, é: a) $ 36.847

b) $ 25.847 c) $ 31.847 d) $ 33.847 e) $ 30.847 697) (ESAF) Uma roupa é vendida por $ 4.000,00 à vista ou financiada em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., utilizando-se a tabela "price". A 1ª prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente: a) $ 848 e 24,8% b) $ 858 e 26,8% c) $ 878 e 26,8% d) $ 848 e 26,8% e) $ 858 e 24,8% 698) (AFTN) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 699) (AFTN) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 b) $ 10.800,00 c) $ 11.881,00 d) $ 12.433,33 e) $ 12.600,00 700) (CESPE/UnB) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes. a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação c o valor da parcela de juros. b) A medida que a parcela referente aos juros diminui, a parcela referente à amortização do capital aumenta. c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a R$ 522.235,57. d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes aproximadamente a R$ 52.223,56. e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação.


Anexos – tabelas financeiras

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032

4 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100 1,573519 1,749006 1,938778

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510 1,762342 2,011357 2,287758

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973823 2,313061 2,699554

7 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474

8 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589 2,475963 3,059023 3,758859

9 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948 2,773079 3,517876 4,435454

10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742 3,105848 4,045558 5,233836

11 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117 3,478550 4,652391 6,175926

12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428 3,895976 5,350250 7,287593

13 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271 4,363493 6,152788 8,599359

14 1,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244

15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248 5,473566 8,137062 11,973748

16 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973 6,130394 9,357621 14,129023

17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866041 10,761264 16,672247

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375454 19,673251

19 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909 8,612762 14,231772 23,214436

20 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500 9,646293 16,366537 27,393035

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL - (1+ i)n

1% 2% 3% 4% 18%i% n

9% 10% 12% 15%5% 6% 7% 8%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 0,892857 0,869565 0,847458

2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 1,690051 1,625709 1,565642

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 2,401831 2,283225 2,174273

4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 3,037349 2,854978 2,690062

5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 3,604776 3,352155 3,127171

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261 4,111407 3,784483 3,497603

7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 4,563757 4,160420 3,811528

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 4,967640 4,487322 4,077566

9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 5,328250 4,771584 4,303022

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567 5,650223 5,018769 4,494086

11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,498674 7,138964 6,805191 6,495061 5,937699 5,233712 4,656005

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 6,194374 5,420619 4,793225

13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357651 7,903776 7,486904 7,103356 6,423548 5,583147 4,909513

14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 6,628168 5,724476 5,008062

15 13,865053 12,849264 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559479 8,060688 7,606080 6,810864 5,847370 5,091578

16 14,717874 13,577709 12,561102 11,652296 10,837770 10,105895 9,446649 8,851369 8,312558 7,823709 6,973986 5,954235 5,162354

17 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066 10,477260 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553 7,119630 6,047161 5,222334

18 16,398269 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827603 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 7,249670 6,127966 5,273164

19 17,226008 15,678462 14,323799 13,133939 12,085321 11,158116 10,335595 9,603599 8,950115 8,364920 7,365777 6,198231 5,316241

20 18,045553 16,351433 14,877475 13,590326 12,462210 11,469921 10,594014 9,818147 9,128546 8,513564 7,469444 6,259331 5,352746

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS -

i% n

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 18%9% 10% 12% 15%

1 1n

i

i

1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000

2 2,01000 2,02000 2,03000 2,04000 2,05000 2,06000 2,07000 2,08000 2,09000 2,10000 2,12000 2,15000 2,18000

3 3,03010 3,06040 3,09090 3,12160 3,15250 3,18360 3,21490 3,24640 3,27810 3,31000 3,37440 3,47250 3,57240

4 4,06040 4,12161 4,18363 4,24646 4,31013 4,37462 4,43994 4,50611 4,57313 4,64100 4,77933 4,99338 5,21543

5 5,10101 5,20404 5,30914 5,41632 5,52563 5,63709 5,75074 5,86660 5,98471 6,10510 6,35285 6,74238 7,15421

6 6,15202 6,30812 6,46841 6,63298 6,80191 6,97532 7,15329 7,33593 7,52333 7,71561 8,11519 8,75374 9,44197

7 7,21354 7,43428 7,66246 7,89829 8,14201 8,39384 8,65402 8,92280 9,20043 9,48717 10,08901 11,06680 12,14152

8 8,28567 8,58297 8,89234 9,21423 9,54911 9,89747 10,25980 10,63663 11,02847 11,43589 12,29969 13,72682 15,32700

9 9,36853 9,75463 10,15911 10,58280 11,02656 11,49132 11,97799 12,48756 13,02104 13,57948 14,77566 16,78584 19,08585

10 10,46221 10,94972 11,46388 12,00611 12,57789 13,18079 13,81645 14,48656 15,19293 15,93742 17,54874 20,30372 23,52131

11 11,56683 12,16872 12,80780 13,48635 14,20679 14,97164 15,78360 16,64549 17,56029 18,53117 20,65458 24,34928 28,75514

12 12,68250 13,41209 14,19203 15,02581 15,91713 16,86994 17,88845 18,97713 20,14072 21,38428 24,13313 29,00167 34,93107

13 13,80933 14,68033 15,61779 16,62684 17,71298 18,88214 20,14064 21,49530 22,95338 24,52271 28,02911 34,35192 42,21866

14 14,94742 15,97394 17,08632 18,29191 19,59863 21,01507 22,55049 24,21492 26,01919 27,97498 32,39260 40,50471 50,81802

15 16,09690 17,29342 18,59891 20,02359 21,57856 23,27597 25,12902 27,15211 29,36092 31,77248 37,27971 47,58041 60,96527

16 17,25786 18,63929 20,15688 21,82453 23,65749 25,67253 27,88805 30,32428 33,00340 35,94973 42,75328 55,71747 72,93901

17 18,43044 20,01207 21,76159 23,69751 25,84037 28,21288 30,84022 33,75023 36,97370 40,54470 48,88367 65,07509 87,06804

18 19,61475 21,41231 23,41444 25,64541 28,13238 30,90565 33,99903 37,45024 41,30134 45,59917 55,74971 75,83636 103,74028

19 20,81090 22,84056 25,11687 27,67123 30,53900 33,75999 37,37896 41,44626 46,01846 51,15909 63,43968 88,21181 123,41353

20 22,01900 24,29737 26,87037 29,77808 33,06595 36,78559 40,99549 45,76196 51,16012 57,27500 72,05244 102,44358 146,62797

18%9% 10% 12% 15%

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS -

i% n

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

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