Apostila matematica cefet

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

DE MINAS GERAIS

CCCuuurrrsssooo PPPrrróóó---TTTééécccnnniiicccooo Disciplina:

Matemática TTeexxttoo EExxppeerriimmeennttaall –– 11aa EEddiiççããoo

Antonio José Bento Bottion e

Paulo Henrique Cruz Pereira

Varginha – Minas Gerais

ii

Dezembro de 2006

Álgebra

Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif

Geometria

Fonte: http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif

....................................................................................... Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha

Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

iii

MATEMÁTICA I Prof. Antônio José Bento Bottion

ÍNDICE

1. TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 1

1.1. SIMBOLOGIA ....................................................................................................................................... 1

1.2. CONCEITOS PRIMITIVOS....................................................................................................................... 1

1.3. REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO................................................................................................... 2

1.4. MAIS DOIS POSTULADOS...................................................................................................................... 3

1.5. DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO .............................................................................................................. 3

1.6. TEOREMAS ......................................................................................................................................... 4

1.7. COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 5

1.8. CONJUNTO UNIVERSO ......................................................................................................................... 5

1.9. UNIÃO ................................................................................................................................................ 6

1.10. INTERSECÇÃO..................................................................................................................................... 7

1.11. DIFERENÇA......................................................................................................................................... 8

1.12. PAR ORDENADO ................................................................................................................................ 10

1.13. PRODUTO CARTESIANO ..................................................................................................................... 10

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................................................... 11

2.1. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS ........................................................................................ 11

2.2. NÚMEROS RACIONAIS ........................................................................................................................ 11

2.3. NÚMEROS IRRACIONAIS ..................................................................................................................... 13

2.4. NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................... 13

2.5. TEOREMAS ....................................................................................................................................... 14

2.6. OUTRAS NOTAÇÕES .......................................................................................................................... 15

2.7. INTERVALOS ..................................................................................................................................... 16

3. ARITMÉTICA DOS INTEIROS ............................................................................................................... 16

3.1. MÚLTIPLO E DIVISOR ......................................................................................................................... 16

3.2. NÚMERO PAR.................................................................................................................................... 17

3.3. TEOREMA ......................................................................................................................................... 19

3.4. NÚMERO PRIMO ................................................................................................................................ 20

3.5. NÚMERO COMPOSTO......................................................................................................................... 20

3.6. TEOREMA ......................................................................................................................................... 20

3.7. FORMA FATORADA ............................................................................................................................ 22

3.8. DIVISÃO EUCLIDIANA ......................................................................................................................... 24

3.9. MÁXIMO DIVISOR COMUM................................................................................................................... 25



iv

3.10. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI .............................................................................................................. 26

3.11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................................................. 26

3.12. TEOREMA ......................................................................................................................................... 27

4. TÉCNICAS DE FATORAÇÃO................................................................................................................ 28

4.1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA .................................................................................................................... 28

4.2. VALOR NUMÉRICO ............................................................................................................................. 28

4.3. FATORAR – DESENVOLVER................................................................................................................ 29

4.4. CASOS DE FATORAÇÃO...................................................................................................................... 30

5. POTENCIAÇÃO...................................................................................................................................... 40

5.1. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 40

5.2. DEFINIÇÕES...................................................................................................................................... 41

5.3. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES........................................................................................................ 43

5.4. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ........................................................................................................ 44

5.5. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................................ 47

5.6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................................................ 49

5.7. RESUMO........................................................................................................................................... 50

6. RADICIAÇÃO.......................................................................................................................................... 52

6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 52

6.2. GENERALIZAÇÃO............................................................................................................................... 52

6.3. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 53

6.4. PROPRIEDADES DOS RADICAIS ........................................................................................................... 55

6.5. REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE .......................................................................................... 58

6.6. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................. 59

6.7. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL.................................................................................................... 60

6.8. RADICANDO NEGATIVO ...................................................................................................................... 61

6.9. PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 62

7. EQUAÇÃO DO 2º GRAU........................................................................................................................ 63

7.1. DEFINIÇÃO........................................................................................................................................ 63

7.2. RAIZ DA EQUAÇÃO............................................................................................................................. 63

7.3. CONJUNTO SOLUÇÃO ........................................................................................................................ 64

7.4. FÓRMULA RESOLUTIVA ...................................................................................................................... 64

7.5. OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 64

7.6. EQUAÇÕES INCOMPLETAS ................................................................................................................. 66

7.7. A FORMA FATORADA.......................................................................................................................... 66

7.8. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES ........................................................................................................... 67

7.9. EQUAÇÕES BIQUADRADAS ................................................................................................................. 69

8. TEORIA DAS FUNÇÕES........................................................................................................................ 71

8.1. FUNÇÃO DE A EM B........................................................................................................................... 71



v

8.2. UMA OUTRA NOTAÇÃO ....................................................................................................................... 72

8.3. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL ............................................................................. 74

8.4. CONJUNTO IMAGEM........................................................................................................................... 75

8.5. GRÁFICO .......................................................................................................................................... 77

8.6. CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO ......................................................................................................... 79

8.7. CONJUNTO SIMÉTRICO ...................................................................................................................... 81

8.8. PARIDADE DE UMA FUNÇÃO................................................................................................................ 81

9. A FUNÇÃO DO 1° GRAU....................................................................................................................... 83

9.1. FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU.............................................................................................................. 83

9.2. TEOREMA ......................................................................................................................................... 86

10. A FUNÇÃO DO 2° GRAU................................................................................................................... 88

10.1. FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 88

10.2. A PARÁBOLA ..................................................................................................................................... 88

10.3. CONSIDERAÇÕES .............................................................................................................................. 90

............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha

Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

1. Teoria dos conjuntos

1.1. Simbologia

Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos:

Símbolo Leia-se

( )x∀ para todo x

( )x∃ existe x

( )x∃ existe um único x

P Q⇒ se P, então Q

P Q⇔ P se, e somente se, Q

Na implicação P Q⇒ , deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se a

proposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença ( ) ( )x 5 x 3> ⇒ > é

VERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que 3, enquanto que a sentença

( ) ( )x 3 x 5> ⇒ > é FALSA, pois existem números maiores que 3, que não são maiores que 5.

A bi-implicação P Q⇔ é equivalente à sentença ( ) ( )P Q Q P⇒ ∧ ⇒ .

Assim, por exemplo, x 5 x 1 6= ⇔ + = é uma sentença verdadeira, pois as sentenças

x 5 x 1 6= ⇒ + = e x 1 6 x 5+ = ⇒ = são ambas verdadeiras.

1.2. Conceitos primitivos

O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos:

− conjunto − elemento de um conjunto − igualdade de conjuntos

Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x A∈ (leia-se também x

pertence a A.)

A notação x A∉ significa que x não é elemento do conjunto A.

É importante observar que acima não consta o conceito de “elemento”, e sim o conceito de

“elemento de um conjunto”. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-se

apenas se x é ou não elemento de um dado conjunto.



1.3. Representações de um conjunto

Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), são

usadas as seguintes representações:

− {e1, e2, ..., en}, onde e1, e2, ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição.

− ( ){ }x A :S x∈ , onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por

finalidade selecionar elementos de A; por exemplo, { }x A :x 5∈ > .

Adotaremos também o seguinte postulado:

Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então os

conjuntos A e B são iguais.

Exemplo 1

{ } { }1,2 2,1= e { } { }1,2 1,2,1, 2, 2=

Exemplo 2

Sendo { }0,1, 2,...,10,11,...=ℕ o conjunto dos números naturais, quantos são os

elementos do referido conjunto: { }x :2x 5 17∈ + ≤ℕ ?

2x 5 17 2x 12+ ≤ ⇒ ≤ e 2x 12 x 6≤ ⇒ ≤

Tem-se então que x 6≤ e { }x 0,1,2,3, 4,5,6∈ .

Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7

elementos.

Resposta: 7.

Exemplo 3

Quais são os elementos do conjunto ℕ dos números naturais que satisfazem à condição

S(x) :x 2 1+ ≤ ?

x 2 1 x 1+ ≤ ⇒ ≤ −

Repare que não há número natural que satisfaz tal condição.

Resposta: Nenhum.



1.4. Mais dois postulados

Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o

“nada”, como no último exemplo, vamos estabelecer que:

Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos,

sem preferência por { } ou por ∅ (Postulado).

Sendo assim, podemos voltar ao item 2 e obter maior precisão, se ficar estabelecido que:

Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos uma

vez sem ser introduzida por “existe x”, nem por “para todo x”, existe sempre um conjunto B tal que

( ){ }B x A :S x= ∈ (Postulado).

Assim,

{ } { }x :2x 5 17 0,1,2,3, 4,5,6∈ + ≤ =ℕ e

{ } { }x :x 2 1∈ + ≤ = = ∅ℕ

1.5. Definição de subconjunto

Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todo

elemento de B é elemento de A.

Notação: B A⊂ (leia-se B está contido em A).

( )( )B A x x B x A⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn.

Por outro lado, tem-se que B A⊄ se, e somente se, existir pelo menos um elemento de

B que não é elemento de A.



Em símbolos:

( ) ( )B A x x B e x A⊄ ⇔ ∃ ∈ ∉

Exemplo 4

Dado o conjunto { }{ }A 1,2,3, 3,4= , classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma

das seguintes proposições:

a) A possui quatro elementos ( ) b) 1 A∈ e 2 A∈ ( )

c) { }1,2 A⊂ ( )

d) { }3,4 A⊂ ( )

e) { }{ }3,4 A⊂ ( )

O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1, 2, 3 e o conjunto binário { }3,4 ;

portanto, tem-se que 1 A∈ , 2 A∈ , 3 A∈ e { }3,4 A∈ .

{ }1,2 A⊂ , pois 1 e 2 são elementos de A

{ }3,4 A⊄ , pois 4 não é elemento de A

{ }{ }3,4 A⊂ , pois { }3,4 é elemento de A

Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d).

1.6. Teoremas

Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A.

Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que não

pertencesse a A (o que é absurdo).

Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A.

Pois todo elemento de A é elemento de A.

Tem-se então que ( )( )A A A∀ ⊂ , mesmo com A = { }.

Repare ainda que a expressão “todo elemento de A” não implica que o conjunto A tenha

elementos. Assim, por exemplo, a afirmação “Toda tarefa deve ser cumprida.” não implica que

haja tarefa.



Sendo A e B conjuntos, tem-se que:

A B⊂ e B A⊂ se, e somente se, A = B.

Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de

A é 2n.

O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado “o conjunto das partes de A” e será

indicado por P(A).

Exemplo 5

Dado o conjunto { }A 1,2,3= , obter o conjunto das partes de A.

Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que o número de seus subconjuntos é

23 = 8. Os subconjuntos de A são:

{ }

{1} {2} {3}

{1,2} {1,3} {2,3}

A

Resposta:

O conjunto das partes de A é

P(A)= {{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}

1.7. Complementar

Dados os conjuntos A e B, com B A⊂ , chama-se de complementar de B em relação a A

ao conjunto:

{ }ACB x A :x B= ∈ ∉

1.8. Conjunto universo

Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, que

contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjunto

universo.



Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A ao

conjunto:

{ }UA CA x U :x A= = ∈ ∉

Exemplo 6

Considerando como universo o conjunto { }U 0,1, 2,3,4,5,6= , e dados os conjuntos

{ }A 1,2,3,4= e { }B 2,4= , tem-se que:

O complementar de B em relação a A é { }ACB 1,3= .

O complementar de A em relação a A é { }ACA = .

O complementar de B é { }B 0,1,3,5,6= .

O complementar de A é { }A 0,5,6= .

1.9. União

Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com B

ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B.

{ }A B x U :x A ou x B∪ = ∈ ∈ ∈

Exemplo 7

a) { } { } { }1,2,3, 4 3,4,5 1,2,3, 4,5∪ =

b) { } { } { }3,4,5 1, 2,3,4 1,2,3, 4,5∪ =



c) { } { } { }1,2,3, 4 3,4 1,2,3, 4∪ =

d) { } { } { }1,2,3, 4 1, 2,3,4∪ =

Propriedades:

A B B A∪ = ∪

B A A B A⊂ ⇒ ∪ =

{ }A A∪ =

( ) ( )A B C A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪

1.10. Intersecção

Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B ao

conjunto dos elementos comuns a A e B.

{ }A B x U :x A e x B∩ = ∈ ∈ ∈

Exemplo 8

a) { } { } { }1,2,3, 4 3,4,5 3,4∩ =

b) { } { } { }3,4,5 1,2,3, 4 3,4∩ =

c) { } { } { }1,2,3, 4 3,4 3,4∩ =

d) { } { } { }1,2,3, 4 ∩ =

Propriedades:

A B B A∩ = ∩

B A A B B⊂ ⇔ ∩ =

{ } { }A∩ =

( ) ( ) ( ) ( )A B C A B C A B C A B A B∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ⊂ ∪



1.11. Diferença

Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nesta

ordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

{ }A B x U :x A e x B− = ∈ ∈ ∉

Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B em

relação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A.

Exemplo 9

a) { } { } { }1,2,3, 4 3, 4,5 1,2− =

b) { } { } { }3,4,5 1,2,3, 4 5− =

c) { } { } { }1,2 1,2− =

d) { } { } { }1,2− =

Propriedades:

( )A B A− ⊂

{ }A A− =

{ } { }A− =

AB A A B CB⊂ ⇔ − =

( )A A B A B− ∩ = −

Exemplo 10

Dados os conjuntos { }A 1,2,3,4= e { }B 3,4,5,6,7= , obter os conjuntos A B∩ ,

A B∪ , A B− e B A− .

{ }A B 3,4∩ =

{ }A B 1,2,3, 4,5,6,7∪ =

{ }A B 1,2− =

{ }B A 5,6,7− =



Exemplo 11

Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é { }A e,f ,g, h,i=

{ }A B a,b,c,d,e, f ,g∪ =

{ }A B c,d∩ =

Obter os conjuntos A e B.

{ }A B c,d∩ = ⇒ c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum.

a A a A∉ ⇒ ∈ e ( )a A B∉ ∩

Logo, ( )a A B∈ − .

Analogamente, conclui-se que ( )b A B∈ − .

e A e A∈ ⇒ ∈ e

( )e A B∉ ∪

Logo, ( )e B A∈ − .

Analogamente para f, g.

Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a A B∪ .

Resposta: { }A a,b,c,d= e { }B c,d,e, f ,g=

Exemplo 12

Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção,

constatou-se que:

300 alunos acertaram somente um dos problemas

260 acertaram o segundo

100 acertaram os dois

210 erraram o primeiro

Quantos alunos fizeram esta prova?



Resolução:

Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima,

segue que:

( )( )( )( )

x z 300 1

y z 260 2

y 100 3

z w 210 4

+ = + = = + =

Das equações (3) e (2) tem-se que z = 160.

Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de x

e w; x = 140 e w = 50.

O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = 450.

1.12. Par ordenado

Sabemos que { }a,b representam o mesmo conjunto.

No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para isto

existe o conceito de par ordenado.

Definição: ( ) { } { }{ }a, b a , a, b=

Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição,

é fácil concluir que, se a b≠ , então ( ) ( )a, b b,a≠ , pois ( ) { } { }{ }b,a b , b,a= , que é diferente

de { } { }{ }a , a, b .

1.13. Produto cartesiano

Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, ao

conjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B.

( ){ }A B x, y : x A e y B× = ∈ ∈

Exemplo 13

Dados os conjuntos { }A 1,2,3= e { }B 4,5= , obtenha os produtos cartesianos AXB,

BXA e B2=BXB.



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }A B 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5× =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B A 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 , 5,2 , 5,3× =

( ) ( ) ( ) ( ){ }2B 4,4 , 4,5 , 5, 4 , 5,5=

Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode não

ser igual a BXA.

2. Conjuntos numéricos

2.1. Números naturais e números inteiros

O conjunto dos números naturais { }0,1, 2,... , n, ... será representado por ℕ , e o

conjunto dos números inteiros { }..., 2, 1,0,1,2, ...− − , por ℤ . Repare que todo natural é inteiro,

isto é, ℕ éum subconjunto de ℤ .

2.2. Números racionais

Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma a

b, onde

a e b são inteiros quaisquer, com b 0≠ .

Assim, os números 55

1

=

e -0,333333...1

3

− =

são dois exemplos de números

racionais.

O conjunto dos números racionais é expresso por ℚ .

Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que ℤ ⊂ ℚ .

ℚ

ℕ

ℤ

Exemplo 1

Obter uma representação decimal para os números:



a) 3

16 b)

9

7

Resolução:

a) 3, 16

30 0,1875

140

120

80

0

b) 9, 7

20 1,285714285714...285714...

60

40

50

10

30

20

Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode ser

expresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódica

infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma

seqüência de algarismos).

Exemplo 2

Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes):

a) -1,23456 b) 5,644444...4... c) 5,645454545...45...

Resolução:

a) 1,23456 123456

f1 100000

− −= =

b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II). Calculando a diferença (II) – (I):

10f 56,44444...4...

f 5,644444...4...

9f 50,8

=

= −

=

e, portanto, 50,8 508

f9 90

= =

c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando por 100, segue que 100f=564,54545454... (II). Calculando a diferença (II) – (I): 100f 564,54545454...

f 5,64545454...

99f 558,9

=

= −

=



e, portanto, 558,9 5589

f99 990

= =

Resposta:

a) 123456

100000

− b)

508

90 c)

5589

990

Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional.

Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0,999...9... é uma outra

representação do número 1 (um).

2.3. Números irracionais

Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos de

números irracionais, podemos citar:

3,1415926535...

2 1,4142135623...

3 1,7320508075...

π=

=

=

Os números irracionais não podem ser expressos na forma a

b, com a e b inteiros e

b 0≠ .

2.4. Números reais

A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dos

números reais (ℝ ).

Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais,

de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um único

ponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéia

é construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos.

Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real.



2.5. Teoremas

− Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m ⋅ n e mn são todos naturais. (Lembre-se de que 00 = 1.)

− Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h ⋅ k são todos inteiros.

− Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r ⋅ s e r

s são todos racionais. (Em

r

s, devemos ter

s 0≠ .) − Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional. − Sendo r, r 0≠ , um racional e x um número irracional, tem-se que r ⋅ x é irracional.

− Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que 1

x é irracional.

− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais.

− Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais.

Exemplo 3

Quantos são os elementos do conjunto { }x /10 2 x 10 3∈ < <ℕ ?

Resolução:

2 1,41... 10 2 14,1... e

3 1,73... 10 3 17,3...

= ⇒ =

= ⇒ =

Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17.

Resposta: 3

Exemplo 4

(G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x ⋅⋅⋅⋅ y é irracional b) y ⋅⋅⋅⋅ y é irracional c) x + y é racional

d) x y 2− + é irracional

e) x + 2y é irracional

Resolução:

Vejamos cada uma das alternativas:

a) (FALSA) Se x for igual a zero, x ⋅ y = 0, que é racional.

b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y 3= , segue que y ⋅ y = 3 que é racional.

c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional.



d) (FALSA) Se y 2= , x y 2 x− + = , que é racional.

e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional. Resposta: e

Exemplo 5

Mostre que o número 3 2 2 3 2 2+ + − é irracional.

Resolução:

Seja x 3 2 2 3 2 2= + + − .

Observe que x é um número real positivo.

Segue que:

( ) ( )2x 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2= + + − + + −

( )( )2x 6 2 3 2 2 3 2 2= + + −

2x 6 2 9 8= + −

2x 8=

E como x > 0, tem-se que x 2 2= , que é irracional.

2.6. Outras notações

Sendo A um dos conjuntos ℤ , ℚ ou ℝ , usaremos ainda as seguintes notações:

A∗ para indicar { }x A / x 0∈ ≠

A+ para indicar { }x A / x 0∈ ≥ (os não negativos)

A∗+ para indicar { }x A / x 0∈ > (os positivos)

A− para indicar { }x A / x 0∈ ≤ (os não positivos)

A∗− para indicar { }x A / x 0∈ < (os negativos)

Assim, por exemplo, +ℝ é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, o

conjunto { }x / x 0∈ ≥ℝ .



2.7. Intervalos

Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de ℝ ,

chamados de intervalos:

[ ] { }a, b x |a x b= ∈ ≤ ≤ℝ (intervalo fechado)

] [ { }a,b x |a x b= ∈ < <ℝ (intervalo aberto)

[ [ { }a, b x |a x b= ∈ ≤ <ℝ (intervalo fechado só à esquerda)

] ] { }a,b x |a x b= ∈ < ≤ℝ

[ [ { }a, x | x a+∞ = ∈ ≥ℝ

] [ { }a, x | x a+∞ = ∈ >ℝ

] ] { }, a x | x a−∞ = ∈ ≤ℝ

] [ { }, a x | x a−∞ = ∈ <ℝ

Exemplo 6

Obter [ ] ] [2,10 5,12∩ .

Resolução:

[ ]2,10 :

] [5,12 :

[ ] ] [2,10 5,12∩

Resposta: ] ]5,10

3. Aritmética dos inteiros

3.1. Múltiplo e divisor



Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existir

um inteiro k tal que m = k ⋅ d.

Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m.

3.2. Número par

Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de 2.

Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar.

Exemplo 1

Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e +500.

Resolução:

Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -42, -35, ... , an), cujo

primeiro termo é a1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é an.

Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500.

Como ( )n 1a a n 1 r= + − ⋅ , segue que:

-49 + (n – 1) ⋅ 7 < 500

-49 + 7n < 556

O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79.

Resposta: 79

Exemplo 2

Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos.

Resolução:

Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo,

tem-se que

( ) ( ) ( ) ( )x 4 x 2 x x 2 x 4 1995− + − + + + + + =

5x 1995= , ou ainda, x = 399.

Resposta: 395 + 397 + 399 + 401 + 403



Exemplo 3

Seja um inteiro tal que a2 é ímpar. Prove que a é ímpar.

Demosntração:

(Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = 2k, com k inteiro.

Segue que a2 = 4n2, ou seja, a2 é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese.

Observações importantes:

Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de 2, pode ser representado,

indiferentemente, pela expressão 2k + 1, ou por 2k – 1, com k inteiro, pois sempre existem dois

números pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro.

Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18.

Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de 3.

Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma 3k + 1 e afirmar que x é da

forma 3k – 1, onde k é um inteiro.

Assim, por exemplo, o número 4 é da forma 3k + 1 e não da forma 3k – 1, enquanto o

número 5 é da forma 3k – 1, sempre considerando k inteiro.

Observe que todo inteiro não múltiplo de 3, ou é da forma 3k + 1, ou é da forma 3k–1.

Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro:

- Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas:

5k + 1, 5k – 1, 5k + 2, 5k - 2

Exemplo 4

Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a2 ou o sucessor de a2

é um múltiplo de 5.

Demosntração:

Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k + 2.

No primeiro caso, tem-se que:

2 2a 25k 10k 4= + + , isto é, ( )2 2a 1 5 5k 2k− = +

No segundo caso, tem-se que:

2 2a 25k 10k 4= + + e, portanto:

( )2 2 2a 1 25k 10k 5 5 5k 2k 1 (c.q.d.)+ = + + = + +



3.3. Teorema

Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y.

Justificativa:

Existe um inteiro k1 tal que x = d ⋅ k1

Existe um inteiro k2 tal que x + y = d ⋅ k2

Logo, d ⋅ k1 + y = d ⋅ k2

y = d ⋅ k2 - d ⋅ k1

y = d ⋅ (k2 – k1)

Como k2 – k1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y.

(c.q.d.)

Exemplo 5

Obter os valores inteiros de n de modo que n + 3 seja um divisor de n + 13.

Resolução:

n + 3 é divisor de n + 11

n + 3 é divisor de n + 3 + 8 (*)

n + 3 é divisor de n + 3 (**)

De (*) e (**) segue que:

n + 3 é divisor de 8

Portanto,

{ }n 3 1,2, 4,8, 1, 2, 4, 8+ ∈ − − − −

{ }n 2, 1,1,5, 4, 5, 7, 11∈ − − − − − −

Resposta: -2, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11.

Exemplo 6

Mostre que um inteiro ℕ com quatro algarismos é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma

dos algarismos for múltiplo de 3.

Demosntração:



Seja ( )a, b,c,d=ℕ , isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o das

dezenas e d o das unidades.

1000a 100b 10c d= + + +ℕ

999a 99b 9c a b c d= + + + + + +ℕ

( )3 333a 33b 3c a b c d= + + + + + +ℕ

1a parte: se a + b + c + d = 3m, então ℕ é obviamente múltiplo de 3.

2a parte: se ℕ for um múltiplo de 3, isto é, ℕ = 3h, então

( )3h 3 333a 33b 3c a b c d= + + + + + +

( )3h 3 333a 33b 3c a b c d− + + = + + +

Logo, a + b + c + d é múltiplo de 3. (c.q.d.)

Observação:

Esta regra de divisibilidade por 3 vale para todos os inteiros, independentemente do

número de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por 9.

3.4. Número primo

Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuir

quatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e –p.)

3.5. Número composto

Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados de

números compostos.

Observações:

− Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos. − Os números 2 e -2 são os únicos números primos e pares. − Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo.

3.6. Teorema

Existem infinitos números primos.



Demosntração:

Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p1, p2, p3, ... , pn e

consideremos o número p = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn + 1.

Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é um

número composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p.

Seja pk, com 1<k<n, este divisor.

Como pk é divisor de p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn e pk é divisor de p, conclui-se que pk é divisor de 1,

o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1. (c.q.d.)

Exemplo 7

Verificar se 251 é primo.

Resolução:

O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como o

crivo de Erastótenes.

Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superem

o número 251.

2

2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 (Note que 16 251)>

O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor do

número 251. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não for

divisor, então seus números também não o serão.

Note que 2 não é divisor de 251 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 também não

serão. Vamos “eliminar” o número 2 e todos os seus múltiplos.

2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

Note que 3 não é divisor de 251 e, portanto, também podemos “eliminar” todos os

múltiplos de 3.

Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até “eliminar” todos os

números da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; caso

contrário, o número é primo.

2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15



Resposta: 251 é primo

Observação:

A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte:

Consideremos o produto d1 ⋅ d2.

Se d1 > 15 e d2 > 15, então d1 ⋅ d2 > 251.

Logo, se 251 admitisse um divisor d1, d1 > 15, deveríamos ter um inteiro d2, d2 < 15, de

modo que d1 ⋅ d2 = 251, isto é, 251 teria um divisor menor ou igual a 15.

Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 251 não admite divisor menor

ou igual a 15.

Exemplo 8

Obter todos os inteiros a tais que a4 + a2 + 1 seja um número primo.

Resolução:

( )( )( )

4 2 4 2 2

22 2

2 2

a a 1 a 2a 1 a

a 1 a

a 1 a a 1 a

+ + = + + −

= + −

= + − + +

Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que um

dos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos:

2

2

2

2

a 1 a 1 a 1 ou a 0

a 1 a 1 a não é int eiro

a 1 a 1 a 1 ou a 0

a 1 a 1 a não é int eiro

+ − = ⇒ = =

+ − = − ⇒

+ + = ⇒ = − =

+ + = − ⇒

Os valores encontrados foram 1, -1 e 0.

Substituindo, conclui-se que a4 + a2 + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1.

Resposta: 1 e -1

3.7. Forma fatorada

Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma:

31 2 n

1 2 3 na p p p ...p , se a 0αα α α= + > , ou

31 2 n

1 2 3 na p p p ...p , se a 0αα α α= − <



onde p1, p2, ... e pn são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α1, α2, ...,

αn são números naturais não nulos.

Exemplo 9

Qual a forma fatorada de 528?

Resolução:

528 2

264 2

132 2

66 2

33 3

11 11

1

Resposta: 24 ⋅ 3 ⋅ 11

Exemplo 10

Quantos divisores possui o número 53 ⋅ 114?

Resolução:

Consideremos os conjuntos:

{ }0 1 2 3

1D 5 ,5 ,5 ,5= e

{ }0 1 2 3 4

2D 11 ,11 ,11 ,11 ,11=

Repare que todo produto do tipo d1 ⋅ d2 com 1 1d D∈ , 2 2d D∈ e apenas estes produtos são

divisores positivos de 53 ⋅ 114.

Para d1, temos (1 + 3) opções, e para d2 há (1 + 4) opções.

Logo, existem (1 + 3)(1 + 4) = 20 divisores positivos.

Consequentemente há 20 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de 53 ⋅ 114.

Resposta: 40

Observação:



Sendo 31 2 n

1 2 3 np p p ...pαα α α a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir que

o número de divisores positivos de n é ( )( ) ( )1 2 n1 1 ... 1α + α + α + .

3.8. Divisão euclidiana

Dados dois inteiros n e d, com d 0≠ , efetuar a divisão de n por d significa obter dois

inteiros q e r tais que n = d ⋅ q + r e 0 r d≤ < .

Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente e

resto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos.

Exemplo 11

Efetuar a divisão de:

a) 29 por 4 b) 29 por -4 c) -29 por 4

Resolução:

29 4a)

1 7

29 4b)

1 7

−

−

29 4c)

3 8

−

−

Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor!

Resposta:

a) quociente 7, resto 1 b) quociente -7, resto 1 c) quociente -8, resto 3

Exemplo 12

Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do resto

da divisão de x por y.

Demonstração:

Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então:

x y q r= ⋅ +

Sendo x a d= ⋅ e y b d= ⋅ , segue que:

( )r x y a d b d d a b= − = ⋅ − ⋅ = − (c.q.d.)

Exemplo 13

Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 27,

deixam um resto igual ao quociente.



Resolução:

x 27r r= + com 0 r 27≤ ≤ e x 180<

x 28r=

{ }r 1, 2,3, 4,..., 26∈

{ }x 28,56,84,112,140,168,196,...∈

Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: { }28,56,84,112,140,168 .

Resposta: { }28,56,84,112,140,168

3.9. Máximo divisor comum

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b ao

maior dos divisores que eles têm em comum.

Notação: mdc(a,b)

Exemplo 14

Calcular mdc(1750,1400).

Resolução:

1a maneira:

1 3 11750 2 5 7= ⋅ ⋅ e 3 2 11400 2 5 7= ⋅ ⋅

O maior divisor (ou fator) comum é

1 2 12 5 7 350⋅ ⋅ = .

2a maneira (por divisões sucessivas):

Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o último

divisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.)

1750 1400 350

restos: 350 0

(O exemplo 12 justifica a validade deste processo.)

Resposta: 350



Exemplo 15

Calcular mdc(2048,1935).

Resolução:

2048 1935 113 14 1

restos: 113 14 1 0

Resposta: 1

3.10. Números primos entre si

Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1.

Exemplo 16

Os números 2048 e1935 são primos entre si.

Exemplo 17

Verificar se existe um inteiro k tal que 3k + 1 e 2k + 1 não sejam primos entre si.

Resolução:

Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que:

3k 1 a d ( 2)

2k 1 b d (3)

+ = ⋅ −

+ = ⋅

( )

6k 2 2a d

6k 3 3b d

1 3b 2a d

− − = − ⋅

+ = ⋅ +

= − ⋅

Como d=1, conclui-se que os números 3k + 1 e 2k + 1 são primos para todo inteiro k.

(Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.)

Resposta: não

3.11. Mínimo múltiplo comum

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b ao

menor dos múltipos positivos que eles têm em comum.



Notação: mmc(a,b)

Exemplo 18

Calcular mmc(1750,1400).

Resolução:

1 3 11750 2 5 7= ⋅ ⋅ e 3 2 11400 2 5 7= ⋅ ⋅

O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é 3 3 12 5 7⋅ ⋅ .

Resposta: 7000

3.12. Teorema

Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que: ( ) ( )mdc a,b mmc a,b a b⋅ = ⋅ .

Exemplo 19

Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 20 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160.

Resolução:

20 k 4 160 k 32⋅ = ⋅ ⇒ = e 3 2 11400 2 5 7= ⋅ ⋅

Resposta: 32 e -32



4. Técnicas de fatoração

4.1. Expressão algébrica

Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos,

quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação,

parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, em

que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas.

O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e a

concisão de linguagem.

Observe o quadro abaixo:

Exemplo: Expressão Algébrica:

O dobro de um número 2x

O quadrado da soma de dois números (a + b)2

A soma dos quadrados de dois números a2 + b2

A soma do quadrado de um número com o

seu dobro n2 + 2n

4.2. Valor numérico

Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e as

eventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numérico

da expressão algébrica.

Exemplo 1

Obter o valor numérico de a2 – b2 + ab para:

a) a = 1 e b = 2 b) a = 2 e b = 1

Solução:

a) Substituindo a por 1 e b por 2, obtemos:

( )( )2 21 2 1 2 1 4 2 1− + = − + = − .

b) Substituindo a por 2 e b por 1, obtemos:

( ) ( )2 22 1 2 1 4 1 2 5− + = − + = .

Exemplo 2

Sendo a = 3 e b = 4, obter o valor numérico de ( )( ) ( )a 2 ab 1 a ab 2b 1+ + − + +



Solução:

Substituindo a por 3 e b por 4, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 2 12 1 3 12 8 1 5 13 3 21 2+ + − + + = − = .

Exemplo 3

Mostrar que o valor numérico de ( )( ) ( )a 2 ab 1 a ab 2b 1+ + − + + independe dos valores

de a e b.

Solução:

Efetuando os produtos indicados, obtemos:

2 2a b a 2ab 2 a b 2ab a 2+ + + − − − = .

Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico 2.

EXERCÍCIOS

Sendo a = 5 e b = 2, obter os valores numéricos de:

1) ( )2a b+

2) 2 2a b+

3) ( )2a b−

4) ( )2b a−

5) 2 2a b− 6) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b.

( )( ) ( )2a b ab 1 b a ab 1+ + − + + .

4.3. Fatorar – Desenvolver

Consideremos as expressões:

( )( )F x 2y 2x 3y= + + e 2 2D 2x 7xy 6y= + +

Repare que:

( ) ( ) 2 2

2 2

x 2y 2x 3y 2x 3xy 4xy 6y

2x 7xy 6y

+ + = + + +

= + +

Denomina-se:

• ( ) ( )x 2y 2x 3y+ + de FORMA FATORADA

• 2 22x 7xy 6y+ + de FORMA DESENVOLVIDA



Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto,

não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário.

Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada?

A seguir veremos algumas identidades fundamentais, que serão ferramentas

indispensáveis para a técnica de fatoração.

4.4. Casos de fatoração

1° caso: o fator comum

Pela propriedade distributiva, temos que ( )a b c ab ac+ = + e portanto:

( )a b a c a b c⋅ + ⋅ = +

Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h’uma soma (adição ou subtração)

de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foi

colocado em “evidência”.

A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira:

A área da região hachurada é igual a ( )a b c ab ac+ = + .

Exemplo 4

Fatorar 2x xy ax+ − .

Solução:

Como x é fator comum, segue que:

( )2x xy ax x 2 y a+ − = + −

Exemplo 5

Fatorar 28x 4x− .



Solução:

Observe que 4x é fator comum!

( )

28x 4x

4x 2x 4x 1

4x 2x 1

− =

= ⋅ − ⋅

= −

Exemplo 6

Fatorar 3 2 2 3 6 5x y x y x y− + .

Solução:

O fator comum é 2 2x y :

( )

3 2 2 3 6 5

2 2 2 2 4 2 2 3

2 2 4 3

x y x y x y

xx y x y y x x y y

x y x y x y

− + =

= − +

= − +

EXERCÍCIOS

Fatorar as seguintes expressões:

7) 2a ab a+ −

8) ( ) ( )a x y b x y+ + +

9) ( ) ( )a 3x 2 b 3x 2− − −

10) ( ) ( )x a b y a b− + −

11) ( )x a b b a− + −

OBSERVAÇÃO

Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax ay bx by

ax ay bx by

a x y b x y

a b x y

+ + + =

= + + +

= + + +

= + +

Exemplo 7

Fatorar ax ay bx by+ − − .

Solução:



( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax ay bx by

ax ay bx by

a x y b x y

a b x y

+ − − =

= + − +

= + − +

= − +

Exemplo 8

Fatorar ax ay bx by− − + .

Solução:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ax ay bx by

ax ay bx by

a x y b x y

x y a b

− − + =

= − − −

= − − −

= − −

EXERCÍCIOS

Fatorar:

12) 2 2ab a b a b− − +

13) 2x 3x bx 3b− + −

14) ap by bp ay− + −

15) 2x ax bx ab+ + +

16) ( )2x a b x ab+ − −

2° caso: diferença de dois quadrados

( ) ( )2 2a b a b a b− = + −

Assim, por exemplo, 52 – 32 é igual a ( )( )5 3 5 3+ − (verifique!).

É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e,

desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir do

membro esquerdo e, fatorando, chegar no direito?

Repare que em 2 2a b a a b b− = ⋅ − ⋅ não há fator comum!

Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando e

subtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão.

( ) ( )( )( )

2 2 2 2a b a ab ab b

a a b b a b

a b a b

− = + − −

= + − +

= + −

Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão.



b

b

a

2 2a b−

b

a - b

a

( ) ( )a b a b+ −

a

As regiões hachuradas têm áreas iguais e ilustram o fato de que

( ) ( )2 2a b a b a b− = + − .

Exemplo 9

Fatorar 2x 25− .

Solução:

( ) ( )

2

2 2

x 25

x 5

x 5 x 5

− =

= −

= + −

Exemplo 10

Fatorar 4 4a b− .

Solução:

( ) ( )( )( )( )( )( )

4 4

2 22 2

2 2 2 2

2 2

a b

a b

a b a b

a b a b a b

− =

= −

= + −

= + + −

(Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a2 + b2 não é fatorável!)



EXERCÍCIOS

Fatorar as seguintes expressões em ℝ :

17) 2x 1−

18) 4x 1−

19) 2 2a b ax bx− + +

20) 2 2a b b a+ + −

21) 2 2 2a b a ab− + −

22) 2 2a b b a− + −

23) 3 2x 3x 4x 12− − +

3° caso: trinômio quadrado perfeito

( )

( )

22 2

22 2

a 2ab b a b

a 2ab b a b

+ + = +

− + = −

Veja:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

a 2ab b

a ab ab b

a ab ab b

a a b b a b

a b a b

a b

+ + =

= + + +

= + + +

= + + +

= + +

= +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

a 2ab b

a ab ab b

a ab ab b

a a b b a b

a b a b

a b

− + =

= − − +

= − − −

= − − −

= − −

= −

Ilustrando:



b

b

a

2a

2bab

aba

a + b

( )2a b+a + b

Exemplo 11

Desenvolver ( )222x 3y+ .

Solução:

( )( ) ( )( ) ( )

22

22 2 2

2 2 4

2x 3y

2x 2 2x 3y 3y

4x 12xy 9y

+ =

= + +

= + +

Exemplo 12

Desenvolver

21

xx

−

.

Solução:

( )

2

2

2

2

2

1x

x

1 1x 2 x

x x

1x 2

x

− =

= − +

= + +



Exemplo 13

Fatorar 2 2 44a 20ab 25b+ + .

Solução:

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 4

22 2 2

22

4a 20ab 25b

2a 2 2a 5b 5b

2a 5b

+ + =

= + +

= +

EXERCÍCIOS

24) Desenvolver:

21

xx

+

Fatorar as seguintes expressões em ℝ :

25) 2x 6x 9+ +

26) 2x 10x 25− +

27) 3 2x 16x 64x− +

28) 2x 20x 100− + −

29) 22x 1 x− −

30) 4 2 1a a

4+ +

31) 2 2 2a 2ab b c+ + −

32) 2 2x 2x 1 y+ + −

33) ( )22x y 1− −

4° caso: soma e diferença de cubos

( ) ( )( )( )

3 3 2 2

3 3 2 2

a b a b a ab b

a b a b a ab b

+ = + − +

− = − + +

Justificativa:

( )( )2 2

3 2 2 2 2 3

3 3

a b a ab b

a a b ab a b ab b

a b

+ − + =

= − + + − +

= +

( ) ( )2 2

3 2 2 2 2 3

3 3

a b a ab b

a a b ab a b ab b

a b

− + + =

= + + − − −

= −



Exemplo 14

Fatorar 3x 8+ .

Solução:

( )( )( )( )

3

3 3

2 2

2

x 8

x 2

x 2 x 2x 2

x 2 x 2x 4

+ =

= +

= + − +

= + − +

Exemplo 15

Fatorar 327x 1− .

Solução:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3

3 3

2 2

2

27x 1

3x 1

3x 1 3x 3x 1 1

3x 1 9x 3x 1

− =

= −

= − + +

= − + +

Exemplo 16

Fatorar 3 3 2 2a b a b a b− + − + − .

Solução:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

2 2

2 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a ab b a b a b 1 a b

a b a ab b a b 1

a b a ab b a b 1

− + − + − =

= − + − + −

= − + + + + − + −

= − + + + + +

= − + + + + +

EXERCÍCIOS

34) a) Fatorar x3 - 1

b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de 3x 1

x 1

−−

35) Fatorar:

a) 9 9x y+

b) 9 9x y−



5° caso: cubo da soma e cubo da diferença

( )

( )

33 2 2 3

33 2 2 3

a 3a b 3ab b a b

a 3a b 3ab b a b

+ + + = +

− + − = −

Justificativa:

( ) ( ) ( )( )( )

3 2

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

a b a b a b

a 2ab b a b

a a b 2a b 2ab ab b

a 3a b 3ab b

+ = + +

= + + +

= + + + + +

= + + +

( ) ( ) ( )( )( )

3 2

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

a b a b a b

a 2ab b a b

a a b 2a b 2ab ab b

a 3a b 3ab b

− = − −

= − + −

= − − + + −

= − + −

Exemplo 17

Desenvolver ( )32x 5+ .

Solução:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

3

3 2 2 3

3 2

2x 5

2x 3 2x 5 3 2x 5 5

8x 60x 150x 125

+ =

= + + +

= + + +

Exemplo 18

Desenvolver ( )3x 2y− .

Solução:

( )

( ) ( ) ( )

3

2 33 2

3 2 2 3

x 2y

x 3x 2y 3x 2y 2y

x 6x y 12xy 8y

− =

= − + −

= − + −

Exemplo 19

Fatorar 3 2x 3x 3x 1+ + + .

Solução:



( )

3 2

3 2 2 3

3

x 3x 3x 1

x 3x 1 3x 1 1

x 1

+ + + =

= + ⋅ + ⋅ +

= +

EXERCÍCIOS

36) Desenvolver as expressões:

a) ( )32x yz+ b) ( )32x 1−

Fatorar as expressões:

37) 3 2 2 3x 3x y 3xy y+ + +

38) 3 2 2 4 6x 6x y 12xy 8y+ + +

39) 3 2x 9x 27x 27− + −

40) 3 2 2 3 3a 3a b 3ab b c+ + + +

RESUMO

1. ( )ab ac ad a b c d+ − = + + −

2. ( ) ( )2 2a b a b a b− = + −

3. ( )22 2a 2ab b a b+ + = +

4. ( )22 2a 2ab b a b− + = −

5. ( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

6. ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

7. ( )33 2 2 3a 3a b 3ab b a b+ + + = +

8. ( )33 2 2 3a 3a b 3ab b a b− + − = −



5. Potenciação

5.1. Definição

Dado um número a, a∈ℝ , e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de

a, que se indica por an, ao produto de n fatores iguais a a. Assim:

na a a a ... a

n fatores

= ⋅ ⋅��

O número a é chamado de base e n, de expoente.

Exemplo 1

a) 32 2 2 2 8= ⋅ ⋅ =

b) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2 8− = − ⋅ − ⋅ − = −

Exemplo 2

Obter o valor de cada expressão:

a) ( )224 3+ − b)

3

2110

10

⋅

c)

2 32 3

3 2

− ⋅

Solução:

a) ( ) ( ) ( )224 3 4 4 3 3 16 9 25+ − = ⋅ + − ⋅ − = + =

b)

3

21 1 110

10 10 10

⋅ = ⋅

1

10

⋅

10

⋅

10⋅

1

10= ^

c)

2 32 3 2

3 2

⋅ − = 3

2⋅3

3⋅ −

2

3 ⋅ −

2

3 3

2 2

⋅ − = −

OBSERVAÇÕES

1) ( )2 22 2− ≠ − pois:

( ) ( ) ( )22 2 2 4− = − ⋅ − = e ( )22 2 2 4− = − ⋅ = −

2) ( )n1 1− = , se n é par

( )n1 1− = − , se n é ímpar



EXERCÍCIOS

1) Calcular:

a) 41 d) 34 g) 24−

b) 40 e) ( )24− h)

22

3

c) 24 f) ( )34− i)

22

3

− −

2) Calcular:

a) ( )2 24 3− −

b) 3

4110

10

− ⋅

c) 2 2

2 3

3 2

⋅ −

5.2. Definições

Considere, por exemplo, a potência 25, que é 32.

Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência fica

dividido por 2, que é o valor da base. Veja:

52 32= , 42 16= , 32 8= , 22 4=

Continuando-se o raciocínio anterior, vem:

12 2= , 02 1= , 1 12

2

− = , 2 12

4

− = e assim por diante.

Tais resultados sugerem as definições:

1a a= 0a 1=

n

n

n

1 1a ,a 0

a a

− = = ≠

Exemplo 3



a) 13 3= e) 2

2

1 13

3 9

− = =

b) ( )13 3− = − f) 3

3

1 13

3 27

− = =

c) 03 1= g) ( )( )

2

2

1 13

93

−− = =

−

d) ( )03 1− = h) ( )( )

3

3

1 13

273

−− = = −

−

Exemplo 4

Calcular:

a) 41− b)

22

3

−

c)

22

3

− −

d) 2 22 2−⋅

Solução:

a) 4

4

11 1

1

− = =

b)

2 22 3 9

3 2 4

− = =

c)

2 22 3 9

3 2 4

− − = − =

d) 2 2 2

2

12 2 2 1

2

−⋅ = ⋅ =

EXERCÍCIOS

3) Calcular:

a) 15 d) ( )15− g)

11

5

j)

23

4

−

b) 05 e) ( )05− h)

01

5

k)

23

4

− −

c) 15− f) ( ) 15

−− i)

11

5

−

l)

23

4

− − −

4) Calcular:



a)

1

1 12

2

−−

+

b)

2 12 1

3 3

− − − −

5) Calcular o valor de ( ) 11 1x y

−− −+ , sabendo que x = 0,1 e y = 0,9.

5.3. Simplificação de expressões

Numa expressão numérica com parêntesis ( ), colchetes [ ] e chaves { }, efetuamos

inicialmente as operações que estão entre parênteses, depois as que estão entre colchetes e por

fim aquelas que estão entre chaves, obedecendo à seguinte ordem de cáculo:

1) as potenciações; 2) as multiplicações ou divisões na ordem em que aparecem; 3) as adições ou subtrações na ordem em que aparecem.

Exemplo 5

Simplificar a expressão:

( ){ }2 1 2 2 0 23 x 4 6 : 2 7 3 + − +

Solução:

Efetuando as operações entre parênteses na ordem dada:

( ){ }( ){ }

{ }

2 1 2

2 1 2

2 1 2

3 x 4 36 : 4 1 3

3 x 4 9 1 3

3 x 4 8 3

+ − +

= + − +

= + +

Efetuando as operações entre colchetes na ordem dada:



[ ]{ }{ }

2 2

2 2

3 x 4 8 3

3 x12 3

+ +

= +

Efetuando as operações entre chaves na ordem dada:

{ } 2

2

9x12 3

108 3

108 9

117

+

= +

= +

=

EXERCÍCIOS

6) Calcular:

a) ( ){ }2 0 320 : 3 2 2 :8 1 + + −

b) ( ){ }1 4 0 1 13 1 2 2 : 2− − − + − −

c) ( ){ }2 1 3 010 x 10 : 6 :3 2 : 2− +

5.4. Propriedades das potências

Observe os cálculos:

( ) ( )( )

( )( )4 2 4 2A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B

4 2 fatores

+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

+��

( )4

2

22A

2=

2⋅( )2 2

2

⋅ ⋅

2⋅( ) ( ) ( )4 2

4 2fatores

2 2 2 B−

−

= ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

24 4.2A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B

4.2 fatores

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =��

( ) ( )2 2

2

2 2 2 2 2 2A B

3 3 3 3 3 3

⋅ = ⋅ = = ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2A 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 B⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅



Imprimiremos maior rapidez aos cálculos se passarmos diretamente do estágio (A) para o

estágio (B) e vice-versa. Tal passagem é garantida pelas chamadas propriedades das potências.

Para todo a∈ℝ , b∈ℝ , m e n inteiros, prova-se:

( )

( )

m n m n

mm n

n

nm m n

m m

m

m m m

P1. a a a

aP2. a , a 0

a

P3. a a

a aP4. , b 0

b b

P5. a b a b

+

−

⋅

⋅ =

= ≠

=

= ≠

⋅ = ⋅

Exemplo 6

a) 7 3 7 3 102 2 2 2+⋅ = = (P1)

b) ( )7 3 27 3 2 82 2 2 2 2+ + −−⋅ ⋅ = = (P1)

c) 7 3 7 3 42 : 2 2 2−= = (P2)

d) ( )35 152 2= (P3)

e)

4 4

4

2 2

3 3

=

(P4)

f) ( )3 3 32 5 2 5⋅ = ⋅ (P5)

Exemplo 7

1. Calcular:

a) ( )23 7

18

5 5

5

⋅ b)

4

435

5

⋅

c) ( )31 7

10

10 10

10

− −

−

⋅

Solução:

a) ( ) ( )2 2

3 7 10 202

18 18 18

5 5 5 55 25

5 5 5

⋅= = = =

b)

4 44 4 4

4

3 35 5 3 81

5 5

⋅ = ⋅ = =

c) ( ) ( )

31 7 3 7 10

10 10 0

10 10 10

10 10 10 10 1010 10 1

10 10 10

− − − − −− − −

− − −

⋅ ⋅= = = = =



2. Calcular:

a) ( )1

20,01−

b)

1

4 13

9

− ⋅

c) 323

Solução:

a) ( ) ( )1 1

11 2 22 122

2

1 10,01 10 10 10

100 10

− −−− − = = = = =

b) ( )1 1

14 4 4 2 4 2 6

2

1 13 3 3 3 3 3 3 729

9 3

− −−− ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

c) ( )33 22 83 3 3 6561= = =

OBSERVAÇÕES

1) ( )2 24 42 2≠ , pois

( )22 44 162 2 2= = e ( )24 82 2=

2) ( )2 2 22 3 2 3+ ≠ + , pois ( )2 22 3 5 25+ = = e 2 22 3 4 9 13+ = + =

EXERCÍCIOS

7) Transformar cada expressão abaixo numa única potência de base 2.

a) 5 4 22 2 2−⋅ ⋅ d) 48

b) 62

2 e) 4 28 : 2−

c) ( )432 f)

3

3 18 :

2

−−

8) Transformar cada expressão abaixo em uma única potência de base 10.

a) 310 100⋅ c)

200

500 110

100

− ⋅

b) ( )2 3100 :10 d) 2310

9) Calcular o valor de cada expressão.



a) ( )2 20,001 100

0,1

⋅

b) ( )231000 0,001⋅

10) A expressão ( )1992005 0,2⋅ é equivalente a:

a) 5 d) 1

10

b) 10 e) 100

c) 1

5

11) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa)

a) 3 4 122 2 4⋅ = ( )

b) 2 2 45 5 5+ = ( )

c) 8 4 210 :10 10= ( )

d) ( )32 610 10= ( )

e) 32 810 10= ( )

12) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa)

a) x 3 x2 8 2+ = ⋅ ( )

b) x

x 1 22

2

− = ( )

c) ( )3 32x 8x= ( )

13) Se 62,4 a= e 72,4 b= , então 132,4 é igual a:

a) a + b d) a – b

b) a ⋅ b e) 42

c) 6a + 7b

5.5. Equações exponenciais

Sendo b > 0 e b 1≠ , tem-se 1 2x x

1 2b b x x= ⇔ =

Exemplo 8

x 52 2 x 5= ⇔ =



Exemplo 9

Resolver em ℝ

a) 2x 1 73 3− =

Solução:

Sendo 3 > 0 e 3 1≠ , temos que:

2x 1 7 2x 8 x 4− = ∴ = ∴ =

Logo: S = {4}

b)

x 3 21 1 1

2 2 2

= ⋅

Solução:

x 51 1

2 2

=

Sendo 1

02

> e 1

12

≠ , temos que x = 5.

Logo: S = {5}

c) x9 9 27⋅ = Solução:

( )1 x1 x 2 3 2 2x 3 1

9 27 3 3 3 3 2 2x 3 x2

++ += ∴ = ∴ = ∴ + = ∴ =

Logo: S = 1

2

d) 2

x

13

3

−=

Solução:

2 x 2

x

13 3 3

3

− − −= ⇔ =

Sendo 3 > 0 e 3 1≠ , temos que:

x 2 x 2− = − ∴ =

Logo: S = { }2



OBSERVAÇÃO

Se a base for zero, um ou negativa, não se poderá concluir a igualdade entre os

expoentes. De fato:

1) 4 71 1= e no entanto 4 7≠

2) 3 50 0= e no entanto 3 5≠

3) ( ) ( )2 41 1− = − e no entanto 2 4≠

EXERCÍCIOS

14) Resolver em ℝ

a) x 35 5= f) x 19

3=

b) x 35 5− = g) x3 3 27= ⋅

c) x5 25= h) x8 8 4⋅ =

d) x25 125= i) x 1 x3 6 3 27+ + ⋅ =

e)

x1

55

− =

j) 2x 2x 22 4 −=

5.6. Notação científica

Todo número N, não nulo, pode ser representado numa das formas:

mN a 10= ⋅ ou mN a 10= − ⋅

( )1 a 10≤ ≤ e ( )m∈ℤ

conforme N seja positivo ou negativo, respectivamente. Essa forma de se escrever um número é

chamada de notação científica e é bastante utilizada na Química, Física, Matemática, etc.

Por exemplo, os números 3 ⋅ 107 e -3 ⋅ 107 estão em notação científica.

Para se escrever um número em notação científica, devem-se observar as seguintes

propriedades:

1) Multiplicar um número por p10 , p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p “casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se a vírgula para a esquerda.

Assim:

a) 40,00037 10 3,7⋅ =

b) 32500 10 2,5−⋅ =

2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por p p10 10−⋅ . De fato: p p 010 10 10 1−⋅ = = .



As duas propriedades acima permitem escrever um número em sua notação científica.

Exemplo 10

a) 6 6 65000000 5000000 10 10 5 10−= ⋅ ⋅ = ⋅

b) 5 5 5170000 170000 10 10 1,7 10−= ⋅ ⋅ = ⋅

c) 4 4 460200 60200 10 10 6,02 10−− = − ⋅ ⋅ = − ⋅

d) 4 4 40,00032 0,00032 10 10 3,2 10− −= ⋅ ⋅ = ⋅

EXERCÍCIOS

15) Escrever em notação científica os números

a) 230 e) 8000

b) 23 f) 8237

c) 2 g) -354,2

d) 0,2 h) 0,01

16) A carga de um elétron é 0,0000000000000000016 C. Escreva este número em notação científica.

17) A vida na terra existe há aproximadamente 10 bilhões de anos. Escreva este número em notação científica.

5.7. Resumo

DEFINIÇÕES OBSERVAÇÕES

b , n∈ ∈ℝ ℕ

1) n

n fatores

b b b b ... b , n 2= ⋅ ⋅ ≥��

2) 1b b=

3) 0b 1=

4)

n

n

n

1 1b , b 0

b b

− = = ≠

1) ( )22 4− =

2) 22 4− = −

3) a) ( )n1 1− = , se n é par

b) ( )n1 1− = , se n é ímpar

PROPRIEDADES OBSERVAÇÕES

A , b , m e n int eiros∈ ∈ℝ ℝ

1) 2 22 3 13+ =

2) ( )22 3 25+ =

3) ( )25 103 3=



( )

( )

m n m n

mm n

n

nm m n

m m

m

m m m

P1. a a a

aP2. a , a 0

a

P3. a a

a aP4. , b 0

b b

P5. a b a b

+

−

⋅

⋅ =

= ≠

=

= ≠

⋅ = ⋅

4) 25 253 3=

EQUAÇÃO EXPONENCIAL OBSERVAÇÃO

b 0, b 1> ≠

1 2x x

1 2b b x x= ⇔ =

Se a base for zero, um ou negativa, nada

se poderá concluir.

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

mN a 10= ⋅ ou mN a 10= − ⋅

( )1 a 10≤ < e ( )m∈ℤ



6. Radiciação

6.1. Introdução

Consideremos o seguinte problema:

Qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm2 de área?

Para resolvermos esse problema, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x

(x>0).

A área desse quadrado é dada por x2, e pelo enunciado devemos ter:

2x 5=

Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor

positivo de x que torne verdadeira a sentença x2 = 5.

O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 2 5 , que deve ser

lido: “raiz quadrada de cinco”. Assim,

2x 5=

Portanto, o lado do quadrado mede 2 5 cm.

6.2. Generalização

Suponhamos a sentença xn=a onde n ∗∈ℕ e a 0≥ . O valor não negativo que satisfaz tal

igualdade será indicado por n a e deve ser lido: “raiz enésima de a”. Adotaremos a seguinte

nomenclatura para o novo símbolo apresentado:

n a é o radical

n é o índice do radical

a é o radicando



Exemplos

Leitura Radical Índice Radicando

5 4 Raiz quinta de

quatro 5 4 5 4

3 8 Raiz terceira ou

Raiz cúbica de oito 3 8 3 8

2 9

Raiz segunda ou

Raiz quadrada de

nove

2 9 2 9

Observação

Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, 2 a , ser utilizada com muita

freqüência, é comum denotá-la simplesmente, por a , suprimindo-se por comodidade, o índice 2.

6.3. Definição

Sendo a 0≥ e n ∗∈ℕ , tem-se:

nn a b b a= ⇔ = e b 0≥

onde b é um número real chamado raiz enésima de a.

Exemplo 1

Usando a definição temos:

a) 9 3= , pois 23 9= e 3 0≥

b) 3 64 4= , pois 34 64= e 4 0≥

c) 4 16 2= , pois 42 16= e 2 0≥

d) 1 7 7= , pois 17 7= e 7 0≥

e) 4 2

9 3= , pois

22 4

3 9

=

e 2

03

≥

Exemplo 2

O volume de um cubo de aresta x é dado por x3.



Calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3.

Solução:

Sendo x a medida da aresta do cubo, devemos ter:

3x 64= e x 0> .

Pela definição de raiz, temos:

3x 64 4= = , pois 34 64= e 4 0≥ .

Portanto a aresta do cubo mede 4 cm.

Exemplo 3

Obter a medida do lado de um quadrado de área 25 cm2.

Solução:

Sendo x a medida do lado do quadrado, devemos ter: 2x 25= e x 0> .

Pela definição de raiz, temos que:

x 25 5= =

Portanto, a medida do lado do quadrado é 5 cm.

Observação

Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x2=25:

5 ou -5

O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é indicado por 25− .

Assim,

2x 25 x 25= ⇒ = ±

De modo geral, para a 0≥ e n par:

n nx a x a= ⇒ = ±



Exercícios

1) Calcular, usando a definição, o valor de cada uma das raízes.

a) 1 3 e) 5 1

b) 25 f) 6 0

c) 3 8 g) 9

4

d) 4 16

2) Obter a medida, em cm, do lado de um quadrado de área:

a) 36 cm2 b) 64 cm2 c) 81 cm2

3) Obter a medida, em cm, da aresta de um cubo de volume:

a) 8 cm3 b) 27 cm3 c) 125 cm3

4) Assinalar V (verdadeiro) ou F (falso)

a) 9 3= ( )

b) 9 3= − ( )

c) 9 3= ± ( )

d) 2x 9 x 9= ⇒ = ± ( )

e) 3 3x 8 x 8= ⇒ = ± ( )

f) 3 3x 8 x 8= ⇒ = ( )

6.4. Propriedades dos radicais

Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos,

temos:

( )

n n n

n

nn

np mp mn

mmnn

n m nm

P1. a b a b

a aP2. b 0

bb

P3. a a

P4. a a

P5. a a

⋅ = ⋅

= ≠

=

=

=



Exemplo 4

a) P1

3 3 3 32 5 2 5 10⋅ = ⋅ =

b) 5 P2

555

8 82

44= =

c) P3

27 27 99 9 9 35 5 5÷ ÷= =

d) ( )P4 P312

3 3 312 12 3 43 2 2 2 2÷ ÷= = =

e) P5

3 4 122 2=

f) 3P2

33

1 1 1

125 5125= =

g) ( )P4 5

3 5 538 8 2= =

Exercícios

5) Simplificar as expressões:

a) 5 52 3⋅ f)

3

31

2

b) 5 52 2 3⋅ g) 31

8

c) 5 52 2 6 3⋅ h) 16

9

d) 3 310 : 5 i) ( )515 2

e) 3 318 10 :3 5 j) ( )84 3

6) Simplificar os radicais:

a) 12 62 c) 3 35

b) 84 3 d) 3 64

Exemplo 5

Simplificar os radicais:

a) 3 320 b) 32 c) 4 160



Soluções:

a) Decompondo 320 em fatores primos, temos:

320 2

160 2

80 2

40 2

20 2

10 2

5 5

1

6320 2 5= ⋅

Assim,

33 16 6 23 3 3 3320 2 5 2 5 2 5 4 5= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

b) Decompondo 32 em fatores primos, temos 532 2= . Assim,

5 4 232 2 2 2 4 2 4 2= = ⋅ = ⋅ =

c) Decompondo 160 em fatores primos, temos 5160 2 5= ⋅ . Assim,

45 4 44 44 4 4160 2 5 2 2 5 2 2 5 2 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Exercícios

7) Simplificar os radicais:

a) 12 e) 4 80

b) 18 f) ( )5 13a a 0≥

c) 3 40 g) ( )3 516a a 0≥

d) 3 625 h) ( )3 6 98a b c a 0,b 0,c 0≥ ≥ ≥

Exemplo 6

Efetuar:

a) 2 5 4 5+

Como 5 é fator comum às duas parcelas, temos ( )2 5 4 5 2 4 5 6 5+ = + = .

b) 6 2 3 2 2− +



Como 2 é fator comum às três parcelas, temos

( )6 2 3 2 2 6 3 1 2 4 2− + = − + = .

Exercícios

8) Efetuar:

a) 3 5 7 5+ d) 3 3 39 40 5 2 625+ −

b) 3 34 2 2− e) ( )3 34 45 a 64a a 0+ ≥

c) 5 12 2 75 27+ −

6.5. Redução de radicais ao mesmo índice

Em algumas situações, é necessário transformar dois ou mais radicais de índices

diferentes em outros equivalentes e que possuam um índice comum.

Exemplo 7

Reduzir ao mesmo índice os radicais 3 2 , 4 5 e 3 .

Solução:

Tomando como índice comum o mmc(2,3,4)=12, temos:

P33 43 121 1 4 4

P33 41 1 3 34 12

P32 61 1 6 62 12

5 2 2

5 5 5

3 3 3

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

= =

= =

= =

Exemplo 8

Comparar os radicais: 3 5 e 3 2 .

Solução:

Entre dois radicais de mesmo índice e radicandos não negativos, será maior aquele que

tiver o maior radicando. Assim, 33 5 2> .

Exemplo 9

Comparar os radicais: 6 3 e 4 2 .



Solução:

Reduzindo os radicais ao mesmo índice, temos: mmc(6,4)=12

Sendo 12 129 8> , temos 46 3 2> .

Exercícios

9) Escrever em ordem crescente os números 3 5 , 3 2 e 3 9 .

10) Escrever em ordem decrescente os números 4 5 , 2 e 3 3 .

Exemplo 10

Calcular 3 2 3⋅ .

Solução:

Reduzindo ao mesmo índice, temos:

6 6 62 3 2 33 62 3 2 3 2 3 108⋅ = ⋅ = ⋅ =

Exercício

11) Calcular

a) 4 2 3⋅ b) 3

3

3

6.6. Racionalização de denominadores

Vejamos agora como, em algumas situações, podemos evitar a divisão por números

irracionais, minimizando assim os possíveis erros propagados pelos cálculos.

Exemplo 11

Racionalizar o denominador de:

a) 2

3 3 2 3 2 3 2

22 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅

b) 3 2 3 3

3 3 32 33

5 5 7 5 49 5 49

77 7 7 7

⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅

Exercício

12) Racionalizar o denominador de:



a) 3

5 d) ( )

5 2

3a 0

a>

b) 4

5

8 e) ( )

6 4

1a 0

a>

c) 4

3 2

Exemplo 12

Racionalizar o denominador de:

a) ( )

( )( )( )

( )( ) ( )

22

3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 237 2

7 4 37 2 7 2 7 2 7 2

− − − −= = = = = −

−+ + − −

b) ( )

( )( )( )

( )( ) ( )

22

5 2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 15

12 1 112 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

+ + + += = = =

−− − + −

Exercícios

a) 2

5 2+ d)

3

3 1−

b) 2

5 3− e)

1

3 2 3+

c) 2

2 3 1+ f)

2 1

2 1

+

−

6.7. Potência de expoente racional

Já sabemos calcular potências do tipo 52, 86, 4-2, isto é, potências com expoentes inteiros.

Vejamos agora como interpretar uma potência do tipo 3

57 .

Chamando essa potência de x, temos 3

5x 7= .

Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos:

53

5 5x 7

=

ou

3

5 5x 7=5⋅



Daí, 5 3x 7= e, por definição de raiz, temos 5 3x 7= .

Assim, 3

5 357 7= .

Isso sugere a seguinte definição:

m

mnna a= , com a > 0, m e n inteiros e n > 0.

Observação

Para a=0 devemos ter m>0.

Exemplo 13

a) 2

3 235 5=

b) 1

0,5 29 9 9= =

c) 1

100,1 1106 6 6−

− −= =

Exercícios

13) Escrever os radicais abaixo na forma de potência.

a) 4 32 b) 6 82 c) 3 d) 3 a (a 0)≥

14) Calcular o valor da expressão:

1

0,5 0,753100 8 16− + −

6.8. Radicando negativo

A igualdade ( )32 8− = − sugere escrever 3 8 2− = − .

Por isso, define-se

nn a b b a= ⇔ = , a < 0 e n natural ímpar.

Exemplo 14

a) 3 64 4− = −

b) 5 1 1− = −



6.9. Propriedade

Se n é um número natural ímpar, então n na a− = − .

Exemplo 15

a) 3 38 8− = −

b) 5 54 4− = −



7. Equação do 2º grau

7.1. Definição

Chamamos de equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser

reduzida à forma 2ax bx c 0+ + = , a 0≠ .

a, b e c são reais chamados de coeficientes.

Exemplo 1

Quais são os coeficientes da equação:

22x 5x 2 0− − =

Solução:

Comparando a equação com a forma:

2ax bx c 0+ + =

temos que os coeficientes são a = 2, b = -5 e c = -2.

Exercício

1) Qual a soma dos coeficientes da equação 2x 5x 1c 0+ + =

7.2. Raiz da equação

Um número r será chamado raiz, ou solução da equação 2ax bx c 0+ + = , se, e somente

se, a sentença 2ar br c 0+ + = for verdadeira.

Exemplo 2

Verificar se o número 2 é uma das raízes da equação 22x 5x 2 0− + = .

Solução:

Substituindo x por 2 temos:

22 2 5 2 2 8 10 2 0⋅ − ⋅ + = − + =

portanto 2 é uma raiz da equação.

Exemplo 3

Determinar o coeficiente c de modo que 1

2 seja uma raiz da equação 22x 5x c 0− + = .



Solução:

Substituindo x por 1

2, segue que:

21 1

2 5 c 02 2

⋅ − ⋅ + =

, isto é, 1 5

c 02 2− + = .

Daí devemos ter 1 5

c2 2

= − + e, portanto, c = 2.

Exercícios

2) Obter o coeficiente c na equação 2ax bx c 0+ + = , sabendo que a = 1, b = 2 e uma das

raízes é -1.

3) Obter a constante p na equação 2x px p− = , sabendo que uma de suas raízes é o número 2.

7.3. Conjunto solução

Resolver a equação do 2º grau 2ax bx c 0+ + = no conjunto universo U significa obter o

conjunto de todas as raízes dessa equação que pertencem a U.

O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação.

Assim, por exemplo, no conjunto universo ℝ , o conjunto solução da equação 2x 4= é

{ }2, 2− .

7.4. Fórmula resolutiva

Tendo como universo o conjunto ℝ dos números reais, pode-se provar que a equação

2ax bx c 0+ + = ( )a 0≠ com 2b 4ac 0− ≥ possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2.

Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:

2

1

b b 4acx

2a

− + −= e

2

2

b b 4acx

2a

− − −=

A expressão 2b 4ac− , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é

chamada de discriminante da equação.

Se 0∆ ≥ , podemos escrever de maneira resumida 1,2

bx

2a

− ± ∆= .

Mais adiante veremos que há situações particulares em que podemos obter as raízes sem

ter de recorrer a essa fórmula.

7.5. Observações

0∆ > ⇔ A equação possui duas raízes reais distintas.



0∆ = ⇔ A equação possui duas raízes reais e iguais.

0∆ < ⇔ A equação não possui raízes reais.

Exemplo 4

Resolver em ℝ : 22x 5x 2 0− + = .

Solução:

a = 2; b = -5; c = 2 ( ) ( )( )22b 4ac 5 4 2 2 9⇒ ∆ = − = − − =

Portanto 1,2

b 5 3x

2a 4

− ± ∆ ±= = ⇒ x = 2 ou

1x

2=

1S ,2

2

=

Exemplo 5

Resolver em ℝ : 2x 4x 4 0− + − = .

Solução:

a = -1; b = 4; c = -4 ( ) ( ) ( )22b 4ac 4 4 1 4 0⇒ ∆ = − = − − − =

Portanto 1,2

b 4 0x

2a 2

− ± ∆ − ±= = ⇒

− x = 2

Ambas as raízes são iguais a 2 (2 é raiz dupla)

{ }S 2=

Exemplo 6

Resolver em ℝ : 2x x 2 0+ + = .

Solução:

a = 1; b = 1; c = 2 ( ) ( )( )22b 4ac 1 4 1 2 7⇒ ∆ = − = − = −

Como 0∆ < , podemos afirmar que não há raízes reais.

{ }S = (o conjunto vazio)

Exercícios

4) Resolver em ℝ : 2x x 2 0− − =

5) Resolver em ℝ : 2x 2x 1 0+ + =



6) Resolver em ℝ : 2x 2x 2 0+ + =

7.6. Equações incompletas

A equação do 2º grau 2ax bx c 0+ + = será chamada incompleta se, e somente se, pelo

menos um dos coeficientes b ou c for nulo. O conjunto solução dessas equações pode ser obtido

sem o uso da fórmula estudada anteriormente, como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 7

Resolver em ℝ : 2x 3x 0− = .

Solução:

2x 3x 0− = se, e somente se, ( )x x 3 0− =

Portanto, x = 0 ou x – 3 = 0

Devemos ter então x = 0 ou x = 3

{ }S 0,3=

Exemplo 8

Resolver em ℝ : 2x 9 0− = .

Solução:

2x 9 0− = se, e somente se, 2x 9=

Devemos ter então x 9 3= ± = ±

{ }S 3, 3= −

Exercícios

Resolver em ℝ as seguintes equações:

7) x2 – 7x = 0 8) x2 + 7x = 0

9) x2 – 81 = 0 10) x2 + 81 =0

11) 2x2 – 5x = 0 12) 7x2 + 3x = 0

7.7. A forma fatorada

Supondo que 2b 4ac 0− ≥ , tem-se que a expressão 2ax bx c 0+ + = , a 0≠ ,

denominada trinômio do segundo grau, é idêntica ao produto ( ) ( )1 2a x x x x− − , onde x1 e x2 são

raízes da equação 2ax bx c 0+ + = .



( ) ( )2

1 2ax bx c a x x x x+ + = − −

Exemplo 9

Fatorar a expressão 22x 5x 2− + .

Solução:

Resolvendo a equação 22x 5x 2 0− + = , conclui-se que suas raízes são 1

1x

2= e 2x 2= ; logo,

segue que ( )2 12x 5x 2 2 x x 2

2

− + = − −

Exemplo 10

Sendo x = 3,14, obter o valor numérico de 22x 5x 2

2x 1

− +−

.

Solução:

Repare que 2

12 x

22x 5x 2

2x 1

− − +

=−

( )x 2

12 x

2

−

−

x 2= −

Logo, para x = 3,14, o valor numérico da expressão é 1,14.

Exercícios

Fatorar as expressões

13) 2x2 – 2x – 4

14) 3x2 + 10x + 3

15) Simplificar a expressão 2

2

9x 6x 8

6x 16x 8

+ −− +

supondo que seu denominador não seja nulo.

7.8. Soma e produto das raízes

Sendo x1 e x2 as duas raízes da equação 2ax bx c 0+ + = , pode-se mostrar que a soma

e o produto dessas raízes são, respectivamente, iguais a:

1 2

bS x x

a= + = − e 1 2

cP x x

a= ⋅ =

Exemplo 11



A Equação Soma x1 + x2 Produto x1.x2 Conj. Sol. {x1,x2}

x2 - 5x + 6 = 0 5 6 {2,3}

x2 + 5x + 6 = 0 -5 6 {-2,-3}

2x2 - 5x + 2 = 0 5

2 1

1,2

2

x2 - 4 = 0 0 -4 {-2,2}

Observe ainda que, se quisermos escrever uma equação do segundo grau cujas raízes

sejam x1 e x2, bastará escrever 2x Sx P 0− + = , onde S e P são, respectivamente, a soma e o

produto de x1 e x2.

Exemplo 12

Dada a equação 23x 7x 2 0− + = , obter

a) a soma das raízes

b) o produto das raízes

c) o inverso da soma das raízes

d) a soma dos inversos das raízes

e) o quadrado da soma das raízes

f) a soma dos quadrados das raízes

Solução

Sendo x1 e x2 as raízes, segue que

a) 1 2

b 7x x

a 3+ = − =

b) 1 2

c 2x x

a 3⋅ = =

c) 1 2

1 3

x x 7=

+

d) 2 1

1 2 1 2

x x1 1 7

x x x x 2

++ = =

⋅

e) ( )2

2

1 2

7 49x x

3 9

+ = =

f) Lembrando que ( )2 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x 2x x+ = + + , tem-se que

( )22 2

1 2 1 2 1 2x x x x 2x x+ = + − = 49 4 37

9 3 9= − =

Exercícios



16) Sendo r e s raízes da equação 2x 8x 10 0− + = , obter

a) r + s d) r2s + rs2

b) r . s e) r2 + s2

c) r-1 + s-1

17) Obter os valores de m e n na equação 2x mx n 0+ + = , sabendo que suas raízes são

2 3+ e 2 3− .

18) Obter a constante k, tal que a equação ( ) 2k 2 x 3kx 1 0− − + = tenha duas raízes cuja soma

é igual a seu produto.

7.9. Equações biquadradas

Chamamos de equações biquadradas àquelas que podem ser reduzidas à forma

4 2ax bx c 0+ + = , a 0≠ .

a, b e c são constantes reais quaisquer.

Repare que, se substituirmos x2 por y, obteremos a equação 2ay by c 0+ + = .

Resolvendo essa última equação, obtemos os possíveis valores de y e, como y = x2,

podemos afirmar que x y= ± , para cada valor real não negativo de y.

É também fácil concluir que a equação biquadrada 4 2ax bx c 0+ + = possui, no máximo,

quatro raízes reais.

Exemplo 13

Resolver em ℝ : 4 24x 5x 1 0− + = .

Solução

Com x2 = y, tem-se que 24y 5y 1 0− + =

Resolvendo esta equação, obtém-se

1y

4= ou y = 1

2 1 1 1x y x

4 4 2= = ⇒ = ± = ±

2x y 1 x 1 1= = ⇒ = ± = ±

Logo, 1 1

S , , 1,12 2

= − −

.



Exemplo 14

Resolver em ℝ : 4 2x 7x 18 0+ − = .

Solução

Com x2 = y, tem-se que 2y 7y 18 0+ − =

Resolvendo esta equação, obtém-se

y = -9 ou y = 2.

Note que a equação x2 = -9 não tem raízes reais.

Por outro lado, 2x 2 x 2= ⇒ = ± e, portanto, { }S 2, 2= − .

Exercícios

Resolver em ℝ :

19) 4 2x 7x 12 0− + =

20) 4 2x 4x 3 0+ + =



8. Teoria das funções

Muitas, ao observar fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois conjuntos

e alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análise

destas três coisas, os dois conjuntos e a lei, pode esclarecer detalhes sobre a interdependência

dos elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.

8.1. Função de A em B

Dados dois conjuntos A e B, vimos, na Teoria dos Conjuntos, que uma relação de A em B

é um conjunto qualquer de pares ordenados (x, y), onde x é um elemento de A e y é um elemento

de B. Chamemos, em cada par (x,y), y de conseqüente de x.

Adotaremos a seguinte definição:

Uma função de A em B é uma relação em que para cada x, x A∈ , existe um único y,

y B∈ , que seja conseqüente de x.

− O conjunto A é chamado de domínio de f, e o conjunto B é chamado de contradomínio de f.

− Nas condições acima, x é chamado de variável independente, e y é chamado de variável

dependente (de x).

− Diz-se também que y é uma função de x.

Exemplo 1

Seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja ℕ o conjunto dos números

naturais. Ao associar a cada elemento de T a sua idade (que é um número natural), fica

estabelecida uma função de T em ℕ .

Repare que é possível, talvez até provável, que haja em T várias pessoas com a mesma

idade, mas há, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes:

− a todo elemento de T corresponde um elemento de ℕ , já que toda pessoa tem uma idade;

− nenhuma pessoa tem duas ou mais idades.

Em resumo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de ℕ .



Exemplo 2

Considere os conjuntos { }A 1,0,1, 2= − e { }B 0,1,2,3, 4,5= .

Ao associar a cada elemento de A ao seu quadrado em B, estabelece-se uma função de A

em B, pois, assim, para cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

A função é o conjunto de pares ordenados:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 0,0 , 1,1 , 2, 4−

Sendo x um elemento de A e y o seu correspondente em B, podemos representar a

função acima descrita pela equação 2y x= .

8.2. Uma outra notação

Para operar com os pares ordenados (x,y) de uma função dada, é muito comum escolher-

se uma letra, uma palavra ou alguma abreviatura, para indicar a função.

Assim, no exemplo 1, podemos indicar a idade de cada pessoa x, x T∈ , por Idade(x).

Supondo que Alexandre, Tatiana e Juliana sejam elementos de T e que suas idades sejam

respectivamente 17, 14 e 9, escrevemos:

Idade(Alexandre) = 17

Idade(Tatiana) = 14

Idade(Juliana) = 9

Por outro lado, com a notação Idade: T → ℕ queremos dizer que Idade é, no caso,

uma função de T em ℕ .

No exemplo 2, se indicarmos o quadrado de x por q(x), isto é, ( ) 2q x x= , seguirá que:

Para indicar que se trata de uma função de A em B, usa-se a notação q : A B→ .

Exemplo 3

Considere a função f : →ℝ ℝ , ( )f x 2x 3= + .

Obter:

a) ( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 2+ +

b) ( )f 0 1 2+ +

c) x tal que ( )f x 0=

Resolução:



a) ( ) ( )( )f 0 2 0 3 3= + =

( ) ( )( )f 1 2 1 3 5= + =

( ) ( )( )f 1 2 2 3 7= + =

Logo, ( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 2 15+ + =

b) 0 1 2 3+ + =

( ) ( )( )( )

f 0 1 2 f 3

2 3 3 9

+ + =

= + =

Logo, ( )f 0 1 2 9+ + =

c) ( )f x 0 2x 3 0= ⇔ + =

32x 3 0 x

2+ = ⇔ = −

Logo, ( ) 3f x 0 x

2= ⇔ = −

Resposta: a) 15 b) 9 c) 3

2−

Exemplo 4

Considere a função f : ∗+→ℝ ℝ tal que:

( )f 1 5=

( ) ( ) ( )f u f v f u v⋅ = + , para todo u e v

Obter:

a) f(2) d) f(-1)

b) f(3) e) 1

f2

c) f(0)

Resolução:

a) ( ) ( ) ( )f 1 f 1 f 1 1⋅ = +

Como ( )f 1 5= , tem-se que ( )f 2 25=



b) ( ) ( ) ( )f 1 f 2 f 1 2⋅ = +

Como ( )f 1 5= e ( )f 2 25= , tem-se que ( )f 3 125=

c) ( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 0 1⋅ = +

( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 1⋅ =

( )f 0 5 5⋅ =

( )f 0 1=

d) ( ) ( ) ( )f 1 f 1 f 1 1− ⋅ = − +

( ) ( ) ( )f 1 f 1 f 0− ⋅ =

( )f 1 5 1− ⋅ =

( ) 1f 1

5− =

e) 1 1 1 1

f f f2 2 2 2

⋅ = +

( )2

1f f 1

2

=

2

1f 5

2

=

Como 1

f2

∗+

∈

ℝ , segue que 1

f 52

=

Resposta: a) 25 b) 125 c) 1 d) 1/5 e) 5

8.3. Domínio de uma função real de variável real

Sejam D um subconjunto não vazio de ℝ e f : D → ℝ uma função. Então sabemos

que, para todo x, x D∈ , existe y, y∈ℝ , tal que ( )y f x= .

Nestas condições, diremos que f é uma função real de variável real.



Estabeleçamos ainda a seguinte convenção:

Quando o domínio D de uma função f real de variável real não for especificado, este será

o conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) seja um número real, isto é,

( ){ }D x | f x= ∈ ∈ℝ ℝ .

Quando o contradomínio de uma função real de variável real não for especificado, deve-se

subentender que este seja o conjunto ℝ de todos os reais.

Exemplo 5

Qual o domínio da função ( ) 1f x

x= ?

Resolução:

Devemos obter o conjunto de todos os valores reais de x para os quais 1

x seja real.

Repare que a única condição para isto é que x seja diferente de 0 (zero).

Resposta: O domínio de f é o conjunto ∗ℝ .

Exemplo 6

Qual o domínio da função ( )f x x= ?

Resolução

A condição para que x seja real é que x seja um número real não negativo, isto é, x

deve ser positivo ou nulo.

Resposta: O domínio de f é o conjunto +ℝ .

8.4. Conjunto imagem

Sendo A e B conjuntos e f :A B→ uma função, sabemos que, para cada x, x A∈ ,

existe um único y, y B∈ , tal que ( )y f x= .



Fica determinado assim um subconjunto de B cujos elementos são os correspondentes

dos elementos de A pela função f. Este subconjunto é chamado de conjunto imagem de f.

Em símbolos:

( ) ( )( ){ }mI y B | x x A e y f x= ∈ ∃ ∈ =

Exemplo 7

Sejam G um conjunto de pessoas e H o conjunto dos dias do ano de 1992. Se associamos

a cada elemento de G o seu dia de aniversário em H, teremos uma função em que:

− o domínio é o conjunto G

− o contradomínio é o conjunto H

− o conjunto imagem é o conjunto de todos os dias de 1992 (elementos de H) em que pelo

menos uma pessoa, elemento de G, faça aniversário.

Observação:

Determinar o conjunto imagem de uma função dada poderá exigir técnicas e conceitos

avançados. Nos próximos exemplos veremos apenas alguns casos simples e fundamentais.

Exemplo 8

Sejam { }A 1,0,1, 2= − e { }B 0,1,2,3, 4,5= . Obter o conjunto imagem da função

g :A B→ , ( ) 2g x x= .

Resolução

( )g 1 1− = , ( )g 0 0= , ( )g 1 1= e ( )g 2 4=

Resposta: { }0,1,4

Exemplo 9

Obter o conjunto imagem da função f : →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= .



Resolução

Devemos obter o conjunto de todos os reais y para os quais exista pelos menos um valor real de

x, tal que 2y x= . Repare que é necessário e suficiente que y seja maior ou igual a zero, dado que

o expoente é um número par.

Resposta: Logo, o conjunto imagem é mI += ℝ

Exemplo 10

Obter o domínio e o conjunto imagem da função ( ) 3x 7f x

x 10

−=

−

Resolução

Como não se define divisão por zero, devemos ter x 10 0− ≠ .

Logo, o domínio D de f é { }10−ℝ .

Para cada real x, x 10≠ , existe um real y tal que 3x 7

yx 10

−=

−.

Segue que:

( )y x 10 3x 7− = −

xy 10y 3x 7− = −

xy 3x 10y 7− = −

( )x y 3 10y 7− = −

Observe que, para y=3, obtemos a equação x 0 23⋅ = , que não possui solução real.

Por outro lado, para todo real y, y 3≠ , segue que existe x e 10y 7

xy 3

−=

−

Resposta: Portanto, { }D 10= −ℝ ; { }mI 3= −ℝ

8.5. Gráfico

Sendo f uma função real de variável real, chama-se de gráfico de f ao conjunto de todos

pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x).



Exemplo 11

Esboce o gráfico da função ( )f : , f x x→ =ℝ ℝ

Resolução

O gráfico é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x) = x, isto é, a

bissetriz dos quadrantes I e III.

Exemplo 12

Esboce o gráfico da função ( )f : , f x 2→ =ℝ ℝ

Resolução

x

y

(0,2)

O gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano com ordenada y igual a 2.

Exemplo 13

O gráfico abaixo representa a função ( )f : , f x mx n→ = +ℝ ℝ , onde m e n são

constantes reais.

Obter os valores de m e n.



Resolução

( ) ( )( )( )

0,1 f f 0 1

m 0 n 1

n 1

∈ ⇒ =

+ =

=

( ) ( )( )( )( )( )

2,2 f f 2 2

m 2 n 2

m 2 1 2

1m

2

∈ ⇒ =

+ =

+ =

=

Resposta: 1

m2

= e n 1=

8.6. Crescimento de uma função

Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B. Seja I um subconjunto

de A. Então:

− f é uma função crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { }1 2x , x ,

2 1x x> , tivermos ( ) ( )2 1f x f x> , isto é, quando x aumenta, f(x) aumenta.



− f é uma função decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { }1 2x , x ,

2 1x x> , tivermos ( ) ( )2 1f x f x< , isto é, quando x aumenta, f(x) diminui.

− f é uma função constante em I se, e somente se, para todo par de elementos { }1 2x , x de I,

tivermos ( ) ( )1 2f x f x= .

− f é uma função não crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,

{ }1 2x , x , 2 1x x> , tivermos ( ) ( )2 1f x f x≤ , isto é, quando x aumenta, f(x) não aumenta.

− f é uma função não decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,

{ }1 2x , x , 2 1x x> , tivermos ( ) ( )2 1f x f x≥ , isto é, quando x aumenta, f(x) não diminui.



8.7. Conjunto simétrico

Um conjunto A, A ⊂ ℝ , é dito simétrico se, e somente se, para todo x, x A∈ , tivermos

x A− ∈ .

Assim, os conjuntos { }3,3− , [ ]3,3− , ℤ , ℚ e ℝ são exemplos de conjuntos simétricos,

enquanto os conjuntos [ ]3,4− e ℕ não o são.

8.8. Paridade de uma função

Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função par se, e somente se,

para todo x, x D∈ , tivermos que ( ) ( )f x f x− = .

Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função ímpar se, e somente

se, para todo x, x D∈ , tivermos que ( ) ( )f x f x− = − .

Chamamos de função sem paridade àquela que não é par nem ímpar.

Exemplo 14

Verificar a paridade das seguintes funções:

a) ( )f x 3=

b) ( )f x x=

c) ( ) 2f x x 7= +

d) ( )f x 2x 7= +

e) ( ) ( ) ( )f x g x g x= + − , onde g é uma função de ℝ em ℝ

Resolução

a) ( ) ( )f x 3 f x− = = , logo f é uma função par

b) ( ) ( )f x x f x− = = − , logo f é uma função ímpar



c) ( ) ( ) ( )2f x x 7 f x− = − + = , logo f é uma função par

d) ( )f x 2x 7− = − +

( ) ( )f x f x− = e ( ) ( )f x f x− = − , logo f não tem paridade

e) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x− = − + = , logo f é uma função par



9. A função do 1° grau

9.1. Função do primeiro grau

Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B. Diremos que f é uma

função do primeiro grau, ou uma função afim, se e somente se, existirem constantes reais m e n,

m 0≠ , tais que ( )f x mx n= + , para todo x, x A∈ .

Se nas condições acima tivermos n = 0, diremos que a função f é linear. Repare que,

neste caso, tem-se que:

( )f 0 0=

( ) ( ) ( )f u v f u f v+ = + , quaisquer que sejam u e v

( ) ( )f k x k f x⋅ = ⋅ , qualquer que seja a constante k

O gráfico de toda função deste tipo é um conjunto de pontos colineares e, em particular,

se A = ℝ , então o gráfico é uma reta.

A constante m é igual à tangente do ângulo θ, indicado no gráfico, é chamada de

coeficiente angular da reta e consiste numa espécie de taxa de crescimento ou de decrescimento

da função.

Com m > 0, a função é crescente (0 < θ < 90°), e com m < 0, a função é decrescente (90°

< θ < 180°).

Por outro lado, a constante n indica onde a reta y = mx + n intercepta o eixo y. Esta

intersecção é o ponto (0,n).

No caso da função ser linear, isto é, n=0, o gráfico é uma reta que “passa” pela origem.

Exemplo 1

Esboçar o gráfico da função ( )f : , f x x→ =ℝ ℝ .



Resposta:

Exemplo 2

Esboçar o gráfico da função ( )f : , f x x 2→ = +ℝ ℝ .

Resposta:

Como uma reta é determinada por dois pontos distintos, podemos atribuir simplesmente dois

valores a x para obter dois pares ordenados.

Exemplo 3

Esboçar o gráfico da função ( )f : , f x 2x→ =ℝ ℝ .

Resposta:



Exemplo 4

Esboçar o gráfico da função ( )f : , f x x→ = −ℝ ℝ .

Resposta:

Exemplo 5

Esboçar o gráfico da função ( )f : , f x 2x 3→ = −ℝ ℝ .

Resposta:

Exemplo 6

Esboçar o gráfico da função ( )x, se x 0

f : , f xx 3, se x 0

≤→ =

− + >ℝ ℝ .

Resposta:



9.2. Teorema

Sendo ( )f x mx n= + (com m e n constantes) uma função em ℝ , tem-se que:

( ) ( )f r f sm

r s

−=

−

para todo par de números reais r e s, r s≠ .

A demonstração é imediata. Veja:

( )f r mr n= + e ( )f s ms n= + , logo ( ) ( ) ( )f r f s mr n ms n m r s− = + − − = − .

Como, por hipótese, r s≠ , segue que ( ) ( )f r f s

mr s

−=

−.

Exemplo 7

Identificar a função f dada pelo gráfico:

Resolução:

Como o gráfico é uma reta, a f é definida em ℝ e é tal que ( )f x mx n= + , onde m e n são

constantes.

( ) ( )f 6 f 2m

6 2

−=

−



5 3m

4

−=

1m

2=

( ) 1f 2 2 n

2

= +

3 1 n n 2= + ⇒ =

2ª maneira:

Sendo ( )f x mx n= + , segue que ( )( )

f 6 5

f 2 3

=

=

Daí 6m n 5

2m n 3

+ =

+ =

Resolvendo este sistema, conclui-se que 1

m2

= e n = 2.

Resposta: ( ) xf : , f x 2

2→ = +ℝ ℝ



10. A Função do 2° Grau

10.1. Função do segundo grau

Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B.

Se existirem constantes reais a, b e c, com a 0≠ , tais que ( ) 2f x ax bx c= + + , para

todo x, x A∈ , diremos que f é uma função do segundo grau (ou uma função quadrática).

Pode-se provar que o gráfico de uma função do segundo grau é um subconjunto de uma

parábola.

Se A∈ℝ , então o gráfico de f é uma parábola.

10.2. A parábola

Antes de prosseguir, vamos estudar o conceito de parábola.

Consideremos, num plano α, uma reta (d) e um ponto (F), F d∈ .

Chama-se de parábola ao conjunto de todos os pontos do plano α que eqüidistam de (d) e

(F).

Observe, na figura abaixo, que os pontos V, P1 e P2 são eqüidistantes da reta (d) e do

ponto (F).

O roteiro a seguir mostra como obter outros pontos que eqüidistam de (d) e (F):

− considerar o semiplano αF como origem na reta (d) ao qual pertence o ponto (F).

− traçar em αF uma reta (r) paralela a (d), de modo que a distância h, de (r) a (d), seja maior que

a distância de (V) a (d).

− traçar uma circunferência λ de centro (F) e raio h.

− os pontos obtidos pela intersecção da circunferência com a reta (r) são eqüidistantes da reta

(d) e o ponto (F) e são, portanto, pontos da parábola.



Observe que:

− existem infinitos pontos na parábola.

− a parábola é uma figura simétrica em relação à reta (e) determinada pelos pontos (F) e (V).

− a reta (e) é chamada eixo da parábola.

− o ponto (V) é chamado vértice da parábola.

Exemplo 1

Esboçar, no mesmo plano, os gráficos das funções:

a) ( ) 2f x x=

b) ( ) 2g x x= −

Resolução:



10.3. Considerações

− A parábola 2y ax bx c= + + tem a concavidade no sentido do eixo y se, e somente se, a > 0,

e no sentido oposto se, e somente se, a < 0.

− A toda expressão 2ax bx c+ + corresponde um número 2b 4ac∆ = − , chamado

discriminante, que, como veremos, tem papel importante no estudo das funções.

− Quando 0∆ > , a parábola 2y ax bx c= + + intercepta o eixo x em dois pontos distintos,

( )1x ,0 e ( )2x ,0 , onde x1 e x2 são as raízes da equação 2ax bx c 0+ + = .



− Quando 0∆ = , a parábola 2y ax bx c= + + é tangente ao eixo x, no ponto b,0

2a

−

. Repare

que quando tivermos o discriminante 0∆ = , as duas raízes da equação 2ax bx c 0+ + = são

iguais a b

2a

−.

− Se 0∆ < , a parábola 2y ax bx c= + + não intercepta o eixo x.

− Na parábola 2y ax bx c= + + existem dois pontos em que y = c, e estes correspondem aos

pares ordenados ( )0,c e b,0

2a

−

.

−b

a

−

b,c

a

− A parábola é simétrica em relação a uma reta chamada eixo da parábola. Sobre esta reta se

encontra o vértice da parábola. Em todos os casos o vértice da parábola 2y ax bx c= + + é o

ponto V, de abscissa V

bx

2a

−= e ordenada Vy

4a

−∆= .

Que V

bx

2a

−= é conseqüência direta da simetria da parábola, e para obter yV basta

lembrar que ( )V Vy f x= :



= ⋅ + ⋅ +

− − = +

= ⋅ − +

2V V V

2

2 2

2

y a x b x c

b ba b c

2a 2a

b ba c

4a 2a

= − +

− +=

− +=

−∆=

2 2

V

2 2

2

b by c

4a 2a

b 2b 4ac

4a

b 4ac

4a

4a

Repare que, se x for uma variável real, então o vértice corresponde a um extremo

(máximo ou mínimo) da função 2y ax bx c= + + .

Exemplo 2

Esboçar o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3, ( )x∈ℝ e obter o seu conjunto imagem.

Resolução:

( )

−= =

= = −

V

V

bx 1

2ay f 1 4

Resposta: { }Im y | y 4= ∈ ≥ −ℝ

Exemplo 3

Esboçar o gráfico da função f(x) = x2 – 2x +3 e obter o valor mínimo de y.

Resolução:



V

V

8

bx 1

2a

y 24a

∆ = −

−= =

−∆= =

Resposta: 2

Exemplo 4

Esboçar o gráfico da função f(x) = 3x - x2 e obter o valor máximo de f(x).

Resolução:

V

V

b 3x

2a 4a3 9

y f2 4

−= =

= =

3 9,

2 4

Resposta: 9

4

Exemplo 5

Qual a função representada pela parábola abaixo?

x

y

2

(1,4)4

1-1

Resolução:

1ª maneira:

Seja ( ) 2f x ax bx c= + + . Então temos que:



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

1,4 f f 1 a 1 b 1 c 4

1,0 f f 1 a 1 b 1 c 0

2,0 f f 2 a 2 b 2 c 0

∈ ⇒ = ⋅ + ⋅ + =

− ∈ ⇒ − = − + − + =

∈ ⇒ = ⋅ + ⋅ + =

Resolvendo o sistema

a b c 4

a b c 0

4a 2b c 0

+ + =

− + = + + =

obtemos a = - 2, b = 2 e c = 4.

Logo, a função é f : B→ℝ , ( ) 2f x 2x 2x 4= − + + , com B⊂ ℝ .

2ª maneira:

Lembrando que ( ) ( )2

1 2ax bx c a x x x x+ + = − − , onde x1 e x2 são as raízes -1 e 2, tem-se que

( ) ( )( )1 2f x a x x x x= − − .

Por outro lado, de ( )f 1 4= segue que ( ) ( )a 1 1 1 2 4+ − = isto é, 2a 4− = , ou ainda a 2= − .

Logo, ( ) ( ) ( ) 2f x 2 x 1 x 2 2x 2x 4= − + − = − + + .

Resposta: f : B→ℝ , ( ) 2f x 2x 2x 4= − + + , com B⊂ ℝ .

Exemplo 6

Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros

lados será usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as

dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima.

Resolução:

Sendo u e v as dimensões do galinheiro, tem-se que:

u 2v 25+ = ( )u 25 2v= −

A área do galinheiro será igual a A = u . v, ou ainda

( ) 2A v 25 2v 2v 25v= − = − +

Abaixo temos o gráfico da área A em função de v.



É fácil concluir que a área será máxima para

b 25v 6,25

2a 4

− −= = =

−

Nestas condições, tem-se que u = 25 – 2v = 12,5.

Resposta: 12,5 m por 6,25 m



Referências Bibliográficas

[1] TEIXEIRA, J. C. et al. Matemática, Livro 1, Assuntos Básicos. São Paulo: Gráfica e Editora

Anglo LTDA, 1990-1991. 58p. (Coleção Anglo)

[2] AMSON, G. A. J. V.; JAMAL, R. M. E.; TEIXEIRA, J. C. Matemática, Livro 2, Álgebra I. São

Paulo: Gráfica e Editora Anglo LTDA, 1990-1991. 91p. (Coleção Anglo)



MATEMÁTICA II Prof. Paulo Henrique Cruz Pereira

ÍNDICE

1. RAZÕES E PROPORÇÕES: ....................................................................................................... 99

1.1. RAZÃO .................................................................................................................................... 99

1.2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS:................................................................................................. 100

1.3. PROPORÇÃO:......................................................................................................................... 101

2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ............................................................................................. 103

2.1. PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: .................................... 103

2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:................................. 104

3. DIVISÃO PROPORCIONAL...................................................................................................... 106

3.1. DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: ............................................................... 106

3.2. DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: ............................................................. 106

3.3. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA: ...................................................................................... 108

4. REGRA DE TRÊS ...................................................................................................................... 110

4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES ......................................................................................................110

4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA .................................................................................................. 111

5. PORCENTAGEM ....................................................................................................................... 113

5.1. CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: ............................................................................................... 113

5.2. ELEMENTOS DOS CÁLCULOS PORCENTUAL ............................................................................. 114

6. JUROS SIMPLES....................................................................................................................... 117

6.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 117

6.2. RELAÇÃO ENTRE CAPITAL, JUROS SIMPLES E MONTANTE ........................................................ 118

6.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ......................................................................................................118

7. SISTEMA MÉTRICO .................................................................................................................. 123

7.1. MEDIDAS DE COMPRIMENTO................................................................................................... 123

7.2. UNIDADES DE POTÊNCIA DE 10............................................................................................... 123

7.3. MEDIDAS DE TEMPO............................................................................................................... 123

ATIVIDADES EM GERAL.............................................................................................................. 124

8. GEOMETRIA .............................................................................................................................. 126

8.1. DEFINIÇÕES........................................................................................................................... 126

8.2. CONHECENDO A GEOMETRIA PLANA ....................................................................................... 127

8.2.1. Triângulos .................................................................................................................... 128



8.2.2. Quadriláteros................................................................................................................ 129

8.2.3. Polígonos ..................................................................................................................... 132

8.2.4. Circunferência (Círculo) ............................................................................................... 135

8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo ........................................................................... 137

8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos.......................................................................................... 139

Fórmulas em Geral de Geometria ......................................................................................... 143

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................. 145



1. RAZÕES E PROPORÇÕES:

Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem trabalhados ao longo do curso se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

1.1. Razão

Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”.

Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No

primeiro caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos, então:

1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão =20

5=4

1

2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 10

2 =

5

1

3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 1/2

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b.

Indica-se: b

a ou a : b e lê-se a para b.

O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos:

1. A razão de 3 para 12 é: 12

3= ¼

2. A razão de 20 para 5 é: 5

20= 4

3. A razão de 5 e ½ é = 5 . 1

2= 10



1.2. Razão de duas grandezas:

Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza.

- Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos:

1. A razão de 2 m para 3 m é: =m

m

3

2

3

2

2. A razão de 30 dm para 6 m = m

dm

6

30 =

m

m

6

3 = ½

- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:

Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

h

km

2

160= 80 Km/h

ATIVIDADES:

1.Calcule a razão entre as grandezas:

a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de

álcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da Faculdade concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de

água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem

maior teor alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre:

a) o número de acertos e o número de questões

b) o número de acertos e o número de erros



1.3. Proporção:

Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser

expressas por razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo

quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos

supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática.

Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: 40

10=

80

20

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.

Portanto:

Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d

A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d

* Lê-se: a está para b assim como c está para d

* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Exemplo:

4

2= 18

9 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformações de uma proporção:

Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.

Exemplo:

Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la :

• alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 • alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.



• invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160 • transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):

Exemplo:

3

6

5

10

6

12

4

8

4653

812106

+++

+++ =

3

6 ou

5

10 ou

6

12 ou

4

8

ATIVIDADES:

1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades:

a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) 2

82,45,9 − =

60

1,14 d)

3/2

9/5=

8,0

3/2

2.Encontrar o valor de x nas proporções:

a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) x

x 2+ =

3

2

−

−

x

3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.

Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos

conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.



2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de

tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de

quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários

empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em

relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a

proporção direta e a proporção inversa.

2.1. Proporção Direta ou Grandezas Diretamente Proporcionais:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e

distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra

projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou

diminui.

Então:

Exemplo 1:

Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária

individual. Veja na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Número de pessoas 1 2 4 5 10

Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento

da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa

diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e a despesa

diária são iguais:

1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.



↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2:

Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa

ordem, porque possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

↓ ↓ ↓

½ = ½ = ½

2.2. Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a

mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um

tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá.

Então:

Exemplo 1:

Suponhamos que no exemplo analisado anteriormente (razão direta), a quantia gasta pelo

grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá

do número de pessoas. Analise a tabela:

Número de pessoas 1 2 4 5 10

Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2

Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou

diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma

razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento

correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são

inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem

diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza.



20/1

1 =

10/1

2 =

5/1

4 =

4/1

5 =

2/1

10 = 20

Exemplo 2:

Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucessão são iguais.

4/1

9 =

6/1

6 =

18/1

2 = 16

ATIVIDADES:

1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.

2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que?



3. DIVISÃO PROPORCIONAL

3.1. Divisão em partes diretamente proporcionais:

Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto:

No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5 são as horas que as pessoas A e B trabalharam.

Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então:

x + y = 660 e x/6 = y/5

Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos

resolver :

=+

+

56

yx 6

x=5

y

11

660 =

6

x =

5

y

Onde:

11

660 =

6

x

11

660=

5

y

x = 360 y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.

3.2. Divisão em partes inversamente proporcionais:

E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e

vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como

efetuar essa divisão com justiça?

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa

encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e

que, somadas, reproduzam esse número.



O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois

deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que

são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a

receber e de y o que B tem a receber.

x + y = 160

3/1

x

5/1

y

5/13/1 +

+ yx =

15/8

160

15/8

160 =

3/1

x x = 100

15/8

160 =

5/1

y y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1. Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2. Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e

60)

3. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um

trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de

trabalho? (84 e 96)

4. A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5. Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6. Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados

é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos

desses números dados.



3.3. Divisão proporcional composta:

Vamos analisar a seguinte situação:

Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que:

- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5).

- Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ).

Portanto:

Resolvendo o problemas, temos:

5.10

x =

4.12

y ou

50

x =

48

y

4850 +

+ yx=

50

x

98

29400=50

x x = 15 000

Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400

Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$

14.400,00.

ATIVIDADES:

1. Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente

proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)

2. Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente

proporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)

3. Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão

fosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As

moças tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser

dividida entre elas era de R$ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2

184 000).

Para dividir um número em partes, de tal forma que uma delas seja proporcional a m e

n e a outra a p e q, basta dividir esse número em partes proporcionais a m . n e p . q.



4. (BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na

razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão

inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)

5. (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros

fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes

inversamente proporcionais a 2 ¼ , 3

5 e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a

ser pago? (120)

6. (TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda

como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª

parte? (300)



4. REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

4.1. Regra de Três Simples

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:

1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$)

5 80,00

9 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

- Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados.

- Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das proporções.

Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido?

Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preço(R$)



5 80,00

9 x

9

5 =

x

80 x =

5

9.80 x = 144,00

ATIVIDADES:

1. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3. Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4. Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5. Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?

4.2. Regra de Três Composta

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo:

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças

3 6 400

7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então:

x

400 =

9.7

6.3

x

400 =

63

18

x

400 =

7

2 2x = 2 800 x = 1.400 peças

ATIVIDADES:

1. Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?



2. Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3. Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

4. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5. Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

7. Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?

8. Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólares conseguirá comprar?



5. PORCENTAGEM

Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “por cento“.

100

80 = 0,80 = 80%

5.1. Cálculos de Porcentagem:

Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:

Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.

20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160

ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000 100%

x 5% x = 100

5.2000 x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00

2ª) 2 000 100%

x 105% x = 100

105.2000



x = 2 100,00

Salário: 2 100,00

Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

15 000 100%

1800 x x = 100

1800.100 x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital?

13% 5 200

100% x x = 100

5200.100 x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00

5.2. Elementos dos Cálculos Porcentual

Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de porcentagem:

Principal ou Capital: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P ou C)

Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i).

Porcentagem ou juros: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p ou j)

Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio:

Porcentagem = 100

.Pr taxaincipal p =

100

.iP , onde P =

i

p.100 e i =

P

p.100

Também poderemos encontrar em algumas literaturas:

100

.iCj = , onde

i

jC

100.= e

C

ji

.100=



É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

ATIVIDADES:

1. Calcular:

a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2. Qual a taxa unitária de 20%?

3. Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4. Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5. Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15%. Quanto ganhou?

8. Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com 6 500 inscritos?

10. Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissídio seria 7,5%) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de R$ 2.850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3.092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.

11. Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?

12. Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/

13. Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

14. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres?

15. Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16. Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17. Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele?

18. Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?



19. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?

20. Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?



6. JUROS SIMPLES

6.1. Introdução

Juros simples é o regime de remuneração do capital onde a taxa de juros é aplicada

sempre sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os períodos de aplicação.

Não se trata, portanto, de porcentuais acumulados, pois é calculado sempre sobre o

mesmo valor.

Exemplo: Um capital de R$ 1.000 é aplicado a 20% ao mês, durante o tempo de 4

meses. Quais os juros?

Solução: 20% de R$ 1.000 é igual a R$ 200. Como o capital foi aplicado por 4 meses, a

quantia total dos juros é de 4 x R$ 200 = R$ 800.

Podemos também calcular o porcentual total, ou 20% ao mês durante 4 meses resultam

80%. 80% de 1.000 resultam R$ 800.

O porcentual total é calculado portanto, multiplicando a taxa (i) pelo número de períodos

de tempo ( t ), tomados em unidades adequadas.

Exemplos:

a) i = 20% ao mês (a.m) t = 3 meses � it = 20 x 3 = 60%

b) i = 45% ao ano (a.a.) t = 8 meses � it = (45/12) x 8 = 30%

c) i = 25% ao mês (a.m.) t = 2 anos � it = 25 x 24 = 600%

d) i = 30% ao ano (a.a.) t = 4 meses � it = (3/12) x 4 = 1%

Observações: 1) Quando na taxa não vem explicando o período de tempo, considera-se o

período anual;

2) Para efeito comercial, considera-se: 1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias



6.2. Relação entre Capital, Juros Simples e Montante

Como o porcentual total (it) é aplicado sobre o capital (C), podemos montar as

seqüências diretamente proporcionais:

Capital C -------- 100%

Juros J ------ i t %

Montante M --------- (100 + i t) %

lembrando que o montante M é a soma do capital mais juros.

6.3. Exercícios Resolvidos

a) Um capital de R$15.000 foi aplicado a uma taxa de 60% a.a., durante 4 meses. Quais os

juros?

Solução:

Calculando o porcentual total, temos: %20412

60== xit

Montando a proporção: 100

Citj = �

100

2015000xj = � 3.000

Resposta: Juros de R$ 3.000.

b) Um capital foi aplicado a 24% a.a. durante 8 meses, rendendo juros de R$ 1.600. Qual

o capital aplicado?

Solução:


24== xit


Citj = �

it

jxC

100= � 000.10

16

1001600==

xC

Resposta: Capital de R$ 10.000.



c) O capital de R$ 12.000 foi aplicado durante 9 meses, rendendo juros de R$ 4.320. Qual

a taxa de juros?

Solução:

Calculando porcentual total, temos: it = i x 9 = 9i%


Citj = �

C

jxit

100= �

000.12

100320.49

xi = � 9i = 36 � i = 4% a.m.

Resposta: A taxa é de 4% ao mês (a.m.) ou 48%) ao ano (a.a.).

d) O capital de R$ 25.000 foi aplicado a 36% ao mês, rendendo juros de R$ 4.500. Qual o

tempo de aplicação?

Solução:

Calculando o porcentual total, temos: it = 36t.


Citj = �

C

jxit

100= �

000.25

100500.436

xt = � 36t = 18 � t = ½ mês

Resposta: Tempo de 1/2 mês ou 15 dias.

e) Um capital foi aplicado a uma taxa de 18% a.m., durante 75 dias, gerando um montante

de R$ 7.250. Qual foi o capital aplicado?

Solução:


18== xit

Montando a proporção: M = C + j � 100

)100( itCM

+= �

it

MxC

+=100

100 �

45100

100250.7

+=

xC

C = 5.000

Resposta: O capital foi de R$ 5.000.

f) 1/4 de um capital foi aplicado a 10% a.m., durante dois meses. O restante foi aplicado a

5% a.m., durante o mesmo tempo. O total de juros obtidos foi de R$ 1.250. Qual o capital

aplicado?



Solução:

Calculando os porcentuais totais, temos:

1) it= 10x2= 20%

2) it= 5x2= 10%,.

Vamos resolver o problema supondo o capital inicial de 100.

20%

1/4 25 � 5,0

100 12,5 (juros totais para 100)

3/4 75 � 7,5

10%

Ou seja, para um capital de 100 obtivemos juros totais de 12,5, que são números diretamente

proporcionais aos valores do problema.

100 -------------- 12,5

Por regra de 3 temos: donde: 5,12

100250.1 xx = = 10.000

X ------------- 1.250

Resposta: O capital total foi de R$ 10.000.

g) Dois capitais foram aplicados a 36% a.a. durante 4 meses. Os juros dos capitais diferem

de R$ 360. Qual a diferença entre os capitais?

Solução:

Se a diferença entre os juros é de R$ 360, esta foi devida à diferença dos capitais. Para

determinarmos a diferença dos capitais, basta determinar qual o capital que, na taxa e no tempo

dados, renderia juros de R$ 360.Temos portanto:



Porcentual total: %12412

36== xit na proporção

100

Citj = �

it

jxC

100= �

000.312

100360==

xC

Resposta: A diferença entre os capitais é de R$3.000.

h) Qual a taxa necessária para que um capital, em 4 anos, triplique de valor?

Solução:

Supondo um capital 100, teremos um montante de 300.

M = C + j � 100

)100( itCM

+= �

it

MxC

+=100

100 �

i

x

4100

100300100

+= � 4i = 300 – 100 � i = 50

Resposta: A taxa necessária é de 50% ao ano.

ATIVIDADES

01) O capital de R$ 3.500, em 6 meses, a 4% a.a., produz juros, em Reais, de

a) 55. b)60. c) 65. d) 70. e) 75.

02) Um capital de R$ 1.500 produz juros de R$ 25, em 75 dias, a uma taxa de

a) 6% a.a. b) 7% a.a. c) 8% a.a. d) 9% a.a. e) 10% a.a.

03) O capital de R$ 48.000 produz R$ 11.160 de juros, a uma taxa de 9%, em

a) 2a 7m. b) 2a 6m. c) 2a 5m. d) 2a 4m. e) 2a 3m.

04) O capital que a taxa de 6,5% a.a., em 6 anos, produz um montante de R$ 2.085, em Reais, é

a) 1.350. b) 1.400. c) 1.450. d) 1.500. e) 1.600.

05) O capital que diminuído de seus juros de 5 anos, 4 meses e 12 dias, à taxa de .5% a.a., reduz-

se a R$ 96.580, em Reais, é

a) 128.000. b) 132.000. c) 135.000. d) 136.000. e) 144.000.

06) A taxa para que certo capital produza, em 5 anos, juros iguais a 2/3 de si mesmo, é



a) 12 1/2%. b) 12 1/3%. c) 13 2/3%. d) 13 1/2%. e) 13 1/3%.

07) Um capital foi aplicado a 10% a.m. durante 5 meses. Findo este prazo, o montante foi

reaplicado por um mesmo período, à taxa de 8% a.m., resultando em um montante final de R$

21.000. O capital, em Reais, era de:

a) 9.000. b) 9.500. c) 10.000. d) 10.500. e) 11.000.

08) Coloquei 1/5 de meu capital a 10%, e o restante a 5%. Recebi juros anuais de RS 3.600. Em

Reais, meu capital era de

a) 50.000. b) 55.000. c) 60.000. d) 65.000. e) 70.000.

09) Sabendo-se que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a taxa anual empregada

foi de

a) 10%. b) 12,5%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%.

10) O tempo para que um capital triplique de valor a 20% ao ano, no regime de juros simples, em

anos, é

a) 5. b)8. c) 10. d) 12. e) 15.

11) Dois capitais aplicados a 5% ao mês, durante 5 meses, rendem juros que diferem de R$ 750.

A diferença entre os capitais, em Reais, é de

a) 2.500. b) 2.750. c) 3.000. d) 3.250. e) 3.500.

12) Depositei certa quantia em um banco e recebi o montante de RS 6.342 no fim de 40 dias. Se a

aplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, os juros são, em Reais, de

a) 40. b) 42. c) 44. d) 48. e) 52.

13) Um certo capital aplicado durante 5 meses resulta em um montante de R$ 12.500 e aplicado

durante 6 meses resulta em outro montante de R$ 13.000. O capital, em Reais, é

a) 8.000. b) 9.000. c) 9.500. d) 10.000. e) 12.000.

14) Dividindo R$ 360 em duas partes de tal forma que a primeira produza em 6 meses os mesmos

juros que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma taxa de aplicação, a maior parte vale,

em Reais,

a) 200. b)210. c) 220. d) 230. e) 240.



7. SISTEMA MÉTRICO

7.1. Medidas de Comprimento

A unidade fundamental para medir comprimento é o metro e é representado pela letra

“m”. Outras unidades são:

1) Múltiplos do metro: quilômetro, hectômetro, decâmetro.

2) Submúltiplos do metro: decímetro, centímetro e milímetro.

A tabela abaixo de unidades representa um exemplo de conversão

Km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Cada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior, ou seja,

12,45 dm = 124,5 cm ou 1,245 x 103 mm

8,73 dam = 0,873 hm

7.2. Unidades de Potência de 10

Para facilitar a representação de números múltiplos de 10 existe as potências de 10, ou seja, podemos substituir “os zeros” por letras que contenham a sua representação. As mais utilizadas são:

G = 109 = 1.000.000.000 = Giga

M = 106 = 1.000.000 = Mega

K = 103 = 1.000 = Kilo

m = 10-3 = 000.1

1 = mili

µ = 10-6 = 000.000.1

1= micro

n = 10-9 = 000.000.1

1= nano

................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha

Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

123

7.3. Medidas de Tempo

A unidade fundamental para medir tempo é o segundo e é representado pela letra “s”. Outras

unidades também utilizadas são:

a) Horas [h] = 3.600 s

b) Minutos [min] = 60 s

c) Dia = 24 h = 1.440 min = 86.400 s

d) Mês = 30 dias = 720 h (comercial)

e) Ano = 12 meses = 360 dias (comercial)

Observação: vale ressaltar que para o Sistema Internacional (SI) de medidas utilizamos o metro e o

segundo.

ATIVIDADES

1. Realize as seguintes conversões:

a) 12 m para hm, dm e mm

b) 15 Km para m, dam e cm

c) 10 m2 para cm2

d) 10 dm3 para m3

2. Realize as seguintes operações, em potência de 10:

a) 1,2G + 100M

b) 12m + 900µ

c) 1.200µ + 2m

d) 110K + 20.000

3. Realize as conversões de tempo:

a) 120 min = ? h

b) 2 h e 30 min = ? h



124

c) 36 h e 40 min = ? h

d) 2,65 h = ? min

e) 465 s = ?? h e ?? min (resposta em XX h: YY min)

ATIVIDADES EM GERAL

01) Na fração a/b, o numerador vale um terço do denominador. Somando-se 10 ao numerador, a fração

torna-se equivalente a 1. Determine o valor de a + b.

02) Peguei 2/5 de R$ 10,20 e distribuí 1/3 para cada filho. Quanto recebeu cada um? 03) Certa chácara dista de São Paulo 2/5 da distância entre Rio e São Paulo. Quanto gasto em combustível para ir e voltar da chácara? Dados: Distância Rio-São Paulo: 425km; Consumo do carro: 11,1 / 3 km por litro; Preço do combustível: R$ 0,66 por litro. 04) A soma de três números é 98. A razão entre o primeiro e o segundo (nesta ordem) é 2/3, e entre o segundo e o terceiro é 5/8. O segundo número é: a) 15 b) 20 c) 30 d) 32 e) 33 05) Um motorista dirige um carro em velocidade constante, de uma cidade A para outra B. sabendo-se que faz 60km/h na ida e 80 km/h na volta e que gastou 9 horas e 20 minutos no percurso de ida e volta, determinar a distância entre A e B.

06) Um fenômeno foi observado desde o instante 2h 30 min até o instante 7h 45 min. Quanto tempo durou esse fenômeno? 07) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2cm. A massa de cada folha é de 1,2g e a massa de cada capa do livro é de 10g. a) Qual a massa do livro b) Qual a espessura de uma folha?

08) Uma pessoa ganha R$ 500,00 por 10 dias de trabalho, quanto receberá por 200 dias de trabalho? 09) No mesmo instante em que uma casa de 5m de altura projeta uma sombra de 20 cm, qual será a altura, em metros, de um prédio cuja sombra projetada mede 2m? 10) Para realizar uma obra, 20 operários levarão 150 dias, se o número de operários aumentar de 30, em quantos dias a obra ficará pronta? 11) Para forrar as paredes de um salão, são necessárias 30 peças de papel com 70cm de largura cada uma. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?



125

12) Uma torneira aberta durante 4 horas enche uma banheira de 150 litros. Se a banheira tivesse metade do volume, em quantos minutos a banheira estaria cheia? 13) A água do mar contém 2,5g de sal para cada 100g de água. Quantos gramas de sal terão em 5 kg de água do mar?

14) Para cobrir 2m2

de uma parede precisamos de 16 azulejos. Quantos azulejos serão necessários para

cobrir uma parece de 8m2

? 15) Para realizar a metade de uma obra 10 operários levam 14 dias. Se forem empregados mais 18 operários, quantos dias levarão para terminar essa obra? 16) Uma roda de 20 dentes engrena com outra de 50 dentes. Quantas voltas darão esta última sabendo que a primeira deu 120 voltas? 17) Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 pessoas adultas com 80kg cada uma. Quantas crianças, pesando 35 kg cada, atingiriam a carga máxima desse elevador? 18) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. Quantas torneiras iguais a essa encheriam o mesmo tanque em 54 minutos? 19) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra enche o mesmo tanque em 4 horas. Em quantas horas as duas juntas encheriam o tanque? 20) Comprei 12 m de certo tecido e paguei R$ 48,00. Quanto cursta o metro do tecido? 21) 900 gramas de glicose contêm 360 gramas de carbono, 60 gramas de hidrogênio e 480 gramas de oxigênio. Calcule quantos gramas de carbono, hidrogênio e oxigênio têm, respectiva-mente, em 300 gramas de glicose.

22) Uma banheira tem três formas de ser cheia. Uma torneira que enche em 3 horas, outra que leva 4 horas para enchê-la e o chuveiro que demora 12horas para enchê-la. Se abrirmos tudo junto, em quanto tempo a banheira ficará cheia?



126

8. GEOMETRIA

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que

essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses

objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem

funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais

complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias,

centros de gravidade de objetos, etc.

8.1. Definições

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado

tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas

vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes

tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no

interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo

estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não

convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver

pontos que estão fora do polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de lados

Triângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6

Heptágono 7 Octógono 8

Eneágono 9 Decágono 10

Undecágono 11 Dodecágono 12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento

que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num

paralelogramo:



127

Os lados opostos são congruentes;

Os ângulos opostos são congruentes;

A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;

As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam

um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui

quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos,

denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos

lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das

somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos

congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles

menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus

lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e

que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

8.2. Conhecendo a Geometria Plana

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual

na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta

compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que

tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também

isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão

as vantagens de optar por uma classificação.

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de

"arrumação".

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma

linha poligonal fechada.



128

8.2.1. Triângulos

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos

lados e quanto aos ângulos.

Quanto aos lados:

Equilátero Isósceles Escaleno

todos os lados iguais dois lados iguais todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos:

Acutângulo Obtusângulo Retângulo

Um ângulo agudo Um ângulo obtuso Um ângulo reto

8.2.1.1. Algumas propriedades:

- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.

8.2.1.2. Área de um Triângulo

Considere as seguintes figuras:



129

Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da

área do retângulo ABCD.

Assim, de modo geral, temos:

área do triângulo: S = (b.h)/2

Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base (b). A altura (l) a ser

considerada é a relativa a esse lado.

8.2.2. Quadriláteros

- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados

paralelos).

- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos

(apenas com dois lados paralelos).

Paralelogramos

Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo

8.2.2.1. Propriedades:

Retângulo: - lados opostos iguais

- quatro ângulos retos



130

- diagonais iguais que se cortam ao meio (bissteriz)

- dois eixos de simetria

Losango: - quatro lados iguais

- ângulos opostos iguais

- diagonais perpendiculares que se cortam ao meio (bissetriz)

- dois eixos de simetria

Quadrado: - quatro lados iguais

- quatro ângulos retos

- diagonais perpendiculares

- quatro eixos de simetria

Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais

- ângulos opostos iguais

- não tem eixos de simetria

Trapézios propriamente ditos

Isósceles Retangular Escaleno

Propriedades:

Isósceles: - dois lados iguais

- um eixo de simetria

Retângular: - um ângulo reto


Escaleno: - quatro lados diferentes


8.2.2.2. Área do Retângulo

Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde:



131

a = medida do comprimento ou base

b = medida da largura ou altura

S = área total

temos que: área do retângulo: S = b.h

8.2.2.3. Área do Quadrado

Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais,

figura abaixo:

l = medida do comprimento ou base

l = medida da largura ou altura

S = área total

temos que: área do quadrado: S = l . l ou S = l2

8.2.2.4. Área de um Losango

O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:

1) O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por “D”.

2) O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por “d”.

Note que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as

medidas D e d das diagonais do losango, então:



132

área do losango: S = (D.d)/2

8.2.2.5. Área de um Trapézio

Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:

1) MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B.

2) PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.

3) A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.

Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm a

mesma altura de medida h.

Da figura temos:

- área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN

- área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2

- área do trapézio = (B.h+b.h)/2

área do trapézio: S = (B + b).h/2

8.2.3. Polígonos

Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo:

Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e

Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.

Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo:



133



Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo:



Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo:



Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.

Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o

polígono em duas partes.

Exemplo:



Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina

deixa o polígono de um só lado.

Exemplo:



134



Os polígonos podem ser regulares ou não regulares.

Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não

regular.

Exemplo de polígonos regulares:



8.2.3.1. Área de um Polígono Regular

Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.

A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes,

em cada um desses triângulos temos:

1) base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja medida vamos indicar por “l”.

2) altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos

indicar por “a”.

A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.

Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por: 5.(l.a)/2



135

Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.

área de um polígono regular = n.(l.a)/2

Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado, a expressão 5.l/2

representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.

Assim temos: área do pentágono = 5.l/2

Concluímos que para todos os polígonos regulares, podemos escrever:

área de um polígono regular = p.a

Observações:

1) O número de diagonais de um polígono convexo é determinado por: 2

)3( −=

nnd

Onde: d = diagonal

n = número de lados

2) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é Si = (n-2) . 1800

8.2.4. Circunferência (Círculo)

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam

igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). À

distância constante denominamos de RAIO (indicado por “r”).

Por exemplo:

Vejamos alguns elementos da circunferência:

1) Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r).

2) Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA.

r

o



136

3) A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior

corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o

diâmetro por d, logo d=2r.

8.2.4.1. Área de um Circulo

Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.



Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com

a região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.

Assim, termos:

1) O perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CIRCUNFERÊN-

CIA (C=2.pi.r).;

2) O semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.;

3) O apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então:

área de um círculo: S = pi.r.r ou S = pi.r2



137

ATIVIDADES

1. Coloque V (verdadeira) ou F (falsa), conforme as sentenças seguintes:

a) Em qualquer losango as diagonais, cortam-se mutuamente ao meio ( )

b) Em qualquer parelelogramo, as diagonais são congruentes ( )

c) Em qualquer paralelogramo, as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos ( )

d) Todo quadrado é inscritível e circunscritivel ( )

e) Todo retângulo

2. As bases de um trapézio ABCD medem: AB = 4 cm e CD = 10 cm, e a altura mede 12 cm. Calcule a área deste trapézio.

3. Um triângulo ABC tem uma altura de 20 cm e sua base igual a 10 cm. Calcule sua área, em m2.

4. Um determinado círculo possui seu diâmetro igual a 24 cm. Calcule a área e o perímetro deste circulo.

8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo

Seja um triângulo ABC retângulo em Â, e seja α a medida de um de seus ângulos agudos:

Temos:

a = hipotenusa c = cateto oposto b = cateto adjacente

Logo:

sen α = hipotenusa

opostocateto − ��

a

csen =α (seno)

cos α = hipotenusa

adjacentecateto − ��

a

b=αcos (cosseno)

tag α = adjacentecateto

opostocateto

−

− ��

b

csen =α (tangente)

A

B

C α

c a

b



138

Também vale lembrar que: sen2 α + cos2 α = 1 e que

(hipotenusa)2 = (cateto-oposto)2 + (cateto-adjacente)2 � a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)

Para um triângulo qualquer temos:

1) Teorema dos cossenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

2) Teorema dos senos: ^^^

Csen

c

Bsen

b

Asen

a== =

3) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 1800. â + ^b + ^c = 1800

4) Num triângulo qualquer, um ângulo extreno é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

ê = â + ^c

Nota: Tabela com alguns ângulos principais

Sen Cos Tag

300

2

1

2

3

3

3

450 2/2 2/2 1

600

2

3

2

1 3

900 1 0 infinito

ATIVIDADES

1. O lado de um triângulo eqüilátero mede a. Calcule a medida de sua altura. 2

3ah =

2. Calcule a medida do raio da circunferência inscrita num trapézio isóceles cujas bases medem 8 m e 18 m. (r = 6m)

3. Sabendo que o lado de um quadrado mede a, calcule a medida de sua diagonal. (d = a 2 )

A

C

B

b

c

a

e



139

4. O triangulo ABC tem base de 18 cm e altura de 12 cm. Calcule o perímetro do quadro inscrito.

5. Em relação ao triângulo ABC, qualquer, sabemos que: AB = 5 cm , BC = 8 cm e ^

B = 600. Calcule:

a) A medida do lado AC (x=7cm)

b) A medida da altura AH.

(2

35=h cm)

6. Os lados do triângulo ABC medem: AB = 12 cm , BC = 4 7 cm e AC = 8 cm. Calcule a medida da projeção do lado AC sobre o lado AB (base). (x=4 cm)

8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos

Consideremos duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t, conforme a figura abaixo:

A

B C

B

A

C

H



140

Onde: a1 é colateral de b4 e a1 + b4 = 1800

Pelo postulado de Euclides:

a1 = a2 = a3 = a4 (ângulos agudos)

e

b1 = b2 = b3 = b4 (ângulos obtusos)

Observação: Os ângulos a2 e a3 são chamados de alternados internos, assim como os ângulos b2 e b3.

Ângulos na Circunferência

Ângulo Central: possui o vértice no centro da circunferência e, portanto, seus lados são raios. O ângulo

central e o arco determinado por ele têm a mesma medida.

Ângulo Inscrito: possui o vértice na circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.

α

α



141

Teorema: Se um ângulo central e um ângulo inscrito estiverem determinado num mesmo arco, numa

mesma circunferência, o ângulo central vale o dobro do inscrito.

α = 2β

Exemplo:

(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na

figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:

a) 38

b) 63

c) 79

d) 87

β

β

α

β



142

Solução

O arco PQ = 900 (pois PQ = 2 x 450)

Já o arco QR = 360 (2 x 180)

Mais uma vez o arco RS = 760 (2 x 380)

Logo: o arco PS = PQ + QR + RS � PS = 900 + 360 + 760 � PS = 2020

Sabemos que o perímetro de uma circunferência ‘é de 3600, portanto:

PS + 2020 = 3600 � PS = 3600 – 2020 � PS = 1580

Como a medida do arco é o dobro da medida do ângulo, que desejamos, teremos:

O ângulo PQS = 158/2 = 790, ou seja, letra C.

ATIVIDADES

1. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 5 cm, e o ângulo formado por eles mede 300. Calcule:

a) A área deste triângulo. (S = 5 cm2)

b) A altura relativa ao lado maior. (h = 2 cm)

2. Num losango, uma diagonal mede o triplo da outra. Calcule a área deste quadrilátero, sabendo que seu

perímetro é 40 m. (S=60m2)

3. Calcule a área da coroa circular seguinte, sabendo que seus raios medem 4 cm e 3 cm.



143

Resp.: Scoroa = π7 cm2

Fórmulas em Geral de Geometria

Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.



144

Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.



145

Referências Bibliográficas

1. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1999.

2. MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2000.

3. SPINELLI, Walter e SOUZA, Maria Helena. Matemática. São Paulo: Ática, 2001.

4. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2004.

5. NERY, Chico e TROTTA, Fernando. Matemática: Curso Completo. Rio de Janeiro: Moderna,

1988

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