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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA
1
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Prezado(a) Aluno(a),
Lembre-se dos motivos que o
levam a estudar para o
concurso. Faça um cronograma de
estudos e avalie constantemente
como está seu desempenho
conforme você faz exercícios e
questões de provas anteriores.
Planeje o tempo de estudo e de
descanso. Com organização,
disciplina e força de vontade é
possível conciliar estudo eficiente
com lazer e trabalho.
Procure resolver todas as questões
da apostila. Em caso de dúvida,
use o blog:
(www.valclides.blogspot.com)
ou e-mail:
Lembre-se de que é necessário
acompanhar todas as aulas, pois
cada uma pode abordar conteúdos
diferentes.
Bem vindo ao Curso e sucesso em
sua caminhada!
Valclides Guerra
Professor
Matemática Prof.: Valclides Guerra
Conteúdo abordado nesta apostila:
1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);
2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números
Racionais; números Irracionais e números Reais;
3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau,
Problemas do 1º Grau;
4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e
Composta;
5. Porcentagem.
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M A T E M Á T I C A
1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);
2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números
Racionais; números Irracionais e números Reais.
3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau,
Problemas do 1º Grau;
4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e
Composta;
5. Porcentagem.
Apresentação
atemática é uma das ciências mais aplicada em
nosso cotidiano. Se prestarmos atenção notaremos que em simples atitudes utilizamos
os nossos conhecimentos básicos de matemática, como:
olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,
fazer relação de distâncias entre cidades etc. Por tudo
isso, caros estudantes, a Matemática exercita nossa
mente, nos torna mais racionais. Começamos ter uma
visão: do espaço, das pessoas, dos acontecimentos em
geral, de forma mais ampliada. Portanto, caros
concurseiros, o estudo da Matemática não é uma
OBRIGAÇÃO, e sim uma NECESSIDADE.
DICA para resolver problemas
Prezados concurseiros, em concurso
público, as questões de Matemática são quase sempre constituídas por
problemas. O que faz uma boa parte
dos candidatos ter dificuldades para
entender o que, de fato, está sendo
perguntado e o que temos para
podermos garantir a resposta correta e em um curto
espaço de tempo. E para resolvermos estes problemas
devemos desenvolver:
Uma boa interpretação de texto – procure
lembrar se você já resolveu uma questão correlata e aplique o mesmo método. Primeiro, você tem de
entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são
os dados? Quais são as condições? É possível
satisfazer as condições? Elas são suficientes para
determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou
redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura.
Outra se necessário, introduza notação adequada.
Separe as condições em partes.
A linguagem Matemática – (construa uma
estratégia para resolução do problema): perceba se
você pode resolvê-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexões entre os
dados. Talvez seja conveniente considerar
problemas auxiliares ou particulares, se uma
conexão não for achada em tempo razoável.
E claro, o conhecimento dos conteúdos
matemáticos – (execute a estratégia).
Frequentemente esta é a etapa mais fácil do
problema. Preste atenção às incógnitas e procure
perceber se será necessário fazer uso de alguma
fórmula.
REVISE – examine a solução obtida e verifique o
resultado e o argumento.
RESUMINDO:
1) Ler atentamente o problema;
2) Estabelecer qual a incógnita;
3) Montar uma equação traduzindo os dados do
problema;
4) Resolver a equação;
5) Verificar se a raiz da equação é resposta do
problema;
6) Dar a resposta do problema.
Logo, percebemos que resolver problemas depende de um grande esforço pessoal
Simbologia Matemática mais usual
Na Matemática, muitas informações são
apresentadas em forma simbólica, o que faz necessário
conhecermos alguma simbologia básica, vamos lá?
= (igual à)
(diferente de)
ou { } (conjunto vazio)
(pertence à)
(não pertence à)
(está contido)
(não está contido)
(contém)
(não contém)
(existe pelo menos um)
(não existe)
| (existe e é único)
| (tal que / tais que)
(ou)
(e)
BA (interseção dos conjuntos A e B)
BA (união dos conjuntos A e B)
(para todo, qualquer que seja)
(implica)
(implica e a recíproca é equivalente)
(donde se conclui)
M
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A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS
Os números foram inventados pelos homens. Mas
sua criação não aconteceu de repente surgiu da
necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lá
do primário?). O homem primitivo, por exemplo,
contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,
fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar
quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós
ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com
maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para
representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os
povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer
como alguns povos dessa época contavam.
A numeração dos romanos Os romanos representavam quantidades usando as
próprias letras de seu alfabeto:
I - valia uma unidade
V - valia cinco unidades
X - representava dez unidades
L - indicava cinqüenta unidades
C - valia cem unidades
D - representava quinhentas unidades
M - indicava mil unidades
As quantidades eram representadas colocando se os
símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte
regra:
Os símbolos iguais juntos, até três, significava
soma de valores:
III = 1 + 1 + 1 = 3
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
CCC = 100 + 100 + 100 = 300
Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava
subtração de valores:
IV = 5 - 1 = 4
XL = 50 - 10 = 40
XC = 100 - 10 = 90
Dois símbolos diferentes juntos, com o maior
aparecendo antes do menor, significa soma de
valores:
LX = 50 + 10 = 60
CCXXX = 200 + 30 = 230
DC = 500 + 100 = 600
MMMD = 3.000 + 500 = 3.500
Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras
correspondentes à quantidade de milhares:
__
IV = 4.000
_
V = 5.000
_____
XXIII = 23.000
Observação: Os romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero.
A NUMERAÇÃO DOS HINDUS
Foram os hindus que inventaram os símbolos que
usamos até hoje:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são
conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles
escrevemos todos os números. Mais adiante vamos falar
sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe,
por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem
diferentes.
NÚMEROS NATURAIS
Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)
empregamos os números:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...
Esses números são chamados de números naturais. Existem infinitos números naturais os números que
aparecem juntos, como na seqüência acima são
chamados números consecutivos.
Exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem
depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13.
Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números
naturais é baseado na existência do ZERO e na
propriedade que todo número tem sucessor e antecessor.
Apenas o Zero não tem antecessor.
Observações:
1) Todo número natural tem um sucessor (é o que vem
depois).
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2) Todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exceção do zero.
3) Um número natural e o seu sucessor são chamados
números consecutivos.
PAR OU IMPAR
Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou
8.
Os números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...
Um número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...
Conjuntos Numéricos
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Como decorrência da necessidade de contar objetos
surgiram os números naturais que é simbolizado pela
letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é
o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que
é representado por N*.
Observações:
1) Em N são definidas apenas as operações de adição
e multiplicação, apenas estas são garantidas nas
operações dentro do conjunto N;
2) Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais
então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da
operação;
3) Valem as propriedades associativa, comutativa e
elemento neutro (0 para a adição e 1 para a
multiplicação) para as duas operações e a
distributiva para a multiplicação em N. Em N a
subtração não é considerada uma operação, pois se
a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não
existe em N.
DICCA para o aluno
Caso você escreva do número a até o número b,
você escreverá ao todo (b – a + 1) números.
Exemplo: de 23 a 58 = 58 – 23 + 1 = 36.
Caso você escreva os números existentes entre a e
b, você escreverá ao todo (b – a – 1) números.
Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 – 23 – 1 = 34.
De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes
como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1
a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.
De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes
como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes
como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo
aparece 3000 vezes.
De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10
n – 1
vezes como unidade, 10n – 1 vezes como dezena e
10n – 1 vezes como centena.
01) A diferença entre o menor número de três algarismo
e o maior número de dois algarismos é:
a) 5
b) 3 c) 1
d) 2
e) 4
02) Quantos números da sucessão de números inteiros
existem de 12 a 98
a) 87
b) 86
c) 88
d) 85
e) 110
GABARITO: 01) C 02) A
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.
Chama-se o conjunto dos números inteiros,
representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-
los:
a) Conjunto dos inteiros não negativos:
Z+ = {0; 1; 2; 3; …}
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b) Conjunto dos inteiros não positivos:
Z- = {…; -3; -2; -1; 0}
c) Conjunto dos inteiros não nulos:
Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}
d) Conjunto dos inteiros positivos:
Z+* = {1; 2; 3; …}
e) Conjunto dos inteiros negativos:
Z-* = {…; -3; -2; -1}
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto
de Z.
Observações:
1) No conjunto Z, além das operações e suas
propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto
é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma
que a + (-a) = 0;
2) Devido a este fato podemos definir a operação de
subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b
pertencente a Z;
3) Note que a noção de inverso não existe em Z. Em
outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente
de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
4) Por esta razão não podemos definir divisão no
conjunto dos números inteiros;
5) Outro conceito importante que podemos extrair do
conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é
divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se
existe um inteiro c tal que b = ca;
6) Os números inteiros podem ser representados por
pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos
um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda
associam-se ordenadamente os inteiros negativos e
à sua direita os inteiros positivos, separados por
intervalos de mesmo comprimento;
7) Cada ponto da reta orientada é denominado de
abscissa;
8) Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou
valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0,
para todo x pertencente a Z. Como decorrência da
definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número
inteiro.
A ordem dos inteiros:
Há uma classe de inteiros, chamada classe dos
inteiros positivos (ou classe dos números naturais), que
goza das seguintes propriedades:
A soma de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo;
O produto de dois inteiros positivos é um inteiro
positivo;
Para cada inteiro A, uma e somente uma das
seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é
negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia).
Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:
A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo
A < B (A é menor do que B) se e só se B > A
A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A = B
A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A =
B
É claro que A é positivo se e só se A > 0.
Multiplicação de Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros
surgiu da necessidade de o homem manipular valores negativos,
relacionados a assuntos comerciais
e financeiros. Nesse conjunto, cada
número inteiro positivo possui sua representação
negativa. Na multiplicação de números inteiros, devemos
seguir algumas condições de acordo com o sinal dos
números. Nessas operações o jogo de sinal é usado de
forma sistemática, de acordo com o seguinte quadro de
sinais:
( + ) . ( + ) = +
( + ) . ( – ) = –
( – ) . ( + ) = –
( – ) . ( – ) = +
Os dois números possuem o mesmo sinal.
Número positivo multiplicado por número positivo
(+ 3) . (+ 7) = + 21
(+ 5) . (+ 9) = +45
(+ 21) . (+ 10) = + 210
(+ 4) . (+ 9) = +36
(+ 8) . (+ 10) = +80
(+ 22) . (+ 5 ) = +110
Número negativo multiplicado por número negativo
(– 9) . (– 5) = + 45
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(–12) . (– 4) = + 48 (– 3) . (– 7) = +21
(– 8) . (– 9) = +72
(– 10) . (– 7) = +70
(–12) . (–5) = +60
Os dois números possuem sinais diferentes.
Número positivo multiplicado por negativo e vice-versa:
(+ 7) . (– 9) = – 63
(– 4) . (+ 7) = – 28
(– 6) . (+ 7) = – 42
(+ 8) . (– 6) = – 48
(+ 6) . (– 5) = –30
(–120) . (+ 3) = – 360
Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da multiplicação é o número 1 (um). Veja:
(+ 1 ) . ( + 96) = + 96
(–1) . (–98) = + 98
(– 14) . (+ 1) = – 14
(–1) . (+ 9) = – 9
(+ 2) . (+ 1) = +2
(–32) . (–1) = +32
Podemos verificar que na multiplicação de números inteiros ao multiplicamos números com sinais iguais,
temos que o resultado é um número positivo, e quando
multiplicamos números com sinais diferentes, o resultado
é um número negativo.
MÓDULO:
Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro A,
representado por A
, pondo:
0,
0,
AseA
AseAA
DIVISIBILIDADE:
Um inteiro A é divisível por um inteiro B se e só
existe um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso,
dizemos que A é múltiplo de B, ou que B divide A, e
escrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que
são divisíveis por 2 e de ímpares os que não são
divisíveis por 2.
EX.: n2 , com n inteiro (par)
12n , com n inteiro (ímpar)
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
DIVISIBILIDADE POR 2:
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
DIVISIBILIDADE POR 3:
Um número é divisível por 3 se a soma de seus
algarismos é divisível por 3.
DIVISIBILIDADE POR 4:
Um número é divisível por 4 se o número formado
pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4
ou terminar em 00.
DIVISIBILIDADE POR 5 :
Um número é divisível por 5 se o seu último
algarismo é 0 (zero) ou 5.
DIVISIBILIDADE POR 6:
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de
seus algarismos é divisível por 3.
DIVISIBILIDADE POR 7:
Um número é divisível por 7 se o dobro do último
algarismo, subtraído do número sem o último
algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o
número obtido ainda for grande, repete-se o
processo até que se possa verificar a divisão por 7.
DIVISIBILIDADE POR 8:
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8
ou terminar em 000.
DIVISIBILIDADE POR 9:
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus
algarismos é um número divisível por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10:
Um número é divisível por 10 se termina com o
algarismo 0 (zero).
DIVISIBILIDADE POR 11:
Um número é divisível por 11 se a soma dos
algarismos de ordem par Sp menos a soma dos
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algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11 ou igual a zero.
DIVISIBILIDADE POR 12:
Um número é divisível por 12 quando é divisível
por três e quatro ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 13:
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4
vezes) do último algarismo, somado ao número sem
o último algarismo, resultar um número divisível
por 13. Se o número obtido ainda for grande,
repete-se o processo até que se possa verificar a
divisão por 13. Este critério é semelhante àquele
dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que
no presente caso utilizamos a soma ao invés de
subtração.
DIVISIBILIDADE POR 15:
Um número é divisível por 15 quando é divisível
por três e cinco ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 16:
Um número é divisível por 16 se o número formado
pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por
16 ou terminar em 0000.
NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS:
Número Primo: um número inteiro p > 1 é primo se só é
divisível por 1 e por ele próprio. A divisão por um
número não resulta em um número natural (ou inteiro).
Para saber se um número grande é primo, basta dividi-lo sucessivamente pelos números primos até que o
quociente seja menor ou igual ao seu divisor.
Os primeiros números primos são:
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um
número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um
número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas
um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Reconhecimento de um número primo:
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até
que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o
número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor
e o resto diferente de zero. Neste caso o número é
primo.
Exemplos:
1) O número 161:
Não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
Não termina em ―00‖, nem os dois últimos
algarismos pode ser dividido por 4, logo não é
divisível por 4;
Não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 é
divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
Não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
Não termina em ―00‖, nem os dois últimos
algarismos pode ser dividido por 4, logo não é
divisível por 4;
Não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)
ainda é maior que o divisor (7).
Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10)
é menor que o divisor (11), e além disso o resto é
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um
número primo.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser
decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
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24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
Número Composto: é todo número que possui mais de
dois divisores.Todo o número natural (diferente de 1)
escreve-se de forma única como um produto de números
primos. Este Teorema é conhecido por Teorema
Fundamental da Aritmética.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 é um
número composto.
Dois números naturais a e b são primos entre si, se
mdc(a, b)=1.
Quaisquer dois números primos são primos entre si,
mas o recíproco não é verdadeiro.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI:
Dizemos que A e B são primos entre si se e só se
MDC[A, B] = 1.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA:
fácil obter MDC e MMC de números dados, se
conhecermos suas decomposições em fatores
primos. É fácil perceber que os fatores do MDC são
os fatores dos números tomados sempre com o menor
dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes.
Todo número A maior que um, ou é primo ou pode
ser representado como um produto de fatores primos.
FATORAÇÃO
É a decomposição de um número em um produto de
fatores primos.
Existe um dispositivo prático para fatorar um
número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar
esse dispositivo:
1º) dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor
divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura a baixo mostra a fatoração do número 630.
Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Vejamos a decomposição dos números 28 e 200:
28 2 200 2
14 2 100 2
7 7 50 2
1 28 = 22 x 7 25 5
5 5
5 1 200 = 23 x 5
2
A DIVISÃO DE INTEIROS:
O resultado da divisão de dois números inteiros,
dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro.
Ao maior número inteiro menor do que a divisão chama-
se quociente é a diferença entre o dividendo e o produto
do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se
que:
D = q × d + r, com 0 ≤ r < d
Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado
4,428... , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto
é igual a 31 − 7 × 4 = 3.
Dizemos então que na divisão de D por d o quociente é q
e o resto é r, D é chamado de dividendo e d de divisor.
DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Um inteiro positivo d é o MDC dos inteiros A e B
(usaremos a notação d = MDC[A, B]) se e só se possui
as seguintes propriedades:
a) d|a e d|b (d é um divisor comum de A e B)
b) Se C|A e C|B, então C|d (isto é todo divisor comum
de A e B também divide d)
Teorema: Se A e B são inteiros não nulos
simultaneamente, então MDC[A, B] existe e é único.
OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.
Propriedades do MDC:
É
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• MDC(a, b) = MDC(b, a). • MDC(a, b) = MDC(−a, b).
• MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|).
• MDC(a, 0) = |a|.
• MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.
O ALGORITMO DE EUCLIDES:
O processo que usamos para determinar o MDC de
dois inteiros, não nulos simultaneamente é o algoritmo de Euclides.
a) Dados A e B, dividimos A por B
b) Depois dividimos B pelo resto desta divisão R1
c) Depois dividimos R1 pelo resto desta última divisão
R2 e assim sucessivamente.
d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC
procurado será o último divisor, isto é:
q q2 q3 ... qn qn+1
A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B]
R1 R2 R3 R4 ... 0
DICA para o aluno
Cálculo do número de divisores:
É o produto de todos os expoentes acrescido de
uma unidade.
Fatora-se o número
Somamos uma unidade a cada expoente
Multiplicamos o resultado obtido.
Cálculo do número de divisores ímpares:
É o produto dos expoentes de fatores ímpares
acrescido de uma unidade.
Fatora-se o número
Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar
Multiplicamos o resultado obtido
Cálculo do número de divisores pares:
É o produto dos expoentes de fatores ímpares
acrescidos de uma unidade cada um,
multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores
pares sem acrescentar a unidade.
Fatora-se o número
Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar
Multiplicamos o resultado obtido, também pelos expoentes de fator par
01) O número de divisores de 120 é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 25
02) Determinar o número N, sabendo-se que ele admite 8
divisores e que é da forma: N = 2.3x.
a) 10
b) 15
c) 32
d) 54
e) 24
03) Calcular o valor de m na expressão 2m + 1
.3.5,
sabendo-se que este produto indicado resulta da
decomposição de um número que possui 16 divisores.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.3
4, para
que o número N tenha 20 divisores.
a) 648
b) 448
c) 243 d) 824
e) 100
GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números é o menor de seus múltiplos comuns, diferente
de zero.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}
M(3) ∩ M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }
MMC (3, 4) = 12
PROCESSOS PARA O CÁLUCULO DO MMC
1º Processo: Decomposição de fatores primos em separado
a) Decompõem-se os números em fatores primos;
b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e
não comuns elevados ao maior de seus expoentes;
2º Processo: Decomposição de fatores primos em
conjunto.
a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo os
números pelos fatores comuns e não comuns.
b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e
não comuns.
CONSEQUÊNCIAS DO MMC
1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual
ao produto entre eles.
MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300
MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36
2ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o
maior é múltiplo dos menores, é o maior número.
MMC (40, 120) = 120
MMC (50, 150, 300) = 300
3ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são
os múltiplos do MMC entre esses números.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}
MMC (3, 4) = 12
M(3) ∩ M(4) = M(12)
4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais
números por um mesmo número, o MMC entre eles ficará multiplicado ou dividido, respectivamente,
por esse mesmo número.
MMC (12, 18) = 36
Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará
multiplicado por 4.
MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144
Dividindo-se os números por 3, o MMC ficará
dividido por 3.
Importante:
MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e
Racionais.
O conjunto dos números racionais, simbolizado
pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser
escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros
quaisquer e q diferente de zero:
Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem
também para os conjuntos dos números racionais as
notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos),
Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q-
(conjunto dos números racionais não positivos).
Observações:
a) São válidas todas as propriedades vistas para o
conjunto dos números inteiros;
b) Além disso, é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b
pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em
Q tal que (a/b).(b/a) = 1;
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c) Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma
(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d
pertencente a Q;
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM
DENOMINADORES IGUAIS
Conserva-se o denominador, adicionando ou
subtraindo os numeradores.
20
1
20
753
20
7
20
5
20
3
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM
DENOMINADORES DIFERENTES
Substituem-se as frações dadas por outras,
equivalentes, cujo denominador será o MMC dos
denominadores dados:
12
5
12
69212)2,4,6(
2
1
4
3
6
1mmc
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se:
1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo
numerador.
2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo
denominador.
20
16
120
6
645
132
6
1
4
3
5
2porndosimplifica
DIVISÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES
Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos
números envolvidos é uma fração devemos multiplicar o
primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo
(divisor).
6
72
12
14
4
7
3
2
7
4
3
2porndosimplifica
NÚMEROS MISTOS
Número misto é um número racional escrito na
forma da soma de sua parte inteira com a sua parte fracionária (esta é sempre uma fração própria). Os
números mistos também se podem escrever como frações
impróprias.
Exemplos:
Como vemos nos exemplos acima, para transformar
um número misto na fração imprópria correspondente
multiplica-se o número da frente pelo denominador e o
resultado soma-se ao numerador, formando o numerador
da fração. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, faça a divisão inteira do numerador pelo
denominador. O quociente será o primeiro número, o
resto será o novo numerador e denominador permanece.
Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 dá 1 e sobra 2. Assim
temos que 5/3 =1 e 5/3 Os números mistos são práticos
quando se deseja marcar a fração na reta numerada. Para
fazê-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois
acrescenta-se a parte fracionária, assim, para localizar na
reta a fração através do seu número misto 1 , vai-se até
o 1 e acrescenta-se o .
Dízimas periódicas
Todo número racional p/q pode ser escrito como um
número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma
dízima periódica (1/3 = 0,333…). Veremos como
transformar dízima em fração!!!
Como dito, há frações que não possuem representações
decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e
infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de
numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
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Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa
dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples
e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período
apresenta-se logo após a vírgula.
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o
período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos
portanto da parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes
maneiras:
Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional)
que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos
esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma
dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que
tem para numerador o período e para denominador tantos
noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima Composta:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da
forma , onde
n é a parte não periódica seguida do período, menos
a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do
período seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
DICA para o aluno
Não faça contas com dízimas periódicas. Substitua
todas elas por frações geratrizes antes de fazer
qualquer cálculo.
NÚMEROS IRRACIONAIS
É um numero irracional. π = 3,141592 ...
O número irracional é aquele que não admite a
representação em forma de fração (contrário dos
números racionais) e também quando escrito na forma de
decimal ele é um número infinito e não periódico.
Exemplo:
• 0,232355525447... é infinito e não é dízima
periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional.
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• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.
• Se calcularmos em uma calculadora veremos que
√2, √3, π são valores que representam números
irracionais.
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela
letra I maiúscula.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais, representado por IR,
é a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e
dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros,
racionais e irracionais são todos, números reais.
R* conjunto dos números reais não nulos.
R+ conjunto dos números reais positivos e o zero.
R*+ conjunto dos números reais positivos.
R - conjunto dos números reais negativos e o zero.
R*- conjunto dos números reais negativos menos o
zero.
INTERVALO REAL
Ainda, caros estudantes, para complementar o
assunto sobre Conjuntos Numéricos veremos a parte de
intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.
Perceba que entre dois números inteiros existem infinitos
números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2
existem vários números reais tais como: 1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever
todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa
um intervalo de tais números onde, se inclui os extremos,
considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto.
Os intervalos podem ser classificados em abertos,
fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda
ou à direita).
Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes – ―[" e "]‖ –
para indicar que um dos extremos do intervalo é parte
deste intervalo e os parênteses – ―(‖ e ―)‖ – ou, também,
os colchetes invertidos – ―]‖ e ―[" para indicar o
contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números
reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o
conjunto dos x R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena ―bolinha vazia‖ para indicar que um
dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma
―bolinha cheia‖ para indicar que o ponto extremo
pertence.
Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente
ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar
os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:
[a,b] = {x R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de
comprimento finito c = b – a:
[a,b[ = [a,b) = {x R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de
comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
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]-∞,b[ = (-∞,b) = {x R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento
infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,
então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
Vejamos mais exemplos:
União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as
operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se
de um procedimento muito comum na resolução de
alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação
gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo
prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) =
{x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os
pontos que são extremos ou origens dos intervalos em
uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,
traçamos os intervalos que representam graficamente os
conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de
união e intersecção para determinar os trechos que estão
em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos
dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩
B na figura a seguir e de onde é também facilmente
observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x R | -1 ≤ x}
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
As expressões numéricas podem ser definidas
através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação,
potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração.
Como uma expressão numérica é formada por mais de
uma operação, devemos saber que resolvemos
primeiramente as potências e as raízes (na ordem que
aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na
ordem) e por último, adição e subtração (na ordem).
É comum o aparecimento de sinais nas expressões
numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as
expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para
algumas operações. Quando aparecerem em uma
expressão numérica devemos eliminá-los, essa
eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses,
colchetes e, por último, as chaves.
Exemplo 1:
– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²]
=
elimine parênteses.
– 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] = continue eliminando os parênteses.
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] =
resolva as potências dentro do colchetes.
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] =
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resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes.
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete.
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão.
31 + 6 = 37 efetue a adição.
O valor numérico da expressão é 37.
Lembrem-se, em expressões numéricas com sinais
associativos de:
1º) Parênteses ( ) 2º) Colchetes [ ]
3º) Chaves { }
efetuam-se, primeiro as operações dentro deles, na ordem
mostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade
das operações.
Exemplo 2:
36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =
= 36 + 2.{25 + 9} =
= 36 +2.34 =
= 36 + 68 = 104
Exemplo 3:
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
= [1.3 + 12] : 5 =
= [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3
Exemplo 4:
QUESTÕES
01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A
primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,
em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se
as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma
parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda
torneira encherá o restante do tanque em A) 14 horas.
B) 10 horas.
C) 7 horas.
D) 8,5 horas.
E) 8 horas.
02) (UPENET) O Quíntuplo de um número, dividido
por este número aumentado de duas unidades, dá
quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
03) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A
caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o
engenheiro solicitou ao síndico que trocasse as
bombas, pois as atuais estão obsoletas. As bombas
compradas pelo síndico enchem o reservatório
muito mais rápido e com baixo consumo de
energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de
água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8
horas. Um porteiro por displicência liga as duas
simultaneamente para encher essa caixa de água. Estando a caixa d’água vazia, assinale o tempo, em
minutos, gasto para que as duas encham o
reservatório.
A) 167 minutos.
B) 163 minutos.
C) 150 minutos.
D) 156 minutos.
E) 160 minutos.
04) (UPENET) Num salão de cabeleireiro, 2/4 das
mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,
morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 é
igual a
A) 60
B) 50 C) 6
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D) 5 E) 4
06) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO)
Rebeca faz um desafio a Letícia: “Qual a terça
parte de 312
+ 310
?”. Assinale a alternativa que
corresponde à resposta CORRETA de Letícia.
A) 11 x 311
B) 12 x 312
C) 10 x 39
D) 6 x 35
E) 8 x 37
07) A expressão é igual a:
A) 0
B) 9
C) –3
D) 3
08) Calculando-se os ¾ dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtém-se:
A) 95
B) 87
C) 84
D) 21
E) 16,8
09) Qual o valor de a + b, se a/b é a fração irredutível
equivalente a ?
A) 42/9
B) 21/9 C) 21
D) 42
10) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos e Pedro são
alunos muito aplicados em matemática. Certo dia,
Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a
seguinte questão: Determine o algarismo das
unidades do número (8325474)642. Pedro resolveu o
problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o
resultado a que Pedro chegou?
A) 4
B) 2 C) 5
D) 6
E) 1
11) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma
Universidade é composto por 43 membros com
direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15
diretores de Centros, 8 representantes dos
professores. Para que haja votação de um projeto na
reunião, é necessário que esteja presente, pelo
menos, um membro de cada uma das três representações. Se a única informação que o Reitor
da Universidade tem, durante cada reunião do
Conselho, é o número de pessoas presentes, para ter
certeza de que o projeto em pauta na reunião será votado, é necessário que a informação do número
de pessoas presentes seja, no mínimo, de:
A) 15 pessoas.
B) 3 pessoas.
C) 20 pessoas.
D) 35 pessoas.
E) 36 pessoas.
12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez compras
em 5 lojas do Shopping Center. Em cada uma
gastou a metade do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Após as
despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte
reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer as
compras?
A) R$ 820,00
B) R$ 1 102,00
C) R$ 502,00
D) R$ 704,00
E) R$ 602,00
13) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE RECIFE) Numa escola, os alunos da 8ª série vão realizar uma
observação num poço com o caminhar de lesmas.
Observou-se que, em média, uma lesma sobe dois
metros por dia, pára um pouquinho e cai um metro.
Supondo que o poço tenha sete metros de
profundidade e que uma lesma esteja no fundo
deste poço, para chegar no topo deste poço, essa
lesma levará
A) 4 dias.
B) 5 dias.
C) 6 dias.
D) 7 dias. E) 8 dias.
14) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE
SURUBIM) A calculadora de Juliana é bem
diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o
número escrito no visor e a tecla T, que apaga o
algarismo das unidades do número escrito no visor.
Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor
e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,
teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se
apertamos D, depois T, em seguida D, depois T, teremos o número
A) 96
B) 98
C) 123
D) 79
E) 99
15) (UPENET 2009 – PMPE) Uma livraria pretende
fazer seu balanço anual. Pedro e João são os
contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem
juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias,
porém, se João trabalhar sozinho, realizará o serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,
trabalhando sozinho, concluirá o balanço?
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A) 15 B) 13
C) 9
D) 8
E) 20
16) (UPENET 2009 – PMPE) Um número é composto
por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do
algarismo das dezenas com o algarismo das
unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do
número formado, permutando-se o algarismo das
unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É
CORRETO afirmar que o produto dos algarismos
das dezenas com o das unidades do número é
A) 40
B) 30
C) 45
D) 21
E) 12
17) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos disse a Renato
que era capaz de acertar um número que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato
achou graça e disse: pensei em um número. Então,
Carlos disse: some ao número pensado o número 5,
multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto.
Informe o resultado das operações, e Renato
afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o
número que Renato havia pensado. O produto dos
algarismos do número que Renato pensou é igual a
A) 12
B) 15
C) 10
D) 48 E) 50
18) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Uma
Padaria promove as seguintes ofertas relativas a
manteigas da mesma marca:
Assinale a alternativa CORRETA.
A) A oferta I é a melhor.
B) A oferta II é a melhor. C) A oferta III é a melhor.
D) As ofertas I e III são iguais.
E) As ofertas II e III são iguais.
19) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A
soma de três números naturais consecutivos é
sempre um número
A) par.
B) ímpar.
C) primo.
D) quadrado perfeito.
E) múltiplo de 3.
Texto para as questões 20 e 21
O Programa Nacional do Livro Didático e o
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino
Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo
Nacional de Desenvolvimento da Educação.
A operação consiste na entrega, todos os anos, de
100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de
ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à metade de toda a produção gráfica do
Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas
viagens de carretas das editoras para os centros de
tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos
do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e,
depois, entregues nas escolas. Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).
QUESTÃO 22
20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e
13% dos livros didáticos sejam 7/40 distribuídos,
respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte,
então a quantidade, em milhões, de livros didáticos
destinada a essas duas regiões pelos programas
mencionados no texto é
A) superior a 15 e inferior a 25.
B) superior a 25 e inferior a 35. C) superior a 35 e inferior a 45.
D) superior a 45.
E) inferior a 15.
21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3
carretas façam, repetidamente, viagem de ida e
volta entre determinada editora e um centro de
tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,
respectivamente, e, ao completar um percurso de
ida e volta, elas retomem imediatamente esse
percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem
simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após
A) 45 dias.
B) 60 dias.
C) 10 dias.
D) 15 dias.
E) 30 dias.
22) (FCC - 2010 - TRT - 12ª Região (SC) - Técnico
Judiciário - Área Administrativa) Sistematicamente, dois funcionários de uma
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados,
domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010
ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável
coincidência de horários das suas horas-extras
ocorrerá em
a) 9 de dezembro de 2010.
b) 15 de dezembro de 2010.
c) 14 de janeiro de 2011.
d) 12 de fevereiro de 2011.
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e) 12 de março 2011.
23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria
Pública) Duas polias conectadas por uma correia
têm comprimentos de 12 cm e 22 cm.
O menor número de voltas completas que a polia
menor deve dar para que a polia maior dê um
número inteiro de voltas é a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) Um agente administrativo foi incumbido de tirar
cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só
dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte
defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24,
32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as páginas do
texto aparecem destaques na cor vermelha, então,
ao tirar uma única cópia do texto, o número de
páginas que serão impressas sem essa falha é
a) 226
b) 225
c) 224
d) 223
e) 222
25) (FCC - 2004 - TRT - 22ª Região (PI) - Técnico Judiciário) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a
um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e
Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004
ambos estiveram em tal restaurante, outro provável
encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em
a) 9 de dezembro de 2004.
b) 10 de dezembro de 2004.
c) 8 de janeiro de 2005.
d) 9 de janeiro de 2005.
e) 10 de janeiro de 2005.
26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um médico receitou dois
remédios a um paciente: um para ser tomado a cada
12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do
dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os
remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente
às
a) 17 horas do dia 11/10/2000.
b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.
d) 2 horas do dia 13/10/2000.
e) 6 horas do dia 13/10/2000.
27) Num reservatório há duas torneiras, a primeira
enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porém
há um sifão que o esvazia em 12 horas.
Funcionando as torneiras e o sifão simultaneamente
em quanto tempo o reservatório se encherá?
a) 3h
b) 2h24min c) 5h
d) 1h30min
e) 2h30min
28) (TRT 24ª REGIÃO 2011 - FCC) Todos os 72
funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional
do Trabalho de Mato Grosso do Sul deverão ser
divididos em grupos, a fim de se submeterem a
exames médicos de rotina. Sabe-se que: − o número de funcionários do sexo feminino é igual
a 80% do número dos do sexo masculino; − cada grupo deverá ser composto por pessoas de um
mesmo sexo; − todos os grupos deverão ter o mesmo número de
funcionários; − o total de grupos deve ser o menor possível; − a equipe médica responsável pelos exames atenderá
a um único grupo por dia.
Nessas condições, é correto afirmar que:
A) no total, serão formados 10 grupos. B) cada grupo formado será composto de 6
funcionários. C) serão necessários 9 dias para atender a todos os
grupos. D) para atender aos grupos de funcionários do sexo
feminino serão usados 5 dias. E) para atender aos grupos de funcionários do sexo
masculino serão usados 6 dias.
29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm
e comprimento 200cm, um construtor pretende
colocar peças de mármore quadradas do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peças que ele
pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortar
nenhuma peça é:
A) 420
B) 500
C) 525
D) 575
E) 600
30) Sejam os números A = 23 . 3
2 . 5 e B = 2 . 3
3 . 5
2. O
MDC e o MMC entre A e B valem,
respectivamente: A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52
B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5
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C) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 D) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5
E) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52
31) Dados n = 22. 3
a. 5
2. 7
3 e m = 23. 3
5. 5
2. 7
b. 11, os
valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são:
A) a = 2 e b = 3.
B) a = 3 e b = 1.
C) a = 0 e b = 2.
D) a = 3 e b = 2.
E) a = 2 e b = 2.
32) Se p e q são números naturais distintos e primos,
então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a:
A) p + q
B) pq
C) pq + 1
D) 2
E) nda
33) O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72,
é:
A) 36 B) 48
C) 72
D) 144
E) 12
34) Considerando os números 68 e 36, responda V para
verdadeiro e F para falso:
A) que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.
B) que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.
C) que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.
D) que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e E.
E) que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. F) que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68.
GABARITO:
1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A
8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D
15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B
22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C
29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
As equações do primeiro grau são aquelas que
podem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a
variável. A resolução desse tipo de equação é
fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a
seguir.
Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo
número de ambos os membros, a igualdade se mantém.
Dividindo ou multiplicando ambos os membros de
uma equação por um mesmo número não-nulo, a
igualdade se mantém.
Exemplo:
Vejamos alguns exemplos:
Seja a equação:
Seja a equação:
Seja a equação:
Membros de uma equação Numa equação a expressão situada à esquerda da
igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a
expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro
da equação.
Exemplo:
- 3x + 12 = 2x - 9 1º membro 2º membro
Cada uma das parcelas que compõem um membro de
uma equação é chamada termo da equação.
4x – 9 = 1 – 2x
Termos:
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Variável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de
variáveis ou incógnitas.
Exemplos:
A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x
A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y
A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c
Cada um dos valores que, colocados no lugar da
incógnita, transforma a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para
verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma
equação, basta substituirmos a incógnita por esse número
e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.
1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6
O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem
para facilitar o entendimento da solução de uma equação,
mas para resolvê-la existe um método simples e prático
que é o seguinte:
Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x
Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos
que não apresentam variável. Os termos que mudam de
membro têm os sinais trocados.
5x – 8 = 12 + x
5x – x = 12 + 8
Calculamos a somas algébricas de cada termo: 4.x = 20
Quando se passa de um membro para o outro se usa a
operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa
dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O que está adicionando passa subtraindo e o que está
subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro
membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
COM DUAS VARIÁVEIS
Um sistema de equações com duas variáveis, x e y,
é um conjunto de equações do tipo
ax + by = c (a, b, c R)
ou de equações redutíveis a esta forma.
Exemplo:
Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y
satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo
tempo.
Exemplo:
No sistema indicado no exemplo anterior, o único
par ordenado capaz de satisfazer às duas equações
simultaneamente é:
(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1
Resolução algébrica
Dentre os vários métodos de resolução algébrica
aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos dois:
• método da adição
• método da substituição
Para exemplificá-los, resolveremos o sistema
seguinte pelos dois métodos:
A) Método da Adição
1° passo: Multiplicamos as equações por números
escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em
uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar a
equação (I) por -2:
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Observe que a variável y tem, agora, coeficientes opostos.
2º passo: Somamos membro a membro as equações
encontradas:
A variável y foi cancelada restando apenas a
variável x na última equação.
3º passo: Resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável:
-1x = -2
x = 2
4º passo: O valor da variável encontrada é substituído
numa das equações iniciais que contenha também a outra
variável e, então, resolvemos a equação resultante:
2x + y = 7
2(2) + y = 7
4 + y = 7
y = 7 -4 y = 3
5º passo: Escrevemos o conjunto-solução:
S = {(2; 3)}
B) Método da Substituição
1º passo: Isolamos uma das variáveis em uma das
equações dadas:
2º passo: a variável isolada é substituída na outra
equação e, então, resolvemos a equação resultante que
tem somente uma variável:
3x +2y = 12
3x + 2(7 - 2x) = 12 3x +14 - 4x = 12
3x – 4x = 12- 14
-1x = -2
x = 2
3º passo: Levamos o valor encontrado para a equação
que tem a variável isolada e calculamos o valor desta:
y = 7 -2x
y = 7 -2 (2)
y = 7 -4
y = 3
4° passo: Escrevemos o conjunto-solução:
S = {(2; 3)}
QUESTÕES
01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua
criação 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que o
número de pés dos animais é igual a 400, é
CORRETO afirmar que o criador tem
A) 25 porcos.
B) 50 porcos.
C) 35 porcos.
D) 42 porcos.
E) 55 porcos.
02) (UPENET) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para
180g. O peso do copo vazio é de
A) 20g
B) 25g
C) 35g
D) 40g
E) 45g
03) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
MUNICIPAL) Em um concurso público, numa
prova de 50 quesitos, um candidato obtém 110
pontos. Sabendo-se que em cada questão correta o candidato ganha 3 pontos, e a cada questão
incorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que o
número de questões que o candidato acertou é
A) ímpar.
B) divisível por 5.
C) múltiplo de 4.
D) divisível por 9.
E) múltiplo de 7.
04) (UPENET 2009 – GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL
OOLLIINNDDAA) Luis foi à farmácia e anotou os preços dos remédios que pretendia levar. Chegando em
casa, deu o seguinte problema ao seu irmão:
- o preço do remédio A somado ao preço do remédio
B totalizou R$ 98,00;
- o preço do remédio B somado ao preço do remédio
C totalizou R$ 130,00;
- o preço do remédio C somado ao preço do remédio
A totalizou R$ 100,00.
Partindo desses dados, quanto qual a diferença de
preços entre os remédios C e A?
A) 14 B) 23
C) 32
D) 45
E) 56
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05) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Numa corrida de aventura, as equipes são formadas
por três atletas. completado 1/2 da trajetória
estabelecida para o ciclismo, passa o seu bastão
para o segundo atleta que completará mais 1/4 do
total do percurso, quando foi advertido pelo seu
técnico para que se poupasse, uma vez que o
terceiro atleta não poderá finalizar os 1.500m de
natação, pois está contundido atleta) terá que
finalizar o restante desta prova. Nesse contexto,
conclui
A) 6.000m. B) 5.000m.
C) 4.500m.
D) 6.500m.
E) 5.500m.
06) (UPENET 2009 – PMPE) A Polícia Militar de
Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo
que uma parte utiliza como combustível gasolina, e
o restante, bicombustível, que funciona com álcool
e gasolina. O novo comandante determinou que,
neste total de 1500 carros, 80% dos carros a gasolina e 60% dos bicombustíveis sofressem uma
conversão para também funcionar a gás. Sabendo-
se que, após a conversão, 840 do total de carros
passaram a utilizar dois e somente dois tipos de
combustível, é CORRETO afirmar que o número de
carros que permaneceram consumindo somente
gasolina é igual a
A) 600
B) 200
C) 120
D) 400
E) 500
07) (UPENET 2009 – PMPE) Resolvendo o sistema
abaixo, é CORRETO afirmar que 2xy é igual a
A) 12
B) 24
C) 16
D) 20
E) 18
08) (UPENET 2009 – GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL
OOLLIINNDDAA) Mateus quer fazer uma viagem a pé de
630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia,
andará 4 dias a menos para realizar a viagem.
Sendo ―d‖ o número de dias gastos para fazer a viagem e ―k‖ o número de km que caminhou por
dia, é possível dizer que k - d é igual a
A) 16
B) 17 C) 18
D) 19
E) 20
09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, os
empregados têm direito a descanso remunerado de
um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado
ano, os dias trabalhados e os dias de descanso
somaram 224 dias. Com base nessa situação, é
correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias
de descanso desses empregados foi A) superior a 16 e inferior a 20.
B) superior a 20 e inferior a 24.
C) superior a 24.
D) inferior a 12.
E) superior a 12 e inferior a 16.
10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-se
que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de
encomenda do tipo flex correios custem, ao todo,
R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex
correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa
A) R$ 2,40.
B) R$ 3,15.
C) R$ 3,20.
D) R$ 1,20.
E) R$ 2,00.
Em um escritório, a despesa mensal com os salários
dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse
escritório, alguns empregados recebem,
individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os
outros, R$ 1.000,00. QUESTÃO 32
11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a
crescente demanda de serviços, o escritório triplicar
a quantidade de empregados com salário de R$
600,00 e duplicar a quantidade de empregados com
salário de R$ 1.000,00, então a despesa desse
escritório com os salários de seus empregados
passará a ser de
A) R$ 18.800,00.
B) R$ 18.000,00.
C) R$ 18.200,00. D) R$ 18.400,00.
E) R$ 18.600,00.
12) (TRT 24º Região 2011 – MS – FCC) Do total de
pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal
Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de
certa semana, sabe-se que:
1/5 o fizeram na terça-feira e 1/6 na sexta-feira.
Considerando que o número de visitantes da
segunda-feira correspondia a 3/4 do de terça-feira e
que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada
uma, 58 pessoas, então o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana é
um número
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A) divisível por 48. B) maior que 250.
C) menor que 150.
D) múltiplo de 7.
E) quadrado perfeito.
GABARITO:
1-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D
8-B 9-E 10-A 11-A 12-A
RAZÕES E PROPORÇÕES
Chama-se razão de dois números, dados numa
certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao
quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão
entre os números a e b pode ser dita ―razão de a para b” e representada como:
b
a ou a : b
Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado
conseqüente da razão dada. Ao representar uma razão
freqüentemente simplificamos os seus termos
procurando, sempre que possível, torná-los inteiros.
Exemplos: A razão entre 3 e 0,75 é:
1443
43
4
3
3
75,0
3para
A razão entre ée
5
2
6
1
:
12512
5
2
5
6
1
5
2
6
1
para
Proporção: é a expressão que indica uma igualdade
entre duas ou mais razões. A proporção d
c
b
a
pode ser
lida como ―a está para b assim como c está para d‖ e
representada como a : b : : c : d. Nesta proporção, os
números a e d são os extremos e os números b e c são os
meios.
OBS: Em toda proporção o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios.
Quarta proporcional de três números dados, a, b e c
nesta ordem, é o número x que completa com os outros
três uma proporção tal que:
x
c
b
a
Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos
números 3,5 e 15 nesta ordem.
Solução:
.253
757531553
15
5
3xxxx
x
Proporção contínua é aquela que tem meios iguais.
Exemplo:
A proporção 45
15
15
5
é contínua, ela tem seus meios iguais a 15.
Numa proporção contínua temos: O valor comum dos
meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos.
Ex.: 8 é a média proporcional entre 4 e 16, pois 16
8
8
4
O último termo é chamado terceira proporcional.
Ex.: 7 a terceira proporcional dos números 28 e 14, pois
7
14
14
28
.
Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou
mais razões.
Exemplo:
f
e
d
c
b
a
Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1.
Exemplo:
114
22
11
7
,
então dizemos que ― 7 está para 11 na razão inversa de
22 para 14’’.
Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.
Exemplo:
14
22
11
7e
são razões inversas.
Então, 11
7
faz proporção com 22
14
(que é o inverso de 14
22
)
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Propriedades das proporções
Considere as proporções:
1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos dois
primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim
como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
e
2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois
primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim
como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
e
3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos
antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim
como cada antecedente está para o seu conseqüente.
4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos
antecedentes está para a diferença dos conseqüentes,
assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.
5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos
antecedentes está para o produto dos conseqüentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para
quadrado do seu conseqüente.
DIVISÃO PROPORCIONAL
Grandezas diretamente proporcionais
Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),
dizemos que estes valores são diretamente
proporcionais aos correspondentes valores da sucessão
(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razões entre
cada valor de uma das sucessões e o valor
correspondente da outra.
são todas iguais, sendo igual a ½ o fator de
proporcionalidade da primeira para a segunda.
Como se pode observar, as sucessões de números
diretamente proporcionais formam proporções
múltiplas (já vistas no capítulo de razões e proporções).
Assim sendo, podemos aproveitar todas as técnicas
estudadas no capítulo sobre proporções para resolver
problemas que envolvam grandezas diretamente
proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos
diferentes de zero, dizemos que estes valores são
inversamente proporcionais aos correspondentes valores
da sucessão (b1, b2, b3, b4, ...), todos também diferentes
de zero, quando forem iguais os produtos entre cada
valor de uma das sucessões e o valor correspondente da
outra.
Exemplo:
Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais
aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos
2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 são todos iguais.
Relação entre proporção inversa e
proporção direta
Sejam duas sucessões de números, todos diferentes
de zero. Se os números de uma são inversamente
proporcionais aos números da outra, então os números
de uma delas serão diretamente proporcionais aos
inversos dos números da outra. Esta relação nos permite
trabalhar com sucessões de números inversamente
proporcionais como se fossem diretamente
proporcionais.
Divisão em partes proporcionais
1° caso: Divisão em partes diretamente
proporcionais
Dividir um número N em partes diretamente
proporcionais aos números a, b, c, ..., significa encontrar
os números A, B, C, ..., tais que:
A + B + C + ... = N
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
1. Dividir o número 72 em três partes diretamente
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:
A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72
Portanto:
3p + 4p + 5p = 72 → 12p = 72 → p = 6
valor de A→ 3p = 3 x 6 = 18
valor de B → 4p = 4 x 6 = 24
valor de C → 5p = 5 x 6 = 30
Portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30.
2º caso: Divisão em partes inversamente
proporcionais
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c,..., significa
encontrar os números A, B, C, ... tais que:
a x A = b x B = c x C =... e
A + B + C + ... = N
2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais
aos números 3, 4 e 12. Usando a relação entre
proporção inversa e proporção direta, podemos
afirmar que as partes procuradas serão diretamente
proporcionais a
Reduzindo as frações ao mesmo denominador,
teremos:
Desprezar os denominadores (iguais) manterá as
proporções e ainda simplificará nossos cálculos. Então,
poderemos dividir 72 em partes diretamente
proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,
B e C as três partes procuradas, teremos:
A = 4p, B = 3p, C = 1p
A + B + C = 72
Logo, 4p + 3p + 1p = 72
Daí, 8p = 72
p = 72/8
p = 9
Assim, concluímos que:
A = 4p A = 4 x 9 = 36
B = 3p B = 3 x 9 = 27 e
C = 1p C = 1 x 9 = 9
Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9.
3º caso: Divisão composta direta
Chamamos de divisão composta direta à divisão de
um número em partes que devem ser diretamente
proporcionais a duas ou mais sucessões de números
dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta
direta, devemos:
1º) encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o
produto dos valores correspondentes das sucessões
dadas;
2°) efetuar a divisão do número em partes diretamente
proporcionais aos valores da nova sucessão
encontrada.
3. Dividir o número 270 em três partes que devem ser
diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e
também diretamente proporcionais aos números 4,
3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter:
A será ser proporcional a 2 e 4 → 2 x 4 = 8 → A = 8p
B será ser proporcional a 3 e 3 → 3 x 3 = 9 → B = 9p
C será ser proporcional a 5 e 2 → 5 x 2 = 10 → C= 10p
A + B + C = 270 → 8p + 9p + 10p = 270
27p = 270 → p = 10
A = 8p = 8 x 10 = 80
B = 9p = 9 x 10 = 90 C= 10p = 10 x 10 = 100
Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100.
QUESTÕES
01) Assinale a opção cujos números sejam diretamente
proporcionais a 2, 3 e 7.
a) 3, 4 e 8.
b) 4, 9 e 49.
c) 6, 9 e 21.
d) 22, 23 e 27.
e) 22, 32 e 72.
02) Assinale a opção cujos números sejam
inversamente proporcionais a 2, 3 e 7.
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a) 7, 3 e 2. b) 1/7, 1/3 e 1/2.
c) 0,2 , 0,3 e 0,7
d) 6, 14 e 21.
e) 21, 14 e 6.
03) A divisão do número de vereadores de determinada
cidade é proporcional ao número de votos que cada
partido recebe. Na última eleição nesta cidade,
concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que
receberam a seguinte votação: A teve 10.000 votos,
B teve 20.000 e C, 40.000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do
partido B?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
04) Os números X e Y encontram-se na razão de 5 para
7. Então, se o valor de X é 60 o valor de Y é:
a) 84 b) 80
c) 70
d) 65
e) 35
05) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 , então a
razão de 2X – Y para X, em termos percentuais, é
igual a:
1) 75%.
2) 25%.
3) 57%.
4) 175%. 5) 200%.
06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário -
Área Administrativa) Um total de 141
documentos devem ser catalogados por três
técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa,
dividiram os documentos entre si, em partes
inversamente proporcionais às suas respectivas
idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o
número de documentos que coube ao mais jovem
foi a) 78
b) 63
c) 57
d) 42
e) 36
O enunciado abaixo refere-se às questões 07 e 08.
Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de
serviço de três soldados na corporação, que devem
dividir entre si um certo número de fichas
cadastrais para verificação.
Soldado Idade Tempo serviço
Abel 20 3
Daniel 24 4
Manoel 30 5
07) Se o número de fichas for 518 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas
respectivas idades, o número de fichas que caberá a
Abel é:
a) 140
b) 148
c) 154
d) 182
e) 210
08) Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita
em partes diretamente proporcionais às suas
respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na
corporação, o número de fichas que caberá a:
a) Daniel é 180.
b) Manoel é 176
c) Daniel é 170
d) Manoel é 160
e) Daniel é 162.
09) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque
continha 9.050 litros de água. Entretanto, um furo
em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então às 18 horas do mesmo dia
restavam apenas 8.850 litros de água em seu
interior. Considerando que o furo não foi
concertado e não foi colocada água dentro do
tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente
vazio às:
A) 12 horas de 02/06/2007.
B) 10 horas de 02/06/2007.
C) 12 horas de 29/05/2007.
D) 10 horas de 29/05/2007.
GABARITO:
1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A
8-E 9-A
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para
resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma
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linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo:
1) Com uma área de absorção de raios solares de
1,2m2, uma lancha com motor movido a energia
solar consegue produzir 400 watts por hora de
energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
Energia
(Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na
coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a
energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando -
aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos
uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
QUESTÕES
01) Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de
ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães
em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o mês de 30 dias, será de:
A) 350
B) 400
C) 450
D) 500
E) 550
02) (CESGRANRIO) Além da destruição causada pela
lava incandescente, uma erupção vulcânica
provoca, também, um grande acúmulo de cinzas na
região atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de cinzas, cobrindo uma área de 100m2, é 8 toneladas.
Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe
uma área de 200m2 terá uma espessura de quantos
centímetros?
A) 1,6
B) 2,0
C) 3,2
D) 3,6
E) 4,0
03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motos de baixa cilindrada) caíram no gosto dos brasileiros
e ganharam as ruas. Isto porque, além de serem
mais baratas do que um carro popular, são muito
econômicas. Enquanto um carro popular percorre,
em média, 15 km com um litro de gasolina, a média
de uma motoneta é de 40 km por litro.
Considerando-se as médias apresentadas, que
distância, em km, um carro popular conseguiria
percorrer com a mesma quantidade de gasolina
necessária para que uma motoneta percorresse 600
km?
A) 120 B) 150
C) 225
D) 300
E) 375
04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de
energia elétrica, uma empresa instalou dois painéis
solares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as áreas dos
dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e a 1,
qual a diferença, em m2, entre essas áreas?
A) 140 B) 210
C) 280
D) 300
E) 320
05) (CESGRANRIO) Para assistir televisão com
conforto, o telespectador deve estar a certa distância
da TV. A distância ideal entre o telespectador e a
TV é diretamente proporcional à medida da tela. Se,
para uma TV de 20 polegadas, a distância ideal é de
1,5 m, pode-se concluir que a distância ideal, em
metros, entre o telespectador e uma TV de 32 polegadas é de:
A) 1,8
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B) 2,2 C) 2,4
D) 2,8
E) 3,0
06) (CESGRANRIO) ―E se todos os carros do mundo
fossem movidos a álcool? (...) A implantação de um
programa de álcool tão ambicioso precisaria ser
impecável. (...) Um especialista em agronegócio fez
as contas: para abastecer a atual frota, estimada em
800 milhões de automóveis, seriam necessários 2,5
trilhões de litros anuais de álcool produzidos em 400 milhões de hectares de canaviais. Isto equivale
a cerca de um terço de toda a área cultivada do
planeta.‖ Revista Superinteressante, maio de 2006. (adaptado)
Se a frota mundial aumentasse em 640 milhões de
automóveis, a quantidade anual de álcool necessária
para abastecer toda a frota, em trilhões de litros,
passaria a ser:
A) 3,1
B) 4,0
C) 4,5
D) 5,2
E) 8,0
07) (CESGRANRIO) Nas eliminatórias dos jogos Pan-Americanos, um atleta brasileiro percorreu 100
metros em 2 minutos e 30 segundos. No mesmo
ritmo, quantos minutos ele levaria para percorrer
200 metros?
A) 3 minutos e 10 segundos.
B) 3 minutos e 40 segundos.
C) 4 minutos e 30 segundos.
D) 5 minutos.
E) 6 minutos.
08) (CESGRANRIO) Para pesquisar se uma área é
viável para mineração, é necessário obter um alvará e pagar uma taxa anual de R$ 1,55 por hectare.
Uma empresa que solicitar autorização para
pesquisa em uma área de 652,2 hectares pagará, em
reais, uma taxa anual de:
A) 807,70
B) 987,81
C) 1.010,91
D) 1.102,79
E) 1.325,53
09) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um relógio está atrasando
40 segundos por hora. Se ele for acertado às 12
horas, então, às 08 horas do dia seguinte, estará
marcando
a) 7 h 42 min 20 s
b) 7 h 44 min 30 s
c) 7 h 46 min 40 s
d) 7 h 48 min 20 s
e) 7 h 50 min 30 s
10) (CESGRANRIO) O real perdeu muito seu poder de compra de 1994 até hoje. Para se ter uma idéia
dessa perda, um estudo da consultoria global invest
mostrou que, com o dinheiro necessário para
comprar 8 pizzas ou 20 entradas de cinema em
1994, hoje o consumidor consegue comprar
somente 3 pizzas ou 5 entradas de
cinema.Considerando as proporções apresentadas
nesse estudo, quantas pizzas poderiam ser
compradas em 1994 com a mesma quantia
necessária para comprar hoje, 20 entradas de
cinema. A) 36
B) 32
C) 24
D) 16
E) 12
Texto para as questões 11 e 12
Uma equipe de conferentes analisou os registros de
determinados documentos. Todos os membros
dessa equipe trabalham com a mesma eficiência, e 3 deles analisaram 60% de todo o material.
QUESTÃO 34
11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Na situação
apresentada, a quantidade de material analisado por
2 dos conferentes corresponde a
A) 48% de todo material.
B) 44% de todo material.
C) 40% de todo material.
D) 56% de todo material.
E) 52% de todo material.
QUESTÃO 35
12) (CESPE 2011 - CORREIOS) A partir das informações do texto, infere-se que a quantidade de
conferentes da equipe é igual a
A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 5.
GABARITO:
1-C 2-B 3-C 4-C 5-C 6-C 7-D
8-C 9-C 10-B 11-C 12-E
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas
com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplo:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão
necessários para descarregar 125 m3?
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Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na
coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com
aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª
coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
FORMA PRÁTICA DE RESOLVER PROBLEMAS
DE REGRA DE TRÊS COMPOSTA
a) Escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou
seja, aquelas expressas na mesma unidade de
medida, tendo o cuidado de escrever o valor
desconhecido (x) sempre na segunda linha,
conforme esquema mostrado no item (c) abaixo.
b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido
(grandezas diretamente proporcionais) e aquelas
que variam em sentidos opostos (grandezas
inversamente proporcionais), marcando-as com
setas no mesmo sentido ou sentidos opostos,
conforme o caso.
c) A incógnita x será obtida da forma sugerida no
esquema abaixo, dada como exemplo de caráter
geral.
Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os
valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo,
que a grandeza A seja diretamente proporcional à
grandeza B, inversamente proporcional à grandeza C e
inversamente proporcional à grandeza D, podemos
montar o esquema a seguir:
Neste caso, o valor da incógnita x será dado por:
Observem que para as grandezas que variam no mesmo
sentido, multiplicamos x pelos valores invertidos e para
as grandezas que variam em sentidos opostos,
multiplicamos pelos valores como aparecem no
esquema.
QUESTÕES
01) Um carpinteiro fabrica 3 bancos em 2 horas. Seus
aprendizes fabricam, cada um, 2 bancos em 3 horas.
Quantos aprendizes, no mínimo, devem trabalhar
com o carpinteiro para que essa equipe possa
fabricar 7 bancos em 2 horas?
(A) 7
(B) 6 (C) 5
(D) 4
(E) 3
02) Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem
15.000 peças de automóvel em doze dias,
trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia
deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem
18.000 peças em 15 dias?
a) 11 h
b) 12 h
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c) 15 h d) 8 h
03) Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais,
em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em três
das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão
trabalhar as demais, para realizar o dobro do
trabalho anterior?
a) 37,5 dias
b) 40 dias
c) 30 dias
d) 25 dias
04) Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia,
durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certo
tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia
durante dezoito dias produzirão quantos metros do
mesmo tecido?
a) 1944 m
b) 2000 m
c) 1500 m
d) 1100 m
05) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia,
durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo
produto. Quantas toneladas do mesmo produto
seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 8
b) 15
c) 10,5
d) 13,5
GABARITO:
1-E 2-D 3-A 4-A 5-D
PORCENTAGEM
Para compreendermos o que é uma porcentagem
temos que saber claramente o que é uma razão, as razões
com denominador 100 (razões centesimais) podem ser
expressas em forma de porcentagem:
Exemplo 1:
De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete.
Isso significa que 30% (trinta por cento) dos jovens
praticam basquete.
Exemplo 2:
Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de
lâmpadas é dada por:
O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas,
deveríamos encontrar 26 com defeitos.
Exemplo 3:
Outro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 é
obtido, simplesmente, efetuando a divisão de 4 por 100:
4 : 100 = 0,04
Dessa forma:
►37% = 0,37 ►80% = 0,80 = 0,8 ►14,5% = 0,145 ►100% = 1
►250% = 2,50 = 2,5 ►0,7% = 0,007
Exemplo 4:
Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço
aumentar em 20%, quanto passaria a custar?
Temos:
1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = 6,40
2º) o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.
Poderíamos fazer simplesmente:
Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,2.
Portanto, se tivéssemos:
♦ Um aumento de 30% multiplicaria o preço por 1,3; ♦ Um aumento de 16% multiplicaria o preço por 1,16;
♦ Um aumento de 5% multiplicaria o preço por 1,05;
Se por outro lado a bolsa fosse anunciada com um
desconto de 20% sobre o preço original, a bolsa passaria
a custar:
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Observe que o preço fica multiplicado por 0,8. Assim, se tivéssemos:
♦ Desconto de 30% multiplicaríamos o preço original
por 0,7;
♦ Desconto de 16% multiplicaríamos o preço original
por 0,84;
♦ Desconto de 5% multiplicaríamos o preço original
por 0,95
QUESTÕES
01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
MUNICIPAL) Se o comprimento do raio de um
círculo é aumentado em 30% de seu valor, então a
sua área aumenta em
A) 60%
B) 69%
C) 80%
D) 35%
E) 43%
02) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
MUNICIPAL) Na sala de aula de Maria Eduarda,
60% dos alunos são meninos. Passado o 1º mês de
aula, 10 alunos mudaram de sala. Depois da saída
dos 10 meninos, a sala ficou com um número de
meninos igual ao número de meninas. Qual era o
total de estudantes (meninos e meninas) da sala
deMaria Eduarda no início das aulas?
A) 50
B) 40 C) 55
D) 45
D) 48
03) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA
MUNICIPAL) Um artigo é vendido em uma loja
por R$ 125,00. Sobre esse preço, são dados dois
abatimentos sucessivos: um de 16%, e outro de p%.
Se o preço de tal artigo reduziu-se a R$ 81,90,
então p é igual a:
A) 18
B) 22 C) 20
D) 24
E) 26
04) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que, em
uma empresa, 50% dos empregados possuam nível
médio de escolaridade e 5%, nível superior.
Guardadas essas proporções, se 80 empregados
dessa empresa possuem nível médio de
escolaridade, então a quantidade de empregados
com nível superior é igual a A) 8.
B) 10.
C) 15.
D) 20. E) 5.
05) (CESPE 2011 - CORREIOS) Um cliente
comprou, em uma agência dos Correios, selos
comemorativos dos 150 anos do nascimento do
padre Landell de Moura e dos 150 anos de
fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA).
Para o pagamento desses produtos, o cliente
entregou certa quantia em reais e notou que 3/4
dessa quantia correspondiam ao custo dos selos
comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5, ao custo dos selos comemorativos dos
150 anos da CAIXA. Nessa situação, com relação à
quantia entregue para pagamento, o troco a que faz
jus o cliente corresponde a
A) 20%.
B) 5%.
C) 8%.
D) 10%.
E) 12%.
06) (UPENET) Um empregado recebe três aumentos salariais de aumento. O primeiro de 30%, o
segundo de 20%, e o terceiro de 10%. É
CORRETO afirmar que o aumento total recebido
pelo funcionário foi de
A) 60%.
B) 63%.
C) 80%.
D) 71,6%.
E) 82,70%.
07) (UPENET) Nas últimas eleições para prefeito de
uma determinada cidade, onde 12% dos eleitores votaram em branco e 8% não votaram, o vencedor
obteve 51% dos votos válidos. Não são
considerados válidos os votos em branco e nulos. É
CORRETO afirmar que o vencedor, de fato, obteve
de todos os eleitores um percentual de votos da
ordem de
A) 58%
B) 31,8%
C) 44,7%
D) 40,8%
E) 50,1%
08) (UPENET PCPE 2007) Uma agência de
automóveis vendeu dois veículos por preços iguais,
sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o
preço de custo, e o segundo, com um prejuízo de
30% sobre o preço de custo. Então, relativamente
ao custo total dos veículos, a agência
A) obteve um lucro de 7%.
B) obteve um prejuízo de 7%.
C) obteve um lucro de 9%.
D) obteve um prejuízo de 9%.
E) não obteve lucro nem prejuízo.
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09) (UPENET PCPE 2007) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos
restantes, fazendo com que o valor de sua folha de
pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da
empresa - valor da folha de pagamentos dividido
pelo número de empregados - teve um aumento
percentual de
A) 15%
B) 12,5%
C) 17,5%
D) 10%
E) 10,25%
GABARITO:
1-B 2-A 3-B 4-A 5-B 6-D 7-D
8-D 9-B
ANOTAÇÕES
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Prezado Aluno,
Aqui são revisados alguns dos conceitos
básicos de lógica, trataremos de métodos
e princípios usados para distinguir entre o
raciocínio correto e o incorreto, uso de
linguagens, formais e informais,
diagramas de Venn, tabelas verdade,
notação simbólica, dedução de provas etc.
Esse estudo introduz noções
fundamentais e técnicas da lógica formal
que podem ser utilizadas em diferentes
concursos públicos. Em particular, fornecem uma base de raciocínio
necessário para outras disciplinas que são
cobradas nos concursos. Desde
Aristóteles e principalmente durante o
século XX, a lógica experimentou um
desenvolvimento monumental em direção
a assuntos altamente especializados, que
hoje é considerada praticamente um ramo
da matemática. Foi principalmente por
causa dos estudos em lógica que hoje
podemos nos sentar diante de um
computador pessoal e nos conectar com o restante do planeta para trocar
informações, desenvolver pesquisas ou
simplesmente nos divertir.
Bem vindo ao Curso e sucesso em sua
caminhada! Valclides Guerra
Professor
Raciocínio Lógico
Prof.: Valclides Guerra
Conteúdo abordado nesta apostila:
A) Lógica Proposicional: proposições simples e compostas, negação das proposições simples e
compostas; princípios fundamentais, conectivos
lógicos, os símbolos da linguagem do cálculo proposicional ou sentencial;
B) Estruturas lógicas: classificação da lógica
(dedutiva e indutiva), argumentos (premissas,
inferência e conclusão), argumentos dedutivos válidos e inválidos; tautologia, contradição e
contingência;
C) Tabela verdade (número de linhas e colunas, valoração e juízos);
D) Lógica sentencial ou de primeira ordem;
diagramas lógicos (quantificadores universais e
existenciais, variações e negação), diagramas de venn;
E) Verdades e mentiras; problemas de
correlacionamentos;
F) Raciocínio Lógico quantitativo.
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RACIOCÍNIO LÓGICO
MATEMÁTICO
desenvolvimento do pensamento lógico,
essencial para a elaboração, a expressão e a
compreensão das ideias e indispensável à
compreensão dos fatos e dos fenômenos sociais,
culturais e históricos e à identificação dos nexos –
lógicos, factuais e eventuais - entre eles, é indispensável
ao processo de desenvolvimento do raciocínio que
permite a construção de conhecimentos novos a partir de
conhecimentos anteriores e o aperfeiçoamento e a
ampliação desses, isto é, à aprendizagem.
O conhecimento é construído, assimilado e aperfeiçoado no cotidiano, a partir das experiências
sociais - principalmente nas relações interpessoais - e
através dos meios de comunicação social e, também,
através de experiências formais de aprendizagem,
principalmente aquela que se dá nas instituições
escolares. No primeiro caso, o processo é dito
―espontâneo‖ e está associado à lógica natural e no segundo, é dito ―científico‖ e se coloca no âmbito da
lógica formal.
O Dicionário Conciso Oxford de Inglês define lógica como "a ciência do raciocínio, prova, pensamento
ou inferência". A lógica irá deixar você analisar um
argumento ou um pedaço de raciocínio, e deduzir onde é
provável de ele ser correto ou não. Você não precisa
saber lógica para argumentar, claro; mas se você sabe pelo menos um pouco, você vai achar mais fácil para
apontar argumentos inválidos.
INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese,
pode ser considerada como a ciência
do raciocínio e da demonstração. Este
importante ramo da Matemática
desenvolveu-se no século XIX,
sobretudo através das ideias de
George Boole, matemático inglês
(1815 - 1864), criador da Álgebra
Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas
inter-relações.
As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica
Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da
eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica
matemática (ou lógica simbólica) trata do estudo das
sentenças declarativas também conhecidas como
proposições, as quais devem satisfazer a alguns
princípios fundamentais.
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si
mesmo.
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só
pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra
alternativa.
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO: são sentenças declarativas afirmativas
que exprimem um pensamento de sentido completo que podem ser verdadeiras ou falsas.
Lembre-se de que a lógica formal ou proposicional tem
como objetivo utilizar frases declarativas e que não
possuam ambiguidade.
Alguns exemplos de Sentenças abertas e fechadas
1. Frases que não são proposições (são chamadas
sentenças abertas)
o Pare!
o Quer uma xícara de café?
o Ele foi o melhor jogador de 2007. o O dia estava nublado.
Uma pergunta, uma interjeição, uma ordem, frases
sem verbo, citações, poesias, valores desconhecidos
(incógnitas), pronomes etc. não representam proposições.
2. Frases que são proposições (são chamadas
sentenças fechadas)
o A lua é o único satélite do planeta terra. (V)
o A cidade de Patos é a capital do estado do Amazonas. (F)
o O número 712 é par. (V)
o O Brasil é um país da América do Norte. (F)
Portanto, caros concursandos, as proposições
assumem alguns valores lógicos!
A frase deve conter sujeito e predicado, devem
estar especificados o sujeito e o predicado, devendo ter sentido completo (podendo ser verdadeira ou
falsa).
Chama-se valor lógico de uma proposição a
verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade
se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade
e falsidade de uma proposição designam-se
O
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abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não contradição e do
terceiro excluído afirmam é que: Toda proposição
tem um, e um só, dos valores V, F. Assim, por
exemplo:
a) O mercúrio é mais pesado que a água.
b) O Sol gira em torno da Terra.
O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o
valor lógico da proposição (b) é a falsidade (F).
EXERCÍCIOS
01 Marque com x as sentenças que representam
proposições:
d) Boa prova! ( ) e) Ele é baixo. ( )
f) 2 + 5 > 8. ( )
g) ―A frase dentro destas aspas é uma mentira‖.( )
h) O filme já terminou? ( )
i) Que horas são? ( )
g) Ricardo é juiz. ( )
h) A Lua é um satélite? ( )
i) O Brasil é um país da África do Sul. ( )
j) X é um Estado da Federação Brasileira. ( )
k) A terra é uma estrela. ( )
02 Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto
uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Na palavra Embrapa temos 7 letras.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é
a: a) I.
b) II.
c) III
d) IV.
e) V.
03 (BB-CESPE) Há duas proposições no seguinte
conjunto de sentenças:
I) O BB foi criado em 1980.
II) Faça seu trabalho corretamente.
III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
( ) Certo ( ) Errado
04 (TCE/AC) Na lista de frases a seguir, há
exatamente 2 proposições.
I) Esta frase é falsa.
II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento
do estado do Acre.
III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? ( ) Certo ( ) Errado
05 (SEGER) Na lista de afirmações abaixo, há
exatamente 3 proposições.
I) Mariana mora em Piúma.
II) Em Vila Velha, visite o Convento da Penha.
III) A expressão algébrica x + y é positiva.
IV) Se Joana é economista, então ela não entende de
políticas públicas.
V) A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.
( ) Certo ( ) Errado
06 (TRT 17ª Região 2009) Na sequência de frases
abaixo há três proposições. I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na
região Sudeste do Brasil?
II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200
vagas.
III) Se o candidato estudar muito, então ele será
aprovado no concurso do TRT/ES.
IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá
se inscrever no concurso do TRT/ES.
( ) Certo ( ) Errado
07 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A frase ―Quanto
subiu o percentual de mulheres assalariadas nos
últimos 10 anos?‖ não pode ser considerada uma proposição. ( )
( ) Certo ( ) Errado
08 (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com
sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e
predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na
relação seguinte há expressões e sentenças:
1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante.
3. Mente sã em corpo são.
4. Dois mais dois são 5.
5. Evite o fumo.
6. Trinta e dois centésimos.
É correto afirmar que, na relação dada, são
sentenças APENAS os itens de números
A) 1, 4 e 6.
B) 2, 4 e 5.
C) 2, 3 e 5.
D) 3 e 5. E) 2 e 4.
GABARITO
01 c, g, i, k 06 C
02 D 07 C
03 C 08 E
04 E
05 C
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CONECTIVOS LÓGICOS E AS PROPOSIÇÕES
COMPOSTAS
Os conectivos e os modificadores são elementos aplicados a uma ou mais proposições para formar outras
de maior complexidade. Uma proposição, que não
apresente conectivo nem modificador, é chamada de
“proposição simples” ou “atômica” e aquela que
apresenta conectivo ou modificador é dita “proposição
composta”. As proposições podem ser combinadas entre
si. Para representar tais combinações usaremos os
conectivos lógicos.
Proposição simples ou atômica: é uma frase declarativa
que expressa um pensamento completo acerca de um
objeto, isto é, possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do
nosso alfabeto.
Exemplos:
p: O México fica na América do Sul.
q: O número 16 é quadrado perfeito.
r: João é menino de rua.
Proposição composta ou molecular: é formada por
duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso
alfabeto.
Notação: P(p, q, r, ...) indica que a proposição composta
P é formada pelas proposições simples p, q, r, ...
CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORES
LÓGICOS: são palavras ou expressões que usamos para
formar novas proposições, a partir de outras proposições.
: e
ou... ou...
: ou
: se...então
: se, e somente se
ou : não
Exemplos:
João é médico e Pedro é dentista:
p q (p e q são chamados conjuntos)
Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo:
p q (p e q são chamados disjuntos – disjunção
inclusiva)
Ou Luís é baiano, ou é paulista:
p q (p ou q são chamados disjunção exclusiva)
Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia:
p q (p é o antecedente e q o conseqüente)
Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar na loteria:
p q
A lua não é quadrada:
p
OBSERVAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES:
1. Toda proposição composta é uma proposição.
2. Se A e B são proposições então (A B), (A B),
(A B), (A B) e ( A) também são proposições.
3. São proposições apenas as obtidas por 1 e 2.
O MODIFICADOR NEGAÇÃO
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação
por ~p. (Lê-se "não p"). Ex.: p: Três pontos determinam
um único plano (V) ~p: Três pontos não determinam um único plano (F) Obs.: duas negações equivalem a uma
afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.
Exemplo:
p: A lua é quadrada.
p: A lua não é quadrada. ~(~p): A lua é quadrada.
~(~(~p)): A lua não é quadrada.
... e assim por diante!!!
Negação de Proposições Compostas
Exemplos:
Proposição composta: (p q):
João é médico e Pedro é dentista.
Negação: (~p ~q):
João não é médico ou Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p q):
João é médico ou Pedro é dentista.
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Negação: (~p ~q):
João não é médico e Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p q):
Se João é médico, então Pedro é dentista.
Negação: (p ~q):
João é médico e Pedro não é dentista.
Proposição composta: (p q):
João é médico se, e somente se, Pedro é dentista.
Negação: [(p ~q) (q ~p)]
João é médico e Pedro não é dentista.
ou
Pedro é dentista e João não é médico.
Resumindo... Preste atenção na tabela abaixo!!!
Negação de (p q) é ~p ~q
Negação de (p q) é ~p ~q
Negação de (p q ) é p ~q
Negação de (p q) é [(p ~q) (q ~p)]
EXERCÍCIOS
01 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição
―João vai comprar um carro ou um barco‖.
A) ―João vai comprar um carro ou não vai comprar um
barco.‖
B) ―João não vai comprar um carro e não vai comprar um barco.‖
C) ―João não vai comprar um carro ou não vai comprar
um barco.‖
D) ―João vai comprar um carro e vai comprar um
barco.‖
E) ―João não vai comprar um carro e vai comprar um
barco.‖
NE
GA
ÇÃ
O
02 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém a
negação da proposição
―É mentira que, se a seleção brasileira de futebol
não ganha, então o seu técnico é demitido‖.
A) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou seu técnico foi demitido.‖
B) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o
seu técnico não foi demitido.‖
C) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou e o seu
técnico foi demitido.‖
D) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou o seu
técnico não foi demitido.‖
E) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o
seu técnico foi demitido.‖
NE
GA
ÇÃ
O
03 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição ―A seleção brasileira de
futebol é forte e preparada‖.
A) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou é
preparada.‖
B) ―A seleção brasileira de futebol não é forte e não é
preparada.‖ C) ―A seleção brasileira de futebol é forte ou não é
preparada.‖
D) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou não é
preparada.‖
E) ―A seleção brasileira de futebol é forte e não é
preparada.‖
NE
GA
ÇÃ
O
04 (CESPE/TRE-ES/09) A proposição ―Carlos é juiz
e é muito competente‖ tem como negação a
proposição ―Carlos não é juiz nem é muito
competente‖.
NE
GA
ÇÃ
O
05 (ESAF 2009) A negação de ― Ana ou Pedro vão ao
cinema e Maria fica em casa‖ é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em
casa
b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica
em casa
c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em
casa
d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica
em casa
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e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.
NE
GA
ÇÃ
O
06 (ANPAD) A negação da proposição: ―Pedro fala
inglês e francês‖ é:
a) ―Pedro fala inglês ou fala francês‖ b) ―Pedro não fala inglês e fala francês‖
c) ―Pedro não fala inglês ou fala francês‖
d) ―Pedro não fala inglês e não fala francês‖
e) ―Pedro não fala inglês ou não fala francês‖.
NE
GA
ÇÃ
O
07 A negação da sentença ―Se você estudou Lógica
então você acertará esta questão‖ é:
a) Se você não acertar esta questão, então você não
estudou Lógica.
b) Você não estudou Lógica e acertará esta questão.
c) Se você estudou Lógica, então não acertará esta
questão.
d) Você estudou Lógica e não acertará esta questão.
e) Você não estudou Lógica e não acertará esta
questão.
NE
GA
ÇÃ
O
08 (CESPE) Se a proposição ―O soldado Brito é
jovem e casado‖, então a proposição ―O soldado
Brito não é jovem mas é solteiro‖ é um enunciado
correto para a proposição ~A.
NE
GA
ÇÃ
O
09 (TRT 17ª Região) A proposição ―Carlos é juiz e é
muito competente‖ tem como negação a proposição
―Carlos não é juiz nem é muito competente‖.
NE
GA
ÇÃ
O
GABARITO
01 B 02 A 03 D 04 E 05 B
06 E 07 E 08 E 09 E
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO
CÁLCULO PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL
VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas
minúsculas p, q, r, s,... para indicar as proposições
simples e letra maiúsculas para indicar proposições
compostas.
Exemplos:
A lua é quadrada: p
A neve é branca: q
SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ) e [ ]: os parênteses e
colchetes, por exemplo, são utilizados para denotar o
"alcance" dos conectivos.
Exemplos:
Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua
não é quadrada: ((p q) p).
A lua não é quadrada se e somente se a neve é
branca: (( p) q)).
Observação
O CESPE considerou como proposições simples, no
concurso do SEBRAE e STF em 2008, as seguintes
sentenças:
Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE.
O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da
ruína do homem.
Fiquem atentos, pois a maioria dos autores não concorda
com esta definição. Portanto, PARA O CESPE, quando a
sentença tem dois sujeitos e o mesmo predicado, é
considerada uma proposição simples.
TABELAS VERDADE
Trata-se de um algoritmo que possibilita a
sistematização do estabelecimento do valor lógico de um
juízo composto em todas as situações possíveis, a partir
da separação dos juízos simples que o compõem e sua
utilidade é mais significativa no caso de juízos de maior
complexidade. Ou seja, é uma maneira prática de
organizar os valores lógicos de uma proposição simples
ou composta.
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O dispositivo da tabela verdade consiste em uma matriz com linhas e colunas, preenchida da seguinte
forma:
1. Na primeira linha registram-se os juízos que
compõe aquele em questão, em ordem crescente de
complexidade, desde os juízos simples, até o
próprio juízo objeto da tabela verdade;
2. Nas colunas referentes aos juízos simples, a partir
da segunda linha, são registradas todas as situações
possíveis relativamente aos valores lógicos;
3. Em cada linha, a partir da primeira coluna
correspondente a um juízo composto, são
registrados os valores lógicos dos juízos que se
encontram na primeira linha da respectiva coluna,
estabelecidos em função dos valores atribuídos aos
juízos simples na respectiva linha.
4. O número de linhas distintas de uma tabela-verdade
é dado por 2n, onde n é o número de proposições
simples componentes e 2 representa o número de valores lógicos possíveis: V ou F. Assim, para duas
proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições
são 23 = 8; etc.
Observação
A fórmula 2n será usada para descobrir o total de linhas
ou seja, saber a quantidade de valorações de uma
proposição lógica.
Exemplos:
p: 21 = 2 linhas (duas valorações possíveis)
Para preenchimento dos valores V ou F em cada coluna, divida o total de linhas por 2 e repita o mesmo processo
com o resultado obtido da coluna anterior, até chegar à
última coluna. O resultado de cada coluna será a
repetição da valoração V ou F, começando pelo V e
iniciando pela primeira linha.
CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE
Exemplo: a tabela verdade da fórmula ((p q) r) terá 8 linhas como segue:
Veja como arrumar os dados na tabela:
Nesse caso, temos três proposições simples
distintas, aplicando a fórmula 2n, temos:
23 = 2.2.2 = 8 linhas.
Precisamos de uma tabela de 8 linhas. Mas se é
tabela, devemos ter linhas e colunas. Já sabemos que
nossa tabela será formada por 8 linhas (mais uma para colocarmos os dados no início da tabela), mas quantas
colunas???
O total de colunas é obtido desmontando-se o nosso
argumento em proposições simples e compostas.
IMPORTANTE...
Cada linha é uma possível valoração (possíveis
respostas diferentes) ao nosso argumento. Já as
colunas são chamadas de juízos.
Observando o argumento ((p q) r), percebemos que ele pode ter, no máximo, 8 possíveis resultados e é
formado por 5 juízos de valor.
Processo de arrumação dos dados na tabela:
1ª coluna: p
2ª coluna: q
3ª coluna: r
4ª coluna: (p q)
5ª coluna: ((p q) r)
...Perceba que os juízos do argumento AUMENTAM,
enquanto o nosso... rsrsr. Esqueça.
p q r (p q) ((p q) r)
Construção da primeira coluna: Como cada
proposição pode ser ou V ou F, começaremos a
preencher a primeira coluna pela metade. Ou seja, nossa tabela tem 8 linhas, 8:2 = 4, logo, teremos 4 valorações
verdadeiras (VVVV) e 4 valorações falsas (FFFF).
p q r (p q) ((p q) r)
V
V
V
V
F
F
F
F
Construção da segunda coluna: da primeira
coluna, temos 4 valorações V e 4 valorações F.
Dividindo 4 pela metade, ficaremos com 2 V e 2 F.
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p q r (p q) ((p q) r)
V V
V V
V F
V F
F V
F V
F F
F F
Construção da terceira coluna: da segunda coluna,
dividimos 2 por 1, logo ficaremos com 1 V e 1 F.
p q r (p q) ((p q) r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Construção da quarta coluna: Temos a proposição
composta (p q). Vamos juntos formar a dupla de valoração. Primeiro, pegamos a valoração da
primeira coluna (p) e depois da segunda coluna (q).
Como o conectivo lógico utilizado aqui é conjunção,
o valor nesta coluna, somente será verdadeiro caso p
e q sejam verdadeiros ao mesmo tempo.
p q r (p q) ((p q) r)
V V V V
V V F F
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V F
F F F F
Construção da quarta coluna: Está quase acabando... Agora devemos pegar o resultado da
quarta coluna com o resultado da terceira coluna.
Como o conectivo lógico utilizado é a disjunção
inclusiva (ou), o resultado para esta coluna somente
será F, caso os valores das colunas em questão
sejam, ao mesmo tempo falsos.
p q r (p q) ((p q) r)
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
Não deixe de praticar...
TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES
COMPOSTAS
1) Tabela verdade da "negação": ~p é verdadeira
(falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
P ~p
V
F
2) Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é
verdadeira se e somente os conjuntos são
verdadeiros.
p q p q
V V
V F
F V
F F
3) Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa
se, e somente, os disjuntos são falsos.
p q p q
V V
V F
F V
F F
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4) Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e
o conseqüente é falso.
p q p q
V V
V F
F V
F F
5) Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-
implicação é verdadeira se, e somente se seus
componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos
falsos.
p q p q
V V
V F
F V
F F
EXERCÍCIOS
01 (CESPE – Analista Administrativo SEGER)
Existem exatamente 8 combinações de valorações
das proposições simples A, B e C para as quais a
proposição composta (A B) (¬C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F.
02 (UnB/CESPE – SGA/AC) Uma proposição da
forma (¬A) (B ¬C) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F.
03 (CESPE-TRT-BA) Se A, B, C e D forem
proposições simples e distintas, então o número de
linhas da tabela-verdade da proposição (A B)
(C D) será superior a 15.
04 (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R
possui, no máximo, 4 avaliações V.
05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Atribuindo-se
todos os possíveis valores lógicos V ou F às
proposições A e B, a proposição [(¬A) B] A terá três valores lógicos F ( )
06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Toda proposição
simbolizada na forma A B tem os mesmos
valores lógicos que a proposição B A ( )
Texto para os itens de 07 a 09
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter
valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas
(F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas
proposições, tais como: a proposição condicional,
denotada por P Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada
por P Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada
por P Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada
por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um
conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa
proposição. A partir das informações do texto acima,
julgue os itens subseqüentes.
07 As tabelas de valorações das proposições P Q e
Q ¬P são iguais.
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08 As proposições (P Q) S e (P S) (Q
S) possuem tabelas de valorações iguais.
09 O número de tabelas de valorações distintas que
podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a
24.
10 (CESPE) Caso as colunas em branco na tabela
abaixo sejam corretamente preenchidas, a última
coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P
(¬Q)] [Q P].
11 (CESPE) A última coluna da tabela-verdade
abaixo corresponde à proposição (P R) Q.
GABARITO
01 C 02 E 03 C 04 E 05 E
06 E 07 E 08 E 09 E 10 C
11 E
Estruturas Lógicas
UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA
Como vimos anteriormente a Lógica divide-se em
LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da
probabilidade, e LÓGICA DEDUTIVA. Estudaremos,
aqui, a LÓGICA PROPOSICIONAL OU
SENTENCIAL: Como primeira e indispensável parte da
Lógica Matemática temos o CÁLCULO
PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou
ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.
Nosso principal objetivo será a investigação da
validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados
dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais
PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente
divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas
premissas, se verdadeiras, a conclusão é também
verdadeira.
Premissa : "Todo homem é mortal."
Premissa : "João é homem."
Conclusão : "João é mortal."
Caros estudantes: esses argumentos serão
objeto de estudo neste roteiro.
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas
não basta para assegurar a verdade da conclusão.
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo."
Conclusão: "Ficará nublado."
Não trataremos do estudo desses argumentos
neste roteiro.
ARGUMENTO
Como dito acima, nosso principal objetivo é a
investigação da validade de ARGUMENTOS: Conjunto
de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os
demais PREMISSAS.
Argumentos – Um argumento é, segundo Monty
Python, "uma série conectada de afirmações para
estabelecer uma proposição definida". Argumentos
dedutivos têm três estágios: premissas, inferência, e
conclusão.
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Proposições – Uma proposição é uma afirmação que é ou verdadeira ou falsa. A proposição é o significado da
afirmação.
Por exemplo:
"Existe um número par primo maior que dois" é uma
proposição. (Uma falsa, nesse caso).
"Um número par primo maior que dois existe" é a
mesma proposição, refraseada.
Premissas – Um argumento dedutivo sempre requer um
numero de suposições centrais. São as suposições onde o
argumento é construído; ou para olhar de outra forma, as
razões para aceitar o argumento.
Inferência – É um processo passo a passo de se chegar a
um argumento. Na inferência, você começa com uma ou
mais proposições que foram aceitas, você então usa essas
proposições para chegar a uma nova proposição. Se a
inferência é válida, essa proposição deve ser aceita. Você
pode usar a nova proposição para inferências mais tarde. Muitas vezes são identificadas por frases como
"portanto..." ou "...implica que..."
Conclusão – A conclusão é o resultado do passo final da
inferência. É uma conclusão apenas no contexto de um
argumento particular, poderia ser uma premissa ou
suposição em outro argumento.
Implicação em detalhe – Claramente você pode
construir um argumento válido de premissas verdadeiras,
e chegar a uma conclusão verdadeira. Você também pode
construir um argumento válido de premissas falsas, e chegar a uma conclusão falsa. A parte complicada é que
você pode começar com falsas premissas, proceder via
inferências válidas, e alcançar uma conclusão verdadeira.
Exemplo:
Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.
(falso)
Premissa: Lontras marinhas são peixes. (falso)
Conclusão: Portanto lontras marinhas vivem no
oceano. (verdadeiro)
Há uma coisa que você não pode fazer, no entanto:
começar de premissas verdadeiras, proceder via
inferência dedutiva válida, e alcançar uma conclusão
falsa.
O fato que um argumento é válido não
necessariamente significa que sua conclusão suposta
pode ter começado de premissas falsas. Se um argumento
é válido, e, além disso, começou de premissas
verdadeiras, então é chamado de um argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar a uma conclusão
verdadeira.
Exemplo de Argumento:
Aqui há um exemplo de um argumento que é válido, e
que pode ou não ser sensato:
A) Premissa: Todos os eventos têm uma causa. B) Premissa: O universo teve um começo.
C) Premissa: Todos os começos envolvem um evento.
D) Inferência: Isso implica que o começo do universo
envolveu um evento.
E) Inferência: Portanto o começo do universo teve uma causa.
F) Conclusão: O universo teve uma causa.
A proposição na linha 4 é inferida das linhas 2 e 3.
A linha 1 é então usada, com a proposição derivada na
linha 4, para inferir uma nova proposição na linha 5. O
resultado da inferência na linha 5 é então reafirmado (em
forma ligeiramente simplificada) como a conclusão.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui
valor lógico F (falso). Os valores lógicos também
costumam ser representados por 0 (zero) para
proposições falsas (0 ou F) e 1 (um) para proposições
verdadeiras (1 ou V ).
Mais uma vez relembremos Argumento...
Na estrutura do raciocínio lógico se distingue como
elemento central o argumento, que consiste na
articulação do conjunto de premissas de modo a justificar
a conclusão.
As proposições somente podem ser designadas como
premissa ou como conclusão no contexto de um
argumento e as designações em um argumento podem
ser diferentes em outro. Assim, uma proposição pode ser conclusão num argumento e premissa em outro.
Resolveremos uma questão detalhando para melhor
compreensão de um argumento:
Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por
outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é
difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica,
então:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
Perceba as proposições do argumento:
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.
Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
Artur gosta de lógica.
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Perceba que as duas primeiras frases são compostas por duas premissas, inseridas numa ―estrutura lógica‖. A
primeira estrutura lógica (a da primeira frase) é do tipo
ou PREMISSA A ou PREMISSA B. Já a segunda
estrutura lógica (a da segunda frase) é do tipo se
PREMISSA A, então PREMISSA B. Para cada um
desses tipos de estrutura, haverá diferentes maneiras de
se atribuir juízos de verdadeiro e falso, de acordo com o
que prescreve a lógica matemática. São aquelas
chamadas ―tabelas-verdade‖.
A terceira frase veio sozinha, desacompanhada,
isolada. É uma proposição simples. E o que sabemos sobre uma proposição simples? TODA ELA É
VERDADEIRA, caso o elaborador não diga o
contrário!!! Logo, ela será a nossa verdade, nosso ponta-
pé inicial. A partir dessa verdade faremos inferência nas
demais, descobrindo, assim, a valoração de cada
proposição.
Vamos lá concursando!
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.
(F)
Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
Artur gosta de lógica.
(V)
Perceba: Artur gosta de lógica. Agora, devemos
procurar, no argumento, onde se fala em Artur
novamente. E lá está. Na primeira proposição composta.
Mas perceba que ali diz que Artur NÃO gosta de lógica.
E como a verdade (que já temos) é que Artur gosta de
lógica, o valor da proposição de chegada será FALSO.
Já constatamos que a segunda premissa da primeira frase
é FALSA, uma vez que partimos da verdade que Artur
gosta de lógica. Agora, analisemos a primeira frase. Essa
premissa que acabamos de dizer que é FALSA está dentro da estrutura “ou premissa A, ou premissa B”, e
sabemos que nesse tipo de estrutura, se a ―premissa de
partida‖ é FALSA, então a ―premissa de chegada‖ tem
que ser VERDADEIRA. Daí, ficamos que (se uma é
falsa a outra deve ser verdadeira):
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.
(V) (F)
Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
Artur gosta de lógica.
(V)
Procuremos, agora, uma premissa que fale em
lógica ser fácil ou não ser fácil. Está na segunda
suposição (segunda premissa). Como já sabemos que lógica fácil é VERDADIRA, então lógica difícil será
FALSO.
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.
(V) (F)
Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
(F)
Artur gosta de lógica.
(V)
Analisando a segunda frase, vemos que essa
segunda premissa (lógica é difícil) está inserida na
estrutura “se premissa A, então premissa B”, para esse
tipo de estrutura só há uma situação em que não é
possível, ou seja, não pode ocorrer (V – F). Se a
―premissa B‖ é FALSA, então a ―premissa A‖ jamais poderá ser VERDADEIRA, para não cair justamente na
situação inadmissível (V - F). Daí, concluímos: essa
―premissa A‖ terá, necessariamente, de ser FALSA.
Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.
(V) (F)
Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.
(F) (F)
Artur gosta de lógica.
(V)
Agora todas as premissas já estão marcadas com V
ou F. Basta compararmos nossas conclusões com as
opções de resposta! Se a resposta vier com duas informações, e o
seguinte formato: “INFORMAÇÃO A” E
“INFORMAÇÃO B”, então você só poderá marcar essa
resposta se AMBAS estiverem corretas.
Se o formato da resposta for: “INFORMAÇÃO
A” OU “INFORMAÇÃO B”, então essa é a resposta da
questão se houver uma das informações que esteja
correta.
Se a resposta, finalmente, vier no formato:
Se“INFORMAÇÃO A”, então “INFORMAÇÃO B”,
então você não marcará essa opção como sendo a nossa
resposta caso ela apresente aquele resultado inadmissível, qual seja: (V - F).
Veremos a resposta da nossa questão:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
Ele está partindo da premissa A, considerando-a
como verdadeira ou falsa? De acordo com as conclusões
que extraímos do nosso raciocínio, concluímos que a
Geografia é difícil. Logo, essa opção de resposta está
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partindo de uma informação VERDADEIRA. E está chegando a outra informação, que não deverá ser falsa.
Mas perceba que a segunda informação dessa resposta é
FALSA. Ora, então partimos de uma informação
VERDADEIRA e chegamos a uma informação FALSA.
Para esse tipo de resposta (se informação A, então
informação B), qual é a situação que nós não poderemos
admitir? VERDADEIRA e FALSA. Logo,
descartaremos esta opção.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
Aqui a resposta vem no formato ―informação A” e
“informação B”. Para marcarmos essa opção como
sendo a certa, será preciso que ambas as informações
estejam corretas, lembrados? Então vejamos: é
verdadeiro ou falso que lógica é fácil? É
VERDADEIRO. Agora só falta concluirmos sobre a
segunda informação. É verdadeiro ou falso que
Geografia é difícil? É VERDADEIRO! PRONTO, esta é
a resposta! Mesmo assim, analisemos as demais opções.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
Novamente teriam que ser ambas as informações
verdadeiras. A primeira o é, mas a segunda não! Logo,
opção descartada.
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
Aqui a mesma coisa: ambas teriam que estar certas!
A primeira já está errada, logo, nem vá atrás de saber da
segunda... descarte logo essa opção!
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. Aqui bastaria que uma das duas opções estivesse
certa, para marcarmos essa opção como nossa resposta.
Só que ambas estão erradas. Logo, descartamos também
essa opção.
Exemplo
Consideremos o seguinte raciocínio lógico:
9) Todo número real é complexo
10) Todo número racional é real
11) Todo número racional é complexo
O argumento seria: “Sendo todo número real,
complexo e todo número racional, real, então, todo
número racional é real e, portanto, é complexo”.
Consideremos outro raciocínio lógico:
6) Todo número racional é complexo
7) Todo número inteiro é racional
8) Todo número inteiro é complexo
O argumento é: “Sendo todo número racional,
complexo e sendo todo número inteiro, racional, então,
todo número inteiro é racional e, portanto, é
complexo”.
Notemos que a proposição ―Todo número racional é
complexo‖ é conclusão no primeiro raciocínio e é
premissa no segundo.
O argumento consiste na estrutura central do
raciocínio lógico, por isso, comumente ele se confunde
com o próprio raciocínio, razão pela qual há quem os
trate como se fossem a mesma coisa. Notemos que o
raciocínio lógico apresenta em sua estrutura uma única
conclusão e, pelo menos uma premissa. Quando todas as premissas antecedem à conclusão, dizemos que o
raciocínio está estruturado na forma ―canônica‖ e,
quando a conclusão antecede às premissas ou está
intercalada entre elas, dizemos que o raciocínio está
estruturado numa forma singular. No caso em que uma
da premissas ou a conclusão está implícita, isto é, não é
materializada através de uma sentença, dizemos que o
argumento está estruturado na forma reduzida.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS
A noção de argumentos válidos ou não válidos
aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também
que a validade depende apenas da forma do argumento e
não dos respectivos valores verdades das premissas. Não
podemos ter um argumento válido com premissas
verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos
alguns argumentos dedutivos válidos importantes.
O primeiro argumento dedutivo válido que
discutiremos chama-se ―afirmação do antecedente‖,
(também conhecido como modus ponens).
Então vejamos:
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.
José foi reprovado no concurso.
Logo, José será demitido do serviço.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode
ser escrita da seguinte forma:
Ou
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Outro argumento dedutivo válido é a “negação do
conseqüente” (também conhecido como modus tollens).
Observação:
Vimos nas páginas anteriores que (p q) é equivalente a
(~q p). Esta equivalência é chamada de contra -
positiva.
Exemplo:
―Se ele me ama, então casa comigo‖ é equivalente a ―Se
ele não casa comigo, então ele não me ama‖.
Então vejamos o exemplo do modus tollens.
Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.
Não há inflação
Logo, não aumentamos os meios de pagamentos.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode
ser escrita da seguinte maneira:
Ou
Raciocínio por Inferência
Trata-se do processo de construção do conhecimento
a partir de um raciocínio fundamentado em suposições no qual se constrói um conhecimento novo mais amplo
do que o anterior ou se amplia a abrangência do
conhecimento anterior.
TAUTOLOGIA, CONTRA–TAUTOLOGIA OU
CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA: Fórmula que possui
apenas valor V em sua tabela verdade.
Exemplo : p p
p p p p
1 V
2 F
CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui
apenas valor F em sua tabela verdade.
Exemplo: p p
p p p p
1 V
2 F
CONTINGENTE ou FORMA INDETERMINADA: Fórmula que possui valores
V e F em sua tabela verdade.
Exemplo : p q
p q p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
EXERCÍCIOS
01 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos –
PMPV/2009) Assinale a afirmação que é
logicamente equivalente a
―Não é verdade que, se Maria está grávida, então
Beatriz está feliz‖.
A) É verdade que ―Maria está grávida e Beatriz está
feliz‖.
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B) Não é verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz não está feliz‖.
C) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou
Beatriz não está feliz‖.
D) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou
Beatriz está feliz‖.
E) É verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz está
feliz‖.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
02 (CESPE PF 2009) As proposições ―Se o delegado
não prender o chefe da quadrilha, então a operação
agarra não será bem-sucedida‖ e ―Se o delegado
prender o chefe da quadrilha, então a operação
agarra será bem-sucedida‖ são equivalentes.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
03 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos –
PMPV/2009) Assinale a afirmação que é
logicamente equivalente a ―Fernanda é professora
ou Patrícia não é brasileira‖.
A) Fernanda é professora se e somente se Patrícia não
é brasileira. B) Se Fernanda é professora, então Patrícia não é
brasileira.
C) Se Fernanda não é professora, então Patrícia é
brasileira.
D) Se Patrícia é brasileira, então Fernanda é
professora.
E) Fernanda não é professora e Patrícia é brasileira.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
04 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
uma proposição equivalente à ―Se Laura viajou
para a Inglaterra, então Laura viajou para o
exterior‖.
A) Se Laura não viajou para a Inglaterra, então Laura
não viajou para o exterior.
B) Se Laura não viajou para o exterior, então Laura
não viajou para a Inglaterra.
C) Se Laura viajou para o exterior, então Laura não viajou para a Inglaterra.
D) Se Laura viajou para a Inglaterra, então Laura não
viajou para o exterior.
E) Laura não viajou para Inglaterra mas viajou para o
exterior.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
05 (ESAF 2009) Considere a seguinte proposição: "Se
chove ou neva, então o chão fica molhado". Sendo
assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não
nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
06 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
uma proposição equivalente a:
“Se Paula é bonita, então Juliana não é magra”.
A) ―Se Juliana é magra, então Paula é bonita.‖
B) ―Se Paula não é bonita, então Juliana é magra.‖
C) ―Paula é bonita ou Juliana é magra.‖
D) ―Paula é bonita ou Juliana não é magra.‖
E) ―Se Juliana é magra, então Paula não é bonita.‖
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
07 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
uma proposição equivalente a ―Se o céu está azul,
então o almoço não está bom‖.
A) ―Se o almoço está bom, então o céu não está azul.‖
B) ―Se o almoço não está bom, então o céu está azul.‖
C) ―O almoço está bom ou o céu está azul.‖
D) ―O almoço está bom ou o céu não está azul.‖
E) ―Se o céu está azul, então o almoço está bom.‖
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EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
08 (CESPE) Se A e B são proposições, completando a
tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a
proposição ¬(A B) ¬A ¬B é uma tautologia.
Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.
Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse
culpado e simbolizando por Q o trecho a arma
estaria no carro, obtém-se uma proposição
implicativa, ou simplesmente uma implicação, que
é lida: Se P então Q, e simbolizada por P Q. Uma
tautologia é uma proposição que é sempre V
(verdadeira). Uma proposição que tenha a forma
P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que
P e Q forem V. Com base nessas informações e na
simbolização sugerida, julgue os itens
subsequentes.
09 (CESPE 2005–TRT – 16 REGIÃO - ANALISTA
JUDICIÁRIO) A proposição ―Se meu cliente fosse
culpado, então a arma do crime estaria no carro.
Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma
do crime estaria no carro.‖ não é uma tautologia.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
10 (CESPE 2005 – TRT – 16 REGIÃO -
ANALISTA JUDICIÁRIO) proposição ―Se meu
cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava
no carro, então meu cliente não é culpado.‖ é uma
tautologia.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
11 (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF –
2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda.
Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não
estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa
estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa
não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa
estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa
estudar.
EQ
UIV
AL
ÊN
CIA
Considere que as letras P, Q, R e T representem
proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam
operadores lógicos que constroem novas
proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada
proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas
nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto
acima, julgue os itens a seguir.
12 Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras,
então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também
verdadeira.
TA
BE
LA
VE
RD
AD
E
13 Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é
falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
TA
BE
LA
VE
RD
AD
E
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14 Se as proposições P e Q são verdadeiras (P∧R) →
(¬Q) é verdadeira.
TA
BE
LA
VE
RD
AD
E
Considere as sentenças abaixo.
i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus
fumam.
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à
saúde.
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que
muitos europeus fumam, então fumar deve ser
proibido.
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como
é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as
sentenças listadas na tabela a seguir.
P: Fumar deve ser proibido.
Q: Fumar deve ser encorajado.
R: Fumar não faz bem à saúde.
T: Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a
notação introduzida no texto, julgue os itens
seguintes.
15 A sentença I pode ser corretamente representada
por P ∧ (¬T).
16 A sentença II pode ser corretamente representada
por (¬ P) ∧ (¬R).
17 A sentença III pode ser corretamente representada
por R → P.
18 A sentença IV pode ser corretamente representada
por (R ∧ (¬T)) → P.
19 A sentença V pode ser corretamente representada
por T → ((¬R) ∧ (¬P)).
Suponha que P representa a proposição Hoje
choveu, Q represente a proposição José foi à praia e
R represente a proposição Maria foi ao comércio.
Com base nessas informações e no texto, julgue os
itens a seguir:
20 A sentença Hoje não choveu então Maria não foi
ao comércio e José não foi à praia pode ser
corretamente representada por ¬P → (¬R ∧ ¬Q)
21 A sentença Hoje choveu e José não foi à praia
pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q
22 Se a proposição Hoje não choveu for valorada
como F e a proposição José foi à praia for valorada
como V, então a sentença representada por ¬P → Q
é falsa.
GABARITO
01 D 02 E 03 D 04 B 05 E
06 E 07 A 08 C 09 E 10 C
11 E 12 E 13 E 14 E 15 E
16 C 17 C 18 C 19 E 20 C
21 C 22 E
ANOTAÇÕES
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RESUMO DA TABELA DOS SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA
Sím
bolo Função lógica
linguagem
idiomática
Estrutura
lógica
generalizad
a
Exemplo de
proposição singular
Conjunção e a b (5 > 3) (7 < 9)
v Disjunção ou a v b Irei ao cinema ou à praia
Estabelecer condição suficiente para um evento
Se ... então a → b x = 2 → x + 3 = 5
~ Negar uma proposição não ~ p O número 2 não é ímpar
Quantificador existencial Existe p q x R x > 5
Estabelecer relação causal Tal que
! Quantificador existencial
restrito
Existe um
único ! p q ! x Z x + 1 = 2
Quantificador universal Para todo x, y p x R, y Z x > y
Estrutura lógica
generalizada É verdade quando É falso quando
a b a e b são, ambos, verdade a ou b, um dos dois, é falso
a v b a ou b, um dos dois é verdade a e b, ambos, são falsos
a b a é falso ou a e b são, ambos, verdadeiros a é verdade e b é falso
~ p P é falso P é verdade
p q Para algum p ocorre q Para todo p ocorre ~q
x, p Para qualquer ―x‖ ocorre p Para algum ―x‖ não ocorre p
! x p
Para um certo ―x‖ ocorre p e para qualquer
outro ―x‖ não ocorre p
Para qualquer ―x‖ ocorre ~p ou
ocorre p para mais de um ―x‖
NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual:
inclusivo (disjunção) e exclusivo onde p q significa ((p q) (p q)).
p q (p q) (p q) (p q) ((p q) (p q))
V V
V F
F V
F F
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EXERCÍCIOS
01 Diga se os argumentos abaixo são válidos ou
inválidos:
a) (CESPE) Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia
tem salário baixo.
Josélia é ótima estagiária.
Conclusão, Josélia tem salário baixo.
b) (CESPE) Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso.
Penha não vencerá o concurso.
Conclusão, Penha não é linda.
c) (CESPE) Se Antônio for bonito ou Maria for alta,
então José será aprovado no concurso.
Maria é alta.
Portanto José será aprovado no concurso.
d) Se eu ganhar na loteria, comprarei um carro.
Comprei um carro.
Logo, ganhei na loteria.
02 (AFC) Se Iara não fala italiano, então Ana fala
alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala
chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala
dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala
espanhol se e somente se não for verdade que
Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala
francês e Ching não fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala
dinamarquês;
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês;
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol;
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano;
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.
Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.
Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.
Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala
francês.
Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.
03 Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o
jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora,
o passarinho canta. Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia.
b) o jardim é florido e o gato não mia.
c) o jardim não é florido e o gato mia.
d) o jardim não é florido e o gato não mia.
e) se o passarinho canta, então o gato não mia.
Se o jardim não é florido, então o gato mia.
Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.
O passarinho canta.
04 Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao
casamento. Se Carla não foi ao casamento,
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio
afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.
b) Camile e Carla não foram ao casamento.
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não
viajou.
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.
e) Vera e Vanderléia não viajaram.
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.
Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.
Se Vanderléia viajou, o navio afundou.
O navio não afundou.
05 Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o
tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica
no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a
rainha não briga com o rei. Logo:
a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.
b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.
c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.
d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre.
e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.
Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz.
Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo.
Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei.
A rainha não briga com o rei.
06 Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é
médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-
se que:
1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;
2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;
3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico;
4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor.
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Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente:
a) professor, médico e músico
b) médico, professor e músico
c) professor, músico e médico
d) músico, médico e professor
e) médico, músico e professor.
ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;
ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;
ou Renato é músico, ou Rogério é músico;
ou Rogério é professor, ou Renato é professor.
07 Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.
Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se
Pedro não é português, então Frederico é francês.
Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.
Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês.
b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é alemão.
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês.
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês.
Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.
Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.
08 O seguinte enunciado é verdadeiro:
“Se uma mulher está grávida, então a substancia
gonadotrofina está presente em sua urina”.
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e
constatou-se que a substância está presente na urina
de Fátima e não está presente na urina de Mariana.
Utilizando a proposição anunciada, os resultados
dos exames e o raciocínio lógico dedutivo:
a) garantem que Fátima está grávida e não se pode
garantir que Mariana esteja grávida;
b) garantem que Mariana não está grávida e não se
pode garantir que Fátima esteja grávida;
c) garantem que Mariana está grávida e que Fátima
também está grávida;
d) garantem que Fátima não está grávida e não se pode
garantir que Mariana esteja grávida;
e) garantem que Mariana não está grávida e que
Fátima está grávida;
09 (CESPE/SECAD-TO 2008) Considere a seguinte
seqüência de proposições:
(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi
preso.
(2) O criminoso não foi preso.
(3) Portanto, o crime foi perfeito.
Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a
proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a
seqüência é uma dedução lógica correta.
10 (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela
seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela
conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
GABARITO
01 I, V, V, I 02 A 03 C 04 E 05 A
06 E 07 B 08 B 09 E 10 E
Diagramas Lógicos
QUANTIFICADORES: “PARA TODO”,
“EXISTE”, SUAS VARIAÇÕES E NEGAÇÕES
Quantificadores são termos que indicam a quantos
elementos de uma determinada classe se aplica uma
propriedade. Os Principais são: o universal – todos
(símbolo: ) – e o existencial – pelo menos um
(algum) (existe um) (símbolo: ).
Perceba este exemplo:
Todos os humanos são racionais.
Alguns animais são humanos.
Portanto, alguns animais são racionais.
A verificação da validade desses argumentos nos
leva não só ao significado dos conectivos mas também
ao significado de expressões como "todo", "algum",
"qualquer", “pelo menos”, “existe”, “cada”, “nem
todos”, etc.
NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS
UNIVERSALMENTE
Qual é a negação de ―todos são‖? a resposta é
―nem todos são‖ ou, o que é o mesmo, “pelo menos um
não é”.
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Um erro muito comum, e que muitos alunos respondem em sala de aula – antes de estudar o assunto,
porque depois todos acertam – é achar que a negação de
―todos são‖ é ―todos não são‖. Para ver que isso é um
erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4} e notar que as
sentenças ―todos os elementos são pares‖ e ―todos os
elementos não são pares‖ são ambas falsas. A negação de
uma sentença quantificada universalmente é uma
sentença quantificada existencialmente. Ou seja, o
quantificador universal transforma-se em existencial
e nega-se o complemento.
Por exemplo:
A negação de:
Todos gostam de futebol.
É a sentença:
Pelo menos um não gosta de futebol.
NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS
EXISTENCIALMENTE
Qual é a negação de ―pelo menos um é‖? A resposta é ―nenhum é‖ ou, o que é o mesmo, ―todos não
são‖. Um erro muito comum é achar que a negação de
―pelo menos um é‖ é ―pelo menos um não é‖. Para ver
que isso é um erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4}
e notar que as sentenças ―pelo menos um é par‖ e ―pelo
menos um não é par‖ são ambas verdadeiras. A negação
de uma sentença quantificada existencialmente é uma
sentença quantificada universalmente: ou seja, o
quantificador existencial transforma-se em universal
e nega-se o complemento.
Por exemplo:
A negação de:
Pelo menos um gosta de futebol.
É a sentença:
Todos não gostam de futebol.
Resumindo... a negação de: 1) TODOS SÃO – nem todos são / pelo menos um
não é (a negação de uma sentença quantificada
universalmente é uma sentença quantificada
existencialmente);
2) PELO MENOS UM É – nenhum é / todos não são.
ENUNCIADOS CATEGÓRICOS
Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de
Enunciados Categóricos.
Relacionaremos os quatro enunciados mais comuns
que são representados pelas letras A, E, I, O:
A - da forma "Todo P é Q" E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q"
I - da forma "Algum P é Q"
O - da forma "Algum P não é Q"
Se considerarmos P e Q dados acima como dois conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser
interpretados como segue:
A: "Todo P é Q" (universal afirmativa) afirma que
todos os elementos de P são elementos de Q, ou
seja, que P é um subconjunto de Q, isto é, P Q;
E: "Nenhum P é Q" (universal negativa)
afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos
em comum, isto é, que P Q = ou ainda que P Q’;
I : "Algum P é Q" V (particular afirmativa) afirma
que os conjuntos P e Q têm pelo menos um
elemento em comum, isto é, P Q O: "Algum P não é Q" (particular negativa) afirma
que P tem pelo menos um elemento que não está em
Q, ou ainda, que P Q’ . Através de Diagramas de Venn, temos:
Caros Concursandos, usaremos Diagramas Lógicos sempre que aparecerem quantificadores tais como: todo,
algum e nenhum.
São ditas proposições categóricas as seguintes:
Todo A é B
Nenhum A é B
Algum A é B e
Algum A não é B
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o
conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A
está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não
significa o mesmo que Todo B é A.
Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que
os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem
elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é
B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Por convenção universal em Lógica, proposições da
forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem
pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.
Contudo, quando dizemos que Algum A é B,
pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido
lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que
―alguns de meus colegas estão me elogiando‖, mesmo
que todos eles estejam.
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Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes
expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo
menos um A é B = Existe um A que é B.
Proposições da forma Algum A não é B
estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um
elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as
seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é
não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a
Algum B não é A.
Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é,
são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
Como nesta aula teremos várias questões
envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, veja a
listagem de algumas regras que já foram vistas.
Todo A é B = Todo A não é não B Algum A é B = Algum A não é não B
Nenhum A é B = Nenhum A não é não B
Todo A é não B = Todo A não é B
Algum A é não B = Algum A não é B
Nenhum A é não B = Nenhum A não é B
Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B
A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-
versa)
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-
versa)
Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas
Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum
A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir
de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de
todas as outras.
DIAGRAMAS DE VENN PARA ENUNCIADOS
CATEGÓRICOS
1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:
Nenhum A é B é falsa.
Algum A é B é verdadeira.
Algum A não é B é falsa.
2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:
Todo A é B é falsa.
Algum A é B é falsa. Algum A não é B é verdadeira.
3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos
as quatro representações possíveis:
Nenhum A é B é falsa.
Todo A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).
Algum A não é B é indeterminada – pode ser
verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).
4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira,
temos as três representações possíveis:
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Todo A é B é falsa. Nenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira
(em 3) ou falsa (em 1 e 2).
Algum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em
1 e 2) ou falsa (em 3).
Exemplo: 01) (ESAF) Todos os alunos de matemática são,
também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de
inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e
alguns alunos de informática são também alunos de
história. Como nenhum aluno de informática é
aluno de inglês, e como nenhum aluno de português
é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de
inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de
história. c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de
matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de
português.
O enunciado traz as seguintes proposições
categóricas:
1. Todos os alunos de matemática são, também,
alunos de inglês 2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história
3. Todos os alunos de português são também alunos
de informática
4. Alguns alunos de informática são também alunos
de história
5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês
6. Nenhum aluno de português é aluno de história.
Veja que há várias proposições categóricas, e
devemos fazer a representação gráfica de cada uma para
encontrar a resposta correta. Não há uma única forma de começar. Ou seja, inicie por qualquer proposição. Vá
montando seu desenho de forma que você possa entendê-
lo. Após finalizar seu desenho (diagramas lógicos)
procure tirar conclusões observando o que se afirma em
cada alternativa.
Veja o desenho:
Teste das Alternativas
1°) Teste da alternativa ―a‖ (pelo menos um aluno de português é aluno de inglês)
Pelo desenho, já descartamos essa alternativa.
2°) Teste da alternativa ―b‖ (pelo menos um aluno de
matemática é aluno de história)
Também pelo desenho, descartamos essa
alternativa.
3°) Teste da alternativa ―c‖ (nenhum aluno de
português é aluno de matemática)
Observando o desenho, vemos claramente que este item é verdadeiro.
4°) Teste da alternativa ―d‖ (todos os alunos de
informática são alunos de matemática)
Pelo desenho, temos que esta alternativa está
errada.
5°) Teste da alternativa ―e‖ (todos os alunos de
informática são alunos de português)
Pelo desenho, temos que esta alternativa também
está errada.
Resposta: alternativa C.
EXERCÍCIOS
01 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição ―Toda pessoa que possui
carro possui moto‖.
A) ―Toda pessoa que não possui carro não possui
moto.‖ B) ―Toda pessoa que possui carro não possui moto.‖
C) ―Nem toda pessoa que possui carro possui moto.‖
D) ―A pessoa não possui carro e não possui moto.‖
E) ―Ou a pessoa possui carro ou possui moto.‖
NE
GA
ÇÃ
O
02 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição ―Todo cachorro é amigo
do homem‖.
A) Pelo menos um cachorro não é amigo do homem.
B) Algum cachorro é amigo do homem.
C) Pelo menos um cachorro é amigo do homem.
D) Nenhum cachorro não é amigo do homem.
E) Todo homem não é amigo dos cachorros.
NE
GA
ÇÃ
O
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03 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição ―Os homens não são
sentimentais‖. A) ―É mentira que todos os homens são sentimentais.‖
B) ―Todos os homens são sentimentais.‖
C) ―Existe homem que não é sentimental.‖
D) ―Existe homem que é sentimental.‖
E) ―Nenhum homem é sentimental.‖
NE
GA
ÇÃ
O
04 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém
a negação da proposição ―Algum professor é
rigoroso‖.
A) Todo professor é rigoroso.
B) Nenhum professor é rigoroso.
C) Pelo menos um professor é rigoroso. D) Pelo menos um professor não é rigoroso.
E) Algum professor não é rigoroso.
NE
GA
ÇÃ
O
05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da
proposição ―As palavras mascaram-se‖ pode ser
corretamente expressa pela proposição ―Nenhuma
palavra se mascara‖ ( )
NE
GA
ÇÃ
O
06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da
proposição ―Existe banco brasileiro que fica com
mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos‖
pode ser assim redigida: ―Nenhum banco brasileiro
fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.‖ ( )
NE
GA
ÇÃ
O
07 (CESPE – EMBASA 2009) A negação da
afirmação Todas as famílias da rua B são
preferenciais é Nenhuma família da rua B é
preferencial.
NE
GA
ÇÃ
O
08 (CESPE) A negação da proposição ―Ninguém aqui
é brasiliense‖ é a proposição ―Todos aqui são
brasilienses.
NE
GA
ÇÃ
O
09 (FUMARC 2010 – Técnico Administrativo)
Considere a seguinte proposição:
(i) Todos os alunos assistiram ao filme. A negação da proposição (i) é:
A) Nenhum aluno assistiu ao filme.
B) Algum aluno não assistiu ao filme.
C) Alguns alunos assistiram ao filme.
D) Todos os alunos não assistiram ao filme.
10 (CESPE) Considere as proposições a seguir.
A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol.
B: Pelé é marciano
Nessa hipótese, a proposição Pelé é péssimo
jogador de futebol é uma conclusão correta.
11 Suponha-se que as seguintes proposições sejam
verdadeiras.
I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for ―Joaquim é
brasileiro‖, então a argumentação é correta.
12 Considere que as proposições ―Todo advogado sabe
lógica‖ e ―Todo funcionário do fórum é advogado‖
são premissas de uma argumentação cuja conclusão
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é ―Todo funcionário do fórum sabe lógica‖. Então essa argumentação é válida.
13 Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. Todo primo
de Carlos, se não for irmão de Ernesto, ou é amigo
de Luiza ou é neto de Tânia. Ora, não há irmão de
Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de
Marcos. Portanto, tem-se, necessariamente, que:
a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de
Tânia.
b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.
c) todo primo de Carlos é filho de Marcos.
d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia. e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto.
14 (CESPE) Considere uma argumentação em que
duas premissas são da forma:
1. Nenhum A é B.
2. Todo C é A.
e a conclusão é da forma ―Nenhum C é B‖. Essa argumentação não pode ser considerada válida.
15 Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B,
segue, necessariamente, que:
a) nenhum A é C.
b) alguns A são C.
c) alguns C são A.
d) alguns C não são A.
e) nenhum C é A.
16 (Fiscal Recife/2003/ESAF) Pedro, após visitar uma
aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos
os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a
afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja
verdadeira a seguinte proposição:
A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a
sesta
B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta
C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a
sesta.
D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta
E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta
17 (TRT 9ª) Observe a construção de um argumento:
PREMISSAS:
Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos
Existem gatos que são cachorros
CONCLUSÃO:
Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a
conclusão C, é correto dizer que:
a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
b) A não é válido, P e C são falsos.
c) A é válido, P e C são falsos.
d) A é válido, P ou C são verdadeiros.
e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
18 Todas as amigas de Beto são, também, amigas de
Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga
de Bruna. Todas as amigas de Bia são também
amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são
também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga
de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e
Bruna não tem nenhuma amiga em comum, então:
a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna.
b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna.
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c) Todas as amigas de Bela são amigas de Beto. d) Todas as amigas de Bela são amigas de Bia.
e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto.
19 Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a
seguinte ordem do prefeito: ―Se não chover, então
todos os bares à beira-mar deverão ser abertos‖.
Pode-se concluir que:
a) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então
choveu;
b) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então
não choveu; c) se choveu, então todos os bares à beira-mar estão
abertos;
d) se choveu, então todos os bares à beira-mar não
estão abertos;
e) se um bar à beira-mar não está aberto, então
choveu.
20 Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo
sabe nadar. Segue-se que: a) algum diplomata não é gordo;
b) algum diplomata sabe nadar;
c) nenhum diplomata sabe nadar;
d) nenhum diplomata é gordo;
e) algum gordo sabe nadar.
21 Se é verdade que ―nenhum artista é atleta‖, então
também será verdade que:
a) todos não-artistas são não-atletas.
b) Nenhum atleta é não-artista.
c) Nenhum artista é não-atleta.
d) Pelo menos um não-atleta é artista; e) Nenhum não-atleta é artista.
GABARITO
01 C 02 A 03 D 04 B 05 E
06 C 07 E 08 E 09 B 10 C
11 E 12 C 13 C 14 E 15 D
16 C 17 C 18 E 19 E 20 C
21 D
ANOTAÇÕES
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VERDADES E MENTIRAS
No Raciocínio Lógico Matemático em questões de
Verdades e Mentiras encontraremos uma série de
declarações entrelaçadas entre si, e que, a princípio, não
sabemos se são declarações verdadeiras ou mentirosas.
Facilmente identificaremos que a questão é uma dessas,
de ―verdades & mentiras‖. Vejamos uma delas abaixo:
01 (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas
uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos:
Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados
sobre quem era o culpado, cada um deles
respondeu:
Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que
todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que
o culpado é:
a) Armando b) Celso c) Edu
d) Juarez e) Tarso
Em todas as questões desse tipo, siga os seguintes
passos:
1. Perceba as pessoas envolvidas na trama e que todos
fazem alguma declaração sobre algo que pode ser verdade ou mentira (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso);
2. Relacione as declarações feitas com as pessoas que as pessoas da trama, dessa forma:
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"
3. Perceba algumas informações adicionais, que neste
enunciado é: O crime foi cometido por uma e
apenas uma pessoa e Apenas um dos suspeitos
mentiu e todos os outros disseram a verdade. Logo, percebemos que só há um culpado e só há um que
mente.
4. Crie hipóteses (suposições) de verdades ou mentiras
5. Teste suas suposições e tire as conclusões
necessárias
Logo, temos o seguinte:
INFORMAÇÕES ADICIONAIS:
1º) Só há um culpado.
2º) Só há um mentiroso.
DECLARAÇÕES:
1º) Armando: "Sou inocente"
2º) Celso: "Edu é o culpado"
3º) Edu: "Tarso é o culpado"
4º) Juarez: "Armando disse a verdade"
5º) Tarso: "Celso mentiu"
Criaremos agora uma hipótese partindo das
informações adicionais obtidas. Como sabemos que só
há um mentiroso, supomos, então que um fala a verdade
e os demais mentem, e depois testamos nossa hipótese (suposição).
Crie a HIPÓTESE de que a pessoa que mente seja a
primeira da fila (a que está fazendo a primeira
declaração), no caso, o Armando. Se você está
SUPONDO que o Armando está mentindo, restará
perfeitamente claro que as demais pessoas estarão
dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um
mentiroso).
HIPÓTESES
DECLARAÇÕES: I II III IV V
1º) Armando: "Sou inocente M V V V V
2º) Celso: "Edu é o culpado V M V V V
3º) Edu: "Tarso é o culpado" V V M V V
4º) Juarez: "Armando disse a verdade" V V V M V
5º) Tarso: "Celso mentiu" V V V V M
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CONCLUSÕES:
Da primeira declaração, extraímos que, se é
MENTIRA o que Armando está dizendo, então,
concluímos que: Armando é culpado.
Da segunda declaração, extraímos que, se é
VERDADE o que Celso está declarando, então,
concluímos que: Edu é culpado.
Logo, percebemos que encontramos 2 culpados, e o
enunciado diz que só há um culpado. Essa suposição não
serve, testemos as demais.
Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a
nossa resolução, teremos que extrair dela as nossas
conclusões.
Teremos:
CONCLUSÕES:
Da primeira declaração, extraímos que, se é
VERDADE o que Armando está dizendo, então,
concluímos que: Armando é inocente.
Da segunda declaração, extraímos que, se é
MENTIRA o que Celso está declarando, então,
concluímos que: Edu é inocente.
Da terceira declaração, extraímos que, se é
VERDADE o que Edu está declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado.
Da quarta declaração, extraímos que, se é
VERDADE o que Juarez está declarando, então,
concluímos que: Armando diz a verdade. Neste
momento, temos que nos reportar ao ARMANDO,
e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está
mesmo dizendo a verdade! E aí? Armando diz a
verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa
quarta conclusão está COERENTE com as demais.
Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está dizendo, então,
concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos
reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de
fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela
nossa hipótese em análise, Celso de fato mentiu.
Deste modo, novamente, não achamos nenhuma
INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as
demais.
Daí, Concurseiros, concluímos que de fato, Tarso foi
o culpado e quem mentiu foi Celso.
QUESTÕES
02 (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de
diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados
por um funcionário do parque, que queria saber
qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
– ―Não fui eu, nem o Manuel‖, disse Marcos.
– ―Foi o Manuel ou a Maria‖, disse Mário.
– ―Foi a Mara‖, disse Manuel.
– ―O Mário está mentindo‖, disse Mara.
– ―Foi a Mara ou o Marcos‖, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos cinco
colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem
entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos
c) Mara.
d) Manuel
e) Maria
Marcos: Não fui eu E nem o Manuel
Mário: Foi o Manuel ou a Maria
Manuel: Foi a Mara
Mara: O Mário está mentindo
Maria: Foi a Mara ou o Marcos
03 Na porta de minha casa passam dois ônibus, um A e
outro B. Um deles passa pelo Ministério da
fazendo; outro não. Na casa ao lado da minha
moram dois irmãos. Um só diz a verdade, outro só
diz mentira. Ao indagar sobre qual ônibus tomar
para chegar ao Ministério da fazenda, um dos
irmãos me disse: ―Se meu irmão estivesse aqui,
mandaria você tomar o ônibus A‖. Que ônibus devo
tomar? a) A
b) B
c) A ou B
d) nenhum
04 Eu tenho 3 bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho,
uma de branco e outra de azul, não necessariamente
nessa ordem. Somente uma das afirmativas a seguir
é verdadeira.
I – A é vermelha.
II – B não é vermelha.
III – C não é azul.
Qual a cor da bola?
a) Vermelha, azul e branca b) Vermelha, branca e azul
c) Azul, vermelha e branca
d) Azul, branca e vermelha
e) Branca, azul e vermelha
05 Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados
com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente
nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das
respectivas esposas, os três fizeram as seguintes
declarações:
Nestor: "Marcos é casado com Teresa"
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de
Marcos é Regina"
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha
esposa é Sandra"
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Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que
o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que
as esposas de Luís, Marcos e Nestor são,
respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina
b) Sandra, Regina, Teresa
c) Regina, Sandra, Teresa
d) Teresa, Regina, Sandra
e) Teresa, Sandra, Regina
Nestor: "Marcos é casado com Teresa
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra
06 (CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de
seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o
interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes
declarações.
• A afirmou que C matou o líder.
• B afirmou que D não matou o líder.
• C disse que D estava jogando dardos com A quando
o líder foi morto e, por isso, não tiveram
participação no crime.
• D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada
acima e sabendo que três dos comparsas mentiram
em suas declarações, enquanto um deles falou a
verdade, julgue os itens seguintes.
( ) A declaração de C não pode ser verdadeira
( ) D matou o líder.
A: C matou o líder.
B: D não matou o líder.
C: D e A não tiveram participação no crime.
D: C não matou o líder.
GABARITO
01 E 04 C
02 C 05 D
03 B 06 V V
PROBLEMAS DE CORRELACIONAMENTOS
São problemas que apresentam diversos
elementos e você deve descobrir como eles estão
relacionados entre si. Este tópico é muito cobrado em
provas de Raciocínio Lógico, para compreendermos
resolveremos algumas questões. Vamos lá?
Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes
administrativos do MS, nascidos em diferentes unidades
da Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre,
participaram, no último final de semana, de uma reunião
em Brasília – DF, para discutir projetos do MS. Raul,
Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade; o
paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, Célio e João
fizeram duras críticas às opiniões do baiano; o cearense,
Célio, João e Sidnei comeram um lauto churrasco no
jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche. Com base na situação hipotética apresentada acima,
julgue os itens a seguir. Se necessário, utilize a tabela à
disposição no espaço para rascunho.
01 A proposição ―Se Célio nasceu no Acre, então
Adélio não nasceu no Ceará‖, que pode ser
simbolizada na forma A→(¬B), em que A é a
proposição ―Célio nasceu no Acre‖ e B, ―Adélio
nasceu no Ceará‖, é valorada como V.
02 Considere que P seja a proposição ―Raul nasceu no
Paraná‖, Q seja a proposição ―João nasceu em São
Paulo‖ e R seja a proposição ―Sidnei nasceu na
Bahia‖. Nesse caso, a proposição ―Se Raul não
nasceu no Paraná, então João não nasceu em São Paulo e Sidnei nasceu na Bahia‖ pode ser
simbolizada como (¬P) → [(¬Q) ^ R)] e é valorada
como V.
Para responder as questões apresentadas (01 e 02),
começaremos montando a tabela mostrada na questão.
Para cada afirmação colocada, tiraremos nossas
conclusões. Perceba que temos algumas afirmações:
Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de
contabilidade; o paranaense foi almoçar com Adélio;
Raul, Célio e João fizeram duras críticas às
opiniões do baiano;
o cearense, Célio, João e Sidnei comeram um
lauto churrasco no jantar, e o paranaense
preferiu fazer apenas um lanche.
1) Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de
contabilidade
Conclusão: nem Raul, nem Célio são paulistas.
2) O paranaense foi almoçar com Adélio.
Conclusão: Adélio não é paranaense.
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3) Raul, Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano.
Conclusão: Nenhum dos 3 (Raul, Célio e João) é
baiano.
3)O cearense, Célio, João e Sidnei comeram um
lauto churrasco no jantar, e o paranaense preferiu
fazer apenas um lanche.
Conclusão: nenhum dos 3 (Célio, João e Sidnei) é
cearense, muito menos paranaense.
Descobrimos, na linha do Paraná, que só poderá ser
o Raul. Daí, completaremos a coluna do Raul com
N.
Agora, é a vez da linha do Ceará. Só poderá ser Adélio. Agora, completaremos a coluna do Adélio
com N.
Fechamos a linha da Bahia. Descobrimos que é o
Sidnei.
Fechamos a linha do Acre. Descobrimos que é o Célio. Por último, João nasceu em São Paulo.
Após completarmos nossa tabela, passaremos a
resolver as questões.
01 Temos uma proposição condicional. Olhando para a
tabela, descobrimos que:
A = ―Célio nasceu no Acre‖ = V
B = ―Adélio nasceu no Ceará‖ = V. Logo:
Item errado.
02 Trabalharemos igualzinho à questão anterior!
P = ―Raul nasceu no Paraná‖ = V
Q = ―João nasceu em São Paulo‖ = V R = ―Sidnei nasceu na Bahia‖ = V
Então,
Item correto.
QUESTÕES
01 (FCC) Amarildo, Bento e Clodoaldo são motoristas
do Tribunal de Contas e, certo mês, ao viajarem a
serviço pelo estado da Paraíba, observou-se que:
_ Um deles fez 5 viagens, enquanto que outro fez 8 e
outro 10;
_ Em suas viagens, cada um percorreu distâncias
diferentes: 90, 150 e 280 Km;
_ Clodoaldo percorreu 280 Km;
_ Aquele que percorreu 150 Km fez 10 viagens;
_ Amarildo fez 5 viagens.
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Com base nas informações dadas, é correto afirmar
que:
a) Bento percorreu 150 Km.
b) Amarildo não percorreu 90 Km.
c) Bento fez 8 viagens.
d) Clodoaldo não fez 8 viagens.
e) Amarildo percorreu 150 Km.
VIAGENS KM
8 5 10 90 150 280
Amarildo
Bento
Clodoaldo
02 Três meninos estão andando de bicicleta. A
bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do
outro é branca. Eles vestem bermudas destas
mesmas três cores, mas somente Artur está com
bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a
bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo:
a) A bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.
b) A bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é
preta.
c) A bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é
branca.
d) A bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos
é branca.
e) A bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos
é azul.
BICICLETA BERMUDAS
azul preta branca azul preta branca
Artur
Júlio
Marcos
03 (AFTN ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e
César são, não necessariamente nesta ordem, uma
Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é
cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de
Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro
de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores
da Brasília, da Parati e do Santana são,
respectivamente:
a) cinza, verde e azul
b) azul, cinza e verde
c) azul, verde e cinza
d) cinza, azul e verde
e) verde, azul e cinza
CARROS CORES
Brasília Parati Santana cinza verde azul
Artur
Bernardo
César
04 (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende
três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a
outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se
chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama
Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma
viagem a um país diferente da Europa: uma delas
irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à
Espanha. Ao agente de viagens, que queria
identificar o nome e o destino de cada uma, elas
deram as seguintes informações:
A loura: ―Não vou à França nem à Espanha‖.
A morena: ―Meu nome não é Elza nem Sara‖.
A ruiva: ―Nem eu nem Elza vamos à França‖.
O agente de viagens concluiu, então,
acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loura é Elza e vai à Alemanha.
NOMES PAÍSES
Bete Elza Sara França Espanha Alemanha
Loura
Morena
Ruiva
05 Para preencher a tabela a seguir, considere que os
filmes A e B sejam de categorias distintas —
documentário ou ficção —, e, em um festival de
cinema, receberam premiações diferentes — melhor
fotografia ou melhor diretor. Tendo como base as
células já preenchidas, preencha as outras células com V ou F, conforme o cruzamento da informação
da linha e da coluna correspondentes constitua uma
proposição verdadeira ou falsa, respectivamente.
A partir do preenchimento das células da tabela e
das definições apresentadas no texto, julgue os itens
subseqüentes.
( ) A proposição ―O filme A é um filme de ficção‖ é
V.
( ) A proposição ―O documentário recebeu o prêmio
de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o
prêmio de melhor diretor‖ é V.
( ) A proposição ―Se o filme B é um documentário,
então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor
fotografia‖ é V.
Leia o texto seguinte:
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06 Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um
mesmo órgão público do Poder Executivo Federal.
Em um treinamento, ao lidar com certa situação,
observou-se que cada uma delas tomou uma das
seguintes atitudes:
A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que
estavam ao seu alcance;
A2: alterou texto de documento oficial que deveria
apenas ser encaminhado para providências;
A3: buscou evitar situações procrastinatórias.
Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de
acordo com o Código de Ética Profissional do
Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal
(CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora
Renata tomou a atitude A3 e que a servidora
Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações
estão contempladas na tabela a seguir, em que cada
célula, correspondente ao cruzamento de uma linha
com uma coluna, foi preenchida com V
(verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha
ter tomado a atitude representada na coluna, ou com
F (falso), caso contrário.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
( ) A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP.
( ) A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diante de filas ou
de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos
serviços.
( ) Se P for a proposição ―Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser
encaminhado para providências‖ e Q for a
proposição ―Renata buscou evitar situações
procrastinatórias‖, então a proposição P→Q tem
valor lógico V.
GABARITO
01 A 04 E
02 C 05 ECC
03 D 06 CEC
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
PROVA TJ/PE 2007 FCC
01 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de
figuras abaixo.
A figura que substitui corretamente a interrogação é:
02 (FCC 2007 – TJ/PE) Todas as estrelas são dotadas
de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz
própria. Logo,
(A) todos os planetas são estrelas.
(B) nenhum planeta é estrela.
(C) todas as estrelas são planetas.
(D) todos os planetas são planetas.
(E) todas as estrelas são estrelas.
03 (FCC 2007 – TJ/PE) Aquele policial cometeu
homicídio. Mas centenas de outros policiais
cometeram homicídios, se aquele policial cometeu.
Logo,
(A) centenas de outros policiais não cometeram
homicídios. (B) aquele policial não cometeu homicídio.
(C) aquele policial cometeu homicídio.
(D) nenhum policial cometeu homicídio.
(E) centenas de outros policiais cometeram homicídios.
04 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que
substitui corretamente a interrogação na seguinte
seqüência numérica:
6 11 ? 27
(A) 15
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(B) 13
(C) 18
(D) 57
(E) 17
05 (FCC 2007 – TJ/PE) Há cinco objetos alinhados
numa estante: um violino, um grampeador, um
vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as
seguintes informações quanto à ordem dos objetos:
− O grampeador está entre o tinteiro e o relógio.
− O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último.
− O vaso está separado do relógio por dois outros
objetos.
Qual é a posição do violino?
(A) Segunda posição.
(B) Terceira posição.
(C) Quarta posição.
(D) Quinta posição.
(E) Sexta posição.
06 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de
figuras abaixo.
A figura que substitue corretamente a interrogação
é:
07 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Rasputin não tivesse
existido, Lenin também não existiria. Lenin existiu.
Logo,
(A) Lenin e Rasputin não existiram.
(B) Lenin não existiu.
(C) Rasputin existiu.
(D) Rasputin não existiu.
(E) Lenin existiu.
08 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que
substitue corretamente a interrogação na seguinte
seqüência numérica:
8 12 24 60 ?
(A) 56
(B) 68
(C) 91
(D) 134
(E) 168
09 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que
completa a série seguinte:
J J A S O N D ?
(A) J
(B) L
(C) M
(D) N
(E) O
10 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa
correspondente ao número de cinco dígitos no qual
o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do
terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é
três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que
o quinto.
(A) 17942
(B) 25742
(C) 65384
(D) 86421
(E) 97463
11 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Guilherme disse a
verdade, Gabriela e Lucas mentiram. Se Lucas
mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a
verdade, Maria está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo:
(A) Guilherme e Gabriela disseram a verdade.
(B) Lucas e Bruna mentiram.
(C) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade.
(D) Lucas e Gabriela mentiram.
(E) Guilherme e Bruna mentiram.
12 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de
figuras abaixo.
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A figura que substitue corretamente a interrogação
é:
13 (FCC 2007 – TJ/PE) A inserção dos números nos
espaços abaixo observa determinada lógica.
O número que substitui corretamente a interrogação
é:
(A) 64I
(B) 48J
(C) 42L (D) 15X
(E) 90R
14 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência das
figuras abaixo.
A figura que substitue corretamente as
interrogações é:
15 (FCC 2007 – TJ/PE) Em uma cidade, todo pai de
pai de família é cantor. Todo filósofo, se não for marceneiro, ou é pai de família ou é arquiteto. Ora,
não há marceneiro e não há arquiteto que não seja
cantor. Portanto, tem-se que, necessariamente:
(A) todo cantor é filósofo.
(B) todo filósofo é cantor.
(C) todo cantor é marceneiro ou arquiteto.
(D) algum marceneiro é arquiteto.
(E) algum pai de família é marceneiro.
16 (FCC 2007 – TJ/PE) Observe a lei de formação
usada para construir a seqüência de malhas
quadriculadas abaixo.
Segundo essa lei, a posição que o número 169
ocuparia em uma malha 15 ×15 é
(A) 9a linha e 14a coluna.
(B) 10a linha e 8a coluna.
(C) 11a linha e 6a coluna. (D) 12a linha e 4a coluna.
(E) 13a linha e 5a coluna.
17 (FCC 2007 – TJ/PE) Para todo número inteiro x,
define-se uma operação # como: .
Nessas condições, o valor da expressão é:
(A) –26
(B) –22
(C) –20
(D) 22
(E) 26
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18 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a afirmação
abaixo.
Existem funcionários públicos que não são
eficientes.
Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:
(A) nenhum funcionário público é eficiente.
(B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.
(C) todo funcionário público é eficiente.
(D) nem todos os funcionários públicos são eficientes.
(E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
19 (FCC 2007 – TJ/PE) A sucessão de figuras abaixo
foi construída da esquerda para a direita segundo
determinado padrão.
De acordo com esse padrão, a figura que completa a seqüência dada é:
20 (FCC 2007 – TJ/PE) Suponha que exista uma
pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e
quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições,
somente em quais dias da semana seria possível ela
fazer a afirmação ―Eu menti ontem e também
mentirei amanhã.‖?
(A) Terça e quinta-feira.
(B) Terça e sexta-feira.
(C) Quarta e quinta-feira.
(D) Quarta-feira e sábado.
(E) Quinta-feira e domingo.
GABARITO
01 A 06 B 11 E 16 D
02 B 07 C 12 A 17 B
03 E 08 E 13 B 18 C
04 C 09 A 14 C 19 E
05 D 10 D 15 B 20 A
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
Raciocínio Sequencial
Seqüências são conjuntos ordenados de elementos
(números, figuras geométricas, palavras etc.) gerados por
uma regra de formação. Os problemas apresentam alguns
elementos de uma sequência, pedindo que se ache o
elemento seguinte. O modo de se resolver esse tipo de
problemas consiste em descobrir, por intuição,
observação dos elementos dados, e às vezes, alguns
cálculos, qual a regra de formação e aplicá-la ao último
elemento da série, completando, assim, a sequência pedida.
Exemplo:
A famosa seqüência de Fibonacci na qual o valor do
próximo elemento numérico é dado pela soma dos dois
anteriores:
1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 …
Porém, caros concurseiros, os exercícios com
seqüências não se limitam a números. Podem existir
seqüencias de letras, figuras, combinações de ambas,
palavras com significados análogos e diversas outras.
Veremos nos exercícios vários modelos das mais
diversas formas de raciocínio seqüencial. O que você vai
ter que perceber ao ler cada enunciado, é qual tipo de raciocínio está sendo utilizado para que você – candidato
– não perca mais do que o tempo necessário para
resolver a questão.
A prática constante dos modelos trabalhados em
sala de aula e outros encontrados por você durante sua
jornada de estudo fará de você um candidato capaz de
enfrentar qualquer prova das mais variadas bancas de
concurso. E toda a aparente complexidade das questões
desaparece. Resta apenas o trabalho, sei que muitas
vezes ele é árduo - é verdade - mas de resultados
garantidos, se treinar e treinar fazendo muitos exercícios.
Sequência Numérica:
É a capacidade de compreender problemas que
utilizam operações que envolvam números, bem como o
domínio das operações aritméticas básicas. As questões
relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a
forma de sequência de números. Deve-se encontrar a lei
de formação da sequência para dar continuidade a
mesma.
Sequência de palavras:
01 Seja a sucessão de vocábulos formados todos com
cinco letras:
ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA, X
A palavra que substitui corretamente o X é:
a) PAVÃO
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b) CISNE
c) GANSO
d) CORVO
e) URUBU
Solução: Observe, em cada palavra, que elas são
formadas por 5 letras e, além disso, perceba
que a letra central encontra-se em ordem
alfabética... viu???
ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA,...
...isso mesmo!!! Já sabe qual a palavra que dá sequência
a série acima??? Você acertou, é isso aí! urUbu.
Resposta: alternativa E.
Vamos a outra questão?
02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão
de palavras:
DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA,
INOPITAR, X
A palavra que substitui corretamente o X é
a) ANZOL
b) EMPRESTADO
c) PRENDERA
d) TUVIRA
e) SEMPRE
Solução: Procure perceber que propriedade a sequência foi montada... não desanime...
siga em frente... percebeu???
DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, INOPITAR,...
Observe que cada palavra apresenta três letras
consecutivas do alfabeto. Nas opções de resposta, a única
que apresenta essa característica é a palavra TUVIRA.
Resposta: alternativa D.
02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão
de números:
2, 3, 5, 7, 11, X
O número que substitui corretamente o X é:
a) 13 b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
Solução: Procure perceber com que propriedade a
sequência foi montada... Veja que a série
aumenta (é crescente – soma, produto etc).
Não conseguiu perceber nenhuma operação?
É verdade. Tente observar se você conhece
alguma característica dos números
trabalhados na série. Percebeu? Pois é. É
uma sequência de números primos (aqueles
que só têm dois divisores – um e ele
mesmo). Percebeu agora? O próximo
número é, portanto, 13 (letra A).
Algumas dicas para resolver sequências:
Se a sequência for numérica, a primeira dica é
observar se trata de uma série crescente (soma, produto, potência etc.), decrescente (subtração,
divisão, radiciação etc.) ou alternada. Descobrir
a operação empregada e aplicá-la no número
seguinte;
Caso seja uma série de letras, a primeira dica é
observar se segue a ordem do alfabeto (escreva,
de forma rápida o alfabeto e marque as letras
dadas na sequência) descobrindo a relação entre
elas. Caso não consiga visualizar nenhuma
relação pense em relação de nomes conhecidos como: meses do ano, dias da semana, nome dos
números naturais etc.
Em sequências de figuras, observe, sem perder
tempo, o comportamento das figuras. Muitas
vezes, as figuras são formadas por outras
menores. Não deixe de observar o
comportamento delas com relação ao tamanho,
direção, quantidade, posição, substituição,
organização etc.
Caso tenham sequências com misturas de
números, letras e/ou figuras, procure aplicar as
dicas anteriores, observando, ainda, se existe
relação entre esses dados.
Aplicaremos estas dicas em sala de aula na
resolução dos exercícios.
Questões
01 A sentença seguinte é seguida de um número entre
parênteses, que corresponde ao número de letras de
uma palavra que se aplica à definição dada.
“Tudo aquilo que não é cópia ou imitação.” (8)
a) A
b) O
c) P
d) Q
e) R
02 Uma propriedade lógica define a sucessão:
SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE,
SEXTANTE, SABIO, .....
Escolha a alternativa que preenche corretamente a
lacuna:
a) JADE.
b) CHINÊS.
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c) TRIVIAL.
d) DOMÍNIO.
e) ESCRITURA.
03 A sucessão seguinte de palavras obedece a uma
ordem lógica:
VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X.
Escolha a alternativa que substitui X corretamente:
a) MALVADO.
b) CAPIXABA.
c) SOTEROPOLITANO.
d) BONITO.
e) PIAUIENSE.
04 Observe a sucessão a seguir composta de letras do
alfabeto da língua portuguesa e escolha a
alternativa que determina X corretamente:
B, D, G, L, Q, X a) R.
b) U.
c) X.
d) A.
05 (BACEN 2006) Na figura abaixo, as letras foram
dispostas em forma de um triângulo segundo
determinado critério:
P
P Q
P R S
Q R S T
Q R _ _ ?
Considerando que as letras K, W e Y não fazem
parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o
critério estabelecido, a letra que deve substituir o
ponto de interrogação é:
a) P.
b) Q. c) R.
d) S.
e) T.
06 (TRT 23ª 2004) Esta seqüência de palavras segue
uma lógica:
_ Pá
_ Xale
_ Japeri
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica
à seqüência poderia ser: a) Casa.
b) Anseio.
c) Urubu.
d) Café
e) Sua.
07 (TRT 24ª 2006) Considere a seqüência (16,
18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termos dessa seqüência
obedecem a uma lei de formação, o termo X deve
ser igual a:
a) 12.
b) 10.
c) 9.
d) 7.
e) 5.
08 (TRF 4ª 2004) Considere os conjuntos de
números:
8 3 10 2 7 3
25 64 X
Mantendo para os mesmos números do terceiro
conjunto a seqüência das operações efetuadas nos
conjuntos anteriores para se obter o número abaixo
do traço, é correto afirmar que o número X é:
a) 9.
b) 16.
c) 20.
d) 36. e) 40.
09 (TRF 4ª 2004) Considere os seguintes pares de
números: (3, 10), (1, 8), (5, 12), (2, 9), (4, 10).
Observe que quatro desses pares têm uma
característica comum. O único paralelepípedo que
não apresenta tal característica é:
a) (3, 10).
b) (1, 8).
c) (5, 12).
d) (2, 9).
e) (4, 10).
10 Em relação á disposição numérica seguinte,
assinale a alternativa que preenche a vaga
assinalada pela interrogação:
2 8 5 6 8 ? 11
a) 1
b) 4
c) 3
d) 29
e) 42
11 Os números abaixo estão dispostos de maneira
lógica.
8 - 1 - 12 - 10 - 14 - 11 - ? - 3 - 7 - 5 – 16 - 9
A alternativa correspondente ao número que
substitui a interrogação é:
a) 14
b) 5
c) 6
d) 8 e) 12
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12 (MPU) Ana guarda suas blusas em uma única
gaveta em seu quarto. Nela, encontram-se sete
blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e
três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a
gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de
blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter
pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:
a) 6
b) 4
c) 2
d) 8
e) 10
13 Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de
gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina
fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:
a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria;
b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a
padaria;
c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de
jornal;
d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina;
e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.
14 (FCC) Assinale a alternativa, entre as cinco
relacionadas, que preenche a vaga assinalada pela
interrogação.
15 (FCC) Assinale a alternativa que substitui a letra x.
a) 29
b) 7
c) 6.
d) 5
e) 3
16 (FCC) Considerando as relações horizontais e
verticais entre as figuras, assinale a alternativa que
substitui a interrogação.
17 (FCC) Observe que a sucessão de figuras abaixo
obedece a um padrão de construção para a obtenção
das figuras subseqüentes.
A quarta figura, que completa a seqüência, é:
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18 (FCC) Considere que a seqüência de figuras
seguinte foi construída obedecendo a uma lei de
formação.
Segundo essa lei, a figura que completa a sucessão,
substituindo o ponto de interrogação, é
19 Observe atentamente a disposição das cartas em
cada linha do esquema seguinte:
A carta que está oculta é:
20 (FCC 2008) Observe que, no diagrama abaixo,
foram usadas somente as letras K, R, C, S, A, F, X,
H, T e que cada linha tem uma letra a menos que a
anterior.
K R C S A F X H T
S T C K X F R H
F H K T R S X
H K R X S T
T R S K X
• • • •
Se as letras foram retiradas obedecendo a um certo
critério, então a próxima letra a ser retirada será
A) T
B) R
C) S
D) K
E) X
21 (AFC) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro
lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma
gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada
uma das lojas, pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se,
no final, ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
22 Qual é a 1997ª letra da seqüência
ABCDEDCBABCDEDCBABCDEDCB...?
A) E
B) D
C) C D) B
E) A
23 (FUNRIO) Os conjuntos A, B, C e D são definidos
de acordo com uma ordem lógica. Sabendo que A =
{ 1, 2, 5, 10 }, B = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } e C = { 1, 2,
3, 5, 6, 10, 15, 30 }, o conjunto D é: a) { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 40 }
b) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 30, 40 }
c) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 30, 40 }
d) { 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 40 }
e) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }
GABARITO
01 B 06 B 11 C 16 E 21 D
02 D 07 D 12 A 17 A 22 A
03 E 08 B 13 E 18 E 23 E
04 C 09 E 14 D 19 A
05 E 10 B 15 C 20 D