Apostila matemática financeira elementar

PAULO VIEIRA NETO

Conceitos Básicos de Matemática Financeira

São Paulo, Julho/2006-A

Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto

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Conceitos Básicos de Matemática Financeira

Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixos tempo e custo de decisão.

1. Qual o objetivo principal da matemática financeira? A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.

2. Conceitos básicos de juro, capital e regime de capitalização. 2.1. juro: É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.1 2.1.1. Fatores necessários para calcular o valor do juro: Capital, Principal ou Valor Presente; Taxa de Juros [Rate: i/100 ]. (i = Interest = juros); Tempo, Prazo ou Período. [Empregaremos a letra n, do inglês - number] 2.2. Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira. 2.3. Regime de capitalização: Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Há dois tipos

de regimes de capitalização: 2.3.1. Regime de capitalização a juro simples2: por convenção, os juros incidem somente sobre o capital inicial.

Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa. Não é incorporado ao capital, para render juro no período seguinte; dizemos que os juros não são capitalizados3.

2.3.2. Regime de capitalização a juro composto: o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte; dizemos que os juros são capitalizados.

2.4. Juro exato e juro comercial 2.4.1. Juro exato: é o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos; 2.4.2. Juro comercial: é o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias

(mês comercial). 2.5. Montante: define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a

soma do juro mais o capital inicial. Seja C o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante (M) como sendo: M = C + J

3. Fluxo de caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa física por um determinado período de tempo. Sua representação consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo, a partir de um determinado instante inicial (origem) “dia, mês, ano etc.". As entradas de dinheiro são indicadas por setas voltadas para cima, as saídas, por setas para baixo.

Entrada ↑ ( + ) R$ . t0 t1 ↓ ( - ) R$ Saída

I. Taxa de Juros

Taxa de Juros: O juro é determinado através de um coeficiente referido a um determinado período de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração do capital aplicado por um prazo igual àquela taxa. As taxas de juros são apresentadas de duas maneiras: • Forma percentual: Nesta situação diz-se aplicada a centos do capital, isto é, ao que se obtém após dividir-se o

capital por 100; • Forma unitária: Aqui, a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, calculamos o rendimento da aplicação de uma

unidade do capital no intervalo de tempo referido pela taxa;

Forma percentual Transformação Forma Unitária 12% a.a. 12/100 0,12 a.a. 3% a.t. 3/100 0,03 a.t. 1% a.m. 1/100 0,01 a.m.

Diagramas de capital no tempo [Fluxos]: Os problemas financeiros dependem basicamente de um fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é conhecido como fluxo de caixa, que é uma representação esquemática útil na resolução de problemas. Basicamente conta com um eixo horizontal onde marcamos o tempo, a partir de um instante inicial (origem); marcamos a unidade de tempo (ano, semestre, mês, dia etc.). A representação pode ser a seguinte:

600 400 500 (+) Entradas ↑ ↑ ↑ . ..................... 0 1 2 3 4 5 6 ( - ) Saídas ↓ 1000 ↓ 500

Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere.

1 TOSI, José Armando. Matemática Financeira: prática e objetiva. São Paulo : mimo. 2 A capitalização simples está mais relacionada às operações com períodos de capitalização inferiores a 1 e a descontos de títulos junto aos agentes financeiros (GIMENES, 2006:19) 3 CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo : Saraiva, 2001, p. 80.


2

Taxa Efetiva: é aquela que realmente é apurada (paga).

Taxas Proporcionais: são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmo capital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais.

II. JUROS SIMPLES

No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre a aplicação capital inicial, qualquer que seja o número períodos de capitalização. Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade4. Assim, sendo:

• C = Capital inicial ou principal; [C, P ou PV: Present Value] • j = juro simples; • n = tempo de aplicação • .i = taxa de juros unitária. [ i/100 ]

vamos escrever a fórmula de juros simples da seguinte maneira: J = Cin

Juros simples Rendimento

Mês C i n Juros Montante 1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00 3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00 4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00

J = Cin ( 1 ) M = C + j ( 2 ) M = C +Cin ( 3 ) J = M - C ( 4 ) M = C (1+ in) ( 5 )

Capitalização Simples: . M = C(1 + in) (5) . . C = M/(1 + in) (6) .

• Na calculadora financeira HP-12C pode-se calcular diretamente qualquer uma das variáveis da fórmula. A taxa de juros simples deve ser expressa em anos e o período em dias.

Exemplo: Aplica-se um capital de $ 5.000,00 a 3% a. m. durante 5 meses. a) qual o Juro e montante Comercial? "Juro comercial: é o juro obtido considerando o ano de 360 dias (ano comercial)

e mês de 30 dias (mês comercial)”. b) Qual o juro e o montante exato? "Juro Exato: é o juro obtido considerando o ano de 365 ou 366 dias”.

C = 5.000 - i = 3/100 = 0.03 - n = 5

J = Cin ⇒ 5000 x (0,03 x 5) = 750. O juro produzido no período é igual a $ 750,00.

Vamos utilizar a calculadora HP-12C Solução: 3% a. m. é igual a 36% a. a. 5 meses é igual a 150 dias

5000 CHS PV Capital inicial com sinal ( - )

36 i Taxa de juros em anos

150 n Período em dias

f INT 750 juro comercial

+ 5.750 montante

Atenção, não apague os dados inseridos. Para calcular o juro e montante exatos basta teclar a seqüência de teclas a seguir:

.f INT R↓ X ≷ Y 739,73 juro exato

+ 5.739,73 montante exato

Observações: Para que a calculadora HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for inteiro, torna-se mister que ela esteja ajustada para a convenção exponencial (juros compostos). No visor, à direita - embaixo - precisa que apareça a letra "c". Se não estiver aparecendo, tecle .STO . EEX . Para retirar essa instrução, volte a teclar as mesmas teclas. Se não aparecer a letra "c", a calculadora HP-12C não capitaliza prazos fracionários.

4 CRESPO, op cit. pp. 80-1.


3

Da fórmula de Juros [Fórmula (1)], [ dada 3 variáveis, encontrar a 4ª variável ]

[7] inJ

C =→

CnJ

i CinJ [8][1] =→=

[9] CiJ

n =→

Exemplo:

C: 1200,00 J = Cin i: 5% a.m. J = 1200,00 x [ (5/100) x 4 ] n: 4 m. J = 1200,00 x 0,2 J: ? J = 240,00

i: 5% a.m. C = J / in n: 4 m C = 240,00 / [ (5/100) x 4 ] J: 240,00 C = 240,00 / 0,2 C: ? C = 1200,00

C: 1200,00 i = J / cn n: 4 m i = 240,00 / [ 1200,00 x 4 ] J: 240,00 i = 240,00 / [ 4800,00 ] i: ? i = 0,05 ⇒ [ 0,05 x 100 ] ⇒ 5% i = 5% .

C: 1200,00 n = J / ci i: 5% a.m. n = 240,00 / [ 1200,00 x (5/100) ] J: 240,00 n = 240,00 / 60,00 n: ? n = 4

Exercícios Resolvidos

1.Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 30% a.a. Pede-se: a) Juros b) Montante.

1) J = Cin 2) M = C + J 3) M = C +Cin 4) M = C (1+ in) 5) J = M - C 5b) J = C (1+ in) - 1

Solução: C = 4000,00 i = 18% a.a. n = 3 m

[Fórmula 1] HP-12C Calculadora Científica J = Cin fixar 8 Casas decimais fixar 8 Casas decimais .2nd .TAB . 8 J = 4000 x { [ ( 18/100 )/12 ] x 3 } .f . 8 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 x 4000 = J = 4000 x { [ ( 0,18 ) /12 ] x 3 } 4000 CHS PV 180,00000000 J = 4000 x { [ 0,015] x 3 } 18 i Para representar os valores em Reais, J = 4000 x { 0,045 } 90 n. Vamos fixar 2 Casas decimais .2nd .TAB . 2 J = 4000 x 0,045 .f .INT . 180,00 J = 180,00 180,00000000 M = C + J M = C + J fixar 2 Casas decimais M = 4000,00 + 180,00 M = 4000,00 + 180,00 .f . 2 M = 4.180,00 M = 4.180,00 Montante tecle +

Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4]

M = C (1+ in) HP-12C Calculadora Científica M = 4000 x {1 + [ (( 18/100 ))/12) x 3 ] } .f . 6 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais M = 4000 x { 1 + [ (( 0,18 ) /12 ) x 3 ] } 18 Enter 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 + 1 = 1,045 M = 4000 x { 1 + [ ( 0,015 ) x 3 ] } 100 ÷ [0,180000] x 4000 = M = 4000 x { 1 + [ 0,045 ] } 12 ÷ [0,015000] 4.180,00 = M M = 4000 x { 1 + 0,045 } 3 x [0,045000] J = M - C M = 4000 x { 1,045 } 1 + [1,045000] 4180 - 4000 = 180,00000000 M = 4.180,00. 4000 x [4.180,000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais Aplicando a fórmula 5: J = M - C 4000 - [180,000000] 180,00 J = 4180,00 - 4000,00 = . J = 180,00 . .f . 2 [180,00]


4

2.Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado durante 120 dias, à juros simples, à taxa de 48% a.a. Pede-se: a) Juros b) Montante. [Fórmula 1] J = Cin HP-12C Calculadora Científica J = 5000 x { [ ( 48/100 )/360 ] x 120 } .f . 8 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /360 ] x 120 } 48 Enter 48 ÷ 100 ÷ 360 x 120 = 0,16 J = 5000 x { [ 0,000133333333] x 120 } 100 ÷ [0,480000] x 5000 = J = 5000 x { 0,16 } 360 ÷ [0,00133333] 800,00000000 = J J = 5000 x 0,16 120 x [0,16000000] M = C + J J = 800,00 5000 x [800,0000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais M = C + J → M = 5000,00 + 800,00 .f . 2 [800,00] 5000 + 800 = M = 5.800,00 5000 + [5.800,00] 5.800,00 Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4] Ano Comercial: 360 dias, meses: 30 dias

M = C (1+ in) ⇒ M = 5000 x {1 + [ (( 48/100 ))/360) x 120 ] } Ano civil: 365 ou 366 dias. M = 5000 x { 1 + [ (( 0,48 ) /360 ) x 120 ] } M = 5000 x { 1 + [ ( 0,000133333333 ) x 120 ] } M = 5000 x { 1 + [ 0,16 ] } M = 5000 x { 1 + 0,16 } M = 5000 x { 1,16 } M = 5.800,00. Aplicando a fórmula 5: J = M - C → J = 5800,00 - 150,00 = . J = 800,00 . [ Juro comercial ] 3. Utilizando os dados do exercício 2, calcule o juro exato e o Montante [365 dias]. [Utilizando a fórmula 1] J = Cin ⇒ J = 5000 x { [ ( 48/100 )/365 ] x 120 } J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /365 ] x 120 } J = 5000 x { [ 0,001315068] x 120 } J = 5000 x { 0,157808219 } J = 5000 x 0,157808219 J = 789,04 M = C + J → M = 5000,00 + 789,04 → M = 5.789,04

II.1. MONTANTE: Define-se como Montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos como sendo a soma do juro mais o capital inicial5.

M = C + J: De modo análogo ao visto para juro, dado 3 valores da fórmula poderemos obter o quarto valor. [como vimos nas fórmulas 1 a 5].

( ) [10] in1

M C

+=→

[11][6] 100 X n

1CM

i in) C(1M

−

=→+=

[12] i

1CM

n

−

=→

Exemplo: C: 1200,00 [6] M= C(1 + in) M = 1200 x {1 + [(5/100) x 4]} i: 5% a.m. M = 1200 X {1 + [0,05 x 4]} M = 1200 x {1 + 0,2} n: 4 m M = 1200 X 1,2} M: ? M = 1440,00

M: 1440,00 [10] C= M(1 + in) C = 1440/{1 + [(5/100) x 4]} i: 5% a.m. C = 1440 /{1 + [0,05 x 4]} C = 1440/{1 + 0,2} n: 4 m. C = 1440/1,2 C: ? C = 1200,00

5MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo : Atlas, 1993, p. 26.


5

C: 1200,00 [11] i = {[(M/C) -1]/n} x 100 i = {[(1440/1200) -1] /4} x 100 M: 1440,00 i = {[1,2 – 1]/4]} x 100 i = {0,2/4} x 100 n: 4 m i = 0,05 x 100 i = ? i = 5%

C: 1200,00 [12] n = {[(M/C) -1]/i} n = {[(1440/1200) -1] /(5/100)} M: 1440,00 n = {[1,2 – 1]/0,05]} i: 5% a.m. n = 0,2/0,05 n = ? n = 4

III. RAZÕES E PROPORÇÕES

Razão de dois números: Razão do nº a para o nº b (diferente de zero) é o quociente de a por b .

É indicado por: a/b ou a : b ( lemos: a para b ) Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos: A razão de 5 para 15 é: 1º) 3/15 = 1/5; 2º) 18/3 = 6; 3º) 5 e 1/2 = 5/(1/2) = 5 x (2/1) = 10

Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra.

Se a e b são números reais não-nulos, então a/b e b/a são razões inversas; a/b x b/a = 1. 1. A razão inversa de 3/4 é 4/3; 2. A razão inversa de 4 é 1/4; 3. A razão inversa de 1/5 é 5.

Proporção: Dados, em certa ordem, quatro números ( a, b, c e d ) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b ) é igual a razão entre os dois últimos. A razão a/b é igual a razão c/d. Essa proporção é indicada por a/b = c/d, onde a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Na proporção: a/b = c/d, temos: a, b, c e d são os termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios

Propriedade fundamental: Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que: a/b = c/d, Multiplicando os dois membros da igualdade b/d, (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:

a/b x bd = c/d x bd . Simplificando temos: a/d = c/b, Logo, podemos afirmar que: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Exemplo: Dada a proporção 6/8 = 3/4, temos:

6 x 4 = 24 8 x 3 = 24 6 x 4 = 8 x 3

IV. DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.

Exemplo: Vamos supor que Maria, Carlos e Jorge tenham associados para comprar uma casa no valor de $ 60.000,00. Maria entrou com a maior parte, $ 30.000,00, Carlos com $ 20.000,00 e Jorge, com a menor parte, $ 10.000,00. Um ano depois eles venderam essa casa por $ 90.000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles?

Por convenção, a cada $ 1,00 empregado na compra da casa deve corresponder a mesma quantia resultante da venda, i.e., uma quota. Essa quota é, o quociente do preço de venda pelo preço de compra, ou seja:

90.000/60.000 = 1,5. Logo: Maria: 30.000 x 1,5 = $ 45.000 Carlos: 20.000 x 1,5 = $ 30.000 Jorge: 10.000 x 1,5 = $ 15.000 Total 60.000 x 1,5 = 90.000

V. REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. O objetivo é a divisão dos lucros ou dos prejuízos

entre as pessoas envolvidas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de uma das pessoas da sociedade ou da admissão de um novo membro à sociedade constituída.

Por convenção, o lucro ou prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos recursos empregados, levando em conta as condições que rezam no contrato.


6

Há quatro casos a considerar: 1º Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. Afim de obter a parte de cada um dos sócios, divide-

se o lucro ou prejuízo pelo número deles. Exemplo: Três sócios lucraram $ 222.600 no último exercício. Sabendo que seus capitais eram iguais, determine a

parte de cada um nos lucros: 222.600/3 = 74.200 Logo, a parte que cabe a cada um é de $ 74.200.

2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, divide-se o lucro ou prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo: Na apuração do Balanço anual da empresa ZYX, formada por 3 sócios, apurou-se um lucro de $ 33.750. Determine a parte corresponde a cada sócio, sabendo que seus capitais são de $ 540.000, $ 450.000 e $ 360.000:

A → 540 A = 540 x 0,025 = 13,50 33,75 B → 450 ⇒ y = 33.75/1350 = 0,025 ⇒ B = 450 x 0,025 = 11,25

C → 360 C = 360 x 0,025 = 9,00 1.350 33,75

Logo, o Lucro de cada sócio é de: $ 13.50, $ 11,25 e $ 9,00, respectivamente.

3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuízo que cabe a cada sóc é determinado dividindo-se o lucro ou prejuízo, da sociedade, em partes diretamente proporcionais aos tempos. io

4º) Os capitais são desiguais e empregados durante também por tempos desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou prejuízo seriam diretamente proporcionais aos capitais pelos respectivos tempos de dos sócios.

VI. TAXA PROPORCIONAL: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Dada duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i', relativas, respectivamente, aos tempos n e n', referidos à mesma unidade, temos:

n´n

i´i=

Logo, as taxas 30% ao ano ou 2,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:

[ ] [ ] meses) 12 ano (1 10,300,30 12 x0,025 1 x0,30 1

12 0,025

0,30 ou 1

12 2,5

30 =→=÷⇒÷→=⇒→=

Determinemos então uma fórmula para facilitar obter, mais rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada. Seja i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional:

) 12 ( k i

=ik

Exemplo: 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 18% ao ano.

1,5 12

18 ik

k i

ik ==→=

2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,05% ao dia. Solução: [1 mês = 30 dias]

[ ] a.m. 1,5% i 1,5 i i 30 x0,05 30

i 0,05 =→=⇒=→=

3. Calcule a taxa anual proporcional a 4,5% ao trimestre. Solução: [1 ano = 4 trimestres]

[ ] a.a. 18% i 18 i i 4 x4,5 4 i 4,5 =→=⇒=→=


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TAXA PROPORCIONAL (2): Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo de juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.

Exemplos: a) 5% ao mês ⇒ 30% ao semestre ( 5 x 6 = 30) b) 3% ao mês ⇒ 36% ao ano ( 3 x 12 = 36) c) 18% ao ano ⇒ 1,5% ao mês ( 18 / 12 = 1,5) d) 5% ao trimestre ⇒ 20% ao ano ( 5 x 4 = 20)

DE PARA FÓRMULA DE FÓRMULA PARA a.m. a.a. ia = ( im ) x 12 1,5% a.m. [(1,5%) x 12] 18% a.a. a.d. a.m. im = ( id ) x 30 0,05% a.d. [(0,05%) x 30] 1,5% a.m. a.d. a.a. ia = ( id ) x 360 0,05% a.d. [(0,05%) x 360] 18% a.a. a.a. a.m. im = ( ia ) / 12 18% a.a. [(18%) / 12] 1,5% a.m. a.m. a.d. ia = ( im ) / 30 1,5% a.m. [(1,5%) / 30] 00,5% a.d. a.a. a.d. id = ( ia ) / 360 18% a.a. [(18%) / 360] 00,5% a.d.

Exercícios: 1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 30% ao ano, pelo prazo de 1 trimestre.

Dados: Solução: C = $ 15.000,00 J = Cin i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (30/100)/12 ] x 3 } n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,00

1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 2,5% ao mês, pelo prazo de 90 dias.

Dados: Solução: C = $ 15.000,00 J = Cin i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (2,5/100)/30 ] x 90 } n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,00

Nota-se que, nas duas situações, os juros produzidos são iguais. Portanto, 30% ao ano e 2,5% ao mês são taxas proporcionais.

VII. DESCONTOS: Desconto: Quando uma pessoa faz um investimento, com vencimento predeterminado, ela obtém um comprovante da aplicação, que pode ser, por exemplo, uma letra de câmbio ou uma nota promissória. Caso, esta pessoa, precise do dinheiro antes de vencer o prazo da aplicação, ela deve procurar a instituição onde fez a aplicação, transferir a posse do título e levantar o principal acrescido dos juros já ganhos. Outra situação: Uma empresa faz uma venda a prazo e recebe uma duplicata com um certo vencimento. Se esta empresa precisar do dinheiro, antes do vencimento da duplicata, ela pode ir a um banco e transferir a posse desta duplicata, recebendo dinheiro em troca. Estas operações são chamadas de desconto e o ato de efetuá-las é chamado de descontar um título.

DDDEEESSSCCCOOONNNTTTOOO: É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. [Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]

DESCONTO COMERCIAL E DESCONTO RACIONAL

A diferença básica entre essas duas modalidades de cálculo do desconto é que o desconto por fora representa o juro incidente sobre o valor nominal (valor “de fora”, o maior valor) e o desconto racional representa o juro incidente sobre o valor atual ou líquido (valor “de dentro”, menor valor).

Chamamos de DESCONTO COMERCIAL [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [ N ] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.

Valor do desconto comercial:

Dc = Nin 1 .

Onde: Dc: o valor do desconto comercial; N: o valor Nominal do título; Vc: o valor atual comercial ou valor descontado comercial; n: tempo; i: a taxa de desconto.

Valor atual comercial ou valor descontado comercial.

Vc = N - Dc 2 .

Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 .

Vc = N - Nin 3 .

Vc = N(1 - in) 4 .


8

DESCONTO RACIONAL ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

Se preferir: DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” : Definição: É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Logo:

Dr = N – Vr, onde Dr denota o desconto racional. Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal. Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto, isto é, Vr = N – Dr, onde Dr é o desconto e Vr, (ou V, se não houver perigo de confusão), é o valor atual ou valor descontado racional.

Em síntese: No desconto comercial (por fora), a taxa de desconto incide sobre o valor nominal ( N ) do título e no desconto racional ele incide sobre o valor atual ( V ).

Dr = Vin 5 .

Vr = N - Dr 6 .

Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ]

N = V + Vin 8 .

N = V(1 + Vin) 9 .

in1

N V

+= 10 .

Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 .

Se Dr = N - V [ V da fórmula 10, vamos substituí-lo em 12 ]

Dr = N - in1

N

+ 12 .

Uma coisa nós já verificamos, o desconto comercial é maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condições.

Dc > Dr

As fórmulas para calculá-los são:

Nin Dc in1

NinDr =+

=

Vamos usar estas duas fórmulas:

in 1Nin

Dr +

= [1] Dc = Nin [2] VA = N – d [3] d = N – VA [4]

in1

N VAr

+= [5] VAc = N(1 – in) [6]

Se fizermos a divisão do desconto comercial pelo desconto racional, membro a membro, temos:

inNin

Dr NinDc+

=→=1

( )[ ]

( ) in 1 DrDc portanto

in1

Dr

Dc +=→⇒

+

= Nin

Nin

ou, Dc = Dr(1 + in)

O Desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.

EXEMPLO: Uma dívida de $ 3.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 2,5% a.m.?

N = 3.500 n = 3 meses i = 2,5% a.m.

1. Desconto Comercial a) Vamos Aplicar a fórmula nº 1. Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 .

dc = Nin dc = 3500 x [(2,5/100) x 3] dc = 3500 x [0,025 x 3] dc = 3500 x 0,075


9

dc = 262,50 b) Fórmula nº 2. Valor atual comercial ou valor descontado comercial: Vc = N - Dc 2 .

Vc = 3500 - 262,50 Vc = 3.237,50 c) Fórmula nº 4. Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . Vc = N - Nin 3. Vc = N(1 - in) 4 .

Vc = N(1 - in) Vc = 3500{[1 - [(2,5/100) x 3]} Vc = 3500{[1 - [0,025 x 3]} Vc = 3500{1 - 0,075 } Vc = 3500 x 0,925 Vc = 3.237,50

2. Desconto Racional Vamos Aplicar as fórmula nº 5, 6, 9 a 11. .

Dr = Vin 5 .

Vr = N - Dr 6 .

Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ]

N = V + Vin 8 .

N = V(1 + Vin) 9 .

N V = --------------- 10 .

( 1 + in )

Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 . .

a) Para aplicarmos a fórmula nº 5, precisamos do Valor Atual sem nenhuma correção. Para descobrimos isto aplicamos a fórmula 10..

N V = --------------- 10 .

( 1 + in ) 3500 .3500 .3500 V = --------------------------- ⇒ V = ------------------------ ⇒ V = -------------------- = {1 + [(2,5/100) x 3]} {1 + [0,025 x 3]} {1 + 0,075 }

3500 V = ------------------- = 3.255,81 1,075

b) Fórmula nº 5. Dr = Vin 5 . Dr = Vin Dr = 3255,81 x [(2,5/100) x 3] Dr = 3255,81 x [0,025 x 3] Dr = 3255,81 x 0,075 Dr = 244,19

c) Fórmula nº 6. Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Dr Vr = 3255,81 - 244,19 Vr = 3.011,62

d) Fórmula nº 11. Dr = N - Vr { Fórmulas 10 menos 6 }. Resultado fórmula nº 10 = 3.255,81 Resultado fórmula nº 6 = 3.011,62 Dr = 244,19

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1a. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?

N = 13.500 n = 3 meses i = 30% a.a. Dr = ?


10

Para encontrarmos o Dr, poderíamos usar a fórmula Dr = Vin 5 se nós conhecêssemos o (Vr) Valor Atual [Racional]. Vamos utilizar a fórmula 12 , pois não conhecemos o (Vr).

941,84 Dr 1,075

1012,50Dr 0,075 1

0,075 x13500Dr 0,075 1

0,075 x13500Dr 3] x[0,025 1

3] x[0,025 x13500Dr 3] x[(0,30/12) 1

3] x[(0,30/12) x13500Dr in1

NinDr =→=→+

=→+

=→+

=→+

=⇒+

=

$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.

Poderíamos utilizar também a fórmula: Vr = N - Vin 7 , conhecendo o Vr = N - Dr = 13500 - 941,86 = 12.558,14. Vr = 13500 - {12558,54 x [(30/12)/100) x 4]}→ Vr = 13500 - (12558,54 x 0,075) →Vr = 13500 - 941,89 →Vr = 12.558,14

1b. Vamos calcular o n, nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:

N = 13.500 n = ? i = 30% a.a. Dr = 941,86

3 n 313,953488

941,86 n n 313,953488 941,86 n 23,54650 - n 337,50 941,86

337,50n 23,54650n 941,86 n x0,25 1n x337,50 941,86

n x) 0,30/12 ( [1n x) /120,30 ( x13500 941,86

in1NinDr

==→=→=⇒

⇒=+→+

=→+

=→+

=

a

1c. Vamos calcular a taxa de juros i, nas mesmas condições, admitindo que não a conhecemos:

N = 13.500 n = 3 i = ? Dr = 941,86 Nin 13500 x i x 3n 13500 x i x3n 40.500i Dr = ------------- ⇒ 941,86 = ------------------- ⇒ 941,86 = ---------------- ⇒ 941,86 = ------------ 1 + in 1 + 3i 1 + i x 3 1 + 3i

⇒ 941,860451 + 2.825,81395i = 40.500i ⇒ 941,86 = 37.674,81861i

941,86 i = --------------------- ⇒ i = 0,025 ⇒ i = 0,025 x 12 = 0,30 ⇒ 0,30 x 100 ∴ i = 30% a.a. 37.674,81861 1d. Vamos calcular o valor nominal (N), nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos: N = ? Nin n = 3 Dr = ---------- i = 30% a.a. 1 + in Dr = 941,86 Nin N x (0,30/12) x 3 0,075N Dr = ----------- ⇒ 941,860451 = ------------------------- ⇒ 941,860451 = ------------- ⇒ 1 + in 1 + (0,30/12) x 3 1 + 0,075 0,075N 1.01250 941,860451 = ------------ ⇒ 1.01250 = 0,075N N = ------------ ⇒ N = 13.500 1,075 0,075

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Um título descontado de $ 4.000,00 vai ser descontado à taxa de 2.3% ao mês. Faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual comercial.

Resolução: { N = 4.000 - n = 45 d - i = 2,3% a.m. = [2,3/100 = 0,023 a.m. - 0,023/30 a.m. ]

a) Dc = Nin ⇒ Dc = 4000 x {[(2,3/100)/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {[0,023/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {0,0007666667 x 45} ⇒ Dc = 4000 x 0,0345 ⇒ Dc = 138,00

a) Vc = N - Dc ⇒ Vc = 4000 - 138 ⇒ Vc = 3.862,00 ou Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 4000(1 - 0,0345) ⇒ Vc = 4000(0,9655) Vc = 4000 x 0,9655 = 3.862,00


11

2. Uma duplicata de valor nominal é de $ 3.500,00, foi resgatada 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 26.4% ao ano. Qual o desconto comercial; Dc = Nin ⇒ Dc = 3500 x {[(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {[0,264/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {0,022 x 4} ⇒ Dc = 3500 x 0,088 ⇒ Dc = 308,00 Utilizando as fórmulas 6 Vc = N(1 - in) e Dc = N - Vc 4 . Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 3500{ 1 - [(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,022x4) ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,088) ⇒ Vc = 3500 x 0,912 ⇒ Vc = 3.192,00 Agora aplicamos a fórmula Dc = N - Vc 4 . ⇒ Dc = 3500 - 3192 ⇒ Dc = 308,00

3. O desconto comercial de um título descontado 5 meses antes de seu vencimento e à taxa de 36% a.a. é de $ 690,00. Qual é o desconto racional? Resolução: Vamos aplicar a fórmula: Dc = Dr(1 + in)

i = 36/100 = 0,36 0,36 690,00 672,00 = Dr ( 1 + ------- x 5 ) ⇒ 672,00 = Dr ( 1 + 0,15 ) ⇒ Dr = ------------- ⇒ Dr = $ 600,00 12 1,15

4. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?

Nin 13500 x [(0,30/12) x 3] 1012,50 Dr = -------------- ⇒ Dr = ------------------------------ = --------------- = $ 941,86 1 + in 1 + [ (0,30/12) x 3 ] 1,075

$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. 5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de $ 15.000,00 se eu quiser ganhar 36% a.a. ?

Resolução: Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 36% a.a. N: 15.000 i: 36% a.a. ⇒ (36/100) ⇒ 0,36 [ Calcular o Vr: Valor Atual ] n: 5 meses

N 15000 15000 Vr = -------------- ⇒ Dr = ---------------------------- = ----------- = $ 13.043,48 1 + in 1 + [ (0,36/12) x 5 ] 1,15

VIII. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO - REVISÃO:

POTENCIAÇÃO

Para a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N, temos: Assim definimos: .a: base •a0 = 1 •a1 = a .an = b, onde n: expoente •an = a x a x a ... x a, se n≥ 2 •a-n = 1/an, a ≠ 0 b: potência

Exemplo: .a = 2 .an = .23 = 2 x 2 x 2 = 8 .n = 3

Propriedades: Para m ∈ Z, n ∈ Z, a ∈ R e b ∈ R, temos: [Vide anexo II, conjuntos numéricos] a) am • an = am+n = 24 x 23 = 16 x 8 = 128; 27 = 128

b) am / an = am-n = 24 - 23 = 16/8 = 2; 21 = 2 n

c) (am) = am x n = 24 - 23 = 16/8 = 2; 21 = 2

d) (a • b)m = am • bm = (2 x 3)3 = 63 = 216; 23 x 33 = 8 x 27 = 216;

e) (a / b)m = am / bm = (6 / 3)3 = 23 = 8; 63 / 33 = 216 / 27 = 8.

RADICIAÇÃO

Para a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N*, m ∈ N*, temos:

: radical

n b = a a: raiz b = radicando → extrair a raiz n-ésima de um nº, é só exponenciá-lo ao inverso do índice n: índice


12

LOGARITMOS

O logaritmo de um número N, no sistema de base a, é o expoente x da potência a que é preciso elevar a base a para de se obter esse número N. A base a deve ser positiva e diferente da unidade e N é sempre positivo.

Assim, se N = ax, então x = logaN.

Exemplos: 102 = 100 ou log 2 10 =100

252 5 125

1 log ou 25 ==

3- log ou 21

2-3 == 8

8

1

1. - Propriedades dos logaritmos

a) log b) NlogMlogN.M aaa += NMNM

aaa

logloglog −=

c) log d) logMn.log M an

a = anM = (1/n) . logaM

Normalmente se considera a base a igual a 10 (logaritmos decimais ou vulgares). Assim, o logaN se escreveria simplesmente como logN.

Exemplos: 103 = 1000 ou log 1000 = 3 101 = 10 ou log 10 = 1

10-1 = 0,1 ou log 0,1 = -1 10-3 = 0,001 ou log 0,001 = -3

1.2 - Característica e Mantissa Em geral o logaritmo não é número inteiro, isto é, comumente é um número inteiro mais uma parte fracionária avaliada em decimais. A parte inteira chama-se característica e a parte decimal como mantissa. A mantissa é encontrada na "Tábua de Logaritmos" e seu valor é sempre positivo. A característica possui duas regras: (a) se o número N for maior do que 1, a característica será igual a tantas unidades, menos uma, quantos algarismos estiverem à esquerda da vírgula decimal; e, (b) se o número N for menor do que 1, a característica será negativa e, se o primeiro algarismo, diferente de zero, estiver na n-ésima ordem decimal, a característica poderá ser menos n.

Exemplos: 135,2 possui característica igual a 2 57,35 possui característica igual a 1 2,693 possui característica igual a 0 0,0735 possui característica igual a 8-10 0,000037 possui característica igual a 5-10

1.3. - Antilogaritmos e Cologaritmos Se o logaritmo é dado, o problema consiste em encontrar o número que o originou. Este número é denominado de Antilogaritmo. A característica do logaritmo dado determina a posição da vírgula decimal no antilogaritmo e a mantissa os seus algarismos. Assim, se sob a forma exponencial, 2,36 = 100,3729, o número 2,36 é chamado o Antilogaritmo de 0,3729, ou antilog 0,3729. É um número cujo logaritmo é 0,3729. O Cologaritmo de um número é o logaritmo de seu inverso. Assim, o colog 35,7 = log 1 - log 35 1.4. Logaritmo na base 10 e logaritmo neperiano base e [base e = 2,71828182845905, número de Euler] O logaritmo em um novo sistema será dado pela relação:

1 .logb N = loga N x ----------

loga b

Para resolver o problema, bastará multiplicar o logaritmo do número no sistema de base a pelo fator constante.

1 M = ------------

loga b que recebe o nome de módulo do sistema . LN(10) = 2,30258509299405 . a) Passagem do sistema decimal para neperiano6

1 1 módulo = ------------------------------- = --------- = 2,30258509299405 logaritmo decimal de e log e

6 Em excel: =LN(10)


13

b) Passagem do sistema neperiano para decimal

1 1 módulo = -------------------------------- = ------------- = 0,434294481903252 logaritmo neperiano de 10 ln(10)

Para converter Logaritmo Em Logaritmo Multiplicar por Aproximadamente Decimal Natural 2,30258509299405 2,3025851 Natural Decimal 0,434294481903252 0,4342945

Exemplo: log(6) = 0,778151250 - Algumas calculadoras só tem o LN. Há duas opções para obter o log na base 10, se nós dispormos só de LN. Podemos fazer a seguinte operação: Log(x) = LN(x)/LN(10) - ou usar a conversão acima: Log(x) = LN(x)/LN(10) → Vamos obter o Log(6), utilizando a conversão acima. Log(6) = LN(6) x 0,434294481903252. Portanto: Log(6) = 1,791759469 x 0,434294482 = 0,77815125

IX. JUROS COMPOSTOS No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial. No regime de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela a partir do segundo período. Dizemos, então, que os rendimentos ou juros são capitalizados:

Juros simples Juros compostos Rendimento Rendimento

Mês C i n Juros Montante C i n Juros Montante 1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00 1.050,00 5% 1 52,50 1.102,50 3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00 1.102,50 5% 1 55,13 1.157,63 4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00 1.157,63 5% 1 57,88 1.215,51

J = Cin (1) M = C(1 + i)n (6) M = C + j (2) M = C + J (7) M = C +Cin (3) J = M - C (5) M = C (1+ in) (4) J = C[(1 + i)n - 1] (8) J = M - C (5)

• O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital, para pagamento único, pode ser calculado diretamente, através de calculadoras ou pode ser obtido através de tabelas financeiras;

• Nas calculadoras financeiras pode-se calcular diretamente qualquer uma das quatro variáveis da fórmula, dados os valores das outras três:

• PV (Presente Value, do inglês) representa o capital C • FV (Future Value, do inglês) representa o montante M • i Representa a taxa de juros, onde i/100 • n Representa o número de períodos.

Exemplo: Um capital de $ 1.000.00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses, à taxa de 5% a.m., Calcule: a) O montante; b) Os juros auferidos Resolução Calculadora HP-12C Temos: (5/100 + 1) = 1,05 5 Enter 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1,21550625 (Fator de Acumulação) 100 ÷ M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 1 + (1,05) Resultado J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51 4 YX 1,21550625 (Resultado) 1000 X 1,215,51 (Resultado) Para Calcularmos utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial) M = (1 + i)n → M = (1 + 0,05)4 = 1,21550625 M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51

Utilizando uma calculadora Financeira:

4 n 5 i → FV = 1.215,51 -1000 PV

Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator (1,05)4 = 1,21550625. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100)4. → (1,05)4 → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,21550625 ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica? Exercício: Um capital $ 2.500,00 foi aplicado durante 5 meses, à taxa de 3% a.m.. Calcule o Montante e o juro.


14

. t0 i = 3% a.m. ↑ 2500 + J . ↓ 2500 t5

Solução C: 2500 i: 3% a.m. [0,03] n: 5 m M = C(1 + i)n M = 2500(1 + 3/100)5 M = 2500(1 + 3/100)5 M = 2500(1 + 0,03)5 M = 2500(1,03)5 M = 2500(1,159274074) M = 2.898,19 J = M - C J = 2898,19 - 2500 J = 398,19 Vamos utilizar uma calculadora científica. Como ficariam os cálculos? 1º) Vamos resolver o (FC: Fator de Capitalização): M = C(1 + i)n (Vamos Chamar de Y → (1 + i) – (Exponencial, Base. Isto é, o Y é a base) de x → ”n” o Expoente, então o nosso (1 + i)n podemos trocar por YX. 2º) utilizando uma calculadora científica podemos utilizar a tecla YX. Exemplo: vamos encontrar o FC (1,03)5. [você pode fazer o seguinte cálculo: 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,159274074]. Cálculos simples como este você não encontra nenhuma dificuldade para fazê-lo. Imagine para 60 meses. Vamos aos cálculos? 3º) com sua calculadora científica faça o seguinte: 1,03YX5= 1,159274074

Utilizando-se de logaritmos:

JURO COMPOSTO - Cálculos [Calculadoras Financeiras; Exponencial, Logaritmos decimal e neperiano e Tabelas Financeiras]

Para Calcularmos o Montante utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial) M = (1 + i)n → M = (1 + 0,05)5 = 1,276281562 M = 2.000 x 1,276281562 = 2.552,56 J = M - C → 2.552,56 - 2.000,00 = 552,56

Utilizando uma Calculadora Financeira:

5 .n 5 .i → FV = 2.552,56 -2000 PV

Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator (1,05)5 = 1,276281562. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100)5. → (1,05)5 → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,276281562

Se queremos calcular os juros do capital de $ 2.000,00, durante 4 meses à taxa de 5% a.m., multiplicamos o fator: 1,276281562 x 2000 = 2.552,56. Logo, M = 2.552,56. ( J = M - C → J = 2552,56 - 2000 = 552,56) → J = $ 552,56

ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?

Utilizando-se de logaritmos: (1 +0,05)5 = x, → onde x = fator procurado. 5 log (1,05) = log x 5(0,02118930) = log x 0,105946495 = log x. Extraímos o antilogaritimo: ( 10 0,105946495 )

( 10 0,08475720 ) = x 1,276281563 = x, este é o fator procurado: 1,276281563. Está complicado? - Vamos utilizar outro método [que eu acho mais fácil]. Utilizando-se de logaritmos: [ Outro exemplo, uma maneira que gosto de usar ]

C = 2500 M = (1 + i)n [ Exponencial ] i = 4% a.m. M = C(1 +0,04)5 n = 5m M = 2500(1,04)5 M = 3.041,63 M = 3041.632255 M = (1 + i)n [ Logaritmo ] logM = log[ C(1 + i)n ]


15

logM = logC + n•log(1+i) logM ⇒ antilogM ⇒ M ⇒ 10M

logM = log[ 2500(1 +0,04)5 ] logM = log2500 + 5 • log(1,04) logM = 3,3979400009 + [5 • (0,01703339)] logM = 3,3979400009 + 0,085166697 logM = 3,483106706

antilogM = 103,483106706 M = 3,041632262 Montante ⇒ M = 3.041,63 .

Por LN [ Logaritmos Neperianos.]

Lembrando: que o sistema LN, a base é o número e ( e = 2,71828182845905 ), também chamado de Sistema de Logaritmos Naturais. O nome está ligado ao autor John Napier (1550 - 1617). Exemplo: LN 5 = 1,60943791. e1,60943791 = 5, isto é, = 2,7182818281,60943791 = 5.

M = (1 + i)n LNM = LN[ C(1 + i)n ] LNM = LNC + n•LN(1+i) LNM ⇒ Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ eM ⇒ 2,718281828M.

LNM = LN[ 2500(1 +0,04)5 ] LNM = LN2500 + 5•LN(1,04) LNM = 7,824046011 + [5•(0,03922071)] LNM = 7,824046011 + 0,196103566 LNM = 8.020149577 M Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ eM ⇒ 2,718281828 8.020149577. ⇒ M = 3,041632253

Montante ⇒ M = 3.041,63 .

Utilizando [Log e LN ], outro exemplo (agora para encontrarmos o tempo: n): Durante quanto tempo um Capital de $ 400.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 3.5% a.m., para que produza um montante de 526.723,61?

C = 400.000 M = 526.723,61 i = 3.5% = 0.035 526723,61 = 400000 x (1,035)n (1,035)n = 1,31680903 → (526723,61/400000)

+

= i)log(1

PVFV

log n

Tomando o logaritmo decimal de ambos os membros: Log(1,035)n = Log 1,31680903 n x Log(1,035) = Log 1,31680903

Porém: Log(1,035) = 0,01494035 (na Calculadora HP: LogX = LNx / LN10) ⇒ LN(1,035)/LN(10) = 0,01494035 Log(1,31680903) = 0,119522798

Então: n x 0,01494035 = 0,119522798

n = 0,119522798 / 0,01494035 = 8 meses

Por LN [ Logaritmos neperianos.]

n = [ LN(FV/PV) / LN(1 + i) ]

n = [ LN(526.7236148/400.000) / LN(1.035) ] n = [ LN(1.316809037) / LN(1,035) ] n = [ 0.275211414 / 0.034401427 ] n = 8 meses

Resolvendo com a ajuda de uma calculadora financeira:

3,5 .i 400000 PV → n = 8 meses -526723.61 FV


16

Resumo: Fórmulas Juros Compostos

Fórmula básica de Juros Compostos:

J = C[(1 + i)n – 1] Equação JC-1

Sabendo-se que M = C + J, a fórmula do Montante deduzida da fórmula básica de juros compostos é:

M = C(1 + i)n Equação JC-2

Podemos deduzir outras equações a partir das equações dadas:

+=

i)(1

M C

n

Equação JC-3

+

= i)log(1

CM

log n

Equação JC-4

−

= 100 x 1

C M

in1

Equação JC-5

Utilizando-se de Tabelas Financeiras:

É fácil usar as tabelas financeiras. É só procurar o FC [Fator de Correção] desejado e multiplicar pelo capital inicial (PV) que encontrará o Montante (FV). Exemplo: na tabela abaixo, (procure a tabela) com a taxa i = 5% [só apresentamos uma tabela com i = 5%; n = 1 a 9]. Em n = 5, na segunda coluna encontramos o fator = 1,27628156. [ aplicamos PV x FC ] 2000,00 x 1,27628156 = 2.552,563120 [M ou FV]. Experimentem fazer o seguinte cálculo: multiplique o FV = 2552,563120 encontrado, x o fator de PV [n = 5, 2ª coluna = 0,78352617 x 2552,563120 = 2.000,00 ].

Tabelas Financeiras (Taxa) i = 5,0 % Profº Paulo Vieira Neto 1 . (1 + i ) n - 1 (1 + i ) n - 1 . i(1 + i )n . i(1 + i ) n - 1

n (1 + i ) n (1 + i ) n i(1 + i ) n i (1 + i ) n - 1 (1 + i ) n - 1 1 1,05000000 0,95238095 0,95238095 1,00000000 1,05000000 1,00000000 2 1,10250000 0,90702948 1,85941043 2,05000000 0,53780488 0,51219512 3 1,15762500 0,86383760 2,72324803 3,15250000 0,36720856 0,34972244 4 1,21550625 0,82270247 3,54595050 4,31012500 0,28201183 0,26858270 5 1,27628156 0,78352617 4,32947667 5,52563125 0,23097480 0,21997600 6 1,34009564 0,74621540 5,07569207 6,80191281 0,19701747 0,18763568 7 1,40710042 0,71068133 5,78637340 8,14200845 0,17281982 0,16459030 8 1,47745544 0,67683936 6,46321276 9,54910888 0,15472181 0,14735411 9 1,55132822 0,64460892 7,10782168 11,02656432 0,14069008 0,13399055 Juros Valor Atual Amortização Capitalização Amortização Amortização Compostos PV - (Desconto an i Sn i 1ª no ato M = PV + J Composto) PMT PMT PMT

X. DESCONTO COMPOSTO

Valor atual (VA) de um título de valor nominal N, resgatável depois de um certo período n, à uma taxa i de juros compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N. Vamos utilizar a seguinte fórmula:


17

( )( ) ( ) ( )

ni1

1 FV PV ou ni1

1 N VA ou ni1

N VA ni1VA N

+=⇒

+=

+=→+=

+=

i)(1

1FVPV

n

Onde: VA = Valor atual ou PV = Valor Presente N = Valor nominal FV = Valor Futuro [Valor do título no vencimento] n = Período i = Taxa de juros compostos

DESCONTO COMPOSTO: O conceito de desconto composto é semelhante ao que vimos em desconto simples, a diferença é quanto ao regime de capitalização. Para obtermos o desconto composto de um título aplicado, aplicamos a fórmula desenvolvida, em epígrafe, onde iremos chamar de d o desconto obtido. Desconto racional: É a diferença entre o valor nominal do título e seu valor na data de resgate.

d = N - VA.

Ex: Um título de valor nominal igual a $ 4.000,00 é resgatado 3 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de desconto racional composto. Sabendo que i = 4% a.m., qual o desconto?

N = 5000 (FV) n = 3m i = 4% a.m.

( ) ( ) ( ) 555,02 d 4444,98 - 5000 d 4.444,98 VA VA

31,04

5000 VA 30,041

1 5000 VA ni1

N VA 1,124864

5000 =⇒=⇒=→=→=→

+=⇒

+=

Desconto Comercial: Consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial simples. (na prática o desconto comercial composto é raramente usado) Seja N o valor nominal de um título, n o número de períodos de antecipação e i taxa de desconto. Calcula-se o valor descontado comercial simples para o instante (n - 1); sobre este valor descontado aplica-se novamente o desconto comercial simples e obtém-se o valor descontado para o instante (n - 2) e assim sucessivamente.

a fórmula é Dc = N - V ⇒ Dc = N - N(1 - i)n Ex: Um título de valor nominal igual a $ 5.000,00 é resgatado 4 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de desconto comercial composto. Sabendo que a (taxa de desconto, i) i = 5% a.m., Calcule o Valor Atual comercial e o desconto comercial

Desconto Comercial – Composto Rendimento

Mês N .i n Desconto Valor Atual 1 5.000,00 5% 1 250,00 4,750,00 2 4.750,00 5% 1 237,50 4.512,50 3 4.512,50 5% 1 225,63 4.286,88 4 4.286,88 5% 1 214,34 4.072,53

Total 927,43

Fórmulas Dc = N - N(1 - i)n [1] VA = N(1 - i)n [2] VA = N – d [3]

N = 5000 (FV) n = 4m i = 5% a.m.

Solução: VA = N(1 - i)n

VA = 5000(1 – 5/100)4 VA = 5000(1 – 0,05)4 VA = 5000(0,95)4

VA = 5000(0,95)4 VA = 5000(0,81450625) VA = 4.072,53 d = N – VA d = 5000 - 4072,53 = 927,43


18

XI. TAXAS EQUIVALENTES O conceito de taxas equivalentes, em juros compostos. é semelhante ao estudado em juros simples. Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas a um mesmo capital, por um determinado período de tempo, produzem montantes iguais.

( ) ( )n22

n11 i 1 i 1 +=+

Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente à taxa de mensal de 5% a.m., no regime de juros compostos? Vamos adotar como intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamando de i1 a taxa procurada (um semestre):

i1 (taxa semestral) i2 = 5% a.m. n1 = n2 = 6

(1 + i1)1 = (1 +0.5)6

i1 = (1,05)6 - 1

i1 = 0,34009 → 0,34009 x 100 i1 = 34,01% a.s.

De a.m. para a.a → ia = [(1+im)12 - 1] x 100 [ 1 ] De a.d. para a.m. → im = [(1+id)30 - 1 ] x 100 [ 2 ] De a.d. para a.a. → ia = [(1+id)360 - 1] x 100 [ 3 ] De a.a. para a.m. → im = [(1+ia)1/12 - 1] x 100 [ 4 ] De a.m. para a.d. → id = [(1+im)1/30 - 1] x 100 [ 5 ] De a.a para a.d. → id = [(1+ia)1/360 - 1] x 100 [ 6 ]

Para facilitar nosso entendimento, vamos fazer uso da seguinte fórmula:

( ) 100 x 1 tq

it1 iq

−+=

Onde: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) .it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) .q = Prazo final (Prazo que eu quero) .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) Exemplo 1: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa mensal [procurada] 1 mês.

Vamos aplicar a fórmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i? .it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 34,4888824% .q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 mês .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses)

A fórmula é a seguinte:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 . Calculadora HP-12C Calculado Científica Transportando os dados para a fórmula: 34,4888824 Enter 34,4888824 100 ÷ ÷ 100 + 1 =

im = [ (1 + 34,4888824/100)1/12 - 1] x 100 1 + 1,344888824 Res. 1,344888824 Res.

im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 100 1 Enter YX (1 ÷ 12) =

im = [ 1,025 - 1] x 100 12 ÷ 0,0833333 Res 1,025 Res.

im = 0,025 x 100 YX 1,025 Res. - 1 = x 100 =

i = 2,5% a.m. 1 - 2,5% Res. 100 x 2,5% Res. Ou

im = [ (1 + 34,4888824/100)30/360 - 1] x 100

im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 100


19

im = [ 1,025 - 1] x 100

im = 0,025 x 100

i = 2,5% a.m.

Exemplo 2: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa diária [procurada] 1 dia.

Vamos aplicar à fórmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i? .it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 34,4888824% .q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 dia .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses = 360 dias)

Utilizando a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

id = [ (1 + 34,4888824/100)1/360 – 1 ] x 100

id = [ (1,344888824)0,002777778 – 1 ] x 100

id = [ 1,000823426 - 1] x 100

id = 0,000823426 x 100

i = 0,0823426% a.d.

Exemplo 3: Tenho a taxa [fornecida] de 2,5% a.m. (1 mês). Calcular a taxa equivalente para 36 dias. [Taxa que eu quero] - [procurada] 36 dias.

Vamos aplicar à fórmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i? .it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 2,5% .q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias)

Utilizando-se a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

i36d = [ (1 + 2,5/100)36/30 - 1] x 100

i36d = [ (1,025)1,2 - 1] x 100

i36d = [ 1,0300745 - 1] x 100

i36d = 0,0300745 x 100

i36d = 3,00745% a.p.

Exemplo 4: Tenho a taxa [fornecida] de 3,00745% para 36 dias (36 - período). Calcular a taxa equivalente ao mês 30 dias. [Taxa que eu quero - procurada] 30 dias.

Vamos aplicar à fórmula: .iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i? .it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 3,00745% .q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias .t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias) Utilizando a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

i30d = [ (1 + 3,00745/100)30/36 - 1] x 100

i30d = [ (1,0300745)0,8333333333 - 1] x 100

i30d = [ 1,025 - 1] x 100

i30d = 0,025 x 100

i30d = 2,5% a.m.


20

XII. TAXA EFETIVA: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplo:

1% ao mês, capitalizados mensalmente; {[(1+ 0,01)12 - 1] x 100} ≅ 12,6825% a.a. 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente {[(1+ 0,03)4 - 1] x 100} ≅ 12,55% a.a. 10% ao ano, capitalizados semestralmente: {[(1+ (0,10/2))2 - 1] x 100} = {[(1+ 0,05)2 - 1] x 100} ≅ 10,25% a.a.

XIII. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS A

JUROS COMPOSTOS

Até agora, analisamos problemas financeiros envolvendo capital ( C ou PV ), aplicado ou emprestado a uma determinada taxa de juros ( i ) simples ou composta. Ao final do período ( n ), gerava um determinado montante (M ou FV), isto é, o empréstimo ou aplicação era liquidado através de um único pagamento ou recebimento.

A partir deste momento, vamos estudar os casos financeiros que envolvam o empréstimo ou aplicação de um capital ( C ou PV ) que será liquidado em diversas ( n ) prestações iguais, com periodicidade constante e sucessivas, a uma determinada taxa de juros compostos.

O valor das prestações - (PMT, Payment - Pagamento) - iguais e consecutivas de uma série uniforme, vamos identificá-la por PMT.

Por ora, para tornar mais prático e objetivo, trataremos somente das séries uniformes com as seguintes características:

• Séries uniformes finitas, isto é, com um número finito de pagamentos (PMT); • A periodicidade dos vencimentos serão constantes; • Utilizaremos nos cálculos os juros compostos, onde cada prestação igual é composta por uma parcela de juros e

outra de capital amortizado; • Os vencimentos dos pagamentos ou recebimentos podem ocorrer no início [BGN] (termos antecipados) ou no final

[END] (termos postecipados) de cada período.

Uma série uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais e efetuados a intervalos iguais. Os vencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) no início (termos antecipados), ou ao término de um período de carência (termos diferidos).

Fluxos de séries uniformes: Postecipados

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ............ n Antecipados

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 4 ............ n - 1 Diferidas

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV c c + 1 c + 2 ............ c + n Exemplo: As lojas ZYX vendeu e financiou um aparelho de som ao Sr. Luiz Carlos no valor de $ 1.200,00 para ser liquidado em 4 parcelas iguais, mensais e consecutivas, com o vencimento da primeira parcela um mês após a contratação do financiamento. A taxa de juros praticada - da financeira ligada às lojas ZXY - é de 5% a.m., no regime de juros compostos. Qual o valor das prestações a serem liquidadas.

O fluxo de caixa do Sr. Luiz Carlos:

PV = 1200 i = 5% a.m ↑. T30 T60 T90 T120 . T0 ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMT Com o uso de uma calculadora financeira: PV = 1200 n = 4 i = 5 ⇒ PMT = ? .

Vamos ver como ficam os cálculos, sem os recursos das teclas financeiras das calculadoras!

Podemos considerar, cada PMT, com um montante (FV) a ser pagos em duas datas distintas, sendo (PV) igual à soma dos (PV's) de cada prestação. FV = PV•(1 + i)n


21

( ) i1

FVPV

n+=

Vamos substituir os dados do exercício:

( ) ( ) ( ) ( )

40,051

PMT 30,051

PMT 20,051

PMT 10,051

PMT 1200 +

++

++

++

=

( ) ( ) ( ) ( )

4 0,051

1 3 0,051

1 2 0,051

1 1 0,051

1 PMT 1200

++

++

++

+=

1200 = PMT • [ 0,9523810 + 0,9070295 + 0,8638376 + 0,8227025 ] ⇒ 1200 = PMT • (3,545950505)

338,41 PMT 338,41 53,54595050

1200 PMT =⇒==

Na HP12-C [Não esqueça de teclar g END “g-8”, para indicar à calculadora que o cálculo a ser efetuado é postecipado]

1000 PV 4 n 5 i PMT ? ⇒ PMT = -338,41

Com base na expressão:

( ) ( ) ( ) ( )

n i1

PMT

3 i1

PMT

2 i1

PMT

1 i1

PMT PV

+++

++

++

+= •••

Podemos observar que se trata de uma PG de razão ( ) i1 1 +

Deduzindo da fórmula, nos leva a:

−+

+=

••

111

n

n

)i(

i)i( PVPMT

Solução (1 + 0,05 )4 • 0,05 PMT = 1200 • [---------------------------] ⇒ PMT = 1200 • 0,28201183 ⇒ PMT = 338,41 . (1 + 0,05 )4 - 1

1). Prestações iguais - TERMOS POSTECIPADOS: 1.1) Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais]

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV 1 2 3 ............ n

Fórmula:

−+

+=

••

111

n

n

)i(

i)i( PVPMT

Uma geladeira está anunciada na loja ZYX por $ 600,00 para pagamento a vista ou em 6 parcelas iguais, mensais e consecutivas, sendo que a primeira parcela será paga um mês após a compra (termos postecipados). A taxa de juros cobrada é de 8% a.m. Calcule o valor das prestações [Regime de juros compostos].

Fluxo caixa da financeira da Loja ZYX

. 0 ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? . ↓ PV= 600 1 2 3 4 5 6 i = 8% a.m.


22

Solução

−+

+=

••

111

n

n

)i(

i)i( PVPMT

Solução

( )( )

129,79 PMT 60,21631538 x600 PMT 1 6 0,081

0,08 x 6 0,081 x600 PMT =→=⇒−+

+=

1.2) Dado PMT - Calcular PV: Dado PMT- calcular PV [Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o PV financiado]

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV 1 2 3 ............ n

Fórmula:

PMTPV n1n

=

•

•

+

−+

ii)(1

i)(1

Exemplo: Calcular o valor a vista de um financiamento para pagamento em 05 prestações, mensais, iguais e consecutivas de $ 5000 (a primeira paga 30 dias após a contratação). A taxa de juros é de 6% a.m., no regime de juros compostos.

. 0 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 . ↓ PV= ? 1 2 3 4 5 i = 6% a.m.

Solução:

21.061,82PV 4,212363790050PV 5000PV PMTPV 0,065) 0,06(1

15 ) 0,06(1

n 1n

=⇒=→

=→

= •

•

•

•

•

+

−+

+

−+

ii)(1

i)(1

1.3) Dado PMT - Calcular FV: Dado PMT- calcular FV [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV]

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ........... n ↓ FV = ?

Fórmula:

( )

−+=

i1i1 PMTFV

n

x

Dado PMT - Calcular FV: [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV]

Fórmula:

( ) i

1i1PMTFV

n

x

−+=

3. Dona Ana quer trocar sua geladeira daqui a 4 meses. O preço da geladeira, a vista é, $ 862.03. O Gerente da loja garantiu a Dona Ana que o preço se manterá inalterado nos próximos 6 meses. A Dona Ana conseguiu encontrou uma instituição financeira que paga 5% a.m. caso ela faça 4 aplicações, mensais, consecutivas no valor de $ 200,00 por mês. Quanto a Dona Ana terá no final do período acordado, isto é, 4 meses.

Solução: Vamos ajudar a Dona Ana efetuar os cálculos para ver se ela consegue comprar sua geladeira no final daqui a 4 meses.

Solução: Calculadora HP-12C PMT = 200,00 200 CHS PMT .i = 5% a.m. 5 i .n = 4 m. 4 n [tecle] FV 862,03

.n PMT FV 1 200,00 200,00 2 200,00 200 x 1,05 = 210,00 410,00


23

3 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 630,50 4 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 220,50 x 1,05 = 231,53 862,03

Total 200,00 210,00 220,50 231,53 862,03 Podemos calcular da seguinte maneira:

FV = PMT [ (1 + i)0 + (1 + i)

1 + (1 + i)2 + (1 + i)

3 + (1 + i)4 + ... + (1 + i )

n-1 ]

FV = 200 [ (1,05)0 + (1,05)

1 + (1,05)2 + (1,05)

3 ] FV = 200 [ 1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625 ] FV = 200[4,310125] FV = 862,03 Dá muito trabalho fazer uma tabela semelhante a esta, não é mesmo? - Vamos utilizar a seguinte fórmula:

( ) ( )

862,03FV 4,310125 x200 FV 0,05

0,21550625 x200 FV

0,05

1 -1,21550625 x200 FV (5/100)

1 - 40,051 x200 FV

1 - ni1 xPMTFV

=⇒=→=→

→=→+

=⇒+

=

i

2º Exemplo: Calcular o valor de resgate, referente a aplicação de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 4000, a uma taxa de juros é de 8% a.m., no regime de juros compostos. [Dentro do conceito de termos postecipados].

0 1 2 3 4 5↑ FV = ? . ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 i = 6% a.m. Solução:

( 1 + i )n - 1 (1 + 0,08)5 - 1 FV = PMT • [-------------------- ] ⇒ FV = 4000 • [---------------------] ⇒ FV = 4000 • 5,86660096 ⇒ .FV = 23.466,40 . i 0,08 HP12-C PMT = 4000 n = 5 ( termos postecipados ) i = 8% ao mês FV = ? ⇒ FV = 23.466,40 . 1.4) Dado FV - Calcular PMT: Dado FV- calcular PMT [ Dado o valor Do montante acumulado, número de prestações e a taxa de juros, calcular o valor das prestações PMT]

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ........... n ↓ FV = ? Fórmula:

−+= •

11 n)i(

i FVPMT

Exemplo: Quanto devo aplicar por mês, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantia de $ 5000? [ considerar uma série uniforme com termos postecipados].

0 1 2 3 4 5 ↑ FV = 5000 . ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? i = 4% a.m.

Solução: .i 0,04 PMT = FV • [-------------------] ⇒ PMT = 5000 • [------------------] ⇒ PMT = 5000 • [ 0,18462711 ] ⇒ .PMT = 923,14 .

(1 + i)n - 1 (1+ 0,04)5 - 1

HP12-C FV = 5000 n = 5 ( termos postecipados ) i = 4% ao mês PMT = ? ⇒ PMT = -923,14 .

2.Prestações iguais TERMOS ANTECIPADOS: (A primeira prestação paga ou recebida no ato da contratação)

2.1. Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das prestações.


24

. 0↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? . ↓ PV 1 2 3 ............ n

Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:

Fórmula:

Exemplo:

Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos praticada pela financeira foi de 10% a.m.

. 0↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ 1 2 3 4

PV = 6000 i = 10% a.m.

(1 + i ) • i 1 n

PMT = PV • [ ---------------------- ] • ------------

(1 + i ) - 1 (1 + i ) n

Solução Utilizando a fórmula

(1 + 0,10 ) • 0,10 1 (1,10 ) • 0,10 1 5 5

PMT = 6000 • [ ------------------------- ] • -------------- ⇒ 6000 • [ -------------------- ] • ----------

(1 + 0,10) - 1 (1 + 0,10) (1,10) - 1 (1,10) 5 5

0,161051 PMT = 6000 •[ -------------- ] • 0,90909091 ⇒ 6000 •[0,26379748] • 0,90909091 ⇒ 6000•[0,23981589] = 1.438,90 0,61051

Utilizando a calculadora HP 12-C

)i()i(

i)i( PVPMT

n

n

+

−+

+= •

•• 1

111

1

Uma motocicleta está anunciada por $ 6.000,00 para pagamento a vista, ou financiada em 5 prestações iguais, mensais e sucessivas, sendo que a primeira prestação deverá ser paga no ato da compra (termos antecipados).

TECLE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa todos os registradores .g BEG [ g7 ] 0,00 BEGIN Coloca no modo "BEGIN" 6000 CHS PV -6000,00 BEGIN Entra com o valor do principal 10 i 10,00 BEGIN Entra com a taxa de juros mensal 5 n 5,00 BEGIN Entra com o prazo PMT 1.438,90 BEGIN Calcula o valor das prestações

2.2. Dado PMT - calcular PV [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das prestações.

Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:

Fórmula: (1 + i)n - 1 PV = PMT • [ ---------------------- ] • (1 + i )

(1 + i)n • i

O Sr. Zé Roberto deseja comprar uma Motocicleta que custa $ 6.000,00. A Financeira PagaBem – somente para o Sr. Zé Roberto – garantiu remunerar ao Sr. Zé, nos próximos 5 meses, caso ele efetue depósito, mensais, iguais [sem interrupção], uma remuneração de 10% a.m. Quais as parcelas mensais que o Sr. Zé Roberto deverá aplicar para que ele tenha $ 6.000,00 daqui a 5 meses. PS: Um país sem inflação.

Fazendo uso da Fórmula:

i)(1 PMTPV 1ni)(1

1ni)(1 +

= •

•

•

+

−+

Solução

6.000,00 PV 64,169865441438,89 PV(1,1)93,790786768,90143PV

(1,1)1438,90PV (1,10)1438,90PV0,10)(11438,90PV

535

0,61051

0,105(1,10)

15(1,10)

0,1050,10)(1

150,10)(1

=→=⇒=→

→=→=→+=

•••

•••

•

••

•

•

−

+

−+

0610510,


25

TECLE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa todos os registradores .g BEG [ g7 ] 0,00 BEGIN Coloca no modo "BEGIN" 1438.89535 CHS PMT -1438.89535 BEGIN Entra com o valor da parcela 10 i 10,00 BEGIN Entra com a taxa de juros mensal 5 n 5,00 BEGIN Entra com o número de parcelas PV 6.000,00 BEGIN Calcula o valor Presente

XIV. EMPRÉSTIMOS

Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo. Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando o prazo total não ultrapassa 1 ano ou 3 anos, respectivamente. Nesses financiamentos é usual a cobrança de juro simples, há 3 modalidades quanto à forma de o devedor ou mutuário resgatar sua dívida . Pagando os juros e o principal no vencimento; . Pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo o principal no vencimento. Regra geral, essa é a modalidade usada pelos bancos; . Pagando os juros e o principal por meio de prestações. É a melhor modalidade, porém pouco usada7.

Nota: . A técnica usada nos cálculos relativos aos financiamentos a curto prazo ou médio prazo é à idêntica aos descontos. Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades para resgatar a dívida: . Pagando no vencimento o capital e os juros; . pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital; . pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital.

SAC - Sistema de Amortização Constante (SAC): O Sistema de Amortização Constante, também chamado Sistema Hamburguês, foi introduzido em nosso meio, a partir de 1971, pelo SFH - Sistema Financeiro de Habitação. Neste sistema, o mutuário paga a dívida em prestação periódicas e imediatas, que englobam juros e amortizações. Sua diferença é que, a amortização é constante em todos os períodos. Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestações são constantes. (ARNOT, 2001:164-5) Sistema francês (SF): Por este sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si e periódicas. Sistema Price: Este sistema também é conhecido como "tabela price", é um caso particular do sistema francês, com as seguintes características: 1º) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática, esta taxa é dada em termos anuais; 2º) As prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa. Em geral, as amortizações são feitas em base mensal; 3º) No cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.

Sistema francês de amortização. O sistema francês de amortização é conhecido também como sistema price, pois foi inventado por Richard Price, matemático e pensador inglês que viveu entre 1723 e 1791. Este sistema leva o nome de sistema francês de amortização por ter sido adotado na França a partir do século XIX. No sistema francês, as prestações são constantes e, partindo delas, podemos preencher as demais colunas da tabela8.

Richard Price, dedicou-se ao estudo da Filosofia, Teologia e Matemática. Foi ensaísta e pensador polêmico, escrevendo sobre assuntos tão variados como moral, filosofia, política e finanças. Em 1771 publicou Observations on revertionary payments (observações sobre pagamentos com direito a devolução), obra que lança os fundamentos científicos dos estudos naturais, revolucionando a concepção das seguradoras inglesas. Sua influência não se restringe apenas à Inglaterra ou ao campo das finanças9.

Exercício: Uma empresa contrai um empréstimo de $ 50.000,00 a 12% a.a. para ser pago em cinco meses. Construa a planilha.

Consultando uma tabela para se encontrar o fator de amortização: 7 CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo : Saraiva, 2001. pp. 156-7. 8 ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira. São Paulo : Atlas, 1993. pp. 192-3. 9 ARAÚJO, op. cit. 192.


26

an i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. a5 1 = 4.853431239 → PV ÷ a51 → 50000 ÷ 4.853431239 = 10.301,99 = PMT, o valor da prestação, PMT = 10.301,99.

Para encontrar o fator de amortização pela calculadora HP12-C, vamos proceder da seguinte forma:

5 n 1 i Para cada uma unidade monetária ($) de PaYmenT [Pagamento, prestação] qual o 1 CHS PMT valor de PV? PV = 4.853431239

Para calcular o valor da prestação [direto ] pela calculadora HP12-C: 5 n 1 i 50000 CHS PV PMT? → 10.391,99

Ou ainda, pode-se utilizar a fórmula abaixo:

(1 + i)n • i (1 + 0,01)5 • 0,01 1,05101005 • 0,01 PMT = PV • [-----------------] → PMT = 50000 • [-----------------------] → PMT = 50000 • [ ---------------------- ]

(1 + i)n - 1 (1 + 0,01)5 - 1 1,05101005 - 1 0,010510101 PMT = 50000 • [ ----------------- ] → PMT = 50000 • [ 0,2060398 ] → PMT = 10.301,99 0,05101005

PMT = 50000 • 0,2060398 = 10.301,99

Veja como fica a planilha. Analisando o 1º ano. 1º) O Saldo Devedor ao final do 1º era de saldo anterior ( - ) menos a amortização: 50.000,00 - 9.801.99 = 40.198,01; A dívida após o pagamento da 1ª Prestação. [PMT = amortização + Juros]

2º) Amortização ao final do 1º era de Prestação ( - ) menos os Juros [50.000 x 0,01 = 500], logo a amortização foi PMT - Jr [ 10.301,99 - 500 = 9.801,99 ]. Acabou o segredo, é só repetir o procedimento para os demais anos. No 2º ano, SD = 40198,01 x 0,01 = 401,98, valor do juro; descontamos uma parcela da prestação [40198,01 – 9900,01 = 30.298,00], o valor da amortização igual a 9.900,01. [descontamos do principal, isto é, saldo devedor. SD = 40198,01 – 9900,01 = 30.298,00]. Continua assim até zerar o saldo devedor, como está demonstrado abaixo.

Construindo a planilha

Período Saldo Devedor (Sd) Amortização - (Am) Juros - (Jr = iSd-1) Prestação (m) (Saldo anterior - Amortiz.) PMT - Juros (Am) + (Jr) 0 50.000,00 0,00.. - -

1 50000,00-9801,99 = 40.198,01 10301,99-500,00 = 9801,99 50000,00*0,01 = 500,00 10.301,99

2 40198,01-9900,01= 30.298,00 10301,99-401,98 = 9900,01 40198,01*0,01 = 401,98 10.301,99

3 30298,00-9999,01 = 20.298,99 10301,99-302,98 = 9999,01 30298,00*0,01 = 302,98 10.301,99

4 20298,99-10099,00 = 10.199,99 10301,99-202,99 = 10099,00 20298,99*0,01 = 202,99 10.301,99

5 10199,99-10099,00 = 0,00..... 10301,99-102,00 = 10199,99 10199,99*0,01 = 102,00 10.301,99

Total 50.000,00.. 1.509,95.. 51.509,95

Na calculadora HP12-C, veja como está a situação da dívida no 2º ano. 5 n 1 i 50000 CHS PV PMT? → 10.301,99

2 f AMORT .......... 901,98 [Juros pagos até a 2ª PMT → 19.702,00 + 901,98 = 20.603,98] X ≷ Y ................19.702,00 [Amortizações pagas até a 2ª PMT → 9.801,99 + 9.900,01 = 19.702,00] Teclando RCL PV = 30.298,00; o saldo devedor ao decorrer do 3º ano.

Vamos analisar a composição da dívida utilizando a função AMORT, período a período. Vamos começar com n = 1. Damos entrada à seqüência: 5 n - 1 i - 50000 CHS PV - PMT; PMT = 10.301,99. Tecle 1 n - f AMORT [500,00 = Juros] X ≷ Y [9.801,99 = Amortização] RCL PV [ -40.198,01 = Saldo Devedor]

Tecle 1 n - f AMORT [401,98 = Juros] X ≷ Y [9.900,01 = Amortização] RCL PV [ -30.298,00 = Saldo Devedor]

Tecle 1 n - f AMORT [302,98 = Juros] X ≷ Y [9.999,01 = Amortização] RCL PV [ -20.298,99 = Saldo Devedor]

Tecle 1 n - f AMORT [202,99 = Juros] X ≷ Y [10.099,00= Amortização] RCL PV [ -10.199,99 = Saldo Devedor]

Tecle 1 n - f AMORT [102,00 = Juros] X ≷ Y [10.199,99= Amortização] RCL PV [ 0,00 = 0,00= Saldo Devedor]


27

SAC - Sistema de Amortização Constante - SAC: por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo juros sobre o saldo devedor. SAC - com prazo de carência e prazo de utilização unitário: vamos resolver um exercício com prazo de carência.

Exemplo: 1) Uma empresa faz um empréstimo de $ 300.000,00 que o banco entrega no ato. Na negociação, o banco concedeu 3 anos de carência; os juros serão pagos anualmente à taxa de 10% ao ano. O principal será em quatro parcelas anuais. Construa a planilha. Resolução: A amortização anual é:

0,1 10% juros 75.000,004

300.000,00oAmortizaçã →===

Planilha SAC - com período de carência

Ano Saque Saldo Devedor (Sda) Amortização Juros Prestação (a) (Am) (Jr) (Am) + (Jr) 0 300.000,00 300.000,00 0,00 - - 1 300.000,00 0,00 0,1*300000 = 30000 0+30000 = 30000 2 300.000,00 0,00 0,1*300000 = 30000 0+30000 = 30000 3 300000-75000 = 225000 75.000,00 0,1*300000 = 30000 30000+75000 = 105000 4 225000-75000 = 150000 75.000,00 0,1*225000 = 22500 22500+75000 = 97500 5 150000-75000 = 75000 75.000,00 0,1*150000 = 15000 15000+75000 = 90000 0,00 75.000,00 0,1*75000 = 7500 7500+75000 = 82500

Total 300.000,00 135.000,00 435.000,00

Seguir o seguinte raciocínio 1º) Do início do primeiro ano (T0) até o final do 3º ano, há 3 períodos, que corresponde à carência; Terminado o período de carência, temos a 1ª amortização de $ 75.000,00 2º) Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor do período anterior; Isto é, Ja o juro devido no período a, sendo i a taxa de juros e Sda - 1 o saldo devedor do período anterior, temos:

Ja = iSDa - 1

3º) A prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a amortização com os juros10. Exemplo: 2) Uma empresa faz um empréstimo de $ 250.000,00 que o banco entrega no ato, sem carência; os juros serão pagos anualmente à taxa de 12% ao ano. O principal será em cinco parcelas anuais. Construa a planilha.

Resolução: A amortização anual é:

250.000,00 Juros: 12% Amortização = ----------------- = 50.000,00 5 Construção da Planilha

Ano Saque Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (a) (Sda) (Aa) (Ja) (Aa) + (Ja)

0 250.000,00 250.000,00 - - - 1 200.000,00 50.000,00 30.000,00 80.000,00 2 150.000,00 50.000,00 24.000,00 74.000,00 3 100.000,00 50.000,00 18.000,00 68.000,00 4 50.000,00 50.000,00 12.000,00 62.000,00 5 0,00 50.000,00 6.000,00 56.000,00

Total 250.000,00 90.000,00 340.000,00

Pagamento no final - Sistema Amortização Americano11 No sistema americano, o pagamento do principal é efetuado no final do período do empréstimo, em uma só vez. Em geral, os juros são pagos periodicamente, porém podem ser eventualmente capitalizados e pagos em uma única vez junto com o principal (isto depende de acordo entre as partes interessadas).

Exemplo: Admita, como exemplo ilustrativo, que um empréstimo de $ 500.000,00, um cliente propõe pagar o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente os juros de 10% a.s. Construa a planilha. Construção da Planilha

Semestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (s) (Sds) (As) (Js) (As) + (Js)

0 500.000,00 0,00 0,00 0,00 1 500.000,00 0,00 50.000,00 50.000,00

10 MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São .Paulo : 2.Ed. Atlas, 1993, pp. 310-11. 11 HAZZAN, Samuel e POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. São Paulo : Saraiva, 2001, p. 149. Vide também, ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo : Atlas, 2003, pp. 370-2.


28

2 550.000,00 0,00 50.000,00 50.000,00 3 500.000,00 0,00 50.000,00 50.000,00 4 0,00 500.000,00 50.000,00 550.000,00

Total 500.000,00 200.000,00 700.000,00

XV. ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS

Até agora estudamos problemas financeiros onde um Capital emprestado ou aplicado a uma determinada taxa de juros, por um certo período de tempo, era liquidado através do pagamento ou recebimento de uma única parcela ou em uma série de pagamentos iguais, consecutivos e com periodicidade constantes.

Os principais métodos de análise de alternativas econômicas de investimento são: • NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líquido); e, • IRR - Internal Rate Return (TIR – Taxa Interna de Retorno)12.

Trabalharemos esses dois métodos, aplicados a fluxos de caixa, onde os recebimentos e pagamentos podem ter valores e prazos diferenciados. XV.1. Método do NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüído). O Método do NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido é também conhecido por Valor Atual), consiste na soma dos valores de fluxo de caixa, já descontados os juros embutidos em cada um dos valores existentes nas demais datas do fluxo. Logo, considera-se a data focal “0” do fluxo de caixa como PV [Valor Atual]. Exemplo 1: O Sr. João pretende comprar um determinado bem e está querendo saber quanto deve aplicar hoje em uma determinada instituição financeira que remunera certos títulos a uma taxa efetiva de juros compostos de 4% ao mês. Quanto deve aplicar para fazer frente a suas retiradas ao longo do tempo, segundo o fluxo de caixa abaixo?

0 ↑ 300 ↑ 500 ↑ 200 1 2 3 ↓ PV [Valor Presente Total] Resolução: O valor que se deseja encontrar consiste em determinar a soma dos VP's (Valores Presentes) de cada um dos recebimentos futuros almejados, de acordo com a taxa de juros pré-fixada junto à instituição financeira contratada. Os conceitos sobre Valor Presente, taxa de descontos e equivalência de fluxos de caixa estão absolutamente interligados.

i)(1C M ou i)(1PVFV nn +=+= ••

e

i)(1

MC ou i)(1

FVPV nn +=

+=

Temos:

i)(1

FV i)(1

FV i)(1

FVPV 33

22

11

++

++

+=

onde:

0,04)(1

200 0,04)(1

500 0,04)(1

300PV 321 ++

++

+=

CF1 = 288,46 + CF2 = 462,28 + CF3 = 177,80 CF1 + CF2 + CF3 = 928,54 288,46 + 462,28 + 177,80 = 928,54 PV = 928,54

Significa que se João desejar fazer as retiradas em epígrafe, deve aplicar na data focal 0 [Hoje] a quantia de $ 928,54, à taxa de juros compostos de 4% a.m.

Utilizando a calculadora HP12-C. [ Tecla % ] 928,54 Enter 4 [%] [37,14] + → 965,68 ⇒ Valor atualizado para o primeiro mês 300 - ⇒ Primeira retirada 665,68 4 [%] [26,63] + → 692,31 ⇒ Valor atualizado para o segundo mês

12 Vide ARAÚJO (1988), Cap. 13.Investimento e Eficiência Marginal do Capital, pp. 119-136.


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500 - ⇒ Segunda retirada 192,31 4 [%] [ 7,69] + → 200,00 ⇒ Valor atualizado para o terceiro mês 200 - ⇒ Última retirada [Valor disponível ficou zerado] Checando as variações percentuais [∆%]: 928,54 Enter 965,68 [∆%] 4,00 → ( 4%) 665,68 Enter 692,31 [∆%] 4,00 → ( 4%) 192,31 Enter 200,00 [∆%] 4,00 → ( 4%) Este é o Método do NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido), o qual tem como objetivo determinar o valor inicial ou VP na data focal 0, a partir de um fluxo de entradas e saídas de caixa ao longo do tempo, descontados a determinada taxa de juros compostos.

Na calculadora HP12-C serão utilizadas as seguintes teclas para solucionarmos problemas deste tipo:

CF0 – Corresponde ao valor do Cash Flow [Fluxo de Caixa] na data 0 (zero). Isto é, o fluxo inicial. [Nosso exemplo não tem valor representado por CF0, portanto, a primeira entrada é 0 CF0 “Zero CF0”]

CFj – Corresponde ao valor dos fluxos de caixa nas datas posteriores à data 0, conforme o exemplo acima [CF1 = 300,

CF2 = 500 e CF3 = 200]. A HP tem capacidade para, no máximo, 20 Cash Flows consecutivos de valores diferentes.

Nj – Corresponde ao número de vezes que um fluxo de caixa repete seu valor consecutivo ao longo do tempo. [A HP12-C suporta no máximo 99 repetições].

NPV – Corresponde ao valor presente líqüido de uma série de entradas e saídas de um cash flow.

IRR (Internal Rate Return) - Taxa Interna de Retorno [TIR] de um determinado fluxo de caixa.

Utilizando a calculadora HP-12C para calcular o VPL [NPV], tem-se:

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 0 g CF0 0,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 300 g CFj 300,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 500 g CFj 500,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 200 g CFj 200,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 4 i 4,00 Entra com a de juros .f NPV 928,54 Calcula o Valor Presente Líquido

Exemplo 2. O Sr. João dispõe de R$ 10.000,00 durante os próximos 3 meses. Há 3 Bancos que oferecem 3 planos diferentes ao Sr. João. O Sr. João decidiu que só aplicará seu dinheiro em um dos 3 bancos se obter uma rentabilidade mínima superior à 10% a.m. Qual das situações abaixo o Sr. João deverá optar? 1º Plano: Banco JKL S.A. Fluxo de caixa: 0 ↑ 4000 ↑ 4500 ↑ 3300 1 2 3 ↓ 10000 2º Plano: Banco KLM S.A. Fluxo de caixa: 0 ↑ 4000 ↑ 4290 ↑ 3751 1 2 3 ↓ 10000

3º Plano: Banco LMN S.A.

Fluxo de caixa: 0 ↑ 4200 ↑ 4380 ↑ 3820 1 2 3 ↓ 10000

De posse das 3 situações acima, o Sr. João desenvolveu os seguintes cálculos financeiros com sua Calculadora HP-12C para auxiliá-lo na tomada de decisão.


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Fluxo de Caixa do 1º Plano: Banco JKL S.A.:

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 g CFj 4000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4500 g CFj 4500,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3300 g CFj 3300,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00 Entra com a de juros .f NPV -165,29 Calcula o Valor Presente Líquido

O NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido) calculado foi de R$ -165,29 (-165,29). Isto é, demonstra que a aplicação de R$ 10.000,00, com as retiradas de R$ 4.000,00, R$ 4.500,00 e R$ 3.300,00, não têm o retorno esperado. A taxa de juros que rentabiliza o fluxo de caixa é menor que a taxa de atratividade desejada, 10% ao mês. Logo, não é um bom negócio para o Sr. João.

Fluxo de Caixa do 2º Plano: Banco KLM S.A.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 g CFj 4000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4290 g CFj 4290,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3751 g CFj 3300,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00 Entra com a de juros .f NPV 0,00 Calcula o Valor Presente Líquido

O NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido) calculado foi de R$ 0,00. Isto demonstra que a aplicação inicial de R$ 10.000,00, com as retiradas de R$ 4.000,00, R$ 4.290,00 e R$ 3.751,00 é de exatamente 10% ao mês. Como ele espera um retorno superior à 10%, este não é um bom negócio para ele.

Fluxo de Caixa do 3º Plano: Banco LMN S.A.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4200 g CFj 4200,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4380 g CFj 4380,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3820 g CFj 3820,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 10 i 10,00 Entra com a de juros .f NPV 308,04 Calcula o Valor Presente Líquido

O NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido) calculado foi de R$ 308,04. É a melhor das 3 situações. Demonstra que a aplicação inicial de R$ 10.000,00, com as retiradas mensais de R$ 4.200,00, R$ 4.380,00 e R$ 3.280,00, têm o maior retorno esperado. A taxa de juros que rentabiliza o fluxo de caixa é maior que a taxa de atratividade desejada, de no mínimo 10% ao mês. Logo, é o melhor negócio para o Sr. João. Resumindo, se: NPV = 0 ⇒ Taxa do Negócio = Taxa de Atratividade NPV < 0 ⇒ Taxa do Negócio < Taxa de Atratividade NPV > 0 ⇒ Taxa do Negócio > Taxa de Atratividade

XV.2. Método IRR – Internal Rate Return (TIR – Taxa Interna de Retorno). O Método IRR – Internal Rate Return (TIR – Taxa Interna de Retorno) é aquele cuja taxa torna equivalentes os capitais futuros e o capital na data focal 0. Segundo (HOJI: 2001, 170) Taxa Interna de Retorno, Método: A taxa de juros que anula o Valor Presente Líqüido é a taxa interna de retorno (TIR), ou, simplesmente, taxa de retorno. Esse método assume implicitamente que todos os fluxos intermediários de caixa são reinvestidos à própria Taxa Interna de Retorno - TIR calculada para o investimento. Entre duas alternativas econômicas diferentes, a que apresenta a maior taxa representa o investimento que proporciona maior retorno. O investimento será economicamente atraente somente se a TIR for maior do que a taxa mínima de atratividade. Exemplo 1. Em uma situação inversa, O Sr. João tomou emprestado [na situação anterior ele aplicou] a quantia de R$ 10.000,00. Ele se comprometeu a liquidar a dívida em 3 parcelas, assinando 3 Notas Promissórias durante os próximos 3 meses. Os


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valores das notas promissórias foram R$ 4.400,00, R$ 4.961,00 e R$ 2.529,00, vencíveis em 30, 60 e 90 dias respectivamente da data de contratação. De acordo com o fluxo de caixa a seguir determine a taxa mensal de juros compostos cobrada no empréstimo em questão. Fluxo de caixa: 0 ↑ 4400 ↑ 4961 ↑ 2529 1 2 3 ↓ 10000 FV = PV•(1 + i)n

e

( )ni1

FVPV

+=

Temos FV1 FV2 FV3 PV = ------------- + ------------- + ------------- (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 onde: 4400 4961 2529 10.000 = ----------------- + ----------------- + ----------------- (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3

10.000 = [ 4000 + 4100 + 1900 ] 10.000 = [ 10.000 ] Nesta situação, deve-se encontrar uma taxa única de juros ( i ) que torna o somatório dos valores presentes das prestações sejam iguais ao valor do principal emprestado na data 0. A taxa de juros que torna nulo o NPV – Net Present Value (VPL – Valor Presente Líqüido) do fluxo de caixa é conhecida como IRR – Internal Rate Return (TIR – Taxa Interna de Retorno). Como o foco de nosso curso é Matemática Financeira com o Uso da Calculadora HP-12C, a solução do exercício acima será resolvida o auxílio da mesma. Optando pela resolução do exercício por um processo manual, pode-se utilizar outros método, por exemplo, matemático, porém bastante demorado e muito complexo.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO

.f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4400 g CFj 4400,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4961 g CFj 4961,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 2529 g CFj 2529,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 .f IRR 10,00 Calcula a IRR mensal

A operação de empréstimo do Sr. João tem embutida uma taxa efetiva de juros compostos de 10,0% ao mês. Caso haja diversas comparações entre vários investimentos entre si, como no exemplo do Sr. João, o melhor investimento é aquele que com a maior IRR – Internal Rate Return (TIR – Taxa Interna de Retorno). Vejamos a solução dos casos dos bancos JKL, Banco KLM e Banco LMN, segundo este método. Fluxo 1 – Banco JKL S.A.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 g CFj 4000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4500 g CFj 4500,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3300 g CFj 3300,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 .f IRR 9,03 Calcula a IRR mensal

O Banco JKL S.A. cobra uma taxa inferior à 10% a.m. e, portanto, é uma boa opção para o Sr. João.


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Fluxo 2 – Banco KLM S.A.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO

.f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4000 g CFj 4000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4290 g CFj 4290,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3751 g CFj 3751,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 .f IRR 10,00 Calcula a IRR mensal

Nesta operação, o Banco KLM S.A. cobra exatamente 10% a.m. Fluxo 3 – Banco LMN S.A.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 10000 CHS g CF0 -10000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 4200 g CFj 4200,00 Entra com o fluxo de caixa na data 1 4380 g CFj 4380,00 Entra com o fluxo de caixa na data 2 3820 g CFj 3820,00 Entra com o fluxo de caixa na data 3 .f IRR 11,77 Calcula a IRR mensal

Esta é a pior das três opções de empréstimo para o Sr. João, pois cobra uma taxa acima de 10,0% a.m. Exemplo 2. A empresa XYZ financiou uma máquina no valor de R$ 700.000,00 para ser pago em 7 parcelas mensais, a primeira 30 dias após a contratação, sendo as 3 primeiras de R$ 100.000,00, as 2 seguintes de R$ 150.000,00, a 6ª de R$ 200.000,00 e a 7ª de R$ 300.000,00. Determine a TIR - Taxa Interna de Retorno da operação.

Fluxo de caixa (em $ 1000): 0 ↑100 ↑100 ↑100 ↑150 ↑150 ↑200 ↑300 1 2 3 4 5 6 7 ↓ 700

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa os registradoras 700000 CHS g CF0 -700000,00 Entra com o fluxo de caixa na data 0 100000 g CFj 100000,00 Entra com o fluxo de caixa na do 1º Grupo 3 g Nj 3,00 Número de vezes que este valor se repete 150000 g CFj 150000,00 Entra com o fluxo de caixa na do 2º Grupo 2 g Nj 2,00 Número de vezes que este valor se repete 200000 g CFj 200000,00 Entra com o fluxo de caixa na do 3º Grupo 300000 g CFj 300000,00 Entra com o fluxo de caixa na do 4º Grupo .f IRR 10,40 Calcula a IRR mensal

XVI. CALCULADORA HP-12C - Principais Funções e Aplicações

1. Características gerais da Calculadora Financeira HP-12C.

A Calculadora Financeira HP-12C opera com um sistema de entrada de dados conhecido como RPN (Notação Polonesa Reversa). A Calculadora Financeira HP-12C vem acompanhada de um sistema de memória contínua, mantendo os dados manipulados guardados, com a calculadora ligada ou desligada. Quando a desligamos, esses dados ficam armazenados. Possui 20 registradores de armazenamentos de dados, 05 registradores financeiros, além de registradores estatísticos e o último registro de dado operado na calculadora (Last X). As funções calendário fornecidas pela Calculadora Financeira HP-12C podem manipular dados compreendidos entre as datas de 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046.


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1.1. O que é Sistema RPN (Reverse Polish Notation) - Notação Polonesa Reversa. É outra maneira de digitar as operações. Ao invés de: 5 + 3 = 8, você digita: 5 ENTER 3 +, 8: resultado. Este sistema é muito mais rápido e eficiente que o convencional, principalmente com expressões longas. Na década de 20, do século passado, o polonês Lukasiewicz desenvolveu um sistema formal da lógica de que permitisse que as expressões matemáticas fossem especificadas sem parênteses colocando os operadores antes (notação do prefixo) ou após (notação do sufixo) os operandos, como mostramos acima. Um outro exemplo: (3 + 7) × 5 Como resolveremos a operação acima - pelas calculadoras que não utilizam o RPN? Algebricamente, resolvemos primeiro o que está em parêntesis ( 3 + 7 ) = 10, em seguida resolvemos o resultado encontrado vezes 5, portanto: 3 + 7 = 10 10 x 5 = 50. Como resolveremos com o sistema RPN? 3 Enter [ 3 resultado no visor ] 7 + [10 resultado no visor ] 5 x [50 resultado no visor, resultado da operação ]

2. Como ligar e desligar sua Calculadora Financeira HP-12C.

Para podermos começar a operar a Calculadora Financeira HP-12C pressionamos a tecla [ON] e, para desligá-la pressionamos a mesma tecla. [Funciona como Liga/Desliga]. Caso a deixamos ligada sem pressionar nenhuma tecla por um período mais longo, automaticamente, entre 8 e 17 minutos , ela se desligará.

3. Indicação de bateria fraca.

Se a bateria da calculadora está fraca, aparecerá um indicador [*], asterisco, piscando no canto inferior esquerdo. Para evitar um desgaste antecipado da bateria, deve-se evitar colocar a calculadora próximo a fontes de campos eletromagnéticos, como aparelhos de som, tesouras, autofalantes automotivos, televisores etc. cálculos sucessivos.

4. Características gerais da Calculadora Financeira HP-12C.

A Calculadora Financeira HP-12C opera com um sistema de entrada de dados conhecido como RPN (Notação Polonesa Reversa). A Calculadora Financeira HP-12C vem acompanhada de um sistema de memória contínua, mantendo os dados manipulados guardados, com a calculadora ligada ou desligada. Quando a desligamos, esses dados ficam armazenados. Possui 20 registradores de armazenamentos de dados, 05 registradores financeiros, além de registradores estatísticos e o último registro de dado operado na calculadora (Last X). As funções calendário fornecidas pela Calculadora Financeira HP-12C podem manipular dados compreendidos entre as datas de 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. 5. Testes

Existem alguns testes que você pode efetuar em sua Calculadora Financeira HP-12C para verificar o seu perfeito funcionamento. 5.1. Primeiro Teste .

Para efetuar o primeiro teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e multiplicação [x], do seguindo modo: 1º Passo: mantenha a Calculadora desligada; 2º Passo: pressione a tecla [ON]; 3º Passo: pressione a tecla [x]; 4º Passo: Solte a tecla [ON]; 5º Passo: Solte a tecla [x];

A calculadora iniciará um teste completo dos circuitos eletrônicos. Se todos os componentes da Calculadora estiverem funcionando bem, deverá aparecer a palavra RUNNING e, terminado o teste, aparecerá -8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, e todos os indicadores de estado ficarão ativados: USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM, exceto ( * indicador de bateria fraca). Caso apareça a mensagem "ERROR 9" , ou um dado diferente do expostos acima, mesmo parcial, a Calculadora necessita de reparos. 5.2. Primeiro Teste. Para efetuar o segundo teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e adição [ON], do seguindo modo: 1º Passo: mantenha a Calculadora desligada; 2º Passo: pressione a tecla [ON]; 3º Passo: pressione a tecla [+]; 4º Passo: Solte a tecla [ON]; 5º Passo: Solte a tecla [+];

É similar ao teste anterior, diverge quanto ao tempo de operação. No visor deverá apresentar também: -8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, e todos os indicadores de estado ficarão ativados: USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM, exceto ( * indicador de bateria fraca).

5.3. Terceiro Teste. Para efetuar o terceiro teste da Calculadora, utilizamos as teclas [ON] e divisão [÷], do seguindo modo: 1º Passo: mantenha a Calculadora desligada; 2º Passo: pressione a tecla [ON]; 3º Passo: pressione a tecla [÷]; 4º Passo: Solte a tecla [ON]; 5º Passo: Pressione todas as teclas da esquerda para a direita. A tecla ENTER deverá ser pressionada duas vezes, correspondente à linha 3 e a linha 4. Após pressionar todas as teclas deverá aparecer no centro do visor o número "12".


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6. Como Bloquear a Calculadora HP-12C 1º Passo: tecle g7 [BEGIN]; 2º Passo: Tecle 54 EEX; 3º Passo: Tecle ON + PMT; 4º Passo: Tecle ON + PMT (novamente); 5º Passo: Tecle 1/X. A calculadora HP-12C ficará travada. isto é, não ligará até que você tecle ON PMT. 6. 1. Como Desbloquear a Calculadora HP-12C

6.1.1. tecle ON + PMT. (A Calculadora HP-12C destravará)

6.2. O mesmo processo pode ser feito com as teclas ON + n

7. O teclado da Calculadora HP-12C A maioria das teclas da Calculadora HP-12C efetua duas ou três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres brancos impressos nas teclas. As funções alternativas de uma tecla estão impressos em amarelo acima da referida tecla e a função azul estão impressos na face oblíqua da tecla. 8. Layout do teclado da calculadora HP-12C.

9. Código de Máquina

O teclado da máquina está disposto em 4 linhas (L1, L2, L3 e L4) e 10 colunas (C1 ... C10). As teclas são representadas por um código, que é a combinação da linha com a coluna, com exceção das teclas numéricas, as quais são conhecidas por seu próprio valor. Exemplo: a tecla PV é indicada pelo código 13, isto é, Linha 1, Coluna 3. (L1,C3).

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 L1 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 L2 21 22 23 24 25 26 4 5 6 20 L3 31 32 33 34 35 36 1 2 3 30 L4 41 42 43 44 45 0 48 49 40

9.1. Teclas Brancas Função Primária.

A tecla branca tem a função primária. Quando pressionamos qualquer tecla sem os prefixos [f] ou [g] a calculadora executa o que está impresso em cor branca na referida tecla.

9.2. Teclas Amarelas Função Secundária Para indicarmos a função secundária, alternativa, impressa em amarelo acima da tecla, pressionamos a tecla amarela, prefixo [f], em seguida pressionamos a tecla da função desejada.

10. Operações aritméticas simples Teclas + , . - , . x e . ÷ . Exemplo: 5 + 10 = ?

Solução: Calculadora HP-12C. Tecle Visor Significado

1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 3) 5 Enter 5,00 Entra com o primeiro número 4) 10 10,00 Entra com o segundo número 5) + Entra com a operação desejada (Adição) 6) 8 15,00 Resultado de 5 + 10

11. Operações aritméticas em cadeia Exemplo: 15 + 10 - 8 = ?


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) 15 15, Entra com o primeiro número 3) Enter 15,00 Separa o primeiro do segundo número 4) 10 10, Entra com o segundo número 5) + 25,00 Efetua a primeira operação (Adição) 6) 8 8, Entra com o segundo número 7) - 17,00 Resultado final

12. Potenciação - Tecla yx . É utilizada para elevar qualquer valor na base y a qualquer potência x (expoente).



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1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 3) 4 Enter 2 yx 16,00 Calcula 42 4) 1,25 Enter 1 Enter 360 ÷ yx 1,00062 Calcula 1,25 1/360 5) 3 Enter 4 yx 81,00 Calcula 34 6) 1.02532 Enter 12 yx 35,00 Calcula 1.02532 à 12 ª Potência


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13. Inverso de um número - Tecla 1/x . É utilizada para calcular valor inverso de um número, isto é, divide o valor apresentado no visor por 1.


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 3 0,000 Fixa 3 casas decimais 3) 5 1/x 0,200 Calcula 1/5 4) 225 Enter 2 1/x yx 15,000 Calcula 225 1/2 5) 15 Enter 12 1/x yx 1,253 Calcula 15 1/12

14. Raiz quadrada - Tecla √x . É utilizada para calcular a raiz quadrada do número apresentado no visor. Exemplo: √36; √81.


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 2) 36 g √x 6,00 Calcula √36 3) 81 g √x 9,00 Calcula √81

15. Logaritmo e Antilogaritmo Natural - Teclas LN . e ex . Com a tecla LN , calcula-se o logaritmo natural do

número apresentado no visor e com a tecla. ex . o antilogaritmo natural (base e = 2.71828818.... número irracional), este conhecido logaritmo neperiano, (John Napier, autor), também chamado Sistema de Logaritmos Naturais. Para calcularmos logaritmos decimais, base 10, vamos - Uma vez que sua HP só tem LN - Vamos aplicar a seguinte fórmula:

LN(10)LN(x)Log(x) =

LN5 Calcular log5 log5 = ---------- = 0,69897 LN10


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 3) 5 g LN 1,6094379 Calcula LN de 5 4) 10 g LN 2,3025851 Calcula LN de 10 5) ÷ 0,698970 Calcula log, de 5 na base 10

16. Antilogatimo Natural - Tecla ex . A função antilogaritmo faz o cálculo inverso ao do logaritmo (neperiano, LNx). Tendo-se o logaritmo obtém-se o número. Exemplo: LN5 = 1.6094379.


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 3) 1,609437912 g ex 5,00 Calcula LN de 1,609437912

17. Fatorial - Tecla n! . - Essa função é muito utilizada nos cálculos de análise combinatória.


1) CLX 0,00 Limpam os valores do visor 2) f 2 0,00 Fixa 2 casas decimais 2) 5 g n! 120,00 Calcula Fatorial de 5 = 5x4x3x2x1 3) 8 g n! 40..320,00 Calcula Fatorial de 8 = 8x7x6x5x4x3x2x1

18. PERMUTAÇÃO: Exemplos de aplicações: Quantos anagramas podemos formar com a palavra Marco. [ Pn = n! ] - {P5 = 5x4x3x2x1 = 120}

ARRANJOS .n! An,m = ------------- (n - m)!

COMBINAÇÕES .n! Cn,m = ---------------- (n - m)! m!


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19. Teclas D.MY , . M.DY , .∆DYS e . DATE . 19.1. Tecla D.MY , Estabelece a função calendário no formato dia (day), mês (mounth) e ano (year). Deve ser usada em conjunto com a tecla g e em seguida a tecla D.MY . Exemplo: hoje 05/09/2001 marquei uma consulta médica para o dia 22/10/2001. Quantos dias transcorrerão de hoje até a data da consulta. 19.2. Tecla DATE , Efetua o cálculo de uma data futura ou passada em relação aos dias a decorrer ou decorridos, mostrando o dia da semana da referida data. Exemplo: hoje 05/09/2001, apliquei uma certa quantia em título, por um prazo de 65 dias. Quando vencerá o título e em qual dia da semana. Atenção: O dígito que aparece à direita, refere ao dia da semana. 1- Segunda-feira; 2- Terça-feira; 3- Quarta-feira; 4- Quinta-feira; 5- Sexta-feira; 6- Sábado; 7- Domingo

Caso a operação desejada seja do passado, use a tecla CHS após o número de da operação. Calcular o montante de um principal de $5.000 aplicado, à taxa de juros compostos de 5% a.m., durante 6 meses. 20. Registradores de armazenamento - Memórias A calculadora HP-12C armazena números em suas memórias denominadas registradores. Existem diversos registradores, os quais veremos a seguir. Registradores da Pilha Operacional: São 04, "X, Y, Z e T". São utilizados para armazenar os resultados intermediários durante a realização dos cálculos. Para entendermos como eles são utilizados, vamos imaginá-los em forma de uma pilha de tijolos, isto é, um sobre o outro.

. T . T

. Z .

. Y .

. X Neste fica armazenado os últimos números mostrados no visor.

Solução: Calculadora HP-12C. f FIN - Apagam os registradores financeiros 5000 CHS PV - Entra com Principal com sinal negativo 5 i - Entra com a taxa de juros 6 n - Entra com o número de períodos FV → 6700,48 - Calcula o Montante (Valor Futuro)

Solução: Calculadora HP-12C. Tecle Visor Signficado 1) g D.MY 0,00 D.MY Mostra formato dia, mês e ano. 2) f 6 0,000000 Fixa 6 casas decimais após a vírgula 3) 5.092001 Enter 5.092001 Entra com a primeira data 4) 22.102001 22.102001 Entra com a Segunda data 5) g ∆DYS 47,000000 Número de dias decorridos

Solução: Calculadora HP-12C. Tecle Visor Signficado 1) g D.MY 0,00 D.MY Mostra formato dia, mês e ano. 2) 5.092001 Enter 5.092001 Entra com a primeira data 3) 65 65, Entra com o prazo desejado 4) g DATE 10, Calcula da data desejada

Solução: Calculadora HP-12C. T 0 Z 0 Y 0 X 4 Teclas 4 Enter 5 + CLX Função Introduz o

nº 4 no visor

Repete o nº 4 em Y

Substitui o nº 4 em X

por 5

Completa a operação

efetuando X+Y

Limpa o visor (X)

Solução: Calculadora HP-12C. T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 15 15 0 0 Y 0 9 9 0 15 3 3 15 0 X 9 9 6 15 3 3 2 6 9 Teclas 9 Enter 6 + 3 Enter 2 X -

Vamos a um exemplo: Exemplo: 4 + 5 = 9 Outro exemplo: Exemplo: (9 + 6) - (3 x 2) = 9 Atenção: a tecla X ≷ Y Permuta os valores contidos nos registradores X e Y da pilha operacional. Pressionando a tecla . R↓ . (Roll down, girar para baixo), o conteúdo, registrados na pilha operacional, cada um deles é copiado para o próximo regist6rador inferior. Assim, o conteúdo que estava no registrador X vai para o registrador T. Registradores de Armazenamento: Conhecidos por memórias, ali são armazenados dados. A HP-12C dispõe de 20 memórias, assim distribuídos:

• R0 a R9 - Registradores de 0 a 9 • R .0 a .9 - Registradores de .0 a .9


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Para armazenar um número na memória, utilizamos a tecla . STO seguida das teclas ( 0 a 9 ou .0 a .9). Exemplo: a) 30 . STO 1 (O número 30 será armazenado na memória 1) b) 40 . STO .3 (O número 40 será armazenado na memória .3)

Para saber o número de memórias disponibilizadas para uso tecle . g . MEM . Caso a sua calculadora não tenha nenhum programa aparecerá a seguinte indicação: P - 08 r - 20. Esta indicação significa que a HP-12C possui 08 passos de programação tomados (padrão da HP-12c) e estão livres para uso 20 memórias.

Para recuperar os dados armazenados na memória - tecla . RCL esta tecla serve para recuperar os dados armazenados na memória disponibilizando-os no visor. Quando teclarmos . RCL 1, o número que armazenamos, exemplo a, aparecera no visor: 30, se teclarmos . RCL .3, aparecerá no visor o número 40, exemplo b. Observação: para limpar uma única memória basta armazenarmos 0 em seu conteúdo. Não se esqueça, quando teclamos f CLX, apagamos todos os registradores.

Registrador [ LSTX ]: "Último X" - utilizado em conjunto com a tecla g "azul'. Recupera o último "input", último valor.

Registradores Financeiros: n , . i , . PV , . PMT e FV . neles são armazenados os dados para execução de cálculos financeiros

Tecla. n Armazena o tempo - prazo -; Tecla . i Armazena a taxa ( i ÷ 100); Tecla . PV Armazena o Present Value - Valor Presente - Capital inicial -; Tecla . PMT Armazena o valor da prestação (PayMentT); Tecla . FV Armazena o Future Value - Valor Futuro - Montante.

Tecla. CF0 Armazena o valor de um fluxo de caixa na data zero, isto é, o fluxo de caixa inicial; Tecla . CFj Armazena o valor de um fluxo de caixa nas datas posteriores à data zero, isto é, os fluxos de caixa nos

momentos seguintes ao investimento ou empréstimo inicial; Tecla . Nj Armazena o número de vezes que um fluxo de caixa repete seu valor consecutivamente ao longo do tempo; Tecla . NPV Armazena o valor presente líquido (Net Present Value) de uma série de entradas e saídas de um fluxo de

caixa, descontados a determinada taxa de juros compostos; Tecla . IRR Armazena a Taxa Interna de um fluxo de caixa.

Observações: CF: Cash Flow.

21. Principais Funções Estatísticas: A calculadora HP-12C calcula facilmente a média aritmética de uma duas variáveis (X e Y). Calcula o desvio padrão de (X e Y) coeficiente de correlação. Podemos também estimar uma reta, (Regressão Linear), através do [MMQ - Método dos Mínimos Quadrados], do tipo Y = a + bX. { Há mais recursos a serem utilizados }. Entrada de Dados - teclas Σ + , . Σ - .. A Tecla Σ+ é utilizada para entrar com os dados e a tecla . Σ - .. para apagar um dado, para correção. Os dados, quando "inputados" um par X, Y [Imagina um plano cartesiano], São armazenados nos registradores n, ΣX; ΣX2; ΣY; ΣY2 e ΣXY. . Para Recuperá-los utilizamos as teclas RCL1 n; . RCL2 ΣX; RCL3 ΣX2; .RCL4 . ΣY; . RCL5 ΣY2 . RCL6 ΣXY

Cálculos de: Média Aritmética: X e Y - teclas g X , média aritmética (X e Y): teclas g X W média ponderada. Teclas . g . s ; Desvio padrão: de X e Y;;;Coeficiente de Correlação tecla: t . xr .

XVII. GLOSSÁRIO

Atual, Valor Atual: Quando o título é negociado antes do seu vencimento, deverá ser obtido um desconto. Chama-se valor atual a diferença. A = N - d (1)

Desconto: Todo título de crédito (uma nota promissória, uma letra de câmbio etc.) tem uma data de vencimento, porém para os títulos resgatados antecipadamente, pode-se obter um abatimento, que é denominado por: desconto.

Desconto Comercial: Quando o abatimento incide sobre o valor nominal do título. Seu cálculo é semelhante ao efetuado em juros simples, mudando apenas o valor da aplicação (C) para o valor nominal (N). Chamamos de d, o desconto. d = Nin (2)

Desconto Racional: É calculado sobre o valor atual. De maneira semelhante ao cálculo do desconto comercial, podemos escrever: dr = Ain (3)

Fluxo de caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa física por um determinado período de tempo. Sua representação consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo, a partir de um determinado instante inicial (origem) “dia, mês, ano etc.). As entradas de dinheiro são indicadas por setas indicadas para cima, as saídas, por setas indicadas para baixo.

Entrada ↑ ( + ) R$ . t0 t1 ↓ ( - ) R$ Saída

Cálculo do Valor Atual: Substituindo na expressão (1) respectivamente os descontos comercial (2) e racional (3), obtemos as seguintes fórmulas: a) desconto comercial b) desconto racional A = N - Nin A = Ain


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in1

N A ) in - N(1 A

+==

Juro: É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

Juro simples: É aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

Juro composto: É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Montante de uma aplicação (ou empréstimo): É a soma do capital com o juro obtido pela aplicação.

Saldo médio: É a média ponderada dos créditos de conta corrente, tomando como pesos a permanência de cada crédito constante. O divisor (soma dos pesos) é sempre o número de dias do mês.

Taxa de Juros: É o valor do juro numa unidade de tempo, expresso em porcentagem.

Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere.

Taxa Efetiva: é aquela que realmente é apurada (paga).

Taxas Proporcionais: são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmo capital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais.

Valor Nominal: É o valor de face, isto é, a importância declarada no título a ser paga na data do seu vencimento.

XVIII. Abreviaturas Usadas

i = do inglês Interest , é usado para representar a taxa de juros envolvidos em quaisquer operações financeiras.

C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira.

M = do inglês aMount , é usado para representar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os juros.

n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão: "levou n dias para devolver o dinheiro..."

a.a. = abreviação usada para designar ao ano

a.b. = abreviação usada para designar ao bimestre

a.d. = abreviação usada para designar ao dia

a.m. = abreviação usada para designar ao mês

d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira.

N = do inglês Nominal, é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro.

A = do inglês Actual, é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em uma determinada data.

V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades

T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades

an i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos.

Sn i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos.

ANEXO I

ABAMEC: Associação Brasileira dos Analistas de Mercado de Capitais, sediada no Rio de Janeiro.

ACC: Adiantamento sobre contratos de câmbio É a antecipação do preço da moeda estrangeira que o banco negociador das dívidas concede ao exportador, amparado por uma linha de crédito externa, intermediada pelo banco negociador, que é autorizado a operar em câmbio.

ACE: Adiantamento sobre cambiais entregues. É a antecipação de capital que ocorre quando a mercadoria já está pronta e embarcada, podendo ser solicitada em até 60 dias após o embarque.

Aceite: Contrato firmado quando o sacado (pessoa física ou jurídica) de uma letra de câmbio a prazo escreve acima da assinatura a palavra "aceite" e determina a data do pagamento, tornando-se o aceitante (responsável pelo pagamento no vencimento).

Adelic: Operação financeira com duração de um dia, na qual aplica-se dinheiro a uma taxa previamente combinada entre as partes, sendo lastreada em títulos públicos federais e liquidada financeiramente através de um cheque .

ANBID - Associação Nacional dos Bancos de Investimento: Entidade formada por várias instituições financeiras com sede no Rio de Janeiro.

Âncora cambial: Instrumento de Política Econômica que tem por função atrelar a moeda nacional a uma moeda estrangeira forte (comumente o dólar americano), buscando a estabilização, em termos de câmbio, da moeda nacional.

ANDIMA: Sigla para Associação Nacional das Instituições do Mercado Aberto. Reúne bancos comerciais, múltiplos e de investimento, sociedades corretoras e distribuidoras de valores.

Arbitragem: É uma operação pela qual é possível obter lucros aproveitando-se de imperfeições momentâneas do mercado e distorções de preço, sem qualquer análise fundamentalista.

Banco Central: Instituição financeira governamental que funciona como "o banco dos bancos" e do próprio governo. Destina-se a assegurar a estabilidade da moeda e o controle do crédito num país.


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Banco comercial: Instituição de propriedade privada habilitada para receber depósitos à vista e a prazo. Efetua empréstimos e possui outros ativos financeiros (obrigações e títulos financeiros de curto prazo, como Letras do Tesouro). Tem que ser habilitado pelo BACEN.

Banco de Investimento: Instituição que busca obter lucros com a negociação de ações, obrigações e outros valores.

Banco múltiplo: Nome dado às instituições financeiras que operam com mais de um tipo de carteira. De acordo com as regulamentações do Conselho Monetário Nacional (CMN) e do Banco Central, a designação de banco múltiplo cabe aos bancos com pelo menos duas das seguintes carteiras, uma delas devendo ser necessariamente comercial ou de investimento: (i) carteira comercial; (ii) de investimento (ou de desenvolvimento, no caso de banco público); (iii) de rédito imobiliário; (iv) de crédito, financiamento e investimento; (v) de arrendamento mercantil.

Bancos de desenvolvimento: São instituições financeiras controladas pelos governos estaduais que atuam com o objetivo de fornecer crédito a empresas estabelecidas em seus estados.

Banco de Títulos CBLC - BTC: Serviço de empréstimo de títulos, disponível por meio do sistema eletrônico, no qual os participantes da Custódia Fungível da Câmara Brasileira de Liquidação e Custódia (CBLC ) , atuando como doadores e tomadores, podem registrar suas ofertas, bem como efetuar o fechamento de operações de empréstimo.

Banco Mundial: Criado em 1944, o Banco Mundial rege, ao lado do GATT (que deu origem à Organização Mundial de Comércio), o sistema financeiro internacional.

CC5: São as contas correntes mantidas por pessoas físicas e jurídicas que não residem no Brasil. Em momentos de crise, grande parte dos recursos saem por essas contas.

CDB - Certificado de Depósito Bancário: É um título de captação de recursos do setor privado, cujas taxas são expressas em % ao ano. É o mais procurado pelo fato de ser transferível por endosso nominativo, ou seja poder ser vendido a qualquer hora dentro do prazo contratado com pequeno deságio. É conhecido como depósito a prazo. A medida provisória 542 do Plano Real estabelece que, para os títulos pré-fixados, o prazo mínimo é de 30, 60 ou 90 dias. Para os títulos indexados em TR , o prazo mínimo é de 120 dias.

CDC – Crédito Direto ao Consumidor: é o financiamento pessoal concedido, pelas próprias vendedoras ou pelas financeiras, com o objetivo de adquirir qualquer bem de consumo ou serviço. O bem obtido pelo consumidor será pago com sua renda futura. Os cartões de crédito também são uma forma de CDC.

CDI – Certificado de Depósito Interbancário. São operações realizadas exclusivamente por bancos, fechadas por meio eletrônico e registradas nos computadores das instituições envolvidas na operação e nos terminais da CETIP. É uma operação de empréstimo entre duas partes onde quem toma emprestado precisa de liquidez e quem empresta deseja o rendimento, que pode ser uma taxa fixa ou variável. Geralmente são operações de apenas um dia. É usado como um referencial para o custo do dinheiro e ainda como benchmark para fundos de investimento dedicados à renda fixa.

CETIP – Central de Custódia e Liquidação de Títulos. É onde são custodiadas, registradas e liquidadas financeiramente todas as operações feitas com títulos municipais e estaduais e papéis privados. Todas as instituições que negociam estes papéis têm computadores ligados aos terminais da CETIP.

CMN (Conselho Monetário Nacional): O CMN é um órgão normativo responsável pela fixação das diretrizes da política Monetária, Cambial e Creditícia do País, de forma à compatibilizá-las com as metas econômicas do Governo Federal. Seu órgão executor é o Banco Central. Atualmente o CMN é composto pelo Presidente do Banco Central e pelos Ministros da Fazenda e do Planejamento.

Commercial Paper: É a emissão de notas promissórias, de curto prazo, por empresas de grande porte e reduzido risco de crédito. Os papéis são vendidos não só pelas empresas aos investidores, mas também podem ser emitidos via corretora. Desse modo, as empresas podem conseguir recursos a um custo menor que os juros bancários.

Concordata: Medida na qual um recurso jurídico é concedido à empresa insolvente para evitar ou suspender sua falência. Desse modo, a empresa pode continuar com suas atividades, contanto que liquide suas dívidas dentro do prazo estabelecido judicialmente. Diferencia-se, por conseguinte, da falência, quando a empresa cessa todas as atividades.

COPOM- Comitê de Política Monetária do Banco Central: É a instituição responsável pela condução da política monetária do país. Se reúne mensalmente para avaliar o cenário macroeconômico e decidir sobre o rumo da taxa de juros.

Custódia: É o serviço de guarda de ativos prestado por uma instituição autorizada. A instituição custodiante é responsável por informar diariamente ao cliente suas posições através do envio de extratos de custódia. É de sua responsabilidade ainda informar e distribuir ao cliente os proventos que o ativo proporciona, como dividendos e bonificações, através do envio de extratos.

CVM: Comissão de Valores Mobiliários. - É o principal órgão do Sistema Financeiro Nacional, criado pela Lei 4.595 de 1964. Determinada a sua competência quanto a ser órgão disciplinador do Mercado de Capitais pela Lei 4.728 de 14 de julho de 1965, o Conselho Monetário Nacional também substitui o Conselho da Superintendência da Moedas e do Crédito (SUMOC), e tem como finalidade formular a política da moeda e do crédito. Tem por finalidade a fiscalização e a regulação do mercado de títulos de renda variável, tendo, entre outras as atribuições de assegurar o funcionamento eficiente e regular os mercados de bolsa e balcão, e proteger os títulos de valores mobiliários e os investidores do mercado.

Debêntures: Título que representa empréstimo a uma S.A, rendendo juros e correção monetária e garantido pelo ativo da empresa e com preferência para o resgate sobre quase todos os outros débitos. Pode ser emitido em duas modalidades: nominativa- endossável, e em dois tipos; simples ou debênture conversível em ações.

Deságio: É o desconto no preço de um título. Se o papel vale R$1mil na data de resgate, o investidor compra por R$ 950 e ganha a diferença, além dos juros e correção monetária ou correção cambial.

Desconto de duplicata: Operação de crédito para empresas. O banco empresta dinheiro para a empresa e recebe duplicatas, de clientes desta empresa, como garantia da operação. Se alguma duplicata deixar de ser paga, regra geral, cabe à empresa que entregou as duplicatas pagar a dívida e depois ir tentar recuperar sua perda diretamente com seu cliente.

Dívida Mobiliária: Dívida que resulta de empréstimos tomados junto ao mercado financeiro, mediante a emissão e venda de títulos públicos, como, por exemplo, as Letras do Tesouro.

Fundo de Renda Fixa: A carteira dos fundos de renda fixa, pela própria legislação, é basicamente formada por CDBs, RDBs, debêntures e títulos públicos federais. Sinônimo de FIF - RF.


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Fundos de Investimento: Organismos de coleta de poupança e de aplicação, em que o capital variável é aberto ao público, e o valor dos títulos possuídos por cada participante é determinado pela relação entre o total do ativo e o número de quotas, e não diretamente pelo mercado.

Fundos DI: Forma sua carteira com CDBs e realiza operações no mercado futuro de juros (CDI). São fundos cuja performance acompanha a performance do mercado de juros.

Fundos Hedge: Modalidade de fundo de investimento que opera em todos os mercados, normalmente através de instrumentos derivativos.

Fundos Imobiliário: Fundo de investimento constituído sob a forma de condomínio fechado, cujo patrimônio é destinado a aplicações em empreendimentos mobiliários. As quotas desses fundos, que não podem ser resgatadas, são registradas na CVM, podendo ser negociadas em bolsa de valores ou no mercado de balcão.

Fundos Mistos: Fundo de investimento que tem em sua carteira ativos de renda fixa e também de renda variável.

Hot Money: Literalmente, dinheiro quente. São aplicações em títulos ou câmbio atraídas por elevadas taxas de juros ou por grandes diferenças cambiais. São operações de curtíssimo prazo, podendo deslocar-se de um mercado para outro com grande rapidez, o que pode provocar grande turbulência no mercado financeiro de um país

IOF - Imposto sobre Operações Financeiras: incide sobre as operações de crédito e seguro realizadas por instituições financeiras e seguradoras.

Juro/Interest: Remuneração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao proprietário do capital emprestado. Uma taxa de juros, quando eficiente, deve remunerar: - o risco envolvido no investimento: de investimentos mais arriscados deve-se exigir taxas de juros proporcionalmente maiores; - as expectativas inflacionárias, que representam a perda do poder aquisitivo; - o lucro exigido pelo emprestador, que representa uma compensação pela não aplicação do dinheiro em outro investimento; - os diversos custos administrativos envolvidos na operação.

Juro Bancário: A taxa de juros cobrada pelos bancos nas operações efetuadas junto aos clientes varia com o tipo de operação realizada.

Juros compostos: Termo utilizado no mercado financeiro para designar os juros que incidem não só sobre o montante inicial como também sobre os juros incidentes sobre esse montante.

Juros Exatos: São aqueles incidentes tomando-se por base o ano de 365 dias.

Juros Flutuantes: Vigentes no mercado no momento do pagamento dos juros das dívidas contraídas.

Juros Futuros: São os contratos negociados na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F) em que os investidores apostam na tendência das taxas no futuro.

Juros Imputados: Juros considerados efetivamente pagos, apesar de não ter havido um desembolso real em dinheiro para efetivá-lo.

Juro Nominal: É o juro correspondente ao empréstimo ou financiamento, incluindo a correção monetária do montante emprestado.

Juros Ordinários: São aqueles incidentes tomando-se por base o ano de 12 meses, de trinta dias cada, ou um ano de 360 dias.

Juro real: Juro correspondente a um empréstimo ou financiamento sem incluir a correção monetária do montante emprestado. Em condições de inflação zero, os juros real e nominal são iguais.

Juro Real: É o juro cobrado ou pago sobre o empréstimo ou financiamento, sem contar a correção monetária do montante emprestado.

Juros de Mora: Juros decorrentes da mora, isto é, o atraso no pagamento de algo, em conseqüência de ato do devedor.

Juros simples: Termo utilizado no mercado financeiro para designar os juros que incidem apenas sobre o montante inicial de um empréstimo ou investimento.

Juros sobre capital próprio: Instrumento pelo qual a empresa remunera o capital do acionista até o valor da Taxa de Juros de Longo Prazo. O valor desembolsado pela empresa é considerado como despesa, o que diminui o Imposto de Renda a ser pago, por ser descontado do lucro tributável. Sobre o valor recebido pelo acionista incide Imposto de Renda de 15%. Foi criado em 1996, para compensar o fim da correção monetária do balanço das empresas.

ANEXO II

Conjuntos numéricos: o conhecimento dos conjuntos é de grande valia para o estudo na área da matemática pura ou aplicada.

N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números naturais; N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números inteiros não negativos; Z = {... -n, -3, -2, -1 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números inteiros'; Q = {x|x = p/q onde p, q ∈ Z ∧ q ≠ 0} - conjunto dos números racionais, isto é, todos os números que podem ser

representados por fração natural decimal correspondente; R = Conjunto dos números reais - {números reais} ∪ {números irracionais}; C = Conjunto dos números complexos;

Observação: por convenção, um asterisco (*) retira o zero de qualquer conjunto numérico. Um sinal de (+) ou (-) à direita, na parte superior ou inferior da letra que refere ao conjunto, indica números positivos ou negativos. Z* = Conjunto dos números inteiros sem o zero; Q* = Conjunto dos números racionais sem o zero; R* = Conjunto dos números reis sem o zero; Z+ = Conjunto dos números inteiros positivos com o zero;


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Z- = Conjunto dos números negativos positivos com o zero;

Q*− = Conjunto dos números racionais positivos sem o zero;

Q- = Conjunto dos números racionais negativos com o zero;

R+ = Conjunto dos números reais positivos com o zero;

R*− = Conjunto dos números reais negativos sem o zero;

Símbolos

∪ União ∩ Interseção ⊂ Contido ⊃ Contém ∈ Pertence ∉Não pertence ! Fatorial < menor que > Maior que ≥ Maior ou igual ≤ Menor ou igual + Adição - Subtração ÷ Divisão × Multiplicação ≅ Aproximado ∃ Existe ∀ Qualquer ∴ Portanto Σ Somatória π Produtório


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XIX. Tabelas para contagem de dias

TABELA-1

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS

Se você não dispõe de uma calculadora que faça a contagem de dias, podemos fazê-los por meio de uma Tabela

Como a apresentada abaixo.

Obs.: Se o ano for bissexto e uma das datas cair antes e a outra após o dia 28 de fevereiro, acrescente mais um dia

Ao resultado obtido a partir da tabela.

CÁLCULO PARA CONTAGEM DE DIAS (PARA JUROS E INVESTIMENTOS)

Dias Dias

Do mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez do mês

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 31 31 90 151 212 243 304 365 31

Como usar esta tabela:

Quantos dias decorreram entre 12 de fevereiro a 20 de abril do mesmo ano.

Em frente ao número 12 (dias do mês), deslocando até Fev. (12/Fev.), encontra-se o nº 43: em frente ao nº 20

(dias do mês), deslocando até Abr. (20/Abr.), encontra-se o nº 110. A diferente entre os dois nºs (110 - 43) é

Igual a 67, que são os dias decorridos entre as duas datas.


44

TABELA-2

CALENDÁRIO PERMANENTE 1901 – 2036 A - ANOS B – MESES 1901 - 2036 J F M A M J J A S O N D 25 53 81 09 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 26 54 82 10 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 27 55 83 11 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 28 56 84 12 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 01 29 57 85 13 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 02 30 58 86 14 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1 03 31 59 87 15 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 04 32 60 88 16 5 1 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 05 33 61 89 17 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 06 34 62 90 18 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 07 35 63 91 19 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 08 36 64 92 20 3 6 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 09 37 65 93 21 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 10 38 66 94 22 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 11 39 67 95 23 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 12 40 68 96 24 1 4 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 13 41 69 97 25 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1 14 42 70 98 26 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 15 43 71 99 27 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 16 44 72 00 28 6 2 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 17 45 73 01 29 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 18 46 74 02 30 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 19 47 75 03 31 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1 20 48 76 04 32 4 0 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 21 49 77 05 33 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 22 50 78 06 34 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 23 51 79 07 35 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 24 52 80 08 36 2 5 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1

C - Dias da semana Exemplos D S T Q Q S S Vamos descobrir em qual dia da semana 1 2 3 4 5 6 7 na caiu o dia 09 julho de 1980. Localize 8 9 10 11 12 13 14 na tabela A o ano de 1980 e siga à direita 15 16 17 18 19 20 21 em linha reta, na tabela B, até o número 22 23 24 25 26 27 28 Que se encontra na coluna do mês de julho 29 30 31 32 33 34 35 (2). Soma-se o dia procurado (09) a esse 36 37 Número (2), tem-se 11 que na Tabela C corresponde a quarta-feira.


45

XX. TABELAS FINANCEIRAS

TABELA-1

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

n ) i1 ( +

1 1,01000000 1,02000000 1,03000000 1,04000000 1,05000000 1,06000000 1,07000000 1,08000000 1,09000000 1,10000000

2 1,02010000 1,04040000 1,06090000 1,08160000 1,10250000 1,12360000 1,14490000 1,16640000 1,18810000 1,21000000

3 1,03030100 1,06120800 1,09272700 1,12486400 1,15762500 1,19101600 1,22504300 1,25971200 1,29502900 1,33100000

4 1,04060401 1,08243216 1,12550881 1,16985856 1,21550625 1,26247696 1,31079601 1,36048896 1,41158161 1,46410000

5 1,05101005 1,10408080 1,15927407 1,21665290 1,27628156 1,33822558 1,40255173 1,46932808 1,53862395 1,61051000

6 1,06152015 1,12616242 1,19405230 1,26531902 1,34009564 1,41851911 1,50073035 1,58687432 1,67710011 1,77156100

7 1,07213535 1,14868567 1,22987387 1,31593178 1,40710042 1,50363026 1,60578148 1,71382427 1,82803912 1,94871710

8 1,08285671 1,17165938 1,26677008 1,36856905 1,47745544 1,59384807 1,71818618 1,85093021 1,99256264 2,14358881

9 1,09368527 1,19509257 1,30477318 1,42331181 1,55132822 1,68947896 1,83845921 1,99900463 2,17189328 2,35794769

10 1,10462213 1,21899442 1,34391638 1,48024428 1,62889463 1,79084770 1,96715136 2,15892500 2,36736367 2,59374246

11 1,11566835 1,24337431 1,38423387 1,53945406 1,71033936 1,89829856 2,10485195 2,33163900 2,58042641 2,85311671

12 1,12682503 1,26824179 1,42576089 1,60103222 1,79585633 2,01219647 2,25219159 2,51817012 2,81266478 3,13842838

13 1,13809328 1,29360663 1,46853371 1,66507351 1,88564914 2,13292826 2,40984500 2,71962373 3,06580461 3,45227121

14 1,14947421 1,31947876 1,51258972 1,73167645 1,97993160 2,26090396 2,57853415 2,93719362 3,34172703 3,79749834

15 1,16096896 1,34586834 1,55796742 1,80094351 2,07892818 2,39655819 2,75903154 3,17216911 3,64248246 4,17724817

16 1,17257864 1,37278571 1,60470644 1,87298125 2,18287459 2,54035168 2,95216375 3,42594264 3,97030588 4,59497299

17 1,18430443 1,40024142 1,65284763 1,94790050 2,29201832 2,69277279 3,15881521 3,70001805 4,32763341 5,05447028

18 1,19614748 1,42824625 1,70243306 2,02581652 2,40661923 2,85433915 3,37993228 3,99601950 4,71712042 5,55991731

19 1,20810895 1,45681117 1,75350605 2,10684918 2,52695020 3,02559950 3,61652754 4,31570106 5,14166125 6,11590904

20 1,22019004 1,48594740 1,80611123 2,19112314 2,65329771 3,20713547 3,86968446 4,66095714 5,60441077 6,72749995

TABELA-2

n ) i1 ( 1

+

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 0,99009901 0,98039216 0,97087379 0,96153846 0,95238095 0,94339623 0,93457944 0,92592593 0,91743119 0,90909091

2 0,98029605 0,96116878 0,94259591 0,92455621 0,90702948 0,88999644 0,87343873 0,85733882 0,84167999 0,82644628

3 0,97059015 0,94232233 0,91514166 0,88899636 0,86383760 0,83961928 0,81629788 0,79383224 0,77218348 0,75131480

4 0,96098034 0,92384543 0,88848705 0,85480419 0,82270247 0,79209366 0,76289521 0,73502985 0,70842521 0,68301346

5 0,95146569 0,90573081 0,86260878 0,82192711 0,78352617 0,74725817 0,71298618 0,68058320 0,64993139 0,62092132

6 0,94204524 0,88797138 0,83748426 0,79031453 0,74621540 0,70496054 0,66634222 0,63016963 0,59626733 0,56447393

7 0,93271805 0,87056018 0,81309151 0,75991781 0,71068133 0,66505711 0,62274974 0,58349040 0,54703424 0,51315812

8 0,92348322 0,85349037 0,78940923 0,73069021 0,67683936 0,62741237 0,58200910 0,54026888 0,50186628 0,46650738

9 0,91433982 0,83675527 0,76641673 0,70258674 0,64460892 0,59189846 0,54393374 0,50024897 0,46042778 0,42409762

10 0,90528695 0,82034830 0,74409391 0,67556417 0,61391325 0,55839478 0,50834929 0,46319349 0,42241081 0,38554329

11 0,89632372 0,80426304 0,72242128 0,64958093 0,58467929 0,52678753 0,47509280 0,42888286 0,38753285 0,35049390

12 0,88744923 0,78849318 0,70137988 0,62459705 0,55683742 0,49696936 0,44401196 0,39711376 0,35553473 0,31863082

13 0,87866260 0,77303253 0,68095134 0,60057409 0,53032135 0,46883902 0,41496445 0,36769792 0,32617865 0,28966438

14 0,86996297 0,75787502 0,66111781 0,57747508 0,50506795 0,44230096 0,38781724 0,34046104 0,29924647 0,26333125

15 0,86134947 0,74301473 0,64186195 0,55526450 0,48101710 0,41726506 0,36244602 0,31524170 0,27453804 0,23939205

16 0,85282126 0,72844581 0,62316694 0,53390818 0,45811152 0,39364628 0,33873460 0,29189047 0,25186976 0,21762914

17 0,84437749 0,71416256 0,60501645 0,51337325 0,43629669 0,37136442 0,31657439 0,27026895 0,23107318 0,19784467

18 0,83601731 0,70015937 0,58739461 0,49362812 0,41552065 0,35034379 0,29586392 0,25024903 0,21199374 0,17985879

19 0,82773992 0,68643076 0,57028603 0,47464242 0,39573396 0,33051301 0,27650833 0,23171206 0,19448967 0,16350799

20 0,81954447 0,67297133 0,55367575 0,45638695 0,37688948 0,31180473 0,25841900 0,21454821 0,17843089 0,14864363


46

TABELA-3 – a n i

n

n

)i1(i 1)i1(

+−+

•

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 0,9900990 0,9803922 0,9708738 0,9615385 0,9523810 0,9433962 0,9345794 0,9259259 0,9174312 0,9090909

2 1,9703951 1,9415609 1,9134697 1,8860947 1,8594104 1,8333927 1,8080182 1,7832647 1,7591112 1,7355372

3 2,9409852 2,8838833 2,8286114 2,7750910 2,7232480 2,6730119 2,6243160 2,5770970 2,5312947 2,4868520

4 3,9019656 3,8077287 3,7170984 3,6298952 3,5459505 3,4651056 3,3872113 3,3121268 3,2397199 3,1698654

5 4,8534312 4,7134595 4,5797072 4,4518223 4,3294767 4,2123638 4,1001974 3,9927100 3,8896513 3,7907868

6 5,7954765 5,6014309 5,4171914 5,2421369 5,0756921 4,9173243 4,7665397 4,6228797 4,4859186 4,3552607

7 6,7281945 6,4719911 6,2302830 6,0020547 5,7863734 5,5823814 5,3892894 5,2063701 5,0329528 4,8684188

8 7,6516778 7,3254814 7,0196922 6,7327449 6,4632128 6,2097938 5,9712985 5,7466389 5,5348191 5,3349262

9 8,5660176 8,1622367 7,7861089 7,4353316 7,1078217 6,8016923 6,5152322 6,2468879 5,9952469 5,7590238

10 9,4713045 8,9825850 8,5302028 8,1108958 7,7217349 7,3600871 7,0235815 6,7100814 6,4176577 6,1445671

11 10,3676282 9,7868480 9,2526241 8,7604767 8,3064142 7,8868746 7,4986743 7,1389643 6,8051906 6,4950610

12 11,2550775 10,5753412 9,9540040 9,3850738 8,8632516 8,3838439 7,9426863 7,5360780 7,1607253 6,8136918

13 12,1337401 11,3483737 10,6349553 9,9856478 9,3935730 8,8526830 8,3576507 7,9037759 7,4869039 7,1033562

14 13,0037030 12,1062488 11,2960731 10,5631229 9,8986409 9,2949839 8,7454680 8,2442370 7,7861504 7,3666875

15 13,8650525 12,8492635 11,9379351 11,1183874 10,3796580 9,7122490 9,1079140 8,5594787 8,0606884 7,6060795

16 14,7178738 13,5777093 12,5611020 11,6522956 10,8377696 10,1058953 9,4466486 8,8513692 8,3125582 7,8237086

17 15,5622513 14,2918719 13,1661185 12,1656689 11,2740662 10,4772597 9,7632230 9,1216381 8,5436314 8,0215533

18 16,3982686 14,9920313 13,7535131 12,6592970 11,6895869 10,8276035 10,0590869 9,3718871 8,7556251 8,2014121

19 17,2260085 15,6784620 14,3237991 13,1339394 12,0853209 11,1581165 10,3355952 9,6035992 8,9501148 8,3649201

20 18,0455530 16,3514333 14,8774749 13,5903263 12,4622103 11,4699212 10,5940142 9,8181474 9,1285457 8,5135637

TABELA-4 Capitalização – S n i

i 1)i1( n

−+

N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000

2 2,0100000 2,0200000 2,0300000 2,0400000 2,0500000 2,0600000 2,0700000 2,0800000 2,0900000 2,1000000

3 3,0301000 3,0604000 3,0909000 3,1216000 3,1525000 3,1836000 3,2149000 3,2464000 3,2781000 3,3100000

4 4,0604010 4,1216080 4,1836270 4,2464640 4,3101250 4,3746160 4,4399430 4,5061120 4,5731290 4,6410000

5 5,1010050 5,2040402 5,3091358 5,4163226 5,5256313 5,6370930 5,7507390 5,8666010 5,9847106 6,1051000

6 6,1520151 6,3081210 6,4684099 6,6329755 6,8019128 6,9753185 7,1532907 7,3359290 7,5233346 7,7156100

7 7,2135352 7,4342834 7,6624622 7,8982945 8,1420085 8,3938376 8,6540211 8,9228034 9,2004347 9,4871710

8 8,2856706 8,5829691 8,8923360 9,2142263 9,5491089 9,8974679 10,2598026 10,6366276 11,0284738 11,4358881

9 9,3685273 9,7546284 10,1591061 10,5827953 11,0265643 11,4913160 11,9779887 12,4875578 13,0210364 13,5794769

10 10,4622125 10,9497210 11,4638793 12,0061071 12,5778925 13,1807949 13,8164480 14,4865625 15,1929297 15,9374246

11 11,5668347 12,1687154 12,8077957 13,4863514 14,2067872 14,9716426 15,7835993 16,6454875 17,5602934 18,5311671

12 12,6825030 13,4120897 14,1920296 15,0258055 15,9171265 16,8699412 17,8884513 18,9771265 20,1407198 21,3842838

13 13,8093280 14,6803315 15,6177904 16,6268377 17,7129828 18,8821377 20,1406429 21,4952966 22,9533846 24,5227121

14 14,9474213 15,9739382 17,0863242 18,2919112 19,5986320 21,0150659 22,5504879 24,2149203 26,0191892 27,9749834

15 16,0968955 17,2934169 18,5989139 20,0235876 21,5785636 23,2759699 25,1290220 27,1521139 29,3609162 31,7724817

16 17,2578645 18,6392853 20,1568813 21,8245311 23,6574918 25,6725281 27,8880536 30,3242830 33,0033987 35,9497299

17 18,4304431 20,0120710 21,7615877 23,6975124 25,8403664 28,2128798 30,8402173 33,7502257 36,9737046 40,5447028

18 19,6147476 21,4123124 23,4144354 25,6454129 28,1323847 30,9056525 33,9990325 37,4502437 41,3013380 45,5991731

19 20,8108950 22,8405586 25,1168684 27,6712294 30,5390039 33,7599917 37,3789648 41,4462632 46,0184584 51,1590904

20 22,0190040 24,2973698 26,8703745 29,7780786 33,0659541 36,7855912 40,9954923 45,7619643 51,1601196 57,2749995


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Fórmulas.

JUROS

J = Cin [1] M = C + J [2] M = C(1 + in) [3] J = M – C [4]

M = C(1 + i)n [5]

J = M – C [4] --------------------------------------

J = C[(1 + i)n - 1] [6]

M = C + J [2]

DESCONTOS

in 1Nin

Dr +

= [1] Dc = Nin [2] VA = N – d [3] d = N – VA [4]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

in1

N VAr

+= [5] VAc = N(1 – in) [6]

Taxas de Juros

Proporcionais

DE PARA FÓRMULA a.m. a.a. ia = ( im ) x 12 a.d. a.m. im = ( id ) x 30 a.d. a.a. ia = ( id ) x 360 a.a. a.m. im = ( ia ) / 12 a.m. a.d. ia = ( im ) / 30 a.a. a.d. id = ( ia ) / 360

Equivalentes

( ) 100 x 1 tq

it1 iq

−+=

Séries Uniformes – Termos Postecipados

Calcular PMT Calcular PV

−+

+=

111

n

n

)i(

i*)i(PVPMT

+

−+=

i*)i(

)i(PMTPV

n

n

111

------------------------------------------------------------------------------------------ Calcular FV Calcular PMT conhecido FV

−+=

i)i(

PMTFVn 11

−+=

11 n)i(

iFVPMT

Empréstimos/Financiamentos - Capitalização

an i - Fator de amortização n

PVAmort = Sn i - Fator de capitalização


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XXI - MANUAL DA CALCULADORA CIENTÍFICA Pequeno Manual de operação de calculadora científica. Esse pequeno manual tem como objetivo ajudá-lo, quando você está cursando o nosso curso de Matemática Financeira (Conceitos Básicos) e também no curso de Estatística. Tomei como base a calculadora científica fx-82LB. Teclado da calculadora Científica – fx-82LB.

C1 C2 C3 C4 C5 C6

L1 DRG→ POWER STAT L2 2ndF DRG OFF ON/C L3 Arc hyp sin 1 cos –1 Tan 1 TAB . .n! L4 Hyp sin Cos Tan F ⇔ E CE L5 →D.MS ex E. 10x F → re → xy CPLX L6 → DEG ln Log .a B → L7 π A X√y B 3√ C 1/x c n Σx2 L8 EXP yx √ X2 ( )

L9 → BIN x Σx2 L10 7 8 9 ÷ X ~ M L11 → OCT .s σ L12 4 5 6 X RM L13 → HEX DATA CD L14 1 2 3 - M+ L15 RND → DEC % L16 0 +/- . + =

L = Linha - C = Coluna - Exemplo: L1, Linha-1; C2: Coluna-2; L1-C2 Vou mostrar só as teclas que “mais” usaremos ou que poderemos usar.

L1-C2 – DRG→ A seta ( → ) indica que há mais funções na mesma tecla: (D-DEGree – graus; R-RADian – radiano; G-GRADe-graus), utilizada para cálculos trigonométricos; pressionando a tecla DRG, repetindo a operação, muda-se para DEG – RAD - .

L1-C5 – POWER : Tecla Liga/Desliga; L1-C6 – STAT : Tecla do modo Estatístico. Para acionar o modo estatístico, trabalhar com estatística. Tecle a tecla L2-

C2 – 2ndF, Segunda função, para “pegar” acionar a 2ª Função, isto é, o modo estatístico. L2-C2 – 2ndF : Tecla da Segunda função. Toda vez que acionarmos esta tecla, utilizaremos a outra função, isto é, a que está acima

da tecla (chamaremos de função principal). Exemplo, L4-C5, quando acionamos a tecla 2ndF F ⇔ E acessamos a segunda função TAB – tabulação – tabular, isto é, fixar entre 0 ~ 9, fixar entre 0 casa decimal até 9 casas decimais. Exemplo, 5 ÷ 14 = 0.357142857. Teclando 2ndF TAB 5, fixa-se em 5 casas decimais (arredondamento para 5 casas decimais) a apresentação no visor da calculadora, o valor indicado no visor fica como: 0.35714, 5 casas decimais após a vírgula.

L2-C2 – DRG : usada para cálculos de trigonometria, trigonometria inversa e coordenadas. L2-C5 – OFF : tecla desliga; L2-C6 – ON/C : tecla liga (ON – Liga calculadora) – (C – Clear, limpa memória); L3-C1 – arc hyp : tecla arco hyperbole; L3-C2 – acionadas em, conjunto com a tecla 2ndF. sin-1; L3-C3 – cos–1; L3-C4 – tan-1; Cálculos trigonométricos.

Teclas de funções inversas, seno, coseno e tangente; L3-C5 – TAB , acionada em conjunto com a tecla 2ndF, mostra no visor o número de casas decimais desejadas entre

zero e 9, exemplo: 1 2ndF ex = 2.718281828, base e [número de Euler], para apresentar no visor com 4 casas decimais, tecla-se 2ndF TAB 4, no visor aparecerá: 2.7183, para 6 casas decimais, tecla-se 2ndF TAB 6, no visor aparecerá: 2.718282, 1 casa decimal, tecla-se 2ndF TAB 1, no visor aparecerá: 2.7.

L3-C6 – Tecla n! , fatorial. Acionada em conjunto com a tecla 2ndF. Exemplo, 5!, 5 fatorial. 5 2ndF n!, aparecerá no visor 120, isto é, 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

L4-C1 – hyp : tecla função hipérbole; L4-C2 – sin : tecla função seno; L4-C3 – cosn : tecla função coseno;

L4-C4 – F ⇔ E : tecla mostra mudança flutuação do ponto decimal e notação científica. Exemplo: 12 yx 4 = 20736.0; teclando . F ⇔ E , o ponto decimal desloca (flutua) para o início da seqüência, 1 número após o primeiro algarismo, o número que aparece é: 2.0734 04, isto indica que há 4 números depois da casa decimal. Outro exemplo: 5 ÷ 9253 = 0.000540365, teclando . F ⇔ E , o ponto decimal desloca (flutua) para o início, fixa-se o ponto após o primeiro algarismo, agora o número indicado fica -04, [menos 4] indicando que há 4 zeros antes da virgula, o número fica assim: 5.4036528 –04. Mais um exemplo: 5 ÷ 123456 = 0.00004050, teclando . F ⇔ E , o número que aparece é: 4.0500259 –05, indicando que há 5 zeros antes da vírgula (Incluindo o 0. + os 4 zeros 00004). A notação científica geralmente mostrada aparece assim: 4.05002592016589E-05.


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L4-C6 – CE : tecla utilizada para limpar (clear) um número digitado incorretamente. Exemplo: 5 + 9 quando, no momento da operação tecla-se incorretamente 5 + 8, tecla-se CE 9 = para corrigir a operação. A operação fica assim: 5 + 8 CE 9 = 14;

L5-C1 – →D.MS : Utilizada em conjunto com a tecla de segunda função [ 2ndF ] para calcular Graus, Minutos e Segundos. A seta ( → ) indica que há mais funções na mesma tecla, isto é, (D-Degree, graus / Minute-minutos / Second-segundos).

L5-C2 – tecla ex : Utilizada em conjunto com a tecla de segunda função [ 2ndF ] para se obter logaritmos natural,

base e, ( e = 2.71828182845905 ). Exemplo: ln de 5, (logaritmo neperiano de 5 = 1.609437912). [para encontrar o antilogaritmo, exponencia-se 2.718281828 a 1.609437912 = 5] isto é, 2.7182818281.609437912,

2.718281828 yX 1.609437912 = 5. Poupamos todas estas operações teclando 1.609437912 2ndF ex = 5.

L5-C2 – tecla E “número hexadecimal E”, utilizada no modo hexadecimal, (utilizada em conjunto com a tecla de segunda função 2ndF). Útil para quem trabalha com informática (linguagem de máquina, Assembler e outros programas). Lembrando-se que os computadores que trabalham com 16 bits, utiliza-se 0 a 9 e ABCDEF, totalizando 16 números para quem trabalha com 16 bits;

L5-C3 – tecla 10x : (utilizada em conjunto com a tecla de segunda função 2ndF) calcula o antilogaritmo na base 10.

Exemplo: log5. (tecla-se 5 log 0.698970004336019), o antilog de 5 é 0.698970004. Vamos fazer a operação inversa, 100.698970004 = 5. ( Pode-se fazer a seguinte operação: 5 yX 0.698970004 = 5 ). Poupamos todas

estas operações teclando 0.698970004 2ndF 10x = 5. [Logaritmo é importante nos cálculos de juros

compostos. A base de juros compostos está nos cálculos de log.]; L5-C3 – tecla F “número hexadecimal F”, utilizada no modo hexadecimal; L5-C4 – → re tecla – não utilizaremos; L5-C5 – → xy tecla – não utilizaremos; L5-C6 – CPLX tecla utilizada para trabalhar com números complexos – não utilizaremos; L6-C1 – → DEG tecla utilizada para conversão graus decimais – não utilizaremos; L6-C2 – ln tecla utilizada para trabalhar com logaritmos naturais [útil no cálculo de juros compostos]; L6-C3 – log tecla utilizada para trabalhar com logaritmos na base 10 [útil no cálculo de juros compostos]; L6-C4 – tecla a – não utilizaremos; L6-C5 – tecla b – não utilizaremos; L6-C6 – → tecla utilizada para apagar o último algarismo à direita. Exemplo: 12345, teclando uma vez → apaga-se

o último algarismo, 5. O valor apresentado no visor fica: 1234 mais uma vez → o resultado apresentado no visor: 123. Útil na correção de dados inputados incorretamente.

L7-C1 – tecla π – utilizada para se obter o valor de PI = 3.141592654; L7-C2 – tecla A “número hexadecimal A”, utilizada no modo hexadecimal;

L7-C2 – tecla x√y – utilizada para extrair a raiz “n-ésima” de um número, utilizada em conjunto com a tecla 2ndF.

Exemplo: 1.268241795, extrair a raiz 12. Para extrair a raiz 12 de 1.268241795, faça a seguinte operação: 1.268241795 2ndF x√y = 1,02;

L7-C2 – tecla B “número hexadecimal B”, utilizada no modo hexadecimal;

L7-C3 – tecla 3√ - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF - extrai a raiz cúbica de um número, exemplo: Extrair a

raiz cúbica de 27, faça a seguinte operação: 27 2ndF 3√ = 3; extrair a raiz cúbica de 125. 125 2ndF 3√ = 5; L7-C3 – tecla C “número hexadecimal C”, utilizada no modo hexadecimal; L7-C4 – tecla 1/x - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – calcula o valor inverso de um número, exemplo: 5, valor

inverso é igual a 0,2, isto é, 1 ÷ 5 = 0,2. Utilizando-se da tecla 1/x, faça a seguinte operação: 5 2ndF 1/x 0,2. O resultado é 0,2. Calcular o valor inverso de 1,061208, faça a seguinte operação: 1,061208 2ndF 1/x 0,942322335.

L7-C5 – tecla c - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – tem a função de mudar, isto é, trocar o registro que está sendo mostrado no visor pelo último que foi armazenado (x ⇔ y), exemplo, faça a seguinte operação: 58 + 6 = 64, qual foi o último número digitado? Foi 4, 5, 6 ou 7? Para saber tecle 2ndF c, será mostrado no display (visor), o número 6, portanto o último número digitado foi 6.

L7-C6 – tecla n - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – a tecla n é usada no modo estatístico (2ndF STAT), indica o número de dados que estão sendo armazenados no registrador x. Exemplo, no modo STAT. Seja x as notas de 5 alunos, 5, 7, 5, 8, 10. [Para dar entrada de dados no modo estatístico, utiliza-se a tecla DATA, a tecla CD é utilizada para corrigir os dados de entrada]. Tecle: 5 DATA, aparece o 1, 1º dado de entrada; 7 DATA, 2º dado de entrada, 5, 3º, 8, 4º e 10, 5º. Com os dados armazenados, calculam-se o somatório de x, [ Σx ], a média de x, o somatório ou somatória de x2, [ Σx2 ], o desvio-padrão (s – standard deviation) da população de x e o desvio-padrão [ σ ] da amostra de x.

L7-C6 – tecla Σx -utilizada em conjunto com a tecla 2ndF –no modo estatístico (2ndF STAT)– para calcular a soma de x; L8-C1 – tecla EXP tecla de entrada de expoente (para grandes números) [Tecla utilizada para em números com notação

científica], (vide explicação da tecla L4-C5, . F ⇔ E ). Exemplo, 2 EXP, aparece no visor 2. 00, em 00, indique o número que de deseja exponenciar, 2 EXP 2, 200; 200 é o resultado. 1 EXP 02, 100; 1 EXP 03, 1.000.

L8-C2 – tecla yX tecla utilizada para expoentes, exponenciação (utilizaremos bastante esta tecla no cálculo de juros compostos). Exemplo, 2 elevado a 3ª potência, 23 = 8, [2 x 2 x 2 = 8], na calculadora, 2 é a base (y) 3 é a potência (x), logo 2 YX 3 = 8; 5 YX 4 = 625;

L8-C3 – tecla √ - utilizada para calcular a raiz quadrada de um número. Exemplo: 42

Tecle 4√ 2; 2 é o resultado.

L8-C4 – tecla x2 tecla utilizada para exponenciar ao quadrado. Exemplo: 5 – Tecle 5 x2 25; 25 é o resultado. L8-C5 – tecla ( - tecla utilizada para abrir parêntesis;


50

L8-C6 – tecla ) - tecla utilizada para fechar parêntesis. Exemplo: 5 x 4 + 3 – Tecle 5 x (4 + 3) = 35, isto é, 5 x 7 = 35; L9-C4 – tecla →BIN utilizada no modo sistema binário – 2 dígitos [na informática, 2 bits 0 e 1]; L9-C5 – tecla x barra , utilizada - no modo STAT (2ndF STAT) - para o cálculo da média de x– vide explicação L7-C6;

L9-C5 – tecla Σx2 tecla utilizada - no modo STAT (2ndF STAT) - para calcular a soma do quadrado de x, . L10-C1 – L10-C2 - L10-C3 - L12-C1 - L12-C2 - L12-C3 - L14-C1 - L14-C2 - L14-C3 - L16-C1 – teclas de 0 a 9 –

utilizadas para dar entradas de números; L10-C4 - L12-C4 - L14-C4 - L16-C4 – teclas (operadores matemáticos, [ ÷ ; x ; - ; + ] divisão, multiplicação,

subtração e soma ); L11-C4 – tecla → OCT - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – no modo “octal” 8 dígitos; L11-C5 – tecla s - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – no modo estatístico (2ndF STAT) – para calcular o

desvio padrão da população de x – lembrando, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância - (vide explicação da tecla L7-C6 );

L11-C5 – tecla σ - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – no modo estatístico (2ndF STAT)– para calcular o desvio padrão da amostra de x –lembrando, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância – (vide explicação da tecla L7-C6 );

L12-C4 – tecla x – utilizada para efetuar a multiplicação. Exemplo: 7 x 4 = 28; L12-C5 – tecla RM [Recall Memory] – utilizada para recuperar um número armazenado na memória M+ . Exemplo:

56 M+ ; faça a seguinte operação 4 + o número armazenado em M+ 4 + RM = 60; L13-C4 – tecla → HEX - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – no modo “hexadecimal” 16 dígitos; L13-C4 – tecla DATA tecla utilizada - no modo STAT (2ndF STAT) - para dar entrada de um conjunto de dados. (vide

explicação da tecla L7-C6 ). L13-C4 – tecla CD tecla utilizada - no modo STAT (2ndF STAT) - para corrigir um valor de uma entrada dados - de um

conjunto de dados -; L14-C4 – tecla - - utilizada para efetuar a subtração, exemplo: 7 – 4 = 3; L14-C5 – tecla M+ - utilizada para armazenar um valor na memória. Exemplo: 45 M+ , o número 45 será guardado

na memória, para recuperá-lo, tecla-se RM (Recall Memory – recupere o valor na memória); L15-C3 – tecla RND - utilizada para gerar números randômicos, aleatórios, de 0.000 a 0.999; L15-C4 – tecla →DEC - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – no modo “decimal” 10 dígitos; L15-C5 – tecla % - utilizada em conjunto com a tecla 2ndF – tecla utilizada no cálculo de porcentagem. Importante

para nós no cálculo de juros. Exemplo: 3%, tecle 3 2ndF % 0,03 – resultado: 0,03; 14% tecle 14 2ndF % 0,14 – resultado: 0,14; 0,5% tecle 0,5 2ndF % 0,005 – resultado: 0,005;

L16-C2 – tecla +/- - Troca sinal, utilizada para trocar sinal. Exemplo: - 4 + 6 = 2; tecle 4 +/- + 6 = 2; L16-C3 – tecla . – Ponto decimal; L16-C4 – tecla + - utilizada para operação de soma; L16-C4 – tecla = - utilizada para igualdade.

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