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TEORIA DOS NÚMEROS
PROF. CESÁRIO JOSÉ FERREIRA
JAN/2006
n = 0
k
2n + 1
CAPITULO 01 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO1.1 – CONTAGEM 031.2 – ALGUNS SISTEMAS ANTIGOS DE NUMERAÇÃO 031.3 – ALGARISMOS ROMANOS 031.4 - BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO 031.5 – MUDANÇAS DE BASES 041.6 – USANDO PLANILHAS 041.7 - MAIS EXEMPLOS 051.8 – OPERAÇÕES EM BASES NÃO DECIMAIS 06EXERCÍCIOS: 07CAPÍTULO 02 - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS2.1 - OPERAÇÕES 082.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 082.3 – RELAÇÃO 08EXERCÍCIOS 092.4 - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 102.5 - A RELAÇÃO DE ORDEM EM Z 10EXERCÍCIOS 102.6 - VALOR ABSOLUTO DE INTEIRO 102.7 - FATORIAL DE UM NÚMERO 112.8 - NÚMEROS BINOMIAIS 12EXERCÍCIOS 13CAPÍTULO 03 - INDUÇÃO MATEMÁTICA3.1 - ALGUMAS PROPRIEDADES DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 143.2 - DEDUÇÃO E INDUÇÃO 143.3 - PRIMEIRA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA FINITA 143.4 - UMA VARIAÇÃO DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA 15CAPÍTULO 04 – SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS4.1 – NOTAÇÕES 164.2 - PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS 164.3 – SOMATÓRIOS DUPLOS 174.4 - PROPRIEDADES DOS PRODUTÓRIOS 18EXERCÍCIOS 194.5 – BINÔMIO DE NEWTON 19EXERCÍCIOS: 214.6 – TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL 21EXERCÍCIOS:- 22CAPÍTULO 05 – DIVISIBILIDADE EM Z5.1 – DIVISOR E MÚLTIPLO DE UM INTEIRO 235.2 – PROPRIEDADES 235.3 – ALGORITMO DA DIVISÃO 23EXERCÍCIOS 245.4 – CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO 255.5 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS EXPRESSOS COMO RESTOS DE DIVISÕES 25EXERCÍCIOS: 26CAPÍTULO 6 – MÁXIMO DIVISOR COMUM6.1 – NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS 266.2 – DETERMINAÇÃO DE NÚMEROS PRIMOS – CRIVO DE ERATÓSTENES 27EXERCÍCIOS 286.3 – DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 286.4 – FORMULAS QUE DÃO PRIMOS 28EXERCÍCIOS 296.5 – MÁXIMO DIVISOR COMUM 296.6 – ALGORÍTMO DE EUCLIDES 306.7 – EQUAÇÕES DIOFANTINAS 30EXERCÍCIOS 31CAPÍTULO 07 – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM7.1 – DEFINIÇÃO 337.2 – PROPRIEDADES DO MMC DE DOIS OU MAIS NÚMEROS 337.3 – RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC 33EXERCÍCIOS 34CAPÍTULO 08 – CONGRUÊNCIAS8.1 – INTRODUÇÃO 358.2 – PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS 35EXERCÍCIOS: 368.3 – SISTEMA COMPLETO DE RESTOS 37EXERCÍCIOS:- 378.4 – CONGRUÊNCIAS LINEARES 378.5 – PROCESSOS DE RESOLUÇÃO DE CONGRUÊNCIAS LINEARES 378.6 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA E NÚMERO DE SOLUÇÕES 38EXERCÍCIOS 38
CAPITULO 01 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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1.1 – CONTAGEM
Na antiguidade o homem usava um conjunto de objetos para controlar a quantidade de seus haveres. Fazia corresponder, por exemplo, os componentes de seu rebanho a pequenos objetos como pedras. Cada cabeça do rebanho correspondia uma pedra. O aumento da quantidade de cabeças de seu rebanho exigia cada vez uma coleção maior de objetos. Isto fez com que o homem sentisse a necessidade de criar símbolos que pudessem representar as quantidades. Nasceu aí a idéia de número. Para sistematizar o processo de contagem estabelecia-se um conjunto de símbolos que continham uma quantidade qualquer de sinais, alguns usavam cinco, outros dez, outros doze, outros vinte. Em alguns sistemas foram usados até 60 símbolos. A representação consistia principalmente na repetição desses símbolos e na soma de seus valores. Uma das grandes dificuldades no processo de representação de números estava na falta da representação do zero.
1.2 – ALGUNS SISTEMAS ANTIGOS DE NUMERAÇÃO
1.2.1 - Egípcios – 3000 a.C. - Usavam os símbolos para representa 1, 10, 100.
Cada símbolo podia ser repetido até 10 vezes. Ex. 453 =
1.2.2 - Gregos (400 a.C.) e romanos (200 a.C.) usavam as 27 letras do alfabeto grego. As nove primeiras letras representavam os valores de 1 a 9, as nove seguintes representavam as dezenas de 10 a 90 e as nove últimas indicavam as centenas de 100 a 900. O numero 243 seria representado por s l c .
1.2.3 - Babilônios (1500 a.C.) usavam um sistema sexagesimal onde eram aplicados símbolos em forma de uma cunha. representava as unidades podendo ser repetida até 59 vezes. Cada grupo de 60 unidades era indicado por . O número 365 é indicado nesse sistema por
1.2.4 - Indianos (250 a.C.) – Usavam um sistema de numeração com 9 símbolos para indicar os números de 1 a 9. Não representavam o zero. Um número como 468, era indicado por 4 sata, 6 dasan, 7 onde satã indicava a potência 102 e dasan a potencia 101.
1.3 – ALGARISMOS ROMANOS É um sistema posicional e aditivo, onde cada símbolo pode ser repetido até 3 vezes. A cada símbolo é atribuído um valor. Símbolo de valor maior escrito à esquerda de outro menor é somado e símbolo menor escrito à esquerda de um valor maior é subtraído. Os símbolos usados nesse sistema de numeração são: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Um traço acima do símbolo multiplica o valor do símbolo por 1000. Exemplos:- 46 = XLVI (note que X < L Þ XL = 50 – 10 = 40 e V > I Þ VI = 5 + 1 = 6) 2369 = MMCCCLXIX ou IIMMCCCLXIX.
1.4 - BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Base de um sistema de numeração é um conjunto de símbolos ou dígitos necessário para representar qualquer número nesse sistema. O sistema mais usado é o sistema decimal cujos dígitos ou algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em computação o sistema de base dois, cujos dígitos são 1 e 0, é de fundamental importância pois pode-se associar a cada um deles um sinal luminoso. Ao 0 associa-se uma luz apagada e ao 1 associa-se uma luz acessa. Num sistema de base "n" onde a, b, c, d, e, f são alguns de seus dígitos, o número abcdef(n) corresponde a a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0. O índice (n) indica qual a base
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ou seja 6 x 60 + 5.
que se está usando. Não há necessidade de indicar a base quando a mesma é a base dez pois esta é usada correntemente.Tomando por exemplo, o número 122122(três), teremos 1.35 + 2.34 + 2.33 + 1.32 + 2.31 + 2.30.
1.5 – MUDANÇAS DE BASES
Observando o exemplo anterior onde o número aparece decomposto em potências da base três, podemos ver que a simples resolução das operações indicadas na base desejada irá resultar no número escrito em tal base. Para transformar para a base 10, faz-se então: 1.243 + 2.81 + 2.27 + 1.9 + 2.3 + 2.1 = 476. A indicação a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n1 + f.n0 define o processo para transformar um número da base dez para outra base. Como pode ser notado, o trabalho consiste em converter o número como uma soma de potencias inteiras da base multiplicada pelos dígitos que a mesma utiliza. Isto se consegue dividindo o número dado pela base. O resto da divisão será o primeiro algarismo da direita do número em tal base. Dividindo o quociente pela base, o resto será o próximo algarismo. O processo deve-se repetir até que o quociente se torne menor que a base. Assim, para transformar 6152 para a base 5, teremos:
1.6 – USANDO PLANILHAS
Aplicando as informações do item anterior é fácil criar aplicativos para mudança de bases nestes softwares.
1.6.1 – Base qualquer para a base 10 (1) Digite na célula B2 a base a ser transformada(2) Nas células C3 digite o número 1.(3) Na célula C4 digite = C3*$B$2 para multiplicar o conteúdo da célula C3 pela base. A seguir pressione ENTER.No lugar de digitar C3 você pode clicar na mesma que ela será exibida no lugar devido.Na célula C4 será exibido o valor da base.(4) Clique na célula C4 para selecioná-la. No canto inferior direito será exibido um pequeno quadrado preto.(5) Posicione o ponteiro do mouse sobre esse quadrado.Mantendo o botão direito do mouse pressionado arraste-o pelas células abaixo da célula C4.Este procedimento irá copiar a fórmula para as demais células.Na coluna serão exibidas as potências da base.(6) Na célula D3, D4, D5, ... digite os algarismos que constituem o número a ser convertido sendo que em D3 deve-se escrever o primeiro algarismo da direita.(7) Na célula E3 digite = C3*D3 e pressione ENTER.(8) Clique na célula E3 e repita o procedimento para copiar a fórmula para as células da coluna E.(9) Clique na célula abaixo da última célula preenchida da coluna E. Vamos chamá-la de Em.(9) Na barra de ferramentas abaixo da barra de menu clique no sinal S para obter a soma dos valores da coluna E.(10) Pressione ENTER. Na célula Em será exibido o número obtido ao transformar para a base 10. (11) Salve o arquivo para ser usado em outros exercícios. Com o arquivo salvo basta mudar o número a ser transformado e a base.
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1.6.2 – Base 10 para outra base (1) Na célula F2 digite a base. (2) Na célula D2 digite o número. (3) Na célula C4 digite =TRUNCAR(D2/$F$2). (4) Na célula D4 digite =D2-C4*$F$2 (5) Na célula E4 digite =SE(C4>=$F$2;"continue";"FIM") (6) Na célula C5 digite =TRUNCAR(C4/$F$2) (7) Na célula D5 digite =SE(C5<$F$2;C5;C4-C5*$F$2) (8) Na célula E5 digite =SE(C5>=$F$2;"continue";"FIM") (9) Selecione as células C5, D5 e E5. (10) Posicionando o ponteiro do mouse sobre o quadrinho preto no canto inferior direito da célula E5 e mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-o pelas abaixo da linha 5. Use quantas linhas desejar. (11) Salve o seu trabalho. Quanto for usado para outro exercício, basta substituir o número a ser transformado e a base desejada.
1.7 - MAIS EXEMPLOS
(a) Transformar 1101001(2) para a base 10.Escrevendo na forma de produto de potências, temos1101001(2) = 1.26 + 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 105
(b) Transformar 2263 para a base 3.Efetuando as divisões por 3,
Portanto, 2263 = 10002211(3) . Observe bem a ordem em que são tomados os restos das divisões. (c) 2211(3) para a base 5. Nesse caso pode-se transformar da base 3 para a base 10 e, a seguir, da base 10 para a base 5. Entretanto, vamos transformar diretamente da base três para a base cinco.No sistema decimal, cada dez unidades escreve-se 10, que é chamado de 1 dezena. Cada grupo de 10 dezenas escreve-se 100 que é chamado de 1 centena, e assim, sucessivamente.Da mesma forma, no sistema de base 5, cada 5 unidades escrevemos 10(5). Vamos, impropriamente, chamar 10(5) de 1 dezena. Cada grupo de 5 “dezenas” (5 unidades) escrevemos 100(5) ou seja, uma “centena”. Aplicando essa idéia nos exemplos, teremos:51 = 10(5), 52 = 25 = 100(5) , 53 = 125 = 1000(5) . Portanto, 2.33 = 2.27 = 2.(52 + 2) = 2.102(5) = 204(5); 2.32 = 18 = 3.51 + 3 = 33(5) ; 1.31 = 3 = 3(5) 1.30 = 1 = 1(5) . Assim, 2211(3) = 204(5) + 33(5) + 3(5) + 1(5) = 301(5). Note que 4(5) + 3(5) = 12(5), pois cada grupo de 5 equivale a 10(5) .
1.8 – OPERAÇÕES EM BASES NÃO DECIMAIS
O princípio básico das operações é levar em consideração que numa base n, cada 1 grupo de n unidades irá formar 1 unidade da ordem imediatamente superior. Tomando, por exemplo, a base 10, cada 10 unidades forma uma dezena. Ao somar 4 + 8 teremos, 4 + 8 = 10 unidades mais 2 unidades. Isto se escreve 12. Para um sistema de base 6, 4 + 5 = 6 unidades mais 3 unidades, o que se escreve 13(6).
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Adição
1ª ordem: 2 + 2 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 + 1 = 21(3) Þ fica 1 na 1ª ordem e vão 2 para a 2ª ordem.2ª ordem: 2 + 1 + 2 + 1 = 2 grupos de 3 = 20(3) Þ fica 0 na 2ª ordem e vão 2 para a 3ª ordem.3ª ordem: 2 + 2 + 0 + 2 + 2 = 2 grupos de 3 + 2 = 22(3) Þ fica 2 na 3ª ordem e vão 2 para a 4ª ordem4ª ordem: 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) Þ fica 0 na 4ª ordem e vai 1 para a 6ª ordem.5ª ordem: 1 + 2 + 1 + 1 = 1 grupos de 3 + 2 = 12(3) Þ fica 2 na 5ª ordem e vão 2 para a 6ª ordem.6ª ordem: 1 (da 4ª ordem) + 1 (da 5ª ordem) + 2 + 1 + 1 + 1 = 2 grupos de 3 + 1 = 21(3) Þ fica 1 na 6ª ordem e vão 2 para a 7ª ordem.7ª ordem: 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 3 grupos de 3 + 0 = 100(3) Þ fica 0 na 7ª ordem, 0 na 8ª ordem e 1 na 9ª ordem.
Multiplicando na base 3
Observemos que, para a base 3: 1.1 = 1; 1.2 = 2.1 = 2; 2.2 = 11 (um grupo de 3 + 1); 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 10; 2 + 2 = 11; 2 + 2 + 2 = 20.Assim, 212211(3) x 2 = 1 2 0 2 1 2 2 (3)
Veja como são obtidas as diversas ordens.1ª ordem – 2 x 1 = 2 2ª ordem – 2 x 1 = 23ª ordem – 2 x 2 = 11 Þ 1 para a 3ª ordem e vai 1 para a 4ª4ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 Þ 2 para a 4ª ordem e vai 1 para a 5ª5ª ordem – 2 x 1 + 1 = 10 Þ fica 0 na 5ª ordem e vai 1 para a 6ª6ª ordem – 2 x 2 + 1 = 11 + 1 = 12 Þ 2 para a 6ª ordem e vai 1 para a 7ª.
Da mesma forma multiplicam-se os segundo e terceiro algarismos de 212. Cada produto é posicionado com um deslocamento de 1 ordem para a esquerda.
EXERCÍCIOS:
(1) Usando os algarismos arábicos (0, 1, 2, 3 ... 8, 9), quantos e quais são os dígitos usados num sistema (a) de base 5 (b) de base 7?
(2) Suponha que os asteriscos são elementos de um conjunto ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *). (a) conte-os na base 10 (b) conte-os na base 4 (c) conte-os na base 3 (d) conte-os na base 2.
(3) Faça as seguintes transformações:
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(a) 22122101(3) para base 10(b) 1100111010(2) para base 10(c) 4532(7) para base 10(d) 122141(5) para base 10(e) 4357 para base 7(f) 6632 para a base 2(g) 12212(3) para base 5 (h) 10110001(2) para base 7
(4) Efetue as operações: (a) base 3, 2122111 + 101220 + 20122 + 221022(b) base 2, 10011111 + 11011100 + 11011 + 1011011(c) base 3, 21221 x 1201(d) base 2, 1011011 x 1011(e) base 5, 4231 – 4412(f) base 2, 1100111 - 101101
CAPÍTULO 02 - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
2.1 - OPERAÇÕES
Sejam dois elementos a e b quaisquer de um conjunto. Define-se uma operação nesse conjunto como sendo um processo que permite associar a cada para (a, b) um terceiro elemento c desse mesmo conjunto. Podemos imaginar uma operação como um procedimento onde são colocados dois elementos, primeiro o elemento a e a seguir o elemento b em uma máquina. A partir de uma programação na máquina, tomados os dois elementos, ela fornecerá um resultado, que é o elemento c. Simboliza-se uma operação por a Ä b = c, onde a e b são os
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operandos, c o resultado.
O símbolo Ä define a operação a ser efetuada. Em especial, o símbolo + indica a
operação adição, Os símbolos X , . ou * , são usados para indicar a operação multiplicação.
Exemplo: Seja a Ä b = c, onde Ä = a2 - 2b. Tem-se, então; 5 Ä 3 = 52 - 2.3 = 19.
Se a operação não for alguma das tradicionais cujo sinal é convencional, a mesma deverá ser definida ou apresentar uma tabela com os resultados da operação.
2.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
Sejam a, b e c elementos de um conjunto A e Ä e Å duas operações. São as seguintes as propriedades que uma operação pode apresentar: i) Comutativa, a Ä b = b Ä a ii) Associativa (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c) iii) Elemento neutro, "n" é neutro para a operação Ä , se " a Î A, a Ä n = n Ä a = a. iv) Inverso. Indica-se o inverso de a por a-1, tal que a Ä a-1 = a-1 Ä a = n, onde n é o neutro de Ä . v) Distributiva de Å em relação a Ä . a Å (b Ä c) = ( a Å b) Ä (a Å c).
Vejamos alguns exemplos:(1) Adição e multiplicação - apresentam as propriedades - comutativa [ a + b = b + a e a.b = b.a], - associativa [ (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) ], - têm elemento neutro [ 0 para a adição pois a + 0 = 0 + a = a e 1 para a multiplicação pois a.1 = 1.a = a], - têm inversos [para a adição o inverso de a é -a, usualmente chamado de simétrico de a, para a multiplicação, o inverso de a ¹ 0 é 1/a], - distributividade da multiplicação em relação à adição [ a.(b + c) = a.b + a.c ].(2) a operação a Ä b = c, onde Ä = a2 - 2b não é comutativa. Veja 5 Ä 4 = 52 - 2.4 = 17 e 4 Ä 5 = 42 - 2.5 = 6. Portanto 5 Ä 4 ¹ 4 Ä 5.
2.3 – RELAÇÃO
Define-se uma relação entre os elementos a e b, indicado por a  b, a uma lei que permite comparar os elementos a e b. Como exemplo podemos citar a relação de igualdade, simbolizada por a = b, a relação de ordem simbolizada por a > b, entre outras. Uma relação pode apresentar (ou não) as propriedades:·
(i) reflexiva, se a  a, caso contrário é anti-reflexiva. A relação de igualdade é reflexiva, pois a = a. A relação “maior do que” é anti-reflexiva, pois não é verdade que a > a. (ii) simétrica, se a  b Þ b  a. A igualdade é simétrica e a relação maior do que é anti-simétrica.
( iii) transitiva, se a  b e b  c Þ a  c. AS relações de igualdade e maior do que são transitivas.
Qualquer relação que apresente as três propriedades é chamada de relação de igualdade ou relação de equivalência.
Uma relação que seja anti-reflexiva, anti-simétrica e transitiva é denominada relação de ordem.
Uma relação de ordem permite organizar os elementos do conjunto. Já, na relação de equivalência, é possível agrupar elementos que sejam equivalentes, e, assim, dividir um conjunto em subconjuntos onde cada subconjunto forma uma classe de equivalência.
Tomemos, por exemplo, a relação a  b no conjunto dos números naturais, onde Â
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representa a relação "mesmo resto da divisão por 5". Temos: 21 Â 46 pois ambos deixam resto 1 na divisão por cinco.
Esta relação permite dividir o conjunto dos números naturais se em 5 classes de equivalência, que podem ser designadas por 0, 1, 2, 3 e 4 (restos possíveis na divisão por 5). Assim, classes de equivalências serão:0 = {0, 5, 10, 15, 20, 25 ...}; 1 = {1, 6, 11, 16, 21, 26, ...}; 2 = {2, 7, 12, 17, 22, ...};3 = {3, 8, 13, 18, 23, ...} e 4 = {4, 9, 14, 19, 24, 29, ...}.
Se dois elementos a e b pertencem a uma mesma classe, costuma-se indicar a º b que se lê “a é côngruo com b”.
Isto significa que, qualquer elemento de uma classe pode substituir ou representar os demais.Vejamos uma adição: 137 + 214 º 2 + 4 = 6 º 1. (ou seja, ao dividir 137 + 214 por 5 o resto é 1). Note que operamos com 2 e 4 pois os mesmos pertencem às mesmas classes do 2 e do 4, respectivamente. Provavelmente você se lembra que ao somar frações devemos usar frações de mesmo denominador. Para somar, por exemplo, 5/8 com 1/4, usa-se 5/8 + 2/8 = 7/8. O 1/4 foi substituído por 2/8 que é um equivalente a 1/4. Outra situação em que se aplica a relação de equivalência, encontramos na Trigonometria, ondesen 800º = sen (2*360º + 80º) = sen 80º. Dizemos que os ângulos de 800º e 80º são côngruos e escrevemos 800º º 80º.
EXERCÍCIOS
1 - Verifique se as operações definidas abaixo são: associativas, comutativa, tem neutro, tem simétrico:a) a Ä b = ab + ba b) a Ä b = (a.b)1/2
2 - Sejam È e Ç as operações união e interseção de conjunto, definidas por [ x Î (A È B) ==> x Î A ou x Î B] e [ x Î (A ÇB) ==> x Î A e x Î B ]. Verifique as propriedades: associativa, comutativa, neutro e simétrico para estas duas operações. Verifique se È é distributiva em relação à Ç, isto é A È (B ÇC) = (A ÈB) Ç (A ÈC).Verifique se Ç é distributiva em relação à È, isto é A Ç (B È C) = (A ÇB) È (A ÇC).
3 - Você deve se lembrar dos conetivos lógicos, "e" , "ou", "se ... então" e "se e somente se".Verifique se as operações com sentenças usando estes conectivos apresentam as propriedades: associativa, comutativa, neutro e simétrico. Como exemplo, verifique se a v b = b v a (a "ou" b = b "ou" a), etc.
2.4 - O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é definido como o conjunto formado por todos os números inteiros positivos, negativos ou nulo. Isto é Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Algumas vezes desejamos nos referir a partes desse conjunto. Para tal usamos:
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, ...}. Também representado por N (conjunto dos números naturais)
Z- = {..., -3, -2, -1, 0} - conjunto dos inteiros não positivos.
Quando se deseja excluir o zero de algum desses conjuntos, usa-se o sinal *. Assim, Z+* = {1, 2, 3, ...}. No conjunto Z, são definidas as operações adição, subtração e multiplicação. (1) A adição e a multiplicação apresentam as propriedades comutativa e associativa. (2) O elemento neutro da adição é o 0 e o da multiplicação é o 1.
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(3) Para a adição cada elemento x tem o seu simétrico que é -x, tal que x + -x = -x + x = 0.
Considerando apenas os inteiros não negativos (Z+), pode-se também definir a operação potenciação, pois para todo a Î Z+ e b Î Z+, ab Î Z+.
2.5 - A RELAÇÃO DE ORDEM EM Z
Além das operações descritas anteriormente, o conjunto Z é munido de uma relação de ordem (> maior do que), para a qual são verificadas as propriedades:
(a) a > b e b > c Þ a > c(b) a > b e c > d Þ a + b > c + d(c) a > b e c > 0 Þ ac > bc(d) a > b e 0 < c Þ bc > ac, ou a > b e c < 0 Þ ac < bc.
EXERCÍCIOS 1 - Complete as seguintes operações: a) 4* 632 + 2 * 75 + * 245 * = 63458b) 4 2 * 7 * x * 1 5 = 2 1 * * 5
2 - Um livro tem 3164 páginas. Quantos algarismos são necessários para numerar todas as páginas desse livro?
3 - Se 2xy = 5x + y, sendo x e y dois inteiros positivos, determine valores para x e y.
4 - A soma de 5 números inteiros e consecutivos é 3145. Determine esses 5 números.
5 - Ache a soma do maior número de 5 algarismos diferentes com o menor número de 6 algarismos.
6 - A soma de 5 números inteiros pares consecutivos é 1530. Determine esses números.
7 - Quantas vezes se escreve o algarismo 9 ao escrever todos os números de 18 a 318?
8 - Um número de 3 algarismos termina em 6. Se ele é formado por algarismos diferentes, qual é esse número? De que número ele é o quadrado?
9 - Escrevem-se todos os números de 35 a 1000, um seguido ao outro como 35363738... . Qual algarismo ocupa a 254ª posição?
10) Decomponha 1065 numa soma de cinco inteiros ímpares consecutivos.
11) Ache todas as soluções positivas e inteiras para (x + 1)(y + 2) = 2xy.
12) Ache as soluções inteiras e positivas para x2 – y2 = 88.
13) Calcule a soma dos três maiores inteiros com três quatro e cinco algarismos.
14) Um livro tem 1235 páginas. Determine o número de vezes que o algarismo 1 aparece na
numeração das páginas desse livro.
15) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros positivos sem separar os algarismos: 123456789101112.... Determine: a) o 435º algarismo que se escreve; b) o 1756º algarismo que se escreve.
2.6 - VALOR ABSOLUTO DE INTEIRO Define-se o valor absoluto de um inteiro n, que se indica por | n |, como sendo
| n | = n se n > 0 e | n | = - n se n < 0.
Exemplos: | +6 | = 6 e | -6 | = - (-6) = 6.
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Com base na definição, pode-se afirmar que: (1) | n | > 0; (2) | n |2 = n2; (3) | -n | = | n |; (4) n < | n |.
Outras formas de definir o valor absoluto de um número são: | n | = ; | n | = máx(n, -n)Vejamos alguns teoremas sobre o valor absoluto de um inteiro:
T.1 - Para dois inteiros x e y quaisquer se tem | x.y | = | x | . | y |.
Pela definição de valor absoluto podemos escrever:
T.2 - Para dois inteiros x e y quaisquer, se tem | x + y | < | x | + | y |.De acordo com a definição de | x | e | y | , pode-se concluir que - | x | < x < | x | e - | y | < y < | y |. Somando membro a membro as duas expressões resulta : - ( | x | + | y | ) < x + y < ( | x | + | y | ). Como x + y está compreendido entre -( | x | + | y | ) e ( | x | + | y | ), concluí-se que | x + y | < | x | + | y |.
T.3 - Para dois inteiros quaisquer se tem | x - y | < | x | + | y | . Temos então: | x - y | = | x + (-y) |. De acordo com o teorema T.2, conclui-se: | x + (-y) | < | x | + | - y | < | x | + | y |. 2.7 - FATORIAL DE UM NÚMERO
Ao produto de todos os inteiros não negativos de n até 1, indicamos por n! que se lê fatorial de n. Assim, n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3).....3.2.1.
Define-se também o fatorial de zero, como 0! = 1. Esta definição é justificada no estudo dos agrupamentos (análise combinatória) ao calcular o número de combinações com m elementos tomados zero a zero que é igual ao número de combinações com m elementos tomados m a m (combinações complementares).
Conseqüências da definição:
(1) Produto dos n primeiros inteiros positivos pares 2.4.6.... 2(n - 2).2(n - 1).2n = (2.1).(2.2).(2.3)....2(n - 2).2(n - 1).2(n) = 2n.n!
(2) Produto dos n primeiros inteiros ímpares positivos Considerando todos os 2n inteiros positivos temos: 1.2.3.4....(2n-4).(2n - 3).(2n - 2).(2n - 1).2n = (2n)!. O produto dos positivos é 2n.n!. Portanto, o produto dos negativos será (2n)!/(2n.n!)
(3) 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1. Temos: n.n! = [(n + 1) - 1]. n! = (n + 1).n! - n! = (n + 1)! - n!Fazendo, sucessivamente n = 1, 2, ...n, teremos:1.1! = 2! - 1!; 2.2! = 3! - 2!; 3.3! = 4! - 3!... n.n! = (n + 1)! - n!.Somando membro a membro as igualdades resulta: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1 (note que em cada parcela aparece x! e - x! que se anulam).
2.8 - NÚMEROS BINOMIAIS
11
O coeficiente do termo de ordem n do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)m é determinado por Cm,n-1 (combinações de m elementos tomados n-1 a n-1). Por exemplo, o coeficiente do 5º termo do desenvolvimento de (x + a)8 é C8,4 (combinações de 8 elementos tomados 4 a 4).
A notação Cm,n pode também ser escrita na forma
Nesta última notação m é chamado de numerador e n de classe. Assim, lê-se "binomial de numerador m e classe n" Define-se o binomial de numerador m e classe n por:
Observe que 9!/6! = 9.8.7
Com relação aos números binomiais podemos destacar as propriedades:
São binomiais de mesmo numerador, onde a soma das classes é igual a esse numerador. Propriedade: Dois binomiais complementares são iguais.
Demonstrando: Por definição: Cm,n = m!/(m-n)!.n! == m!/(m - n)![m - (m - n)!] = m!/[m - (m - n)]!(m - n)! = Cm, m-n.
Isto é: são binomiais de mesmo numerador e classes consecutivas. Propriedade:- Conhecida como relação de Stifel, dois binomiais consecutivos, guardam a seguinte relação
EXERCÍCIOS
1 - Calcule (a) 5! (b) 2.4! (c) 2000!/1998!
2 - Simplifique a expressão: [(x + 1)!/(x - 1)!] . [(x - 2)!/x!]
12
3 - Resolva a equação: x! = 90.(x - 2)!
4 - Indique por V ou F: (a) (m.n)! = m!.n! (b) (m + n)! = m! + n!
5) Resolva as equações:
6) Demonstre que Cm,n = [(m - n + 1)/n].Cm,n-1
7) Calcule o inteiro positivo n sabendo-se que: 3n + 2 . 2n + 3 = 2592.
8) Ache os valores de n < 7 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito.
CAPÍTULO 03 - INDUÇÃO MATEMÁTICA
3.1 - ALGUMAS PROPRIEDADES DO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Além das propriedades já destacadas no capítulo anterior, podemos observar no conjunto dos números inteiros, as propriedades:
P1 - Dado um subconjunto A de Z, o subconjunto A admite um elemento mínimo "a" se, e somente se, para todo x de A, a < x. Indicamos o elemento mínimo de A por min(A). Simbolizando temos:
min(A) = a Û a Î A e x Î A, x > a.
Com relação ao elemento mínimo tem-se: Se "a" é o mínimo de A, então "a" é único.Demonstração:- Suponhamos que exista outro elemento "b" que também seja mínimo de A. Por definição temos: a < b pois a é min(A). Se b é min(A), b < a. Como a relação de ordem é anti-simétrica somente se pode concluir que b = a.
P2 - Todo conjunto não vazio de inteiros não negativos tem um elemento mínimo.
P3 - O conjunto dos inteiros não positivos não tem elemento mínimo.
P4 - Se "a" e "b" são dois inteiros positivos, então existe um inteiro positivo n tal que na > b.
3.2 - DEDUÇÃO E INDUÇÃO Consideremos as seguintes seqüências de raciocínio: i) Todo homem é mortal.
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Sócrates é mortal. Então, Sócrates é homem. ii) Seja o trinômio: n2 + n + 17. Se fizermos n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos: 17, 19, 23, 29, 37, 47. Todos esses resultados são números primos. Poder-se-ia dai concluir que para todo n Î N, n2 + n + 17 é um número primo. As duas conclusões são evidentemente falsas pois (i) "Sócrates pode ser um gatinho" que é mortal mas não é homem e, (ii) para n = 17, n2 + n + 17 = 17x19 que não é primo. A sentença é verdadeira para n < 16.
Entretanto, raciocínio como estes, desde que seguidas algumas regras, poderão ser válidas.
No exemplo (i) partimos de uma afirmação geral para se chegar a uma afirmação particular. Um raciocínio desse tipo é chamado de DEDUÇÃO. No exemplo (ii) de algumas situações particulares tentou-se chegar a uma afirmação que poderia ser válida para todas as situações. Este tipo de raciocínio é denominado INDUÇÃO. Esquematizando temos:
Daremos, nesse capítulo, ênfase ao processo de indução.
3.3 - PRIMEIRA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA FINITA
Seja P(n) uma propriedade. Essa propriedade é válida para todo número natural se:
(i) P(n) é válida para n = 1, isto é P(1) é verdadeira;
(ii) Supondo P(n) válida para um número natural arbitrário k, for possível provar que P(k + 1) é verdadeira.
Assim, a demonstração pelo princípio da indução matemática consiste em observar os passos:(i) Verificar a validade da propriedade para n = 1.(ii) Considerar válida a propriedade para n = k (iii) Provar que a propriedade é válida para n = k + 1 (sucessor de k) a partir da validade para n = k.
A consideração feita no item (ii) é conhecida como hipótese de recorrência.
Vejamos alguns exemplos de aplicação do princípio da indução matemática.
Ex. 1 - Demonstrar que a soma dos n primeiros números inteiros positivos é Sn = (n + 1).n/2.Primeiro passo: Verificar se a propriedade é válida para n = 1. Temos S1 = (1 + 1).1/2 = 1. É verdade pois o único inteiro é 1.Segundo passo: Consideremos que Sk = (k + 1).k/2. Isto é, a propriedade é válida para n = k, ou seja Sk = 1 + 2 + 3 + ... + k Terceiro passo: Provemos que Sk+1 = (k + 1 + 1)(k + 1)/2 = (k + 2)(k + 1)/2.Ora, Sk+1 = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = Sk + k + 1 = (k + 1)k/2 + (k + 1) = (k + 1)[(k/2) + 1] == (k + 1)[(k + 2)/2] = (k + 2)(k + 1)/2. Como pode ser visto, provou-se que a propriedade é valida para n = k + 1. Assim, a propriedade é válida para todo n inteiro.
Ex. 2 - Demonstrar que 1 + 3 + 5 + .... (2n - 1) = n2, " n Î N.( i ) A propriedade é valida para n = 1, pois 1 = 12.(ii ) Hipótese de recorrência: 1 + 3 + 5 + .... (2k - 1) = k2 (soma dos inteiros ímpares)(iii) Provemos que 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2.Temos: 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
14
3.4 - UMA VARIAÇÃO DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
O princípio da indução matemática, em seu primeiro passo exige que P(1) seja verdadeira. Entretanto, esse primeiro passo pode ser comprovado para qualquer valor de n. Pode-se usar qualquer número natural. Quando a propriedade é válida para n > a, verifica-se no primeiro passo a validade da propriedade para n = a.
Exemplo: Provar que 2n < n!, " n > 4. - P(4) é verdadeira pois 24 = 16 e 4! = 4.3.2.1 = 24.- Hipótese de recorrência: 2k < k! (1)- Provemos que; 2(k + 1) < (k + 1)!. Demonstrando: Como k > 4, 0 < 2 < k + 1. (2).Multiplicando membro a membro as desigualdades (1) e (2) resulta: 2.2k < k!. (k + 1) Þ Þ 2k + 1 < (k + 1)!. Como a propriedade é válida para n = k + 1, ela é valida para todo n > 4.
Também terá validade o raciocínio pelo princípio da indução matemática:
(1) (i) Se P(n) é uma proposição válida n = 1, (ii) Para todo inteiro positivo k, se P(1), P(2), P(3)..., P(k) são todas verdadeiras então P(k + 1) também é verdadeira.
(2) (i) P(r) é verdadeira para todo inteiro k > r, se P(m) é verdadeira para todo inteiro m, tal que r < m < k é verdadeira implicar em que P(k) é verdadeira, então a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro n > r.EXERCÍCIOS:- Página 45/46 - Teoria Elementar dos números - Edgar de Alencar Filho - Ed. Nobel - 1985. (Você pode baixar os exercícios resolvidos no site Meu Mundo). 1 – Demonstrar por indução matemática (a) 12 + 22 + 32 + ..... + n2 = (n/6)(n = 1)(2n + 1) " n Î N. (b) 13 + 23 + 33 + ..... + n3 = (n2/4).(n + 1)2, " n Î N. (c) 12 + 32 + 52 + ..... + (2n – 1)2 = (n/3).(4n2 – 1), " n Î N. (d) 13 + 33 + 53 + ..... + (2n – 1)3 = n2(2n2 – 1), " n Î N. (e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2), " n Î N. (f) 1 + ¼ + 1/9 + ..... + 1/n2 < 2 – 1/n, " n Î N (g) a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn+1 – 1)/(q – 1), " n Î N. (h) 2n < 2n + 1, " n Î N. (i) 2n > n2, " n > 5.(j) 2n > n3, " n > 10. (k) 4n > n4, " n Î N. (l) 2 | (3n – 1), " n Î N.(m) 6 | (n3 – n), " n Î N.2) Demonstre que n3/3 + n5/5 + 7n/15 é um inteiro positivo para todo n Î N.
CAPÍTULO 04 – SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS
4.1 – NOTAÇÕES
Sejam os inteiros a1, a2, a3, ... , an, com n > 1. São usados os símbolos:
para representar abreviadamente a soma a1 + a2 + a3 + ... + an
para representar abreviadamente o produto a1 . a2 . a3 . ... . an
A letra k é o índice do somatório ou do produtório e pode ser substituída por qualquer outra. Se o termo geral for representado por an, não se devem ser usadas as letras a e n para
15
indicar o índice. Os valores que figuram abaixo e acima dos sinais são os limites inferior e superior do índice k. A indicação an representa o termo geral da sucessão a1, a2, ... ak, .... an.
O intervalo de variação do índice pode ser qualquer um. Assim,
ak = am + am+1 + am+2 + .... + an, com m
O número de termos a serem somados é igual à diferença entre o limite superior e o limite inferior, acrescida de 1 unidade. Na indicação acima, o número de termos é n – m + 1.
k2 + 1 = (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) + (62 + 1) = 10 + 17 + 26 + 37 = 90
2k = (2.1) . (2.2) . (2.3) . (2.4) = 2.4.6.8 = 384
4.2 - PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS
Demonstração: por definição
Pela associatividade da adição, resulta (a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) = (a1 + a2 + ... + an) + (b1 + b2 + … + bn) =
= (21 + 22 + 23) + (3.1 + 3.2 + 3.3) = (14) + (18) = 32
A primeira igualdade é justificada pela definição de somatório, a segunda pela distributividade da multiplicação em relação à adição e a terceira pela definição de somatório.
4.3 – SOMATÓRIOS DUPLOS
16
2k + 3 = (2.1+3) + (2.2+3) + (2.3+3) + (2.4+3) + (2.5+3) = 5+7+9+11+13 = 45
Tomando, por exemplo,
= [(21 + 3.1) + (22 + 3.1) + (23 + 3.1)] + [(21 + 3.2) + (22 + 3.2) + (23 + 3.2)] + [(21 + 3.3) + (22 + 3.3) + (23 + 3.3)] = 90 Note que o índice j variou de 1 a 3 para cada valor de k = 1, 2, 3.
PROPRIEDADE
Uma outra forma do somatório duplo pode ser apresentada como
Note que neste caso os índices j e k têm intervalos de variação diferentes. Define-se então
por (a11 + a12 + ...a1n) + (a21 + a22 + ...+ a2n) + .... + (am1 + am2 + ... + amn).
17
Expressões do tipo , onde são usados dois índices j e k, são chamados desomatórios duplos, e são definidas por
= (a11 + a12 + ...a1n) + (a21 + a22 + ...+ a2n) + .... + (an1 + an2 + ... + ann)
2j + 3k, teremos:
Deixamos como exercício para o leitor, a demonstração destas propriedades.
EXERCÍCIOS
4) Demonstre as propriedades P1, P2 e P3 do item 4.4
4.5 – BINÔMIO DE NEWTON
Definição:- Chamamos de binômio de Newton a toda expressão do tipo (x + a)m.
Propriedade 1 – Desenvolvimento do binômio
Para todo inteiro positivo m, o desenvolvimento de (x + a)m é dado por:
18
Demonstração:- Usaremos o processo de indução para provar essa propriedade.
A propriedade é verdadeira para m = 1, pois (x + a)1 = x + a
Como a propriedade é verdadeira para n + 1, ela é verdadeira para todo m inteiro natural.
Propriedade 2 - Termo geral
De acordo com o desenvolvimento é fácil observar que o termo de ordem p + 1 do desenvolvimento de (x + a)m é determinado por
Propriedade 3 – Número de termos do desenvolvimento de (x + a)m.
O desenvolvimento de (x + a)m tem m + 1 termos.
Propriedade 4 – Termos eqüidistantes dos extremos
19
Os coeficientes de dois termos eqüidistantes dos extremos de (x + a)m são iguais.
Estes termos são formados por binomiais complementares.
Propriedade 5:- Soma dos coeficientes
A soma dos coeficientes de
é igual a 2m.
É fácil demonstrar essa propriedade pois basta fazer x = a = 1.
A soma dos coeficientes de qualquer tipo de binômio pode ser obtida por procedimento semelhante.
Exemplo: a soma dos coeficientes de (3x2 + 2y)5 = (3 + 2)5 = 55 = 3125. Para obter esse resultado fez-se x = y = 1.
EXERCÍCIOS:
1 – Escreva o desenvolvimento dos binômios (a) (2x + 3y2)6 (b) (x – 2y5)8
2 – Determine o 5º termo do desenvolvimento de (x/2 – 4x2)8.
3 – Determine o terceiro termo do desenvolvimento de (2x – 3y4)7
4 – Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binômios abaixo: a) (16x – 14y5) b) (x + 2y5)7 c) (4x10 – 4y3)99 d) (1032x – 1032y4)2001
6 – Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (3x2 + 2/x3)10.
7 – Calcule o termo em x11, no desenvolvimento de (x/2 – 4x2)8.
8 – Os coeficientes dos 8º e 15º termos no desenvolvimento de (x + a)m são iguais. Calcule a soma dos coeficientes de (x + a)m.
9 – Um dos termos do desenvolvimento de (x3 + 2y4)m apresenta a combinação x12y12. Qual é o valor de m?
4.6 – TRIÂNGULO ARITMÉTICO DE PASCAL
Dispondo os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)m conforme abaixo obtemos a forma de um triângulo que é conhecido como triângulo de Pascal.
Como pode ser notado, o elemento da linha de nº k, coluna nº p é o binomial
20
.
Se nos referirmos à linha de ordem k e coluna de ordem p, o número aí localizado é o binomial
Propriedade 1 – A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha imediatamente abaixo do segundo número. Veja os elementos marcados com um círculo. 4 + 6 = 10. Isto deve-se ao fato de que dois elementos consecutivos de uma mesma linha são binomiais consecutivos.
Propriedade 2 – Os elementos que constituem a terceira coluna do triângulo de Pascal são chamados números triangulares. Cada um deles é a soma dos números inteiros consecutivos começados por 1. São assim chamados pois se dispusermos uma quantidade de pontos igual a cada um dos números em linhas sobrepostas, obtém-se sempre um triângulo eqüilátero. Veja a figura abaixo
A soma dos n primeiros números inteiros é dada por n(n + 1)/2. Portanto, o n-esimo termo triangular é tn = n(n + 1)/2.
Com relação aos números triangulares pode-se afirmar que a soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito.
Tem-se tn + tn+1 = n(n +1)/2 + (n +1)(n + 2)/2 = (n2 + n + n2 + n + 2)/n = (2n2 + 4n + 2)/2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.
EXERCÍCIOS:-
1 – Escreva os elementos da 4ª linha do triângulo de Pascal.
2 – Determine o elemento que ocupa a 5ª linha e 4ª coluna de um triângulo de Pascal.
3 – Determine o elemento que ocupa a linha nº 6 e coluna nº 5 do triângulo de Pascal.
4 – Sabe-se que os elementos abaixo são partes de um triângulo de Pascal.
35 35
A B
126.
Calcule os valores de A e B.
21
5 – Determine o 12º número triangular.
6 – Um número triangular vale 120. Qual é sua posição?
CAPÍTULO 05 – DIVISIBILIDADE EM Z
5.1 – DIVISOR E MÚLTIPLO DE UM INTEIRO
Definição:- Se “a” e “b” são dois inteiros, com a ¹ 0, dizemos que “a” divide “b”, se existe um inteiro q, tal que, b = aq. Indicamos “a” divide “b” por a | b. Quando “a” não divide “b”, indica-se a | b .
Quando a | b, dizemos que “a” é divisor de “b” ou que “b” é múltiplo de “a”.
Exemplo: 2 | 6 pois existe o inteiro 3, tal que 6 = 2.(3) -5 | 30 pois existe o inteiro –6, tal que 30 = (-5)(-6).
3 | 8 pois não existe nenhum inteiro “q” tal que 8 = 3q.
5.2 – PROPRIEDADES
P1 - Se a | b então (-a) | b.
Demonstração: a | b è $ q Î Z tal que b = aq è b = (-a)(-q). Sendo q um inteiro, -q também é um inteiro. Portanto, -a | b.
P2 - " “a” inteiro e diferente de zero, a | 0 e a | a. Demonstração: a | 0 pois 0 = a.0 (0 é inteiro)
a | a pois a = a.1 (1 é inteiro)
P3 - "a inteiro, 1 | a. Demonstração: 1 | a pois a = 1.a.
P4 – Se a | 1, então a = 1 ou a = -1. Demonstração: Se a | 1, então 1 = aq, com q inteiro. Como 1 só é múltiplo de 1 e de –1
então, a = 1 e q = 1 ou a = -1 e q = -1. Portanto, a = 1 ou a = -1.
P5 – Se a | b e c | d então ac | bd. Demonstração:- Se a | b, então $ q Î Z tal que b = a.q (1)
Se c | d então $ q’ Î Z tal que d = c.q’ (2). Multiplicando membro a membro (1) por (2), resulta: bd = aqcq’ = (ac)(qq’). Como qq’ é inteiro, ac | bd.
P6 – Se a | b e b | a, então a = ± b. Demonstração:- Se a | b então $ q Î Z tal que b = aq. (1)
Se b | a então $ q’ Î Z tal que a = bq’ (2) Substituindo o valor de b (1) em (2) resulta a = aqq’ è qq’ = 1 è q’ = ± 1. Substituindo esse valor em (2) resulta a = b(± 1) è a = ± b.
22
P7 – Se a | b, com b ¹ 0, então | a | < | b |. Demonstração:- a | b, com b ¹ 0 è $ q Î Z tal que b = aq com q ¹ 0 è | b | = | a |. | q |. Como q ¹ 0, | q
| > 1 è | b | > | a | ou | a | < | b | .
P8 – Se a | b e a | c, então a | (bx + cy), " x, y Î Z. Demonstração:
Se a | b então b = aq(1) . Se a | c então c = aq’ (2). Ora, bx + cy = aqx + aq’y è bx + cy = a(qx + q’y) è a | bx + cy pois qx + q’y é um inteiro.
5.3 – ALGORITMO DA DIVISÃO
Sejam os inteiros “a” e “b”, com b ¹ 0. Na divisão de “a” por “b”, existem os inteiros “q” e “r” tais que a = bq + r, com 0 < r < | b | sendo “q” e “r” únicos.
Esquematizando
Os termos são assim denominados: “a” – dividendo; “b” - divisor; “q” - quociente e “r” – resto.
De acordo com a definição, o resto é um número positivo menor que o divisor.
Assim, por exemplo, ao dividir qualquer inteiro por 5 ou por –5 os restos possíveis são 0, 1, 2, 3, 4.
Como pode ser notado, o maior resto possível é sempre 1 unidade a menos que o módulo do divisor.
Observe que ao dividir 43 por 17 obtém-se 2. O produto 2.17 = 34 é subtraído do 43, restando 9. Por isso abaixo do 43 foi posicionado o – 37. Dividindo 92 por 17 obteve-se 5. O produto 5x17 = 85 é subtraído do 2, obtendo o resto 7.Desta forma 432 dividido por 17 resulta em um cociente 25 e resto 7.
Neste caso, dividindo –32 por 23 obtém-se -1.
O produto 23.(-1) = - 23 deve ser subtraído de –32, o que resulta –32 – (-23) = -32 + 23 = -9. Fato semelhante resulta na divisão de – 95 por 23, obtém-se –4 e a –95 – (-92) = -95 + 92 = -3
23
De acordo com a definição da divisão, o resto “r” deve ser tal que 0 < r < |23|. Portanto, não se pode aceitar o resto –3. Para que se obtenha um resto positivo, devemos obter um múltiplo de 23 que seja maior que 95. Isto se consegue acrescentando uma unidade ao 4 do quociente. Isto faz resultar: quociente = -15 e resto – 95 – (-23.5) = - 95 + 115 = 20. Portanto, o quociente é –15 e o resto é 20.
Note que esse resultado poderia ser obtido fazendo: no quociente – 14 – 1 = -15 e r = -3 + 23 = 20 (resto obtido mais o divisor).
EXERCÍCIOS
Ache o quociente e o resto da divisão de a) 422 por 12 b) 314 por – 8c) –620 por 13 d) – 413 por –6
5.4 – CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO
Indicando por D(n) o conjunto dos divisores de um inteiro, teremos D(n) = {x Î Z* | x | a}.
Exemplos: D(8) = {-1, +1, -2, +2, -4, +4, -8, +8} D(0) = Z* (todo inteiro diferente de zero é divisor de zero) D(1) = {-1, +1}
Os divisores –1, +1, -a e +a de a, são chamados de divisores triviais de a.
Convém notar que se x | a , com a ¹ 0, então x < | a | è D(a) Ì [ -| a | , | a | ] è o conjunto dos divisores de um inteiro é um conjunto finito.
5.5 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS EXPRESSOS COMO RESTOS DE DIVISÕES
De acordo com o algoritmo da divisão, na divisão de qualquer inteiro n por outro inteiro k, teremos: n = kq + r, onde q é um inteiro e 0 < r < | k |.
No caso particular da divisão por dois, os restos somente podem ser 0 ou 1. Assim, todo número inteiro terá uma das forma n = 2k ou n = 2k + 1. Quando n = 2k o número é denominado par e quando n = 2k + 1, o número é denominado ímpar.
Para qualquer k, teremos: n = kq, n = kq + 1, n = kq + 2,..., n = kq + r, sendo 0 < r < | k |.
Assim, todo número natural terá uma das formas n = 3q, n = 3q + 1 ou n = 3q + 2, quando se considera a divisão por 3.
APLICAÇÕES
(1) Mostre que o produto de dois números inteiros consecutivos é par (ou múltiplo de 2).
Ora, dois números inteiros consecutivos terão as formas n e n + 1. Se n = 2k, pode-se escrever: n(n + 1) = 2k(n + 1) = 2[k(n + 1)]. Como k(n + 1) é um inteiro, então existe um inteiro que multiplicado por 2 resulta em n(n + 1). Portanto, n(n + 1) é par.
Mas se n = 2k + 1, ou n é ímpar, teremos: n(n + 1) = (2k + 1)[(2k + 1) + 1] = (2k + 1)(2k + 2) = 2.(2k + 1)(k + 1). Como (2k + 1)(k + 1) é um inteiro, então existe um inteiro que multiplicado por 2 resulta em n(n + 1). Portanto, n(n + 1) é par. Como só existem estas duas possibilidades, qualquer que seja n(n + 1) é par.
(2) Mostre que o produto de três números inteiros consecutivos é múltiplo de 3.
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Sejam os inteiros consecutivos n, n + 1 e n + 2. Todo número inteiro n pode ser escrito em uma das formas, n = 3k, n = 3k + 1 ou n = 3k + 2, pois os únicos restos possíveis são 0, 1 ou 2. Se n = 3k, a afirmação torna-se evidente pois n(n + 1)(n + 2) = 3k(n + 1)(n + 2) è n(n + 1)(n + 2) é múltiplo de 3. Se n = 3k + 1, teremos n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3.(k + 1) e n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)[3.(k + 1)] = 3.n.(n + 1)(k + 1) è o produto é múltiplo de 3. Se n = 3k + 2, teremos n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3(k + 1) e n(n + 1)( n + 2) = n[3.(k + 1)](n + 2) = 3n(k + 1)(n + 2 è o produto é múltiplo de 3.
Como estas são as únicas situações possíveis, n(n + 1)(n + 2) é múltiplo de 3.
(3) Mostrar que o quadrado de qualquer número, na divisão por 4 , os únicos restos possíveis são 1 ou 0.
Todo número inteiro tem uma das formas: n = 2k ou 2k + 1. O quadrado dessas duas possíveis formas são n = (2k)2 = 4k2 è o resto na divisão por 4 é zero.
n = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4.(k2 + k) + 1 = 4q + 1 è o resto na divisão por 4 é 1.
EXERCÍCIOS:
1 – Mostre que: ( a ) se a | b então (-a) | b, a | (-b) e (-a) | (-b). ( b ) se a | b então a | bc. ( c ) se a | b e se a | c então a2 | bc. ( d ) se a | b se e somente se ac | bc (c ¹ 0). 2 – Mostre que se “a” é um inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3. 3 – Mostre que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. 4 – Mostre que a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos nunca é divisível por 2. 5 – Na divisão de a = 427 por um inteiro positivo b, o quociente é 12 e o resto é r. Achar o divisor “d” e o resto ”r”. 6 – Na divisão de 525 por um inteiro positivo o resto é 27. Achar os inteiros que podem ser o divisor e o quociente. 7 – Na divisão de dois inteiros positivos o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Achar os dois inteiros se sua soma é 341. 8 – Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam o resto igual ao quociente. 9 – Na divisão de 392 por 45, determinar: a) o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente. b) O maior inteiro que se pode subtrair ao dividendo sem alterar o quociente. 10 – Numa divisão de dois inteiros, o quociente é 16 e o resto é 167. Determinar o maior inteiro que se pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente. 11 – Achar um inteiro de quatro algarismos, quadrado perfeito, divisível por 27 e terminado em 6. 12 – Um certo número inteiro positivo N é dividido por 32. Se o resto é 25 unidades a mais que o quociente, quais são os possíveis valores de N? 13 – Mostre que, se m e n são dois inteiros positivos tais que m > n, mostre que m + n e m – n têm sempre a mesma paridade. 14 – Mostre que: a) a soma de dois inteiros pares positivos é um inteiro par b) a soma de dois inteiros positivos, um par e outro ímpar, é um número ímpar. c) A soma de dois inteiros positivos ímpares é um inteiro par.
15 – Mostre que se “a” é um inteiro ímpar então 24 |a(a2 – 1).
16 – Mostre que se “a” e “b” são inteiros ímpares então 8 | (a2 – b2).
17 – Mostre que se “a” e “b” são dois inteiros quaisquer, “a” e “a + 2b” têm a mesma paridade.
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18 – Mostrar que 30 | (n5 – n).
CAPÍTULO 6 – MÁXIMO DIVISOR COMUM
6.1 – NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Consideremos os números positivos 12 e 19. Ao determinarmos os divisores positivos de 12 e de 19 teremos os seguintes conjuntos: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e D(19) = {1, 19}. Conforme pode ser visto, o inteiro positivo 12 tem, além dos divisores triviais 1 e 12 outros divisores. Entretanto, os divisores de 19 são apenas os triviais 1 e 19. Números como o 12 são chamados de números compostos e números como o 19 são chamados de números primos. Podemos assim, definir:
Um número inteiro positivo é denominado número primo, se e somente se, seus únicos divisores positivos forem 1 e ele mesmo. Um número não primo é chamado de número composto.
6.2 – DETERMINAÇÃO DE NÚMEROS PRIMOS – CRIVO DE ERATÓSTENES
Um procedimento útil para determinar os números primos até o inteiro positivo consiste em construir uma tabela onde são indicados todos os inteiros de 2 até n. A seguir, cortam-se todos os múltiplos dos números primos p, tais p < n , isto é cortam os inteiros p, 2p, 3p ....
Tomando por exemplo os inteiros de 2 até 200, teremos: 14 < < 15 como o primo mais próximo de 200 é 13, basta que se eliminem os múltiplos dos primos de 2 até 13.
Eliminados todos os múltiplos de 2 - 3 - 5 - 7 - 9 e 13, com exceção destes, sobram os números 2 - 3 - 5 - 7 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 43 - 47 - 53 - 59 - 61 - 67 - 83 - 89 - 97 - 101 -
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103 - 107 - 109 - 113 - 121 - 127 - 131 - 139 - 149 - 151 - 157 - 163 - 167 - 171 - 173 - 179 - 181 - 187 - 193 - 197 e 199, que são os números primos menores que 200.
Para determinar se um número n é ou não primo, basta então dividir tal número pelos primos a partir de 2. Quando o quociente tornar-se menor que o divisor e nenhuma divisão der resto zero, o número é primo.
Exemplo: verificar de 631 é ou não primo.
Dividindo 631 por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23 e 29 todos os restos são diferentes de zero (as divisões não são exatas). Nas divisões por 2, 3, 5, ... 23, o quociente é maior que o divisor (maior que 2, 3, 5, ...23, respectivamente). Entretanto, na divisão por 29 o quociente é 21 (menor que 29). Assim, 631 é um número primo.
Já o número 437 é um composto pois ao dividi-lo por 19, o quociente é 23 e o resto é zero.
A tabela acima pode ser usada para verificar se um número até 2002 = 40000 é ou não primo.
EXERCÍCIOS:
1 – Verifique se os números 169, 197, 239, 473, 917, 1013 são ou não primos.
6.3 – DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Todo número composto pode ser decomposto em 2 ou mais fatores. Tomando por exemplo o número 72, teremos 72 = 4 x 18 ou 72 = 3 x 4 x 6. Se continuarmos decompondo encontraremos 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32. Como os fatores 2 e 3 são primos não há forma de continuar a decomposição. A decomposição de 72 na forma 2 x 2 x 2 x 3 x 3 é chamada de decomposição em fatores primos ou decomposição canônica.
Com relação à decomposição temos:
- A decomposição canônica em fatores primos é única. - Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos. - Se a forma da decomposição de um inteiro positivo N é p1
a1.p2a2.p3
a3...pnan, então o número de
divisores inteiros de N é d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)...(an + 1)
Exemplo: A decomposição canônica de 600 é 600 = 23 x 3 x 52. Isto implica que 600 tem (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 4 x 2 x 3 = 24 divisores ou d(600) = 24.
EXERCÍCIOS
1 – Achar todos os primos da forma n2 – n.
2 – Achar três primos ímpares cuja soma seja (a) 81 (b) 125
3 – Achar todos os pares de primos p e q tais que p – q = 3.
4 – Achar todos os primos que são iguais a um quadrado perfeito menos 1.
5 – Ache a decomposição canônica de 5400.
6 – Quantos divisores positivos tem o número 5400?
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7 – Na decomposição de um número positivo com 30 divisores positivos, a decomposição canônica fornece 25.3a. Determine o valor de a e o número.
6.4 – FORMULAS QUE DÃO PRIMOS
Um dos problemas até o momento insolúveis é a determinação de uma fórmula que forneça todos os números primos. Muitas expressões foram apresentadas, porém nenhuma delas permaneceu como verdadeira.
Vejamos algumas: 1. Fórmula de Euler: pn = n2 + n + 41. Não é primo para n = 41, pois 412 + 41 + 41 = (41 + 1 + 1)x41 = 43 x 41.
2. pn = 2n2 + 29 (não é primo para n > 28)
3. pn = n2 + n + 17 (não é primo para n > 16)
4. pn = 3n2 + 3n + 23 (não é primo para n > 21)
O uso de fatoriais é útil para determinação de seqüências de números compostos. Tomando por exemplo (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, (n + 1)! + (n + 1) são todos compostos pois para cada (n + 1)! + i ( para 2 < j < n + 1) é divisível por j pois j é um fator de (n + 1)!. Assim, se quisermos 6 inteiros consecutivos compostos basta fazer 7! + 2, 7! + 3 , 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6 e 7! + 7. Teremos neste caso os inteiros 5040 + 2, 5040 + 3, 5040 + 4, 5040 + 5, 5040 + 6, 5040 + 7 ou 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 e 5047.
EXERCÍCIOS
1 - Escreva uma seqüência de 4 números inteiros positivos compostos.
2 - Escreva uma seqüência de 10 números inteiros positivos compostos.
6.5 – MÁXIMO DIVISOR COMUM
Consideremos os inteiros 24 e 18. Os conjuntos dos divisores de 24 e 18 são: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Selecionando os divisores comuns temos: D(24, 18) = {1, 2, 3, 6}. Como o conjunto dos divisores de um inteiro é finito, o conjunto dos divisores comuns também é finito. Por essa razão, o conjunto dos divisores terá um elemento máximo, que no caso é 6. Esse maior elemento do conjunto dos divisores de dois ou mais números é denominado máximo divisor comum e se escreve, mdc(a, b) para indicar o máximo divisor comum dos inteiros a e b.
Definição:- Sejam os inteiros a e b não conjuntamente todos nulos. Chama-se máximo divisor comum de a e b, que indicamos por mdc(a, b), ao inteiro “d”, tal que:
(1) d | a e d | b (2) se c | a e se c | b, então c < d.
Pelo definição, em (1), exige-se que d seja um divisor comum de a e b; e, em (2) exige-se que d seja o maior dos divisores comuns de a e b.
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A respeito do máximo divisor comum de dois ou mais números podem ser verificadas as seguintes propriedades: P1 – mdc(a, b) = mdc(b, a) P2 – mdc(0, 0) não existe pois todo inteiro é divisor de zero. P3 – mdc(1, a) = 1 P4 – mdc(a, a) = a P5 – Se a < b e d = mdc(a, b) então d < a. Isto significa que o mdc de dois números é menor ou igual ao menor dos dois números. P6 – mdc[a, (b, c)] = mdc[a, mdc(b, c)] = mdc[mdc(a, b), c] = mdc (a, b, c). Esta propriedade mostra que para determinar o mdc de três ou mais números pode-se calcular o mdc de dois deles e depois o mdc do mdc desses dois com o terceiro, e assim, sucessivamente. P7 – O mdc(a, b) é igual ao produto dos fatores primos comuns de a e b, com seus menores expoentes. Esta propriedade fornece um método para calcular o mdc de dois ou mais números pelo processo da fatoração.
Por exemplo: calcular mdc(48, 180). Fatorando os dois números temos: 48 = 24x3 e 180 = 22x32x5. Os fatores comuns dos dois números, com seus menores expoentes são 22x3 = 12. P8 – Se a e b são dois inteiros não conjuntamente nulos, então existe e é único o mdc(a, b). Esta propriedade é evidente pois: (1) todo inteiro tem pelo menos dois divisores - 1 e ele mesmo; (2) o conjunto dos divisores é finito e, (3) o maior elemento de um conjunto, subconjunto finito dos inteiros, existe e é único. P9 – Quaisquer que sejam os inteiros a e b, não conjuntamente nulos, existem os inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by. Vimos anteriormente que se a | b e a | c, então a | (bx + cy), " x, y Î Z. (P8 – item 5.2). Como mdc(a, b) | a e mdc(a, b) | b, então mdc(a, b) | ax + by. Portanto, existem os inteiros x e y tais que; mdc(a, b) = ax + by.
6.6 – ALGORÍTMO DE EUCLIDES
Este é um procedimento que permite determinar o mdc de dois números inteiros a partir das divisões sucessivas. Este procedimento tem por base o princípio “ se a = bq + r, então mdc(a, b) = mdc(b, r).
Assim, para achar o mdc de dois números divide-se o maior pelo menor. Este, divide-se pelo resto da divisão obtendo um segundo resto, e assim sucessivamente até encontrar um resto nulo. O último resto não nulo é o mdc dos dois números.
Seja então determinar o mdc(480, 130).
Temos 480 = 130.3 + 90 (o primeiro resto é 90) è mdc(480, 130) = mdc(130, 90) 130 = 90.1 + 40 ( o segundo resto é 40) è mdc(130, 90) = mdc(90, 40) 90 = 40.2 + 10 ( o terceiro resto é 10) è mdc(90, 40) = mdc(40, 10) 40 = 10.4 + 0, como foi obtido o resto 0, temos mdc(40, 10) = 10. Portanto, mdc(480, 130) = 10.
Para simplificar o processo podemos dispor os números, os quocientes e os restos em um quadro conforme abaixo:
6.7 – EQUAÇÕES DIOFANTINAS
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Na propriedade 9, vimos que se mdc(a, b) = d, então existem os inteiros x e y, tais que: ax + by = d. É evidente que se ax + by = d, tem solução, a equação ax + by = k.d, com k inteiro também terá. Se xo, yo é uma solução de ax + by = d, então kxo, kyo será solução de ax + by = k.d
Equações desse tipo são chamadas de equações diofantinas.
A solução de uma equação do tipo ax + by = d, é obtida a partir das divisões efetuadas para obtenção do mdc.
Vejamos alguns exemplos –
1º Seja resolver a equação 480x + 130y = 10. Nas divisões sucessivas obtemos: 480 = 130.3 + 90 è 90 = 480 – 130.3 (igualdade 3) 130 = 90.1 + 40 è 40 = 130 – 90.1 (igualdade 2) 90 = 40.2 + 10 è 10 = 90 – 40.2 (igualdade 1) 40 = 10.4 + 0. A partir da divisão em que o resto é igual ao mdc, fazemos:
(1) 10 = 90 – 40.2. (igualdade 1)(2) Substituindo o valor de 40, da igualdade 2 na expressão (1), resulta: 10 = 90 – (130 – 90.1)2. (3) Reunindo os coeficientes de 90 e 50, teremos 10 = 90.3 – 130.2 (4) Substituindo o valor de 90, da igualdade 3, na expressão obtida em (3), resulta: 10 = (480 – 130.3).3 – 130.2. (5) Reunindo os coeficientes de 480 e 130, resulta, finalmente 10 = 480.3 – 130.11. (6) Comparando com a equação dada, obtemos x = 3 e y = -11.
2º exemplo: Resolver a equação 170x + 27y = 5.
Divisões sucessivas: 170 = 27.6 + 8 è 8 = 170 – 27.6 27 = 8.3 + 3 è 3 = 27 - 8.3 8 = 3.2 + 2 è 2 = 8 - 3.2 3 = 2.1 + 1 è 1 = 3 - 2.1 2 = 2.1 + 0 è mdc(170, 27) = 1
Resolvendo a equação para 170x + 27y = 1, temos: 1 = 3 – 2.1 = 3 – (8 – 3.2).1 = 3.3 – 8 = (27 – 8.3).3 – 8 = 27.3 – 8.10 = 27.3 – (170 – 27.6).10 è 1 = 27.63 – 170.10. Assim, as soluções de 170x + 27y = 1 são x = -10 e y = 63.
Em conseqüência, temos para 170x + 27y = 5, as soluções x = 5.(-10) = - 50 e y = 5.(63) = 315.
EXERCÍCIOS
1 – Calcule o mdc dos seguintes pares de números: a) 306 e 657 b) 272 e 1479 c) 7469 e 2387 d) –816 e 7209 e) –5376 e –3402. f) 14 e -21
2 – Calcule o mdc dos seguintes números: a) 624, 504 e 90 b) 285, 675 e 405 c) 69, 598 e 253
3 – Resolva as equações: a) mdc(56, 72) = 56x + 72y b) mdc(24, 138) = 24x + 138y
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c) mdc(1769, 2378) = 1769x + 2378y d) 78x + 32y = 2 e) 104x + 91y = 13 e) 288x + 51y = 3 g) 17x + 5y = -2.
4 – Se mdc(a, 0) = 13, ache os possíveis valores de a.
5 – Sabe-se que a e b são primos entre si. Calcule mdc(a + b, a – b).
6 – Se a e b são dois números primos não pares, determine mdc(a + b, a – b).
7 – Ache os elementos de {1, 2, 3, 4, 5} que são primos com 8.
8 – Enumerar os elementos x de {1, 2, 3, 4, 5, 6} tais que mdc(x, 6) = 1.
9 – Deseja-se cercar um terreno retangular de dimensões 940 m por 740 m com arame farpado. Para isso o dono deverá colocar moirões em todos os lados de modo que a distância entre dois moirões consecutivos seja sempre a mesma. Qual é o número mínimo de moirões usados e qual é a distância entre dois moirões consecutivos?
10 – Sabe-se que a e b são dois números primos entre si. Calcule mdc(a + b, a – b).
11 – Se mdc(a, 0) = 23, achar os valores de a.
12 – Se n é um inteiro qualquer, calcule mdc(n, n + 1).
13 – Calcule os inteiros positivos a e b se a) a + b = 63 e mdc(a, b) = 9 b) ab = 756 e mdc(a, b) = 6.
14 – Achar o maior inteiro positivo pelo qual se deve dividir 160, 198 e 370 para que os restos da divisão sejam respectivamente 7, 11 e 13.
15 – O mdc de dois números inteiros positivos é 10 e o maior deles é 120. Determine os possíveis valores do outro número.
16 – Calcule a e b se a2 – b2 = 7344 e mdc(a, b) = 12.
17 – Dividindo-se dois inteiros pelo mdc destes dois, a soma dos quocientes é 8. Determinar os dois inteiros, se sua soma é igual a 384.
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CAPÍTULO 07 – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
7.1 – DEFINIÇÃO
Sejam a e b dois inteiros, com a ¹ 0 e b ¹ 0. Chamamos de mínimo múltiplo comum de a e b, que se denota mmc(a, b), ao menor inteiro positivo “m”, tal que a | m e b | m.
Em resumo: mmc(a, b) = o menor inteiro positivo múltiplo de a e de b.
Tomando por exemplo, os inteiros -12 e 18, teremos: M(-12) = {0, ± 12, ± 24, ± 36; ± 48; ± 60; ± 72; ± 84; ± 96; ± 108; ± 120; ± 132; ± 144;...} M(18) = {0, ± 18, ± 36; ± 54; ± 72; ± 90; ± 108; ± 126; ± 144;...}
Os múltiplos comuns de –12 e 18 são: {0; ± 36; ± 72; ± 108; ± 144; ...}. Teremos assim, para o mmc(-12, 18) o valor 36 pois é o menor inteiro positivo múltiplo de –12 e 18.
7.2 – PROPRIEDADES DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DOIS OU MAIS NÚMEROS
Sejam a, b e c inteiros diferentes de zero. Temos, para o mmc de tais números
P1) mmc (a, b) = mmc(-a, b) = mmc(a, -b) = mmc(-a, -b). P2) mmc(a, b, c) = mmc(a, mmc(b, c)) = mmc(mmc(a, b), c) P3) mmc(1, a) = a, com a ¹ 0. P4) Se a | b, então mmc(a, b) = | b |. P5) Se | a | < | b | então mmc(a, b) < | b |. P6) Os múltiplos comuns de dois inteiros a e b são múltiplos de seu mmc. P7) Na decomposição de a e b em fatores primos, o mínimo múltiplo comum de a e b é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomados com seus maiores expoentes.
Exemplo: Seja calcular o mmc de 30 e 18. Decompondo os dois inteiros temos: 60 = 22.3.5 e 18 = 2.32. Tomando todos os fatores obtidos com seus maiores expoentes, resulta mmc(60, 18) = 22.32.5 pois os fatores primos são 2, 3 e 5, e 2 e 2 são os maiores expoentes de 2 e 3.
Um procedimento prático para a determinação do mmc consiste na decomposição dos inteiros simultaneamente, conforme abaixo
P8) Se a e b são primos entre si, então mmc(a, b) = | a |. | b |
7.3 – RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC
Sejam a e b dois inteiros não nulos. Tem-se mmc(a, b). mdc(a, b) = | ab |.
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Demonstração: sejam mdc(a, b) = d e mmc(a, b) = m. Como mdc(a, b) = d, d | b e d | a è (b/d) e (a/d) são números inteiros. Deste modo a | a(b/d) e b | b(a/d) è ab/d é um múltiplo comum de a e b è ab/d é múltiplo do mmc(a, b) (P.6). Temos, então: ab/d = mk, k inteiro. Isto permite concluir que a/d = (m/b)k e b/d = (m/a)k è k é um divisor comum de a/d e b/d. Mas a/d e b/d são primos entre si. Portanto, k = 1. Desta forma, ab/d = m ou ab = dm è ab = mdc(a, b). mmc(a, b).
EXERCÍCIOS
01 – Calcular o mmc dos seguintes números: a) 45, 21 b) 83, 68 c) –120, 110 d) –224, -192 e) 306, 657, 210
02 – O mdc de dois inteiros positivos a e b é 18 e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os quocientes obtidos são 2, 1, 1, e 4. Calcular a e b.
03 – Determinar os inteiros positivos a e b tais que: a) ab = 4032 e mmc(a, b) = 336 b) mdc(a, b) = 8 e mmc(a, b) = 560 c) a + b = 580 e mmc(a, b)/mdc(a, b) = 84.
04 – Na decomposição dos inteiros a e b obteve-se a = 24x35x5x13 e b = 23 x 3 x 7. Calcule, sem efetuar as multiplicações o mdc e mmc de a e b.
05 – Achar inteiros positivos x, y e z tais que
a) 11x + 19y + 3z = 1 b) 56x + 6y + 32z = 2
c) 6x + 3y + 15z = 9 d) 14x + 7y + 21z = 4
06 – Dois ciclistas conseguem percorrer um a pista circular em 18 e 20 minutos respectivamente. Se os dois partem da largada exatamente à 11 horas, determine o instante em que eles passarão juntos pela marca de largada pela 4 vez, contando a partida.
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CAPÍTULO 08 – CONGRUÊNCIAS
8.1 – INTRODUÇÃO
O estudo das congruências tem sua objetividade na resolução de equações diofantinas, bem como na verificação de algumas propriedades dos números inteiros.
Definição:- Sejam a e b dois inteiros e m um inteiro positivo. Dizemos que a e b são congruentes ou côngruos módulo m, se m | (a – b).
Indicamos a congruência de a e b módulo m por: a º b (mod.m)
São conseqüências da definição:
(1) a é côngruo com b, se os restos da divisão de a e b por m forem iguais. (lembre-se que 0 < r < m )
(2) a º b (mod.m) Û existe k inteiro, tal que a – b = km. Note que a equivalência implica na validade da propriedade nos dois sentidos. Assim, se a – b = km, k inteiro, então a º b.
Exemplos: 5 º 3 (mod.2) pois 2 | 5 – 3 ou o resto da divisão de 5 e 3 por 2 é 1; -13 º 27 (mod.5) pois 5 | -12 – 27 ou resto da divisão de –12 e 27 por 5 é 2. No segundo exemplo, deve-se observar que -13 = 5.(-3) + 2. Portanto o resto é 2.
8.2 – PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS
P1) a º a (mod.m) (reflexiva) Temos a – a = 0 e m | 0.P2) Se a º b (mod.m) então b º a (mod.m) (simétrica) Se a º b (mod.m) então m | a – b è a – b = km è b – a = -km è b – a = (-k)m è m | b – a è b º a. P3) Se a º b (mod.m) e b º c (mod.m) então a º c (mod. m) (transitiva) De a º b (mod. m) tiramos a – b = km e de b º c (mod.m) tiramos b – c = k’m. Subtraindo a segunda igualdade da primeira, resulta (a – b) – (b – c) = km – k’m è a – c = (k – k’)m è a º c (mod.m)P4) Se a º b (mod.m) e se n | m, com n > 0, então a º b (mod.n) a º b (mod.m) è a – b = km è a – b = k(k’n) pois n | m è a – b = (kk’)n è a º b (mod.n).
P5) Se a º b (mod.m) e se c º d (mod.m), então (I) a + c º b + d (mod.m) e (II) ac º bd (mod.m).
De a º b (mod.m) e c º d (mod.m) tiramos a – b = km è a = b + km e c = d + k’m. Somando as duas igualdades, tiramos: a + c = b + d + km + k’m è a + c = b + d + (k + k’)m è a + c º b + d (mod.m). Multiplicando as duas igualdades, ac = bd + bk’m + kmd + kk’m2 è ac = bd + (bk’ + kd + kk’m)m è ac º bd (mod.m).
P6) Conseqüências da propriedade anterior: 1ª) se a º b (mod.m) então a + c º b + c (mod.m) 2ª) se a + b º c (mod.m) então a º c – b (mod.m)3ª) se a º b (mod.m) então ac º bc (mod.m)
A recíproca não é verdadeira. Isto é se ac º bc (mod.m) não se pode garantir que a º c
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(mod.m), exceto quando mdc(c,m) = 1.Exemplo: 3x15 º 3x5 (mod.15) pois 45 – 14 = 30 e 15 | 30, mas 15 º 5 (mod.15).
4ª) se an º bn (mod.m) então a º b (mod.m) A recíproca não é verdadeira como pode ser visto no exemplo: 43 º 23 (mod.8) pois 43 – 23 = 64 – 8 = 56 e 8 | 56. Mas 4 º 2 (mod.8) pois 4 – 2 = 2 e 8 não divide 2.
P7) Se a º b (mod.m) então a º b – mk.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 – Indique por V ou F a) 91 º 0 (mod. 7). A congruência é verdadeira pois 91 – 0 = 91 e 91 = 13.7 è 7 | 91. b) –2 º 2 (mod.8). A congruência é falsa pois –2 – 2 = -4 e 8 não divide 4. 2 – Uma das aplicações mais antigas com relação às congruências é a prova dos 9 (também chamada noves fora) onde as parcelas são convertidas em inteiros côngruos. Faz-se o mesmo com a soma. Assim, para verificar a possibilidade da exatidão da operação 423 + 112 + 313 + 237 = 1083, fazemos: 423 º 0 (mod.9), 112 º 4 (mod.9), 313 º 7 (mod.9), 237 º 3 (mod.9) e 1083 º 3 (mod.9). Somando as parcelas, 0 + 4 + 7 + 3 º 5 (mod.9). Como a soma 1083 é côngruo com 3 mod.9, a operação está errada.
É bom observar que o processo serve para verificar se há erro, mas não prova se a operação está certa.
3 – Ache o menor inteiro positivo que representa a soma 6 + 2 – 5 + 7 + 3 (mod. 7). Temos: 6 + 2 = 8 º 1 (mod.7); 1 – 5 = -4 º -4 + 7 = 3; 3 + 3 º 6 (mod.7)
4 – Mostre que 1110 º 1 (mod.100)
Fazendo 1110 = (112)5 = 1215 º 215 = (21)2.(21)2.21 = 441 x 441 x 21 º 41 x 41 x 21 = 41 x 3 x 41 x 7 = 123 x 287 º 23 x 87 = 2001 º 1 (mod.100)
Observe que separamos potencias de 11 mais próximas de 100.
EXERCÍCIOS:
1. Indique por Verdadeiro ou falso a) 17 º 9 (mod.2) b) 42 º -8 (mod.10) c) 1213 º 112 (mod.17)
2. Ache o menor inteiro positivo e o maior inteiro negativo que represente a soma:
a) 5 + 3 + 2 + 1 + 8 (mod. 6)
b) 2 + 3 – 1 + 7 – 2 (mod. 4)
3. Se 1066 º 1776 (mod. m), quais são os possíveis valores de m?
4. Ache todos os inteiros x, tais que 0 < x < 15 e 3x º 6 (mod. 15)
5.- Dê todos os inteiros positivos menores que 100, côngruos a 8 mod. 13.
6 – Mostre que 41 divide 220 – 1. Sugestão prove que 220 º 1 (mod.41)
7 – Ache os restos da divisão de 250 e 4165 mod. 7.
8 – Mostre que 89 | 244 – 1 e que 97 | 248 – 1.
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8.3 – SISTEMA COMPLETO DE RESTOS
Definição:- Seja S um conjunto de inteiros côngruos a {0, 1, 2, 3, ... m – 1}. Nestas condições, dizemos que S é um conjunto completo de restos módulo m. Tomando por exemplo o conjunto S = {-3, 8, 11, - 11, 45} , S é um conjunto completo de restos módulo 5 pois, -3 º -3 + 5 = 2; 8 º 8 – 5 = 3; 11 º 11 – 10 = 1; -11 º -11 + 15 = 4 e 45 º 0 (mod.5). Ou seja, os elementos de S são congruentes com 0, 1, 2, 3 e 4 (mod.5).
EXERCÍCIOS:-
1 - Verifique se os conjuntos abaixo são sistemas completos de restos módulo 6. a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {0, 5, 10, 15, 20, 25}c) { -4, -3, -2, -1, 0, 1} d) {17, -4, 6, 7, 10, 3}
2 – Ache um sistema completo de restos, módulo 7, onde todos os elementos são primos.
3 – Ache um sistema completo de restos, módulo 7, formados somente por múltiplos de 4.
8.4 – CONGRUÊNCIAS LINEARES
Definição:- Chamamos de congruência linear a toda equação da forma r + ax º s (mod. m).
Equações desse tipo pode ser reduzida à forma ax º b (mod.m) bastando para isto fazer ax º s – r (mod.m), condição esta prevista nas propriedades das congruências. Na solução de equações desse tipo, é permitido substituir “a” por a – km e “b” por b – km de acordo com as propriedades das congruências. Entretanto, a e b não podem ser divididos por um divisor comum dos dois, pois isto não é válido para as congruências.
Tomando por exemplo a equação 314 + 172x 1312 (mod.5) podemos fazer: 314 = 62.5 + 4 è 314 º 4 (mod.5) 172 = 34.5 + 2 è 172 º 2 (mod.5) 1312 = 262.5 + 2 è 1312 º 2 (mod.5)
Efetuando estas substituições na equação dada temos: 4 + 2x º 2 (mod.5) è 2x º 2 – 4 (mod.5) è 2x º -2 (mod.5) è 2x º -2 + 5 (mod. 5) è 2x º 3 (mod.5). Aqui, devemos procurar um inteiro que multiplicado por 2 seja congruente a 3 (mod.3). Isto é, um inteiro x, tal que 2x – 3 seja múltiplo de 5. Por tentativa, obtém-se x = 4 pois 2.4 – 3 = 5 (= 5.1)
8.5 – PROCESSOS DE RESOLUÇÃO DE CONGRUÊNCIAS LINEARES
Para facilidade de resolução de congruência lineares define-se o inverso de um inteiro x, ao inteiro x*, tal que x*.x º 1 mod.m.
Na aplicação do inverso teremos, a.x º b (mod.m) è a*.a.x º a*.b (mod.m) è 1.x º a*.b (mod.m) è x º a*.b (mod.m)
Tomando por exemplo, o módulo 5 teremos 2* = 3 pois 2.3 º 1 (mod.5). Isto é, o inverso de 2 é o 3. Da mesma forma 4* = 4 pois 4.4 = 16 º 1 (mod.5)
1º processo - Tabelas operacionais
Consideremos, por exemplo, congruências módulo 7. Para a multiplicação teremos
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Para resolver a equação 67x º 159 (mod.7) teremos: 67 º 2 (mod.7) e 159 º 5 (mod.7). Portanto, 67x º 159 (mod.7) equivale à 2.x º 5 (mod.7). Observando a tabela, e de x º 2*.5 (mod.7) teremos x º 4.5 = 20 º 6 (mod. 7). Portanto, a solução da equação acima é x º 6 (mod.7)
2º processo - Transformando em equação diofantina
A equação ax º b (mod.m), conforme definição equivale a ax – my = b. Resolvendo esta equação conforme já foi estudado, obtém-se o valor de x.
A transformação de uma equação diofantina em congruência linear, muitas vezes facilita a solução da mesma.
Tomando por exemplo a equação 11x + 27y = 4, podemos transformar a mesma em 27y º 4 (mod.11). Observe que devemos escolher o menor entre 11 e 27 para ser o módulo. Como 27 º 5 (mod.11), temos 5y º 4 (mod.11). Devemos procurar um inteiro de dividido por 11 deixe resto 4 e que seja múltiplo de 5. Por tentativa, encontramos esse inteiro igual a 15 pois 15 = 1.11 + 4. Assim, y = 3. Substituindo esse valor na equação 11x + 27y = 4, obtemos 11x + 27.3 = 4 è 11x = 4 – 81 è 11x = - 77 e x = -7.
8.6 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA E NÚMERO DE SOLUÇÕES
A equação ax º b (mod.m) é equivalente a ax – my = b. Conforme já estudado, esta equação só terá solução quando b é um múltiplo do mdc(a, m).
Aplicando este fato às congruências lineares, pode-se concluir que ax º b (mod.m) terá solução se e somente se mdc(a,m) | b.
Em itens anteriores, vimos que se (xo, yo) é solução da equação ax + by = c então x = xo + t.b/(mdc(a,b) e y = yo – t.a/mdc(a,b) também são soluções dessa equação.
Como conseqüência, a equação ax º b (mod.m) também terá infinitas soluções. Entretanto, o número de soluções incongruentes será igual a d, onde d é o mdc de a e m.
EXERCÍCIOS
1 – Resolva as congruências lineares a) 2x º 1 (mod.17) b) 3x º 1 (mod.17) c) 3x º 6 (mod.18)d) 25x º 15 (mod.29) e) 5x º 2 (mod.26) f) 14x º 36 (mod.48)
2 – Resolva as equações diofantinas a) 4x + 51y = 9 b) 12x + 25y = 331 c) 5x – 53y = 17d) 7x + 6y = 9 e) 65x + 77y = 200 f) 51x + 85y = 1037g) 75x – 131y = 6.
3 – Dê o número de soluções incongruentes das equações a) 3x º 6 (mod.15) b) 4x º 8 (mod.15)c) 5x º 10 (mod.15) d) 6x º 11 (mod.15)
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