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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense Disciplina: Arquitetura de Computadores Professor: Nildo Carlos da Silva Turma: BSI11 Ana Paula Reinecke¹ Camilla Moreira Uchoa² Larissa Rozza Peluso³ Sistemas Numéricos

Apresentação1 sistemas numéricos

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense

Disciplina: Arquitetura de ComputadoresProfessor: Nildo Carlos da Silva Turma: BSI11

Ana Paula Reinecke¹Camilla Moreira Uchoa²

Larissa Rozza Peluso³

Sistemas Numéricos

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* Existem várias regras que permitem ler e escrever qualquer número, usando poucas palavras e poucos símbolos.

* O conjunto de tais regras constitui um Sistema de Numeração. Estes sistemas, têm variado com as épocas e com os povos.

Sistemas de Numeração

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Sistemas de Numeração Antigos

Egípcio Babilônio

Romano

1.969 = MCMLXIX

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Egípcio

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Exemplos:

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BabilônioExemplos:

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Romano

Exemplos:

I : um V: cinco X: dez L: cinqüenta X: cem D: quinhentos M : mil

3 = III 9 = IX 21 = XXI 206 = CCVI

1.969 = MCMLXIX

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Base de um Sistema

É o número de elementos necessários para formar um conjunto padrão que auxilie a contagem de objetos.Assim, quando falamos em base 10, por exemplo, estamos pensando na formação de conjuntos com dez elementos, isto é, dada uma coleção de objetos, procuramos saber quantos conjuntos de 10 podem ser formados.

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Bit – menor partícula de informação no computador, pode representar 0 ou 1. Esses dois símbolos são opostos e mutuamente exclusivos.

Byte – conjunto de 8 bits.

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• Existiram e existem diversos sistemas de numeração.

• No computador, serve para questões de endereçamento, armazenamento, conteúdo de tabelas e representações gráficas.

• Bases diferentes usadas nos mais diversos computadores.

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Representação nas bases

* 1011012 - 101101 na base 2 (binária)

* 7528 - 752 na base 8 (octal)

* 651 - 651 na base 10 (decimal)

Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado assim: 65110

* 42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)

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• Bases• Binária

• 0, 1• Octal

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7• Decimal

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9• Hexadecimal

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

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SISTEMA DECIMAL

Sistema decimal é um sistema de numeração de base10, com dígitos decimais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Considere o significado do número 83. Ele significa oito dezenas e três unidades:

83 = (8 x 10) + 3

O número 4728 significa quatro milhares, sete centenas, duas dezenas e oito unidades:

4728 = (4 x 1000) + (7 x 100) + (2 x 10) + 8

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O sistema decimal é assim chamado por usar a base 10. Isso significa que cada dígito do número é multiplicado por 10 elevado à potência correspondente a posição do dígito:

83 = (8 x 10¹) + (3 x 100) 4728 = (4 x 10³) + (7 x 10²) + (2 x 10¹) + (8 x

100)

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Valores fracionários são representados do mesmo modo:472,83 = (4 x 10²) + (7 x 10¹) + (2 x 10°) + (8 x 10-1) + (3 x 10-2)

Em geral, para a representação decimal de X = {...x2x1x0 ... x-1x-2x-3...}, o valor de X é igual a:

X= ∑xi10i i

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SISTEMA BINÁRIO

No sistema decimal, são usados dez dígitos distintos para representar os números na base 10. No sistema binário, temos apenas dois dígitos, 1 e 0. Portanto, números no sistema binário são representados na base 2.Para evitar confusão, algumas vezes usamos um número subscrito para indicar a base do sistema de numeração adotado. Por exemplo, 8310 e 4728 10 são números representados na notação decimal, ou seja, números decimais.

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Os dígitos 1 e 0, na notação binária, têm o mesmo significado que na notação decimal: 02 = 010

12 = 110

Para representar números maiores, como na notação decimal, cada dígito de um número binário tem um dado valor, dependendo de sua posição:

10 2 = (1 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 2 10

11 2 = (1 x 2 1 ) + (1 x 2°) = 3 10

100 2 = (1 x 2 2) + (0 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 4 10

e assim por diante.

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Valores fracionários são representados com potências negativas da base: 1001,101 = 2 3 + 2° + 2-1 + 2-3= 9,625 10

CONVERSÃO ENTRE NÚMEROS BINÁRIOS E DECIMAIS

A conversão de um número na notação binária para a notação decimal é simples. Basta multiplicar cada dígito binário pela potência de 2 adequada e somar os resultados.

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Para converter a notação decimal em notação binária, o número inteiro e a parte fracionária são tratados separadamente. Suponha que queremos converter um número inteiro decimal N para a forma binária. Se dividirmos N por 2, no sistema decimal, obtendo um quociente N1 e um resto R1, podemos escrever:

N = 2 x N1 + R1 R1 = 0 ou 1

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A seguir, dividimos o quociente N1 por 2. Suponha que o novo quociente seja N2 e o novo resto, R2. Então:

N1 = 2 x N2 + R2 R2 = 0 ou 1

assim:

N = 2(2N2 + R2) + R1 = 2²N2 + R2 x 2¹ x R1 x 20

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Se, a seguir, tivermos: N2 = 2N3 + R3

então obteremos:

N= 2³N3 + R3 x 2² + R2 x 2¹ + R1 x 20

Ou seja, podemos converter da base 10 para a base 2 por meio de repetidas divisões por 2. O resto e o quociente final, 1, nos dão os dígitos binários de N, na ordem do menor para o maior dígito significativo. Exemplos de conversão de números inteiros da notação decimal para a notação binária.

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a) Quociente Resto

11 = 5 ( 5,5) 1 --------------------- 2

5 = 2 (2,5) 1 ---------------2

2 = 1 0 -----------2

1 = 0 (0,5) 1 ------2 1 0 1 12 = 1110

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b)

21 = 10 (10,5) 1 --------------------- 2 0 ----------------10 = 5 2 1 ----------- 5 = 2 (2,5) 0 -------2 1 ---2 = 12 1 = 0 (0,5)2 1 0 1 0 12 = 2110

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A conversão da parte fracionária envolve repetidas multiplicações por dois. A cada passo, a parte fracionária do número decimal é multiplicada por 2.O dígito à esquerda da vírgula decimal no produto será 0 ou 1 e contribuirá para a representação binária, começando pelo bit mais significativo. A parte fracionária do produto é usada como multiplicando no próximo passo. Para mostrar que isso funciona, consideramos uma fração decimal positiva F < 1. Podemos expressar F como:

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F =(a-1 x 1) + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + ... 2 2² 2³

onde cada a-i é 0 ou 1. Se multiplicarmos isso por 2, teremos:

2F = a-1 + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³

Page 26: Apresentação1   sistemas numéricos

As partes inteiras dessas duas expressões devem ser iguais.Conseqüentemente, a parte inteira de 2F, que deve ser 0 ou 1, uma vez que 0 < F < 1, é simplesmente a-1 . Portanto: 2F = a-1 + F1 , onde 0 < F1 < 1 e:

F1 =(a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³

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Para encontrar a-2 repetimos o mesmo processo, que não é necessariamente exato. Ou seja, uma fração decimal com um número finito de dígitos pode demandar uma fração binária com número infinito de dígitos. Nesses casos, o algoritmo de conversão normalmente é interrompido depois do número predefinido de passos, dependendo da precisão desejada.

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Representação de binário na base 10

* 11010012

* 11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

* 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1

* 11010012 = 10510

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Representação de octal na base 10

* 546218

* 546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80

* 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1

* 546218 = 2292910

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Representação de hexadecimal na base 10

* 3974116

* 3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 1 x 160

* 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1

* 3974116 = 23532910

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NOTAÇÃO HEXADECIMAL

Em virtude da natureza binária inerente dos componentes de um computador digital, todas as formas de dados são representadas, dentro do computador, por códigos binários. No entanto, embora o sistema binário seja conveniente para computadores, é excessivamente ineficiente para seres humanos. Por isso, a maioria dos profissionais de computação que passam grande parte do tempo trabalhando com dados manipulados no computador prefere uma notação mais compacta.

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a) 0,8110 = 0,1100112 (aproximado)

Produto Parte inteira , 1 1 0 0 1 1

0,81 x 2 = 1,62 1 ------0,62 x 2 = 1,24 1 ---------0,24 x 2 = 0,48 0 ------------0,48 x 2 = 0,96 0 ---------------0,96 x 2 = 1,92 1 ------------------0,92 x 2 = 1,84 1 ---------------------

Exemplos de conversão de números fracionários da notação decimal para a notação binária.

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b) 0,2510 = 0,012 (exato)

, 0 1

0,25 x 2 = 0,5 0 ------------------0,5 x 2 = 1,0 1 ---------------------

Em vez disso, é adotada uma notação conhecida como hexadecimal. Os dígitos binários são agrupados em conjuntos de quatro. A cada combinação possível de quatro dígitos binários é atribuído um símbolo, como a seguir:

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0000 = 0 0001 = 10010 = 20011 = 30100 = 40101 = 50110 = 60111 = 7

1000 = 81001 = 91010 = A1011 = B1100 = C1101 = D1110 = E1111 = F

Por serem usados 16 símbolos, a notação é chamada hexadecimal e esses 16 símbolos são os dígitos hexadecimais.

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Uma seqüência de dígitos hexadecimais pode ser vista como uma representação de um número inteiro na base 16. Portanto,

1A16 = (116 x 16¹) + (A16 x 16 0)

= (110 x 16¹) + (1010 x 16 0) = 26

A notação hexadecimal é usada não apenas para representar números inteiros. Ela também é usada como uma notação concisa para representar qualquer seqüência de dígitos binários, mesmo que representem texto, números ou algum outro tipo de dado. As razões para se usar notação hexadecimal são as seguintes:

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1. É mais compacta que a notação binária.2. Na maioria dos computadores, os dados binários têm um tamanho que é múltiplo de 4 bits e, portanto, múltiplo de um dígito hexadecimal.3. É extremamente fácil converter entre as notações binária e hexadecimal.

Como um exemplo desse último ponto, considere a seqüência de bits 110111100001. Isso é equivalente a:

1101 1110 0001 = DE116

D E 1

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Esse processo é realizado tão naturalmente que um programador experiente pode converter representações visuais de dados binários para seus equivalentes hexadecimais mentalmente, sem precisar escrever.

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Mudança da base 10 para binário

714

714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1 |_2_ 1 0

714 = 10110010102

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Mudança da base 10 para octal

714 714 = 13128

714 |_8_ 2 89 |_8_ 1 11 |_8_ 3 1 |_8_ 1 0

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Mudança da base 10 para hexadecimal

714 714 = 2CA16

714 |_16_ 10 44 |_16_ 12 2 |_16_ 2 0

Hexadecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15

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Mudança da base octal para decimal (10)

13128 = 2+8+192+512 = 714

2 x 80 = 2

1 x 81 = 8

3 x 82 = 192

1 x 83 = 512

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Mudança da base hexadecimal para decimal

2CA16 = 10+192+512 = 714

A x 160 = 10 x 160 = 10

C x 161 = 12 x 161 = 192

2 x 162 = 2 x 256 = 512

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ARITMÉTICA COMPUTACIONAL

As palavras de um computador são compostas por bits e podem representar números armazenados na memória. Estes números podem ter diferentes significados, como inteiros ou reais, serem positivos ou negativos. A manipulação dos números inclui operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.

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COMPLEMENTO DE 1 (C – 1)

Este sistema de representação também utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits da direita representam o módulo. O simétrico de um número positivo é obtido pelo complemento de todos os seus dígitos (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal.

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Exemplo: representar 10 e –10Limitação de 8 bits (N=8)

10 0 0001010

Nº sinal módulo

Número – 10 é o complemento do seu simétrico

-10 1 1110101

 Nº sinal módulo

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Vantagem: possuir faixa simétrica.Inconveniência: 2 representações para o número 0.

Para 8 bits o 0 tem as seguintes representações:

00000000 (+0) 10000000 (-0)

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Complemento de 1 com valores inteiros de 4 bits

Decimal Complemento de 1

0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 0111

−0 1111−1 1110−2 1101−3 1100−4 1011−5 1010−6 1001−7 1000

Page 48: Apresentação1   sistemas numéricos

Este sistema de representação utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits da direita representam o módulo, igualmente ao MS (módulo e sinal)e C - 1. O simétrico de um número é obtido em dois passos: 1ºpasso – obtém-se o complemento de todos os bits do número positivo (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal, isto é, executa-se o complemento de 1;2º passo – ao resultado obtido no primeiro passo, soma-se 1 (em binário).

COMPLEMENTO DE 2 ( C – 2)

Page 49: Apresentação1   sistemas numéricos

Exemplo: complemento de 2 dos números 10 e –10Limitação de 8 bits (N=8)

10 0 0001010

nº sinal módulo

Page 50: Apresentação1   sistemas numéricos

Número – 10 1º passo: complemento de 1

-10 1 1110101

nº sinal módulo

2º passo: 1

1110101+ 10

  ----------- 1110110 

Page 51: Apresentação1   sistemas numéricos

Vantagem: uma única representação para o número 0..Para 8 bits teremos:

Nº 0 00000000 (+0)Nº -0 passo 1 11111111 (-0)

passo 2 1 -------------------

100000000 

estouro desprezado

 Logo 0 e –0 tem a mesma representação.

Page 52: Apresentação1   sistemas numéricos

OPERAÇÕES COM NÚMEROS BINÁRIOS

Adição

A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma que uma adição no sistema decimal.Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base 2.Seja a operação 85 + 18. 

8518 +-----103

Page 53: Apresentação1   sistemas numéricos

-Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a regra do transporte para a próxima coluna.- Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”.- Este transporte “vai um” é computado na soma da próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um” abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1.- Obtemos desta forma o resultado 103.

Page 54: Apresentação1   sistemas numéricos

-- Vamos agora para o sistema base 2, como temos apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis casos que ocorrerão na soma por colunas:

-a) 0 b)0 c)1 d)1 e)1 +0 +1 +0 +1 1 ---- ---- ---- ---- +1 0 1 1 10 ---- 11

- No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vai um” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelas incluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”.

Page 55: Apresentação1   sistemas numéricos

Subtração

-Como o método também é análogo ao da subtração no sistema decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na subtração por colunas.

a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 -0 -1 -0 -1 ---- ---- ---- ---- 0 1 1 0

Page 56: Apresentação1   sistemas numéricos

- No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá um transporte para a coluna seguinte, que deve ser acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos efetuar 11102 – 10012

1110 -1001 ------- 0101

Page 57: Apresentação1   sistemas numéricos

Multiplicação

-Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casos possíveis são:

a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1

A multiplicação de números binários é feita do mesmo modo que a multiplicação de números decimais.

Page 58: Apresentação1   sistemas numéricos

O procedimento, na verdade, é mais simples, uma vez que os dígitos multiplicadores podem ser apenas 0 ou 1. O exemplo seguinte ilustra este procedimento para números binários sem sinal.

1 0 0 1 1 0 1 1 ----------- 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

Page 59: Apresentação1   sistemas numéricos

Caso um número esteja em complemento de 2, deve-se primeiro convertê-lo para o seu equivalente em binário positivo. Assim, é possível efetuar a multiplicação como no caso acima.Evidente que o resultado deve ser convertido para binário negativo, usando o complemento de 2.

Page 60: Apresentação1   sistemas numéricos

Divisão Binária

O processo para dividir números binários é o mesmo que é utilizado para números decimais.Para ilustrar, segue um exemplo onde iremos dividir (9) 10 por (3) 10.

+9 = 1 0 0 1+3 = 1 1

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1 0 0 1 /1 1 1 1 1 1(3) 10

--------- 0 0 1 1 1 1---------- 0

A divisão de números com sinal é tratada do mesmo modo que na multiplicação.