Apunte de cátedra 2015 para blog

C.E.N.S. Nº 3

MATEMÁTICA FINANCIERA

Apunte de cátedra teórico práctico

Año 2015

Ciclo 3º - División “B” Profesor Alfonso Eduardo González Horarios: Lunes 22:10 a 23:20 horas. Viernes 20:00 a 20:40 horas.

C.E.N.S. Nº 3 MATEMÁTICA FINANCIERA

PROGRAMA SINTÉTICO

Profesor Alfonso Eduardo González - Año 2015 1

PROGRAMA SINTÉTICO

Institución: Centro de Educación Secundaria Nº 3 Materia: Matemática Financiera Ciclo: Tercero Sección: B Docentes: Profesor Alfonso González Año académico: 2015 Carga horaria: 3 (tres) horas cátedra

CONTENIDOS CONCEPTUALES Unidad 1

Introducción a la historia de la matemática financiera. Los bancos comerciales. Porcentaje: concepto y aplicaciones. Bonificación: concepto; aplicaciones prácticas. Recargo: concepto y aplicaciones prácticas.

Unidad 2 Interés. Fundamento histórico del interés. La tasa de interés. Interés simple: concepto; elementos; aplicaciones prácticas. Tasas de interés proporcionales.

Unidad 3

Operaciones bancarias de ahorro e inversión. Los medios de pago. Descuento de documentos comerciales: concepto; elementos, aplicaciones prácticas. Tasa nominal. Tasa efectiva. Conversión de tasas de interés. Inflación.

Unidad 4

Operaciones bancarias de préstamos. El costo financiero total. Interés compuesto: concepto, elementos, aplicaciones prácticas. Comparación entre los montos a interés simple e interés compuesto. Sistemas de amortización.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES Interpretación de enunciados, informes, apuntes y artículos periodísticos relacionados con los

contenidos de la asignatura. Identificar y seleccionar datos; relacionar enunciados y datos. Analizar situaciones problemáticas. Concebir y ejecutar planes para revolver situaciones problemáticas. Estimar resultados, elaborar respuestas Adquirir habilidades en el cálculo de operaciones financieras.


PROGRAMA SINTÉTICO


CONTENIDOS ACTITUDINALES Reconocer la importancia de la matemática financiera en el marco de la operatoria bancaria

habitual. Aplicar la matemática financiera para resolver situaciones problemáticas. Ser constante en el estudio y en la ejecución de sus tareas. Valorar el trabajo en equipo, las producciones ajenas y el intercambio de ideas entre pares y

con el docente. Participación en clase, comportamiento adecuado y respeto por los demás. Confiar en su capacidad personal para revolver problemas. CONTENIDOS MÍNIMOS

Operaciones bancarias.

Porcentaje: concepto y aplicaciones. Bonificación y recargo: concepto; aplicaciones prácticas. Interés simple: concepto; aplicaciones prácticas.

Descuento de documentos comerciales: concepto.

Interés compuesto: concepto y aplicaciones prácticas.

Sistemas de amortización.

Tasa de interés. Tasa nominal. Tasa efectiva. Comparación.

BIBLIOGRAFÍA QUE EMPLEAN LOS ALUMNOS

Apunte de cátedra.

KISBYE, Patricia y otro. Matemática Financiera (Todo lo que Usted quiere saber pero no se anima a preguntar). Colección Las Ciencias Naturales y la Matemática. Instituto Nacional de Educación Tecnológica, 2010. Disponible en la biblioteca del CENS 3.



MÓDULO 1 - INTRODUCTORIO

Introducción

Este apunte de cátedra está dirigido a los alumnos del tercer ciclo del CENS nº 3 que cursan la asignatura Matemática Financiera.

Con este apunte, la bibliografía y la guía del docente se introducirá a los estudiantes en las nociones de matemática financiera, en el uso de las herramientas necesarias para comprender los cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamadas capitales y en las operaciones que realizan los bancos comerciales.

Todas las personas tomamos diariamente decisiones económicas; tenemos que elegir entre realizar la compra del supermercado al contado o con tarjeta de crédito; cancelar anticipadamente una obligación, pagarla en su fecha de vencimiento o refinanciarla; tomar un préstamo para adquirir un automotor o comprar los materiales para construir su vivienda; atesorar los ahorros en cuentas abiertas en bancos o destinar inmediatamente el dinero al consumo.

Cada vez que tomamos una decisión, muchas veces nos basamos en la experiencia, propia si la tenemos, de un tercero como familiares o con quien estemos haciendo un negocios, lo que significa con el tiempo éxitos o fracasos, haber gastado dinero de más, no haber tomado la decisión en el momento oportuno; para disminuir el riesgo de arribar a un fracaso tenemos que aprender a usar la matemática y particularmente a resolver problemas.

La ventaja que nos dará el uso de la matemática es que pone a nuestro alcance técnicas y herramientas que nos permiten tomar mejores decisiones, resolver situaciones problemáticas y poder fundamentar las soluciones.

Para reflexionar: ¿Para qué aprendemos hoy? Leamos el siguiente fragmento extraído del Prefacio del libro ¿Para qué educamos hoy? de Augusto Pérez Lindo, Editorial Biblos, año 2010. Todos esperamos de la educación múltiples resultados: que los niños aprendan a leer, a escribir y realizar operaciones matemáticas; que los individuos aprendan a ser buenos ciudadanos; que la sociedad progrese con trabajadores más calificados en todos los sectores; que se superen la ignorancia, las actitudes autoritarias y la intolerancia; que se asegure el bienestar colectivo con comportamientos éticos, eficientes y solidarios; que aprendamos a respetar la naturaleza evitando agresiones al medio ambiente; que los individuos y las sociedades tengan mejores capacidades para comunicarse y para actuar cooperativamente; que se formen líderes inteligentes y moralmente responsables; que se asegure el progreso del conocimiento científico. Teniendo presente el fragmento anterior hagamos la lectura de la nota El declive educativo nos despoja del futuro, de Alieto Aldo Guadagni, publicada en el diario Clarín el jueves 13 de febrero de 2014. Preguntas orientadoras: 1. La situación descripta en el artículo periodístico, comparada con lo que se espera de la

educación, ¿qué opinión te merece? 2. ¿Cuáles son a tu parecer las causas de los bajos resultados obtenidos en las pruebas PISA? 3. ¿Qué es para vos lo más grave? 4. ¿Qué piensas que debemos hacer para cambiar esta caída en la calidad educativa?




Revisión de contenidos Resolución de situaciones problemáticas y operaciones. Los siguientes ejercicios y problemas no conforman una prueba para poner una nota, sino que forma parte de una evaluación diagnóstica que permitirá conocer las condiciones iniciales del grupo. Por lo tanto responde con libertad –pero con responsabilidad- lo que a tu criterio es la o las respuestas correctas. 1) María tiene $ 1.400 para gastar en su fiesta de cumpleaños. Quiere comprar 7 pizzas, cada

una cuesta $ 140; también dos docenas de sándwiches, que cuestan $ 180 cada una. ¿Le alcanza el dinero que tiene? ¿Cuánto le sobra? ¿Cuánto le falta si quiere agregar media docena de sandwiches?

2) Escriban con palabras los siguientes números: 50.203: __________________________________________________________________ 500.023: __________________________________________________________________ 502.003: __________________________________________________________________ 5.203.000: __________________________________________________________________ 3) Ordenar los siguientes números anteriores de mayor a menor.

50,20 502,03 5.203

52.030 5,02 0,50

4) Eliana y Nora no se ponen de acuerdo. Eliana dice que en el número 784.536, el 8 representa

8 y Nora afirma que representa 80.000. ¿Cuál de las chicas tiene razón? ¿Por qué? 5) Escribir el número que corresponde a cada una de las siguientes expresiones:

2 × 102 + 6 × 10 + 4 =

6 × 102 + 4 × 10 + 2 =

2 × 100 + 4 × 101 + 7 × 102 = 6) Resolver mentalmente los siguientes cálculos: 87.070 × 10 = 53.030 × 100 =

15 × 99 =

60.000 ÷ 10 =




7) En la entrada a un parque de diversiones se registraron, durante un fin de semana, la cantidad de vehículos que ingresaron y la cantidad de niños que llegaron al parque en cada uno de ellos. La siguiente tabla muestra los resultados del registro:

Cantidad de vehículos 6 12 23 30 18 0 8

Cantidad de niños por vehículo 0 1 2 3 4 5 6

De acuerdo a estos datos contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos vehículos ingresaron al parque de diversiones? b) ¿Cuántos vehículos llevaron como mínimo cuatro niños? c) ¿Cuántos vehículos transportaron a los sumo dos niños? d) Si en total ingresaron al parque 566 personas, ¿cuántas de ellas eran adultos?

8) En un campo se colocaron 7436 álamos distribuidos en hileras de 52 álamos cada una. Si el

próximo mes se van a colocar 34 hileras menos pero manteniendo la cantidad de álamos por hilera, ¿cuántos álamos se plantarán?

9) ¿Cuál es el número que al dividirlo por 9 tiene a 14 como cociente y a 6 como resto?

10) Ruth quiere comprar una bicicleta que vale $ 5.500 pagándola al contado. Como no dispone de

ese dinero, le ofrecen estas opciones de pago. Opción A: $ 2.500 al contado y el resto en 6 cuotas de igual valor. Opción B: la mitad al contado y la otra mitad en 12 cuotas de igual valor. ¿Cuál es el valor de la cuota de cada una de las opciones anteriores?

11) Joaquín fue a la fábrica de ropa para comprar mercadería para su negocio. La factura que le

entregaron tenía errores de impresión y no mostraba algunos números.

Cantidad Descripción Precio unitario Total

26 Pantalones $ 11.180.-

Remeras $ 125.- $ 2.500.-

14 Blusas $ 2.870.-

27 Polleras $ 280.-

13 Sacos $ 10.400.-

Total

a) Escriban los números que faltan. b) Joaquín desea pagar en dos cuotas y le hacen un recargo de $ 1.725 por cada una. ¿Cuál

es el valor de cada cuota? c) Si quiere pagar en 4 cuotas le hacen un recargo del 20%. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

12) Una empresa posee 32 empleados varones y 50 empleadas mujeres. ¿Qué porcentaje del total

de empleados son mujeres? ¿Qué porcentaje del total de empleados son varones? 13) Paula, Nati y Emiliano tienen un chocolate dividido en seis tabletas iguales. Paula comió una

tableta, Nati comió tres y Emiliano, dos. ¿Qué parte del chocolate comió cada uno?

14) Agustina tiene un grupo de amigos con el que comparte muchas actividades durante la semana. El jueves se juntaron para hacer la tarea y luego la mamá de Agustina les preparó una pizza. La pizza estaba cortada en 12 porciones: Alan se comió cinco porciones y Elías un cuarto de la pizza. ¿Quién de los dos comió más? Escribe los resultados como fracciones.

15) En el shopping hay un local de ropa femenina donde el precio de lista de cada vestido de

noche es de $ 3.560, el de las polleras, $ 9500 cada una y de cada pantalón, $ 844. Una turista




compra una prenda de cada una y abona en efectivo y en dólares. Si la cotización oficial de un dólar es $ 8,75 ¿cuántos dólares paga?

16) Para preparar 10 panqueques se necesitan 1 huevo, 110 cm

3 de leche, 50 gramos de harina y

1 cuchara de manteca. ¿Qué cantidades se necesitan para preparar 24 panqueques?

17) En un supermercado el cacao en polvo en oferta por 360 gramos cuesta $ 43,20 y el paquete más chico – que contiene 200 gramos- cuenta $ 26,00. ¿Qué paquete conviene comprar para que resulte más barato?


MÓDULO 2 – HISTORIA DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA



Un poco de historia

La Matemática Financiera existe desde tiempo inmemorial. En Babilonia (hoy Irak), cuna de la civilización, hace 4.000 años era usual prestar a interés. El Código de Hanmurabi, creado en el año 1.760 antes de Cristo, en Babilonia, es uno de los conjuntos de

leyes más antiguos que se han encontrado, fue tallado en piedra porque se lo consideraba dictado por los dioses y “lo que estaba escrito en piedra no lo podía modificar ni el rey”; en este código se encuentra la siguiente ley:

“Si un mercader ha hecho un préstamo de grano o plata, por el grano tomará un panu y cuatro sutu por cada kur. Si hizo un préstamo de plata tomará un sexto de shekel y seis granos por cada shekel.”

Si bien los términos que se usan no son conocidos en nuestro idioma surge claro que se cobraba un interés por los préstamos.

Se tiene certeza que la aritmética comercial se encontraba desarrollada para el año 1.500 antes de Cristo. Sin embargo la Biblia prohibía a los israelitas prestarse dinero entre ellos cobrando un interés; este precepto

fue tomado después por los cristianos, razón por la cual la Iglesia Católica fue durante muchos siglos contraria al cobro de interés.

Los pensadores clásicos de la civilización griega consideraban indigno aplicar la matemática a las cuestiones comerciales. Aristóteles era contrario al comercio por considerarlo una actividad para ganar a costa de los demás y estaba en contra del interés, porque le parecía ilógico que el dinero se reprodujera asimismo.

Como en el sistema numérico de los babilónicos, griegos y romanos era en extremo complicado realizar operaciones de multiplicación no se desarrolló la conversión de monedas o el cálculo del interés.

Es recién a fines de la edad media, en Italia, que con la introducción de los números indo arábigo (nuestra actual numeración) que se retoma el desarrollo de la matemática financiera y al mismo tiempo comienzan a operar los primeros banqueros: era habitual que alguien con capital para prestar se ubicara en un banco de plaza y allí hiciera sus negocios. De allí deriva el nombre que damos actualmente a las instituciones bancarias.

Historia del dinero

El dinero es en nuestro país el medio de pago de uso más generalizado, se utiliza tanto en las operaciones de compra venta mercantil como en las operaciones financieras.

Se utiliza además para medir el valor de los bienes, el patrimonio y la riqueza de las personas. Luego cumple dos funciones: es una unidad de medida para medir el valor de las cosas y es un instrumento

de pago. Físicamente se presenta en dos formas: metálica, que abarca las monedas y papel, que se denomina

billete. Pero también tiene una forma electrónica cuando se trata de operaciones que se realizan con tarjeta de

crédito o tarjeta de débito, operaciones que se realizan en cajeros automáticos o bien a través de Internet, utilizando claves de acceso personales.

La evolución del dinero acompañó la evolución tecnológica del hombre. Al principio el comercio estaba basado en el trueque, el intercambio de bienes y mercancías. Se trataba de intercambiar lo que le sobraba a una persona por los excedentes de otra. En algunas sociedades las cabezas de ganado fueron consideradas como referencia para realizar

intercambios; por ejemplo 20 ánforas o vasijas de aceitunas podían cambiarse por un vacuno. Las ánforas de 20 o 30 litros de capacidad se utilizaron con medida de peso y luego como unidades

monetarias, se les denominada “talento”. Con el tiempo resulto que era poco práctico trasladar ánforas o animales para realizar intercambios,

entonces dichos bienes fueron reemplazados por piedras, tablillas de barro y piezas de metal que representaban su valor: este fue el nacimiento de las monedas metálicas. Con el paso del tiempo las monedas comenzaron a fabricarse con los llamados metales preciosos, bronce, plata y oro; su valor dependía entonces de la cantidad de material que contenía.




Fue en la Baja Edad Media cuando los tenedores de monedas las llevaban a los orfebres, para que las pesaran y establecieran su valor; además los orfebres les entregaban unos certificados por el valor de las monedas y las personas le dejaban en custodia las mismas.

Con el tiempo los mercaderes vieron las ventajas de intercambiar los certificados y no las monedas, y los orfebres se dieron cuenta que el reclamo de las monedas depositadas no se producía rápidamente por lo que podían prestar parte de esas monedas a otras personas.

Así nació el billete bancario y el oficio de banquero.

Lectura complementaria: Poderoso Caballero Don Dinero1

Desde el Siglo I antes de Cristo circulaba entre los romanos como dicho corriente esta gran verdad: “El dinero mueve el mundo”. La historia de este “poderoso caballero”, como lo llamó el poeta español Don Francisco de Quevedo es una conocida letrilla, es muy antigua y a través de ella ha tomado las más divertidas formas: plumas, conchas de nácar, colmillos de jabalí, ruedas de piedras, etc. Entre los pueblos prehispánicos, el cacao, canutillos de plumas de ave rellenas de oro, mantas de algodón, objetos de jade, piezas de cobre, etc.

En la antigüedad y durante siglos el ganado se aceptó como pago; pecuniario deriva de pecunia: dinero y este a su vez, de pecus, ganado, Otra etimología reveladora es la de la palabra salario: deriva de salarium, se llamaba así al pago que recibían los soldados romanos para comprar sal.

Entre gran parte de las comunidades primitivas, existía el trueque o permuta como único medio de comercio y fue, según los entendidos, en el siglo VII a.C. (antes de Cristo), cuando empezaron a aparecer las primeras monedas. En general, éstas eran trozos o tiras de metal que podían partirse y pesarse, pero poco a poco se fueron perfeccionando y ya en el siglo V. a.C. la moneda griega circulaba por todo el Mediterráneo y el Medio Oriente, las formas y modos de acuñación fueron adoptados después por los romanos.

Bibliografía

ARTAL, Lluis y SALES, Josep. Hipotecas y ecuaciones. Las matemáticas de la economía. Colección El Mundo es Matemático. RBA Coleccionables S.A. Año 2010. Capítulo 2: Dinero e inflación. Breve historia del dinero: del dinero mercancía al dinero fiduciario.

KISBYE, Patricia y LEVSTEIN, Fernando. Todo lo que usted quiere saber sobre MATEMÁTICA FINANCIERA pero no se atreve a preguntar. Colección: Las Ciencias Naturales y la Matemática. INET. Año 2010. Capítulo1: Introducción: Un poco de historia.

www.bancocentraleduca.bcra.gov.ar. Descifrando la Economía. Capítulo Los Bancos Comerciales: ahorro, crédito y crecimiento. Los primeros bancos comerciales.

1 Extractado del libro Usted y la Ley. Guía Legal Familiar. Editado por Selecciones del Reader Digest.

http://www.bancocentraleduca.bcra.gov.ar/




Trabajo Práctico nº 1 - Tema: Historia de la matemática financiera Consigna: responde las siguientes preguntas haciendo uso del apunte de cátedra y del material bibliográfico entregado. También puedes utilizar fuentes de Internet pero deberás citarla en la respuesta indicando la dirección web. Presentación de trabajo: Escrito a mano alzada o impreso por PC. Letra legible. Transcribir la pregunta y seguidamente la respuesta. Respetar la ortografía y los signos de puntuación. Usar diccionario. Cuestionario: 1. ¿Cuál fue la primer a civilización conocida en desarrollar el comercio? ¿En qué época? ¿Estaba regulado? ¿Se

cobraba interés por los préstamos? 2. ¿Existieron sociedades que tenían prohibido prestar a interés? ¿Quiénes? ¿Por qué? 3. ¿Cuál era el concepto antiguo de la usura? ¿Y el actual? 4. ¿Qué es el dinero? 5. ¿Qué actividad comercial desarrollaron los orfebres de la Edad Media? 6. ¿En qué siglo o época comienza el desarrollo de los Bancos? 7. ¿Cuál fue el avance matemático que favoreció el desarrollo de bancos y comercios? 8. ¿Cuándo surge la contabilidad y por qué? 9. ¿Qué efecto tuvo la aparición del protestantismo? 10. ¿Cuál es el fundamento del interés según la doctrina utilitarista? 11. ¿De las lecturas realizadas, que definición le darías a interés?


MÓDULO 3 – PORCENTAJE



Proporcionalidad En determinadas situaciones cotidianas existen constantes numéricas. Recordamos que “constante” es una cantidad de valor fijo. Demos algunos ejemplos de constantes y de otras cantidades que no lo son:

Si por ejemplo consideramos los dedos de las manos de una persona, cada uno de nosotros posee 10 dedos, si tomamos 2 personas la cantidad de dedos es 20 y si fueran 10 personas habría 100 dedos. Por otro lado si tenemos un gato, cada uno tiene 4 patas, si aumenta la cantidad de gatos también aumenta la cantidad de patas, para 2 gatos hay 8 patas y para 10 gatos hay 40 patas. Si escribimos estas relaciones en lenguaje matemático tenemos:

Personas Dedos de la mano

1 10 2 20

10 100

Gatos Patas 1 4 2 8

10 40 De estas cantidades surge una relación de proporcionalidad que mantiene una constante de proporcionalidad, que es la cantidad que le corresponde a la unidad. Entonces en el caso de los dedos de la mano la constante de proporcionalidad es 10, porque para una persona hay 10 dedos, y para el caso de los gatos la constante de proporcionalidad es 4, porque es la cantidad de patas que tiene un gato.

Proporcionalidad directa Todo lo que se puede contar o medir es una magnitud. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una (el doble, el triple, etcétera) también aumenta la otra de la misma manera (el doble, el triple, etcétera); así como cuando una disminuye (la mitad, la tercera parte, etcétera), también disminuye la otra de la misma manera (la mitad, la tercera parte, etcétera). En el caso de los gatos tenemos: 1 gato 4 patas Duplico la cantidad de gatos (multiplico por 2) 2 gatos 8 patas




En el caso de los dedos de la mano: 10 personas 100 dedos Para la mitad de las personas (divido por 2). 5 personas 50 dedos Ambos casos cumplen la característica de la proporcionalidad directa.

Aplicaciones de la proporcionalidad

Regla de tres directa Los problemas de “regla de tres” se denominan así porque a partir de tres datos y una constante de proporcionalidad, se obtiene la cuarta cantidad que es la incógnita. Por ejemplo, en mi casa tengo 8 tomos iguales de una enciclopedia que tienen 768 hojas en

total; si la enciclopedia tiene un total de 12 tomos (todos con la misma cantidad de hojas) ¿cuántas hojas tienen en total?

Para resolver este problema podemos plantearlo de la siguiente manera: 8 tomos 768 hojas Calculo la constante de proporcionalidad que es la cantidad que le corresponde a la unidad como ya vimos.

1 tomo 768

8 (cuyo resultado es 96 que es la constante)

Con el valor de la constante cálculo para 12 tomos.

12 todos 768 ×12

8= 1.152 hojas

Respuesta: los 12 tomos tienen 1.152 hojas.

Porcentaje Se llama PORCENTAJE a la relación de proporcionalidad cuando se calcula la cantidad que corresponde a 100 unidades. Por ejemplo si se realiza una votación en un colegio para elegir al delegado que represente a

los estudiantes entre las candidatas A y M; luego del recuento de los 150 votos válidos resultó ganadora la candidata M con 111 votos. ¿Cuál es el porcentaje de votos obtenidos?

Para resolver esta situación lo que hay que determinar cuántos votos obtuvo M para la cantidad de 100 personas. 150 personas 111 votos M

1 persona 111

150




100 personas 111×100

150= 74%

El símbolo de por ciento es %. Al porcentaje también se lo denomina Tanto por ciento. Otro ejemplo: si en una compra de $ 3.200 te descuentan $ 256 ¿Cuál es el porcentaje (%) de

descuento? Nuevamente para determinar el porcentaje debemos calcular cuánto es el descuento que le corresponde a $ 100. $ 3.200 _____________ $ 256

$ 100 _____________ 256×100

3200= 8%

Respuesta: se le descuenta un 8%.

El porcentaje en la vida cotidiana El porcentaje es muy utilizado en la vida cotidiana, es un caso especial de proporcionalidad directa, donde uno de los datos es 100. Esta referencia con 100 nos permite establecer relaciones más comprensibles y comparables con otros porcentajes, como podemos visualizar en el artículo periodístico que acompaña este módulo.

Formas de expresar el porcentaje Empezaremos rayando en cada uno de los siguientes cuadros la parte solicitada; cada cuadro está dividido en 100 casilleros. Luego escribiremos la fracción que corresponde al rayado efectuado.

10

25

38

100




Esta fracción de denominador 100 representa gráficamente el Porcentaje o Tanto Por Ciento. Ejemplos: 25

100−→ equivale al 25% − Se lee 𝐯𝐞𝐢𝐧𝐭𝐢𝐜𝐢𝐧𝐜𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨

38

100−→ equivale al 38% − Se lee 𝐭𝐫𝐞𝐢𝐧𝐭𝐚 𝐲 𝐨𝐜𝐡𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨

100

100−→ equivale al 100% − Se lee 𝐜𝐢𝐞𝐧 𝐩𝐨𝐫 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨

El porcentaje se puede expresar como una fracción o parte de un entero, tomando como entero al número 100. Luego el Porcentaje o Tanto Por Ciento de un número cualquiera es una fracción, con numerador igual al número dado y denominador 100. Por ejemplo:

15% se lee “quince por ciento” y equivale a la fracción 15

100 quince partes de un total de cien.

Si hacemos el cociente (la división) entre el numerador y el denominador, el resultado es igual a 0,15. A este número se le denomina expresión decimal del porcentaje.

Por ejemplo, 38% son treinta y ocho partes de cada cien y equivale a la fracción 38

100 . Si hacemos la

división indicada obtenemos la expresión decimal del porcentaje:

Porcentaje Fracción Expresión decimal

38% 38

100 0,38

Ejercitación: 1) Jaime tiene que comprar 7 kilos de manzanas verdes para hacer tartas. El kilo de manzanas

verdes cuesta $ 11,35 ¿Cuánto le cuestan los 7 kilos? 2) En la fábrica de pastas, 550 gramos de queso para rallar cuestan $ 67,68. ¿Cuánto cuestan

150 gramos del mismo queso? ¿Cuánto queso se puede comprar con $ 120? 3) Escribe los siguientes porcentajes. Treinta y cinco por ciento = _______ Cuarenta por ciento = _______ Setenta y siete por ciento = _______ Doscientos treinta por ciento = _______ 4) ¿Cómo se leen los siguientes porcentajes? ¿Qué representan? 9% = ___________________________________ 17% = ___________________________________




5) Encuentra la expresión decimal de los siguientes porcentajes. 35% = 17% = 63% = 100% = 6) ¿Qué procedimiento debemos seguir para convertir una expresión decimal en porcentaje? Da

ejemplos. 7) ¿Qué procedimiento debemos seguir para convertir la expresión fraccionaria del porcentaje

en un porcentaje? Da ejemplos. 8) Completen el siguiente cuadro

Fracción Expresión decimal Porcentaje

0,17

103%

1,02%

¿Cómo se calculan los porcentajes?

Como vimos un porcentaje de una cantidad que corresponde de manera proporcional a 100 unidades. Ejemplo: para calcular el 18% de 250 tenemos que tener en cuenta que 18% significa 18

unidades sobre un total de 100. Podemos usar varios caminos, usando la regla de tres, como así también la expresión fraccionaria o la expresión decimal. 1) Regla de tres 100 18

250 250×18

100= 45

17

4




2) Usando la expresión fraccionaria del porcentaje: determinamos la expresión fraccionaria del

18%, o sea 18 partes de 100, es decir que la fracción buscada es 18

100.

Multiplicamos la cantidad por la fracción:

250 ×18

100= 45

Resulta 45, que es el 18% de 250. 2) Usando la expresión decimal del porcentaje: determinamos la expresión decimal desde la expresión fraccionaria, entonces dividimos 18 en 100 y obtenemos 0,18.

Multiplicamos la cantidad por la fracción: 250 × 0,18 = 45

Obtenemos 45, que es el 18% de 250.

Ejercitación: 1) Obtener el 16% de $ 2.600 2) Raúl se compró un televisor de $ 15.400. Realizó un pago en efectivo de 20% del precio, ¿de

cuánto fue ese pago inicial? 3) Encontrar el 4% de $ 725. 4) Calcular el 2,5% de $ 35.300. 5) Un abogado recupera el 90% de una demanda de $ 120.000 y cobra en concepto de servicios

el 15% de la suma recuperada. ¿Qué cantidad recibirá su cliente?




¿Cómo calcular porcentajes usando la calculadora? La presente descripción es de una calculadora CIFRA SC-8200

Vamos a mostrar cómo se calcula el 18% de 250. 1) Encender la calculadora presionando el botón ON. 2) Presionar la tecla AC que borra todo cálculo o número ingresado. 3) Usando las teclas escribir 2 5 0 X 1 8 SHIFT = 4) Mientras escribimos podemos observar que en el visor de la calculadora se puede leer el

cálculo que estamos ingresando. 5) Luego de presionar la tecla = se presenta el resultado.




La presente descripción es de una calculadora CASIO FX82

Vamos a mostrar cómo se calcula el 18% de 250. 1) Encender la calculadora presionando el botón ON. 2) Presionar la tecla AC que borra todo cálculo o número ingresado. 3) Usando las teclas escribir 2 5 0 X 1 8 SHIFT = 4) Mientras escribimos podemos observar que en el visor de la calculadora se puede leer el

cálculo que estamos ingresando. 5) Luego de presionar la tecla = se presenta el resultado.




Cantidad de decimales con que se aconseja trabajar

En los cálculos de las operaciones financieras es habitual que se obtengan como resultados números de varias cifras decimales o con una cantidad indefinida de decimales.

Por ejemplo, a qué porcentaje equivale 1

3.

1

3= 0,33333333 … = 33,333333 … %

En este curso vamos a convenir en trabajar con dos (2) cifras decimales y para ello tenemos que aprender a redondear números decimales.

Redondeo de números decimales

Para redondear un número a dos cifras decimales se toma en cuenta el valor del tercer decimal.

Si este valor es 5 o más, se aumenta el dígito anterior (ubicado a la izquierda) en una unidad.

Si el tercer dígito es inferior a 5, el dígito a su izquierda permanece sin cambio. Luego se eliminan todos los dígitos a partir del tercer decimal.

Ejemplo: redondear $ 12,7936 a dos decimales

12,79 3 6 toma en cuenta el tercer decimal (en este caso es 3),

como 3 es menor que 5, el número a su izquierda no cambia y se eliminan los restantes dígitos (el 3 y el 6) y el número queda 12,79. Ejemplo: redondear 5,1382345 a dos decimales

5,13 8 toma en cuenta el tercer decimal (en este caso es 8)

como 8 es mayor que 5, al dígito de la izquierda, que es 3, se le suma 1, y se eliminan los restantes dígitos (8,2,3,4,5). El valor redondeado queda 5,14. Ejercitación: Redondear los siguientes números a dos cifras decimales:

2,356

21.789,3335

204,505

3.250,461062

39,304

7,09762121

3.129,61

1.950,4875

555

¿Cómo preparar la calculadora para que efectúe el redondeo de números decimales a dos cifras? 1) Encender la calculadora. 2) Presionar la tecla MODE hasta que en el visor aparezca FIX (ver imagen siguiente).




3) Luego apretar la tecla 1. 4) Se presenta la siguiente leyenda en el visor FIX 0-9 (ver imagen siguiente).

5) Presionar la tecla 2. 6) Aparece en el visor el número 0.00. Fin del proceso.

Trabajo Práctico nº 2 - Tema: Porcentaje Consigna: realiza las operaciones que se exponen seguidamente. Presentación de trabajo: Todas las operaciones matemáticas realizadas deben estar escritas. Puedes usar calculadora. Redondear a dos cifras decimales. El ejercicio que sólo presente el resultado no se considera correcto.

1) El 58% de 4.800 es … 2) El 74% de 4.400 es … 3) El 12% de 1.700 es … 4) El 81% de 2.315 es … 5) El 78% de 5.200 es … 6) El 90% de 4.100 es … 7) El 39% de 7.600 es … 8) El 86% de 122 es… 9) El 1% de 710 es… 10) El 41% de 22 es …


MÓDULO 3 BIS – BONIFICACIÓN Y RECARGO



Bonificación (descuento) Definición: es la rebaja sobre el precio de un artículo, producto o servicio. Esta rebaja se aplica como porcentaje sobre el precio de lista. Ejemplo: El precio de lista de una calculadora financiera es de $ 42. Si Casa Rayuela la vende con un 15% de descuento, ¿cuál es el precio final de la calculadora? Paso 1: Determinar que parte del precio es el 15%. Obtienes el importe del descuento a realizar.

$242 × 15% = $242 ×15

100= $36,30

Paso 2: Realizar la resta del valor calculado del precio del producto. Obtienes el precio con descuento.

$242 − $36,30 = $205,70 Paso 3: Observar el resultado y analizar si es razonable. Como se trata de dinero los decimales representan centavos, entonces tenemos que presentar lo tales: $ 205,70. Paso 4: Escribir la solución. Solución: El precio final de la calculadora es de $ 205,70.

Recargo Definición: es el aumento de un precio de un artículo, producto, servicio, deuda, etc. Este incremento se aplica como porcentaje sobre el valor inicial. Ejemplo: El precio de lista de una heladera en promoción es de $ 8.500. Si la venta se realiza en 12 cuotas se incrementa el precio un 10%. ¿Cuál es el precio final de la heladera? Paso 1: Determinar que parte del precio es el 10%. Obtienes el importe del recargo.

$8500 × 10% = $8500 ×10

100= $850

Paso 2: Realizar la suma del valor calculado con el precio del producto. Obtienes el precio con recargo.

$8.500 + $850 = $9.350 Paso 3: Observar el resultado y analizar si es razonable. Como se trata de dinero entonces tenemos que presentarlo como tal: $ 9.350. Paso 4: Escribir la solución. Solución: El precio final de la heladera es de $ 9.350.




Ejercitación (redondear los resultados a dos decimales): 1) Si en una compra de $ 420, me hacen el 5% de descuento, ¿cuál es el precio final de la

compra? 2) Si en una compra de $ 1.600, me hacen un 10% de descuento por pago en efectivo, y un 5%

de descuento por ser cliente del negocio, ¿cuál es el precio final de la compra? 3) Vos a una disquería a comprar cd’s y me dicen que el precio de cada uno es de $ 22, a su vez

si compro 10 o más, me hacen un 8% de descuento, y si compro más de 15, me hacen un 12% de descuento.

a. Si compro 11 cd’s, ¿cuánto me costarán? b. ¿Cuál es el precio final de cada cd si compro 20?

4) Por pagar fuera de término la factura del videocable me hacen un recargo del 15%. Si el valor de la factura es de $ 430, ¿cuánto debo pagar?

5) Adquiero una computadora portátil en cuotas debiendo pagar un recargo del 12%. Si el precio de contado es$ 7.250, ¿cuál es el precio que pago al final?

6) Una empresa que ofrece a la venta heladeras cuyo precio de lista es $ 16.000, aplica un descuento del 20% por venta al contado y recarga el 1% de impuesto a los Ingresos Brutos. Calcular:

a. El importe del descuento. b. El valor de la factura.

Otras aplicaciones del porcentaje

Determinar el porcentaje respecto de una cantidad Dada una cantidad resultante, ahora es necesario encontrar el porcentaje respecto de una cantidad. Caso 1: ¿Qué porcentaje de 500 es 60? (o ¿qué porcentaje es 60 de 500?)

Paso 1: Realizar el cociente entre 60 y 500.

60

500= 0,12

Paso 2: Multiplicar el valor obtenido por 100.

0,12 × 100 = 12% Paso 3: Escribir la solución.

Caso 2: ¿De qué cantidad es 60 el 12%?

Paso 1: Realizar el cociente entre 60 y 12. 60

12= 5

Paso 2: Multiplicar el resultado obtenido por 100.

5 × 100 = 500 Paso 3: Escribir la solución.




Utilidad sobre el precio de costo y el precio de venta Para determinar el precio de venta de un producto o servicio hay que considerar el costo que posee y una cantidad de dinero suficiente para cubrir los gastos de la operación y tener una ganancia (o utilidad). El costo de un artículo está formado por todos los gastos hechos para fabricar o adquirir el artículo. Si el artículo fuera un celular el costo estaría formado por la tapa, la batería, la pantalla, las teclas, etc. El costo de un servicio está formado por todos los gastos para proporcionar ese servicio, por ejemplo si el servicio fuera alojamiento en un hotel, el costo estaría formado por el valor del mobiliario, accesorios como jabones, toallas, televisores de la habitación, etc. Los gastos de operación son las cantidades de dinero pagadas en concepto de transporte, alquileres, sueldos, publicidad, ente otros. La suma de dinero que el propietario pretende ganar se denomina utilidad o ganancia. Los gastos de operación más la ganancia que se pretende se denomina utilidad bruta. La utilidad bruta más el costo es el precio de venta.

Consideremos el siguiente ejemplo: un herrero fabrica canastos para basura. Gasta $ 300 en los hierros y la soldadura, es decir en fabricarlo; este es el costo (gastos en hierro y soldadura). Luego estima $ 50 los gastos de operación (alquiler diario de local o herramientas) y desea obtener una ganancia de $ 200. El precio de venta sería de:

Utilidad neta (ganancia) $ 200

Gastos de operación $ 50

Utilidad bruta $ 250

Utilidad bruta $ 250

Costo (Gasto de producción) $ 300

Precio de venta $ 550




Generalmente los precios de venta, utilidad bruta y utilidad neta se fijan como un porcentaje en lugar de usar una cifra de pesos. En el cuadro anterior, ¿qué porcentaje es cada concepto del precio de venta?

Utilidad neta (ganancia)

Gastos de operación

Utilidad bruta

Utilidad bruta

Costo (Gasto de producción)

Precio de venta $ 550

Ejemplo: un comerciante desea calcular el precio de venta de un producto cuyo precio de costo es de $ 25,00 y del cual deseo obtener una ganancia del 20% (considera que no existen gastos de operación). Paso 1: Planteo la situación.

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 + 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎

Paso 2: Calculo la ganancia. 25 × 20% = 25 ×20

100= 5

Paso 3: Realizo la suma 25 + 5 = 30 Paso 4: Escribo la solución. Además me interesa calcular qué porcentaje es la ganancia respecto del precio de costo. Ahora me interesa calcular qué porcentaje es la ganancia respecto del precio de venta.

Calcular el porcentaje de variación entre valores Este tipo de cálculo se utiliza para averiguar el porcentaje de aumento o rebaja entre valores, generalmente precios. Ejemplo: El transporte público aumentó de $ 3,50 a $ 4,00, ¿cuál es el porcentaje de incremento? Paso 1: Plantemos la solución: Hay que comparar el incremento con respecto al precio inicial. Paso 2: El incremento de precio fue de 50 centavos.

4,00 − 3,50 = 0,50 Paso 3: Calculo que porcentaje es $ 0,50 de $ 3,50.

0,50

3,50× 100 = 14,29%

Paso 4: Escribir la solución.




Calculo del porcentaje sobre el precio de venta Como calculamos en el punto anterior el porcentaje de ganancia respecto del precio de venta es menor que el porcentaje sobre el precio de costo. Por ello con frecuencia, los comerciantes utilizan este procedimiento para calcular el precio de venta al cliente. Por ejemplo, si se quiere calcular el precio de un par de zapatos que tienen un costo de $ 200 y se busca una utilidad del 25% sobre el precio de venta, se realiza el siguiente procedimiento: 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 + 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑉 − 𝑉 × 0,25 = 200 reemplazamos Utilidad por el cálculo correspondiente

𝑉 × (1 − 0,25) = 200 sacando factor común a V 𝑉 × (0,75) = 200 resolviendo el paréntesis

𝑉 =200

0,75 haciendo pasaje de términos

𝑉 = 266,67 resolviendo Otro ejemplo: El gerente de una tienda de ropa aumentó el precio de los pantalones de hombres en un 15%. ¿Cuál era el precio original de los pantalones, si el nuevo es de $ 300? Paso 1: Plantear la solución: el precio de venta actual es igual al precio anterior más el aumento. Precio anterior + aumento = precio actual ($ 300) Paso 2: El aumento fue del 15%, es decir que el aumento (el recargo) se calcula de la forma ya vista, pero como no conocemos el precio inicial lo escribimos como incógnita (p):

𝑝 × 0,15 = 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Paso 3: Reemplazando en la fórmula que escribimos en el paso 1 tenemos:

𝑝 + 𝑝 × 0,15 = 300 Paso 4: operamos sacando factor común y haciendo pasaje de términos para calcular el precio inicial p.

𝑝 × (1 + 0,15) = 300 𝑝 × 1,15 = 300

𝑝 =300

1,15

𝑝 = 260,87 Paso 5: escribir la solución, “el precio anterior era de $ 260,87”.




TRABAJO PRÁCTICO: 1) Calcular:

a) 7.505 es el 79% de … b) 850 es el 17% de … c) 2.460 es el 41% de … d) 528 es el 12% de … e) 4.095 es el 45% de … f) 460 es el … % de 9.200 g) 516 es el …% de 600 h) 9.021 es el …% de 9.700

2) Tengo que comprar regalos, cuyo precio de lista es de $ 28. Tengo en total $ 1.500. ¿Qué descuento me tendrían que hacer para que me alcance para comprar 70 unidades?

3) El día 7 de diciembre el precio del kilo de harina 000 era de $ 3,50. El día 22 de marzo el precio del kilo de la misma harina era de $ 4,20. ¿Qué porcentaje aumentó el kilo de harina en esos meses?

4) Si esta semana el paquete de fideos aumento un 10%, y ahora cuesta a $ 12,00. ¿Cuánto estaba la semana pasada?

5) Si en el último mes el kilo de arroz aumentó un 20%, y ahora cuesta a $ 5,40. ¿Cuánto estaba el mes pasado?

6) ¿Cuál es el porcentaje de efectividad de un jugador de basket que encesta 16 tiros de cada 18 que hace?

7) ¿Qué porcentaje de partidos ganados sobre el total tiene un equipo que de 20 partidos perdió 11 y empato 9?

8) Una agencia de automóviles contrato un vendedor que esta de acuerdo en que ganará un salario fijo de $ 3.500 por quincena y una comisión del 3% sobre las ventas quincenales que realice. Si en su primer quincena de trabajo sus ventas fueron de $ 260.000, ¿cuánto cobro en la quincena?

9) El señor Pérez recibe un sueldo neto de $ 13.600. Si gasta el 22% en alquiler en el monoambiente que alquila y 35% en alimentos, ¿Cuánto tendrá disponible para otros gastos?

10) Un abogado dedicado a cobrar deudas cobró el 95% de una cuenta de $ 84.000. Si el abogado cobra 8% de lo recuperado por sus servicios, ¿cuánto recibió el abogado? ¿Cuánto recibió el beneficiario?

11) En el año 2009 en cierta ciudad del país robaron 2.132 automóviles y en 2010 fueron 1.975 los autos robados. ¿En qué porcentaje disminuyeron los robos?

12) El vendedor de una inmobiliaria gana el 3% de comisión sobre la venta. Si al vender una vivienda ganó $ 17.400 ¿Cuál fue el precio de venta del inmueble?

13) El dueño de una mueblería compró sillas por un valor de $ 320 cada una. A su criterio la utilidad bruta para cubrir los gastos de operación y obtener una ganancia razonable es del 70% del costo. ¿Cuál es el precio en que se puede vender cada silla?

14) Un fabricante produce teclados para computadora en $ 450 cada uno y añade 48% del costo como utilidad bruta. Determine la utilidad bruta y el precio de venta.

15) El dueño de una relojería compró un lote de relojes en $ 650 cada uno. ¿Cuál será el precio de venta de cada reloj si se desea una utilidad bruta del 63% sobre el costo?

16) Un comerciante compró bibliotecas en $ 640 cada una. Si añade 52% el costo para gastos de operación y 25% del costo para utilidad neta, ¿cuál es el precio de venta de cada biblioteca?

17) Un fabricante vende camperas de cuero en $ 950. Le vende a un comerciante minorista con un descuento del 16%. Hallar el importe del descuento y del precio de venta.

18) Una tienda de artículos deportivos anuncia una liquidación de invierno de accesorios de fútbol del 25%. a) ¿Cuánto costará una pelota de fútbol que estaba marcada en $ 56? b) Cuánto costará un par de zapatillas cuyo precio estaba marcado en $ 350?

19) Un comerciante recarga los precios de venta con un 12% si el comprador paga con tarjeta de crédito. a) ¿Cuál será el precio de venta de un artículo marcado en $ 240?




b) ¿Y de otro que este marcado $ 88? 20) Por falta de pago en término la factura de energía eléctrica tiene un recargo del 1,5%. Si la

factura impaga es de $ 166. ¿Cuál es el monto final que debe pagar? 21) Un outlet de venta de ropa ofrece descuentos en cadena. Por fin de temporada rebaja el precio

de los pantalones un 15% y por venta en efectivo hace un descuento del 10%. ¿Cuál es el precio que debo pagar por un pantalón marcado $ 290 y que pago en efectivo?

22) Un fabricante de bicicletas ofrece su producto en $ 4.275. Si en el mes de mayo rebaja el precio un 15% y luego en el mes de julio adiciona un descuento del 5%, ¿Cuánto debo pagar por la bicicleta en el mes de julio?

23) Realizo una compra de un videojuego por Internet por la suma de $ 1.520. Los gastos de envío representan un 3% adicional ¿Cuál es el precio que debo pagar?

24) Tengo una deuda de $ 1.250 que vence el día 4 de mayo de 2012. Si la cancelo antes del 30/04/2012 me hacen un descuento del 15%. Y pago después de la fecha de vencimiento me hacen un recargo del 25%. a) Si cancelo la obligación el 25 de abril, ¿cuánto debo abonar? b) Si cancelo la obligación el 27 de mayo, ¿cuánto debo abonar?


MÓDULO 4 – LOS BANCOS COMERCIALES



Los bancos comerciales2

En todos los países existen instituciones que se dedican a recibir depósitos y otorgar préstamos a las personas. Se llaman Bancos Comerciales.

La acción de captar dinero del público (depósitos) y prestarlo a diferentes actores de la economía (préstamos) se denomina “intermediar”.

Los bancos comerciales tienen como función la intermediación entre depósitos y préstamos.

Para conseguir el dinero los bancos estimulan al público ofreciéndole el pago de un interés, que se calcula como un porcentaje del dinero depositado.

Luego ese dinero se lo prestan a otras personas, empresas o gobiernos para diversos fines: consumo, inversiones, pago de sueldos. Por ese dinero que se presta el banco cobra un interés, que es mayor al que paga por los depósitos recibidos.

Esa diferencia entre el dinero que debe pagar por el depósito y el que cobra para prestarlo forma parte de la ganancia del banco y se denomina “margen por intermediación”. Actividad: Ahorremos Consigna: Leer los casos que se presentan a continuación. ¿Puedes decir cuando se trata de ahorro, de inversión o crecimiento? ¿Puedes decir cuando se trata de objetivos a corto plazo, mediano o largo plazo?

2 Extractado de “Los Bancos Comerciales, ahorro, crédito y crecimiento”. Publicación del Banco

Central de la República Argentina. Material que se entrega a los alumnos.




Actividad: ¿El dinero se multiplica? Consigna: Realizar la lectura de los siguientes párrafos. Completa el valor del préstamo que toma cada una de las personas, el dinero depositado en el banco y el dinero circulante.


MÓDULO 5 – INTERÉS SIMPLE



Interés

En el módulo anterior aprendimos que la función de los bancos comerciales es “intermediar” entre las personas que depositan su dinero en los bancos y las personas que solicitan créditos para financiar sus gastos personales o proyectos de inversión.

Cuando una persona deposita su dinero recibe una compensación del Banco que llamamos “interés”; cuando más tiempo la tenga depositada mayor es el interés que recibe.

Cuando otra persona toma un préstamo paga una compensación al Banco que también denominamos “interés”; cuanto más tiempo demore en devolver el préstamo mayor es el interés que pagará.

La compensación que se paga por los préstamos es mayor a la que se paga por los depósitos y como vimos es el “margen de intermediación” del Banco, por su tarea de “intermediar” entre el depositante y el prestatario.

Nos interesa responder formalmente a la pregunta ¿qué es el interés? Podemos decir que el INTERÉS es la cantidad pagada por el uso del dinero ajeno

obtenido en préstamo o la cantidad producida por una inversión de capital durante un período de tiempo determinado.

Por ejemplo si haces un depósito de $ 100 en un banco y al cabo de un mes del depósito obtienes $ 15 en concepto de intereses, el banco te reconoce un interés del 15% por mes.

Si sacas un préstamo de $ 100 y el cabo de un año pagas la suma de $ 125, el banco te está cobrando un interés del 25% por año.

La tasa de interés

Definimos la tasa de interés como la ganancia que se obtiene por cada peso colocado durante cada período de tiempo en que se acreditan intereses.

La tasa de interés es un valor que indica el costo del dinero ajeno. Durante este curso a la tasa de interés la denominaremos “tasa” o “tanto por ciento” o

“razón” según sea el caso. A la tasa de interés la presentamos en porcentaje. Obtenemos la tasa haciendo el cociente entre el interés y el capital en la unidad de tiempo.

Del ejemplo anterior siendo el capital de $ 100 y el interés ganado de $ 15 en un mes hacemos:

𝑖 =𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠

𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙=

15

100= 0,15 → 15%

Luego el interés es del 15% en un mes o quince por ciento mensual. Cuando se expresa la tasa en forma de porcentaje, por ejemplo 15, esta diciendo que el

interés es de $15 por cada $ 100. Cuando la tasa nos sea dada en porcentaje la notaremos con R. Cuando se expresa la tasa en forma decimal, por ejemplo 0,15, esta afirmando que el

interés es de $ 0,15 por cada $1. Cuando la tasa nos sea dada en forma decimal o tanto por uno la notaremos con i.

¿Es lo mismo? Si, recuerden que en el módulo 2 vimos la equivalencia entre el porcentaje y la expresión decimal del porcentaje.

La tasa que se paga por los depósitos de denomina Tasa Pasiva y la que se cobra por los préstamos se denomina Tasa Activa. La diferencia entre ambas de denomina spread de la tasa de interés.

Fundamento histórico del interés

Cuando una persona utiliza un bien que no le pertenece, por lo general debe pagar un alquiler o renta, por el derecho a uso de ese bien.




A lo largo de la historia, siempre que el hombre ha prestado algo a otro, ya sea dinero u otros bienes, ha exigido que se le devuelva una cantidad superior a la prestada. Por otro lado, quien recibe el préstamo acepta devolverlo bajo esas condiciones. ¿Por qué entonces el prestatario acepta estas condiciones?

En el siglo XVIII, Jeremy Bentham (1748-1832) formuló la doctrina utilitarista según la cual todo acto debe ser juzgado y valorado según la utilidad que brinda. Útil era aquello que aumentaba el placer y disminuía el dolor. Por lo tanto, el individuo que prestaba un bien también sacrificaba la utilidad que el mismo le podría dar si lo hubiera conservado. Por ello era razonable que, finalizado el préstamo, exigiera el valor del bien más el valor de la utilidad perdida.

Principales conceptos Los principales conceptos a tener en cuenta son los siguientes: interés = I es una suma de dinero que representa a) un beneficio para el que presta el

capital y b) un costo para el que recibe el capital en préstamo. Tasa de interés = i es el interés que gana $ 1 en la unidad de tiempo. Por ejemplo si un

capital colocado durante un mes gana el 2% de interés mensual, entonces lo expresaremos i= 0,02 (por cada $ 1 gana 2 centavos al mes). También lo podríamos notar con R=2% (por cada $ 100 gana 2 pesos el mes).

Tiempo de colocación = t o n es el tiempo durante el cual el capital prestado gana intereses,

también se le denomina “número de períodos”

Capital inicial = C Es la suma de dinero que dispone el prestamista para colocar (o para depositar). También se lo denomina valor presente, valor actual o inversión inicial.

Monto = M Es la suma de dinero que percibe el acreedor cuando finaliza la operación realizada. También se lo denomina valor futuro porque es una suma de dinero que estará disponible sólo dentro de unos períodos de tiempo. Luego el Monto es la suma del Capital más el Interés:

𝑀 = 𝐶 + 𝐼

Ejemplo 1: Alicia obtiene un préstamo de $ 5.000 y se compromete a devolverlo al cabo de un mes pagando $ 148 de intereses. ¿Cuál es el monto que debe pagar? Solución: usando la fórmula vista 𝑀 = 𝐶 + 𝐼

𝑀 = 5.000 + 148 = 5.148 Respuesta: el monto que debe pagar es de $ 5.148

Ejemplo 2: Carlos pidió prestado $ 8.500 y deberá pagar un total de $ 8.925 al cabo de 2 meses con el fin de saldar la deuda. ¿Cuánto está pagando de intereses? Solución: de la fórmula dada 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 tenemos los siguientes datos Monto M= $ 8.925 Capital o principal P = $ 8.500 Reemplazando en la fórmula 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 nos queda




$ 8.925 = $ 8.500 + I De la cual tenemos que averiguar qué valor sumado a $ 8.500 nos da como resultado $ 8.925. Para hallar ese valor tenemos que despejar el Interés (I) y realizar un pasaje de términos. $ 8.925 - $ 8.500 = I I = $ 425

Ejemplo 3: Beatriz obtiene un préstamo de la Mutual de Crédito de $ 500. Al cabo de un mes devuelve la suma de $ 525. ¿Cuál es el capital, el interés y el monto? Solución: El préstamo obtenido es el capital o principal, entonces C = $ 500. La suma pagada es el monto, M = $ 525 En la fórmula 𝑀 = 𝐶 + 𝐼, reemplazamos y queda 525 = 500 + I ¿Cuál es el valor de I, para que sumado a 500 nos de 525?: $ 25 es el interés. Podemos realizar la operación despejando I de la fórmula: I = 525 – 500 = 25

Resolver 1: Juan recibió un préstamo de $ 1.000 de la firma Credijusto y al cabo de 6 meses debe abonar la suma de $ 250 en concepto de intereses ¿Cuál es el monto? Solución:

Resolver 2: Mario depositó en el Banco Uno la suma de $ 15.000. Al cabo de 60 días retiró la suma de $ 15.600. ¿Cuál fue el interés ganado? Solución:

Tiempo de colocación

La tasa de interés indica el costo que representa obtener dinero en préstamo y se expresa como un porcentaje de capital por unidad de tiempo.

La unidad de tiempo normalmente utilizada para expresar tasas de interés es de un año, aunque también las tasas de interés se expresan en unidades de tiempo menores a un año: mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral.

Recuerda que:

Si el plazo es Equivale a

Anual 12 meses

Semestral 6 meses

Cuatrimestral 4 meses




Trimestral 3 meses

Bimestral 2 meses

Mensual 1 mes

Cuando no se indique expresamente la unidad de tiempo se sobreentiende que se trata de

una tasa de interés anual.

Ejemplos: 1. ¿Qué significa una tasa de interés del 31%? Solución: 31% se lee 31% anual y significa que por cada $ 100 prestados por un plazo de 1 año, se deben pagar $ 31 en concepto de interés. 2. ¿Qué significa una tasa de interés del 5% semestral? Solución: 5% semestral significa que por cada $ 100 prestados, el deudor pagará $ 5 al final de cada semestre transcurrido, y hasta tanto abone el capital pedido en préstamo. 3. ¿Qué significa una tasa de interés del 4% mensual? Solución: 4% mensual significa que por cada $ 100 prestados, el deudor pagará $ 4 de interés al final de cada mes transcurrido, hasta que el deudor regrese el capital pedido en préstamo.

Resuelve 1: La tasa de interés para financiar el saldo deudor de la tarjeta de crédito Visa en el Banco Uno es el 49,16% anual. Explica con tus palabras que significa la información dada. Solución: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Resuelve 2: La tasa de interés que cobra el Banco Fácil por sus préstamos personales es del 16,40% semestral. Explica con tus palabras que significa la información dada. Solución: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Resuelve 3: La tasa de interés que paga un banco a los inversionistas que depositan su dinero en él es del 18,75% trimestral. Explica con tus palabras que significa la información dada. Solución:




…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… En general, en las operaciones financieras, se deben realizar operaciones para hallar plazos equivalentes. Por ejemplo pasar el tiempo dado en años y meses, o el tiempo en meses pasarlo a días.

Ejemplo: ¿A qué plazo, en meses, equivale 1 año y 3 meses? ¿Y en días? Solución: sabemos que 1 año = 12 meses, entonces 1 año y 3 meses = 12 + 3 = 15 meses Solución:

Interés Simple

Cuando un capital genera intereses por un determinado tiempo, el interés producido que se reconoce se denomina interés simple.

El interés no forma parte del capital originalmente prestado o invertido en ningún momento. El interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir

que a mayor capital prestado hay que pagar más intereses y viceversa, y además a mayor tiempo el interés aumenta.

Supongamos que se van a invertir $ 5.000 a un plazo de 3 meses y a una tasa del 1,50% mensual.

La tasa del 1,50% significa que cada $ 100 de deuda se pagará $ 1,50. Para resolver esta situación vamos a calcular el interés de un mes, usando el porcentaje o

el tanto por uno:

Con porcentaje R= 1,5% de $ 5.000 5.000 ×1,50

100= 75 por cada mes.

Con tanto por uno i= 0,15 de $ 5.000 5.000 × 0,15 = 75 por cada mes. el interés total que se cobrará al final de los 3 meses será:

𝐼 = 75 × 3 = 225 Entonces el interés simple se obtiene multiplicando el capital por la tasa de interés por el tiempo de colocación (plazo).

Fórmula: 𝑰 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒕 donde I es el interés simple, C es el capital, i es el porcentaje de la tasa de interés y t es el tiempo. Al utilizar la fórmula anterior hay que tener en cuenta que la tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Si la tasa de interés es anual el tiempo del plazo debe ser anual, si la tasa de interés es mensual, el tiempo debe expresarse en meses.




En otras palabras, si en un problema la unidad de tiempo usada en la tasa de interés no es la misma unidad de tiempo del plazo, la tasa de interés o el plazo, tiene que convertirse para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Ejemplo 1: ¿Cuál es el interés producido por $ 52.950 colocados al 8% anual durante 5 años? Solución: Ejemplo 2: ¿Cuál es el interés que produjo un préstamo de $ 55.556 tomado a un plazo de 3 años con un tanto por ciento del 12% anual? Solución:

Tasas equivalentes Vimos que la tasa de interés puede expresarse en relación a distintas unidades de tiempo, por ejemplo, podemos expresar un tanto por ciento de manera anual, semestral, trimestral o mensual, inclusive diaria. Vamos a decir que dos tasas de interés expresadas en distintas unidades de tiempo son equivalentes cuando aplicadas al mismo capital durante el mismo período de tiempo producen el mismo interés.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el interés que producirá un capital de $ 10.000 colocado al 18% anual en un plazo de 2 años? Solución:

Ejemplo 2: ¿Cuál es el interés que producirá el mismo capital de $ 10.000 colocado al 1,50% mensual en un plazo de 24 meses? Solución:




De los dos ejemplos anteriores podemos observar que los resultados son iguales, es decir que el interés simple es el mismo para el mismo capital inicial y el mismo plazo (2 años = 24 meses), entonces las tasas de interés son equivalentes:

18% anual es equivalente al 1,50% mensual Por otra parte si consideramos que el año tiene 12 meses, entonces si hacemos:

18

12= 1,50

Ejemplo 3: Dada la tasa de interés del 36% anual. ¿Cuál será la tasa equivalente semestral, cuatrimestral, trimestral y mensual? Solución: Para resolver este ejemplo debemos recordar que 1 año = 2 semestres 1 año = 3 cuatrimestres 1 año = 4 trimestres 1 año = 12 meses. Entonces para hallar la tasa equivalente semestral al 36% anual debemos dividir esta tasa en 2, porque en el año hay 2 semestres:

36%

12= 18% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

De la misma manera para hallar la tasa cuatrimestral deberemos dividir la tasa anual por 3, ya que en el año hay 3 cuatrimestres:

36%

3= 12% 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

La tasa trimestral se halla dividiendo la tasa anual en 4 porque en un año hay 4 trimestres:

36%

4= 9% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Por último la tasa mensual se halla dividiendo la tasa anual en 12, porque en un año hay 12 meses.

36%

12= 3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

Resolver: Dada la tasa de interés del 36% anual. ¿Cuál será la tasa equivalente bimestral? Solución:




Situaciones resueltas

Ejemplo 1: Roberto solicitó un préstamo de $ 15.000 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 36% anual, ¿qué cantidad debe pagar por concepto de interés? ¿Cuál es el monto? Solución: los datos que nos da el problema son C = $ 15.000 R= 36% anual t = 4 meses La unidad de tiempo de la tasa de interés es año y no coincide con la unidad de tiempo del plazo que es meses. Vamos a convertir la tasa anual a mensual, como vimos en los ejemplos anteriores, debemos realizar la siguiente operación:

36%

12= 3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

El porcentaje del 3% mensual equivale al tanto por uno de 0,03. Calculamos el interés simple:

𝑰 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒕 = 15.000 × 0,03 × 4 = 1.800 Lo anterior quiere decir que Roberto deberá pagar $ 1.800 en concepto de intereses. Para calcular el monto usamos la fórmula 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 = 15.000 + 1.800 = 16.800 El monto a pagar será de $ 16.800.

Ejemplo 2: Una persona realiza una colocación de $ 4.000 a 35 días obteniendo por ella una tasa anual de interés del 13%. Calcular el interés ganado. Para revolverla deberíamos calcular la tasa diaria, sabiendo que en un año hay 365 días. La tasa diaria asciende a:

𝑅 =13%

365= 0,04%

Luego calculamos el interés:

𝑰 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒕 = 4.000 ×0,04

100× 35 = ⋯ … … … … ..




Resolver 1: Marcela posee un capital de $ 6.000. Invierte el capital al 3,6% trimestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total? Solución:

Resolver 2: Sofía compra un televisor que cuesta $ 8.750 de contado. Da un anticipo del 10% del precio de contado y acuerda cancelar con un pago $ 8.250 tres meses después. ¿Qué tasa de interés paga en el trimestre? ¿Y en el mes? Solución:

Fórmulas derivadas Desde la fórmula del interés simple podemos hallar otras fórmulas para calcular el Capital o Principal, la tasa de interés o el plazo. La forma de encontrar las fórmulas derivadas es realizar pasajes de términos a partir de

𝐼 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡

Interés simple

𝐼 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡

Capital

𝐶 =𝐼

𝑖 × 𝑡

Tiempo

𝑡 =𝐼

𝐶 × 𝑖

Tanto por uno

𝑖 =𝐼

𝐶 × 𝑡

Tanto por ciento

𝑅 = 𝑖 × 100




Trabajo Práctico nº 3 – Tasa de interés - Interés Simple – Tasas equivalentes 1) La señora Olmedo solicita un préstamo por $ 5.300, para la compra de un refrigerador y

acuerda pagar un total de $ 689 por concepto de intereses. ¿Qué monto deberá pagar el término del plazo establecido? ¿Cuál es la tasa de interés que le cobran?

2) Hace 10 meses, Paola depositó $ 750 en una cuenta bancaria. Si al final de ese tiempo le entregaron $ 825, identifique el capital, el monto, calcule el interés ganado y la tasa de interés correspondiente.

3) Suponga que Usted recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $ 19.600. Si el interés fue de $ 1.200, ¿qué capital le prestaron? ¿A que tasa de interés?

4) Encontrar el interés simple y el monto de un capital de $ 1.000 invertido: a) 4,5% anual durante 1 año b) 5,25% anual durante 2 años c) Al 3,5% anual durante medio año

5) Una persona posee un capital de $ 120.000. Coloca el 60% al 10% anual durante 2 años y el resto al 16% anual en el mismo período de tiempo. ¿Cuál fue su ganancia anual?

6) Eduardo consigue un préstamo por $ 120.000 a un año y medio de plazo, con una tasa de interés simple del 2,35% mensual. a) Si el interés devengado se paga al final de cada mes, ¿cuánto deberá pagar? b) Si el interés devengado se pagara al final del plazo establecido, ¿cuánto deberá pagar en

total en concepto de intereses? 7) ¿Qué capital produjo un interés de $ 20.000 colocado al 27% anual durante 3 años? 8) ¿En qué tiempo un capital de $ 50.000, colocado al 14% anual, produjo un interés de $

17.500? 9) ¿Cuál es el tanto por ciento a que se ha colocado un capital de $ 35.000 para producir un

interés de $ 11.200 en 4 años? 10) ¿Cuántos días hay en 18 meses? 11) ¿Qué plazo en años son 540 días? 12) ¿Qué plazo en años son 17 meses? 13) Calcular el interés de $ 9.000 al 8% anual en:

a) 2 años; b) 9 meses; c) 11 meses; d) 2 años y un mes; e) 120 días; f) 300 días

14) La mitad de un capital de $ 42.500 está colocado al 13,5% y la otra mitad al 15%. ¿Qué interés produce el capital en 3 meses?

15) Una persona compró un departamento en $ 300.000. ¿Cuál es el alquiler mensual sabiendo que representa un interés de 10% sobre el capital?

16) Dos hermanos heredan cada uno un campo del mismo valor. El primero lo vende a $ 1.200.000 y coloca su dinero al 10%. El segundo vende su campo 11 meses después en $ 1.300.000. ¿Cuál de ellos obtuvo el mayor beneficio?

17) ¿Cuál es el interés de $ 4.200 al 9% anual durante 15 meses y 22 días? 18) ¿Cuál es el interés que producen $ 1.400 al 1% mensual durante 4 años? 19) Se desea colocar a plazo fijo un monto de $ 9.580. El 20% del capital se coloca a una tasa del

5% anual por un plazo de 1 año. El resto del capital se coloca a una tasa del 4,75% por 360 días. ¿Cuál es mi beneficio?

20) ¿Qué capital es necesario poner a plazo fijo en un banco con una tasa de interés del 3% anual, para que en 180 días produzca $ 1.500 de interés?

21) Por $ 3.250 que pedí prestados por un plazo de 4 años y 2 meses, me cobraron $ 487,50. ¿Qué tasa anual me cobraron?

22) Un capital de $ 41.000 colocado a 1 año y 8 meses produjo $ 20.500 de interés. ¿Cuál es el tanto por ciento anual? ¿y mensual?




23) Hallar el tiempo que ha estado colocado un capital de $ 750 al 4,5% mensual para que produzca un interés de $ 360.

24) Hallar el monto de $ 5.280 al 6,4% anual en 1 mes y 15 días. 25) Un monto de $ 8.208 fue dado por un capital de $ 7.200 al 4% mensual. ¿Cuántos meses y

días estuvo colocado dicho capital? 26) ¿Cuál es el monto producido por un capital de $ 1.200 empleado por 120 días al 24% anual? 27) Rubén compra a crédito una caldera que tiene un precio de contado de $ 4.765. Queda de

acuerdo en dar una entrega del 15% y un pago final 2 meses más tarde. Si acepta pagar una tasa de interés del 48% sobre el saldo, ¿cuánto deberá pagar dentro de 2 meses?

28) Le presté a mi compañero de trabajo la suma de $ 600. Al cabo de 45 días me devuelve en concepto de interés la suma de $ 50. ¿A qué tanto por ciento anual he prestado mi dinero?

29) ¿Cuál es el interés de $ 1.500 al 10% anual durante 15 meses? 30) Un capital de $ 41.000 colocado a una tasa de interés del 30% anual produjo $ 20.500 de

interés. ¿A qué plazo se colocó el capital? 31) ¿Cuál es el interés que producirá un capital de $ 10.000 colocado al 18% anual en un plazo de

2 años? 32) ¿Cuál es el capital si el M = $ 8.000; R= 20% anual; t= 400 días? 33) Calcular el monto producido por un capital de $ 23.000 al 2% mensual en 8 meses y 15 días. 34) Calcular el monto producido por $ 2.000 al 12% anual en 73 días. 35) Calcular el monto producido por $ 10.000 al 15% anual en 274 días. 36) Calcular el monto producido por $ 15.000 al 2% mensual en 6 meses y 15 días. 37) ¿Cuál es el capital que produjo un monto de $ 8.000, colocado a una tasa i de 20% anual y un

plazo t de 400 días? 38) ¿Cuál es el capital producido por un monto de $ 10.000, colocado a una tasa i de 18% anual y

a un plazo t de 9 meses? 39) Por una suma colocada al 30% anual durante 15 meses se ha obtenido un monto de $ 2.750.

Calcular los intereses ganados. 40) ¿Cuál es el tiempo necesario para duplicar un capital colocado a interés simple al 4%

mensual? 41) Calcule el interés que gana un capital de $ 7.500 a una tasa de interés del 12% anual durante

180 días. 42) Calcule el interés que gana un capital de $ 20.500, a una tasa de interés del 15% anual, desde

el 1º de marzo al 1º de septiembre del mismo año. 43) ¿En qué tiempo se incrementará en $ 205 un capital de $ 50.000 colocado al 10,25% anual? 44) ¿A qué tasa de interés se colocó un capital de $ 4.000 para que se convierta en $ 4.315 en 210

días? 45) Una persona invierte $ 1.500 durante 9 meses, por lo que obtiene un interés de $ 135. Calcule

la tasa de interés que se le reconoció. 46) María otorga un préstamo a Pedro por $ 1.500 con vencimiento en 300 días, a una tasa del

18% anual. Calculo el valor del monto que debe devolver Pedro. 47) Una persona pide un préstamo de $ 14.500 a 90 días de plazo, a una tasa de interés del 1,8%

mensual. Calcule cuanto debe abonar.


MÓDULO 6 – LOS MEDIOS DE PAGO


MÓDULO 6 – LOS MEDIOS DE PAGO3

Dinero (Billetes y Monedas) de Curso Legal

Se denomina dinero en efectivo al dinero en forma de billetes y monedas. Tiene la característica de tener mayor liquidez que el resto de los medios de pago, es decir que puede utilizarse en transacciones económicas en menor tiempo y costo. Por esto es el instrumento más corriente para realizar transacciones.

La emisión de los billetes y monedas de curso legal en la República Argentina está a cargo del Banco Central de la República Argentina (B.C.R.A.), en su calidad de autoridad monetaria de la Nación.

Billetes

El Decreto del Poder Ejecutivo N° 2.128 del 10 de octubre de 1991 dispuso la puesta en vigencia, a partir del 1 de enero de 1992, de la LÍNEA PESO. En ese momento, se estableció una paridad de un peso ($1) equivalente a diez mil australes (A 10.000). El peso era convertible con el dólar de los Estados Unidos, a una relación un peso ($1) por cada dólar, paridad ésta que se estableció de conformidad con lo legislado por la Ley de Convertibilidad del Austral N° 23.928 del 27 de marzo de 1991. Los billetes emitidos en esa oportunidad llevaban la leyenda: “Convertibles de curso legal”.

La Ley N° 25.561, de Emergencia Pública y Reforma del Régimen Cambiario del 6 de enero de 2002, en su artículo 3° derogó los arts. 1° y 2° de la Ley de Convertibilidad del Austral, por lo que se dispuso suprimir el vocablo “convertibles de curso legal” en los billetes de la línea peso. No obstante, los billetes que tienen esa leyenda y que continúan en circulación, conservan su curso legal.

Los billetes tienen un tamaño uniforme de 155 mm de ancho y 65 mm de alto. El papel utilizado es 100% de fibra de algodón, con un peso de 83 gr/m2, exento de fluorescencia a la luz ultravioleta. La impresión se hace en tres etapas sucesivas, empleando sistemas de impresión offset, calcografía y tipografía.

A cinco años de su lanzamiento, se efectuaron algunos cambios en la línea, que incluyeron mejoras en los grabados, papel de un gramaje superior (90 gr/m2) y marca de agua de molde cilíndrico localizada, que reproduce el retrato del diseño orientado en el mismo sentido.

El BCRA dispuso el canje de billetes de $1 a partir del 01/09/1995 por monedas del mismo valor, y de billetes de $50 y $100 a partir del 11/06/2001 por billetes del mismo valor de nuevo diseño.

Este procedimiento se hizo para retirarlos del circuito monetario. Actualmente el canje se realiza únicamente en la sede del Banco Central, en el ámbito de

la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, y en las sucursales del Banco de la Nación Argentina, en todo el país.

Monedas

Las monedas emitidas son de 1, 5, 10, 25 y 50 centavos, y de 1 peso.

Tarjeta de débito

Es un instrumento que sirve para disponer de los fondos depositados en una cuenta a la vista, a la que la tarjeta está asociada.

Pueden utilizarse para:

disponer de efectivo en las sucursales bancarias y cajeros automáticos,

3 Banco Central de la República Argentina. Descifrando la Economía. Dinero, comercio y medios

de pago. pp 13-34 (2008).




consultar el saldo y los movimientos de la cuenta asociada, realizar pagos en los comercios adheridos.

El acceso a la cuenta está restringido por un “número de identificación personal” (PIN),

proporcionado al titular, que por razones de seguridad no debe ser compartido.

Cheque

Es el instrumento de pago que permite, a determinada fecha, retirar cierta cantidad de dinero de la cuenta corriente del firmante.

El firmante puede contar con fondos suficientes en la cuenta o estar autorizado para girar en descubierto.

Existen dos clases de cheques:

cheque común (orden de pago pura), cheque de pago diferido (orden de pago librada a días vista).

Los elementos que debe contener un cheque son: la denominación ”cheque” o ”cheque de pago diferido” inserta en su texto, un número de orden impreso, la fecha de creación y de pago, el nombre de la entidad girada y el domicilio de pago, la orden de pagar una suma de dinero expresada en números y letras y la firma y el nombre del librador, domicilio, identificación tributaria o laboral o de identidad.

Transferencias electrónicas

Una transferencia bancaria es un sistema mediante el cual se transfieren fondos entre distintas cuentas bancarias sin necesidad de transportar físicamente el dinero. Las transferencias bancarias pueden realizarse a través de cajeros automáticos, "home banking", o las sucursales de la entidad bancaria.

En cuanto al destino de las transferencias, pueden realizarse entre cuentas de una misma persona física o jurídica en un mismo banco, o en diferentes bancos en diferentes países, o entre cuentas de diferentes titulares.

El costo de este servicio depende de cada entidad bancaria, pero suelen no tener costo adicional cuando las cuentas de origen y destino pertenecen a un mismo banco. A su vez, existen límites máximos para los montos a transferir, que dependen de cuál sea el tipo de transferencia a realizar.

Dinero electrónico

El dinero “electrónico” es un valor pre almacenado en una tarjeta inteligente o en un disco rígido de una computadora personal.

Puede ser transmitido a otra tarjeta, a otra computadora o a otro país a través de internet. Es esencialmente, el pasivo de una “institución emisora”, como todo otro tipo de dinero. El pago con dinero electrónico es final, a diferencia del pago con una tarjeta de crédito, que

después requiere un proceso ulterior de pago. Hay dos sistemas de “dinero electrónico”: cerrado y abierto. Un ejemplo de sistema cerrado es la “tarjeta telefónica” donde el emisor y el proveedor son

la misma persona. Un ejemplo de sistema abierto es la tarjeta que se puede usar en un ámbito geográfico

extendido, inclusive internacional; es decir, emitida en Italia y usada en la Argentina o Francia. La “Banca electrónica” (e-banking) es el servicio que ofrecen los bancos a sus clientes para

realizar transacciones bancarias a través de internet.




Tarjetas de Crédito

Su finalidad es posibilitar al usuario la realización de operaciones de compra o locación de bienes o servicios u obras y la obtención de préstamos y anticipos de dinero del sistema en los comercios e instituciones adheridos. Además, permite al titular diferir el pago o las devoluciones a fecha pactada, o financiarlo de acuerdo con alguna de las modalidades establecidas en el contrato, abonando a los proveedores de bienes o servicios los consumos del usuario en los términos pactados.

Genéricamente se denomina tarjeta de crédito al instrumento material de identificación del usuario, que puede ser magnético o de cualquier otra tecnología. Este instrumento emerge de una relación contractual previa entre el titular y el emisor.

El usuario poseedor de la tarjeta está identificado en ella con su nombre y apellido, número interno de inscripción, su firma hológrafa, fecha de emisión y de vencimiento, y los medios que aseguren la inviolabilidad de la tarjeta y la identificación del emisor y de la entidad bancaria interviniente.

Utilizar una tarjeta para disponer de un crédito tiene para el cliente las mismas consecuencias que la disposición de cualquier otra modalidad de financiación. Por lo tanto, supone asumir la obligación de devolver el importe dispuesto y de pagar los intereses, comisiones bancarias y gastos pactados.

Para las financiaciones vinculadas a tarjetas de crédito, existen límites a las tasas de interés fijados en la Ley N° 25.065, determinados en función de las tasas de interés cobradas por préstamos personales sin garantía. En el caso de tarjetas emitidas por entidades financieras, la tasa no puede superar en más del 25% a las tasas de interés que la entidad haya aplicado, durante el mes inmediato anterior, en las operaciones de préstamos personales sin garantías reales. Para las tarjetas emitidas por otras empresas, la tasa no puede superar en más del 25% al promedio de tasas del sistema financiero para operaciones de préstamos personales sin garantía real que publique mensualmente el BCRA.

Normalmente, las entidades emisoras asignan a las tarjetas de crédito un límite de crédito determinado en función de la categoría de la tarjeta (ordinaria, “plata”, “oro” u otras según las denominaciones más habituales). No obstante, ese límite no es fijo.

Por un lado, las entidades pueden ajustarlo atendiendo a su política de riesgos existente en cada momento y a las características personales y de solvencia económica de cada cliente. Por otro lado, es posible que un cliente entienda que el límite de crédito asociado a una tarjeta sea inadecuado a sus necesidades, bien por exceso, en cuyo caso la entidad no pondrá reparos a bajar el límite, bien por defecto, aunque en este supuesto la entidad habrá de aprobar la solicitud presentada a tal efecto antes de subir ese límite.

En todo caso, la existencia de un límite implica que la entidad emisora de la tarjeta no está obligada a atender las disposiciones del cliente que superan el límite del crédito contratado.

El contrato de emisión de tarjeta de crédito debe contener los siguientes ítems:

el comienzo y el cese de la relación (plazo de vigencia de la tarjeta), el plazo para el pago de las obligaciones por parte del titular, el porcentual de montos mínimos de pago conforme a las operaciones efectuadas, los montos máximos de compras o locaciones, obras o retiros de dinero mensuales

autorizados, las tasas de intereses compensatorios o financieros, la tasa de intereses punitorios, la fecha de cierre contable de operaciones, el tipo y monto de cargos administrativos o de permanencia en el sistema (discriminados por

tipo, emisión, renovación, envío y confección de resúmenes, cargos por tarjetas adicionales para usuarios autorizados, costos de financiación desde la fecha de cada operación, o desde el vencimiento del resumen mensual actual o desde el cierre contable de las operaciones hasta la fecha de vencimiento del resumen mensual actual, hasta el vencimiento del pago del resumen mensual, consultas de estado de cuenta, entre otros),

el procedimiento y las responsabilidades en caso de pérdida o sustracción de tarjetas,




los importes o tasas por seguros de vida o por cobertura de consumos en caso de pérdida o sustracción de tarjetas,

la firma del titular y del personal apoderado de la empresa emisora, las comisiones fijas o variables que se cobren al titular por el retiro de dinero en efectivo, las consecuencias de la mora, una declaración en el sentido de que los cargos en que se haya incurrido con motivo del uso de la tarjeta de crédito son debidos y deben ser abonados contra recepción de un resumen periódico correspondiente a dicha tarjeta, las causales de suspensión, resolución y/o anulación del contrato de tarjeta de crédito.

El contrato debe redactarse claramente y con tipografía fácilmente legible a simple vista, en ejemplares de un mismo tenor para el emisor, para el titular, para el eventual fiador personal del titular y para el adherente o usuario autorizado que tenga responsabilidades frente al emisor o los proveedores. Además, las cláusulas que generen responsabilidad para el titular adherente deben estar redactadas con caracteres destacados o subrayados.

Sistema de tarjeta de crédito. Definición La Ley de Tarjetas de Crédito N° 25.065 define al sistema de tarjeta de crédito: ARTICULO 1° — Se entiende por sistema de Tarjeta de Crédito al conjunto complejo y sistematizado de contratos individuales cuya finalidad es: a) Posibilitar al usuario efectuar operaciones de compra o locación de bienes o servicios u obras, obtener préstamos y anticipos de dinero del sistema, en los comercios e instituciones adheridos. b) Diferir para el titular responsable el pago o las devoluciones a fecha pactada o financiarlo conforme alguna de las modalidades establecidas en el contrato. c) Abonar a los proveedores de bienes o servicios los consumos del usuario en los términos pactados. Se trata de cuatro contratos distintos unidos por una misma finalidad económica: Emisor – Usuarios Emisor – Comercios Emisor – Administradora Usuarios – Comercios

Componentes

En el desarrollo de la operatoria de tarjetas de crédito intervienen los siguientes componentes:

Entidad emisora o emisor

Es la que bajo su exclusiva responsabilidad otorga la tarjeta al socio, de quien percibirá los importes correspondientes a los consumos que éste haya realizado.

Debe proveer al sistema los fondos necesarios para efectuar el pago a los establecimientos adheridos, del total de consumos realizados mediante tarjetas de su emisión.

Entidad pagadora

Es la elegida por los establecimientos comerciales para la cobranza de sus ventas y eventualmente la presentación de las operaciones efectuadas en forma manual (cupones en papel).




Una misma entidad puede ser emisora y pagadora en forma simultánea.

Titular de tarjeta de crédito

Es aquel que gestionó y obtuvo su tarjeta en una entidad emisora y por lo tanto, puede realizar consumos en los establecimientos adheridos y entidades afiliadas, cancelando tales importes según lo pactado con la entidad emisora.

Será responsable de todos los cargos y consumos realizados personalmente o por sus autorizados.

Titular adicional o beneficiario de extensiones

Es aquel que está autorizado por el titular para realizar operaciones con tarjeta de crédito y a quien el emisor le entrega un instrumento de características idénticas que al titular.




Proveedor o comercio adherido

Es el establecimiento que se vincula al sistema a través de una entidad pagadora y por ende, opera con las tarjetas de la Administradora y de aquellos sistemas con los cuales la Administradora suscriba convenios especiales.

En virtud del contrato celebrado con la entidad pagadora, proporciona bienes, obras o servicios al usuario aceptando percibir el importe mediante el sistema de tarjeta de crédito.

Administradora

Es la empresa que atiende las necesidades comunes del sistema y pone a disposición de las entidades afiliadas, las tarjetas de crédito destinadas a los usuarios.

Su misión específica es interconectar a las entidades emisoras y pagadoras a fin de efectuar el procesamiento de las operaciones y unificar los procedimientos.

Tarjeta de crédito

Se denomina genéricamente Tarjeta de Crédito al instrumento material de identificación del usuario, que puede ser magnético o de cualquier otra tecnología, emergente de una relación contractual previa entre el titular y el emisor (artículo 4° de la Ley 25.065)

La "tarjeta" es el instrumento de pago emitido por la entidad emisora a favor de su cliente (el usuario), para ser utilizado en la compra de bienes de consumo o utilización de servicios prestados por los comercios adheridos al sistema que administra la "marca" o Administradora.

La entidad emisora se hace cargo de la cancelación de las operaciones y recupera su crédito con los pagos totales o parciales, que el usuario debe efectuar al vencimiento de cada resumen que envía la Administradora.

Identificación

El usuario, poseedor de la tarjeta estará identificado en la misma con: Su nombre y apellido. Número interno de inscripción. Su firma ológrafa. La fecha de emisión de la tarjeta. La fecha de vencimiento. Los medios que aseguren la inviolabilidad de la misma. La identificación de la marca y de la entidad emisora.




Vigencia de la tarjeta

La vigencia de una tarjeta de crédito está vinculada con la fecha en la que expira el plástico como medio de pago. Al vencimiento la tarjeta se renovará de manera automática, siempre que se encuentre en estado normal.

Resumen de cuenta

Es el reporte mensual detallado de las operaciones realizadas por el titular o sus autorizados.

Domicilio de envío del resumen El resumen será enviado al domicilio que indique el cliente indique en el contrato.

Tiempo de recepción

Debe ser recibido por el cliente con una antelación mínima de 5 días anteriores al vencimiento de su obligación de pago, independientemente de lo pactado en el respectivo contrato de tarjeta de crédito.

En el supuesto de la no recepción del resumen, el cliente dispondrá de un canal de comunicación telefónico proporcionado por la Administradora durante las 24 horas del día que le permitirá obtener el saldo de la cuenta y el pago mínimo que podrá realizar.

Contenido del resumen de cuenta Obligatoriamente deberá contener la siguiente información: 1) Identificación del emisor (Banco). 2) Identificación del cliente. 3) Fecha de cierre del resumen actual, del cierre posterior y del cierre anterior. 4) Fecha en que se realizó cada operación. 5) Número de comprobante de cada operación. 6) Identificación del proveedor. 7) Importe de cada operación. 8) Fecha de vencimiento del pago actual, anterior y posterior. 9) Límite de compra. 10) Límite de crédito o financiación. 11) Tasa de interés compensatorio o financiero que se aplica. 12) Fecha a partir de la cual se aplica el interés compensatorio o financiero. 13) Tasa de interés punitorio pactado sobre saldos impagos y fecha desde la cual se aplica. 14) Pago mínimo. 15) Monto adeudado por el o los períodos anteriores con especificación de la clase y monto de los

intereses devengados. 16) Plazo para cuestionar el resumen. 17) Monto y concepto detallados de todos los gastos a cargo del cliente.







Trabajo Práctico nº 4 - Tema: Los medios de pago Consigna: Responde las siguientes preguntas haciendo uso del apunte de cátedra y del material bibliográfico entregado. También puedes utilizar fuentes de Internet pero deberás citarla en la respuesta indicando la dirección web. Presentación de trabajo: Escrito a mano alzada o impreso por PC. Letra legible. Transcribir la pregunta y seguidamente la respuesta. Respetar la ortografía y los signos de puntuación. Usar diccionario. Cuestionario: 1. En la actualidad realizamos los intercambios comerciales usando dinero, en sus dos formas habituales, billetes y

monedas. ¿Podríamos usar otra mercadería o cosa como dinero? ¿Qué condiciones debe cumplir esa mercancía o cosa para ser considerado dinero?

2. ¿Cuándo las sociedades empezaron a usar monedas y por qué? ¿Dónde surgió el billete? ¿Por qué? 3. ¿Cuáles fueron los billetes y monedas usados en la Argentina en el Siglo XX y en la actualidad? ¿Por qué

consideras que nuestro país tuvo tantos cambios monetarios? 4. Describe las propiedades del dinero. ¿Consideras que el dinero electrónico reemplazará al dinero físico? Explica

tu opinión. 5. Luego de haber leído el material provisto, enuncia y describe los medios de pago que se usan en el país.

¿Haces uso de alguno de esos medios? 6. Evalúa las ventajas y desventajas de cada medio de pago, usando una tabla de doble entrada como el siguiente

ejemplo. Averigua que requisitos te exigen para adquirir cada uno de ellos y sus costos en al menos dos bancos de la ciudad. Para averiguar sus costos puedes hacerlo en las páginas de internet de los bancos elegidos.

Medio de pago Ventajas Desventajas

Cheque

Tarjeta de crédito

…..

…..

7. ¿Cuáles son los beneficios y diferencias de usar tarjeta de débito y de crédito? 8. ¿Qué diferencias existen entre los cheques comunes y los cheques de pago diferido?


MODULO 7 – DESCUENTO DE DOCUMENTOS COMERCIALES



Introducción

El sistema financiero (conjunto de bancos del país) utiliza con frecuencia el descuento de documentos comerciales en operaciones de corto plazo.

Cuando una persona física o jurídica desea obtener dinero en efectivo, respaldado por un documento cuyo vencimiento ocurrirá en un futuro cercano, realiza una operación de descuento.

Una operación de descuento es un crédito que tiene como respaldo un documento comercial.

El crédito

Por crédito se entiende toda operación que implique una prestación presente contra una prestación futura.

Concretamente es la operación por la cual un banco (entidad financiera o prestamista) se compromete a entregar al solicitante (cliente o prestatario) una suma de dinero, recibiendo a cambios después de un plazo, una suma más un interés también en dinero.

Con frecuencia se usan indistintamente los términos “crédito” o “préstamo”. La primera es una expresión más general, ya que su etimología significa “creer” (del latín: credere) y es válida para todas las formas comprendidas en la definición anterior. En cambio “préstamo” es de alcance más restringido, ya que se refiere al clásico otorgamiento de dinero por un banco.

Del concepto crédito surgen los elementos que lo componen: El capital o suma prestada: el valor de dinero efectivamente recibido. El plazo para su devolución y la forma de amortizarlo: las cuotas. El precio de la operación: la tasa de interés y otros cargos o comisiones. Las garantías ofrecidas por el cliente.

Documentos comerciales

Los documentos comerciales son instrumentos de pago entre los cuales se encuentran: Pagarés. Cheques de pago diferido. Facturas emitidas por empresas de servicios o comercios. Todos estos instrumentos de pago tienen el importe a pagar (Valor Nominal), la fecha de

vencimiento, que es la fecha en que deben ser cancelados (pagados), y la firma del emisor.

El descuento Supongamos que necesitamos disponer de una suma de dinero, por ejemplo $ 10.000, devolviéndolo luego de un año de plazo, pagando un interés anual del 20%; podría sucedernos lo siguiente: 1. Que el banco nos diga: “bueno, yo le presto los $ 10.000 y Ud. dentro de un año me devuelve $

12.000, ya que al valor del préstamo le adicionamos el 20% anual convenido”; 2. Que el banco nos diga: “bueno, yo le presto hoy los $ 10.000, pero le cobro el interés anual en

este momento; en consecuencia, le entregaré $ 8.000, y Ud. Me devuelve los $ 10.000 dentro de un año”.

La segunda propuesta se trata de una operación de descuento, una operación financiera en la cual se recibe en forma inmediata un capital y pagando en forma anticipada el interés.

Son situaciones en las cuales entregamos a un banco los documentos que tenemos que cobrar en un cierto tiempo, recibiendo hoy a cambia una suma de dinero menor en concepto de “valor en efectivo” o “valor presente” o “valor actual”.




Entrega documento al banco por $ 1.000 (valor nominal).-

Recibe el valor nominal del documento menos una quita (descuento): $ 900.-

La diferencia entre el importe que está escrito en el documento (Valor Nominal) y el importe

que recibimos (Valor actual / Valor presente / Valor efectivo) es el interés y recibe el nombre de Descuento (D).

De la definición dada surge que

Valor Nominal – Valor efectivo = Descuento

𝑁 − 𝑉 = 𝐷 El descuento se calcula usando la fórmula de interés simple. La tasa de interés que se usa es una tasa de interés que se denomina tasa de descuento (d).

𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡 Como ejemplo, supongamos que una persona solicita un préstamo por $ 10.000, a 2 meses de plazo y los intereses se cobrarán por adelantado. La tasa de interés de descuento es del 3% mensual, el interés anticipado o descuento a cobrar en el momento de recibir el préstamo es:

𝐷 = 𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡 = 10.000 ∙3

100∙ 2 = $ 600

𝑉 = 𝑁 − 𝐷 = 10.000 − 600 = $ 9.400

La persona recibe en realidad $ 9.400, en lugar de los $ 10.000 solicitados, pero al cabo de los dos meses tendrá que pagar $ 10.000, por ser esta la cantidad pedida en préstamo, en consecuencia $ 10.000 solicitados, que nunca se reciben, se convierten en el momento a pagar.

El tiempo (t) es el período de tiempo que va desde la fecha del descuento hasta la fecha de vencimiento.

En la fórmula de descuento las cantidades deben ser homogéneas, es decir que si

d anual t debe estar expresado en años d mensual t debe estar expresado es meses d semestral t debe estar expresado en semestres d trimestral t debe estar expresado en trimestres

Fórmulas derivadas Para calcular el valor nominal (N), la tasa de interés descuento (d) y el tiempo (t) desde el importe del Descuento, podemos usar las siguientes fórmulas derivadas:




Ejercicios de aplicación 1. ¿Qué descuento se hizo sobre un pagaré de $ 2.000 que fue descontado al 1,25% mensual 6

meses antes de su vencimiento? 2. ¿Qué descuento se hizo sobre un pagaré de $ 32.971 descontado 4 meses antes de su

vencimiento con una tasa de descuento del 0,4375% mensual? 3. Se firma un documento al 6% semestral a 1 semestre y sufre un descuento de $ 60. ¿Qué

importe recibe el deudor al formalizar la operación? 4. ¿Cuántos días antes de su vencimiento fue descontado un cheque de $ 800 al 5%

cuatrimestral si el descuento fue de $ 50? 5. ¿A qué tasa porcentual fue descontada una obligación comercial de $ 1.200 si sufrió un

descuento de $ 200 por 5 meses? 6. Si se recibieron $ 800 al firmar un pagaré que fue descontado al 15% anual por 3 meses, ¿cuál

es el valor nominal de ese documento? 7. Se descontó un documento a 200 días por $ 1.800 al 2% mensual. ¿Qué importe recibió el

deudor?

El descuento en los bancos

Generalidades En general los documentos comerciales son descontados en fechas distintas a las de su emisión. Por ejemplo se opera con un documento emitido el 15 de marzo, por un valor nominal de $ 800, con vencimiento el 11 de septiembre, que se descuenta el 15 de junio, a la tasa de descuento del 18% anual; podemos graficar la situación en una línea de tiempo.

El tiempo se usa en días y para calcularlo usamos el calendario:

Plazo hasta el vencimiento

Marzo 16

Abril 30

Mayo 31

Junio 30

Julio 31

Agosto 31

Septiembre 11

Total 180 días

100DN

d t

100Dd

N t

100Dt

N d




Tiempo de descuento

Junio 15

Julio 31

Agosto 31

Septiembre 11

Total 88 días

Luego la línea de tiempo se completa con estos datos:

Como la tasa de descuento (anual) no es homogénea con el tiempo (días) debemos adecuar la fórmula que usamos (ver Módulo 5 – Interés simple).

𝐷 =𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡

36.500

En la fórmula anterior la tasa es siempre anual y el tiempo siempre se usa en días.

Ejemplo: ¿Cuál es el valor efectivo que recibe una persona al que le descuentan un pagaré de $ 2.500,00 descontado al 18% anual 120 días antes de su vencimiento?

La pregunta que debemos responder es: ¿qué valor en efectivo recibe la persona? El valor efectivo resulta de restar al valor nominal el descuento.

Los datos que nos aporta el enunciado son los siguientes {𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙. 𝑁 = 2.500. −

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑑 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. 𝑡 = 120 𝑑í𝑎𝑠

Con estos datos podemos calcular el descuento, usando la fórmula:

𝐷 =𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡

36.500

Reemplazamos los datos en la fórmula:

𝐷 =𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡

36.500=

2.500 × 18 × 120

36.500=

5.400.000

36.500= 147,94.

El descuento asciende a $ 147,94. Luego el valor efectivo será:

𝑉 = 𝑁 − 𝐷 = 2.500 − 147,94 = 2.352,06




𝑉 = $ 2.352,05

Fórmulas derivadas

Ahora vamos a plantear las fórmulas derivadas para poder resolver los problemas en que tengamos como incógnitas el valor nominal (N), el plazo (t) o la tasa de interés anual (i).

Ejercitación 1. ¿Qué descuento se hizo sobre un pagaré de $ 2.000 que fue descontado al 15% anual 180

días antes de su vencimiento? Respuesta: $ 147,94

2. ¿Qué descuento se hizo sobre un pagaré de $ 1.000 que fue descontado al 24% anual con un

plazo de 39 días? Respuesta: $ 25,64

3. ¿Qué descuento se hizo sobre un pagaré de $ 32.971 descontado 120 días antes de su

vencimiento con una tasa de descuento del 5,25% anual? Respuesta: $ 569,09

4. Se firma un documento al 12% anual a 180 días y sufre un descuento de $ 60. ¿Qué importe

recibe el deudor al formalizar la operación? Respuesta: $ 953,89

5. ¿Cuántos días antes de su vencimiento fue descontado un cheque de $ 800 al 20% anual si el

descuento fue de $ 50? Respuesta: 114 días

6. ¿A qué tasa porcentual fue descontada una obligación comercial de $ 1.200 si sufrió un

descuento de $ 200 por 150 días? Respuesta: 40,55% anual

7. Si se recibieron $ 800 al firmar un pagaré que fue descontado al 15% anual por 90 días, ¿cuál

es el valor nominal de ese documento? Respuesta: $ 830,72

8. Se descontó un documento a 200 días por $ 1.800 al 24% anual, ¿Qué importe recibió el

deudor? Respuesta: $ 1.563,29

36.500 DN

d t

36.500 Dt

N d

36.500 Dd

N t




Ejercitación para afianzar conceptos y procedimientos Resolver o responder según corresponda. 1) Determinar el importe de descuento sobre los siguientes documentos comerciales que son

descontados:

a) Documento de $ 3.500 por 60 días al 4% anual.

b) Cheque de pago diferido de $ 5.000 por 90 días al 3,5% anual.

c) Pagaré de $ 1.200 por 4 meses al 15% anual.

d) Cheque de pago diferido de $ 2.500 del 15 de marzo al 10 de abril, al 16% anual.

e) Documento de $ 4.000 del 10 de octubre al 13 de noviembre al 15,5% anual.

2) ¿En qué consiste una operación de descuento comercial?

3) Un banco otorga préstamos a sus clientes cobrando el interés anticipado del 6% anual, para

calcular el interés a cobrar utiliza el descuento a interés simple. Determina la cantidad que

recibe cada cliente que solicita:

a) $ 1.500 por 60 días;

b) $ 1.750 por 6 meses;

c) $ 2.000 por 8 meses;

d) $ 1.000 desde el 1 de marzo al 20 de abril;

e) $ 2.550 desde el 5 de mayo al 16 de julio.

4) ¿Cuáles son los elementos que debés tener en cuenta en una operación de descuento

comercial?

5) Determinar el valor efectivo recibido en cada una de las siguientes operaciones:

Ejercicio

n°

Valor

Nominal

N

Fecha de

emisión

Plazo de

pago

Fecha de

pago

Fecha de

descuento

Tasa de

descuento

d (anual)

1 $ 2.000 19 de abril 3 meses 30 de mayo 16%

2 $ 3.500 5 de junio 4 meses 21 de agosto 15%

3 $ 1.000 10 de julio 75 días 25 de julio 15,5%

4 $ 4.500 15 de marzo 90 días 26 de mayo 18%

5 $ 3.000 12 de enero 6 meses 28 de abril 14%


MODULO 8 – OPERACIONES BANCARIAS DE PRÉSTAMOS



El crédito

Destino

Anteriormente definimos al “Crédito” como toda operación que implique una prestación presente contra una prestación futura.

El crédito o préstamo es el monto de dinero que los bancos otorgan al público para diversos fines, principalmente para realizar operaciones de consumo o inversión. La persona que recibe un crédito se denomina “prestatario” o “tomador”.

Las operaciones de consumo son aquellas cuyos destinos son la compra de bienes y servicios para uso de las personas físicas: compra de automotor, compra de vivienda, compra de muebles, pago de viajes, entre otras. Entre las operaciones de inversión podemos citar la compra de vehículos destinados a alquilarlos como vehículos de alquiler, construir una vivienda destinada al alquiler.

A cambio del dinero recibido, el tomador del crédito debe ir devolviendo al banco la suma otorgada en cierta cantidad de cuotas mensuales y además pagar una cantidad de dinero adicional en concepto de intereses y otros gastos como los seguros, gastos administrativos (Fuente: Los Bancos Comerciales: ahorro, crédito y crecimiento. BCRA).

Amortización con interés simple

Vamos a aplicar lo que hemos trabajado durante el año en el estudio de una de las operaciones crediticias más sencillas, el cálculo de operaciones de préstamos con interés simple sobre el saldo deudor.

Algunas consideraciones previas. Amortizar: significa saldar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o cuotas, los cuales pueden ser iguales en valor o variables, efectuados en intervalos de tiempo iguales o diferentes. Interés sobre saldo deudor: se calcula el interés sobre los saldos que van quedando después de restar cada cuota que se paga. Cuota: es la suma de la amortización más el interés generado en el período de tiempo considerado.

Realicemos el cálculo de las cuotas mensuales que debe pagar un prestatario en el siguiente ejemplo. Ejemplo: La Cooperativa de Ahorro e Inversión otorga al señor Medina un préstamo de $ 6.000 amortizable a 6 meses de plazo, al 1% mensual sobre saldos deudores. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

En primer lugar debemos determinar la amortización del capital prestado. Para ellos repartimos el importe en la cantidad de meses del plazo.

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =6.000

6= 1.000




Cada amortización será de $ 1.000. Ahora calculemos los intereses mensuales, que se deben calcular sobre la parte no pagada del capital que va quedando después de cada amortización.

Desde que se inicia el crédito hasta el final del primer mes, el saldo de capital es de $ 6.000, por lo tanto el interés a pagar en la primera cuota será (usamos la fórmula para calcular el interés simple):

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

100

donde el capital (C) es $ 6.000, la tasa de interés (i) es el 1% mensual y el plazo (t) es de 1 mes.

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

100=

$6.000 × 1% × 1𝑚𝑒𝑠

100= $60

Luego el valor de la primera cuota será la suma de la amortización de capital ($ 1.000) más

el interés ($ 60).

𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 = $1.000 + $60 = $1.060

Al finalizar el primer mes debe abonar $ 1.060.

Luego de pagar la primera cuota el saldo deudor queda reducido en $ 1.000.

𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 = $6.000 − $1.000 = $5.000

Y sobre este saldo calculamos el interés a pagar al final del segundo mes:

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

100=

$5.000 × 1% × 1𝑚𝑒𝑠

100= $50

Luego el valor de la segunda cuota será la suma de la amortización de capital ($ 1.000)

más el interés ($ 50).

𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 = $1.000 + $50 = $1.050

Al finalizar el segundo mes debe abonar $ 1.050.

Al pagar la segunda cuota el saldo deudor nuevamente se reduce en $ 1.000.

𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 = $5.000 − $1.000 = $4.000

Y sobre este saldo calculamos el interés a pagar al final del tercer mes:

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

100=

$4.000 × 1% × 1𝑚𝑒𝑠

100= $40

Luego el valor de la segunda cuota será la suma de la amortización de capital ($ 1.000)

más el interés ($ 40).

𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 = $1.000 + $40 = $1.040

La tercera cuota a pagar es de $ 1.040.




Continuando de esta manera podemos calcular las restantes tres cuotas, pero para facilitar los cálculos podemos usar una tabla de amortización:

Mes Amortización Intereses Cuota Saldo deudor

0

6.000,00

1 1.000,00 60,00 1.060,00 5.000,00

2 1.000,00 50,00 1.050,00 4.000,00

3 1.000,00 40,00 1.040,00 3.000,00

4 1.000,00 30,00 1.030,00 2.000,00

5 1.000,00 20,00 1.020,00 1.000,00

6 1.000,00 10,00 1.010,00 0,00

Total 6.000,00 210,00 6.210,00

De la lectura de la tabla surge que:

a) Mes a mes el saldo de deuda se reduce un valor igual a la amortización. b) El total de amortizaciones es igual al capital prestado $ 6.000 (lo cual debe ser siempre

así). c) El total de intereses pagados es de $ 210. d) El total pagado por el prestatario es $ 6.210, la suma del capital prestado más el total de

intereses.

Ahora vamos a trabajar con la tasa de interés expresada en forma anual, que es la forma habitual en que la tasa de interés se presenta al público.

Recordemos que en el cálculo de intereses la tasa de interés debe estar expresada en la misma unidad que el tiempo, es decir si la tasa es mensual el tiempo debe estar en meses, si la tasa es anual el tiempo debe estar en años o si la tasa es trimestral el tiempo debe estar expresado en bimestres. Ejemplo: Una agencia de autos usados vende una camioneta en la suma de $ 100.000 con las siguientes condiciones de financiación: 5 cuotas mensuales con el 24% anual de interés. Determine el importe de cada cuota. Para poder realizar el cálculo del interés simple debemos calcular la tasa mensual, para ello sabiendo que el año tiene 12 meses debemos realizar el siguiente cociente:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙(𝑖) =24%

12= 2%

Procedemos a realizar las operaciones ya explicadas en el ejemplo anterior y confeccionar

la tabla de amortización.

La amortización mensual surgirá de: 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =100.000

5= 20.000

El interés del primer mes será:

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

100=

$100.000 × 2% × 1𝑚𝑒𝑠

100= $2.000





0

100.000,00

1 20.000,00 2.000,00 22.000,00 80.000,00

2 20.000,00 3 20.000,00 4 20.000,00 5 20.000,00 Total 100.000,00

Realiza los restantes cálculos para completar la tabla.

Ahora vamos a realizar el cálculo de las cuotas de un préstamo pero trabajando con los días exactos de cada período mensual. Ejemplo: Implementos Agrícolas S.A. vende un tractor cuyo precio de contado es de $ 525.000 con las siguientes condiciones: 5 cuotas pagaderas cada 35 días con una tasa de interés simple del 45% anual sobre saldo deudor. Calcular el importe de cada una de las cuotas.

La situación nos obliga a convertir la tasa anual a tasa diaria para poder realizar el cálculo del interés simple cada 35 días. Esto, como ya supones, se realiza dividiendo la tasa anual en la cantidad de días de año (365).

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎(𝑖) =45%

365= 0,12328767123%

Para simplificar la cantidad de cálculos y decimales que debemos usar vamos a realizar

una adecuación de la fórmula de cálculo del interés simple, de tal manera que incluya la conversión de la tasa anual a tasa diaria.

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

365 × 100=

𝐶 × 𝑖 × 𝑡

36500

Calculamos la amortización: 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =525.000

5= 105.000

Calculamos el interés del primer período de 35 días:

𝐼 =𝐶 × 𝑖 × 𝑡

36500=

525.000 × 45 × 35

36500= 22.654,11

Y empezamos a completar nuestra tabla de amortización:





0

525.000,00

1 105.000,00 22.654,11 127.654,11 420.000,00

2 105.000,00 3 105.000,00 4 105.000,00 5 105.000,00 Total 525.000,00

Realiza los restantes cálculos para completar la tabla.

Ejercitación 1. El crédito o préstamo es el monto de dinero que los bancos o comercios otorgan al público

para diversos fines, principalmente para realizar operaciones de consumo o inversión. ¿Todas las personas pueden solicitar créditos en los bancos?

2. Averigua que condiciones exigen al menos dos bancos en la ciudad de Ushuaia para otorgar un préstamo personal.

3. ¿Cuáles son las principales modalidades de crédito? 4. ¿Qué significa ser “buen pagador”? 5. ¿Qué puede ocurrir cuando una persona no paga las cuotas de un préstamo prendario o

hipotecario? 6. Averigua que tasa de interés se cobra en al menos dos bancos de la ciudad en los préstamos

prendarios e hipotecarios. 7. Desde el punto de vista del otorgamiento de crédito, ¿por qué es importante la existencia de

los bancos? 8. Calcular las cuotas mensuales que debe abonar un cliente que solicita un préstamo a la Mutual

Credimucho de $ 4.000 a 8 meses de plazo, al 1% mensual sobre saldos deudores. 9. Calcular el monto total que abona un cliente que toma un crédito de $ 12.000 a 6 meses de

plazo, con una tasa de interés mensual del 2%. 10. La empresa Daihatsu vende su nuevo jeep con precio de lista de $ 100.000, con una entrega

inicial del 20%, y el saldo en 8 cuotas mensuales. Calcula la cuota mensual si se considera una tasa de interés del 1% mensual.

11. Se obtiene un préstamo por $ 36.000 pagaderos en 10 meses mediante pagos mensuales y 3% mensual sobre saldo. Calcular los intereses de los primeros 6 meses.

12. Un préstamo de $ 90.000 debe cancelarse en 3 cuotas mensuales, con las siguientes condiciones de tasa de interés: para el primer mes la tasa de interés es del 1% mensual, el segundo mes el 2% mensual y el tercer mes el 5% mensual. Calcule el monto total a pagar.

13. Un préstamo de $ 50.000 debe cancelarse en 5 cuotas mensuales. La tasa de interés para el primer mes es del 1% mensual. Para cada uno de los meses siguientes la tasa de interés se incrementa sucesivamente el 20%. Calcula el importe de cada cuota y el monto total que se abona. Trabaja con dos decimales.




14. Una bicicleta de alta montaña se puede comprar al contado en $ 16.750. A crédito se requiere un pago inicial de $ 2.010. Si se cobra una tasa de interés anual del 20% y la deuda se liquida en 10 pagos mensuales, calcule: a) la cuota mensual; b) el interés total del financiamiento, y c) el precio del reloj al ser comprado a crédito.

15. Arturo compró un juego de cuatro llantas para su automóvil, cuyo precio contado es de $ 8.300, mediante un pago inicial del 15% y 3 pagos mensuales con una tasa de interés del 18% anual. Calcule el monto abonado.

16. Roberto debe $ 4.140, los cuales pagará en 6 pagos mensuales. Los intereses calculados sobre saldos deudores con tasa de interés simple del 2,5% mensual. Elabore la tabla de amortización.

17. Se obtiene un préstamo por $ 20.000 a un año de plazo, el cual se pagará en cuotas trimestrales y con el 27% interés simple anual sobre saldos deudores. ¿Cuál será el valor de la cuota trimestral? ¿A cuánto ascienden los intereses?

18. El señor Gómez solicitó un préstamo personal por $ 10.000 al Banco Ágil. El plazo es de 8 meses y cada mes deberá amortizar la octava parte del capital más el interés mensual devengado, calculado al 3% mensual sobre saldos deudores. Elabore la tabla de amortización.

19. Una persona debe pagar un préstamo de 2.300 dólares en 8 meses a razón de 287,50 dólares por mes, más los intereses respectivos sobre el saldo deudor. Si la tasa de interés es variable, elabore la tabla de amortización. Las tasas de interés anuales aplicables a cada mes son: 8,40%; 8,80%; 9,30%; 9,40%; 9,50%; 9,00%; 9,50% y 10%.

20. Una deuda de $ 3.000 se va a pagar mediante 5 pagos mensuales de la siguiente forma: primer pago $ 350; segundo pago $ 500; tercer pago $ 600, cuarto pago $ 750 y último pago $ 800. El pago mensual debe incluir los intereses sobre el saldo deudor. Si la tasa de interés es del 28,08% anual, elabore la tabla de amortización.

21. Una cooperativa de ahorro otorga préstamos de $ 3.600 a 6 meses de plazo, con una tasa del 1,5% mensual. Calcule el importe de las cuotas que debe pagar.

22. Una persona pide un préstamo de $ 14.500 pagadero en tres cuotas cuyos vencimientos operan cada 90 días, a una tasa de interés del 1,8% mensual. Calcule el monto a abonar.

23. Un persona adquiere un vehículo usando cuyo precio es de $ 24.000 y paga el 50% al contado. El saldo lo cancela en 4 meses, con una tasa de interés del 18% anual sobre saldos deudores. Calcule las cuotas mensuales que debe abonar.


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