APUNTES CONTROL I

ING. EFRAIN DE LA CRUZ SANCHEZ

PERIODO:

AGOSTO 2013 – ENERO 2014

HEROÍCA CD. DE JUCHITÁN DE ZARAGOZA, OAXACA

SEP SNEST DGEST

INSTITUTO TECNOLÓGICO

delIstmo

UNIDAD III 3. Acciones básicas de control y controles automáticos industriales 3.1 Acciones de control. 3.1.1 Acción de dos posiciones (si, no). 3.1.2 Acción de control proporcional. 3.1.3 Acción de control integral. 3.1.4 Acción de control proporcional integral. 3.1.5 Acción de control proporcional derivativo 3.1.6 Acción de control proporcional derivativo e integral. 3.2 Controles proporcionales 3.2.1 Sistemas neumáticos. 3.2.2 Control proporcional de primer orden.

UNIDAD III 3 ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y CONTROLES AUTOMÁTICOS INDUSTRIALES 1.1 ACCIONES DE CONTROL. Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control. En este capítulo analizaremos primero las acciones de control básicas que se usan en los sistemas de control industriales. Después revisaremos los efectos de las acciones de control integral y derivativa en la respuesta del sistema. A continuación consideraremos la respuesta de sistemas de orden superior. Cualquier sistema físico se volverá inestable si alguno de los polos en lazo cerrado se encuentra en el semiplano derecho del plano S. Para verificar la existencia o inexistencia de tales polos en el semiplano derecho del plano, es útil el criterio de estabilidad de Routh. Muchos controladores automáticos industriales son electrónicos, hidráulicos, neumáticos o alguna combinación de éstos. En este capítulo presentamos los principios de los controladores neumáticos, hidráulicos y electrónicos. En esta sección analizaremos los detalles de las acciones básicas de control que utilizan los controladores analógicos industriales. Empezaremos con una clasificación de los controladores analógicos industriales. Clasificación de los controladores industriales. Los controladores industriales se clasifican, de acuerdo con sus acciones de control, como: 1. De dos posiciones o de encendido y apagado (on/ofB 2. Proporcionales 3. Integrales 4. Proporcionales-integrales 5. Proporcionales-derivativos 6. Proporcionales-integrales-derivativos Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operaciión, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño. Controlador automático, actuador y sensor (elemento de medición). La figura

3-1 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición).

Fig. 3-1. Diagrama de bloques de un sistema de control industrial, formado por un

controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automático se alimenta a un actuador, tal como un motor o una válvula neumáticos, un motor hidráulico, o un motor eléctrico. (El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia.) Elsensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación del sensor o del elemento de medición. Controladores autooperados. En la mayor parte de los controladores automáticos industriales, se usan unidades separadas para el elemento de medición y el actuador. Sin embargo, en algunos muy sencillos, como los controladores autooperados, estos elementos se integran en una unidad. Los controladores autooperados utilizan la potencia desarrollada por el elemento de medición, son muy sencillos y poco costosos. Un ejemplo de un controlador autooperado aparece en la figura 3.2. El punto de ajuste lo determina la modificación de la fuerza del resorte.

Fig. 3-2 Controlador autooperado.

El diafragma mide la presión controlada. La señal de error es la fuerza neta que actúa sobre el diafragma. Su posición determina la apertura de la válvula. La operación del controlador autooperado es la siguiente: suponga que la presión de salida es más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste. Por tanto, la fuerza de tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia arriba, lo cual produce un movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujo y eleva la presión de salida. Cuando la fuerza de presión hacia arriba es igual a la fuerza de tensión hacia abajo, el vástago de la válvula permanece estacionario y el de flujo es constante. Por el contrario, si la presión de salida es más alta que la presión de referencia, la apertura de la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella. Los controladores autooperados se usan mucho en el control de la presión del agua y el gas.

1.1.1 ACCIÓN DE DOS POSICIONES (SI, NO). En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación solo tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos. Supongamos que la señal de salida del controlador es u (t) y que la señal de error es e (t). En el control de dos posiciones, la señal u (t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo, en donde y son constantes. Por lo general, el valor mínimo de es cero o - . Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides.

Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones. Las figuras 3-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación se denomina brecha diferencial.

Fig. 3-3 (a) Diagrama de bloques de un controlador de encendido y apagado; (b) diagrama

de bloques de un controlador de encendido y apagado con una brecha diferencial. En la figura 3-3(b) se señala una brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador u (t) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado. Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura 3-4(a), en donde se usa la válvula electromagnética de la figura 3-4(b) para controlar el flujo de entrada.

Fig. 3-4 (a) Sistema del control del nivel de líquido; (b) válvula electromagnética.

Esta válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la figura 3-5, la señal de salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra. Observe que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de

salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.

Fig. 3-5 Nivel h (t) contra t para el sistema de la figura 3-4(a).

En la figura 3-5 observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.

1.1.2 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL. Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u (t) y la señal de error e (t) es:

O bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace, en donde Kpse considera la ganancia proporcional

Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la figura 3-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.

Fig. Diagrama de bloque de un controlador proporcional.

1.1.3 ACCIÓN DE CONTROL INTEGRAL.

En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u (t) se cambia a una razón proporcional a la señal de error e (t). Es decir,

O bien

En donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es

Si se duplica el valor de e (t), el valor de u (t) varía dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor de u (t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral se denomina control de reajuste (reset). La figura 3-7 muestra un diagrama de bloques de tal controlador.

Fig. 3-7 Diagrama de bloques de un controlador integral.

1.1.4 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONALINTEGRAL. La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante

o la función de transferencia del controlador es

En donde K, es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto KP como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la acción de control. El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La figura 3-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más integral. Si la señal de error e (t) es una función escalón unitario, como se aprecia en la figura 3-8(b), la salida del controlador u (t) se convierte en lo que se muestra en la figura 3-4 c).

3.1.5 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO.

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante

y la función de transferencia es

Fig. 3-7 Diagrama de bloques de un controlador integral

(a) (b) (c)

Figura 3-8 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integra1; (b) y (c) diagramas que muestran una entrada escalón unitario y la salida del controlador.

En donde Kp es la ganancia proporcional y Tdes una constante denominada tiempo derivativo. Tanto KP como Tdson ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones denominadacontrol de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador esproporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalode tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acciónde control proporcional. La figura 3-9(a) muestra un diagrama de bloques de uncontrolador proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitariacomo se aprecia en la figura 3-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que semuestra en la figura 3-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión.Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador. Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que solo es eficaz durante periodos transitorios.

3.1.6 ACCIÓN DE CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVA E INTEGRAL.

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante

(a) (b) (c)

Figura 3-9 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo; (b) y (c) d’ tag ramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador.

O la función de transferencia es

en donde Kpes la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Tdes el tiempo derivativo. El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo aparece en la figura 3-10(a). Si e (t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la figura 3-10(b), la salida del controlador u (t) se convierte en la de la figura 3-10(c). Efectos del sensor (elemento de medición) sobre el desempeño del sistema. Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general, el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si las constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una constante. Las figuras 3-11(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden

subamortiguado, respectivamente. Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden sobreamortiguado.

(a)

(b) (c)

Figura 3-10 (a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional integral-derivativo; (b) y (c) diagramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador.

(a) (b)

(c) Figura 3-11 Diagramas de bloques de controladores automáticos con: (a) un sensor de primer orden; (b) un sensor de segundo orden sobreamortiguado; (c) un sensor de segundo orden subamortiguado.

3.2 CONTROLES PROPORCIONALES 3.2.1 SISTEMAS NEUMÁTICOS. Debido a que son el medio más versátil para transmitir señales y potencia,los fluidos, ya sean líquidos o gases, tienen un amplio uso en la industria. Los líquidos y los gases se

diferencian entre sí básicamente por su falta de compresibilidad relativa y por el hecho de que un líquido puede tener una superficie libre, en tanto que un gas se expande para llenar su recipiente. En 61 campo de la ingeniería, el término neumática describe los sistemas de fluidos que usan aire o gases e hidráulica describe los sistemas que usan aceite. Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria. Dado que es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos, a continuación ofrecemos una breve comparación de estos dos tipos de sistemas. Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. El fluido que suele encontrarse en los sistemas neumáticos es el aire;en los sistemas hidráulicos es el aceite. Y son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan las diferencias entre estos dos sistemas. A continuación se listan estas diferencias: 1. El aire y los gases son comprimibles, en tanto que el aceite no lo es. 2. El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite funciona como un fluido hidráulico al igual que como lubricante. 3. La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la de los sistemas hidráulicos. 4. Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores que las de los sistemas hidráulicos. 5. La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto que la precisión de los actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades. 6. En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escurrimiento externo, pero debe evitarse el escurrimiento interno debido a que la diferencia de presión efectiva es muy pequeña. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado de escurrimiento interno, pero debe evitarse el escurrimiento externo. 7. Los sistemas neumáticos no se requiere de tubos de recuperación cuando se usa aire, en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos. 8. La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60°C (41 a 140°F). Sin embargo, el sistema neumático opera en el rango de 0 a 200°C (32 a 392°F). Los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de temperatura, a diferencia de los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidos provocada por la viscosidad depende en gran parte de la temperatura. La temperatura de operación normal de los sistemas hidráulicos es de 20 a 70°C (68 a 158°F). 9. Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario de los sistemas hidráulicos.

A continuación empezaremos un modelado matemático de los sistemas neumáticos. Después presentaremos los controladores neumáticos proporcionales. Ilustraremos el hecho de que los controladores proporcionales utilizan el principio de realimentación negativa sobre sí mismos. Ofreceremos un análisis detallado del principio mediante el cual operan los controladores proporcionales. Por último, trataremos los métodos para obtener acciones de control derivativa e integral. En todos los análisis, enfatizaremos los principios fundamentales en lugar de los detalles de la operación de los mecanismos reales. Sistemas neumáticos. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que estos controladores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son sencillos y es fácil darles mantenimiento. Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión. Muchos procesos industriales y controladores neumáticos incluyen el flujo de un gas, que puede ser aire, en recipientes a presión conectados a través de tuberías. Considere el sistema a presión de la figura 3-12(a). El flujo del gas a través de la restricción es una función de la diferencia de presión del gas - Tal sistema de presión se caracteriza en términos de una resistencia y una capacitancia. La resistencia del flujo de gas R se define del modo siguiente:

O bien

En donde d(A P) es un cambio pequeño en la diferencia de presión del gas y dq es un cambio pequeño en el flujo del gas. El cálculo del valor de la resistencia de flujo del gas R puede tomar mucho tiempo. Sin embargo, experimentalmente se determina con facilidad a partir de una gráfica de la diferencia de presión contra flujo, calculando la pendiente de la curva en una condición de operación determinada, como se aprecia en la figura 3-12(b). La capacitancia del recipiente a presión se define mediante

Figura 3-12 (a) Diagrama esquemático de un sistema a presión; (b) curva de la diferencia de presión contra flujo. O bien

En donde C = capacitancia, lb- /

m = masa del gas en el recipiente, lb p = presión del gas,

V = volumen del recipiente, p = densidad, lb/

La capacitancia del sistema de presión depende del tipo de proceso de expansión implícito. La capacitancia se calcula mediante la ley de los gases ideales. Si el proceso de expansión del gas es politrópico y el cambio de estado del mismo está entre isotérmico y adiabático, entonces

En donde n = exponente politrópico. Para los gases ideales,

En donde p = presión absoluta, /

Y = volumen ocupado por un mol de un gas,

Ṽ = constante universal de los gases, pie- /lb-mol “R

T = temperatura absoluta, °R v = volumen específico del gas,

M = peso molecular del gas por mol, lb/lb-mol

Por tanto

Después, la capacitancia se obtiene como

La capacitancia de un recipiente determinado es constante si la temperatura permanece constante. (En muchos casos prácticos, el exponente politrópico n es aproximadamente 1.0 - 1.2 para gases en recipientes metálicos sin aislamiento.) Sistemas de presión. Considere el sistema de la figura 3-12(a). Si sólo suponemos desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos, este sistema se considera lineal. Definimos p = presión del gas en el recipiente en estado estable (antes de que ocurran cambios en la presión),

= cambio pequeño en la presión del gas que entra,

p. = cambio pequeño en la presión del gas en el recipiente,

V = volumen del recipiente, m = masa del gas en el recipiente, Ib q = flujo del gas, lb/seg p = densidad del gas, lb/ Para valores pequeños de y , la resistencia R obtenida mediante la ecuación se vuelve constante y se escribe como

La capacitancia C se obtiene mediante la ecuación o bien

Dado que el cambio de presión dpomultiplicado por la capacitancia C es igual al gas añadido al recipiente durante dtsegundos, obtenemos

O bien

lo cual se escribe como

Si y se consideran la entrada y la salida, respectivamente, la función de transferencia del sistema es

En donde RC tiene la dimensión del tiempo y es la constante de tiempo del sistema.

3.2.2 CONTROL PROPORCIONAL DE PRIMER ORDEN. Considere el sistema de primer orden de la figura 3-l3(a). Físicamente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura 3-13(b) presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante

En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física. Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = l/s en la ecuación descrito con anterioridad, obtenemos

Expandir C(s) en fracciones parciales produce

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior obtenemos

La ecuación plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir, c(T) = 1 - ee1 = 0.632 Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra caracterfstica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es UT, dado que

Figura 3-13 (a) Diagrama de bloques de un sistema de primer orden; (b) diagrama d bloques simplificado.

La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. Vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de UT en t = 0 a cero en t = m. En la figura 3-14 en una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final.

Por tanto, para t 2 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. Considere el sistema de la figura 3-15. Para determinar experimentalmente si el sistema es o no de primer orden, grafique la curva logarítmica Ic- c(w)/, en donde c(t) es la salida del sistema, como una función de t. Si la curva se convierte en una línea recta, el sistema es de primer orden. La constante de tiempo T se lee de la gráfica como el tiempo T que satisface la ecuación siguiente:

Observe que, en lugar de graficar log [c(t) - c(m)1 - 4~M49 - ( II contra t, es conveniente graficar jc(t)c m contra t en papel semilogarítmico, como se aprecia en la figura 3-16. Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es l/s*, obtenemos la salida del sistema de la figura 4-l(a), como

Figura 3-14 Curva de respuesta exponencial.

Figura 3-15Un sistema general.

Figura 3-16 Grafica de contra T en papel semilogarítmico. Si expandirnos C(s) en fracciones parciales, obtenemos

Tomando la transformada inversa, obtenemos

De este modo, la señal de error e(t) es

Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T o e(w) = T La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la ecuación expandida en fracciones. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t

suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa. Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema de la figura 3-l3(a) pueden obtenerse como:

Figura 3- 17Respuesta rampa unitaria del sistema de la figura 3-13 (a) O bien, obtenemos la siguiente ecuación:

Una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es.

Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida c(t) es.

Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida c(t) es

Figura 3-18. Respuesta impulso unitario del sistema de la figura 3-13 (a) Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal original y determinando las constantes de integración a partir de la condición inicial de salida cero. Ésta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.

TAREA: SE FORMULARA EN EQUIPO DE 3 INTEGRANTES 15 PREGUNTAS CON SUS

RESPECTIVAS RESPUESTAS, LA ENTREGA SE HARA EL DIA 07/11/2013 EN HOJAS

BLANCAS EN LA HORA DE CLASES.