áReas integrales definidas áreas de regiones delimitadas por gráficas_ bachiller_ ejemplos y ejercicios resueltos

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Introducción: función positiva, función negativa, función positiva y negativa y regióndelimitada por la gráfica de dos funciones.

17 Problemas Resueltos

Enlace: Interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Reglade Barrow

Una de las aplicaciones de las integrales es el cálculo directo de áreas. Recordamos que si fes una primitiva de F, esto es, si

Entonces, la integral definida de F entre los extremos a < b es, por la Regla de Barrow,

Se cumple que este resultado coincide, bajo ciertas restricciones, con el área de la regiónencerrada entre la gráfica de F y el eje de las abscisas (eje OX) en el intervalo [a, b]:

El área de la región A viene dada por la integral definida

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Importante: región negativa

Si la gráfica de la función está por debajo del eje, entonces el resultado de la integral esnegativo:

Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral:

Consecuencia: región positiva y negativa

Si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, para calcular el área sedeben calcular dos (o más) integrales: una para la región positiva y otra para la negativa(en valor absoluto).

El área de la región encerrada entre la gráfica de F y el eje de las abscisas en el intervalo[a, c] es la suma:

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Si no se calculan por separado, el resultado de la integral es el resultado de un áreanegativa y una positiva y, por tanto, el resultado obtenido es menor que el área real.

Área entre dos gráficas:

El área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g en el intervalo [a, b] vienedada por la integral de la resta de las funciones:

El área es

Nota 1: el integrando debe ser la función cuya gráfica es mayor menos la función cuyagráfica es menor.

Nota 2: la integral dada representa el área de la región puesto que

(El área A es el área que hay bajo la gráfica de f menos el área que hay bajo la gráfica deg).

Nota 3: si la región se encuentra dividida por el eje de las abscisas o bajo dicho eje, hayque proceder según se explicó anteriormente.

Nota 4: nótese que el intervalo sobre el que se define la integral coincide con los puntosdonde las gráficas se cortan (intersectan).


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En esta sección se calculan áreas de regiones delimitadas por funciones y rectas, dosfunciones, funciones a trozos y funciones con valor absoluto.

En el Ejercicio 10 y 11 se calcula el área de un círculo y el área del interior de una elipse,respectivamente, considerando dichas áreas como las delimitadas por funciones.

En el Ejercicio 15 y 16 se calcula el área de una región no acotada (de longitud o anchurainfinita) mediante el cálculo de una integral impropia de Riemann, cuyo concepto seexplica intuitivamente en su resolución.

En el Ejercicio 17 se calcula el área del conjunto intersección de tres conjuntos definidosanalíticamente.

Ejercicio 1

Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función

y las rectas verticales

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Las rectas son:

Como tenemos que integrar la función f, la escribimos como una suma:

Representamos la gráfica y las rectas para ver si el eje horizontal divide la región:


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Como el eje OX divide la región en otras dos (una sobre el eje y otra bajo éste), tenemos quecalcular dos integrales. El resultado de la integral correspondiente al área que está por debajoserá negativo, por lo que tenemos que cambiar el signo (o escribir el valor absoluto).

Los intervalos de x de las regiones son:

Nota: el extremo 0 se calcula resolviendo la ecuación

Estos intervalos son los extremos de las integrales.

La integral indefinida de f es

Calculamos las áreas calculando las integrales definidas aplicando la Regla de Barrow:


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El área es la suma del valor absoluto de los resultados obtenidos:

Ejercicio 2

Calcular el área de la región delimitada entre la gráfica de la función coseno

y las rectas verticales

Ver solución

Representamos la gráfica de f y las dos rectas:

Tenemos tres regiones: una positiva (sobre el eje OX) y dos negativas (bajo el eje). Luegodebemos calcular tres integrales definidas.

Los intervalos de integración son


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La integral indefinida de f es

Calculamos las integrales definidas en los tres intervalos:

Por tanto, el área total es

Nota: Por la simetría de la función respecto del eje OY, podemos calcular el área del primercuadrante y multiplicarla por 2. También se puede calcular el área de una de las regiones delongitud π/2 y multiplicarla por 4.

Ejercicio 3

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de la hipérbola f y el eje de abscisas,siendo

Ver solución

La restricción sobre el dominio de la función nos proporciona rectas verticales:


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Esto es lo mismo que decir que la región está compuesta por dos regiones, una delimitada porlas dos rectas

y la otra por las dos rectas

Representamos las 4 rectas, la gráfica de f y la región cuya área vamos a calcular:

La integral indefinida de la función es

Las integrales definidas en ambos intervalos son



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Hemos aplicado las propiedades de los logaritmos para simplificar el resultado.

Nota: por simetría, es suficiente calcular el área de una de las dos regiones y duplicarla.

Ejercicio 4

Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta y la parábola dadas por las funciones

Ver solución

Queremos calcular el área de la región azul:

Como la región está sobre el eje de las abscisas, es suficiente calcular una única integral.

Antes de todo, calculamos los extremos de la integral. Estos extremos son los puntos dondeintersectan ambas gráficas, es decir, las soluciones de la ecuación

Por tanto, los extremos son

Al calcular la integral de la función f obtenemos el área entre su gráfica y el eje horizontal (esuna área mayor que la azul). De forma análoga para la integral de g. Luego si se restan ambasáreas se obtiene el área de la región azul.

Por tanto, el área es


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Nota: como los resultados de ambas integrales son positivos (porque están sobre el eje OX),el área puede calcularse directamente como

Ejercicio 5

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las parábolas

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Representamos las gráficas de las funciones. Queremos calcular el área de la región azul:

Como hay simetría, calcularemos el área de la mitad derecha de la región (primer cuadrante).

Puesto que ambas gráficas son positivas, calcularemos dicha área en una integral (gráficasuperior menos gráfica inferior):


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Ejercicio 6

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de f y el eje horizontal

Ver solución

Queremos calcular el área de la región delimitada por la gráfica, el eje horizontal y las rectasx = 0 , x = 2π .

La región es la azul:

Nota: para representar la gráfica nos ayudamos de la gráfica del seno, pero como tiene elcoeficiente x, la altura de los periodos aumenta a medida que aumenta |x|.

Buscamos el punto que divide ambos intervalos resolviendo la ecuación

Las soluciones son

Pero el punto que nos interesa es x = π.


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Calculamos la integral indefinida:

Aplicamos integración por partes:

Luego

Calculamos las integrales definidas en los dos intervalos:

El área total es la suma de los valores absolutos de los resultados anteriores:

Ejercicio 7

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función definida a trozos

y el eje de las abscisas (eje horizontal).

Ver solución

Representamos la gráfica de f (en rojo) y la región cuya área deseamos calcular (azul):


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Como existe simetría respecto del eje de las ordenadas, será suficiente calcular el área de lamitad de la región y duplicarla. Calculamos el área de la mitad que se encuentra en el primercuadrante, que se corresponde con la gráfica de la función f(x) = x .

La integral definida es

Por tanto, el área total es 4.

Ejercicio 8

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función polinómica de cuarto grado f, el ejede las abscisas y las rectas verticales x = 0 y x = 7.

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La forma factorizada en la que está escrita la función nos permite representar su gráficarápidamente ya que conocemos sus 4 raíces, que son los puntos de corte con el eje deabscisas:

Obsérvese que hay 4 regiones, dos sobre el eje de abscisas y dos bajo éste. Por tanto, tenemosque calcular cuatro integrales con el mismo integrando por en intervalos distintos.

Puesto que la integral de una suma es la suma de las integrales de los sumandos, escribimosla función f como una suma. Para ello, desarrollamos los productos:


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Calculamos la integral indefinida de la función:

Finalmente, calculamos las integrales definidas en cada intervalo. Los intervalos se obtienenfácilmente al conocer las raíces. Omitimos las operaciones por su sencillez:

Nótense los signos negativos correspondientes a las regiones bajo el eje de abscisas.


Ejercicio 9

Calcular el área delimitada entre las gráficas de la función valor absoluto


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y la función cuadrado

Ver solución

Ambas funciones son básicas y sus gráficas son:

(queremos calcular el área de la región azul).

Puesto que ambas funciones son pares, esto es, simétricas respecto del eje de las ordenadas,es suficiente calcular el área de la región del primer cuadrante y duplicarla.

Para obtener el intervalo de definición de la integral debemos calcular las intersecciones delas funciones, pero es inmediato que son los puntos x = 0 y x = 1.

Finalmente, como la gráfica de la función valor absoluto, f, está por encima de la de lafunción cuadrado g en dicho intervalo, el área viene dada por la integral

Nota: la primera de las integrales (con valor absoluto) es inmediata puesto que podemoseliminar el valor absoluto por ser el intervalo en los reales no negativos.


Ejercicio 10 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de un círculo de radio 2.


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Ayuda 1: la circunferencia de radio 2 (y centrada en el origen) está formada por los puntos(x, y) del plano que cumplen la ecuación

Ayuda 2:

Ver solución

De la ecuación de la circunferencia podemos despejar la y:

Consideremos las funciones

Sus gráficas son las semicircunferencias superior e inferior.

Nótese que la integral de f en el intervalo [-2,2] proporciona el área de la mitad superior delcírculo. Además, como f es una función par, la mitad de esta área es exactamente

Por tanto, al multiplicar por 4 el resultado de la integral anterior tendremos el área quebuscamos.

La dificultad del problema radica en que la integral anterior no es inmediata. Para calcularla,


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aplicaremos el siguiente cambio de variable*:

Nota*: aplicamos este cambio atendiendo a la tabla de cambios recomendables.

Derivamos en la expresión anterior:

Con lo que la integral (indefinida) queda como

Para deshacer el cambio de variable tenemos que aislar t en función de x:

Luego se obtiene


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Por tanto, la integral definida es

Y el área del círculo de radio 2 es

Ejercicio 11 (dificultad alta)

Calcular analíticamente mediante integrales definidas el área de la región encerrada por laelipse

Ver solución

De la ecuación obtenemos dos funciones despejando la y:

El área que queremos calcular es la de la región azul:

Buscamos los puntos de corte de la gráfica de f con el eje horizontal:


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Por las simetrías respecto de los ejes vertical y horizontal, será suficiente calcular el áreaencerrada entre la gráfica de f y el eje horizontal en el primer cuadrante. Luego, lamultiplicaremos por 4.

Por tanto, el área de la elipse dada es

Para calcular la integral aplicamos el cambio de variable

Omitimos los cálculos por su similitud con el ejercicio anterior:


Ejercicio 12

Calcular el área de la región que delimitan las gráficas de f y de g y el eje de abscisas demodo que la región sea adyacente al eje de las abscisas en el intervalo formado por los dospuntos de corte de la gráfica de f con dicho eje.

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Lo primero que haremos es calcular los dos puntos de corte de f con el eje de abscisas:

Por tanto, la región se encuentra entre las rectas


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y las gráficas de f y de g:

Nótese que no podemos calcular el área con una sola integral. Es necesario calcular, almenos, dos integrales definidas. Nosotros lo haremos con dos, ayudándonos de la simetríarespecto del eje vertical.

Puesto que las funciones son simétricas respecto del eje de ordenadas, calcularemos el áreade la región del cuarto cuadrante y la duplicaremos.

Ahora dividimos la región en otras dos. Los intervalos para x de dicha división son:

donde a es el punto en el que intersectan las funciones.

Calcularemos el área que hay entre la gráfica de g y el eje en el primer intervalo y el área que


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hay entre la gráfica de f y el eje en el segundo.

Calculamos el punto a:

Nos quedaremos con el positivo, que es el que está en el semiplano derecho.

Y ahora ya sólo queda calcular las dos integrales definidas en cada intervalo

Por tanto, el área de la mitad de la región es

Con lo que el área total es

Ejercicio 13


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Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones f y g:

Ver solución

Como las funciones son polinómicas y de segundo grado, son parábolas. Nos ayudamos de laforma factorizada en la que están escritas para representar sus gráficas:

Desarrollamos los productos de las expresiones de las funciones para facilitar los cálculos delas integrales:

En la representación de las gráficas se han representado también las rectas:

Cada una de estas rectas pasa por uno de los puntos de corte con de cada parábola con el ejede abscisas. Los calculamos:


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Hay simetrías, aunque a simple vista no podemos asegurarlo. Por esta razón, resolvemos elproblema, primero, sin considerar la simetría y, luego, considerándola. Es importante elprocedimiento realizado en el primer caso.

Procedimiento sin considerar la simetría:

La región se encuentra dividida por el eje de las abscisas, por lo que tenemos que calcular lasáreas de las partes superior e inferior por separado.

Las rectas anteriores (x = a y x = b) dividen la región en otras tres:

De izquierda a derecha, el área de la primera región la proporciona la integral de g-f y, latercera, el valor absoluto de la integral de f-g.

La región central la calculamos con otras dos integrales: la parte superior se corresponde conla integral de g y, la inferior, con el valor absoluto de la integral de f.

Obviamente, las cuatro integrales anteriores deben ser definidas en los correspondientesintervalos.

Buscamos los puntos de intersección entre las dos funciones:

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

Por tanto, de izquierda a derecha, los intervalos son:

Las integrales definidas son:


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Procedimiento considerando la simetría:

El área de la región azul sobre el eje de las abscisas es la misma que el área de la región queestá bajo éste. Por tanto, es suficiente calcular el área de la superior y duplicarla.

Sin embargo, como hemos dicho, la simetría no es tan evidente y, por tanto, para poderresolver el problema de este modo tenemos que demostrar la simetría. Si rotamos la parteinferior 180 grados respecto del origen, entonces obtenemos la región superior. Dicharotación es equivalente a una simetría respecto del eje de abscisas junto con una simetríarespecto del de ordenadas. Esto se consigue simplemente cambiando el signo de las doscoordenadas de cada punto.

Al rotar el punto

obtenemos el punto

Y la rotación de la gráfica de f, es decir, el conjunto de puntos

es el conjunto de puntos

Pero notemos que

Luego

$$ (-x,-f(x)) = (-x, g(-x))

que es precisamente la gráfica de g.

Calculamos el área de la región superior:

Dividimos la región en otras dos con la recta x = a:


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En la primera, tenemos que calcular el área que hay entre las dos gráficas:

En la segunda, tenemos que calcular el área encerrada bajo la gráfica de g:

Por tanto, el área de la parte superior es

Y el área total es

Ejercicio 14

Calcular el área encerrada entre las gráficas de la función valor absoluto

y la parábola


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Es más cómodo escribir f como una función definida a trozos en lugar de un valor absoluto.Pero para ello necesitamos saber cuándo cambia el signo del argumento del valor absoluto:

Por tanto, la función es

La representación de las gráficas y de la región que encierran es:

Buscamos los puntos de intersección de las funciones:

Como la región está en el semiplano superior, el área viene dada por la integral definida de f -g (superior menos inferior). Usaremos también que existe simetría respecto del eje de lasordenadas:


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Ejercicio 15

Región de longitud infinita: Integral impropia de Riemann

Calcular el área de la región de longitud infinita delimitada por la gráfica de la función

y el eje de las abscisas en el intervalo de los reales mayores que 1.

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La representación de la gráfica y de la región es:

Nótese que la longitud (eje horizontal) de la región es infinita pero, sin embargo, veremosque su área es finita.

Según el razonamiento de los problemas anteriores, el área de la región la proporciona laintegral definida en el intervalo de los reales mayores que 1, es decir, con un extremoinfinito:

Esta integral se denomina impropia de Riemann y se calcula del siguiente modo:

Se cambia el extremo (o los extremos) infinito por un parámetro (por ejemplo, u).1.

Se calcula la integral definida en el nuevo intervalo.2.

Se calcula el límite cuando el parámetro (o parámetros) tiende al extremo infinito.3.


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Resolvemos la integral del problema:

Por tanto, el área de la región (con longitud infinita) es 1 (finita).

Ejercicio 16

Región de longitud infinita: Integral impropia de Riemann

Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial

y el eje de abscisas en el intervalo de los reales menores que 1.

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La región cuya área buscamos es la azul:

De forma análoga al problema anterior, el área viene dada por la integral impropia deRiemann

La resolvemos:


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Por tanto, el área total de la región es el número e.

Ejercicio 17

Calcular el área de la región determinada por la intersección de los siguientes conjuntos delplano:

Ver solución

Representamos los conjuntos para determinar la región:

Conjunto A:

Los puntos que cumplen la igualdad son los de la gráfica de la función

Los puntos del conjunto A son los que están por encima de su gráfica.

Conjunto B:

Los puntos que cumplen la igualdad son los de la gráfica de la función


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Los puntos del conjunto B son los que están por encima de su gráfica.

Conjunto C:

Nos ayudamos de la gráfica de la función definida a trozos

Los puntos del conjunto C son los que están por debajo de la gráfica.

Intersectamos los tres conjuntos y obtenemos la región (azul):

La función h es simétrica respecto del eje vertical; las otras dos gráficas (que son la mismafunción pero desplazadas), también lo son.

Calcularemos el área de la parte de la región que está en el primer cuadrante y laduplicaremos. Para calcularla, sólo necesitamos las funciones g y h .


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Calculamos el punto de intersección de ambas gráficas g y h:

Nota: sólo el valor escogido (signo positivo) es el punto de corte buscado. Para calcular elotro punto (en el segundo cuadrante), hay que tener en cuenta que cambia la definición de h .

El área total es el doble del área de la región del primer cuadrante, es decir, el área es

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