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ArithmétiqueDivisibilité dans ℤ & identité de BézoutProgramme de la 4ème maths
Plan de la leçon:• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)• Théorème de Bézout• Résolution d’équation diophantienne du type: ax + by =c• Évaluation
Prérequis et préparatif
QCMhttp://www.evalqcm.fr
Code d'inscription : 5199JUKP
Fichier Excel pour le calcul du PGCD & série d’exercicesLiens: Le PGCDLa Série
Des vidéos de YouTube partagées sur le mur du groupe de la classe et sur g+
Division euclidienne
Division dans ℤ
Division euclidienne dans IN
Division euclidienne dans ℤ
• Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul. Il existe un unique couple ( q,r) tel que:
a = bq+r et 0 r < |b| b est le quotientr est le reste
• Auto évaluation:
QCM on line http://www.evalqcm.fr
Code d'inscription : 5199JUKP
Chaque élève s’inscrira via son compte Facebook et répondra aux questions demandées
PGCD de deux entiers « algorithme
d’Euclide »
• On ré effectue la division euclidienne• a’=b’q+r’
a=bq+r
L’algorithme avec Excel
• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la procédure de calcul du PGCD moyennant l’algorithme d’Euclide est déjà programmée
Lien http://1drv.ms/1HstBdt
Propriétés du PGCD de deux entiers
Noter bien …a et b deux entiers non nul: • Si b divise a alors: ab = |b|• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a
alors ab = br
• ab = ba• Pour tout entier k: kakb =|k|(ab)• a(bc) = a(bc) • a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que
a=da’ et b=db’ alors a’ b’ =1
QCM’s d’évaluationLien partagé sur le groupe Facebook
http://www.evalqcm.fr/qcmCode d'inscription : 5199JUKP
QCM sur les PGDC
Théorème de Bézout
Équations diophantiennes du type: ax +by =c
Lemme de Gaussa , b et c trois entiers non nuls. Si a b =1 et a divise bc alors a divise c
Théorème ( Identité de Bézout)Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1
La procédure de la résolution de l’équation:
ax+by=C
Déterminer le PGCD d=a b• Vérifier si d
divise c • Si d ne divise
pas c alors l’ensembles des solutions dans ℤ est ²
Si d\c on simplifie l’équation par d • La nouvelle
équation devient:
• a’x +b’y=c’ où a’b’= 1
Déterminer une solution particulière• Par le biais de
l’algorithme d’Euclide une solution particulière est déterminée
Une solution de l’équation homogène
moyennant le lemme de
Gauss
Exemples à suivre …Trouver les
coefficients de Bézout
Résoudre une équation
diophantienne
Applications…I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11yII. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4
I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de GaussII. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de BézoutIII. Soit (S) Résoudre le système (S).
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Les vidéos sont partagées sur g+ et dans le groupe « notre classe » sur