Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Curso de Álgebra LinearMatriz de uma Transformação Linear

Prof. Esp.: Thiago VedoVatto

Universidade Federal de Goiás

Campus Jataí

Coordenação de Matemática

1 de dezembro de 2011

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Parte I

Matriz de uma Transformação Linear

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Objetivos da Aula

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente

. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora

.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V )

. Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n)

. Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u)

=n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui )

=

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui )

= G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u)

, ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G

.

Sobrejetora (Para casa)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo

Proposição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m

respectivamente. Então, �xadas as bases B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} de U e V , respectivamente, a aplicação

F → (F )B,C que a cada F ∈ L(U,V ) associa a matriz de F em

relação às bases B e C é bijetora.

Demonstração.

Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.

Injetora F ,G ∈ L(U,V ). Se tivermos (F )B,C = (G )B,C

então as respectivas colunas de (F )B,C e (G )B,C

são iguais e daí F (uj)=G (uj) (j = 1, . . . , n). Dado

u =n∑

i=1

αiui ∈ U,F (u) =n∑

i=1

αiF (ui ) =

n∑i=1

αiG (ui ) = G (u), ou seja F = G .

Sobrejetora (Para casa)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Example

Dada a matriz

M =

(−1 2 34 5 −6

)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .

Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:

F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)

Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Example

Dada a matriz

M =

(−1 2 34 5 −6

)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .

Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter

:

F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)

Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo

Example

Dada a matriz

M =

(−1 2 34 5 −6

)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .

Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:

F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)

Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo

Example

Dada a matriz

M =

(−1 2 34 5 −6

)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .

Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:

F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)

Seja (a, b, c) ∈ R3

. Supondo que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo

Example

Dada a matriz

M =

(−1 2 34 5 −6

)Ache F ∈ L(R3,R2) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B,C .

Da de�nição de matriz de F decorre que devemos ter:

F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)F (0, 1, 2) = 3(1, 0)− 6(1, 1) = (−3,−6)

Seja (a, b, c) ∈ R3. Supondo que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

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Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

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Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2

. Deste modo temosque:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z)

= (x , y + z , 2z)

Deste modo temos o sistema linear: a = x

b = y + z

c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c2e z = c

2. Deste modo temos

que:

(a, b, c) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 1, 2)

= a(1, 0, 0) +(b − c

2

)(0, 1, 0) +

c

2(0, 1, 2)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Donde resulta que:

F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c

2

)F (0, 1, 0) +

c

2F (0, 1, 2)

= a(3, 4) +(b − c

2

)(7, 5) +

c

2(−3,−6)

=

(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c

2

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Donde resulta que:

F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c

2

)F (0, 1, 0) +

c

2F (0, 1, 2)

= a(3, 4) +(b − c

2

)(7, 5) +

c

2(−3,−6)

=

(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c

2

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Proposição

Exemplo

Donde resulta que:

F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c

2

)F (0, 1, 0) +

c

2F (0, 1, 2)

= a(3, 4) +(b − c

2

)(7, 5) +

c

2(−3,−6)

=

(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c

2

)

Álgebra Linear

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Proposição

Exemplo

Donde resulta que:

F (a, b, c) = aF (1, 0, 0) +(b − c

2

)F (0, 1, 0) +

c

2F (0, 1, 2)

= a(3, 4) +(b − c

2

)(7, 5) +

c

2(−3,−6)

=

(3a+ 7b − 4c, 4a+ 5b − 11c

2

)