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Logaritmos
• 4 é logaritmo (expoente) de 81 na base 3
log𝑎𝑏=𝑥 Logaritmo
logaritmando
base
• Logaritmo é um número (expoente) a que deve elevar um número tomado como base para se obter outro número.
1
Exemplos
log 525=𝑥 log2116
=𝑥 log 232=𝑥
= 25 = X = 2
= =
= x = -4
= 32 = X = 5
log√ 381=𝑥
= = 4 x = 4.2 x = 8
Quando as bases estão iguais, pode cortar.
Quando invertemos um número, seu expoente fica negativo.
Para deixarmos as bases iguais, basta fatorar o outro número e deixar a base dos dois iguais.
2
Toda raiz quadrada, vale dois (√ = 2) e todo número que não tem expoente, tem 1 em cima. (3 = ).
Para tirar um número da raiz, colocamos o expoente de dentro para fora.
3
(0,000064) = =
=
( ) = = x = -6
6
6
Contar os números depois da vírgula e transformar em fração.
Fatorar
Como os dois números estão elevados a 6, basta colocar apenas um expoente 6 fora do parêntese.
Simplificar a fração e inverter a fração para as bases ficarem iguais.
= x
=0,25 =
=
=
= X = -2
Transformar 0,25 em fração (dois números depois da vírgula = 100).
Simplificar e inverter.
fatorar o 4 para ficar igual a base 2 do lado esquerdo.
Multiplica-se os expoentes.
Exemplos
4
Dicas
N = (√3) ² N = 3
Quando há raiz quadrada e expoente dois, pode cortar.
= x = 1 x = 0
423421 elevado a 0 vai dar 1.Todo número elevado a zero é 1.
= 100 x = 2
Quando a base não aparecer, será sempre 10.
0,0025 = 4 números depois da vírgula =
0,02 = 2 números depois da vírgula =
O x do log sempre estará depois da igualdade.
log 24=𝑥
elevado a
Exercícios
a)
b)
c)
d) = 2
e)
f)
g)
h)
i)
j)5
a)
b)
c)
d)
e) f)
g)
O valor de
a) b) c)
d) e) -1
é:a) b) c) 4 d) 1
a) B)c) d)
e) f)
Exercícios - Respostas
6
a) 3/2b) -6c) 1/6d) 3/2e) 4f) 7g) 2h) 0i) 2j) -5
a) 3b) 4c) 3d) 5/3e) 3/2f) 5/6g) 5/6
Alternativa: D
Alternativa B
a) 125b) 3c) 27d) 3e) 2.5 f) 3
Propriedades dos logaritmos
7
a)
b)
c) =
d) = C.
Multiplicação = adição
Divisão = subtração
Raiz = fração
Expoente = multiplicador
Exemplos
8
log )
2 + 4 + 6 12
Sendo = 1 e = 5, calcule:
- 1 – 5 -4
2. 2. = 9 2.2 4
Sendo:
Calcule: 2 log𝑏 𝑦 .𝑥
+ 2.3 + (-4) 6 – 4 2
Exercícios
9
Sendo
b) )
Assinale a propriedade que está correta:a) b) c) d) e) =
Dado log 2x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.
Calcular:a)2.b) Log a + log b + log cc) Log 6d)
e) Log f)
Exercícios - Respostas
10
a) 6b) 0
Alternativa E x = 8
a) b) Log (a.b.c) c) Log 2 + log 3d) 2. log ab – log ce) 0f)1
Mudança de base
11
log𝑐𝑎→log𝑏𝑎log𝑏𝑐
Nova base
A nova base aparece em cima e em baixo da divisão.
Acompanhado da nova base, aparecem os dois termos que estavam no antigo log. Deixando a velha base por último, em baixo.
C > 0 e C ≠ 0
Exemplos
12
Transformar
= = 3 x = 6
x = 2
Sabendo que log25 = 20 e log27 = 10, resolva log25 . Log72.
=2
Exercícios
13
Determine o valor de log50 100, sabendo que log10 5 = a. Se log3 a = x, então log9 a² é igual a:a) 2x²b) x²c) x + 2d) 2xe) x
Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w.
Supondo que uma máquina de calcular apenas possa determinar logaritmos na base 10, por exemplo, temos log2 = 0,30. Calcular log2 10 .
Exercícios - Respostas
14
log2 10= 10/3
Equações logarítmicas
15
log 2 (𝑥2+𝑥−4 )=3
Elevado a
Igual alog 3 (3− 𝑥 )=¿ log 3(3 𝑥+7)¿
Cortar apenas quando são dois log, um de cada lado da igualdade.
Soma ou subtração: aplicamos as propriedades.
2. log 𝑥=log (2 𝑥−3 )− log (𝑥+2)
log 𝑥 ²=log2 𝑥−3𝑥+2
log 4 𝑥+¿ log𝑥 4=2¿
log 4 𝑥+¿ log𝑥log4 4
log 4𝑥¿ = 2
Trocar de base para poder resolver.
Sempre verificar, ou seja, substituir no x.
Exemplos
16
log x–16 = 1log x – 1 6 = 1(x – 1)¹ = 6x – 1 = 6x = 6 + 1x = 7
x – 1 > 0 7 – 1 = 6.
S {7}Sempre tem que dar um número maior que zero para entrar na solução.
log 5 (x + 2) = 2log 5 (x + 2) = 2x + 2 = 5²x + 2 = 25x = 25 – 2x = 23
x + 2 > 023 - 2 = 21
S {23}
log2x + log2 (x – 2) = log28log2x + log2 (x – 2) = log28log2 x . (x – 2) = log28x . (x – 2) = 8
x² – 2x – 8 = 0∆ = -2² - 4. 1. -8 = 36x = -2² +/- 6 2. 1
X-2 > 0 x-2 > 04-2 = 2 -2 -2 = 0
S { 4}
4-2
V
VV
F
Exercícios
17
a) log 3 (x + 5) = 2b) log (3+x) (x2 – x) = 1c) log 2 (4x + 5) = log 2 (2x + 11)
01) O conjunto solução da equação logarítmica é: (A) {-1; 2} (B) {-2; 1} (C) {-2} (D) {1} (E) { }
4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo: (A) [-2; -1] (B) (-1; 0] (C) (0; 1] (D) (1; 2] (E) (2; 3]
Exercícios - Respostas
18
a) S = {4} b) S = {-1,3}c) S = {-4, 3}
(B) {-2; 1}
(C) (0; 1]
•FIM