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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
QUINZE
APLICAÇÕES DA DERIVADA
TAXA DE VARIAÇÃO
Toda derivada pode ser interpretada como uma
taxa de variação.
Dada uma função y = f(x), quando a variável
independente varia de x a x+Δx, a
correspondente variação de y será:
Δy = f(x + Δx) – f(x).
APLICAÇÕES DA DERIVADA
O quociente
representa a taxa média de variação de y em
relação a x.
x
xfxxf
x
y
APLICAÇÕES DA DERIVADA
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente
taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de
variação tem aplicações práticas nas mais
diversas ciências.
,lim'0 x
xfxxfxf
derivadaA
x
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exemplo 1
Sabemos que a área de um quadrado é função
de seu lado. Determinar:
a) a taxa de variação média da área de um
quadrado em relação ao lado quando este
varia de 2,5 a 3 m;
b) a taxa de variação da área em relação ao
lado quando este mede 4 m.
SOLUÇÃO (A)
SOLUÇÃO (B)
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 1: Uma cidade X é atingida por uma moléstia
epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,
aproximadamente, dado por:
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º
dia?
.3
643t
ttf
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 2: Analistas de produção verificaram
que, em uma montadora x, o número de peças
produzidas nas primeiras t horas diárias de
trabalho é dada por:
a) Qual a razão de produção (em unidades por
hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?
b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de
trabalho?
.84,1200
40,50 2
tparat
tparatttf
SOLUÇÃO (A)
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 3: Um reservatório de água está sendo esvaziado para a
limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas
após o escoamento ter começado é dada por:
Determinar:
a) A taxa de variação média do volume de água no
reservatório durante as 10 primeiras horas de
escoamento.
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório
após 8 horas de escoamento.
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5
primeiras horas de escoamento.
.80502
tV
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Em muitas situações práticas a quantidade
em estudo é dada por uma função
composta.
Nestes casos, para determinar a taxa de
variação, devemos usar a regra da cadeia.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exemplo
Um quadrado de lado l está se expandindo
segundo a equação
Determinar a taxa de variação da área desse
quadrado no tempo = 2.
.,2 2 tempoorepresentatondetl
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 4:
O raio de uma circunferência cresce à razão de
21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do
comprimento da circunferência em relação ao
tempo?
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 5
Um ponto P(x, y) se move ao longo do gráfico da
função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4
unidades por segundo, qual é a taxa de variação
da ordenada quando a abscissa é x = 1/10?
SOLUÇÃO
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Exercício 6
Acumula-se areia em um monte com forma de
um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se
o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h,
a que razão aumenta a área da base quando a
altura do monte é de 4 m?
SOLUÇÃO
ANÁLISE MARGINAL
A interpretação da derivada como uma taxa de
variação é amplamente utilizada em Economia,
englobando os conceitos de custo marginal,
receita marginal, elasticidade etc.
A denominação “marginal” utilizada pelos
economistas indica uma variação “na margem”,
significando que é considerada como um limite.
Apresentamos, a seguir, os principais conceitos
utilizados.
ANÁLISE MARGINAL
CUSTO MARGINAL
Vamos supor que o custo total para produzir e
comercializar q unidades de um produto é dado
por:
C=C(q)
Se aumentarmos a produção de q para q+Δq, o
acréscimo correspondente no custo total é dado
por:
ΔC=C(q+Δq) – C(q)
ANÁLISE MARGINAL
A taxa média de acréscimo no custo, por
unidade acrescida na produção, no intervalo [q,
q+Δq] é dada por: q
qCqqC
q
C
O custo marginal é definido como o limite:
.lim0 q
C
q
ANÁLISE MARGINAL
Sempre que a função C=C(q) for derivável em q.
e representa a taxa de variação instantânea do
custo total, por unidade de variação da
quantidade produzida, quando esta se encontra
num nível q.
Se denotarmos por CM(q), o custo marginal,
temos: .' qCqCM
ANÁLISE MARGINAL
Receita Marginal
De modo análogo, se denotamos por R(q) a
receita total obtida com a comercialização de q
unidades de um produto, temos que:
ΔR = R(q+Δq) – R(q) é o
acréscimo ocorrido na receita total quando a
demanda aumenta de q para q+Δq unidades.
ANÁLISE MARGINAL
A receita marginal é a taxa de variação
instantânea da receita total por unidade de
variação da demanda, quando esta se encontra
num nível q e é dada por:
Se a função R=R(q) é derivável em q, denotando
a receita marginal por RM(q), vem:
.lim0 q
R
q
.' qRqRM
ANÁLISE MARGINAL
Elasticidade
Dada uma função y = f(x), a elasticidade de y
em relação a x é definida por:
e representa a taxa de variação percentual da
variável dependente y em relação à variação
percentual na variável independente x.
1lim0
x
x
y
y
xEx
ANÁLISE MARGINAL
Podemos reescrever a equação 1, como:
:
lim0
vemderiváveléxfyfunçãoaSe
y
x
x
yxE
x
y
x
dx
dyxE
ANÁLISE MARGINAL
A elasticidade E(x) mede a tendência de
resposta de y a pequenas variações de x.
Se E(x) é positiva, um aumento percentual
em x acarretará uma variação percentual
positiva em y.
Se E(x) é negativa, um aumento percentual
em x acarretará uma variação percentual
negativa em y.
ANÁLISE MARGINAL
Em situações práticas, geralmente, usa-se uma
aproximação da equação (1), como segue:
Sejam Ƭ o acréscimo percentual da variável
independente x e Δ a variação percentual
correspondente em y.
Temos então:
.xE
ANÁLISE MARGINAL
Exemplo 1:
Supor que o gerente de uma empresa de
transporte coletivo deva decidir se oferece uma
viagem diária a mais numa determinada linha.
Essa decisão deve ser tomada numa base
financeira, isto é, a viagem extra só será
implementada se ela gerar lucro para a empresa.
ANÁLISE MARGINAL
Se a empresa realiza 12 viagens diárias nessa
linha, qual deve ser a decisão do gerente, se ele
usar como informação os gráficos da receita total
e do custo total dados na Figura?
SOLUÇÃO
Como a receita marginal é dada por
RM(q) = R’(q), ela representa a inclinação da
curva da receita total R.
Da mesma forma o custo marginal é a inclinação
da curva de custo total C, pois CM(q) = C’(q).
SOLUÇÃO
Agora nas Figuras (a) e (b) estão as
representações das curvas R e C, juntamente com
suas retas tangentes, tR e tC, no ponto
correspondente a q = 12.
SOLUÇÃO
Analisando a Figura (a), vemos que a inclinação
da curva de custo é menor que a da receita, ou
seja, o custo marginal é menor que a receita
marginal.
Portanto nessa situação, a decisão do gerente
deve ser a de implementar a viagem extra.
SOLUÇÃO
Agora quando analisamos a Figura (b), vemos que
a inclinação da curva de custo é maior que a da
receita, ou seja, o custo marginal é maior que a
receita marginal.
SOLUÇÃO
Isso significa que a empresa terá custo adicional
maior que a receita adicional, se ela oferecer
uma viagem a mais.
Portanto, nesse caso, a decisão do gerente deve
ser a de não implementar a viagem extra.
ANÁLISE MARGINAL
Exemplo 2: Supor que o custo total, no período
de um mês, de uma empresa que produz q
unidades de um produto é dado por:
E que a receita total é dada:
500.1,500.1330.1
500.1600,600300.1
6000,2100
2
qC
.32,1 qqR
ANÁLISE MARGINAL
Determinar:
a) O custo médio por unidade produzida a um
nível de produção q = 1.000.
b) O custo marginal para q = 1.000.
c) O nível de produção q para o qual o custo
marginal iguala a recita marginal.
d) O intervalo em que você pode variar o nível de
produção de forma a manter a empresa viável,
isto é, tal que a receita total é maior que o custo
total.
Solução (a) O custo médio por unidade produzida a um nível de produção q = 1.000.
500.1,500.1330;1
500.1600,600300.1
6000,2100
2
qC
Solução (b) O custo marginal para q = 1.000
500.1,500.1330;1
500.1600,600300.1
6000,2100
2
qC
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
500.1,500.1330;1
500.1600,600300.1
6000,2100
2
qC
Como o custo
marginal é dado por
CM(q) = C’(q), vem:
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Como C’(q) é definido de forma distinta nos
intervalos (0, 600), (600, 1.500) e (1.500, +∞)
devemos analisar em cada um desses intervalos
separadamente.
Temos:
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.
Observamos que nos pontos q = 600 e q = 1.500
a função C não é derivável, não sendo possível,
portanto, determinar os custos marginais para
esses níveis de produção.
Na prática isso pode ocorrer, por exemplo,
quando um recurso tecnológico só pode ser
utilizado para uma determinada faixa do nível de
produção.
Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.
É interessante, nesse item,
fazer uma análise gráfica.
Na Figura ao lado,
apresentamos os gráficos das
funções custo total C(q) e
receita total R(q).
Analisando esses gráficos observamos que o gráfico de
R(q) está acima do gráfico de C(q) no intervalo
1.000<q<1.530, aproximadamente.
Determinando analiticamente esse intervalo usando as
expressões que definem o custo e a receita, obtemos que
Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.
.26,526.1000.1 qparaqRqC
ANÁLISE MARGINAL
Exemplo 3
A quantidade de televisores demandada numa
cidade C, num determinado período, é função
de seu preço e é expressa por:
Calcular e interpretar o valor da elasticidade
para um nível de preço p = 400 unidades
monetárias.
pq 1,0300
SOLUÇÃO
Observamos que a
elasticidade deu um valor
negativo, como intuitivamente
poderíamos esperar, já que,
em condições normais, o
aumento de preço de um
produto inibe a sua demanda.
O valor obtido significa que um
aumento percentual no preço, por exemplo Ƭ=20%,
acarretará uma diminuição percentual aproximadamente
de:
SOLUÇÃO
ANÁLISE MARGINAL
Exemplo 4: A elasticidade da demanda em
relação à tarifa do sistema de transporte
público de uma cidade x é – 0,30, quando a
tarifa média é de 80 centavos por viagem.
Supor que o sistema transporta 200.000
passageiros no período de pico diário.
a) Estimar a queda na demanda se a tarifa
média cresce 2,5%.
b) Ilustrar a sensibilidade desse resultado em
relação ao valor da elasticidade.
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (a)
Portanto, haverá
uma queda de
1.500 passageiros
na demanda.
SOLUÇÃO (b)
Para simular a sensibilidade do resultado obtido
em relação ao valor da elasticidade, vamos
simular duas situações:
E(Tar) = – 0,2 e E(Tar) = – 0,4
Podemos ver, assim, que, quanto maior é a
elasticidade, em valor absoluto, maior é a variação na
demanda.
FIM
DA AULA
QUINZE