Aula Revisão Circuitos Eletricos 1

21/08/2013

1

Revisão de Circuitos Elétricos

1

Disciplina: Circuitos Elétricos 2

Prof. Leonardo R.A.X de Menezes

ENE-FT-UnB

Sumário

• Conceitos Básicos

• Componentes de Circuito

• Leis de Kirchoff

• Circuitos Resistivos

• Técnicas de Resolução

• Teoremas de Circuito

• Circuitos com Elementos Reativos

Conceitos Básicos

• Nossos circuitos serão:

– Lineares

– Invariantes no Tempo

• Além disto teremos com objetivo em

Circuitos Elétricos 2 utilizar álgebra para

resolução de circuitos

– Evitar resolver Equações Diferenciais

Ordinárias

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Conceitos Básicos

• Elemento linear

– Satisfaz duas propriedades

• Superposição

– Se

– Então

• Homogeneidade

– Se

– Então

)( 11 ifv )( 22 ifv

)()()( 212121 ififiifvv

)( 11 ifv

)()( 111 ikfkifkv

Conceitos Básicos

• Elemento invariante no tempo

– Tem sua relação constitutiva (relação entre

as variáveis de circuito) invariante a uma

translação no tempo

– qualquer t. Ou seja, este dispositivo

apresenta o mesmo comportamento ao ser

ligado agora ou daqui a quinze minutos.

))(()( tt tiftv

Conceitos Básicos

• Elementos de circuito mais utilizados

são: • resistor, capacitor, indutor, fontes dependentes

e independentes.

– Este elementos são descritos por: – Símbolos: é a representação gráfica do elemento em

questão

– Relações Constitutivas: é a representação

matemática do elemento em questão. Descreve o

relacionamento entre corrente e tensão no elemento

– Convenção de sinal: indica se o elemento é passivo

ou ativo. É fundamental para a resolução correta do

circuito.

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Componentes de Circuito

• Resistor

– Ligação direta entre as variáveis de corrente

e tensão de circuito

• código de cores para leitura


• Resistor

– Este elemento tem como efeito fundamental a

dissipação térmica de energia.

• A corrente que flui pelo elemento é unicamente

definida pela tensão dissipada entre seus terminais.

• Símbolo:

• Relação constitutiva:

– Caso genérico

– Caso linear

))(()( tirtv

)()( tRitv


• Resistor

– Convenção:

– Convenção passiva: corrente flui do terminal

positivo para o negativo.

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• Capacitor

– Ligação direta entre as variáveis de carga e

tensão de circuito


• Capacitor

– Este elemento tem como efeito fundamental o

armazenamento de carga elétrica.

• A tensão nos terminais do elemento é definida

unicamente pela carga acumulada no elemento

• Símbolo:

• • Relação constitutiva:

– Caso genérico

– Caso linear

dt

tdvtvc

dt

tdv

dv

vdctitvctq

)())(('

)()()())(()(

dt

tdvCtitCvtq

)()()()(


• Capacitor

– Convenção:



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• Indutor

– Ligação direta entre as variáveis de corrente

e fluxo magnético de circuito


• Indutor


armazenamento de fluxo magnético.

• A corrente que flui pelo elemento é definida

unicamente pelo fluxo magnético do elemento.

• Símbolo:

• • Relação constitutiva:

– Caso genérico

– Caso linear

dt

tditil

dt

tdi

di

idltvtilt

)())(('

)()()())(()(

dt

tdiLtvtLit

)()()()(


• Indutor

– Convenção:



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• Fontes Independentes


fornecimento de energia ao circuito em que

está ligado.

• Dois tipos: tensão e corrente.

• As fontes são independentes quando a variável de

circuito gerada é independente da variável

restante.

– Exemplo: uma fonte de corrente independente gera

somente corrente. A tensão que irá surgir nos seus

terminais depende do circuito a que está ligada.


• Fontes Independentes

– Podem ser reais ou ideais.

• As fontes reais incluem outros elementos de

circuito para modelar de forma mais adequada seu

funcionamento

• As fontes ideais tem somente os elementos

geradores sem outros elementos de circuito


• Fontes independentes

– Fonte de tensão ideal

• Símbolo:


• Convenção:

• Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo

para o positivo.

)()( 0 tvtv

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– Fonte de tensão real

• Símbolo:


• Convenção:

– Mesma da fonte ideal

)()()( 0 tritvtv



– Fonte de corrente ideal

• Símbolo:


• Convenção:

• Convenção ativa: corrente flui do terminal negativo

para o positivo.

)()( 0 titi



– Fonte de corrente real

• Símbolo:


• Convenção:

– Mesma da fonte ideal

r

tvtiti

)()()( 0

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• Fontes dependentes

– Fonte de tensão controlada a corrente

– Fonte de tensão controlada a tensão

– Fonte de corrente controlada a corrente

– Fonte de corrente controlada a tensão

Leis de Kirchoff

• Para resolvermos um circuito genérico

temos de definir suas ligações. Vamos

considerar o seguinte arranjo de fios

1

2

3

Leis de Kirchoff

• O elemento 1 (verde) e chamado de ramo

(note que ele conecta um elemento a

somente outro elemento)

• O elemento 2 (vermelho) e chamado de

nó (note que ele conecta vários ramos)

• O elemento 3 (laranja) e chamado de laço

(note que ele realiza um percurso

fechado)

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Leis de Kirchoff

• Na realidade podemos descrever da

seguinte forma:

– O nó conecta diversos ramos em um único

ponto

– O laço conecta diversos ramos fazendo um

percurso fechado e não percorrendo o

mesmo nó mais de uma vez

– O ramo contem somente um elemento de

circuito e e conectado aos nós

Leis de Kirchoff

• Portanto, podemos descrever qualquer

circuito utilizando esta nomenclatura

– Quando descrevemos os nós dos circuito e

os elementos entre cada nó, estamos

descrevendo o circuito

• Esta descrição fornece a topologia do

circuito.

• De posse da topologia e das relações

constitutivas estamos quase prontos.

Leis de Kirchoff

• Vamos fazer um exemplo simples:

– Considere o circuito

– Temos o nó 1 e o nó 2

• Entre o nó 1 e o nó 2 temos uma fonte (ramo A)

• Entre o nó 1 e o nó 2 temos um resistor (ramo B)

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Leis de Kirchoff

• Para estarmos prontos só falta saber

como e que as tensões e correntes se

comportam nos nós e laços.

• Já sabemos como se comportam nos

ramos - relações constitutivas

• Na realidade só precisamos saber como

– A corrente se comporta nos nós

– A tensão se comporta nos laços

Leis de Kirchoff

• Das equações de Maxwell obtemos as

Leis de Kirchoff generalizadas

dt

dqi

dt

dv

Leis de Kirchoff

• Estas leis são genéricas e valem para

qualquer tipo de circuito em qualquer

freqüência.

• No entanto, elas podem ser simplificadas

para o caso que as freqüências são

baixas os suficiente para desprezarmos os

termos do lado direito

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Leis de Kirchoff

• Desta forma temos as Leis de Kirchoff

simplificadas

– Lei de Kirchoff das tensões (KVL)

– Lei de Kirchoff das correntes (KCL)

0v

0i

Leis de Kirchoff

• Em termos das definições anteriores as

leis dizem o seguinte

– KVL (LKT):

• A soma das tensões em um laço (percurso

fechado) é zero

– KCL (LKC):

• A soma das correntes que entram e saem de

um nó é zero

Circuitos Resistivos

• Sumarizando:

– Circuitos DC são analisados a partir das Leis

de Kirchoff simplificadas

– Circuitos DC não tem capacitores (aberto) e

indutores (curto)

– Circuitos DC lineares são circuitos resistivos

lineares

– Circuitos resistivos lineares de baixas

frequências tem resposta proporcional para

AC e DC

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Técnicas de Resolução

• Para resolver circuitos temos duas

técnicas principais:

– Análise Nodal – Baseado em KCL (lei de

Kirchoff das Correntes)

– Método dos Laços – Baseado em KVL (lei de

Kirchoff das Tensões)

• Não são as únicas possíveis, mas são as

mais usadas

– Principalmente para simplificar

Analise Nodal

• Como o próprio nome diz:

– A analise nodal se concentra em resolver

circuitos baseados nas equações dos nós

• Portanto a Lei de Kirchoff utilizada na análise

nodal é KCL

• De forma bem simples

– Aplica-se KCL nos nós

– Substituem-se as correntes pelas relações

constitutivas

– Resolve-se o circuito para as tensões

Analise Nodal

• Repetindo:

– KCL (aplica-se KCL em todos os nós menos

um - este será o chamado no de referencia -

terá a tensão arbitraria de zero)

– Utilizam-se as relações constitutivas (as

correntes conhecidas são substituídas por

seus valores e as desconhecidas pela Lei de

Ohm)

– Resolve-se o sistema de equações para a

tensão

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Analise Nodal

• Um exemplo fala mais do que mil

palavras: Considere o caso a seguir

Analise Nodal

• A diagonal principal da a soma de todas

as condutâncias associadas ao no em

questão

– Por exemplo

• No 1: temos três condutâncias associadas G1, G2

e G3

• O primeiro elemento e a soma destas

condutâncias

02

1

433

3321 0

iv

v

GGG

GGGG

Analise Nodal

• No 2: O elemento da diagonal principal e a

soma das condutâncias ligadas ao no 2

– Por exemplo:

• No 2: Condutâncias G3 e G4

02

1

433

3321 0

iv

v

GGG

GGGG

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Analise Nodal

• Os elementos restantes negativo das

condutâncias entre o no em questão e

outro no

– Por exemplo

• Entre o no 1 e o no 2 tem a condutância G3

02

1

433

3321 0

iv

v

GGG

GGGG

Analise de Laços

• A analise dos nós consiste

– Aplicação do KCL e substituição das relações

constitutivas

– Resolução do sistema para as tensões nodais

• E a analise dos laços consiste

– Aplicação de KVL e substituição das relações

constitutivas

– Resolução do sistema para as correntes de

laço

Analise de Laços

• A analise dos laços merece um exemplo

bem explicado

– Considere o circuito a seguir

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Analise de Laços

• Para aplicar a analise dos laços vamos

primeiro numerar os laços que vemos

1 2

Analise de Laços

• Depois vamos considerar o sentido do

KVL (horário)

1 2

Analise de Laços

• No primeiro KVL temos

• No segundo KVL temos

• Vamos considerar agora que o KVL do

laço 1 e causado por uma corrente I1 indo

no sentido horário e o KVL do laço 2 e

causado por uma corrente I2 no mesmo

sentido

02311 RRR VVVV

05423 RRR VVVV

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Analise de Laços

• Neste caso teremos as relações

constitutivas

255

244

2133

122

111

iRV

iRV

iiRV

iRV

iRV

R

R

R

R

R

Analise de Laços

• Note que VR3 e causado por duas corrente

circulando sobre o resistor R3 (uma no

sentido positivo da corrente (i1) e outra no

sentido negativo da corrente (i2)

– Portanto o KVL se torna

012213111 iRiiRiRV

025242213 iRiRViiR

Analise de Laços

• Rearranjando as equações temos

– Primeiro laço

– Segundo laço

1231321 ViRiRRR

2254313 ViRRRiR

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Analise de Laços

• Montando em um sistema de equações

• Note a similaridade com o sistema da

analise nodal

– A diagonal principal e a soma das

resistências no laço

– Os elementos restante são as resistências

entre os laços

2

1

2

1

5433

3321

V

V

i

i

RRRR

RRRR

Uma forma geral

• Como explicado estas não são as únicas

técnicas.

– Podemos utilizar KCL (LKC) e KVL (LKT)

junto com as relações constitutivas e resolver

mesmo assim

– Para tanto temos que arbitrar algumas

convenções

• Exemplo: Corrente saindo é positiva e o laço de

KVL (LKT) é positivo no sentido horário

• Pode ser diferente, o importante é seguir a

convenção

Uma forma geral

• Exemplo

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Uma forma geral • Exemplo

– KVL KCL

– Relações Constitutivas

0

0

0

04

432

21

VV

VVV

VV

R

RRR

RR

0

0

043

321

iii

iii

RR

RRR

0

0

0

0

444444

333333

222222

111111

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

iRViRV

iRViRV

iRViRV

iRViRV

Uma forma geral

• Exemplo – Montando o sistema

0

0

0

0

0

0

0

0000000

0100000

0010000

0001000

11100000

00110000

00001100

00000111

0

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

i

V

V

V

V

i

i

i

i

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Uma forma geral

• Esta forma de solução pode ser utilizada

tanto com fontes de corrente, quanto de

tensão

• É a mais genérica

– Mas precisa da inversão de uma matriz bem

maior que nos casos nodais ou de laço

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Teoremas de Circuito

• Superposição

• Dualidade

• Transformação de Fonte

• Teorema de Thevenin

• Teorema de Norton

• Maxima Transferência de Potência

Superposição

• O teorema da superposição e valido somente para

circuitos lineares

– Essencialmente ele diz:

• Seja um circuito com N elementos lineares conectados em uma

topologia arbitraria a K fontes de tensão e/ou corrente

independentes

• A resposta deste circuito a K fontes independentes e equivalente a

soma das respostas de K circuitos aonde em cada um K-1 fontes

diferentes foram colocadas em repouso.

)(...)()()()...( 321321 kk vGvGvGvGvvvvGI

Superposição

• Em português: como o circuito e linear podemos nos

valer da propriedade de superposição da linearidade

para resolver o circuito

– Como: vamos supor um circuito com duas fontes independentes

quaisquer. O que o teorema diz e que a resposta do circuito a

estas duas fontes e igual a soma das respostas dos circuitos

aonde cada uma das fontes foi desligada alternadamente

• Exemplo

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Superposição

• Podemos resolver este circuito através de

superposição

– Fica mais fácil de utilizar os métodos que já

conhecemos

– =

Superposição

• Portanto o principio da superposição pode

ser utilizado com fontes independentes e

transformar o problema de varias fontes

diferentes em um problema mais simples

– Sem o uso do superno ou da supermalha

Superposicao

• Resolvendo os dois circuitos podemos

encontrar a resposta final como a soma

das duas respostas!

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Dualidade

• A dualidade é um resultado que diz que se as equações

montadas para a tensão tem uma forma e as equações

para a corrente tem a mesma forma, então os circuitos

são duais.

– Em outras palavras se eu substituir I por V, R por G eu terei o

mesmo resultado.

– Exemplo fonte de tensão real e fonte de corrente real

VRiVS iGviS

Transformação de Fonte

• O que leva a outra pergunta

– Sabemos que os circuitos são duais. Mas sob que condições os

dois são equivalentes para uma carga genérica R

• No caso da fonte de corrente - ela precisa apresentar a mesma

tensão da fonte de tensão

• No caso da fonte de tensão - ela precisa apresentar a mesma

corrente da fonte de corrente


• A tensão que R apresenta para as fontes

e:

• De modo similar a corrente que R

apresenta para as fontes e

S

x

VRR

RV

S

y

yi

RR

RRV

x

S

RR

Vi

S

y

yi

RR

Ri

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• Portanto as duas fontes são iguais se e

somente se:

– Portanto se as resistências das fontes forem

iguais e a tensão da fonte de tensão for igual

ao produto da corrente da fonte de corrente

pela resistência da fonte

• As duas são iguais!

SyS iRV yx RR


• Qual a vantagem deste teorema?

– Podemos transformar uma fonte de tensão

em uma fonte de corrente e vice-versa

– Isto permite simplificar alguns dos circuitos

que analisamos

Teorema de Thevenin

• O teorema de Thevenin e um dos mais

importantes de circuito:

– Qualquer circuito linear resistivo com fontes

independentes pode ser substituído por uma

combinação serie de uma fonte de tensão

Voc e resistência Req, onde Voc e a tensão

de circuito aberto entre seus terminais e Req

é a resistência equivalente vista de seus

terminais quando todas as fontes

independentes estão em repouso

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Teorema de Thevenin

• Isto e muito importante pois diz que

qualquer circuito linear com fontes

independentes pode ser substituído por

– Onde R é Req

– Onde Vs é Voc

Teorema de Norton

• O teorema de Norton e o dual do teorema

de Thevenin e diz que:

– Qualquer circuito linear resistivo com fontes

independentes pode ser substituído por uma

combinação paralela de uma fonte de

corrente Isc e resistência Req, onde Isc é a

corrente de curto circuito entre seus terminais

e Req é a resistência equivalente vista de

seus terminais quando todas as fontes

independentes estão em repouso

Teorema de Norton

• Se prestarmos atenção veremos que o

teorema de Norton é o dual do teorema de

Thevenin

– Ele explica para uma fonte de corrente o que

já foi mostrado para uma fonte de tensão

– O ponto mais interessante diz a respeito de

como podemos calcular o equivalente de

Norton e de Thevenin de um circuito

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Teorema de Norton

• Da mesma forma que Thevenin, qualquer

circuito linear com fontes independentes

pode ser substituído por

– Onde Is é Isc

– Onde R é Req

Teorema de Norton

• A vantagem dos teoremas de Norton e

Thevenin esta em simplificar o calculo de

circuitos

• Mas como aplicá-los na pratica

Teorema de Norton

• Ora sabemos que os dois são

equivalentes portanto isto só e valido se e

somente se

• Ou seja se calcularmos a corrente de

curto circuito e a tensão de circuito aberto

temos a resistência equivalente

SCeqOC iRV SC

OCeq

i

VR

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Teorema de Norton

• Vamos aplicar a uma caso prático

– Qual o Thevenin em relação a terminal AB

Teorema de Norton

• Vamos aplicar a uma caso pratico

– Passo 1 calcular tensão de circuito aberto

• Divisor de tensão simples

Soc VRR

RV

21

2

Teorema de Norton


– Passo 2: calcular a corrente de curto-circuito

• Ligamos através de um fio o terminal AB e

calcularmos a corrente que passa por ele

1R

VI S

sc

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Teorema de Norton


– Passo 3: calcular a resistência equivalente

• Dividimos a tensão de circuito aberto pela corrente

de curto circuito

21

21

1

21

2

RR

RR

R

V

VRR

R

I

VR

S

S

sc

oc

eq

Teorema de Norton

• Agora podemos obter tanto Thevenin

como Norton do circuito pois temos

– Tensão de Circuito aberto

– Corrente de Curto Circuito

– Resistência equivalente

Teorema de Norton

• Desafio: quais são os valores da resistência

de base Rb e Tensão V que fazem estes dois

circuitos a seguir serem equivalentes

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Máxima Transferência de

Potencia • O teorema da máxima transferência de

potencia é um dos mais úteis de circuitos.

– Ele diz

• A máxima transferência de potencia da fonte para

uma carga RL ocorre quando a carga e igual a

resistência equivalente de Thevenin Req


Potencia • Para provar este teorema consideremos

um circuito genérico que e substituído

pelo seu equivalente de Thevenin


Potencia • Ora a tensão e corrente na carga R são

• Portanto a potencia e

S

eq

VRR

RV

RR

VI

eq

S

2

2 S

eq

VRR

RVIP

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28


Potencia • Fazendo

• Temos

eqR

R

disp

eq

S PR

VP

2

2

211


Potencia • Ora: pode variar de zero ate infinito

– O maior valor de potencia será encontrado

derivando a equação em relação a e

igualando a zero.

• Fazendo isto temos

0

1

121

14

2

2

dispdisp PP

d

dP


Potencia • A solução e claro e =+1 e =-1

– A segunda solução resulta em potencia

infinita e apenas indica que a carga esta

gerando energia própria

– A primeira solução diz que a resistência R

deve ser igual a Req para que a potencia

transferida seja máxima

eq

eq

RRR

R 1

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Potencia • Outro ponto interessante e saber qual e o

valor desta potencia

– Substituindo

411

12

disp

disp

PPP

Circuitos com um elemento

reativo • Considere o circuito a

seguir:

Considere que o capacitor

tem uma carga inicial Q0

no instante t=0

S1

R1C1

Circuitos com um elemento reativo

• Para resolver este circuito vamos montar

a equação diferencial

– Sabemos que a corrente do capacitor e

proporcional a derivada da tensão no mesmo

– Portanto se utilizarmos KCL no nó entre o

resistor e o capacitor teremos como montar a

EDO

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30


• Montando o KCL

• Como o capacitor esta carregado, ele ira

descarregar no resistor

• Rearranjando

0 capacitorresistor ii

0dt

dvC

R

v

0RC

v

dt

dv


• Como o circuito não possui fontes, temos

somente o capacitor descarregando no

resistor

– A EDO e homogênea

– Portanto a resposta e

– Utilizando a condição inicial (capacitor com carga

Q0)

RC

t

Betv

)(

RC

t

eC

Qtv

C

Qv

0

0

)(

)0(

Circuitos com dois elementos

reativos • Considere o circuito a

seguir:

– A chave K1 muda de

posição em t=0

– Como se comporta a

tensão e a corrente neste

circuito?

– Este circuito possui um

capacitor e um indutor.

• Como se comportara?

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reativos

• Para resolver este circuito vamos montar

a equação diferencial • Sabemos que a corrente do capacitor e

proporcional a derivada da tensão no mesmo

• Sabemos que a tensão no indutor e proporcional a

derivada da corrente no mesmo

– Portanto se utilizarmos KVL no ramo do

resistor, indutor e o capacitor teremos como

montar uma EDO


reativos

• Montando o KVL

• As relações constitutivas dizem

0 capacitorindutorresistor vvv

dt

diLv

C

qv

Riv

indutor

capacitor

resistor


reativos

• Como o circuito não possui fontes, temos

somente o indutor e o capacitor

descarregando no resistor

– A EDO e homogênea

– Esta pode ser montada de diversas formas

0C

q

dt

diLRi

02

2

C

q

dt

dqR

dt

qdL 0

2

2

C

i

dt

diR

dt

idL

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reativos

• No entanto existe uma maneira mais

interessante

– Lembrando que:

2

2

2

2

dt

vdLC

dt

qdL

dt

diLv

vC

qv

dt

dvRC

dt

dqRRiv

capacitor

indutor

capacitorcapacitor

capacitor

resistor


reativos

• Portanto podemos montar a EDO como

• Re-arranjando

• Aonde v e a tensão no capacitor

02

2

vdt

dvRC

dt

vdLC

02

2

LC

v

dt

dv

L

R

dt

vd


reativos

• Antes de encontrarmos a resposta vamos

dar uma olhada nas condições iniciais

– Estas condições são: a tensão em t=0 e a

derivada da tensão em t=0

– Note que a derivada da tensão em t=0 é igual

a corrente no capacitor

• Esta corrente pelas Leis de Kirchoff é igual a

corrente no indutor

• Portanto temos de saber a tensão no capacitor e a

corrente no indutor

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reativos

• Ora tínhamos uma fonte Vs ligada, vamos

supor que esta era uma fonte DC

• Portanto, antes da chave abrir:

– O capacitor se comportava como um circuito

aberto

– O indutor se comportava como um curto-

circuito


reativos

• Logo a tensão no capacitor e a corrente

no indutor serão

• Com este conhecimento vamos resolver a

EDO e o circuito

0

dt

dvC

dt

dqi

Vv

capacitor

indutor

scapacitor


reativos

• A resposta e uma função exponencial

– No entanto, a forma desta exponencial

dependera da solução genérica

– A solução tem a forma

• Naturalmente, isto já permite encontramos a

solução para parte do problema com as

condições iniciais já calculadas

tteAeAtv 21

21)(

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34


reativos

• Condição inicial:

– Tensão no capacitor

– Derivada da tensão no capacitor (corrente no

indutor)

sVAAeAeAv 21

0

2

0

121)0(

0)0(

2211

0

22

0

1121 AAeAeA

dt

dv


reativos

• Portanto temos duas equações e duas

incógnitas

• O resultado e

sVAA 21

02211 AA

12

2

1

sV

A12

1

2

sV

A


reativos

• Portanto a solução genérica e:

• Vamos agora encontrar as raízes para

esta equação

– As raízes são calculadas supondo uma

solução genérica

tts eeV

tv 21

12

12

)(

tetv)(

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35


reativos

• Sendo que a substituição desta solução

na equação resulta em

• Ou

02

2

LC

e

dt

de

L

R

dt

edttt

012

LCL

R


reativos

• Esta equação e conhecida como equação

característica

– As raízes desta equação são fatores de

separação da EDO

– Resolvendo:

012

LCL

R

LCL

R

L

R 4

2

1

2

2

1

LCL

R

L

R 4

2

1

2

2

2


reativos

• Portanto temos que sempre a resposta

terá um caráter exponencial decrescente

LCL

R

L

R 1

22

2

22

2

1

2

L

R

LCL

R

21/08/2013

36


reativos

• No entanto existem três casos possíveis

– Sobre-amortecido

– Amortecimento critico

– Sub-amortecido

01

2

2

LCL

R

01

2

2

LCL

R

01

2

2

LCL

R


reativos

• Vamos ver cada caso, rearranjando:

– Sobre-amortecido

– Amortecimento critico

– Sub-amortecido

C

LR 2

C

LR 2

C

LR 2


reativos

• Fazendo:

– Temos o caso genérico

• Assim:

• Logo

C

LR 2

0

1

2

12

2

LCC

L

LL

R

11

22

2

00

2

LCL

R

L

R

21/08/2013

37


reativos

• Reescrevendo a ultima equação temos

• Assim se

– >1 o circuito e sobre-amortecido

– =1 o circuito tem amortecimento-crítico

– <1 o circuito e sub-amortecido

12

01

12

02


reativos

• A freqüência 0 e chamada de freqüência natural ou freqüência de ressonância do circuito

• Esta freqüência e inerente a todos os circuitos de segunda-ordem

• Vamos ver o que acontece quando mudamos o valor de para 2,1 e 0.5


reativos

• Para =2 tem-se

• Note que temos duas exponenciais:

– Uma rápida (2)

– Uma lenta (1)

– A lenta e chamada de dominante

0001 27.032142

0002 73.332142

21/08/2013

38


reativos

• Em termos gráficos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo - inverso de w0

Ma

gnitud

e

Comportamento das duas constantes de tempo


reativos

• No caso a resposta final será a soma das

duas após a aplicação das condições

iniciais

– Estas condições são a tensão no capacitor

(Vs)

– Corrente no indutor (I=0)

• Utilizando estes dados na solução

tts eeV

tv 21

12

12

)(


reativos

• Portanto a solução para este caso será:

tt

s eeVtv 00 73.327.0077.0077.1)(

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Ma

gnitud

e

Comportamento da resposta total

21/08/2013

39


reativos

• No caso de amortecimento critico =1.

– Como utilizar a resposta já obtida neste

caso?

– Não é possível pois 1=2 !!!

tts eeV

tv 21

12

12

)(


reativos

• Neste caso não é possível utilizar a

resposta anterior e temos de fazer outra

resposta.

– Vamos começar com a resposta

– Reescrevendo

tts eeV

tv 21

12

12

)(

tt

stt

s eeV

eeV

tv

1212

12

1

12

1

)(


reativos

• Vamos utilizar a serie de Taylor em =0

para obter a resposta

• Notem que a resposta

...

21)(

22

212111

ttAAeeAAetf

ttt

......1

)(

11212

12

12

12

11

1

12

1

teV

teV

eeV

eeVtv

t

s

t

s

tt

s

tt

s

21/08/2013

40


reativos

• Portanto

• Ou fazendo a diferença =0:

• Ou

...)(

12

22

121

12

121

12

121

tteVtv

t

s

01)( 11 teVtvt

s

teVtvt

s 1)(


reativos

• A resposta neste caso quando =1 e =-

0.

teVtvt

s 01)( 0

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Ma

gnitud

e



reativos

• Note que a resposta de amortecimento

critico atravessa o eixo do zero.

• Este comportamento vai depender

naturalmente das condições de contorno.

21/08/2013

41


reativos

• Resta portanto somente a resposta de

sub-amortecimento

– Neste caso a raiz será complexa!

2

0

2

01 11 j

2

0

2

02 11 j


reativos

• Antes de exemplificar, vamos ver o que

este fato causa no nosso circuito

• A resposta e:

tts eeV

tv 21

12

12

)(

tjtj

s ejejjj

Vtv

20

1

20 1

2

0

12

02

0

2

0

1111

)(


reativos

• Reescrevendo

• Esta pode ser reescrita como

tjtj

t

s ejejj

eVtv

20

20

0

1212

211

12)(

2

112

2

11

121

12)(

20

20

20

20

0

j

eej

j

eeeVtv

tjtjtjtjt

s

21/08/2013

42


reativos

• Se utilizarmos a identidade de Euler

• Teremos

tjte

tjte

tj

tj

sincos

sincos

tjtj

tjtj

eetj

eet

sin2

cos2


reativos

• Utilizando estas identidades na resposta

• Reescrevendo

tteVtv

t

s

2

0

2

02

1cos1sin1

)( 0

tteVtv

t

s

2

02

2

0 1sin1

1cos)( 0


reativos

• A resposta gráfica será para =0.5

0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Ma

gnitud

e


21/08/2013

43


reativos

• Um ponto interessante e quando a

freqüência aumenta e a diminui

0 2 4 6 8 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Ma

gnitud

e


Conclusão

• Revisados os conceitos gerais de circuitos

1

• Métodos de resolução

• Teoremas de Circuito

• Circuitos com elementos reativos

Education

Aula Revisão Circuitos Eletricos 1