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Sucessoes de Numeros Reais
Maria do Carmo Martins
Novembro de 2006
sucessao de numeros reais
Chama-se sucessao de numeros reais ou sucessao numerica atoda a aplicacao u de N em R.Simbolicamente:
u : N → Rn 7−→ u(n)
Observacao:
Quando se trata de sucessoes e usual substituir a notacao u(n) porun.
sucessoes de numeros reais
Nota: Numa sucessao, a cada imagem chamamos termo dasucessao, enquanto que ao respectivo objecto chamamos ordem dotermo.
A sucessao representa-se por:
(u1, u2, · · · , un, · · · );(un)n∈N;
(un).
Sucessoes de numeros reais
Exemplo Seja un = n + 1.
u1 = 1 + 1 = 2 diz-se o 1o termo da sucessao ou termo deordem 1;
u2 = 2 + 1 = 3 diz-se o 2o termo da sucessao ou termmo deordem 2;...
un = n + 1 diz-se o n-esimo termo da sucessao ou termo deordem n ou termo geral da sucessao.
Termo geral de uma sucessao e uma expressao designatoria, dedomınio N, que gera todos os termos da sucessao.
Conjunto dos termos de uma sucessao
Qualquer sucessao, como aplicacao que e, tem um contradomınio(conjunto das imagens), que no caso das sucessoes efrequentemente designado por conjunto dos termos da sucessao.
Exercıcio Indique o conjunto dos termos da sucessao:
1 un = n;
2 un = (−1)n;
3 un = 4.
Modos de definir uma sucessao
Para determinar (ou referirmo-nos a) uma sucessao, indica-segeralmente uma formula, atraves da qual pode-se obter para cadan ∈ N o correspondente termo de ordem n.
Exemplo: Seja (un) a sucessao definida por:
un =
{5, n par
24+3n , n ımpar
Modos de definir uma sucessao
Evidentemente, a determinacao de uma sucessao pode fazer-se poroutros processos:
Indicam-se alguns termos iniciais considerados suficientes paradeterminar qualquer outro termo.Exemplo: Seja (xn) definida por:
3, 8, 13, 18, · · ·
Por recorrencia.Exemplo: Seja (vn) definida por:
v1 = 0
v2 = 1
vn+2 = vn+1 + vn
Sucessoes Monotonas
Uma sucessao diz-se monotona quando e crescente ou decrescente(em sentido lato ou estrito).
Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Diz-se que (un) e:
Crescente ou estritamente crescente ou crescente em sentidoestrito se
un+1 > un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un > 0,∀n ∈ N.
Nao decrescente ou crescente em sentido lato se
un+1 ≥ un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un ≥ 0,∀n ∈ N.
Sucessoes Monotonas
Decrescente ou estritamente decrescente ou decrescente emsentido estrito se
un+1 < un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un < 0,∀n ∈ N.
Nao crescente ou decrescente em sentido lato se
un+1 ≤ un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un ≤ 0,∀n ∈ N.
Exercıcio
Verifique se sao monotonas as sucessoes cujos termos gerais sao:
1 un = nn+1 ;
2 un =
{2n + 1, n par
−n + 3, n ımpar
3 un = (−1)n+2n+1 ;
4 un = 12n+1 .
Sucessao limitada inferiormente
Diz-se que uma sucessao (un) e minorada ou limitadainferiormente se, e so se, o conjunto dos seus termos forminorado, isto e, se existir b ∈ R, tal que
un ≥ b, ∀n ∈ N.
Sucessao limitada superiormente
Diz-se que uma sucessao (un) e majorada ou limitadasuperiormente se, e so se, o conjunto dos seus termos formajorado, isto e, se existir c ∈ R, tal que
un ≤ c , ∀n ∈ N.
Sucessao limitada
Diz-se que uma sucessao (un) e limitada se, e so se, o conjuntodos seus termos for limitado, isto e, se existir a, b ∈ R tais que
a ≤ un ≤ b, ∀n ∈ N.
Exemplo
Prove que sao limitadas as sucessoes definidas por:
1 un = 1 + 1n ;
2 un = (−1)n.
Infimo e supremo de uma sucessao
Se a e minorante de (un) e verificar-se a condicao a ≥ c , sendo cqualquer minorante de (un), entao a e o maior dos minorantes ou oınfimo de (un).
Se b e majorante de (un) e verificar-se a condicao b ≥ d , sendo dqualquer majorante de (un), entao b e o menor dos majorantes ouo supremo de (un).
Subsucessao
Chama-se subsucessao de uma sucessao (un) a toda a sucessaoque se obtem de (un) por supressao de alguns termos.Representa-se por
(u′n) = (un)n∈N′ , com N′ ⊂ N.
Exemplo
Indique duas subsucessoes de cada uma das sucessoes que sesegue:
1 un = n;
2 un = 1+(−1)n
n .
Observacoes
1 Qualquer subsucessao de uma sucessao limitada e limitada.
2 Qualquer subsucessao de uma sucessao monotona e tambemmonotona (crescente ou decrescente consoante a sucessaoconsiderada).
3 De uma sucessao nao monotona e possıvel extrairsubsucessoes monotonas.
4 Toda a sucessao crescente (mesmo em sentido lato) e limitadainferiormente pelo seu primeiro termo.
5 Toda a sucessao decrescente (mesmo em sentido lato) elimitada superiormente pelo seu primeiro termo.
Limite de uma sucessao
Seja (un) uma sucessao de numeros reais e a ∈ R. Diz-se que (un)converge para a ou tende para a ou tem limite a e escreve-se
un → a
se, e so se, para todo o numero real positivo δ, e possıvel obter umnumero natural n0, tal que para n > n0 se tem |un − a| < δ.Simbolicamente:
un → a ⇔ ∀δ > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un − a| < δ
Nota
Podemos assim verificar que, se lim un = a, entao qualquerintervalo do tipo ]a− δ, a + δ[ contem todos os termos de (un),com excepcao no maximo de um numero finito de termos.
Definicoes
Se o limite e zero, diz-se que (un) e um infinitesimo.
Uma sucessao diz-se convergente se tiver limite finito, isto e,se tender para um numero real.
Uma sucessao diz-se divergente se nao for convergente.
Sucessoes
Classificacao das sucessoes quanto a existencia e natureza dolimite:
sucessao
convergente
divergente
{propriamente divergente
oscilante
Exercıcio
Prove, pela definicao de limite, que lim un =2
3, sendo un = 2n−1
3n+1
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 1 (Unicidade do limite)O limite de uma sucessao, quando existe e unico.
Teorema 2Qualquer subsucessao de uma sucessao convergente e tambemconvergente para o mesmo limite.
Corolario 1Se lim un = a, entao
∀k ∈ N, lim un+k = a.
Isto e, o limite de uma sucessao nao se altera, quando se retira umnumero finito de termos.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 3Toda a sucessao convergente e limitada.
Teorema 4 (Convergencia das sucessoes monotonas)Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.
Corolario 1Se (un) e uma sucessao monotona e possui uma subsucessaoconvergente, entao (un) e convergente.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 5Seja (xn) um infinitesimo e (yn) uma sucessao limitada. Entao asucessao (xn.yn) e um infinitesimo (mesmo que nao exista lim yn)).
NotaEste resultado e referido muitas vezes dizendo-se que “ o produtode um infinitesimo por uma sucessao limitada e um infinitesimo”.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 6Se lim xn = a e lim yn = b entao:
1 lim (xn + yn) = a + b;
2 lim (xn − yn) = a− b;
3 lim (xn.yn) = ab;
4 lim(
xnyn
)= a
b ;
5 lim p√
xn = p√
lim xn = p√
a;
6 lim |xn| = | lim xn| = |a|.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 7 (Permanencia do sinal)Se uma sucessao tem limite positivo, entao a partir de uma certaordem todos os seus termos sao positivos.
Nota:Do mesmo modo se prova que se lim xn = b, com b < 0, entao apartir de uma certa ordem, todos os termos xn sao negativos.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 8 (Passagem ao limite numa desigualdade)Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes convergentes. Se xn ≤ yn,∀n ∈ N, entao
lim xn ≤ lim yn.
NotaSupondo xn < yn, ∀n ∈ N, nao podemos garantir quelim xn < lim yn.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Corolario 1Seja (un) uma sucessao convergente. Se un ≥ a, ∀n ∈ N, entaolim un ≥ a.
Nota:Refira-se que se un > a, entao lim un ≥ a.
Teoremas sobre limites de sucessoes
Teorema 9 (Teorema ou Criterio das Sucessoes Enquadradas)Se (un) e (vn) sao duas sucessoes de numeros reais convergentespara o mesmo limite a e, se a partir de certa ordem, a sucessao(wn) e tal que un ≤ wn ≤ vn, entao lim wn = a.
Exemplo
Recorrendo ao teorema anterior, calcule o limite das sucessoesdefinidas por:
1 wn =4n∑
k=2n
cos2n
n2 + k.
2 wn = 1+sen2(2n)!n+3 .
Teoremas sobre limites de sucessoes
Lema 1Toda a sucessao limitada possui subsucessoes convergentes.
Limites infinitos
Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande positivo, e escreve-se un → +∞ ou lim un = +∞, se
∀L ∈ R+,∃p ∈ N : n > p ⇒ un > L.
ExemploA sucessao de termo geral un = n2.
Limites infinitos
Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande negativo, e escreve-se un → −∞ ou lim un = −∞ se, e sose, a sucessao (−un) for um infinitamente grande positivo.
ExemploA sucessao de termo geral un = −n2.
Limites infinitos
Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande (sem sinal) ou infinitamente grande em modulo se, eso se, |un| → +∞
ExemploAs sucessoes de termos gerais:
1 un = (−1)n+1n2;
2 un = 3 + (−1)nn.
Teorema
Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes de numeros reais.1 Se lim xn = +∞ e (yn) e limitada inferiormente por um
numero positivo, entao lim (xn + yn) = +∞.2 Se lim xn = +∞ e (yn) e limitada inferiormente por um
numero positivo, entao lim (xn.yn) = +∞.3 Se (xn) e uma sucessao de termos positivos, entao
lim xn = 0 ⇔ lim1
xn= +∞.
4 Se (xn) e (yn) sao sucessoes de termos positivos:Se (xn) e limitada inferiormente por um numero positivo elim yn = 0, entao
limxn
yn= +∞.
Se (xn) e limitada superiormente e lim yn = +∞, entao
limxn
yn= 0.
Propriedades algebricas dos limites
lim (xn + yn) = lim xn + lim yn
(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesinfinitos de sinais contrarios)
lim (xn − yn) = lim xn − lim yn
(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesinfinitos com o mesmo sinal)
lim (xn.yn) = lim xn. lim yn
(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitenulo e limite infinito)
lim(
xnyn
)= lim xn
lim yn
(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesnulos ou limites infinitos)
Propriedades algebricas dos limites
lim |xn| = |lim xn|
lim n√
xn = n√
lim xn, com p ∈ N(Desde que a expressao tenha significado)
lim(xkn
)= (lim xn)
k , desde que para k = 0 lim xn 6= 0 elim xn 6= ∞.
lim (kxn) = k lim xn , desde que para k = 1, lim xn 6= ∞ e parak = 0, lim xn 6= 0.
lim(xynn
)= (lim xn)
lim yn , desde que para1 lim xn = 0, lim yn 6= 0;
2 lim xn = ∞, lim yn 6= 0;
3 lim xn = 1, lim yn 6= ∞.
Propriedades algebricas dos limites
lim (log xn) = log (lim xn), desde que a expressao tenhasignificado.
lim sen xn = sen lim xn
lim cos xn = cos lim xn
lim tg xn = tg lim xn
lim cotg xn = cotg lim xn
Limite do quociente entre dois polinomios em n
lima0 + a1n + a2n
2 + · · ·+ apnp
b0 + b1n + b2n2 + · · ·+ bqnq=
∞ se p > qap
bqse p = q
0 se p < q
Exemplo: Calcule os seguintes limites:
1 lim3n3 + 5
n2
2 lim5n2 + n + 3
4n2 + 6
3 limn
n2 + 4
Limite da Exponencial
lim an =
∞ se |a| > 11 se a = 16 ∃ se a = −10 se |a| < 1
Exemplo: Calcule
1 lim 2n
2 lim(−1)n
3 lim
(1
2
)n
4 lim
(−1
4
)n
5 lim(−3)n
A sucessao un =(1 + 1
n
)n
A sucessao (un) e estritamente crescente e limitada, pois
2 ≤(
1 +1
n
)n
< 3 , ∀n ∈ N.
Logo, pelo teorema de convergencia das sucessoes monotonas, (un)e convergente, tendo-se
lim
(1 +
1
n
)n
= e
limun→+∞
(1 +
1
un
)un
= e
limun→+∞
(1 +
k
un
)un
= ek
Exemplo
Calcule os seguintes limites:
1 lim
(1 +
2
n
)n+2
2 lim
(1− 9
4n2
)3n
Regras para a determinacao de limites
Consideremos as sucessoes (un) e(
unn
). Demonstra-se que:
lim(un+1 − un) = a ⇒ limun
n= a.
Exemplo: Calcule
limlog(n + 1)
n.
Regras para a determinacao de limites
Consideremos as sucessoes (un) com un > 0, ∀n ∈ N, e(
n√
un
).
Demonstra-se que:
limun+1
un= b ⇒ lim n
√un = b.
Exemplo: Calcule
1 lim n√
n + 1;
2 lim1
nn√
n!.
Regras para a determinacao de limites
Demonstra-se que se (un) e uma sucessao convergente, entao
lim un = k ⇒ limu1 + u2 + · · ·+ un
n= k.
Exemplo: Calcule
1 lim1
n
(1
2+
1
4+
1
6+ · · ·+ 1
2n
);
2 lima1 + a2 + · · ·+ an
n, com an = 3n2−1
n2+1.
Regras para a determinacao de limites
Demonstra-se que se (un) e uma sucessao convergente e un > 0,∀n ∈ N, entao
lim un = r ⇒ lim n√
u1.u2. . . . .un = r
ExemploCalcule:
1 limn
√1
2
3
4
5
6. . .
2n − 1
2n;
2 lim n
√(1 +
1
1
) (1 +
1
2
). . .
(1 +
1
n
)
Regras para a determinacao de limites
Sejam (un) e (vn) duas sucessoes reais com (vn) sucessaocrescente. Demonstra-se que
limun+1 − un
vn+1 − vn= m ⇒ lim
un
vn= m.
Exemplo: Calcule
1 limlog n
n;
2 lim3n2 + 2
log n;
3 lim
∑ni=1
√2i∑n
i=1
√2i − 1
;
Regras para a determinacao de limites
A exponencial de base maior do que 1 evolui mais rapidamente doque qualquer potencia do seu expoente.
limaun
(un)k
= ∞, com un → +∞ e a > 1
lim(un)
k
aun= 0, com un → +∞ e a > 1
Exemplo
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
1 limen
n;
2 lime−n
−n;
3 lim5n+2
(n + 2)100;
4 lim(3n + 4)10
63n+4;
Regras para a determinacao de limites
Os numeros evoluem mais rapidamente do que qualquer potenciados seus logarıtmos.
limn
(log n)k= ∞
lim(log n)k
n= 0
Generalizacao:
limun
(log un)k= ∞, com un →∞ e un > 0
lim(log un)
k
un= 0, com un →∞ e un > 0
Exemplo
Calcule
1 limlog(n + 1)
n + 1;
2 lim(log n)5
n;
3 limn6 + 1)
[log (n6 + 1)]2.
Regras para a determinacao de limites
limun→0
sen un
un= 1
limun→0
tg un
un= 1
Exemplo Calcule
1 lim n2sen1
n2;
2 limtg
(12
)n(12
)n .
Regras para a determinacao de limites
lim yn(xn − 1) = k ⇒ lim(xn)yn = ek
(so serve para indeterminacoes do tipo 1∞)
Exemplo: Calcule
lim
(log(n + 1)
log n
)n
.