Bahan ajarr.o volume1

Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 1

IKIP PGRI MADIUN

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

MATA KULIAH

RISET OPERASI (OPERATION RESEARCH)

BAHAN AJAR MAHASISWA REZA KUSUMA SETYANSAH, S. Pd.

3/23/2011

VOLUME I

Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.


Bahan Ajar Mahasiswa

OPERATION RESEARCH

(Riset Operasi)

Kritik dan Saran :

[email protected]

Blog : http://rezamath2011.blogspot.com

mailto:[email protected]


1. Bacalah terlebih dahulu standard kompetensi dan kompetensi dasar yang tertera di setiap awal

setiap bab.

2. Pelajarilah dengan seksama materi kuliah dan buku acuan dari tiap bab sampai anda

memahami betul.

3. Kerjakan pertanyaan-pertanyaan dan tugas-tugas yang terletak di dalam latihan setiap akhir

sub-bab, termasuk tugas mandiri dan pembuatan laporan.

4. Bila menjumpai kesulitan, diskusikan dengan teman dan/atau dosen pada saat kuliah atau

tatap muka.

5. Bila tidak mendapatkan kesulitan, anda dapat mempelajari materi kuliah baru, rangkuman

dan buku acuan dari bab-bab berikutnya.

6. Pelajari sekali lagi materi kuliah tersebut, kemudian anda harus menempuh Ujian Tengah

Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) yang telah direncanakan.

7. Bila anda tidak berhasil, adakan remidi dengan jalan pelajari sekali lagi bagian materi kuliah

yang tidak berhasil tersebut dari materi, rangkuman, buku acuan atau diskusikan dengan

teman atau tanyakan kepada dosen pada saat kuliah/tatap muka. Selanjutnya anda dapat

mempelajari materi kuliah baru.

8. Bila anda berhasil, anda dapat mempelajari materi baru/berikutnya.

Kegiatan belajar dengan Bahan Ajar (BA) seperti tersebut di atas dapat digambarkan seperti bagan

di bawah ini.

Baca

Standard Kompetensi

dan

Kompetensi Dasar

Pelajari

Materi Kuliah

dan

Buku Acuan

Kerjakan

Latihan di setiap

akhir bab

Diskusikan

dengan

Teman/Dosen

ada

Kesu

litan

Tidak ada kesulitan

Pelajari

Materi bab

baru/berikutnya

Kerjakan

UTS dan UAS

Kerjakan

Remidi

Berhasil

Pelajari

Materi

Baru/berikutnya

Tidak

Berh

asil


Dengan mengucapkan syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah

memberikan rahmat dan hikayahnya sehingga bahan ajar pendamping mata kuliah

Riset Operasi (R.O) dapat terselesaikan tepat waktu.

Penyusunan Bahan Ajar pendamping ini masih jauh dari sempurna baik isi

maupun kata-katanya serta tata tulisannya. Oleh karena itu sangat diharapkan saran-

saran serta kritik yang sifatnya membangun demi sempurnanya penulisan ini untuk

selanjutnya.

Semoga terselesainya Bahan Ajar ini, banyak mendapat sumbangan baik yang

berupa moril maupun materiil dari berbagai pihak, Oleh karena itu, bahan ajar ini

mencoba menyajikan materi dalam bentuk sederhana, setahap demi setahap untuk

menghilangkan kesan bahwa ilmu itu sulit. Harapan dari penulis, pembaca menjadi

menyukai, memahami dan akhirnya bisa menerapkan ilmu ini dalam kehidupan atau

pekerjaan masing-masing.

Akhirnya, mudah-mudah karya kecil yang hanya setetes air di tengah

hamparan ilmu dan wacana di Indonesia. Semoga amal baik yang telah diberikan

kepada penulis mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT.

Madiun, Maret 2011

Penulis


MATERI BAHAN AJAR

PERTEMUAN 1 - 8

No. Materi

1. PENDAHULUAN Perkembangan Riset Operasi Definisi Riset Operasi

2. Analisis Keputusan 3. Pengertian Program Linear 4. Program Linear : Metode Grafik

Diunduh pada Bahan Ajar Riset Operasi Volume 1

PERTEMUAN 9 – 16

No. Materi

5. Program Linear : Metode Simpleks 6. DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS 7. PERSOALAN PENUGASAN (ASSIGNMENT) 8. PERSOALAN TRANSPORTASI

Diunduh pada Bahan Ajar Riset Operasi Volume 2

SILABUS

Deskripsi Mata Kuliah :

(1) Gambaran Umum Penelitian Operasional

(2) Progama Linier

(3) Teknik Pemecahan Model Programa Linier

(4) Teori Dualitas dan Analisis Kepekaan

(5) Tipe-Tipe Khusus Persoalan Programa Linier

STANDAR KOMPETENSI :

Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset

operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah

ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.

KOMPETENSI DASAR :

Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional

Mahasiswa menghitung programa linier

Mahasiswa menggambarkan Teknik pemecahan model progama linier

Mahasiswa mengevaluasi teori dualitas dan analisis kepekaan


Halaman

Cover Bahan Ajar ..................................................................................... 1

Sampul halaman ........................................................................................ 2

Petunjuk Pembelajaran ............................................................................ 3

Kata Pengantar.......................................................................................... 4

Materi Bahan Ajar .................................................................................... 5

Daftar Isi .................................................................................................... 6

BAB I RISET OPERASI (RO) .................................................... 7

A. Definisi .......................................................................... 7

B. Latar Belakang RO ........................................................ 8

C. Komputer & RO ............................................................ 9

D. Proses pengambilan keputusan ..................................... 9

E. Model Matematik dan pengambilan keputusan ............ 10

BAB II ANALISIS KEPUTUSAN ................................................ 12

BAB III LINEAR PROGRAMMING (LP) ................................... 14

A. Pengertian LP ................................................................ 14

B. Model LP dalam RO ..................................................... 15

C. Alasan Pembentukan Model ......................................... 15

D. Jenis-jenis Model LP dalam RO ................................... 16

E. Penyederhanaan Model ................................................. 17

F. Karakteristik Persoalan LP ............................................ 20

G. Metode Penyelesaian Masalah LP ................................ 20

H. Beberapa Konsep penting dalam penyelesaian LP ....... 20

BAB IV TEKNIK PEMECAHAN MODEL LP ........................... 29

A. Metode Grafik untuk Minimasi ..................................... 30

B. Masalah-Masalah Khusus dalam LP metode grafik..... 32

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 40


STANDAR KOMPETENSI




KOMPETENSI DASAR

Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional.

RISET OPERASI

(Operation Research)

A. Definisi

Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan

permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang

lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.

Riset Operasi mememiliki beberapa arti yang berbeda dengan namanya. Istilah

atau judul mata kuliah ini tidak sepenuhnya berhubungan dengan “riset”

(penelitian) apalagi dengan “operasi” (operasional). Riset operasi (lebih dikenal

dengan operation research atau quantitative analysis) merupakan serangkaian

kegiatan analysis dan pemodelan matematik untuk keperluan pengambilan

keputusan. Banyak persoalan manajerial di suatu organisasi/perusahaan yang

senantiasa dikaitkan dengan proses pengambilan keputusan (decision making).

Ada beberapa definisi mengenai Riset Operasi (RO). Dasar pertimbangan dari

berbagai macam definisi dilatarbelakangi bahwa ahli Riset Operasi (RO) dari

berbagai disiplin ilmu seperti teknik, bisnis, matematik, dan lain-lain.

Operational Research Society of Great Britain mendefinisikan RO adalah

aplikasi metode ilmiah dalam masalah kompleks dan sistem manajemen yang

besar atas manusia, mesin, material, dan dana dalam industri, bisnis, pemerintah

dan militer.

BAB I


Operational Research Society of Great Britain mendefinisikan RO adalah

berkenaan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah, bagaimana membuat

model terbaik dan membutuhkan alokasi sumber daya yang terbatas.

Secara lebih generalisasi RO dapat didefinisikan sebagai model kuantitatif atau

matematik yang digunakan dalam pengambilan keputusan.

B. Latar Belakang Sejarah Riset Operasi (RO)

Sejak revolusi industri, perusahaan-perusahaan di dunia telah mengalami

perkembangan yang pesat, baik dalam ukuran ataupun kompleksitas organisasi.

Banyak perusahaan baru bermunculan, sementara perusahaan-perusahaan kecil

berkembang menjadi perusahaan besar. Hal ini membawa perubahan dalam

pembagian kerja (Division of Labor) dan segmentasi dari tanggung jawab

manajemen dalam organisasi perusahaan yang mengarah kepada spesialisasi.

Timbulnya riset operasional dimulai pada tahun 1939 awal perang dunia II RO

benar-benar mutlak keefektifannya sebagai metode penyelesaian masalah.

Kegiatan RO atau Operation Research di Inggris dan Amerika secara terus

menerus. Dalam bidang non-militer teutama dalam kelompok industri, sehingga

aktifitas operation research (RO) tidak hanya mengenai aktivitas ilmu tetapi juga

menyangkut berbagai macam disiplin dan bisnis. Apabila diperhatikan

penggunaan riset operasi pada berbagai bidang kegiatan tersebut di atas, selalu

menyiratkan tujuan untuk mengoptimumkan sesuatu, seperti memaksimumkan

keuntungan, meminimumkan biaya, waktu pengerjaan, dan meminimumkan

resiko.


C. Komputer dan Riset Operasi (RO)

Penggunaan komputer dalam RO continuous mengalami upgrading terutama

dalam menghadapi International rivalry dan productivity problem. Tanpa

bantuan komputer terutama dalam software khusus untuk RO sangat impossible

untuk finishing problem yang cukup besar dan complicated. Program aplikasi

software yang support menganalisa dan biasa digunakan antara lain adalah QM,

QSB+, Tora, Mathematicha, LINDO (Linear, Interactive and Discrete

Optimizer), POM ForWindows dan sebagainya.

D. Proses Pengambilan keputusan dan Analisis Kuantitatif

Proses analisa dalam kegiatan Riset Operasi (RO) dapat dilakukan dengan dua

cara, yaitu analisa kualitatif dan analisa kuantitatif.

Analisa Kualitatif, dilakukan berdasarkan pengalaman dan pertimbangan

pemikiran pribadi seorang peneliti. Analisis ini lebih melibatkan rasa intuisi

daripada pengetahuan, sehingga lebih mengarah kepada seni dalam pengetahuan.

Analisa Kuantitaif, dilakukan berdasarkan fakta-fakta atau data kuantitatif yang

berkaitan dengan masalah yang dihadapi. Kemudian dengan menggunakan

metode kuantitatif tertentu akan diperoleh hasil analisis yang akan dapat

mendukung pengambilan keputusan.


Tabel (1)

Proses pengambilan keputusan

E. Model Matematik dan Pengambilan Keputusan

Responsibility (Tanggung jawab) dalam pengambilan keputusan berada pada

manajemen RO. Langkah-langkah berikut merupakan tahapan dalam proses

pengambilan keputusan oleh manajer (peneliti).

Tabel (2)

Proses langkah pembuatan keputusan

Masalah manajerial

/ Penelitian

Analisis Kualitatif

(yang berdasarkan pada pengalaman

dan pertimbangan manajer / peneliti)

Analisis Kuantitatif

(yang didasarkan pada teknik

matematika)

Kesimpulan dan

Evaluasi

(Conclusion and

Evaluation)

Keputusan

(Decision)


Proses pembuatan model Riset Operasi

Langkah-langkah dalam pembuatan matematik sebagai berikut :

1. Mendefinisikan masalah. Definisi masalah harus jelas dan menggambarkan

masalah yang sedang dihadapi. Langkah ini penting dan dapat melibatkan

manajemen maupun anggota organisasi lainnya.

2. Memformulasikan model. Model adalah gambaran abstark dari masalah

yang sedang dihadapi. Ketepatan dalam memformulasikan model sangat

ditentukan oleh asumsi yang digunakan. Asumsi harus realistis dan ini

merupakan faktor kesulitan dalam membuat model.

Komponen utama dalam memformulasikan model sebagai berikut :

Variabel Keputusan (decision variable)

Tujuan (objective)

Kendala (constraint)

3. Mengukur validitas

4. Implementasi keputusan


STANDAR KOMPETENSI




KOMPETENSI DASAR

Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional.

ANALISIS KEPUTUSAN

Persoalan keputusan senantiasa dihadapi oleh manusia. Saat pagi atau subuh, dia

sudah harus mengambil keputusan untuk segera bangun memulai aktivitas atau terus

tidur. Saat pergi ke kampus, dia pun harus memutuskan naik apa, dengan siapa, cepat

atau lambat, dan seterusnya. Bahkan saat menjelang tidur pun, dia harus memutuskan

untuk pakai piyama atau celana pendek, di kasur atau di lantai, lampu menyala atau

gelap.

Ada banyak keputusan yang diambil secara ada yang dipikirkan atau tidak, setiap saat

harus membuat keputusan yang sangat menentukan kelangsungan proses yang

kadang diperlukan seketika atau sesaat atau penuh dengan perhitungan yang matang.

Hal yang lebih baik adalah dengan membuat suatu keputusan, walaupun salah.

Keputusan yang diambil pertama kali akan berdampak pada keputusan berikutnya.

Demikian hal ini terus berlangsung dalam kehidupan manusia.

BAB II


Secara sederhana, persoalan keputusan dapat digambarkan dalam bentuk matriks dua

dimensi (berisi 3 kriteria keputusan dan 2 alternatif) dengan hasil (gain) pada setiap

sel berikut :

Alternatif Kriteria Keputusan

K1 K2 K3

A1 H11 H12 H13

A2 H21 H22 H23

Contoh :

Alternatif

Kriteria Keputusan

Harga

(Juta Rupiah)

Luas

(m2)

Jarak

(km)

Plaza Madiun 560 2.500 30

Carrefour 490 3.000 50


STANDAR KOMPETENSI




KOMPETENSI DASAR

Mahasiswa menghitung programa linier

LINEAR PROGRAMMING

Pemodelan dalam Riset Operasi dalam Linear Programing (LP) :

Pengertian

Alasan pembentukan model

Jenis-jenis model

Penyederhanaan model

Tahap-tahap pemodelan

A. Pengertian LP

Linear Programming (LP) merupakan suatu model umum yang dapat digunakan

dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara

optimal. Sumber-sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan &

mesin, ruang, waktu, dana dan orang. Semua ini dapat dipergunakan untuk

menghasilkan komoditi tertentu. Atau dengan kata lain LP adalah metode atau

teknik matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan

keputusan.

Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan LP ialah merumuskan masalah

dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia, kemudian

menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk model matematika guna

menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi.

BAB III


LP atau Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau

meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.

Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian

masalah dan apa penyebab masalah tersebut.

Dua macam fungsi Program Linear:

Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan

masalah

Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan

atas sumber daya tersebut.

B. Model LP dalam RO

Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas dari suatu sistem yang

kompleks

Model menunjukkan hubungan-hubungan (langsung atau tidak langsung)

dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat.

Model harus mencerminkan semua aspek realitas yg sedang diteliti.

Model adalah suatu fungsi tujuan dgn seperangkat kendala yang

diekspresikan dalam bentuk variabel keputusan.

C. Alasan pembentukan model :

Menemukan variabel-variabel yang penting atau menonjol dalam suatu

permasalahan

Penyelidikan hubungan yg ada diantara variabel-variabel


D. Jenis-jenis model :

1. Iconic (physical) Model.

Penyajian phisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata

dengan skala yang berbeda.

Model ini mudah untuk mengamati, membangun dan menjelaskan tetapi

sulit untuk memanipulasi dan tidak dapat digunakan untuk tujuan

peramalan (Hipotesis/Dugaan Sementara)

Biasanya menunjukkan peristiwa statik.

2. Analogue Model.

Lebih abstrak dari model iconic, karena tidak kelihatan sama antara

model dengan sistem nyata.

Lebih mudah untuk memanipulasi dan dapat menunjukkan situasi

dinamis.

Umumnya lebih berguna dari pada model iconic karena kapasitasnya

yang besar untuk menunjukkan ciri-ciri sistem nyata yang dipelajari.

3. Mathematical (Simbolic) Model.

Sifatnya paling abstrak.

Menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan

komponen-komponen (dan hubungan antar mereka) dari sistem nyata.

Dibedakan menjadi:

Model deterministik :

Dibentuk dalam situasi penuh kepastian (certainty)

Memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena

kepastian jarang terjadi.

Keuntungannya: dapat dimanipulasi dan diselesaikan lebih mudah.


Model probabilistik :

Dalam kondisi ketidak-pastian (uncertainty).

Lebih sulit di analisis, meskipun representasi ketidakpastian dalam

model dapat menghasilkan suatu penyajian sistem nyata yang lebih

realistis.

E. Penyederhanaan model:

1. Melinierkan hubungan yang tidak linier.

2. Mengurangi banyaknya variabel atau kendala.

3. Merubah sifat variabel, misalnya dari diskrit menjadi kontinyu.

4. Mengganti tujuan ganda menjadi tujuan tunggal.

5. Mengeluarkan unsur dinamik (membuat model menjadi statik).

6. Mengasumsikan variabel random menjadi suatu nilai tunggal (deterministik).

Pembentukan model sangat esensial dalam Riset Operasi karena solusi dari

pendekatan ini tergantung pada ketepatan model yang dibuat.

Tahap-tahap Pemodelan dalam RO yang telah disampaikan pada bab sebelum, dalam

LP menyusun memperhatikan urutan sebagai berikut:

1. Merumuskan masalah.

Merumuskan definisi persoalan secara tepat, dalam perumusan masalah ada tiga

hal yang penting diperhatikan:

Variabel keputusan

yaitu unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan oleh pengambil

keputusan, sering disebut sebagai instrumen.

Tujuan (objective)

Penetapan tujuan membantupengambil keputusan memusatkan perhatian

pada persoalan dan pengaruhnya terhadap organisasi. Tujuan ini

diekspresikan dalam variabel keputusan.

Kendala (constraint)

adalah pembatas-pembatas terhadap alternatif tindakan yang tersedia.


2. Pembentukan Model

Sesuai dengan definisi persoalannya, pengambil keputusan menentukan

model yang paling cocok untuk mewakili sistem.

Model merupakan ekspresi kuantitatif dari tujuan dan kendala-kendala

persoalan dalam variabel keputusan.

Jika model yang dihasilkan cocok dengan salah satu model matematik yang

biasa (misalnya linier), maka solusinya dapat dengan mudah diperoleh

dengan program linier.

3. Mencari penyelesaian masalah

Aplikasi bermacam-macam teknik dan metode solusi kuntitatif yang

merupakan bagian utama dari OR

Disamping solusi terhadap model, perlu juga informasi tambahan: Analisa

Sensitivitas.

4. Validasi Model

Model harus diperiksa apakah dpt merepresentasikan berjalannya sistem

yang diwakili.

Validitas model dilakukan dgn cara membandingkan performance solusi

dengan data aktual.

Model dikatakan valid jika dengan kondisi input yang serupa, dapat

menghasilkan kembali performance seperti kondisi aktual.


Di bawah ini Model Linear Progamming dibentuk dalam matematis perumusan

masalah umum, agar mempermudah pembahasan model LP ini, digunakan simbol

sebagai berikut :

m = Macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.

n = Macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas

tersebut.

i = Nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia ( i = 1,2, .., m )

j = Nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas

yang tersedia ( j = 1,2,…, n )

Xj = Tingkat kegiatan ke, j ( j = 1,2,…, n )

aij = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit

keluaran (output) kegiatan j . ( i = 1,2, .., m ) dan ( j = 1,2,…, n )

bi = Banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke

setiap unit kegiatan ( i = 1,2, .., m )

Z = Nilai yang dioptimalkan (maksimum dan minimum)

Cj = Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan Xj dengan

satu satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran

kegiatan j terhadap nilai Z.

Tabel (3)

Data untuk model linear progamming

Kegiatan

Sumber

Pemakaian Sumber per Unit

kegiatan (keluaran) Kapasistas

sumber 1 2 3 … n

1 a11 a12 a13 a1n b1

2 a21 a22 a23 a2n b2

3 a31 a32 a33 a3n b3

….

….

….

….

….

….

….

m am1 am2 am3 … amn bm

∆Z pertambahan

tiap unit

Tingkat kegiatan

C1

X1

C2

X2

C3

X3

…

…

Cn

Xn


Berdasarkan tabel di atas kemudian disusun suatu model matematis yang digunakan

untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut :

Fungsi Tujuan :

Memaksimumkan Z = C1X1 + C2X2+ C3X3+ … + CnXn

Batasan-batasan :

1. a11X1 + a12X2 + a13X3+ … + a1nXn ≤ b1

2. a21X1 + a22X2 + a23X3+ … + a2nXn ≤ b1

…

m. am1X1 + am2X2 + am3X3+ … + amnXn ≤ b1

dan

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, …. Xn ≥ 0

F. Karakteristik Persoalan LP:

Ada tujuan yang ingin dicapai

Tersedia beberapa alternatif untuk mencapai tujuan

Sumberdaya dalam keadaan terbatas

Dapat dirumuskan dalam bentuk matematika (persamaan/ketidaksamaan)

Contoh pernyataan ketidaksamaan:

Untuk menghasilkan sejumlah meja dan kursi secara optimal, total biaya yang

dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia.

(Pernyataan bersifat normatif)

G. Metode penyelesaian masalah:

Grafis (2 variabel)

Matematis (Simplex method)


Contoh Persoalan LP_1 :

Perusahaan industri PT MULIA menghasilkan dua jenis produk yaitu P1 dan P2

masing-masing memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan

P1 sebesar Rp.150,- dan P2 sebesar Rp. 100,-. Bahan baku A yang tersedia sebanyak

600 satuan dan B

sebanyak 1.000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan A dan dua satuan B,

sedangkan P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B. Semua informasi yang

tersedia dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut :

Masalahnya adalah menentukan alokasi bahan A dan B sebaik mungkin, atau dengan

kata lain menentukan jumlah produksi P1 dan P2 sehingga tercapai tujuan perusahaan

yaitu meraih keuntungan semaksimal mungkin. Meskipun tabel diatas sudah dapat

menggambarkan situasi produksi dan masalah yang dihadapi akan tetapi penentuan

jumlah produksi P1 dan P2 masih sulit. Oleh karena itu kita akan menerjemahkan

masalah ini ke dalam model matematika dengan rumusan yang sederhana sehingga

mudah dicari penyelesaiannya.

Misalkan jumlah jenis produk P1 dan P2 adalah X1 dan X2 satuan. Maka jumlah

hasil penjualan tentu sama dengan : f = 150X1 + 100X2.

Tujuan PT MULIA ialah mengusahakan f sebesar-besarnya sehingga keuntungan

juga akan maksimal, karena untuk menghasilkan satu satuan P1 diperlukan satu

satuan bahan A dan dua satuan bahan B, maka untuk sejumlah X1 satuan jenis P1

diperlukan sejumlah X1 satuan bahan A dan sejumlah 2X1 satuan bahan B. Dengan


cara yang sama untuk menghasilkan sejumlah X2 satuan jenis P2 diperlukan

sejumlah X2 satuan bahan A dan sejumlah X2 satuan bahan B. Dengan demikian

jumlah bahan A yang diperlukan untuk menghasilkan sejumlah X1 satuan P1 dan

sejumlah X2 satuan P2 adalah (X1 + X2) satuan. Bahan B yang diperlukan ialah

(2X1 + X2) satuan.

Karena bahan A dan B masing-masing hanya tersedia 600 dan 1.000 satuan, maka

(X1+X2) dan (2X1+X2) masing-masing tidak mungkin melebihi 600 dan 1.000

satuan. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

( X1 + X2 ) < 600 dan ( 2X1 + X2 ) < 1000

atau

X1 + X2 - 600 < 0

2X1 + X2 - 1.000 < 0

kalau semua keterangan ini dikumpulkan, maka akan sampai kepada satu bentuk

model matematika yang menggambarkan masalah produksi yang sedang dihadapi PT

MULIA, yaitu :

f = 150X1 + 100X2

g = X1 + X2 - 600

h = 2X1 + X2 - 1.000

Tujuan dari model ini yaitu menentukan jumlah produksi P1 (=X1) dan jumlah

produksi P2

(=X2) sehingga jumlah hasil penjualan f = 150X1 + 100X2 maksimal sesuai dengan

keterbatasan yang ada.

Secara singkat dapat ditulis : tentukan X1 dan X2 yang memenuhi batasan :

Max. f = 150X1 + 100X2

X1 + X2 < 600

2X1 + X2 < 1.000

X1 > 0

X2 > 0


Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas

sebagai berikut :

1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikan dalam bentuk matematis.

2. Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikan dalam

bentuk

matematis.

3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem cross

sumbu.

4. Mencari titik yang paling menguntungkan ( optimal ) dihubungkan dengan

fungsi tujuan.

Contoh Persoalan LP_2:

Suatu perusahaan (Perusahaan Meubel) menghasilkan dua produk, meja dan kursi

yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian

perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam

kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja

pemolesan, sedangkan utk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan

4 jam kerja pemolesan, Laba utk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing2 Rp.

80.000 dan Rp. 60.000,-. Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan?

Perumusan persoalan dalam bentuk tabel :

Proses

Waktu yang dibutuhkan per unit Total jam

tersedia Meja Kursi

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

Laba/unit 80.000 60.000


Perumusan persoalan dlm bentuk matematika:

Maks : Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)

Dengan kendala :

4M + 2K≤ 60

2M + 4K ≤ 48

M ≥ 0

K ≥ 0

Penjabaran Langkah-langkah dalam perumusan model LP :

1. Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable)

Variabel yang nilainya akan dicari

2. Rumuskan Fungsi Tujuan:

Maksimisasi atau Minimisasi

Tentukan koefisien dari variabel keputusan

3. Rumuskan Fungsi Kendala Sumber daya:

Tentukan kebutuhan sumberdaya untuk masing-masing peubah keputusan.

Tentukan jumlah ketersediaan sumber daya sebagai pembatas.

4. Tetapkan kendala non-negatif

Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai

negatif.

Perumusan persoalan dalam model LP.

Definisi variabel keputusan:

Keputusan yang akan diambil adalah berapakah meja dan kursi yang akan

dihasilkan. Jika meja disimbolkan dgn M dan kursi dengan K, maka definisi

variabel keputusan:

M = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan unit)

K = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam satuan unit)


Perumusan fungsi tujuan:

Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp.

60.000. Tujuan perusahaan adlh utk memaksimumkan laba dari sejumlah meja

dan kursi yang dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis:

Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)

Perumusan Fungsi Kendala:

Kendala pada proses perakitan:

Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 4 jam dan utk menghasilkan 1 bh

kursi diperlukan waktu 2 jam pd proses perakitan. Waktu yg tersedia adalah 60

jam.

4M + 2K ≤ 60

Kendala pada proses pemolesan:

Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 2 jam dan utk menghasilkan 1 bh

kursi diperlukan waktu 4 jam pd proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah

48 jam.

2M + 4K ≤ 48

Kendala non-negatif:

Meja dan kursi yg dihasilkan tdk memiliki nilai negatif.

M ≥ 0

K ≥ 0


Penyelesaian secara grafik:

(Hanya dapat dilakukan untuk model dg 2 decision variables)

Gambaran masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama.

Laba = 8M + 6K

Pada A: M = 0, K = 12

Laba = 6 (12) = 72

Pada B: M = 12, K = 6

Laba = 8(12) + 6(6) = 132

Pada A: M = 15, K = 0

Laba = 8 (15) = 120

Keputusan:

M = 12 dan K = 6

Laba yg diperoleh = 132.000

M O


H. Beberapa konsep penting dalam penyelesaian persoalan LP

Extrem points:

Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region)

Infeasible Solution:

Tidak ada solusi karena tidak semua kendala terpenuhi.

Unbounded Solution:

Solusi yang disebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tidak

melanggar fungsi kendala.

Redundancy:

Redundancy terjadi karena adanya kendala yang tidak mempengaruhi daerah

kelayakan.

Alternative optima:

Solusi yang tidak memberikan nilai yang unik, terjadi bila garis fungsi

tujuan berimpit dengan garis salah satu kendala.

SOAL

1. Perusahaan sepatu “IDEAL“ membuat dua macam sepatu. Merk pertama (I-1)

dengan sol dai karet, dan merk kedua (I-2) dengan sol dari kulit. Untuk membuat

sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus

membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3

membuat bagian atas sepatu dan melakukan perakitan bagian atas dengan sol.

Setiap lusin sepatu merk I-1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam,

kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam.

Sedang sepatu merk I-2 tidak diproses di mesin 1 tetapi langsung di mesin 2

selam 3 jam kemudian mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari

untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan

terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk I-1 = Rp. 30.000,- sedangkan merk

I-2 = Rp. 50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya

sepatu merk I-1 dan merk I-2 yang dibuat agar bisa memaksimalkan laba.


2. PT. “Umsini” memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk

yaitu, astro dan cosmos. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan

baku A, bahan baku B, dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku

A adalah 60 kg perhari, bahan baku B 30 kg perhari dan tenaga kerja 40 jam

perhari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja,

dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,- untuk

astro dan Rp 30,- untuk cosmos. Masalahnya adalah bagaimana menentukan

jumlah unit setiap produk yang akan diproduksi dalam setiap hari.


STANDAR KOMPETENSI




KOMPETENSI DASAR

Mahasiswa menggambarkan Teknik pemecahan model progama linier

TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAM LINEAR

METODE GRAFIK UNTUK MASALAH MINIMASI

Pada prinsipnya sama dengan masalah maksimasi seperti diatas. Perbedaan terletak

pada langkah 3 dalam hal menentukan solusi optimum. Solusi optimum masalah

maksimasi tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang

terjauh dari titik origin. Sedang masalah minimasi solusi optimum tercapai pada saat

garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang terdekat dengan titik origin.

Penyelesaian masalah Minimasi

Langkah 1.

Gambarkan semua kendala ( sama dg maksimasi )

Langkah 2.

Gambarkan garis fungsi tujuan ( sama dg maksimasi )

Langkah 3.

Dapatkan solusi optimum, dengan cara mencari nilai variabel keputusan yang dapat

meninimumkan fungsi tujuan.

Contoh :

Seorang ahli penata diet merencanakan untuk membuat 2 jenis makanan yaitu

makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan

protein. Jenis makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan jenis makanan B paling

sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein

dalam setiap jenis makanan.

BAB IV


Masalah ahli penata diet adalah bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis

makanan, agar meninimumkan biaya produksi.

Formulasi dalam bentuk LP

Z(Min) = 100X1 + 80X2

Kendala 2X1 + X2 > 8 ( Vitamin )

2X1 + 3X2 > 12 ( Protein )

X1 > 2 ( Manakan A )

X2 > 1 ( Makanan B )

X1 > 0, X2 > 0 ( Non negative )

Buatlah grafik, dan cari solusi optimumnya!. (latihan buat pembaca)

MASALAH-MASALAH KHUSUS DALAM LP METODE GRAFIK

Multiple Optimum Solution

Dalam LP sangat dimungkinkan terjadi multiple optimum solution atau sering

disebut dengan solusi optimum lebih dari satu.

Contoh : Z (Mak) = 20X1 + 40X2

Kendala 3X1 + 6X2 < 30

X1 < 8

X2 < 3

X1, X2 > 0

No Feasible Solutions

Tidak adanya feasible solution dapat terjadi karena kesalahan dalam membuat

formulasi LP


atau kesalahan dalam menggambar garis kendala, sehingga kita tidak dapat

menemukan feasible solution space

Contoh : Z (Mak) = 20X1 + 50X2

Kendala X1 + X2 < 5

2X1 + 3X2 > 24

X1, X2 > 0

Contoh Persoalan LP :

Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis

produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan

bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum

penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan

tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam

tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis bahan baku

dan tenaga kerja

Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum

penyediaan Kain Sutera Kain Wol

Benang sutera 2 3 60

Benang wol - 2 30 Tenaga kerja 2 1 40

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera

dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah

unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang

diperoleh bisa maksimal.


Penyelesaian :

Langkah-langkah:

1) Tentukan variabel

X1=kain sutera

X2=kain wol

2) Fungsi tujuan

Zmax = 40X1 + 30X2

3) Fungsi kendala / batasan

a. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)

b. 2X2 ≤ 30 (benang wol)

c. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)

4) Membuat grafik

a. 2X1 + 3 X2 = 60

X1=0, X2 =60/3 = 20

X2=0, X1= 60/2 = 30

b. 2X2 ≤ 30

X2=15

c. 2X1 + X2 ≤ 40

X1=0, X2 = 40

X2=0, X1= 40/2 = 20


Gambar Grafik :

Cara mendapatkan solusi optimal:

5. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A

X1=0, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

X1=20, X2=0


Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2 = 40

2X2=20 ↔ X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60


2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30 ↔ X1 = 15


40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)

Titik D

2X2 = 30

X2 = 15

masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3 . 15 = 60

2X1 + 45 = 60

2X1 = 15 ↔ X1 = 7,5


Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750

Titik E

X2 = 15

X1 = 0


Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan

keuntungan sebesar Rp 900 juta.

6. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.

Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah

feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.

Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1)

dan (3).

Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)


2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2 = 40

2X2=20

X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 . 10 = 60

2X1 + 30 = 60

2X1 = 30 ↔ X1 = 15


40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900


Contoh Persoalan LP :

Masalah Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai

pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik

origin.

Contoh :

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan

yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin

dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit

diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam

setiap jenis makanan:

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya

produksi.

Langkah – langkah:

1. Tentukan variabel

X1 = Royal Bee

X2 = Royal Jelly

2. Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2

3. Fungsi kendala

a) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)

b) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)


c) X1 ≥ 2

d) X2 ≥1

4. Membuat grafik

a) 2X1 + X2 = 8

X1 = 0, X2 = 8

X2 = 0, X1 = 4

b) 2X1 + 3X2 = 12

X1 = 0, X2 = 4

X2 = 0, X1 = 6

c) X1 = 2

d) X2 = 1

Gambar Grafik :

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan

garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8

2X1 + 3X2 = 12

-2X2 = -4 ↔ X2 = 2


masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8

2 X1 = 6 ↔ X1 = 3


Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya

produksi 460 ribu rupiah.


SOAL LATIHAN LP_METODE GRAFIK

SOAL 1

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Kendala : 1) 2X1 ≤ 8

2) 3X2 ≤ 15

3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0

SOAL 2

Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2

Kendala: 1) 6X1 + X2 ≥ 6

2) 4X1 + 3X2 ≥ 2

3) X1 + 2X2 ≥ 4 , X1 ≥ 0

SOAL 3

PT BAKERY memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan coklatkeju

dengan keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp 400 dan Rp 600. Setiap

minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit, bolukismis 130 unit dan

coklatkeju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan

bahan, peracikan dan pengovenan seperti terlihat pada tabel berikut:

Bagaimana formulasi program linear masalah PT Bakery tersebut dan hitung solusi

optimalnya!


Daftar Pustaka

Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005

Bustanul Arifin Noer, Belajar Riset Operasional. 2010. Yogyakarta. Penerbit : CV.

ANDI OFFSET

Bambang Yuwono, Materi Ringkasan Riset Operasional. 2007. Yogyakarta. Penerbit

: UPN press

Daniel Mohammad Rosyid, OPTIMASI: Teknik Pengambilan Keputusan Secara

Kuantitatif. 2009. Surabaya. Penerbit : ITS Press

Dwi Hayu Agustini dan Yus Endra Rahmadi, Riset Operasional "Konsep-konsep

dasar", 2004. Jakarta : Rineka Cipta

Hillier and Lieberman, Introduction to Operations Research, 1990. New York : Mc

Graw Hill, Inc.

Subagyo Pangestu, Marwan Asri, dan T. Hani Handoko, Dasar-Dasar Operation

Research, 2000. Yogyakarta : BPFE

Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, Operation Research “Model-Model

Pengambilan Keputusan”, 2006. Bandung : Sinar Baru Algensindo.

Winston L. Wayne, Introduction to Operation Research: Applications and

Algorithms. 1994. Duxbury Press.

Education

Bahan ajarr.o volume1