Bài tập có lời giải chương 1

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬNBài 1: Tính hạng của ma trận:

1)

A=

2 −4 3 1 01 −2 1 −4 20 1 −1 3 11 −7 4 −4 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

1 −2 1 −4 22 −4 3 1 00 1 −1 3 11 −7 4 −4 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1(−2)+h2h1(−1)+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −2 1 −4 20 0 1 9 −40 1 −1 3 10 −5 3 0 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 −2 1 −4 20 1 −1 3 10 0 1 9 −40 −5 3 0 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2(5)+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −2 1 −4 20 1 −1 3 10 0 1 9 −40 0 −2 15 8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3(2)+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −2 1 −4 20 1 −1 3 10 0 1 9 −40 0 0 33 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r A( ) =4

2)

A=

0 2 −4−1 −4 53 1 70 5 −102 3 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

−1 −4 50 2 −43 1 70 5 −102 3 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h1 3( )+h3h1 2( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

−1 −4 50 2 −40 −11 220 5 −100 −5 10

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⏐ →⏐ ⏐

−1 −4 50 1 −20 −11 220 5 −100 −5 10

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h2 11( )+h3h2 −5( )+h4h2 5( )+h5⏐ →⏐ ⏐ ⏐

−1 −4 50 1 −20 0 00 0 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⇒ r A( ) =2

1

2)

A=2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h1(-2)+h2h1(-1)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

2 −1 3 −2 40 0 −1 5 −10 0 −2 10 −2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2(-2)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐2 −1 3 −2 40 0 −1 5 −10 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⇒ r A( ) =2

3)

A=

1 3 5 −12 −1 −5 45 1 1 77 7 9 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −2( )+h2h1 −5( )+h3h1 −7( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 3 5 −10 −7 −15 60 −14 −24 120 −14 −26 6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 −2( )+h3h2 −2( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 3 5 −10 −7 −15 60 0 6 00 0 4 −6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3 16

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⏐ →⏐ ⏐

1 3 5 −10 −7 −15 60 0 1 00 0 4 −6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h4 −4( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 3 5 −10 −7 −15 60 0 1 00 0 0 −6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r A( ) =4

4)

A=

3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 −5 0 77 −5 1 4 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 −3 −5 0 75 −3 2 3 43 −1 3 2 57 −5 1 4 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −5( )+h2h1 −3( )+h3h1 −7( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −3 −5 0 70 12 27 3 −310 8 18 2 −160 16 36 4 −48

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h312

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟↔h2

⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −3 −5 0 70 4 9 1 −80 12 27 3 −310 16 36 4 −48

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 −3( )+h3h2 −4( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −3 −5 0 70 4 9 1 −80 0 0 0 −70 0 0 0 −16

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3 −167

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+h4

⏐ →⏐ ⏐ ⏐ ⏐

1 −3 −5 0 70 4 9 1 −80 0 0 0 −70 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r A( ) =3

5)

2

A=

2 2 1 5 −11 0 4 −2 12 1 5 −2 1−1 −2 2 −6 1−3 −1 −8 1 −11 2 −3 7 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

1 0 4 −2 12 2 1 5 −12 1 5 −2 1−1 −2 2 −6 1−3 −1 −8 1 −11 2 −3 7 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

h1(−2)+h2h1(−2)+h3h1+h4h1(3)+h5h1(−1)+h6

⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 0 4 −2 10 2 −7 9 −30 1 −3 2 −10 −2 6 −8 20 −1 4 −5 20 2 −7 9 −3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

h2↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 0 4 −2 10 1 −3 2 −10 2 −7 9 −30 −2 6 −8 20 −1 4 −5 20 2 −7 9 −3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

h2(−2)+h3h2(2)+h4h2+h5h2(−2)+h6

⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 0 4 −2 10 1 −3 2 −10 0 −1 3 −10 0 0 −4 00 0 1 −3 10 0 −1 3 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

h3+h5h3(−1)+h6⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 0 4 −2 10 1 −3 2 −10 0 −1 3 −10 0 0 −4 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⇒ r A( ) =4

6)

A=

1 −1 2 3 42 1 −1 2 0−1 2 1 1 31 5 −8 −5 −123 −7 8 9 13

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h1(−2)+h2h1+h3h1(−1)+h4h1(−3)+h5

⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 3 −5 −4 −80 1 1 3 70 6 −10 −8 −160 −4 2 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h2↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 1 1 3 70 3 −5 −4 −80 6 −10 −8 −160 −4 2 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h2(−3)+h3h2(−6)+h4h2(4)+h5⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 1 1 3 70 0 −8 −13 −290 0 −16 −26 −580 0 6 12 29

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h3(−1)+h4h3+h5⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 1 1 3 70 0 −8 −13 −290 0 0 0 00 0 −2 −1 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

h5(−4)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 1 1 3 70 0 0 −9 −290 0 0 0 00 0 −2 −1 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

3

h5↔h4↔h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 2 3 40 1 1 3 70 0 −2 −1 00 0 0 −9 −290 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⇒ r(A) =4

7)

A=

−3 2 −7 8−1 0 5 −84 −2 2 01 0 3 7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

−1 0 5 −8−3 2 −7 84 −2 2 01 0 3 7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1(−3)+h2h1(4)+h3

h1+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

−1 0 5 −80 2 −22 320 −2 22 −320 0 8 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2(−1)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

−1 0 5 −80 2 −22 320 0 0 00 0 8 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3↔h4⏐ →⏐ ⏐

−1 0 5 −80 2 −22 320 0 8 −10 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r(A) =3

8)

A=

−1 3 3 −44 −7 −2 1−3 5 1 0−2 3 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1(4)+h2h1(−3)+h3h1(−2)+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

−1 3 3 −40 5 10 −150 −4 −8 120 −3 −6 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h215

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h314

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h413

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⏐ →⏐ ⏐

−1 3 3 −40 1 2 −30 −1 −2 30 −1 −2 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2+h3h2+h4⏐ →⏐ ⏐

−1 3 3 −40 1 2 −30 0 0 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r(A) =2

9)

A=

1 3 −1 67 1 −3 1017 1 −7 223 4 −2 10

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1(−7)+h2h1(−17)+h3h1(−3)+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 3 −1 60 −20 4 −320 −50 10 −800 −5 1 −8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h214

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h3110

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⏐ →⏐ ⏐

1 3 −1 60 −5 1 −80 −5 1 −80 −5 1 −8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2(−1)+h3h2(−1)h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 3 −1 60 −5 1 −80 0 0 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r(A) =2

10)

4

A=

0 1 10 32 0 4 −116 4 52 98 −1 6 −7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

2 0 4 −10 1 10 316 4 52 98 −1 6 −7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −8( )+h3h1 −4( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

2 0 4 −10 1 10 30 4 20 170 −1 −10 −3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 −4( )+h3h2+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

2 0 4 −10 1 10 30 0 −20 50 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⇒ r(A) =3

Bài 2: Biện luận theo tham số λ hạng của các ma trận:

1)

A=

3 1 1 4λ 4 10 11 7 17 32 2 4 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2↔h4⏐ →⏐ ⏐

3 1 1 42 2 4 11 7 17 3λ 4 10 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

c1↔c4⏐ →⏐ ⏐

4 1 1 31 2 4 23 7 17 11 4 10 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h2⏐ →⏐ ⏐

1 2 4 24 1 1 33 7 17 11 4 10 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −4( )+h2h1 −3( )+h3h1 −1( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 4 20 −7 −15 −50 1 5 −50 2 6 λ −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 2 4 20 1 5 −50 −7 −15 −50 2 6 λ −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 7( )+h3h2 −2( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 4 20 1 5 −50 0 20 −400 0 −4 λ +8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h315

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+h4

⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 4 20 1 5 −50 0 20 −400 0 0 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Vậy : - Nếu = 0 thì r(A) = 3- Nếu 0 thì r(A) = 4

2)

A=

3 1 1 4λ 4 10 11 7 17 32 2 4 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2↔h4⏐ →⏐ ⏐

3 1 1 42 2 4 31 7 17 3λ 4 10 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

c1↔c4⏐ →⏐ ⏐

4 1 1 33 2 4 23 7 17 11 4 10 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

5

c1↔ c2⏐ →⏐ ⏐

1 4 1 32 3 4 27 3 17 14 1 10 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −2( )+h2h1 −7( )+h3h1 −4( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 4 1 30 −5 2 −40 −25 10 −200 −15 6 λ −12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 −5( )+h3h2 −3( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 4 1 30 −5 2 −40 0 0 00 0 0 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3↔h4⏐ →⏐ ⏐

1 4 1 30 −5 2 −40 0 0 λ0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Vậy: - Nếu = 0 thì r(A) = 2- Nếu 0 thì r(A) = 3

3)

A=

4 1 3 30 6 10 21 4 7 26 λ −8 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

C2↔C4⏐ →⏐ ⏐

4 3 3 10 2 10 61 2 7 46 2 −8 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 2 10 64 3 3 16 2 −8 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 −4( )+h3h1 −6( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 7 40 2 10 60 −5 −25 −150 −10 −50 λ −24

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h212

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 1 5 30 −5 −25 −150 −10 −50 λ −24

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2 5( )+h3h2 10( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 7 40 1 5 30 0 0 00 0 0 λ +6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3↔h4⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 −1 −5 −30 0 0 λ +60 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Vậy:- Khi λ +6 =0⇔ λ =−6 thì r(A) = 2- Khi λ +6 ≠0⇔ λ ≠−6 thì r(A) = 3

4)

A=

−3 9 14 10 6 10 21 4 7 23 λ 1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

C2↔C4⏐ →⏐ ⏐

−3 1 14 90 2 10 61 2 7 43 2 1 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1↔h3⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 2 10 6−3 1 14 93 2 1 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h1 3( )+h3h1 −3( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 7 40 2 10 60 7 35 210 −4 −20 λ −12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h212

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 1 5 30 7 35 210 −4 −20 λ −12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

6

h2 −7( )+h3h2 4( )+h4⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 2 7 40 1 5 30 0 0 00 0 0 λ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3↔h4⏐ →⏐ ⏐

1 2 7 40 1 5 30 0 0 λ0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Vậy : - Nếu = 0 thì r(A) = 2- Nếu 0 thì r(A) = 3

7

BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOVÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:

1)

A= 3 45 7

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Ta có:

A I( ) =3 4 1 05 7 0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

h1 −53

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+h2

⏐ →⏐ ⏐ ⏐3 4 1 0

013

−53

1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

h113

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h2 3( )⏐ →⏐ ⏐ 143

13

0

0 1 −5 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

h2 −43

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+h1

⏐ →⏐ ⏐ ⏐ 1 0 7 −40 1 −5 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⇒ A−1 = 7 −4

−5 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2)

A= 1 −24 −9

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Ta có:

A−1 = 1 −24 −9

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−1

=1

ad−bcd −b−c a

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

11.(−9)−(−2).4

−9 2−4 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 9 −2

4 −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3)

A=3 −4 52 −3 13 −5 −1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Ta có:

A I( ) =3 −4 5 1 0 02 −3 1 0 1 03 −5 −1 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2(-1)+h1⏐ →⏐ ⏐ ⏐1 −1 4 1 −1 02 −3 1 0 1 03 −5 −1 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h1 −2( )+h2h1 −3( )+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 4 1 −1 00 −1 −7 −2 3 00 −2 −13 −3 3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2(-2)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐1 −1 4 1 −1 00 −1 −7 −2 3 00 0 1 1 −3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2(-1)⏐ →⏐ ⏐1 −1 4 1 −1 00 1 7 2 −3 00 0 1 1 −3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h3 −7( )+h2h3 −4( )+h1⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 −1 0 −3 11 −40 1 0 −5 18 −70 0 1 1 −3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2+h1⏐ →⏐ ⏐1 0 0 −8 29 −110 1 0 −5 18 −70 0 1 1 −3 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

8

Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A-1 =

4)

A=2 7 33 9 41 5 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Ta có:

A I( ) =2 7 3 1 0 03 9 4 0 1 01 5 3 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h3↔h1⏐ →⏐ ⏐1 5 3 0 0 13 9 4 0 1 02 7 3 1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h1 −3( )+h2h1 −2( )+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 5 3 0 0 10 −6 −5 0 1 −30 −3 −3 1 0 −2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h3↔h2⏐ →⏐ ⏐1 5 3 0 0 10 −3 −3 1 0 −20 −6 −5 0 1 −3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2(-2)+h3⏐ →⏐ ⏐ ⏐1 5 3 0 0 10 −3 −3 1 0 −20 0 1 −2 1 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

h2 −13

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⏐ →⏐ ⏐

1 5 3 0 0 1

0 1 1 −13

023

0 0 1 −2 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h3 −1( )+h2h3 −3( )+h1⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 5 0 6 −3 −2

0 1 053

−1 −13

0 0 1 −2 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

h2(-5)+h1⏐ →⏐ ⏐ ⏐

1 0 0 −73

2 −13

0 1 053

−1 −13

0 0 1 −2 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⇒ A−1 =

−73

2 −13

53

−1 −13

−2 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5)

A=1 2 22 1 −22 −2 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Ta có:

9

Bài 2Giải các phương trình ma trận sau

1)

Đặt

Ta có:

2)

10

Đặt

Ta có:

3)

Giải:

Đặt

Ta có:

Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:

Suy ra:

4)

Đặt

Ta có: Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:

11

Suy ra:

5)

Đặt

Ta có:

Suy ra:

12

BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1:Giải các hệ phương trình sau:

1)

Giải:Ta có:

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:

2)

Giải:Ta có:


13

3)

Giải:Ta có:


4)

Giải:Ta có:


5)

14

Giải:Ta có:


6)

Giải:Ta có:


Bài 2:Giải các hệ phương trình sau:

1)

Giải:Ta có:

15

Khi đó (1)

Từ (4)

Thế vào (3)

Thế x3 vào (2) ta được:

Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: hay (1, 1, -1, -1)

2)

Giải: Ta có:

16

Suy ra: (2)

Từ (4)

Thế vào (3)

Thế x3, x4 vào (2) ta được:

Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: hay (-2, 0, 1, -1)

3)

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

17

hay

4)

Ta có:

Suy ra: (4) hệ vô nghiệm

5)

18

Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình:

6)

Giaûi


19

7)

Giaûi


8)

Giaûi


20

9)

Giaûi


10)

Giaûi

21


11)

Giaûi


22

12)

Giaûi


23

13)

Giaûi


24

14)

GiaûiTa coù:


25

15)

Giải:


16)

Giải:

26


17)

Giải:

27


18)

Giải:


Bài 3: Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

28

1)

Ta có: (1)

Từ (2)

Thế x3 vào (1), ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

2)

Ta có: (2)

3)

Giaûi


29

4)

Giaûi


BÀI TẬP VỀ ĐỊNH THỨCBài 1Tính các định thức cấp 2:

1) D = = 5.3 – 7.2 = 15 – 14 = 1

2) D = = 3.5 – 8.2 = 15 – 16 = -1

3) D = = (n+1)(n-1) – n2 = n2 - 1 - n2 = -1

4) D = = cos2 +sin2 = 1

Bài 2:Tính các định thức cấp 3:

30

1) D = = 18+2+60-9-16-15 = 40

2) D = = 30+18+8-15-36-8 = -3

3) D = = 40-24-105+10+224-45=100

4) D = =-9-20-32+20+12+24= -5

5) D = = 12 + 3 + 3 – 2 – 9 – 6 = 1

6)

7) D = = 0

8)

9)

31

Bài 3Tính các định thức:

1)

* = = -27 -8 -8 + 3 +24 + 24 = 8

* = = 18 + 24 + 16 – 9 – 16 – 48 = -15

* = = -12 – 18 – 4 + 6 +4 +36 = 12

* = = -16 -27 – 16 + 24 + 6 +48 = 19

Vậy: D = 8a+15b+12c-19d

32

2)

* = = -48 – 32 – 30 + 36 + 40 + 32 = -2

* = = -60 -16 – 10 + 12 + 50 +16 = -8

* = = -80 – 24 – 20 + 16 + 75 + 32 = -1

* = = -40 -12 – 12 + 8 + 45 + 16 = 5

Vậy: D = - (-2a + 8b – c - 5d) = 2a - 8b + c + 5d

3)

4)

Bài 4Tính các định thức sau:

1)

2)

33

3)

4)

5)

34

6)

7)

8)

35

9)

36

BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KRAMER

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:

1)

Ta có:

* D = = 8 + 5 – 20 = -7

* Dx1 = = - 4 + 35 – 20 + 10 = 21

* Dx2 = = 14 + 5 – 20 +1 = 0

* Dx3 = = 40 – 5 -70 = -35

Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất:

2) Ta có:

* D = = - 8 +15 – 36 = -29

* Dx1= = - 48 +5 -12 + 26 = -29

* Dx2 = = 26 – 90 + 117 +5 = 58

* Dx3 = = 4 + 39 – 72 = -29


37

3)

Ta có:


38

4)

Ta có:

39


40

BAØI TAÄP BIEÄN LUAÄN THEO THAM SOÁBaøi 1:Giaûi vaø bieän luaän:

Giaûi:

Baøi 2:Cho heä phöông trình:

41

a) Tìm m ñeå heä phöông trình coù nghieämb) Giaûi heä phöông trình khi m = 10

Giaûi:a) Ta coù:

Ta thaáy: . Suy ra heä coù nghieäm vôùi moïi

giaù trò cuûa m b) Giaûi heä khi m = 10:

Bieán ñoåi sô caáp treân haøng ta coù:

Baøi 3Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá :

42

Giaûi: Ta coù

Ta thaáy:

43

(1) Khi ñoù heä coù nghieäm duy nhaát:

(2) Neáu thì : Heä voâ nghieäm(3) Neáu thì heä trôû thaønh:

Heä voâ nghieäm

Baøi 4Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá :

Giaûi

Heä phöông trình töông ñöông vôùi heä:

44

Ta thaáy:(1)Khi thì heä voâ nghieäm(2)Khi thì heä trôû thaønh:

Vaäy nghieäm cuûa heä khi ñoù laø:

Baøi 5Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá

GiảiTa có:

45

Khi đó:

(1) Nếu thì : hệ có vô số nghiệm (tìm nghiệm như bài

trên)(2) Nếu thì :

: hệ vô nghiệm

Baøi 6Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau theo tham soá

GiaûiTa coù:

46

Ta thaáy:

(1)Khi: . Suy ra heä coù nghieäm duy nhaát:

(2)Khi vaø suy ra heä coù voâ soá

nghieäm

47

48

Education

Bài tập có lời giải chương 1