Bài Tập Trắc Địa

1

PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. GÓC ĐỊNH HƯỚNG 1.1. Bài toán về góc định hướng

- Biết αBA và αBC ta tính được góc β = αBC - αBA. - Biết αBA và β ta tính được góc định hướng αBC = αBA + β. 1.2. Áp dụng bài toán góc định hướng Trong thực tế, thông thường ta không đo được góc định hướng mà chỉ đo được góc bằng β, do đó, để xác định góc định hướng của một đường thẳng ta phải dựa vào góc định hướng của một cạnh đã biết trước. 1.2.1. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β trái

Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay trái, khi đó: αBC = αAB + βB - 1800 αCD = αBC + βC - 1800 (1.1) 1.2.2. Tính góc định hướng thưc các góc bằng β phải

Theo chiều từ A, B, C, D thì các góc βB và βC nằm bên tay phải, khi đó: αBC = αAB - βB + 1800 αCD = αBC - βC + 1800 (1.2) 1.2. BÀI TOÁN THUẬN NGHỊCH TRẮC ĐỊA 1.2.1. Bài toán thuận Bài toán: Biết tọa độ điểm đầu A(xA; yA), chiều dài và góc định hướng SAB và αAB. Tìm tọa độ điểm B?

Giải

XB = XA + ∆XAB = XA + SABcosαAB YB = YA + ∆YAB = YA + SABsinαAB (1.3) 1.2.2. Bài toán nghịch Bài toán: Biết tọa độ 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tìm chiều dài SAB và góc định hướng cạnh αAB?

Giải

A

B C

D

βB

βC

Hình 1.3. Góc β phải

Hình 1.1. Mối liên hệ góc định hướng và góc bằng

B

C

β

A

0

X

Y

αBA

αBC

A

B C D

βB

βC

Hình 1.2. Góc β trái

2

* Chiều dài AB: 2 2AB B A B A

= (X - X ) + (Y - Y )S (1.4)

* Góc định hướng αAB

- Tính góc hai phương: AB B AAB

AB B A

∆Y Y - Y= arctan = arctan

∆X X - Xr

(1.5) - Tính góc định hướng: Xét dấu ∆XAB và ∆YAB để suy ra αAB theo bảng 1.1:

Bảng 1.1. Mối liên hệ giữa góc định hướng và góc hai phương

Dấu ∆xAB + - - + Dấu ∆yAB + + - - Kết quả αAB = rAB αAB = 1800 - rAB αAB = 1800 + rAB αAB = 3600 - rAB Chú ý: Các trường hợp đặc biệt - Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB > 0: ααααAB = 900

- Trường hợp ∆XAB = 0 và ∆YAB < 0: ααααAB = 2700

- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB > 0: ααααAB = 0

- Trường hợp ∆YAB = 0 và ∆XAB < 0: ααααAB = 1800

2. BẢN ĐỒ ĐỊA HÌNH 2.1. Tỷ lệ bản đồ 1/M = Chiều dài trên bản đồ/Chiều dài thực. 1/M2 = Diện tích trên bản đồ/Diện tích thực. M là mẫu số tỷ lệ bản đồ. M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ càng nhỏ. - Bản đồ tỷ lệ lớn: 1:500; 1:1000; 1:2000; 1:5000. - Bản đồ tỷ lệ trung: 1:10000; 1:25000; 1:50000. - Bản đồ tỷ lệ nhỏ: 1:100000; 1:200000; 1:500000; 1:1000000 2.2. Nội suy độ cao trên bản đồ địa hình

A

B C

M'M

Hình 2.1. Nội suy độ cao điểm M từ 3 điểm A, B và C

M' A C A

AM'= H + ×(H - H )

ACH

M B M' B

BM= H + ×(H - H )

BM'H (2.1)

2.3. Xác định độ dốc giữa hai điểm A và B trên bản đồ

Độ dốc: B AH - Hi = tanα = ×100%

S × Mbñ

(2.2)

2.4. Tính tọa độ đa giác dựa vào tọa độ các đỉnh

n n

i i+1 i-1 i i-1 i+1i=1 i=12

1 1F = x (y - y ) = y (x - x )

2∑ ∑ (2.3)

trong đó, i = 1, 2, … n là kí hiệu các đỉnh đa giác. 3. LÝ THUYẾT SAI SỐ 3.1. Định nghĩa sai số 3.1.1. Sai số thực

Sai số thực là hiệu giữa giá trị đo và giá trị thực:

A

B

α

3

∆i = xi - X (3.1) 3.1.2. Sai số xác suất nhất Sai số xác suất nhất là hiệu giữa giá trị đo và giá trị xác suất nhất: Vi = xi - X0 (3.2) 3.1.3. Giá trị xác suất nhất Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo cùng độ chính xác là trị trung bình cộng của các giá trị đo:

1 2 n0

x + x +...+ x=

nX (3.3)

Trong đó, xi là giá trị đo thứ i. Giá trị xác suất nhất của các kết quả đo không cùng độ chính xác là trị trung bình trọng số của các giá trị đo:

n

i ii=1 1 1 2 2 n n

0 n1 2 n

ii=1

x Px P + x P +...+ x P

X = =P + P +...+ P

P

∑

∑ (3.4)

Trong đó, Pi là trọng số của đại lượng đo thứ i. Lưu ý: Các trị đo đo cùng độ chính xác là các trị đo khi ta sử dụng cùng một dụng cụ

đo, cùng một phương pháp đo và cùng một điều kiện đo. Thiếu một trong các điều kiện

này là các kết quả đo không cùng độ chính xác.

3.2. Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo trực tiếp cùng độ chính xác 3.2.1. Sai số trung phương một lần đo (SSTP) a/ Công thức của Gauss

n2i

i=1

∆

nm =

∑ (3.5)

b/ Công thức của Bessel

n2

ii=1

V

n -1m =

∑ (3.6)

3.2.2. Sai số giới hạn ∆gh

Sai số giới hạn là sai số lớn nhất của các sai số giá trị đo. 3.2.3. Sai số trung phương tương đối 1/T

1 Sai soá trung phöông=T Giaùtrò ño

(3.7)

Lưu ý: Để đánh giá độ chính xác đo góc ta sử dụng SSTP, còn để đánh độ chính xác

của kết quả đo dài ta sử dụng sai số trung phương tương đối.

3.3. Đánh giá độ chính xác của hàm số Xét hàm F = f(x,y,…,u)

f f f

m = ∂ ∂ ∂

+ + + ∂ ∂ ∂

2 2 22 2 2...

F x y um m m

x y u (3.8)

Trong đó mx, my,…, mu lần lược là SSTP của các đại lượng x, y,…,u. 3.4. Trị trung bình cộng và sai số trung phương của nó

4

0X

mM = m =

n (3.9)

Trong đó: M - SSTP trị trung bình cộng m - SSTP một lần đo (SSTP của các kết quả đo) n - Số lần đo 3.5. Đánh giá độ chính xác của các kết quả đo không cùng độ chính xác 3.5.1. Trọng số của kết quả đo

i 2

i

CP =

m (3.10)

Ttrong đó: Pi - Là trọng số đại lượng đo thứ i mi - Là SSTP đại lượng đo thứ i C - Là hằng số (tùy chọn) Với C đã được chọn, sai số trung phương của kết quả đo có trọng số bằng 1 được gọi là sai số trung phương trọng số đơn vị, ký hiệu µ.

Nghĩa là : 2

2

CP = =1 µ = C

µ⇒

2

i 2i

µP =

m⇒ (3.11)

Do đó, thay vì chọn C ta có thể chọn µ. 3.5.2. Công thức đánh giá độ chính xác của kết quả đo không cùng độ chinh xác a/ Sai số trung phương đơn vị trọng số µ

* Công thức Gauss (3.12)

* Công thưc Bessel (3.13)

Lưu ý: Công thưc tính ∆i và Vi xem mục 3.1.

b/ Sai số trung phương kết quả đo thứ i

i

i

µm =

P (3.14)

c/ Sai số trung phương của trị trung bình trọng số X0

Trị trung bình trọng số X0 có trọng số là:

0X 1 2 nP = P + P +...+ P (3.15)

Sai số trung phương trị trung bình trọng số X0 là:

0

nX

ii=1

µ µM = =

PP∑

(3.16)

4. ĐO GÓC BẰNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐO ĐƠN GIẢN

O

B

A

a1

b1 b2

a2

µ - SSTP trọng số đơn vị ∆i - Sai số thực đại lượng thứ i Pi - Trọng số đại lượng thứ i n - số lần đo

n2i i

i=1

∆ Pµ =

n

∑

µ - SSTP trọng số đơn vị Vi - sai số xác suất nhất đại lượng thứ i Pi - Trọng số đại lượng thứ i n - số lần đo

n2i i

i=1

V Pµ =

n -1

∑

5

Một lần đo gồm 2 nửa lần đo. * Nửa lần đo thuận (bàn độ đứng bên trái người đo)

- Ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a1. - Quay máy cùng chiều kim đồng hồ, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b1. Góc bằng của nửa lần đo thuận là: β1 = b1 - a1 (nếu b1 < a1 thì β1 = b1 – a1 + 3600) *Nửa lần đo đảo (bàn độ đứng bên trái người đo)

Đảo kính qua thiên đỉnh. - Ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang b2. - Quay máy ngược chiều kim đồng hhồ, ngắm A, đọc số trên bàn độ ngang a2. Góc bằng của nửa lần đo đảo là: β2 = b2 - a2 (nếu b2 < a2 thì β2 = b2 – a2 + 3600) * Điều kiện

1 2 2tβ β− ≤ (t là độ chính xác đo góc của máy)

Nếu điều kiện thỏa thì: β = 1/2(β1 + β2) Nếu điều kiện không thỏa thì phải đo lại 5. ĐO DÀI BẰNG MÁY KINH VĨ QUANG HỌC

Hình 5.1. Đo dài bằng máy kinh vĩ quang học

Giả sử ta đo chiều dài AB (khoảng cách ngang giữa A và B) như sau: - Đặt máy kinh vĩ tại A, dựng mia tại B. - Ngắm mia đọc số chỉ trên “t” và chỉ dưới “d”. - Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V. Công thức tính chiều dài đo được: S = Kncos2V (5.1) Trong đó: + K là hệ số đo dài (K = 100) + n là khoảng cách chắn trên mia giữa chỉ trên và chỉ dưới (n = t - d). + V là góc đứng. Lưu ý: Trường hợp tia ngắm nằm ngang thì V = 0, khi đó cosV = 1 nên S = Kn

11

12 n

A BS

6

6. ĐO CAO 6.1. Đo cao hình học từ giữa

A

BhAB

Mia Mia

ba

Hình 6.1. Đo cao hình học

Giả sử ta đo chênh cao hAB như sau: - Đặt máy thủy chuẩn giữa A và B. - Lần lượt đọc số (chỉ giữa) mia dựng tại A và B, ví dụ là a và b. - Chênh cao đo được là: hAB = a - b Lưu ý: Đo cao bằng phương pháp hình học ta có thể đặt máy thủy chuẩn bất kỳ vị trí

nào. Tuy nhiên, ta nên đặt máy sao cho khoảng cách từ máy đến A và từ máy đến B

gần bằng nhau để tăng độ chính xác của kết quả đo, vì khi đó sẽ loại trừ được các sai

số do tia ngắm không nằm ngang và ảnh hưởng độ cong của trái đất.

6.2. Đo cao lượng giác 6.2.1. Đo cao lượng giác bằng máy kinh vĩ quang học

A

BhAB

Hình 6.2. Đo cao lượng giác

Giả sử ta đo chênh cao giữa 2 điểm A và B. - Đặt máy kinh vĩ tại A và dựng mia tại B. - Đo chiều cao máy: “i” (khoảng cách từ điểm đặt máy đến trục phụ máy). - Ngắm mia và đọc sô: chỉ trên “t”, chỉ giữa “g” và chỉ dưới “d”. - Đọc số trên bàn độ đứng để xác định góc đứng V. Công thưc tính chênh cao đo được là: hAB = StanV + i - g (6.1) hAB = 1/2.Knsin2V + i - g (6.2) 6.2.2. Đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử

Công thức: hAB = StanV + i - g (6.3) Trong đó: + S là khoảng cách ngang AB (máy tự đo). + V là góc đứng (máy tự đo). + i là chiều cao máy (số phải nhập). + g là chiều cao gương (số phải nhập).

7

7. LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA 7.1. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp

AB =1

2

3n-1

C = n

β1

β2

β3

βn-1 DβnS12 S23

Sn-1,n

Hình 7.1. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ hở phù hợp

Số liệu gốc: Tọa độ 4 điểm A, B, C và D. Số liệu đo: Các góc βi và các cạnh Si,i+1. B1. Tính sai số khép góc:

n

0β AB i CD

i=1f = (α + β - n.180 ) -α∑

Trong đó αAB, αCD được tính từ tọa độ các điểm A, B, C và D đã biết trước, n là số góc đo trong đường chuyền. Lưu ý:

+ Nếu n

0AB i

i=1(α + β - n.180 )∑ <0 thì

n0 0

β AB i CDi=1

+ 360f = (α + β - n.180 ) -α∑

+ Nếu n

0AB i

i=1(α + β - n.180 )∑ > 3600 thì

n0 0

β AB i CDi=1

- 360f = (α + β - n.180 ) -α∑

Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: ''β βghf f = ±60 n≤ . Nếu sai

số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng. B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng

i

ββ

fV = -

n Lưu ý:

i

n

β βi=1

V = -f∑

B3. Hiệu chỉnh góc bằng

i

'i i ββ = β + V

Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi’ là góc bằng sau hiệu chỉnh.

B4. Tính góc định hướng các cạnh

' 0i,i+1 i-1,n iα = α +β -180 (1, )i n=

Kiểm tra: ' 0

CD n-1,n nα = α + β - 180

B5. Tính số gia tọa độ

i,i+1 i,i+1 i,i+1

i,i+1 i,i+1 i,i+1

∆X = S *cosα

∆Y = S *sinα

B6. Tính sai số khép tọa độ

n-1

x i,i+1 C Bi=1

f = ∆Χ - (X - X )∑ ; n-1

y i,i+1 C Bi=1

f = ∆Y - (Y - Y )∑

Sai số tuyệt đối đường chuyền

2 2f = f fS X Y

+

Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn

Sn-1

i,i+1i=1

f 1

2000S≤

∑ đối khu vực bằng phẳng

8

Sn-1

i,i+1i=1

f 1

1000S≤


B7. Tính số hiệu chỉnh số gia tọa độ

i,i+1

x∆X i,i+1n-1

i,i+1i=1

fV = - ×S

S∑;

i,i+1

y∆Y i,i+1n-1

i,i+1i=1

fV = - ×S

S∑

Lưu ý: i,i+1

n-1

∆X x1

V = -f∑ ; i,i+1

n-1

∆Y y1

V = -f∑

B8. Hiệu chỉnh số gia tọa độ

i,i+1

'i,i+1 i,i+1 ∆Y∆Y = ∆Y + V ;

i,i+1

'i,i+1 i,i+1 ∆X∆X = ∆X + V i = (1,n - 1)

B9. Tính tọa độ các điểm

'i+1 i i,i+1X = X +∆X ; '

i+1 i i,i+1Y = Y +∆Y i = (1,n - 1)

Kiểm tra: '

C n-1 n-1,nX = X +∆X ; 'C n-1 n-1,nY = Y +∆Y

7.2. Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín

A=1

2

3

45

n

α12 S12S23

S34

S45

Sn,1

β1

β2

β3

βn

β4β5

Hình 7.2. Sơ đồ đường chuyền kinh vĩ khép kín

Số liệu gốc: Tọa độ điểm A(XA, YA) và α12. Số liệu đo: βi và Si,i+1 B1. Tính sai số khép góc

n

0β i

i=1f = β - (n - 2)180∑

Trong đó n là số góc đo trong đường chuyền. Sai số khép góc phải nhỏ hơn sai số khép góc giới hạn: ''

β βghf f = ±60 n≤ . Nếu sai

số khép góc lớn hơn sai số khép góc giới hạn thì đo lại góc bằng. B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng

i

ββ

fV = -

n Lưu ý:

i

n

β βi=1

V = -f∑


i

'i i ββ = β + V

Trong đó, βi là góc bằng trước hiệu chỉnh, βi’ là góc bằng sau hiệu chỉnh.


' 0i,i+1 i-1,n iα = α -β +180 (1, )i n=

Kiểm tra: ' 012 n, 1 1α = α -β +180

9

B5. Tính số gia tọa độ

i,i+1 i,i+1 i,i+1

i,i+1 i,i+1 i,i+1

∆X = S *cosα

∆Y = S *sinα

B6. Tính sai số khép tọa độ

n-1

X i,i+1i=1

f = ∆Χ∑ ; n-1

Y i,i+1i=1

f = ∆Y∑

Sai số tuyệt đối đường chuyền

2 2X X Yf = f + f

Sai số khép tương đối phải nhỏ hơn sai số khép tương đối giới hạn

Sn-1

i,i+1i=1

f 1

2000S≤


Sn-1

i,i+1i=1

f 1

1000S≤



Số hiệu chỉnh số gia tọa độ tỉ lệ thuận với chiều dài cạnh

i,i+1

x∆X i,i+1n-1

i,i+1i=1

fV = - ×S

S∑;

i,i+1

y∆Y i,i+1n-1

i,i+1i=1

fV = - ×S

S∑

Lưu ý: i,i+1

n-1

∆X X1

V = -f∑ ; i,i+1

n-1

∆Y Y1

V = -f∑

h/ Hiệu chỉnh số gia tọa độ

i,i+1

'i,i+1 i,i+1 ∆Y∆Y = ∆Y + V ;

i,i+1

'i,i+1 i,i+1 ∆X∆X = ∆X + V i = (1,n - 1)

i/ Tính tọa độ các điểm

'i+1 i i,i+1X = X +∆X ; '

i+1 i i,i+1Y = Y +∆Y i = (1,n - 1)

Kiểm tra: '1 1n nX X X= + ∆ ; '

1 1n nY Y Y= + ∆

7.3. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo

Hình 7.3. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo chiều dài tuyến đo

Trong đó: + A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn. + hi là chênh cao từng đoạn đo. + li là chiều dài từng đoạn đo. B1. Tính sai số khép độ cao:

fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA) B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:

hghf = ±50 L (mm)

Trong đó: L = l1 + l2 + …+ln và tính bằng đơn vị Km. Điều kiện: h hghf < f , nếu không thỏa thì đo lại.

A 1 2 n -1 B h1 hn h2

l1 l2 ln

10

B3. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:

hhi i

fV = - × l

L

B4. Hiệu chỉnh chênh cao:

i i hih ' = h + V B5. Tính độ cao các điểm:

i i-1 iH = H + h '

7.4. Bình sai và tính tọa độ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo

Hình 7.4. Sơ đồ lưới độ cao kỹ thuật theo số trạm đo

Trong đó: + A và B là 2 mốc độ cao của lưới cấp cao hơn. + hi là chênh cao từng đoạn đo. + ni số trạm đo từng đoạn đo. B1. Tính sai số khép độ cao:

fh = (h1 + h2 + …+hn) - (HB - HA) B2. Tính sai số khép giới hạn độ cao:

hghf = ±10 N (mm)

Trong đó: N = n1 + n2 + …+nn. Điều kiện: h hghf < f , nếu không thỏa thì đo lại.

B3. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:

hhi i

fV = - × n

N

B4. Hiệu chỉnh chênh cao:

i i hih ' = h + V B5. Tính độ cao các điểm:

1 'i i iH = H h− +

8. BỐ TRÍ CÔNG TRÌNH 8.1. Bố trí điểm mặt bằng 8.1.1. Nội dung Ngoài thực địa đã có 2 điểm khống chế mặt bằng A và B biết tọa độ A(XA; YA), B(XB; YB). Yêu cầu trí điểm M có tọa độ thiết kế là M(XM; YM). 8.1.2. Bố trí bằng phương pháp tọa độ cực

Hình 8.1. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp tọa độ cực

a/ Tính số liệu bố trí:

- Bán kính cực SAM: 2 2AM M A M AS = (X - X ) + (Y - Y )

- Góc cực βA: + Tính αAB và αAM (xem bài toán nghịch trắc địa)

A 1 2 n -1 B h1 hn h2

n1 n2 nn

βA

A B

M

SAM

11

+ βA = αAM - αAB (nếu αAM < αAB thì βA = αAM - αAB + 3600). b/ Bố trí:

- Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm B, đọc số trên bàn độ ngang là a (thường đưa số đọc này về “0”); - Quay máy để có số đọc trên bàn độ ngang a + βA, trên hướng này từ A ta bố trí một đoạn thẳng SAM ta sẽ có được điểm M cần bố trí. 8.1.3. Bố trí bằng phương pháp giao hội góc

Hình 8.2. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội góc

a/ Tính số liệu bố trí

Các góc cực βA và βB: + Tính αAB, αAM, αBM, αBA (xem bài toán nghịch trắc địa) + βA = αAM - αAB; + βB = αBA - αBM b/ Bố trí

Sử dụng hai máy kinh vĩ, một máy đặt tại A, lấy hướng về B và một máy đặt tại B lấy hướng về A; lần lượt quay các góc βA và βB. Giao của hai hướng này là điểm M cần bố trí. 8.1.4. Bố trí bằng phương pháp giao hội cạnh

Hình 8.3. Sơ đồ bố trí điểm theo phương pháp giao hội cạnh

a/ Tính số liệu bố trí

Các bán kính cực SAM và SBM:

+ 2 2AM M A M AS = (X - X ) + (Y - Y )

+ 2 2BM M B M BS = (X - X ) + (Y - Y )

b/ Bố trí

Sử dụng hai thước thép, lần lượt tại A và B quay hai đoạn thẳng bằng SAM và SBM, giao của chúng là điểm M cần bố trí. 8.2. Bố trí đường cong tròn 8.2.1. Bố trí các điểm chính của đường cong tròn Các điểm chính của đường cong tròn gồm:

- Điểm tiếp đầu (Đ): Điểm bắt đầu vào đường cong - Điểm tiếp cuối (C): Điểm kết thúc đường cong - Điểm giữa (G): Điểm chính giữa đường cong Yếu tố biết trước:

- Góc ngoặt θ được đo ngoài thực địa ở giai đoạn cắm tuyến - Bán kính đường cong tròn R được chọn tùy theo cấp đường thiết kế và điều kiện địa hình. a/ Tính số liệu bố trí

* Chiều dài tiếp tuyến

βA

A B

M

βB

SAM

A B

M

SBM

12

T = Rtan(θ/2) * Chiều dài phân giác

R

B = GN = ON - R = - Rcos(θ / 2)

* Góc phân giác β/2 = (1800 – θ)/2 b/ Bố trí

Đặt máy tại đỉnh góc ngoặt N, ngắm về hướng chứa tiếp đầu TĐ, trên hướng đó bố trí đoạn thẳng bằng T ta được tiếp đầu TĐ. Lấy hướng NTĐ Làm chuẩn, quay một góc β/2, trên hướng đó bố trí đoạn thẳng bằng B ta được điểm giữa G; tiếp tục quay máy một góc β/2, trên hướng này bố trí đoạn thẳng bằng T ta được điểm tiếp cuối TC. 8.2.2. Bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn bằng phương pháp tọa độ vuông

góc Ba điểm chính chỉ xác định vị trí tổng quát của đường cong tròn, để xác định chính xác hơn ta cần phải bố trí thêm các điểm chi tiết trên đường cong. Khoảng cách k giữa các điểm chi tiết (theo đường cong) phụ thuộc vào bán kính cong tròn R: + k = 5 m khi R ≤ 100 m + k = 10m khi 100 < R ≤ 500 m + k = 20m khi R > 500 m Có nhiều phương pháp bố trí các điểm chi tiết của đường cong tròn, dưới đây sẽ trình bày 3 phương pháp hay sử dụng nhất. 8.2.2.1. Phương pháp tọa độ vuông góc

Phương pháp này lấy phương TĐN là trục X, phương TĐO làm trục Y, gốc tọa độ tại TĐ. a/ Tính số liệu bố trí Tọa độ các điểm P1, P2,… được tính theo các công thức sau: X1 = Rsinφ

Y1= R – Rcosφ = R(1- cosφ) = 2 φRsin2

X2 = Rsin2φ

Y2 = 2 2sin

2R

ϕ

………………… Xn = Rsin(nφ)

Yn = 2 nφRsin

2

trong đó, 0180 k

φ =πR

b/ Bố trí Đặt máy kinh vĩ tại TĐ, ngắm về điểm đỉnh N, trên hướng này bố trí các đoạn thẳng X1, X2, … , sau đó lần lượt chuyển máy đến các điểm X1, X2, … mở các hướng vuông góc với TĐN, tương ứng bố trí các đoạn thẳng Y1, Y2, … ta được các điểm P1, P2… cần bố trí.

P1

P2

P3

O

TÐ

X

Y

X1

X2

X3

Y3Y2Y1

k

k

k

ϕ

2ϕ

3ϕ

TÐG

b

N

T T

O

R

TC

θ

β/2

θ/2 θ/2

13

PHẦN 2. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Tọa độ vuông góc Gauss - Kruger của điểm A là XA = 3451 km; YA = 19.325 km. Hỏi: a/ Điểm A thuộc bán cầu nào và thuộc múi chiếu thứ bao nhiêu? Vì sao? b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, kinh tuyến Đông và kinh tuyến trục của múi chiếu chứa điểm A là bao nhiêu? c/ Điểm A nằm bên phải hay bên trái của kinh tuyến trục và cách kinh tuyến trục và xích đạo bao nhiêu?

Giải: a/ Điểm A nằm ở bán cầu Bắc vì XA > 0 và thuộc múi chiếu thứ 18. b/ Độ kinh của kinh tuyến Tây, Đông và kinh tuyên trục múi chiếu chứa điểm A (múi chiếu thứ 18) là: λTây = 60n - 60 = 60.19 - 60 = 1080 λĐông = 60n = 60.19 = 1140 λtrục = 60n -30 = 60.19 - 30 = 1110 c/ Điểm A nằm bên trái của kinh tuyến trục vì XA < 500 km (trục 0X cách kinh tuyến trục 500 km về phía Tây). Điểm A cách kinh tuyến trục 500 - 325 = 17 5km và cách xích đạo 3451 km (bằng XA). Bài 2: Tìm múi chiếu chứa điểm M, biết độ kinh của điểm M là 95030’?

Giải:

Ta có: 095 30'

6= 15,95 ⇒ Điểm M thuộc múi chiếu 16 (15 < 15,96 < 16).

Bài 3: Cho sơ đồ như hình vẽ:

Biết: αAB = 334025’10” β1 = 220037’20” β2 = 110043’10” β3 = 235028’40” β4 = 72054’50” β5 = 61014’30” Tìm các góc định hướng αBC, αBC, αCD, αDE, αEF, αFG?

Giải: αBC = αAB + β1 - 1800 = 334025’10” + 220037’20” - 1800 = 375002’30” - 3600 = 15002’30”

A B

C

D E

F G

β1

β2

β3

β4

β5

14

αCD = αBC + β2 - 1800 = 15002’30” + 110043’10” - 1800 = -54014’20” + 3600 = 305045’40” αDE = αCD + β3 - 1800 = 305045’40” + 235028’40” - 1800 = 351014’20” αEF = αDE - β4 + 1800 = 351014’20” - 72054’50” + 1800 = 244009’10” αFG = αEF + β5 - 1800 = 244009’10”+ 61014’30” - 1800 = -20026’00” + 3600 = 339034’00” Bài 4: Tìm tọa độ điểm B, biết A(XA = 456,789m; YA = 654,321m), SAB = 78,532m và αBA = 137020’15”?

Giải: αBA = 137020’15” ⇒ αAB = 137020’15” +1800 = 317020’15” XB = XA + SABcosαAB

= 456,789 + 78,532*cos(317020’15”) = 514,538 (m) YB = YA + SABsinαAB = 654,321 + 78,532*sin(317020’15”) = 601,102 (m) Bài 5: Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết: A(XA = 456,789m; YA = 654,321m) B(XB = 345,678m; YB = 789,123m) SBC = 123,456m β = 120046’35” Tìm tọa độ điểm C?

Giải:

* Tính góc định hướng cạnh AB:

0B AAB

B A

Y - Y 789,123- 654,321= arctan = arctan = 50 30'10"

X - X 345,678 - 456,789r

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = 1800 - rAB = 1800 - 50030’10” = 129029’50” * Tính góc định hướng cạnh BC: αBC = αAB - β + 1800 = 129029’50” - 120046’35” + 1800 = 188043’15” * Tính tọa độ điểm C: XC = XB + SBCcosαBC

= 345,678 + 123,456*cos(188043’15”) = 223,649 (m) YC = YB + SBCsinαBC = 789,123 + 123,456*sin(188043’15”) = 770,405 (m) Bài 6: Cho sơ đồ như hình vẽ.Biết: A(XA = 357,834m; YA = 465,302m) B(XB = 225,118m; YB = 383,670m) β1 = 50032’30” β2 = 65018’20” Tìm tọa độ điểm C?

Giải:

* Tính chiều dài AB: 2 2 2 2

AB B A B A= (X - X ) + (Y - Y ) = (225,118 -357,834) + (383,670 - 465,302)S = 155,812 m

A

B

C β

SBC

A β1 β2

B

C

15

* Tính βC: βC = 1800 - β1 - β2 = 1800 - 50032’30” - 65018’20” = 64009’10” * Tính chiều dài AC: Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác:

β β

= ⇒1sin sin

BC AB

C

S S

0ABBC 1 0

C

S 155,812S = ×sinβ = ×sin50 32'30" = 133,673(m)

sinβ sin64 09'10"

* Tính góc định hướng AB và BC:

0B AAB

B A

Y - Y 383,670 - 465,302= arctan = arctan = 31 35'43"

X - X 346,678 - 456,789r

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 1800 + rAB = 1800 + 31035’43” = 211035’43” αBC = αAB + β2 - 1800 = 211035’43” + 65018’20” - 1800 = 96054’03” * Tính tọa độ điểm C: XC = XB + SBCcosαBC

= 225,118 + 133,673*cos(96054’03”) = 209,057 (m) YC = YB + SBCsinαBC = 383,670 + 133,673*sin(96054’03”) = 516,375 (m) Bài 7: Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?

Giải: Chiều dài thực của đoạn thẳng là: Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là: SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm) Hay ta có thể giải:

× =5000162000

cm 40 cm.

Bài 8: Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là 24cm2. Nếu biểu thị khu đất này trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 thì diện tích của nó là bao nhiêu?

Giải: Diện tích thực của khu đất là:

Fth = FBĐ1*2

1M = 24cm2*(2000)2 = 96000000cm2 = 9600m2

Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là:

FBĐ2 = Fth/22M = 96000000/(5000)2 = 3,84 (cm2)

Hay ta có thể giải:

2

2 200024cm × =

5000

3,84 cm2.

Bài 9: Chiều dài đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:5000 là 16cm. Nếu biểu thị trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 thì chiều dài của nó là bao nhiêu?

Giải:

16

Chiều dài thực của đoạn thẳng là: Sth= SBĐ1*M1 = 16cm*5000 = 80000 cm =800m Chiều dài của đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1:2000 là: SBĐ2 = Sth/M2 = 80000/2000 = 40 (cm) Hay ta có thể giải:

5000

16cm× =2000

40 cm.

Bài 10: Diện tích của khu đất là 1,5km2. Diện tích này sẽ bằng bao nhiêu cm2 trên bản đồ tỷ lệ 1:5000?

Giải: Diện tích khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:5000: Fbđ = Sth/M

2 = 1,5km2/(5000)2 = 150000000000cm2/(5000)2 = 600cm2. Bài 11: Diện tích của khu đất là 350m2, khi thể hiện trên bản đồ là 14cm2. Tìm tỷ lệ của bản đồ?

Giải: Mẫu số tỷ lệ bản đồ là:

th

b

S 3500000M = =

S 14ñ

= 500

Tỷ lệ bản đồ này là 1:500 Bài 12: Trên bản bồ tỷ lệ 1:500, độ cao hai điểm A và B là HA = 12,53m và HB = 16,34m; khoảng cách AB là 25mm. Tìm độ dốc AB?

Giải: Độ dốc AB là:

B AAB

b

H - H 16,34 -12,53i = tanα = ×100% = ×100%

S ×M 0,025×500ñ

= +30,5%

Bài 13: Diện tích khu đất hình vuông là 225m2. Tìm chu vi của khu đất này trên bản đồ tỷ 1:500?

Giải: Diện tích của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500: Fbđ = Fth/M

2 = 2250000cm2/(500)2 = 9cm2

Chu vi của khu đất trên bản đồ tỷ lệ 1:500:

P = 4 9 = 12cm. Bài 14: Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,34m và HB = 17,02m. Biết khoảng cao đều của bản đồ là 0,5m. Hỏi có bao nhiêu đường đồng mức cái và bao nhiêu đường đồng mức con đi qua giữa 2 điểm A và B?

Giải: Khoảng cao đều h = 0,5m, nên các đường đồng mức cái sẽ là bội số của 5h = 2,5m. Vậy đường đồng mức cái đi qua giữa A và B có 3 đường là: 17,5m, 20m và

A

B

α

17

22,5m. Các đường đồng mức con sẽ là bội số của h = 0,5m (trừ các đường đồng mức cái) gồm có 8 đường là: 18m; 18,5m; 19m; 19,5m; 20,5m; 21m; 21,5m; 22m. Bài 15: Có 5 đường đồng mức đi qua giữa 2 điểm A và B. Biết khoảng cao đều của bản đồ là 2m. Hỏi chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là bao nhiêu?

Giải: Chênh cao tối thiểu giữa 2 điểm A và B là: hmin = (5 - 1)*h = (5 - 1)*2 = 8 (m). Bài 16: Độ cao 2 điểm A và B là HA = 22,01m và HB = 25,32m. Biết các khoảng cách AM = 5cm, MB = 7cm, AB = 12cm. Tìm độ cao điểm M được nội suy từ 2 điểm A và B?

Giải: M AH = H + x

M A B A

AMH = H + (H - H )

AB

M

5H = 22,01+ (25,32 - 22,01)

12 = 23,39 (m)

Bài 17: Tính diện tích tứ giác ABCD, biết tọa độ A(XA = 79,71m; YA = 58,76m), B(XB = 104,36m; YB = 82,43m), C(XC = 90,82m; YC = 142,32m), D(XD = 65,56m; YD = 95,38m)?

Giải: 2F = XA(YB - YD) + XB(YC - YA) +XC(YD - YB) +XD(YA - YC) = 79,71(82,43 - 95,38) + 104,36(142,32 - 58,76) +90,82(95,38 - 82,43) + 65,56(58,76 - 142,32) = 1693,00 (m2). Bài 18: Đo góc β 6 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 50014’30”; 50014’50”; 50015’20”; 50015’10”; 50014’40”; 50015’50”. Biết giá trị thực của β là 50015’00”. Yêu cầu: a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên? b/ Tìm sai số trung phương (SSTP) một lần đo các kết quả trên? c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?

Giải: a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung bình cộng của các kết quả đo trên:

0 0 0 0 0 0

0

50 14'30"+ 50 14'50"+ 50 15'20"+ 50 15'10"+ 50 14'40"+ 50 15'50"X =

6 = 50015’03”

b/SSTP một lần đo các kết quả trên Các sai số thực: ∆1 = x1 - X = 50014’30” - 50015’00” = -30” ∆2 = x2 - X = 50014’50” - 50015’00” = -10” ∆3 = x3 - X = 50015’20” - 50015’00” = +20”

A B

x

M

18

∆4 = x4 - X = 50015’10” - 50015’00” = +10” ∆5 = x5 - X = 50014’40” - 50015’00” = -20” ∆6 = x6 - X = 50015’50” - 50015’00” = +50” Sử dụng công thức Gauss tính SSTP:

n2

2 2 2 2 2 2ii=1

∆(-30) + (-10) + (+20) + (+10) + (-20) + (+50)

=n 6

m = ∑

= 27,1”

c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên

m 27,1"

M = =n 6

= 11,1”

Bài 19: Đo đoạn thẳng AB 7 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 210,33m; 210,43m; 210,35m; 210,36m; 210,37m; 210,48m; 210,34m. Yêu cầu: a/ Tìm trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên? b/ Tìm SSTP và SSTP tương đối một lần đo các kết quả trên? c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên?

Giải: a/Trị xác xuất nhất của các kết quả đo trên Vì các kết quả đo cùng độ chính xác, nên trị trị xác suất nhất chính là trị trung bình cộng của các kết quả đo trên:

0

210,33 + 210,43 + 210,35 + 210,36 + 210,37 + 210,48 + 210,34X =

7 = 210,38 (m)

b/SSTP một lần đo các kết quả trên Các sai số xác suất nhất: V1 = x1 - X0 = 210,33 - 210,38 = -5 (cm) V2 = x2 - X0 = 210,43 - 210,38 = +5 (cm) V3 = x3 - X0 = 210,35 - 210,38 = -3 (cm) V4 = x4 - X0 = 210,36 - 210,38 = -2 (cm) V5 = x5 - X0 = 210,37 - 210,38 = -1 (cm) V6 = x6 - X0 = 210,48 - 210,38 = +10 (cm) V7 = x7 - X0 = 210,34 - 210,38 = -4 (cm) Sử dụng công thức Bessel tính SSTP:

n2

2 2 2 2 2 2 2ii=1

V(-5) + (+5) + (-3) + (-2) + (-1) + (+10) + (-4)

=n -1 7 -1

m = ∑

= 5,5 (cm)

SSTP tương đối một lần đo:

0

1 m 5,5 1= = =

T X 21038 3841

c/ SSTP trị xác suất nhất của các kết quả đo trên

m 5,5

M = =n 7

= 2,1 (cm)

19

Bài 20: Tổ 1 đo đoạn thẳng AB 5 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 20,54m; 20,56m; 20,52m; 50,58m; 50,57m. Tổ 2 đo đoạn thẳng CD 5 lần, cùng độ chính xác, các kết quả như sau: 300,74m; 300,70m; 300,79m; 300,68m; 300,65m. Hỏi tổ nào đo tốt hơn?

Giải: Tương tự cách tính bài 19, ta tính được: - SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng AB:

m1 = 2,4 (cm) và =1

1 1839T

- SSTP và SSTP tương đối một lần đo đoạn thẳng CD:

m1 = 5,5 (cm) và =2

1 15513T

Ta thấy 2 1

1 1<

T T⇒ Tổ 2 đo tốt hơn (chính xác hơn).

Bài 21: Đo đoạn thẳng AB 16 lần, cùng độ chính xác. Biết rằng SSTP một lần đo là 24mm. Tìm SSTP trị xác suất nhất?

Giải: Áp dụng công thức 3.9, ta có:

m 24

M = =n 16

= 6 (mm)

Bài 22: SSTP trị trung bình cộng của 9 lần đo là ±24mm. Biết rằng các kết quả đo cùng độ chính xác. Tìm SSTP một lần đo?

Giải: Từ công thức tính SSTP trị trung bình cộng (3.9), ta có:

m

M = m = M n = 24 9n

⇒ = 72 (mm)

Bài 23: Sử dụng máy đo có SSTP đo góc là ±30”, đo góc A và B của tam giác ABC. Tìm SSTP xác định góc C và SSTP đo tổng 3 góc của tam giác ABC?

Giải: Theo đề bài, ta có: mA = mB = ±30” Mặt khác, ta có công thức tính góc C: C = 1800 - A - B. Áp dụng công thức tính SSTP của hàm (công thức 3.8) ta có:

( ) ( )2 2

2 22 2 2 2C A B A B

C Cm = m + m = -1 m + -1 m

A B

∂ ∂

∂ ∂

( ) ( )2 22 2

Cm = -1 30 + -1 30 = 30" 2 = 42,4”

Tổng 3 góc trong một tam giác:

20

T = A + B + C. Áp dụng công thức 3.8:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2T A B C A B C

T T Tm = m + m + m = 1 m +1 m +1 m

A B C

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

2 2 2Tm = 30 + 30 + 2.30 = 60”

Bài 24: Tìm SSTP đo một góc của lục giác? Biết rằng SSTP của tổng các góc trong lục giác này là ±60” và các góc này được đo cùng điều kiện.

Giải: Tổng các góc trong lục giác: T = β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6. Áp dụng công thức 3.8:

2 2 2 2 2 2T 1 2 3 4 5 6

m = m + m + m + m + m + m

Vì các góc đo cùng điều kiện nên m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m. Suy ra:

Tm = m 6 = 60” Tm 60"

Þ m = =6 6

= 24,5”

Bài 25: Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/1000; góc A được đo với SSTP 40”. Các kết quả đo như sau: AB = c = 50,34m; AC = b = 65,23m và A = 46015’00”. Tìm SSTP và SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?

Giải: Ta có:

bb

m 1 1 b= = m =

b T 1000 1000⇒ = 65mm

cc

m 1 1 c= = m =

c T 1000 1000⇒ = 50mm

Diện tích: F = 1/2bcSinA. Áp dụng công thức 3.8:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2A AF b c b c2 2

m mF F F 1m = m + m + = csinA m + bsinA m + bc

b c A 2ρ ρ

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )22 2 20 2 0 2

F 2

1 40m = 50,34sin46 15'00" 0,05 + 65,23sin46 15'00" 0,065 + 65,23.50,34

2 206265 mF = 1,809 (m2) Bài 26: Các cạnh AB và AC tam giác ABC được đo với SSTP tương đối 1/2000; góc A = 300 và mA = 40”. Tìm SSTP tương đối xác định diện tích của tam giác này?

Giải: Diện tích: F = 1/2bcSinA

2 2 2 2

2 2 AF b c 2

mF F Fm = m + m +

b c A ρ

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

21

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 AF b c 2

m1m = csinA m + bsinA m + bc

2 ρ

2 2 2b cF F A2 2 2 2

m mm 2m m= = + +

F bcsinA b c ρ sin A

2 2 2

F2 2 0

m 1 1 40 1= 2 + + =

F 2000 2000 1240206265 sin 30

Bài 27: Đo chiều dài các cạnh hình vuông với SSTP tương đối là 1/2000. Tìm SSTP tương đối đo chu vi hình vuông đó?.

Giải: Chu vi hình vuông: P = a + b + c + d

2 2 2 2 2P a b c dm = m + m + m + m⇒

Mặt khác:

a b c dm m m m 1

= = = =a b c d T

Vì a = b = c = d = x nên ma = mb = mc = md = mx = x

T

22 2 2

2 PP 2 2 2 2 2 2 2

m4x 4x 4x 1m = = = =

T P T P T (4x) 4T⇒ ⇒

Pm 1 1 1

= = =P 4000T 4 2000 4

⇒

Bài 28: Cho biết S = 135,340m và mS = ±5mm; α = 215035’20” và mα = ±50”. Tìm SSTP số gia tọa độ ∆X và ∆Y?

Giải: Ta có: ∆X = Scosα, suy ra:

( )2

2 2 2 α∆X S 2

mm = cosα m + (-Ssinα)

ρ

( )22

0 2 0 2∆X 2

50m = cos215 35'20" 0,005 + (-135,34sin215 35'20")

206265 = 0,020 (m)

Ta có: ∆Y = Ssinα, suy ra:

( )2

2 2 2 α∆Y S 2

mm = sinα m + (Scosα)

ρ

( )22

0 2 0 2∆Y 2

50m = sin215 35'20" 0,005 + (135,34cos215 35'20")

206265 = 0,027 (m)

Bài 29: Đo 1 cạnh của hình vuông 5 lần cùng độ chính xác được các kết quả: 50,11m; 50,12m; 50,08m; 50,09m; 30,10m. Tính SSTP tương đối của chu vi và diện tích hình

22

vuông? Giải:

Vì các kết quả đo cùng độ chính xác nên trị xác suất nhất:

0

500,11+ 50,12 + 50,08 + 50,09 + 50,10X =

5 = 50,10 (m)

Các sai số xác suất nhất: V1 = x1 - X0 = 50,11 - 50,10 = +1 (cm) V2 = x2 - X0 = 50,12 - 50,10 = +2 (cm) V3 = x3 - X0 = 50,08 - 50,10 = -2 (cm) V4 = x4 - X0 = 50,09 - 50,10 = -1 (cm) V5 = x5 - X0 = 50,10 - 50,10 = +0 (cm) Sử dụng công thức Bessel tính SSTP một lần đo:

n2

2 2 2 2 2ii=1

V(+1) + (+2) + (-2) + (-1) + (+0)

=n -1 5 -1

m = ∑

= 1,6 (cm)

Sai số trung phương trị xác suất nhất:

m 1,6

M = =n 5

= 0,7 (cm)

Vậy, ta có: chiều dài cạnh hình vuông a = 50,10m với ma = ±0,7cm Chu vi hình vuông:

P = 4a 2 2P a a

m = 4 m = 4mÞ

a aP4m mm 0,7 1

= = = =P 4a a 5010 7157

Þ

Diện tích hình vuông:

F = a2 2 2F a a

m = (2a) m = 2a.mÞ

a aF2

2a.m 2mm 2.0,7 1= = = =

F a 5010 3579aÞ

Bài 30: Trong tam giác ABC, góc A được đo 5 lần, góc B đo 6 lần, góc C đo 7 lần và các lần đo cùng điều kiện. Tìm trọng số của các góc A, B và C?

Giải: Gọi µ là SSTP một lần đo góc. Áp dụng công thức (3.9), ta có SSTP các góc A, B và C:

A

µm =

5;

B

µm =

6;

C

µm =

7

Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:

2 2

A 2 2A

µ µP = = = 5

m µ5

; 2 2

B 2 2B

µ µP = = = 6

m µ6

; 2 2

C 2 2C

µ µP = = = 7

m µ7

23

Bài 31: Góc β được đo 6 lần không cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:

STT β SSTP 1 2 3 4 5 6

123020’55” 123020’22” 123020’47” 123020’50” 123020’30” 123020’40”

15” 10” 20” 15” 10” 5”

Tìm trị đo xác suất nhất và SSTP của nó? Giải:

Gọi µ là SSTP của góc đo lần 3. Ta có: µ = 20”. Khi đó, trọng số của các lần đo là (áp dụng công thức 3.11) :

2 2

1 2 21

µ 20P = =

m 15 = 1,78

2 2

2 2 22

µ 20P = =

m 10 = 4,00

2 2

3 2 23

µ 20P = =

m 20 = 1,00

2 2

4 2 24

µ 20P = =

m 15 = 1,78

2 2

5 2 25

µ 20P = =

m 10 = 4,00

2 2

6 2 26

µ 20P = =

m 5 = 16,00

Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)

0 0 0

i i0

i

P x 1,78.123 20'45"+ 4,00.123 20'34"+...+16,00.123 20'40"X = =

P 1,78 + 4,00 +1,00 +1,78 + 4,00 +16,00∑∑

X0 = 123020’38” Các sai số xác suất nhất: V1 = x1 - X0 = 123020’55” - 123020’40” = +17” V2 = x2 - X0 = 123020’22” - 123020’40” = -16” V3 = x3 - X0 = 123020’47” - 123020’40” = +9” V4 = x4 - X0 = 123020’50” - 123020’40” = +12” V5 = x5 - X0 = 123020’30” - 123020’40” = -8” V6 = x6 - X0 = 123020’40” - 123020’40” = +2 Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):

n2

2 2 2 2 2 2i ii=1

V P(+17) .1,78 + (-16) .4 + (+9) .1+ (+12) .1,78 + (-8) .4 + (+2) .16

µ = =n -1 6 -1

∑

24

µ = 21” SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.17):

0

nX

ii=1

µ µ 21"M = = =

P 1,78 + 4,00 +1,00 +1,78 + 4,00 +16,00P∑

= 3,9”

Bài 32: Đoạn thẳng S được đo 100 lần cùng độ chính xác, kết quả cho ở bảng:

STT S (m) Số lần đo 1 2 3

250,45 250,55 250,40

10 50 40

Yêu cầu: a/ Tìm trị đo xác suất nhất? b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất? c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất?

Giải: Gọi µ là SSTP của một lần đo. Sai số trung phương kết quả đo thứ 1, 2 và 3 (áp dụng công thức 3.9) là:

1

µm =

10;

2

µm =

50;

3

µm =

40

Áp dụng công thức (3.11) tính trọng số:

2 2

1 2 21

µ µP = = = 10

m µ10

; 2 2

2 2 22

µ µP = = = 50

m µ50

; 2 2

2 2

µ µP = = = 40

m µ40

33

a/ Trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.4)

i i0

i

P x 10.250,45 + 50.250,55 + 40.250, 40X = =

P 10 + 50 + 40∑∑

= 250,48 (m)

X0 = 123020’38” Các sai số xác suất nhất: V1 = x1 - X0 = 250,45 - 250,48 = -3 (cm) V2 = x2 - X0 = 250,55 - 250,48 = +7 (cm) V3 = x3 - X0 = 250,40 - 250,48 = -8 (cm) Sai số trung phương đơn vị trọng số (áp dụng công thức 3.13):

n2

2 2 2i ii=1

V P(-3) .10 + (+7) .50 + (-8) .40

µ = =n -1 3-1

∑= 51 (cm)

b/ Tìm SSTP kết quả đo thứ nhất: m1

SSTP kết quả đo thứ nhất (áp dụng công thức 3.13):

1

1

µ 51m = =

P 10 = 16 (cm)

25

c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất (áp dụng công thức 3.13):

n

ii=1

µ 51M = =

10 + 50 + 40P∑

= 5,1 (cm)

0

nX

ii=1

µ µ 21"M = = =

P 1,78 + 4,00 +1,00 +1,78 + 4,00 +16,00P∑

= 3,9”

Bài 33: Đo góc AOB bằng phương pháp đo đơn giản. Đặt máy kinh vĩ tại O, lần lượt ngắm A và B, đọc số trên bàn độ ngang: a1 = 129047’15”; b1 = 215011’35”. Đảo kính, lần lượt ngắm B và A đọc số trên bàn độ ngang:b2 = 35012’10”; a2 = 309047’20”. Yêu cầu: a/ Tính góc bằng của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo? b/ Cho biết SSTP mỗi lần ngắm mục tiêu và đọc số là ±20” (bỏ qua các nguồn sai số khác), tính SSTP của các nửa lần đo thuận, nửa lần đo đảo và của một lần đo?

Giải: a/ Góc bằng β - Góc bằng của nửa lần đo thuận kính: β1 = b1 - a1 = 215011’35” - 129047’15” = 85024’20” - Góc bằng của nửa lần đo đảo kính: β2 = b2 - a2 = 35012’10” - 309047’20” = -274035’10” + 3600 = 85024’50” - Góc bằng của nửa lần đo thuận kính: β = 1/2.(β1 - β1) = 1/2.(85024’20” - 85024’50”) = 85024’35” b/ SSTP đo góc bằng β Theo đề bài ta có: ma1 = ma2 = mb1 = mb2 = ±20” - SSTP nửa lần đo thuận kính: Ta có: β1 = b1 - a1

2 2 2 2 2 2 2 2β1 b1 a1

m = 1 m + (-1) m = 1 20 + (-1) 20 = 20" 2 = 28,3”

- SSTP nửa lần đo đảo kính : Tương tự như nửa lần đo thuận: mβ2 = 28,3” - SSTP một lần đo :

Ta có: 1 2

1 1β = β + β

2 2

( ) ( )2 2 2 2

2 22 2

β β1 β2

1 1 1 1m = m + m = 20" 2 + 20" 2

2 2 2 2

= 20”

Bài 34: Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia gồm chỉ trên t = 1857mm, chỉ dưới d = 1035mm; góc đứng V = 3015’20”. Biết rằng SSTP đọc số trên mia ±1mm, mV = ±60” và mK = 0,2 (bỏ qua các sai số khác). Yêu cầu: a/ Tính chiều dài AB?

26

b/ Tính SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB? Giải:

a/ Chiều dài AB: n = t - d = 1857mm - 1035mm = 822mm = 82,2cm ⇒ Kn = 82,2m. SAB = Kncos2V = 82,2.cos2(3015’20”) = 84,94 (m) b/ SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB: Theo đề bài: mt = md = ±1mm

n = t - d 2 2 2 2n t d

Þ m = 1 m + (-1) m = 2 (mm)

S = Kncos2V

2 2 2 2

2 2 VS K n 2

mS S Sm = m + m +

K n V ρ

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 VS K n 2

mm = ncos V m + Kcos V m + -2KncosVsinV

ρ

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 VS K n 2

mm = ncos V m + Kcos V m + -Knsin2V

ρ

( ) ( ) ( ) ( )222 2 2

2 0 2 2 0 0S 2

60m = 822.cos 3 15'20" 0,2 + 100.cos 3 15'20" 2 + -100.822.sin6 30'40"

206265 mS = 220 (mm)

Sm1 0, 22 1

= = =T S 84,94 372

Bài 35: Đặt máy thủy chuẩn tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia gồm chỉ trên t = 2452mm, chỉ dưới d = 1873mm. Biết rằng SSTP đọc số trên mia ±0,7mm ((bỏ qua các sai số khác). a/ Tính chiều dài AB? b/ Tính SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB?

Giải: a/ Chiều dài AB: n = t - d = 2452mm - 1873mm = 579mm = 57,9cm. SAB = Kn = 57,9m. b/ SSTP và SSTP tương đối đo chiều dài AB: Theo đề bài: mt = md = ±1mm

n = t - d 2 2 2 2n t dÞ m = 1 m + (-1) m = 0,7 2 = 1 (mm)

S = Kn

2

2 2 2S n n

Sm = m = K m

n

∂

∂ = K.mn = 100.1 = 100mm

mS = 100. cos2 0,22 (m)

Sm1 100 1

= = =T S 57900 579

27

Bài 36: Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia B. Số liệu đo được như sau: Số đọc trên mia gồm chỉ trên t = 1752mm, chỉ dưới d = 1360mm. Yêu cầu: a/ Tìm chiều dài AB để góc đứng V = 0? b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chiều dài AB?

Giải: a/ Chiều dài AB: n = t - d = 1752mm - 1360mm = 392mm = 39,2cm. SAB = Kncos2V Khi V = 0 ⇒ cosV = 1 ⇒ SAB = Kn = 39,2m b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chiều dài AB: Ta có: SAB = Kncos2V Vì 0 < cos2V ≤ 1 ⇒ 0 < Kncos2V ≤ Kn = 39,2m ⇒ 0 < SAB ≤ 39,2m Bài 37: Đặt máy giữa A và B, ngắm mia tại A đọc số a = 1635mm, ngắm mia tại B đọc số b = 1872mm. Biết rằng SSTP đọc số trên mia là ±0,8mm (bỏ qua các sai số khác). Yêu cầu: a/ Tính chênh cao hAB? b/ Biết HA = 26,453m. Tìm HB? c/ Tìm SSTP hAB? d/ Tìm SSTP HB biết SSTP HA là mHA = ±2mm.

Giải: a/ Chênh cao hAB: hAB = a - b = 1635 - 1872 = -237 (mm) hAB = -0,237m b/ Tìm HB: * Cách 1:

hAB = HB - HA ⇒ HB = HA + hAB = 26,453 - 0,237 = 26,216 (m) * Cách 2:

HB + b = HA + a ⇒ HB = HA + a - b = 26,453 - 1,635 - 1,872 = 26,216 (m) c/ Tìm SSTP hAB? hAB = a - b

AB

2 2 2 2 2 2 2 2h a b

m = 1 m + (-1) m = 1 .0,8 + (-1) .0,8 = 0,8 2⇒ = 1,1mm.

D/ Tìm SSTP HB? HB = HA + hAB

( )B A AB

22 2 2 2 2 2 2

H H hm = 1 m +1 m = 1 . 0,8 2 +1 .2 = 5,28⇒ = 2,3 (mm)

Bài 38: Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Số đọc trên mia gồm chỉ trên t = 2182mm, chỉ giữa g = 1931mm, chỉ dưới d = 1680mm; góc đứng V = -2030’15”; chiều cao máy i = 1,435m. Biết rằng SSTP đọc số trên mia là ±1mm, mV = ±40”, mi =

28

±3mm (bỏ qua các sai số khác). Yêu cầu: a/ Tính chiều dài AB và chênh cao hAB? b/ Biết HA = -2,348m, tính HB? c/ Tính độ dốc giữa hai điểm A và B? d/ Tính SSTP đo chiều dài AB và hAB? e/ Biết SSTP HA là mHA = ±3mm. Tính SSTP HB?

Giải: a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB: n = t - d = 2182mm - 1680mm = 502mm = 50,2cm. SAB = Kncos2V = 50,2.cos2(-2030’15”) = 50,10 (m) hAB = 1/2.Kn.sin2V + i - g hAB = 1/2.50,2.sin(-5000’30”) + 1,435 - 1,931 = -2,687 (m) b/ Tính HB: HB = HA + hAB = -2,348 -2,687 = -5,035 (m) c/ Tính iAB?

B A ABAB

AB AB

H - H h -2,678i = ×100% = ×100% = ×100%

S S 50,10 = 5,3%

d/ Tính SSTP đo chiều dài AB và chênh cao hAB? Theo đề bài: mt = mg = md = ±1mm

n = t - d 2 2 2 2n t d

m = 1 m + (-1) m = 2⇒ (mm)

S = Kncos2V (mK = 0 nên ta xem K là hằng số)

2 2 2

2 VS n 2

mS Sm = m +

n V ρ

∂ ∂

∂ ∂

( ) ( )2

2 22 2 VS n 2

mm = Kcos V m + -2KncosVsinV

ρ

( ) ( )2

2 22 2 VS n 2

mm = Kcos V m + -Knsin2V

ρ

( ) ( ) ( )222 2

2 0 0S 2

40m = 100.cos (-2 30'15") 2 + -100.502.sin(-5 00'30")

206265

mS = 170 (mm) h = 1/2.Kn.sin2V + i - g

2 2 2 22

2 2 2Vh n i g2

mh S h hm = m + + m + m

n V i gρ

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

( )2 2

22 2 2 2 2Vh n i g2

m1m = Ksin2V m + Kncos2V +1 m + (-1) m

2 ρ

( ) ( )2 22 2

0 0 2 2h 2

1 40m = .100.sin(-5 00'30") 2 + 100.502.cos(-5 00'30") + 3 +1

2 206265

29

mh = 13mm e/ Tính SSTP HB? HB = HA + hAB

B A AB

2 2 2 2 2 2H H hm = 1 m +1 m = 13 + 3⇒ = 13,3 (mm)

Bài 39: Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Số đọc trên mia gồm chỉ trên t = 2615mm, chỉ giữa g = 2148mm, chỉ dưới d = 1681mm; góc đứng V = 2020’00”. Biết HA = 3,452m và HB = 6,603m. Tìm chiều cao đặt máy?

Giải: n = t - d = 2615mm - 1681mm = 934mm = 93,4cm.⇒ Kn = 93,4m. hAB = 1/2.Kn.sin2V + i - g HB - HA = 1/2.Kn.sin2V + i - g ⇒ i = 1/2.Kn.sin2V - g - (HB - HA) i = 1/2.93,4.sin4040’00” - 2,148 - (6,603 – 3,452) = 1,500 (m) Bài 40: Đặt máy kinh vĩ tại A ngắm mia B. Số liệu đo được: Chiều cao máy i = 1,521m; Kn = 46,7m; số đọc chỉ giữa g = 1,524mm, góc đứng V = 20. Biết các SSTP như sau: mn = ±2mm, mg = ±1mm, mV = ±60”, mi = ±3mm, mK = 0,3 (bỏ qua các sai số khác). Yêu cầu: a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB? b/ Tính SSTT đo chiều dài và chênh cao trên?

Giải: a/ Tính chiều dài SAB và chênh cao hAB: SAB = Kncos2V = 46,7.cos2(2000’00”) = 46,64 (m) hAB = 1/2.Kn.sin2V + i - g hAB = 1/2.46,7.sin(4000’00”) + 1,521 - 1,524 = 1,626 (m) b/ Tính SSTP đo chiều dài AB và chênh cao hAB? S = Kncos2V (mK = 0 nên ta xem K là hằng số)

2 2 2 2

2 2 VS K n 2

mS S Sm = m + m +

K n V ρ

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 VS K n 2

mm = ncos V m + Kcos V m + -2KncosVsinV

ρ

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 VS K n 2

mm = ncos V m + Kcos V m + -Knsin2V

ρ

( ) ( ) ( )22 2 2

2 0 2 2 0 2 0S 2

60m = 467cos 2 0,3 + 100.cos 2 2 + -46700.sin(4 00'00")

206265

mS = 200 (mm) h = 1/2.Kn.sin2V + i - g

2 2 2 2 22

2 2 2 2Vh K n i g2

mh h S h hm = m + m + + m + m

K n V i gρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

30

( )2 2 2

22 2 2 2 2 2Vh K n i g2

m1 1m = nsin2V m + Ksin2V m + Kncos2V +1 m + (-1) m

2 2 ρ

( )2 2 22

0 2 0 2 0 2 2h 2

1 1 60m = .467.sin4 0,3 + .100.sin4 2 + 100.467.cos4 + 3 +1

2 2 206265

mh = 16 (mm). Bài 41: Tính tọa độ các điểm của đường chuyền treo sau:

A

B =1

2

3

4

570,345 m 60,320 m120,113 m

95,543 m120045'20"

95044'30"

150033'10"

140017'00"

Biết: A(XA = 564,120m; YA = 562,115m), B(XB = 604,543m; YB = 467,987m)

Giải: B1. Tính góc định hướng αAB

0B AAB

B A

Y - Y 467,987 -562,115= arctan = arctan = 66 45'33"

X - X 604,543-564,120r

Vì ∆XAB > 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 3600 - rAB = 1800 - 66045’33” = 293014’27” B2. Tính góc định hướng các cạnh

α12 = αAB + β1 - 1800 = 293014’27” + 120045’20” - 1800 = 233059’47” α23 = α12 + β2 - 1800 = 233059’47” + 95044’30” - 1800 = 149044’17” α34 = α23 + β3 - 1800 = 149044’17” + 150033’10” - 1800 = 120017’27” α45 = α34 + β4 - 1800 = 120017’27” + 140017’00” - 1800 = 80034’27” B3. Tính các số gia tọa độ

∆X12 = S12cosα12 = 70,345.cos(233059’47””) = -41,351 (m) ∆Y12 = S12sinα12 = 70,345.sin(233059’47”) = -56,908 (m) ∆X23 = S23cosα23 = 60,320.cos(149044’17”) = -52,100 (m) ∆Y23 = S23sinα23 = 60,320.sin(149044’17”) = +30,399 (m) ∆X34 = S34cosα34 = 95,543.cos(120017’27”) = -48,191 (m) ∆Y34 = S34sinα34 = 95,543.sin(120017’27”) = +82,499 (m) ∆X45 = S45cosα45 = 120,113.cos(80034’27”) = +19,671 (m) ∆Y45 = S45sinα45 = 120,113.sin(80034’27”) = +118,491 (m) B4. Tính tọa độ các điểm

X2 = XB + ∆X12 = 563,192 (m) Y2 = YB + ∆Y12 = 411,079 (m) X3 = X2 + ∆X23 = 511,091 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23 = 441,478 (m) X4 = X3 + ∆X34 = 462,901 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34 = 523,977 (m) X5 = X4 + ∆X45 = 482,572 (m) Y5 = Y4 + ∆Y45 = 642,468 (m)

31

Bài 42: Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ sau:

A

B =1

2

3

4

C = 5

D

76,368 m 61,016 m 68,999 m95,631 m124000'41"

207049'58"

148047'33"

244020'48"

109053'14"

Biết: A(XA = 995,442m; YA = 552,094m), B(XB = 700,000m; YB = 500,000m) C(XC = 460,045m; YC = 628,576m), D(XD = 331,686m; YD = 812,574m)

Giải: B1. Tính sai số khép góc:

0B AAB

B A

Y - Y 500,000 -552,094= arctan = arctan = 10 00'00"

X - X 700,000 -995,442r

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB < 0 ⇒ αAB = 1800 + rAB = 1800 + 10000’00” = 190000’00”

0D CCD

D C

Y - Y 812,574 - 628,576= arctan = arctan = 55 06'00"

X - X 331,686 - 460,045r

Vì ∆XAB < 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = 1800 - rAB = 1800 + 55006’00” = 124054’00” fβ = (αAB + β1 + β2 +β3 +β4 +β5 - 5.1800) - αCD = -106”

fβgh = =60" 60" 5n = 134” fβ < fβgh ⇒Thỏa B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng:

β

βi

f -106"V = - = -

n 5≈ +21”

Vβ1 = 21” Vβ2 = 21” Vβ3 = 21” Vβ4 = 21” Vβ5 = 22”

Lưu ý: =∑ βV Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 +Vβ5 = -fβ = 106”


β1’ = β1 + Vβ1 = 124000’41” + 21” = 124001’02”

β2’ = β2 + Vβ2 = 207049’58” + 21” = 207050’19”

β3’ = β3 + Vβ3 = 148047’33” + 21” = 148047’54”

β4’ = β4 + Vβ4 = 244020’48” + 21” = 124021’09”

β5’ = β5 + Vβ5 = 109053’14” + 22” = 109053’36”


α12 = αAB + β1’ - 1800 = 134001’02”

α23 = α12 + β2’ - 1800 = 161051’21”

α34 = α23 + β3’ - 1800 = 130039’15”

α45 = α34 + β4’ - 1800 = 195000’24”

32

Kiểm tra: αCD = α45 + β5’ - 1800 = 124054’00” (đúng)

B5. Tính các số gia tọa độ

∆X12 = S12cosα12 = 76,368.cos(134001’02”) = -53,066 (m) ∆Y12 = S12sinα12 = 76,368.sin(134001’02”) = +54,919 (m) ∆X23 = S23cosα23 = 61,016.cos(161051’21”) = -57,982 (m) ∆Y23 = S23sinα23 = 61,016.sin(161051’21”) = +19,001 (m) ∆X34 = S34cosα34 = 95,631.cos(130039’15”) = -62,303 (m) ∆Y34 = S34sinα34 = 95,631.sin(130039’15”) = +72,551 (m) ∆X45 = S45cosα45 = 68,999.cos(195000’24”) = -66,646 (m) ∆Y45 = S45sinα45 = 68,999.sin(195000’24”) = -17,866 (m) B6. Tính sai số khép tọa độ

fX = (∆X12 + ∆X23 + ∆X34 + ∆X45) - (XC - XB) = -0,042m fY = (∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 + ∆Y45) - (YC - YB) = +0,029m

2 2S X Y

f = f + f = 0,051 (m)

Sf 0,051 0,051 1

= = =S 76,368 + 61,016 + 95,631+ 68,999 302,014 5922∑

Sf 1

<S 2000

⇒∑

Thỏa.


12

X∆X 12

f -0,042V = - S = - ×76,368

S 302,014∑ = +0,011 (m)

23

X∆X 23

f -0,042V = - S = - ×61,016

S 302,014∑= +0,008 (m)

34

X∆X 34

f -0,042V = - S = - ×95,631

S 302,014∑= +0,013 (m)

45

X∆X 45

f -0,042V = - S = - ×68,999

S 302,014∑= +0,010 (m)

12

Y∆Y 12

f +0,029V = - S = - ×76,368

S 302,014∑ = -0,007 (m)

23

Y∆Y 23

f +0,029V = - S = - ×61,016

S 302,014∑= -0,006 (m)

34

Y∆Y 34

f +0,029V = - S = - ×95,631

S 302,014∑= -0,009 (m)

45

Y∆Y 45

f +0,029V = - S = - ×68,999

S 302,014∑= -0,007 (m)

Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X XV = V + V + V + V = -f∑ = 0,042m

12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y Y

V = V + V + V + V = -f∑ = -0,029m

33


∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12XV = -53,055 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 +

∆ 12YV = +54,912 (m)

∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23XV = -57,974 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 +

∆ 23YV = +18,995 (m)

∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34XV = -62,290 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 +

∆ 34YV = +72,542 (m)

∆X45’ = ∆X45 + ∆ 45XV = -66,636 (m); ∆Y45’ = ∆Y45 +

∆ 45YV = -17,873 (m)


X2 = XB + ∆X12’ = 646,945 (m) Y2 = YB + ∆Y12’ = 554,912 (m) X3 = X2 + ∆X23’ = 588,971 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 573,907 (m) X4 = X3 + ∆X34’ = 526,681 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 646,449 (m) Kiểm tra: XC = X4 + ∆X45’ = 526,681 - 66,636 = 460,045 (m) (đúng) YC = Y4 + ∆Y45’ = 646,449 - 17,873 = 628,576 (m) (đúng) Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:

fβ = -106” (thỏa) fX = -0,042m fS = 0,051m

fβgh = ±134” fY = +0,029m Sf 1

=S 5922∑

(thỏa)

Bài 43: Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín sau. Biết: A(XA = 362,236m; YA = 344,181m). α12 = 116046’39” β1 = 65040’20”; β2 = 102004’10”; β3 = 80049’46”; β4 = 111027’04” S12 = 68,704m; S23 = 67,835m; S34 = 51,769m; S41 = 75,570m;

A ≡ 1

2

3

4

α12

S12

S23

S34

S41

β1 β2

β3

β4

34


fβ = β∑ - (n -2).1800 = (β1 + β2 +β3 +β4) - (4 - 2)1800 = +80”

fβgh = 60" 4 = 60" 5 = 120”

fβ < fβgh ⇒Thỏa B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng:

β

βi

f +80"V = - = -

n 4= -20”

Vβ1 = -19” Vβ2 = -19” Vβ3 = -20” Vβ4 = -20”

Lưu ý: βi

V∑ = Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 = -fβ = -78”


β1’ = β1 + Vβ1 = 65040’20” - 20” = 65040’00”

β2’ = β2 + Vβ2 = 102004’10” - 20” = 102003’50”

β3’ = β3 + Vβ3 = 80049’46” - 20” = 80049’26”

β4’ = β4 + Vβ4 = 111027’04” - 20” = 111026’44”


α23 = α12 - β2’ + 1800 = 164043’00”

α34 = α23 - β3’ + 1800 = 263053’34”

α41 = α34 - β4’ + 1800 = 332026’50”

Kiểm tra: α12 = α41 - β1’ + 1800 = 86046’50” (đúng)


∆X12 = S12cosα12 = +3,858 (m) ∆Y12 = S12sinα12 = +68,596 (m) ∆X23 = S23cosα23 = -65,436 (m) ∆Y23 = S23sinα23 = +17,881 (m) ∆X34 = S34cosα34 = -5,508 (m) ∆Y34 = S34sinα34 = -51,475 (m) ∆X41 = S45cosα45 = +66,999 (m) ∆Y41 = S45sinα45 = -34,956 (m) B6. Tính sai số khép tọa độ

fX = ∆X12 + ∆X23 + ∆X34 + ∆X41 = -0,087m fY = ∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 + ∆Y45 = +0,046m

2 2S X Y

f = f + f = 0,098 (m)

Sf 1

=S 2693∑

Sf 1

<S 2000

⇒∑

Thỏa.

35


12

X∆X 12

f -0,087V = - S = - ×68,704

S 263,878∑ = +0,023 (m)

23

X∆X 23

f -0,087V = - S = - ×67,835

S 263,878∑= +0,022 (m)

34

X∆X 34

f -0,087V = - S = - ×51,769

S 263,878∑= +0,017 (m)

41

X∆X 41

f -0,087V = - S = - ×75,570

S 263,878∑= +0,025 (m)

12

Y∆Y 12

f +0,046V = - S = - ×68,704

S 263,878∑ = -0,012 (m)

23

Y∆Y 23

f +0,046V = - S = - ×67,835

S 263,878∑= -0,012 (m)

34

Y∆Y 34

f +0,046V = - S = - ×51,769

S 263,878∑= -0,009 (m)

41

Y∆Y 41

f +0,046V = - S = - ×75,570

S 263,878∑= -0,013 (m)

Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X XV = V + V + V + V = -f∑ = 0,087m

12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y YV = V + V + V + V = -f∑ = -0,046m


∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12XV = +3,881 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 +

∆ 12YV = +68,596 (m)

∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23XV = -65,414 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 +

∆ 23YV = +17,869 (m)

∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34XV = -5,491 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 +

∆ 34YV = -51,484 (m)

∆X41’ = ∆X41 + ∆ 41XV = +67,024 (m); ∆Y41’ = ∆Y41 +

∆ 41YV = -34,969 (m)


X2 = XA + ∆X12’ = 336,117 (m) Y2 = YA + ∆Y12’ = 412,765 (m) X3 = X2 + ∆X23’ = 300,703 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 430,634 (m) X4 = X3 + ∆X34’ = 295,212 (m) Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 379,150 (m) Kiểm tra: XA = X4 + ∆X41’ = 295,212 + 67,024 = 362,236 (m) (đúng) YA = Y4 + ∆Y41’ = 379,150 -34,969 = 344,181 (m) (đúng) Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:

fβ = +80” (thỏa) fX = -0,087m fS = 0,098m

fβgh = ±120” fY = +0,046m Sf 1

=S 2693∑

(thỏa)

36

Bài 44: Bình sai và tính tọa độ đường chuyền kinh vĩ khép kín sau. Biết: 1(X1 = 626,399m; Y1 = 727,918m). 4(X4 = 609,713m; Y4 = 563,893m). β1 = 65042’19”; β2 = 99025’32”; β3 = 147010’33”; β4 = 47039’58” S12 = 87,126m; S23 = 77,351m; S34 = 80,692m.


01 441

1 4

- Y 727,918 -563,893= arctan = arctan = 84 11'29"

- X 626,399 - 609,713r

Y

X

Vì ∆XAB > 0 và ∆YAB > 0 ⇒ αAB = rAB = 84011’29”

fβ = β∑ - (n -2).1800 = (β1 + β2 +β3 +β4) - (4 - 2)1800 = -98”

fβgh = =60" 4 60" 5 = 120” fβ < fβgh ⇒Thỏa B2. Tính số hiệu chỉnh góc bằng:

β

βi

f -98"V = - = -

n 4≈ +25”

Vβ1 = +24” Vβ2 = +24” Vβ3 = +25” Vβ4 = +25”

Lưu ý: βi

V = Vβ1 + Vβ2 +Vβ3 +Vβ4 = -fβ = +98”


β1’ = β1 + Vβ1 = 65042’43”

β2’ = β2 + Vβ2 = 99025’56”

β3’ = β3 + Vβ3 = 147010’58”

β4’ = β4 + Vβ4 = 47040’23”

1

2

3 4

S12

S23

S34

β1

β2

β3 β4

37


α12 = α41 + β1’ - 1800 = 329054’12”

α23 = α12 + β2’ - 1800 = 249020’08”

α34 = α23 + β3’ - 1800 = 216031’06”

Kiểm tra: α41 = α34 + β4’ - 1800 = 84011’29” (đúng)


∆X12 = S12cosα12 = +75,380 (m) ∆Y12 = S12sinα12 = -43,690 (m) ∆X23 = S23cosα23 = -27,297 (m) ∆Y23 = S23sinα23 = -72,374 (m) ∆X34 = S34cosα34 = -64,849 (m) ∆Y34 = S34sinα34 = -48,018 (m) B6. Tính sai số khép tọa độ

fX = (∆X12 + ∆X23 + ∆X34 ) - (X1 - X4) = -0,080m fY = (∆Y12 + ∆Y23 + ∆Y34 ) - (Y1 - Y4) = -0,057m

2 2S X Yf = f + f = 0,098 (m)

Sf 1

=S 2502∑

Sf 1

<S 2000

⇒∑

Thỏa.


12

X∆X 12

f -0,080V = - S = - ×87,126

S 245,169∑ = +0,028 (m)

23

X∆X 23

f -0,080V = - S = - ×77,351

S 245,169∑= +0,025 (m)

34

X∆X 34

f -0,080V = - S = - ×80,692

S 245,169∑= +0,027 (m)

12

Y∆Y 12

f -0,057V = - S = - ×87,126

S 245,169∑ = +0,020 (m)

23

Y∆Y 23

f -0,057V = - S = - ×77,351

S 245,169∑= +0,018 (m)

34

Y∆Y 34

f -0,057V = - S = - ×80,692

S 245,169∑= +0,019 (m)

Lưu ý: 12 23 34 45∆X ∆X ∆X ∆X ∆X X

V = V + V + V + V = -f∑ = -0,080m

12 23 34 45∆Y ∆Y ∆Y ∆Y ∆Y YV = V + V + V + V = -f∑ = -0,057m


∆X12’ = ∆X12 + ∆ 12XV = +75,408 (m); ∆Y12’ = ∆Y12 +

∆ 12YV = +43,670 (m)

38

∆X23’ = ∆X23 + ∆ 23XV = -27,272 (m); ∆Y23’ = ∆Y23 +

∆ 23YV = -72,272 (m)

∆X34’ = ∆X34 + ∆ 34XV = -64,822 (m); ∆Y34’ = ∆Y34 +

∆ 34YV = -47,999 (m)


X2 = X1 + ∆X12’ = 701,807 (m) Y2 = Y1 + ∆Y12’ = 684,248 (m) X3 = X2 + ∆X23’ = 674,535 (m) Y3 = Y2 + ∆Y23’ = 611,892 (m) Kiểm tra: X4 = X3 + ∆X34’ = 674,535 - 64,822 = 609,713 (m) (đúng) Y4 = Y3 + ∆Y34’ = 611,892 - 47,999 = 563,893 (m) (đúng) Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:

fβ = -98” (thỏa) fX = -0,080m fS = 0,098m

fβgh = ±120” fY = -0,057m Sf 1

=S 2502∑

(thỏa)

Bài 45: Bình sai và tính độ cao lưới độ cao kỹ thuật hở sau:

Biết: HA = 13,456m; HB = 15,994m h1 = +1,243m; h2 = +2,134m; h3 = -1,437m; h4 = -0,933m; h5 = +1,569m; l1 = 234,5m; l2 = 312,1m; l3 = 105,5m; l4 = 132,4m; l5 = 156,7m.

Giải: B1. Tính sai số khép độ cao:

fh = (h1 + h2 + h3 + h4 + h5) - (HB - HA) = = (1,243 +2,134 - 1,437 - 0,933 +1,569) - (15,994 - 13,456) = +0,038 (m) fh = +38mm L = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 = 941,2m = 0,9412km.

fhgh = ±50 L = ±50 0,9412 = ±49mm

fh < fhgh ⇒ Thỏa B2. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:

hh1 1

f 38V = - ×l = - × 234,5

L 941, 2= -9 (mm)

A 1 2 3 4 B

h1

l1

h2

l2

h3

l3

h4

l4

h5

l5

39

hh2 2

f 38V = - ×l = - ×312,1

L 941, 2= -13 (mm)

hh3 3

f 38V = - ×l = - ×105,5

L 941, 2= -4 (mm)

hh4 4

f 38V = - ×l = - ×132, 4

L 941,2= -5 (mm)

hh5 5

f 38V = - ×l = - ×156,7

L 941,2= -7 (mm)

Lưu ý: Vh1 + Vh2 + Vh3 + Vh4 + Vh5 = -fh = -38mm. B3. Hiệu chỉnh chênh cao:

h1’ = h1 + Vh1 = 1,243 - 0,009 = +1,134 (m) h2’ = h2 + Vh2 = 2,134 - 0,013 = +2,121 (m) h3’ = h3 + Vh3 = -1,437 - 0,004 = -1,441 (m) h4’ = h4 + Vh4 = -0,933 - 0,005 = -0,938 (m) h5’ = h5 + Vh5 = 1,569 - 0,007 = +1,562 (m) B4. Độ cao các điểm:

H1 = HA + h1’ = 13,456 + 1,134 = 14,690 (m) H2 = H1 + h2’ = 14,690 + 2,121 = 16,811 (m) H3 = H2 + h3’ = 16,811 - 1,441 = 15,370 (m) H4 = H3 + h4’ = 15,370 - 0,938 = 14,432 (m) Kiểm tra: HB = H4 + h5’ = 14,432 + 1,562 = 15,994(m) (đúng).

Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:

fh = +38mm fhgh = ±49mm fh < fhgh ⇒ Thỏa

Điểm h (m) l (m) Vh (mm) h' (m) H (m) A 13.456 +1,243 234,5 -9 +1,234 1 14.690 +2,134 312,1 -13 +2,121 2 16.811 -1,437 105,5 -4 -1,441 3 15.370 -0,933 132,4 -5 -0,938 4 14.432 +1,569 156,7 -7 +1,562 B 15.994

Bài 46: Bình sai và tính độ cao lưới độ cao kỹ thuật khép kín sau:

40

Biết: HA = 21,308m; h1 = +1,283m; h2 = -0,742m; h3 = -1,281m; h4 = +2,173m; h5 = -0,876m; h6 = -0,602m n1 = 7; n2 = 5; n3 = 12; n4 = 6; n5 = 11; n6 = 15 (trạm đo).

Giải: B1. Tính sai số khép độ cao:

fh = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = -54mm N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 56 (trạm đo).

fhgh = ±10 N = ±10 56 = ±75mm fh < fhgh ⇒ Thỏa B2. Tính số hiệu chỉnh chênh cao:

hh1 1

f -45V = - × n = - ×7

N 56= +6 (mm)

hh2 2

f -45V = - ×n = - ×5

N 56= +4 (mm)

hh3 3

f -45V = - ×n = - ×12

N 56= +10 (mm)

hh4 4

f -45V = - ×n = - ×6

N 56= +5 (mm)

hh5 5

f -45V = - × n = - ×11

N 56= +9 (mm)

hh6 6

f -45V = - × n = - ×15

N 56= +11 (mm)

Lưu ý: Vh1 + Vh2 + Vh3 + Vh4 + Vh5 + Vh6 = -fh = +45mm. B3. Hiệu chỉnh chênh cao:

h1’ = h1 + Vh1 = +1,289 (m) h2’ = h2 + Vh2 = -0,738 (m) h3’ = h3 + Vh3 = -1,271 (m) h4’ = h4 + Vh4 = +2,178 (m) h5’ = h5 + Vh5 = -0,867 (m) h6’ = h6 + Vh6 = -0,591 (m) B4. Độ cao các điểm:

H1 = HA + h1’ = 22,597 (m) H2 = H1 + h2’ = 21,859 (m) H3 = H2 + h3’ = 20,588 (m)

A 1 2

h1

n1

h2

n2

h5

n5 3 4 5

h3 n3

h4

n4

h6 n6

41

H4 = H3 + h4’ = 22,766 (m) H5 = H4 + h5’ = 21,899 (m) Kiểm tra: HA = H5 + h6’ = 21,899 - 0,591 = 21,308 (m) (đúng).

Có thể giải bằng cách kẻ bảng như sau:

fh = -45mm fhgh = ±75mm fh < fhgh ⇒ Thỏa

Điểm h (mm) n (Số trạm đo) Vh (mm) h' (mm) H (m) A 21.308

1283 7 6 1289 1 22.597 -742 5 4 -738 2 21.859 -1281 12 10 -1271 3 20.588 2173 6 5 2178 4 22.766 -876 11 9 -867 5 21.899 -602 15 11 -591 A 21.308

Bài 47: Tính tọa độ và độ cao các điểm trong sổ đo chi tiết sau: Trạm đo: A(XA = 245,230m; YA = 334,225m; HA = 10,240m). Định hướng: B(XB = 321,156m; YB = 225,713m. Chiều cao máy: i = 1,534m. Số đọc bàn độ ngang hướng ban đầu (định hướng): 0000’00”

STT Kn (m) Chỉ giữa (mm) Số đọc BĐN (β) V Ghi chú

1 2 3 4

15,5 35,7 40,1 50,5

1326 2103 1034 1890

145044’10” 335044’40”

5015’00” 224016’20”

2025’20” -1013’30” 0050’40” -4015’50”

Giải: Tính tọa độ điểm 1

Tính αAB từ tọa độ điểm A và B (BT nghịch) αAB = 304058’50” S1 = Kncos2V = 15,5cos(2025’20”) = 35,684 (m) αA-1 = αAB + β1 = 304058’50” + 145043’10” = 450043’00” - 3600 = 90043’00 X1 = XA + S1cosαA-1 = 245,036 (m) Y1 = YA + S1sinαA-1 = 349,700 (m) Tính độ cao điểm 1

Sơ đồ tính

A

B

β1

1 S1

42

H1 = HA + hA-1 = HA + 1/2.Kn.sin2V + i - l = 10,240 + 1/2.15,5.sin(2.2025’20”) + 1,534 - 1326 = 11,058 (m) Tương tự, tính tọa độ và độ cao điểm 2, 3 và 4.

Tọa độ (m) H (m) STT

X Y

1 245.036 349.700 11.058 2 251.871 299.165 8.908 3 271.124 303.617 11.331 4 195.890 343.590 6.140

Bài 48: Từ mốc thủy chuẩn A(HA = 0,465m), ta bố trí điểm B có HB(thiết kế) = 1,050m) bằng phương pháp đo cao hình học từ giữa. Trình bày phương pháp bố trí điểm B, biết rằng khi bố trí, số đọc chỉ giữa mia ngắm mia tại A là a = 1852mm.

Giải: * Tính số đọc mia dựng tại độ cao thết kế HB(thiết kế): Gọi b là số đọc mia dựng tại độ cao thiết kế HB(thiết kế). Ta có: HB(thiết kế) + b = HA + a ⇒ b = HA + a - HB(thiết kế) = 465 + 1852 - 1050 = 1267 (mm) * Bố trí: Người đứng máy điều khiển người dựng mia tại B, di chuyển mia theo phương đứng sao cho số đọc trên mia (chỉ giữa) đúng bằng b = 1267mm và đánh dấu chân mia ta được điểm B cần bố trí. Bài 49: Từ mốc thủy chuẩn A(HA = 0,465m), độ cao thiết kế của đáy móng là HĐM(thiết kế) = -1,500m). Trình bày phương pháp chuyển độ cao xuống móng (đào móng) bằng phương pháp đo cao hình học từ giữa, biết rằng khi thực hiện đào móng, số đọc chỉ giữa mia ngắm mia tại A là a = 0945mm.

Giải: * Tính số đọc mia dựng tại độ cao thết kế của đáy móng: Gọi bTK là số đọc mia dựng tại độ cao thiết kế của đáy móng. Ta có: HB(thiết kế) + bTK = HA + a ⇒ bTK = HA + a - HB(thiết kế) = 465 + 945 – (-1500) = 2910 (mm) * Đào móng: Khi tiến hành đào móng, ta dựng mia tại đáy móng thực tế và đọc số bTT để kiểm tra: - Nếu bTT < bTK: Móng đào còn nông hơn so với thiết kế - Nếu bTT > bTK: Móng đào sâu hơn so với thiết kế - Nếu bTT = bTK: Móng đào đúng thiết kế Bài 50: Biết 2 điểm lưới mặt bằng thi công xây dựng (điểm khống chế mặt bằng): A và B. Các điểm công trình cần bố trí: 1, 2, 3 và 4. Biết tọa độ điểm lưới: A(XA = 222,685m; YA = 219,116m), B(XB = 175,956m; YB = 207,890m).

2

1 4

3

B

A

Công trình

43

Biết tọa độ điểm cần bố trí (tọa độ thiết kế): 1(X1 = 180,000m; Y1 = 240,000m), 2(X2 = 210,000m; Y2 = 240,000m). Yêu cầu: a/ Trình bày bố trí điểm 1 bằng phương pháp tọa độ cực, góc cực tại B? b/ Trình bày bố trí điểm 2 bằng phương pháp giao hội góc?

Giải: a/ Bố trí điểm 1 bằng phương pháp tọa độ cực: * Tính số liệu bố trí:

A BBA

A B

Y - Y 219,116 - 207,890= arctan = arctan

X - X 222,685 -175,956r = 13030’31”

Vì ∆XBA > 0 và ∆YBA > 0 ⇒ αBA = rBA = 13030’31”

1 BB-1

1 B

Y - Y 240,000 - 207,890= arctan = arctan

X - X 180,000 -175,956r = 82049’19”

Vì ∆XB-1 > 0 và ∆YB-1 > 0 ⇒ αB-1 = rB-1 = 82049’19” β = αB-1 - αBA = 82049’19” - 13030’31” = 69018’48”

2 21 1 B 1 B

S = (X - X ) + (Y - Y ) = 32,364 (m)

* Bố trí: Đặt máy kinh vĩ tại B, ngắm A, quay máy một góc β = 69018’48”, trên hướng này, từ B bố trí đoạn thẳng bằng S1 = 32,364m ta được điểm 1 cần bố trí. a/ Bố trí điểm 2 bằng phương pháp giao hội góc:

* Tính số liệu bố trí: Tính các góc định hướng (bài toán nghịch): αBA = 13030’31”; αAB = 193030’31” αB-2 = 43019’32”; αA-2 = 121016’29”. βB = αB-2 - αBA = 43019’32” - 13030’31” = 29049’01” βA = αAB - αA-2 = 193030’31” - 121016’29” = 72014’02” * Bố trí: Sử dụng 2 máy kinh vĩ, một máy đặt tại B ngắm về A và một máy đặt tại A ngắm về B, lần lượt quay các góc βB và βA, giao của hai hướng ngắm này là điểm 2 cần bố trí. Bài 51: Tính số liệu và bố trí các điểm chính của đường cong tròn gồm TĐ (tiếp đầu), TC (tiếp cuối), G (điểm giữa đường cong). Biết: Bán kính của đường cong R = 200m; góc chuyển hướng θ = 30040’20”.

Giải: * Tính số liệu bố trí:

Chiều dài tiếp tuyến:

0θ 30 40'20"

T = R.tan = 200.tan2 2

= 54,849 (m)

Chiều dài phân giác:

0

R 200b = - R = - 200

θ 30 40'20"cos cos2 2

= 7,385m

1 B

A

β

S1

Sơ đồ bố trí

2

B

A

βB

Sơ đồ bố trí

βA

TÐG

b

N

T T

O

R

TC

θ

β/2

θ/2 θ/2

44

P1

P2

P3

O

TÐ

X

Y

X1

X2

X3

Y3Y2Y1

k

k

k

ϕ

2ϕ

3ϕ

Góc phân giác: β/2 = (1800 - θ)/2 = 74039’50” * Bố trí: Đặt máy kinh vĩ tại đỉnh góc ngoặt N, ngắm chuẩn về hướng TĐ, trên hướng này bố trí một đoạn thẳng T ta được điểm TĐ, quay máy một góc bằng β/2, trên hướng này bố trí đoạn thẳng b ta được điểm G, quay máy tiếp một góc β/2, trên hướng này bố trí đoạn thẳng T ta được TC. Bài 52: Biết R = 300m, θ = 25000’00” và k = 10m? Yêu cầu: a/ Tính chiều dài của đường cong tròn? b/ Số lượng cọc chi tiết của đường cong tròn? c/ Tính tọa độ vuông góc các cọc chi tiết P1, P2, P3 và cọc cuối cùng của đường cong tròn?

Giải: a/Chiều dài đường cong tròn:

0 0

0 0

πR.θ π.300.25 00'00"K = =

180 180= 130,900 (m)

b/Số lượng cọc chi tiết của đường cong tròn:

= =130,900

10K

nk

= 13,09 ⇒ 12 cọc.

c/Tọa độ vuông góc các cọc chi tiết: Góc ở tâm chắn bởi cung có chiều dài k:

0 0180 k 180 .10

φ = =πR π.300

= 1054’35”

1

1

1

X = Rsinφ = 9,997 (m)P φ

Y = 2Rsin = 0,167 (m)2

2

2

2

X = Rsin2φ = 19,984(m)P 2φ

Y = 2Rsin = 0,666(m)2

3

3

3

X = Rsin3φ = 29,948(m)P 3φ

Y = 2Rsin =1,499(m)2

12

12

12

X = Rsin12φ = 116,818(m)P 12φ

Y = 2Rsin = 23,678(m)2

PHẦN 3. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 53: Tìm kinh độ biên Đông, biên Tây và kinh tuyến trục của múi chiếu thứ 16 (múi chiếu 60)? Bài 54: Cho ABCDE là ngủ giác đều (thứ tự A, B, C, D và E cùng chiều kim đồng hồ). Biết A(XA = 325,542m; YA = 426,395m), B(XB = 432,976m; YB = 392,628m). Tìm góc định hướng của các cạnh ngủ giác? Bài 55: Cho tam giác ABC (thứ tự A, B, C ngược chiều kim đồng hồ). Biết A(XA = 203,167m; YA = 322,518m), B(XB = 250,825m; YB = 356,427m), góc trong B = 70014’25” và chiều dài SBC = 45,358m. Tìm tọa độ điểm C? Bài 56: Giả sử đặt máy tại A thấy B. Trình bày phương pháp đo chiều dài AB mà không cần đi tới điểm B? Bài 57:

45

Giả sử đặt máy tại A thấy B và biết độ cao điểm A là HA. Trình bày phương pháp xác định độ cao điểm B mà không cần đi tới điểm B? Bài 58: Diện tích thực của khu đất hình vuông là 36m2. Tính chu vi của khu đất đó (cm) khi biểu diễn trên bản đồ tỷ lệ 1:500? Bài 59: Trên bản đồ tỷ lệ 1:2000. Biết: A(HA = 12,36m); B(HB = 24,50m); chiều dài AB = 5cm. Tìm độ dốc iAB, góc dốc α và khoảng cách nghiêng giữa 2 điểm A và B? Bài 60: Bản đồ có khoảng cao đều là 1m. Biết A(HA = 11,50m); B(HB = 21,31m). Tìm các đường đồng mức cái và các đường đồng mức con cắt đoạn AB? Bài 61: Đo tổng 3 góc trong một tam giác 8 lần được kết quả cho ở bảng:

Số thứ tự Tổng 3 góc của tam giác (T) 1 2 3 4 5 6 7 8

180000’50” 179059’30” 179059’20” 179059’50” 180000’10” 180000’20” 179059’40” 180001’00”

a/ Tìm SSTP một lần đo tổng 3 góc trong một tam giác? b/ Tìm SSTP một lần đo từng góc của tam giác? Biết các góc này đo cùng điều kiện. Bài 62: Tổ 1 đo đoạn thẳng AB 6 lần và tổ 2 đo đoạn thẳng CD 6 lần, kết quả cho ở bẳng. Tìm xem tổ nào đo tốt hơn?

Số thứ tự SAB (m) SCD (m) 1 2 3 4 5 6

50,567 50,560 50,570 50,562 50,564 50,572

100,235 100,248 100,227 100,243 100,250 100,225

Bài 63: Tổ 1 đo đoạn thẳng β1 5 lần và tổ 2 đo đoạn thẳng β2 5 lần, kết quả cho ở bẳng. Tìm xem tổ nào đo tốt hơn?

Số thứ tự β1 β2 1 2 3 4 5

30022’15” 30022’30” 30022’25” 30022’10” 30022’20”

130022’20” 130022’45” 130022’25” 130022’00” 130022’10”

46

Bài 64: Đo bán kính của hình tròn R = 50,000m và mR = ±3cm. Tìm SSTP và SSTP tương đối của chu vi và diện tích hình tròn này? Bài 65: Đo chiều dài của hình chữ nhất với độ chính xác 1/6000 và chiều rộng với độ chính xác 1/8000. Tìm SSTP tương đối diện tích hình chữ nhật này? Bài 66: Tính SSTP tương đối của diện tích hình vuông trong hai trường hợp: a/ Đo một cạnh hình vuông a = 35m và ma = ±5mm b/ Đo hai cạnh của hình vuông được trị số và SSTP như trường hợp a. Hãy so sánh và giải thích kết quả hai trường hợp trên? Bài 67: Sai số trung phương trị trung bình cộng của 9 lần đo góc là ±20”. Tìm SSTP trị trung bình cộng của 16 lần đo? Biết rằng các lần đo có độ chính xác như nhau. Bài 68: Đo tổng 3 góc của 4 tam giác với kết quả cho ở bảng sau:

Số thứ tự Tổng 3 góc của tam giác (Ti) Số lần đo 1 2 3 4

180000’40” 179059’30” 179059’20” 180000’10”

20 40 30 10

Biết độ chính xác đo từng góc của các tam giác như nhau. Yêu cầu: a/ Tìm SSTP một lần đo từng góc các tam giác? b/ Tìm SSTP đo tam giác thứ 4? Bài 69: Đo đoạn thẳng AB 5 lần không cùng độ chính xác ở bảng sau:

Số thứ tự Trọng số Pi SSTP mi (mm) 1 2 3 4 5

4 5 7 9 11

±20

a/ Tìm SSTP trọng số đơn vị? b/ Tìm SSTP các lần đo 2, 3, 4 và 5? c/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của đoạn thẳng AB? Bài 70: Đo đoạn thẳng AB 4 lần không cùng độ chính xác ở bảng sau:

Số thứ tự SAB (m) Trọng số Pi

1 2 3 4

150,465 150,440 150,450 150,425

4 7 5 14

a/ Tìm trị đo xác suất nhất đoạn thẳng AB? a/ Tìm SSTP lần đo thứ 1 và 5? b/ Tìm SSTP trị xác suất nhất của đoạn thẳng AB?

47

Bài 71: Số liệu sổ đo góc β bằng phương pháp đo cung cho ở bảng sau: Trạm đo Lần đo Điểm ngắm Số đọc BĐN β nửa lần đo β một lần đo

A 30014’10” Thuận kính

C 155048’55”

C 335049’30” B

Đảo kính A 210014’15”

a/ Tính sổ đo trên? Biết t = 20”? b/ Cho biết SSTP đọc số trên bàn độ là 30”, tìm SSTP đo góc trên? Bài 72: Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia tại B. Số đọc trên mia: chỉ trên t = 1843mm, chỉ dưới d = 1135mm; góc đứng V = -3015’40”. Biết SSTP đọc số trên mia mt = md = ±1mm, SSTP đo góc đứng mV = ±40”. Tìm SSTP tương đối chiều dài AB? Bài 73: Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia tại B. Số đọc trên mia: chỉ trên t = 2415mm, chỉ dưới giữa g = 1976mm, chỉ dưới d = 1537mm; góc đứng V = 2015’30”, chiều cao máy i = 1,405m. Biết SSTP đọc số trên mia mt = mg = md = ±1,2mm, mV = ±40”, mi =

±2mm. a/ Tìm SSTP tương đối chiều dài AB? b/ Tìm độ cao điểm B, biết HA = 3,400m? c/ Tìm SSTP chênh cao hAB? Bài 74: Công thức đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử h = StanV + i - l (l là chiều cao gương). Biết S = 72,254m, mS = ±3mm; V= 2010’23”, mV = ±10”, mi = ±2mm, ml = ±1mm. Tìm mh? Bài 75: Độ cao điểm B đước xác định bằng phương pháp đo cao hình học. Biết HA = 4,567m, mhAB = ± 2 mm. SSTP đọc số trên mia là ±1mm (Bỏ qua các sai số khác). Tìm SSTP độ cao điểm B? Bài 76: Đặt máy kinh vĩ tại A, ngắm mia tại B. Số đọc trên mia: chỉ trên t = 1752mm, chỉ giữa g = 1444mm, chỉ dưới d = 1135mm; góc đứng V = 3025’30”, chiều cao máy i = 1,325m. Tìm độ dốc và góc dốc AB? Bài 77: Tính tọa độ các điểm của đường chuyền treo sau:

Biết: A(XA = 435,246m; YA = 358,212m), B(XB = 321,124m; YB = 420,585m). β1 = 110020’25”, β2 = 90052’35”, β3 = 122044’40”, β4 = 167053’25”. S1 = 65,158m, S2 = 84,130m, S3 = 75,332m, S4 = 91,117m,

A4

2

B 3 5

β1

β2

β3

β4 S1 S2 S3 S4

48

Bài 78: Bình sai và tính tọa độ các điểm của đường chuyền phù hợp sau:

Biết: A(XA = 665,856m; YA = 470,755m), B(XB = 215,306m; YB = 562,054m). C(XC = 252,318m; YC = 619,885m), D(XD = 261,184m; YD = 540,676m). β1 = 103024’49”, β2 = 73035’49”, β3 = 61044’30”, β4 = 229006’54”. S12 = 120,210m, S23 = 82,417m, S34 = 56,918m. Bài 79: Bình sai và tính tọa độ các điểm của đường chuyền phù hợp sau:

Biết: 1(X1 = 703,644m; Y1 = 355,574m), 2(X2 = 715,557m; Y2 = 277,980m). β1 = 58058’53”, β2 = 77014’06”, β3 = 43045’55”. S23 = 55,675m, S31 = 69,056m. Bài 80: Tọa độ 2 điểm khống chế mặt bằng A(XA = 400,000m; YA = 300,000m), B(XB = 200,000m; YB = 200,000m). Tọa độ thiết kế điểm M(XM = 430,400m; YM = 340,500m). Tính số liệu và trình bày bố trí điểm M theo phương pháp tọa độ cực, góc cực chọn tại A?

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 53: λĐông = 900, λTây = 960, λTrục = 930, Bài 54: αBC = 54° 33' 07''; αCD = 126° 33' 07''; αDE = 198° 33' 07''; αEA = 270° 33' 07'' Bài 55: B(XB = 263,078m; YA = 312,755m) Bài 56: Đo gián tiếp 2 góc và 1 cạnh. Bài 57: Đo SAB như bài 56, sau đó sử dụng đo cao lượng giác h = StanV + i - l. Bài 58: 4,8cm. Bài 59: iAB = 12,14% (công thức 2.2).

α = B A

bd

H - Hatan

S × M= 6055’16”

Snghiêng 2 2

B A bd= (H - H ) + (S ×M) = 100,73m.

Bài 60: ĐĐM cái: 15m; 20m. ĐĐM con: 12m; 13m; 14m; 16m; 17m; 18m; 19m; 21m. Bài 61: a/mT = ±36,3” (áp dụng công thức 3.5).

b/mβ = Tm

3 = 13,7”.

Bài 62: Tính SSTP một lần đo AB và CD: m1 = ±6,5mm; m2 = ±10,9mm

A

3

2

β1

β2

β3

β4 S12 S23 S34

C ≡ 4

B ≡ 1 D

2

1

3 β1

β2 β3

49

Tính SSTP tương đối đo AB và CD: 1/T1 = 1/7748; 1/T2 = 1/9212 Vì 1/T1 > 1/T2 nên tổ 2 đo tốt hơn (tổ 2 đo chính xác hơn). Bài 63: m1 = ±8”; m2 = 17”. Vì m1 < m2 nên tổ 1 đo tốt hơn (tổ 1 đo chính xác hơn) Bài 64: mCV = ±0,188m và 1/TCV = 1/1671 mDT = 9,425m2 và 1/TDT = 1/833 Bài 65: 1/TDT = 1/4800 Bài 66: a/ m1 = 0,350m2 b/ m2 = 0,247m2

Trường hợp a/ đo 1 lần, TH b/ đo 2 lần nên độ CX tăng lên 2 lần so với TH a/.

Bài 67: m16 = 16 9

9 3m = m = ×20"

416= 15”

Bài 68: a/ m = 98,7” b/ m4 = 54,1” Bài 69: a/ µ = ±40mm b/ m2 = ±18mm, m3 = ±15mm, m4 = ±13mm, m5 = ±12mm. c/ M = ±7mm. Bài 70: a/ X0 = 150,438m b/ m1 = ±23mm, m5 = ±12mm. c/ M = ±8mm. Bài 71: a/ βthuận = 125034’45”; βđảo = 125035’15”; |βthuận - βđảo| < 2t ⇒ Thỏa; βTB = 125035’00”

b/ mβ-thuận = mβ-đảo = 2"30 ; mβ-TB = 30” Bài 72: 1/T = 0,141/70,571 = 1/501 Bài 73: a/ 1/T = 1/517 b/ HB = 6,286m? c/ mhAB = ±0,018m. Bài 74: mh = ±4mm. Bài 75: mH(B) = ±2mm. Bài 76: i = 5,8%, α = 3018’52” Bài 77:

Điểm S (m) β α ∆X (m) ∆Y (m) X (m) Y (m)

A 435,246 358,212

151 20 29

B 110 20 25 321,124 420,585

65,158 81 40 54 9,427 64,473

2 90 52 35 330,551 485,058 84,13 352 33 29 83,421 -10,897 3 122 44 40 413,972 474,161 75,332 295 18 09 32,197 -68,105 4 167 53 25 446,169 406,056 91,117 283 11 34 20,795 -88,712 5 466,964 317,344

50

Bài 78: fβ = +90” fX = +0,085m fS = 0,118m

fβgh = ±120” fY = -0,082m Sf 1

=S 2200∑

(thỏa)

Bài 79: fβ = -99” fX = +0,040m fS = 0,070m

fβgh = ±104” fY = +0,057m Sf 1

=S∑ 1782

(thỏa)

Bài 80: SAM = 50,640m; β = 206032’33”.

Education

Bài Tập Trắc Địa