Embed Size (px)
Citation preview
1. Rumus suku ke-n barisan aritmatika 94, 90, 86, 82, ... adalah...
Pembahasan:
Suku pertama = a = 94
Beda = b = 90 - 94 = -4
suku ke-n = Un = a + (n-1) b
= 94 + (n-1) -4
= 94 + (-4n) + 4
= 94 + 4 - 4n
= 98 - 4n
2. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 26. Jumlah 18 suku
pertama adalah....
Pembahasan:
U3 = 14
a + (3-1) b = 14
a + 2b = 14 ......
U7 = 26
a + (7-1) b = 26
a + 6b = 26 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
Lalu kita ambil persamaan pertama untuk mencari nilai a:
a + 2b = 14 (kita ganti b dengan 3, karena hasil b = 3)
a + 2(3) = 14
a + 6 = 14
a = 14-6
a = 8
Selanjutnya kita masukkan a = 8 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk
mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.8 + (18-1)3)
= 9 (16 + 17.3)
= 9 (16 + 51)
= 9. 67
= 603
3. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret
tersebut adalah...
Pembahasan:
suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3
Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815
4. Banyak kursi pada baris pertama di gedung kesenian ada 22 buah. Banyak kursi pada
baris di belakangnya 3 buah lebih banyak dari kursi pada baris di depannya. Banyak kursi
pada baris kedua puluh adalah...
Pembahasan:
Bila dituliskan, maka bentuk barisan aritmatika kursi di gedung itu adalah: 22, 25, 28, ...
Ditanyakan: banyak kursi pada baris ke-20. Jadi kita diminta mencari U20
Un = a + (n-1)b
U20 = 22 + (20-1)3
= 22 + 19.3
= 22 + 57
= 79
5. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku
pertama adalah...
Pembahasan:
U7 = 22
a + (7-1)b = 22
a + 6b = 22 ...... (persamaan pertama)
U11 = 34
a + (11-1)b = 34
a + 10b = 34 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
Lalu kita ambil persamaan pertama untuk mencari nilai a:
a + 6b = 22 (kita ganti b dengan 3, karena hasil b = 3)
a + 6(3) = 22
a + 18 = 22
a = 22-18
a = 4
Selanjutnya kita masukkan a = 4 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk
mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.4 + (18-1)3)
= 9 (8 + 17.3)
= 9 (8 + 51)
= 9. 59
= 531
6. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut
adalah...
Pembahasan:
Beda dapat dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14
Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5
beda = b = S2-S1
= 14 - 5
= 9
7. Suatu tumpukan batu bata terdiri atas 15 lapis. Banyak batu bata pada lapis paling atas
ada 10 buah, tepat di bawahnya ada 12 buah, di bawahnya lagi ada 14, dan seterusnya.
Banyak batu bata pada lapisan paling bawah ada...
Pembahasan:
Pada soal diketahui tumpukan ada 15 lapis, ini berarti jumlah n ada 15, n = 15
Batu bata pada lapis paling atas berjumlah 10, ini berarti U15 = 10
Batu bata pada lapis di bawahnya ada 12, ini berarti U14 = 12
Batu bata pada lapis di bawahnya lagi ada 14, ini berarti U13 = 14
Ditanyakan: jumlah batu bata pada lapisan paling bawah, ini berarti kita diminta mencari
suku pertama atau a
U15 = 10
U14 = 12
Beda = b = U15-U14 = 10-12 = -2
Kita jabarkan U15
U15 = 10
Un = a + (n-1)b
a + (15-1).-2 = 10
a + 14.(-2) = 10
a + (-28) = 10
a = 10 + 28
a = 38
8. Diketahui suatu barisan aritmatika. Suku pertama barisan tersebut 25 dan suku kesebelas
55. Suku ke-45 barisan tersebut adalah...
Pembahasan:
U1 = a = 25
U11 = 55
a + (11-1)b = 55
25 + 10b = 55
10b = 55-25
10b = 30
b = 30/10
b = 3
Selanjutnya, kita diminta mencari U-45
Un = a + (n-1)b
U45 = 25 + (45-1)3
= 25 + 44.3
= 25 + 132
= 157
9. Suku ke-32 dari barisan aritmatika 83, 80, 77, 74, 71, ... adalah...
Pembahasan:
suku pertama = a = 83
Beda = b = U2-U1 = 80-83 = -3
Un = a + (n-1)b
U32 = a + (32-1)b
= 83 + 31.(-3)
= 83 + (-93)
= - 10
10. Dalam ruang pertunjukkan, di baris paling depan tersedia 18 kursi. Baris di belakangnya
selalu tersedia 1 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam ruang itu
terdapat 12 baris, banyak kursi seluruhnya adalah... buah.
Pembahasan:
Pada soal diketahui:
Baris pertama jumlah kursi 18 = U1 = a = 18
Baris di belakang 1 lebih banyak = beda = b = 1
Ditanyakan: jumlah seluruh kursi dalam 1 gedung = Sn = S12 (karena ada 12 baris)
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S12 = 12/2 (2.18 + (12-1).1)
= 6 (36 + 11.1)
= 6 (36 + 11)
= 6.47
= 282
11. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U1 = x1/3 dan U2 = x1/2, maka suku ke
lima dari deret tersebut adalah
r = U2/U1 = x1/2 : x1/3 = x (1/2-1/3) = x1/6
U5 = a. (r)4
U5 = x1/3 . x4/6
U5 = x 6/6 = x
12. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a-4 dan ax. Jika
suku kedelapan adalah a52, maka berapa nilai x?
U1 = a-4, U2 = ax maka r = U2/U1 = ax/a-4 = ax+4 (ingat sifat eksponen)
U8 = a.(r)7
a52 = a-4 (ax+4)7
a52 = a-4 a7x+28
a52 = a7x+24
52 = 7x+24
7x = 28
x = 4
13. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama
dengan
Un = 4-n dari persamaan ini dapat menentukan
a = U1 = 4-1, U2 = 4-2
r = U2/U1 = 4-2/4-1 = 4-1 = 1/4
Sn→∞ = a/[1-r] = 1/4 : [1-1/4] = 1/4 : 3/4 = 1/4 x 4/3 = 1/3
14. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan
U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?
diketahui :
* U1 + U2 = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 ………….. (1)
* U3 + U4 = 20
→ ar2 + ar3 = 20
→ r2 a(1+r) = 20 ……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r2 (45) = 20
r2 = 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3
kita menentukan nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81
15. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah
deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a2/[a-1] 4a [a-1] = a2
4a2 – 4a = a2 (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/3
16. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri.
Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang
tali semula adalah
suku awal = 3 dan U6 = 96
Un = a.rn-1
96 = 3.r5
r5 = 32
r = 2
S6 = a (1-r6)/ 1-r
S6 = 3 (1-26)/ 1-2 = -189/-1 = 189 cm
17. Hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam
kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam
kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang
dapat sobat hitung capai?
jarak yang ditempuh oleh sobat membentuk deret geometri 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ….
a = 4
b = 1/2
n→∞ = a/[1-r] = 4/ [1-1/2] = 4/0,5 = 8 km
18. Hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah
12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2,
maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?
deret aritmatika : U1 + U2 + U3 = 12
misalkan U1 = a-b ; U2 = a ; U3 = a+b
U1 + U2 + U3 = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka kita dapat 4
kemudian deret geometri
a-b, a, a+b+2 merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b2
b2+2b+16-24 = 0
b2+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,4,6
hasil kalinya = 48
19. Diberikan sebuah barisan:
4, 12, 20, 28,...
Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas!
a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
Un = a + (n − 1)b
U40 = 4 + (40 − 1)8
U40 = 4 + 312 = 316
20. Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ....
Tentukan suku ke-17
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17
Un = a + (n−1)b
U17 = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54
21. Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
99, 93, 87, 81,...
a = 99
b = 93 − 99 = −6
Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27
22. Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah....
U9 = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U7 = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U9 − U7 = 144 − 64 = 80
23. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....
Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:
50, 45, 39, 32, ....., ...... _____ _____ _____ ______ ______
− 5 −6 −7 −8 −9
Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15
24. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81.
Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
25. Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4
adalah 14, tentukan suku ke-8!
Data :
U1 = a = 2
U6 = a + 5b
U4 = a + 3b
U6 − U4 = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7
Sehingga suku ke-8
U8 = a + 7b
U8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51
26. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka
besarnya suku ke-50 adalah ....
Un = a + ( n – 1 )b
U10 = a + 9b = 41
U5 = a + 4b = 21 _
5b = 20 → b = 4
a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a =5
U50 = a + ( 50 – 1 )4
= 5 + 49.4
= 5 + 196
= 201
27. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20
dari deret aritmetika tersebut adalah ….
Un = Sn – Sn – 1
U20 = S20 – S19 = (202 + 5.20) – (192 + 5.19)
= 500 – 456 = 44
28. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg,
Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya.
Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….
Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln
= 1.650 kg
29. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165,
maka U19 = ….
U2 + U15 + U40 = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165 (dibagi 3)
a + 18b = 55
Jadi U19 = a + 18b = 55
30. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2 n. Beda dari deret aritmetika
tersebut adalah …
Sn = n2 + 5/2 n
S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2
S1 = u1 = a
S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9
S2 = u1 + u2 = a + (a + b)
9 = 7/2 + (7/2 + b)
9 – 7 = b
TUGAS MATEMATIKASOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET TAK TERHINGGA
DISUSUN OLEH :STEVEN
SMA NEGERI 2 KOTA JAMBITAHUN AJARAN 2015-2016
