BASIC COUNTING BASIC COUNTING ANDANDPIGEONHOLE PIGEONHOLE PRINCIPLEPRINCIPLE

SAHAT PANDAPOTAN NAINGGOLANSAHAT PANDAPOTAN NAINGGOLAN9011600690116006PMA 2016 PMA 2016

RABU, 5 OKTOBER 2016RABU, 5 OKTOBER 2016

COMBINATORICS DAN COUNTING• Kombinatorika

–Ilmu yang mempelajari pengaturan objek–Bagian penting dari Matematika Diskrit

• Enumerasi–Penghitungan objek dengan sifat tertentu–Bagian penting dari Kombinatorika

2

BEBERAPA PERMASALAHAN DALAM COUNTING“Password dalam suatu sistem komputer terdiri dari 6, 7, atau 8 karakter. Setiap karakter adalah digit bilangan desimal atau huruf dalam alfabet. Setiap pasword harus memuat paling sedikit satu digit bilangan desimal. Ada berapa banyak password yang berbeda?”

“Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan dalam memilih 11 pemain dalam suatu tim sepak bola yang memiliki 20 pemain?”

Selain itu, counting adalah dasar dalam menghitung peluang dari kejadian-kejadian diskrit.(“Berapakah peluang untuk dapat memenangkan suatu lotere?”)

3

DASAR-DASAR COUNTING•Aturan perkalian•Aturan penjumlahan•Prinsip inklusi-eksklusi•Diagram pohon

4

ATURAN PERKALIAN DAN GENERALISASINYAAturan perkalianAturan perkalianMisalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua pekerjaan yang berurutan. Jika terdapat n1 cara untuk melakukan tugas pertama dan n2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah tugas pertama selesai dilakukan, maka terdapat

n1 n2 cara untuk melakukan prosedur tersebut.

Generalisasi aturan perkalianGeneralisasi aturan perkalianJika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T1, T2, …, Tm yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, secara berurutan,

maka terdapat n1 n2 … nm cara untuk melaksanakan prosedur tersebut. 5

ATURAN PERKALIAN DAN GENERALISASINYA (LANJUTAN) Contoh:Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda yang memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan desimal, dan dua huruf? Solusi:Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf pertama, 10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10 untuk digit kedua, dan 10 untuk digit ketiga, kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua dan 26 untuk huruf ketiga. Jadi, terdapat 26 10 10 10 26 26 = 17576000 plat nomor kendaraan yang berbeda.

6

ATURAN PENJUMLAHANJika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n1 cara dan pekerjaan kedua dengan n2 cara; serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapatn1 + n2 cara untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut.

Contoh: Departemen Matematika akan menghadiahkan sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau seorang dosen. Ada berapa cara memberi hadiah, jika terdapat 532 mahasiswa dan 54 dosen?

Terdapat 532 + 54 = 586 cara.7

GENERALISASI ATURAN PENJUMLAHAN Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T1, T2, …, Tm yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, dan tidak ada dua di antara pekerjaan-pekerjaan tersebut yang dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka

terdapat n1 + n2 + … + nm cara untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas tersebut.

8

Contoh:Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas proyek Matematika Diskrit dari tiga buah daftar, yang masing-masing berisikan 9, 21, dan 17 proyek. Ada berapa tugas proyek yang dapat dipilih?Jawab : 9 + 21 + 17 = 47

CONTOH SOAL• Contoh 1 : Seorang guru SD di daerah, mengajar murid kelas 4, kelas 5 dan kelas 6.

Jika jumlah murid kelas 4 adalah 25 orang dan jumlah murid kelas 5 adalah 27 orang serta jumlah murid kelas 6 adalah 20 orang, maka jumlah murid yang diajar guru tersebut adalah

Jawab : 25 + 27 + 20 = 72 murid.

• Contoh 2 : Seorang mahasiswa ingin membeli sebuah motor. Ia dihadapkan untuk

memilih pada satu jenis dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki 2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan. Berapa banyak cara mahasiswa dapat membeli sebuah motor?

Jawab :Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai mempunyai pilihan

sebanyak 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.

9

PRINSIP DASAR COUNTINGAturan penjumlahan dan perkalian juga dapat direpresentasikan dalam istilah himpunan.Aturan penjumlahan Misalkan A1, A2, …, Am himpunan yang saling lepas. Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari gabungan A1 A2 … Am adalah jumlah dari banyaknya anggota setiap himpunan.

|A1 A2 … Am | = |A1| + |A2| + … + |Am|.

Aturan perkalian Misalkan A1, A2, …, Am himpunan hingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari hasil kali Cartesian A1 A2 … Am dilakukan dengan memilih satu anggota dari A1, satu anggota dari A2, …, dan satu anggota dari Am.

|A1 A2 … Am | = |A1| |A2| … |Am|. 10

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIContoh : Berapa banyak string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?

Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1.

Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),dua cara untuk memilih bit ketiga (0 or 1),...dua cara untuk memilih bit kedelapan (0 or 1).

Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 127 = 128 cara.

11

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIPekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00.

Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),...dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1),satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dansatu cara untuk memilih bit kedelapan(0).

Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan dalam 26.1.1 = 64 cara.

12

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIKarena terdapat 128 cara untuk melakukan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192 string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang bersamaan.Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan membuat string yang dimulai dengan 1, beberapa dari string tersebut diakhiri dengan 00.Jadi, kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2 pada saat yang bersamaan, sehingga aturan penjumlahan tidak berlaku.

13

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIJika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan, dalam kasus ini, kita harus mengurangkan kasus-kasus di mana Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang bersamaan.

Ada berapa kasus, yaitu, ada berapa banyak string yang dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 00?

Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua, …, bit keenam (0 atau 1), dan satu cara untuk bit ketujuh dan kedelapan (0).

Aturan perkalian: Dalam 25 = 32 kasus, Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang sama.

14

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIKarena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 2, dan dalam 32 dari kasus-kasus tersebut Pekerjaan 1 dan 2 diselesaikan pada saat yang bersamaan, maka terdapat

128 + 64 – 32 = 160 cara untuk melakukan salah satu di antara kedua Tugas tersebut.

Dalam teori bilangan, ini berkorespondensi dengan himpunan A1 dan A2 yang tidak saling lepas. Maka:

|A1 A2| = |A1| + |A2| - |A1 A2|

Ini disebut prinsip inklusi-eksklusi.15

DIAGRAM POHONAda berapa string biner dengan panjang empat yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan?

bit ke-1 bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4

16

00

0000 00

111100

11 00 0011

11 0000 00

111100

Jadi, terdapat 8 string.

PRINSIP SARANG MERPATI (THE PRINCIPLE PIGEONHOLE)

CONTOH PENGGUNAAN PRINSIP PIGEONHOLEContoh 1: Jika terdapat 11 pemain dalam sebuah tim sepakbola yang menang dengan angka 12-0, maka haruslah terdapat paling sedikit satu pemain dalam tim yang membuat gol paling sedikit dua kali.

Contoh 2: Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam selang waktu Senin sampai Jumat, maka haruslah terdapat paling sedikit satu hari ketika anda menghadiri paling sedikit dua kelas.

1. Diantara tiga orang, pasti terdapat dua orang dengan jenis kelamin sama karena hanya terdapat dua jenis kelamin di dunia ini.

2. Diantara 13 orang yang berbeda, paling sedikit terdapat dua orang dengan bulan kelahiran yang sama karena di dunia ini hanya terdapat 12 bulan berbeda.

3. Diantara n orang dalam suatu ruangan, setidaknya terdapat dua orang yang memiliki jumlah kenalan dalam ruangan tersebut sama karena kejadian ada seseorang yang tidak mengenal siapapun dan ada seseorang yang mengenal semua orang lain dalam ruangan tersebut tidak mungkin ditemui bersamaan.

4. Dari dalam lemari yang memuat 5 jenis kaos kaki berbeda dalam jumlah banyak, kita dapat mengambil 6 kaos kaki untuk memastikan kita mendapatkan sepasang kaos kaki berwarna sama

GENERALISASI PRINSIP SARANG MERPATI

TEORI RAMSEYAsumsikan bahwa di dalam suatu kelompok yang terdiri dari 6 orang, setiap pasang terdiri dari dua sahabat atau dua musuh.Tunjukkan bahwa terdapat tiga orang yang saling bersahabat atau tiga orang yang saling bermusuhan dalam kelompok tersebut.

TEORI RAMSEY (2)Bilangan Ramsey R(m,n), dengan m dan n bilangan bulat positif 2, adalah jumlah minimum orang dalam suatu pesta sehingga terdapat m orang yang saling bersahabat atau n orang yang saling bermusuhan, dengan mengasumsikan setiap pasang orang di pesta tersebut adalah sahabat atau musuh.

24

Kuis ke-6 Mata Kuliah Kombinatorika Nama : NIM : Waktu : 10 menit

1. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) dimana semua angkanya berbeda?

2. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11?

Solusi :

SOLUSI1. Misal : A = Himpunan bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk

bilangan1000 dan 9999 itu sendiri ) dimana semua angkanya berbeda.

Banyak anggota himpunan A adalah :Karena semua anggota himpunan tersebut terdiri atas bilangan ganjil

maka, banyak anggota yang mungkin :Di tempat satuan : 1,3,5,7,9 (karena bilangan ganjil)Di tempat ribuan : 2,3,4,5,6,7,8,9Di tempat ratusan : 0,3,4,5,6,7,8,9Di tempat puluhan : 3,4,5,6,7,8,9

Berdasarkan aturan perkalian, maka banyak anggota himpunan A : 8 . 8 . 7 . 5 = 2240

25

8 8 7 5

SOLUSI

26