บทที่ 4การแปลงทางเรขาคณิต (12 ช่ัวโมง)

4.1 การเลื่อนขนาน (4 ช่ัวโมง) 4.2 การสะทอน (4 ช่ัวโมง) 4.3 การหมุน (4 ช่ัวโมง)

สาระสําคัญของบทนี้ตองการใหนักเรียนมีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตบนระนาบสามแบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะทอนและการหมุน ภาพที่ไดจากการแปลงเหลานี้มีรูปรางเหมือนกันและขนาดเทากันกับรูปตนแบบ กิจกรรมที่เสนอไวมุงเนนการคิดวิเคราะห และเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในคณิตศาสตรกับชีวิตจริงและงานศิลปะ กิจกรรมเหลานี้ครูควรใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติจริง เพื่อพัฒนาความรูสึกเชิงปริภูมิและความคิดริเร่ิมสรางสรรค ในการทาํแบบฝกหดัทีเ่กีย่วกบัการหาภาพทีไ่ดจากการแปลงทางเรขาคณติ ไมจาํเปนตองใหนกัเรยีนเขียนอธิบายวิธีทําทุกขอ แตนักเรียนจะตองหาภาพไดโดยแสดงรองรอยไวตามความเหมาะสม ทั้งสามารถรวมกันอภิปรายและใหเหตุผลเกี่ยวกับการหาภาพที่ไดจากการแปลงทางเรขาคณิตเหลานั้นได การแปลงทางเรขาคณติแตละแบบในบทนี ้ สวนใหญจะกลาวถึงการแปลงบนระนาบในระบบพกิดัฉาก ซ่ึงนักเรียนจะหาภาพและพิกัดของจุดที่ไดจากการแปลงไดโดยงาย ในการใหนักเรียนวิเคราะหวา การแปลงทางเรขาคณิตที่กําหนดให จะเปนแบบใดแบบหนึ่งในสามแบบที่เรียนมานั้น ครูตองกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการแปลงซึ่งสามารถกําหนดจุดอยางนอยสามจุดบนรูปตนแบบที่ไมอยูบนแนวเสนตรงเดียวกันและภาพของจุดเหลานี้ได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. วิเคราะหและอธิบายความสัมพันธระหวางรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน การสะทอนและการหมุนได 2. นําสมบัติเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน การสะทอน และการหมุนไปใชได 3. บอกพิกัดของรูปเรขาคณิตที่ไดจากการเลื่อนขนาน การสะทอน และการหมุนบนระนาบ ในระบบพิกัดฉากได

51

แนวทางในการจัดการเรียนรู

การแปลงทางเรขาคณิต เมื่อกลาวถึงการแปลงทางเรขาคณิต จะหมายถึงการจับคูแบบหนึ่งตอหนึ่งอยางทั่วถึงระหวางจุดที่สมนัยกันบนระนาบซึ่งเปนจุดบนรูปตนแบบกับจุดบนภาพที่ไดจากการแปลงนั้น

โดยทั่วไปเมื่อกลาวถึงการแปลง ภาพที่ไดจากการแปลงอาจมีรูปรางและขนาดแตกตางกันไปจากรูปตนแบบ เชน รูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการยอหรือขยาย สําหรับบทนี้จะกลาวถึงเฉพาะการแปลงทางเรขาคณิตสามแบบ ไดแก การเลื่อนขนาน การสะทอนและการหมุน การแปลงเหลานี้จะมีสมบัติวารูปตนแบบและภาพที่ไดจากการแปลงมีรูปรางเหมือนกันและขนาดเทากัน

4.1 การเลื่อนขนาน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการเลื่อนขนานบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานรูปตนแบบได 3. หาเวกเตอรของการเลื่อนขนานเมื่อกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถบอกไดวารูปคูใด แสดงการเลื่อนขนาน 6. ใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนานแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 4.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูอาจนาํเขาสูบทเรยีนดวยการสนทนาเกีย่วกบัสิง่ตาง ๆ ในชวีติจรงิทีแ่สดงการเลือ่นขนาน เชน

การปดเปดประตูบานเลื่อน การเข็นรถยนตที่จอดอยู การดึงล้ินชัก เพื่อเชื่อมโยงการเลื่อนในชีวิตจริงกับการเลื่อนขนานในทางคณิตศาสตร ตามที่กลาวไวในหนังสือเรียน 2. การใชเวกเตอรและสัญลักษณของเวกเตอรในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนานในหัวขอนี้ มีเจตนาเพียงเพื่อบอกเงื่อนไขของการเลื่อนขนานรูปตนแบบเทานั้น ครูไมควรใหความรูเกี่ยวกับเวกเตอรแกนักเรียน เกินกวาที่กลาวไวในหนังสือเรียน

3. สําหรับกิจกรรม “สํารวจการเลื่อนขนาน” ครูควรใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติ เพื่อหาความสัมพันธและสรุปเปนสมบัติของการเลื่อนขนาน อาจแนะนําใหนักเรียนใชวงเวียนในการตรวจสอบความยาวของสวนของเสนตรง ซ่ึงจะสะดวกกวาการใชไมบรรทัด ขอสรุปที่นักเรียนพบคือ

52

AB // BA ′′ และ AB = A′B′ BC // CB ′′ และ BC = B′C′ AC // CA ′′ และ AC = A′C′

เราสามารถใหเหตุผลไดวาขอสรุปดังกลาวเปนจริงโดยใชสมบัติทางเรขาคณิตที่กลาววา“สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ยาวเทากันและขนานกัน จะยาวเทากันและขนานกัน”ซ่ึงการใหเหตุผลนี้ครูไมจําเปนตองแสดงการพิสูจนใหนักเรียนดู ในการตรวจสอบเพื่อหาขอสรุปวา ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานมีรูปรางและขนาดไมเปลี่ยนแปลงไปจากรปูตนแบบโดยใชกระดาษลอกลายนัน้ ส่ิงสาํคญัทีค่รูตองเนนกบันกัเรยีนคอื สามารถเลือ่นรปูมาทบักนัไดสนทิโดยไมมกีารพลกิรูป และระหวางการเลื่อนจะไมสนใจเสนทางของการเลื่อนที่อาจไมเปนแนวเสนตรงก็ได

4. ครูใหนักเรียนสังเกตเกี่ยวกับการหาภาพของรูปหลายเหลี่ยมที่ไดจากการเลื่อนขนาน โดยใชแผนโปรงใสลอกรูปตนแบบ แลวเล่ือนแผนใสดวยเวกเตอรที่กําหนดให เพื่อใหนักเรียนเห็นวา ในการเล่ือนขนานทุก ๆ จุดบนรูปตนแบบจะเคลื่อนไปบนระนาบพรอม ๆ กันดวยเวกเตอรเดียวกัน และใหคําแนะนําวา ถานักเรียนตองการหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ควรหาเฉพาะจุดซึ่งเปนภาพของจุดยอดมุมของรูปตนแบบ ก็เพียงพอที่จะเขียนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานรูปตนแบบได

5. ในการหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน เมื่อกําหนดรูปตนแบบและเวกเตอรบนระนาบในระบบพิกัดฉาก ครูควรใหนักเรียนไดฝกวิเคราะหเวกเตอรที่โจทยกําหนดมาให โดยดูที่ทิศทางและระยะทางตามแกน X และแกน Y วิธีนี้จะชวยใหนักเรียนหาภาพของจุดที่ไดจากการเลื่อนขนานไดงาย ครูอาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 4.1 เพื่อใหนักเรียนมีพื้นฐานในการเลื่อนขนานตามแกน X หรือแกน Y กอนแลวจึงใหเวกเตอรในลักษณะเปนเสนเฉียง และในเรื่องนี้เมื่อกําหนดเวกเตอรเปนเสนเฉียง จะกําหนดเวกเตอรใหอยูในแนวของเสนทแยงมุมของตารางบนระนาบในระบบพิกัดฉากเทานั้น 6. สําหรับตัวอยางที่ 5 ครูควรทําความเขาใจกับนักเรียนใหสามารถวิเคราะหและใหเหตุผลไดวา รูปเรขาคณิตสองรูปที่กําหนดให ถามีความสัมพันธกันในลักษณะของการเลื่อนขนาน ควรพิจารณาอยางไรซึ่งนักเรียนควรพิจารณาไดวา ถาเปนการเลื่อนขนานจะตองหาเวกเตอรของการเลื่อนขนานไดครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรม “ภาพจากการเลื่อนขนาน” และอาจใหนักเรียนชวยกันอภิปรายบอกเหตุผลแทนการเขียน 7. ตัวอยางและแบบฝกหัดเกี่ยวกับการคํานวณหาพื้นที่โดยประมาณของรูปเรขาคณิต เปนสาระที่ตองการใหนกัเรยีนไดเหน็การนาํสมบตัขิองการแปลงทางเรขาคณติ มาชวยในการแกโจทยปญหาที่กําหนดใหมุมมองหรือแนวคิดในการคํานวณหาพื้นที่ของนักเรียนแตละคนอาจไมเหมือนกัน ครูควรใหโอกาสนักเรียนไดคิดอยางอิสระ และเสนอแนวคิดนั้นกับเพื่อน ๆ ดวย

53

8. เพื่อใหนักเรียนไดพัฒนาความคิดริเร่ิมสรางสรรค ครูควรหาตัวอยางงานที่ใชความรูเร่ืองการเล่ือนขนานมาใหนักเรียนดู อาจเปนงานที่ผลิตจากทองถ่ินของนักเรียน เชน ลายผา ลวดลายตามฝาผนัง ลวดลายเหล็กดัดของหนาตางหรือประตู นอกจากนี้ครูควรใหนักเรียนออกแบบลวดลายที่ใชการเลื่อนขนานและใหเสนอผลงานดวย

4.2 การสะทอน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการสะทอนบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการสะทอนรูปตนแบบได 3. หาเสนสะทอนของการสะทอนเมื่อกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการสะทอนของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถบอกไดวารูปคูใด แสดงการสะทอน 6. ใชความรูเกี่ยวกับการสะทอนแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนดวยการสนทนาและใหนักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับภาพหรือเงาของวัตถุที่

เกิดจากการสะทอนในน้ํา เปรียบเทียบรูปรางและขนาดของเงากับของจริงวาเปนอยางไรบาง ซ่ึงนักเรียนอาจบอกไดวาตามหลักของวิทยาศาสตร รูปรางและขนาดของเงาอาจแตกตางจากของจริง เนื่องจากผิวน้ําอาจไมราบเรียบและไมใสเหมือนกระจกเงา

2. สําหรับกิจกรรม “เงาในกระจก” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธระหวางรูปตนแบบ เสนสะทอนและภาพทีไ่ดจากการสะทอนในชวีติจรงิ ซ่ึงจะชวยใหนกัเรยีนมคีวามเขาใจเกีย่วกบัการสะทอนที่กลาวถึงในคณิตศาสตรมากขึ้น

3. กิจกรรม “สํารวจการสะทอน” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนหาขอสรุปวาสมบัติของการสะทอนแตกตางจากสมบตัขิองการเลือ่นขนานอยางไรบาง นกัเรยีนจะตองเหน็ความแตกตางไดอยางชดัเจนวา เมื่อนํารูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการสะทอนจะตองมีการพลิกรูปตนแบบ จึงจะทําใหรูปทั้งสองทับกันไดสนิท

4. ในสาระที่เกี่ยวกับรูปสมมาตรบนเสนและแกนสมมาตรซึ่งนักเรียนเคยรูจักมาแลว ครูอาจทบทวนโดยใหนักเรียนอธิบายถึงลักษณะของรูปสมมาตรบนเสน แกนสมมาตรและจํานวนแกนสมมาตรของรปูเรขาคณติแบบตาง ๆ พรอมทัง้ยกตวัอยางรปูสมมาตรบนเสนทีอ่ยูใกลตวัในธรรมชาต ิ กอนที่จะชวยกันสรุปวา รูปสมมาตรบนเสนเปนรูปที่ไดจากการสะทอนโดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน

54

5. การหาภาพที่ไดจากการสะทอนของรูปหลายเหลี่ยม ก็สามารถทําไดในทํานองเดียวกันกับการหาภาพทีไ่ดจากการเลือ่นขนาน กลาวคอื หาเฉพาะจดุทีเ่ปนภาพของจดุยอดมมุของรปูตนแบบ ก็เปนการเพียงพอที่จะเขียนภาพที่ไดจากการสะทอนของรูปตนแบบได

6. ในการหาเสนสะทอนของการสะทอน ครูอาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหและอธิบายการสรางเสนสะทอนวาจะทําอยางไรไดบาง ครูอาจแนะนําใหนักเรียนวิเคราะหยอนกลับจากความหมายของการสะทอน ซ่ึงนักเรียนอาจตอบไดวา ถาใหเปนไปตามความหมายของการสะทอนจะตองหาเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดที่สมนัยกัน และถานักเรียนใชวงเวียนและสันตรงชวยในการหาเสนสะทอน ก็จะสะดวกกวา แตถานักเรียนใชเฉพาะไมบรรทัด ก็อาจแนะนําใหใชวิธีการแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดที่สมนัยกันสองคู เสนตรงที่ผานจุดกึ่งกลางสองจุดนี้จะเปนเสนสะทอน ซ่ึงสามารถอธิบายไดโดยใชสมบัติของเสนขนาน ครูไมจําเปนตองอธิบายหรือแสดงเหตุผลประกอบ

7. ในบทนี้จะกําหนดเสนสะทอนบนระนาบในระบบพิกัดฉาก ใหเปนเสนตรงซึ่งอาจเปนแกน Xหรือแกน Y เสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือขนานกับแกน Y กอน สวนการกําหนดเปนเสนเฉียงนั้นจะกําหนดใหเปนเสนทแยงมุมของตารางบนระนาบ และจะกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดเปนรูปเรขาคณิตที่นักเรียนสามารถบอกพิกัดที่มีสมาชิกเปนจํานวนเต็มได

8. ในการสอนใหนักเรียนรูจักพิจารณาวา รูปเรขาคณิตที่กําหนดใหมีความสัมพันธกันในลักษณะของการสะทอนหรือไม อยางไรนั้น ครูควรแนะนําใหพิจารณาวา ถาเปนการสะทอนจะตองหาเสนสะทอนไดและควรใหนักเรียนทํากิจกรรม “ภาพจากการสะทอน” ซ่ึงอาจใหนักเรียนชวยกันอภิปรายบอกเหตุผล

9. สําหรับการนําความรูเกี่ยวกับการสะทอนไปใชในการหาพื้นที่โดยประมาณของรูปเรขาคณิตที่กําหนดให ครูควรถามแนวคิดในการแกปญหาของนักเรียนดวยวา นักเรียนใชการสะทอนมาแกปญหาอยางไร และอาจใหนักเรียนนําเสนอแนวคิดของตนหนาชั้นเรียน เพราะแนวคิดของนักเรียนอาจแตกตางกัน

10. กิจกรรม “ศิลปะกับการสะทอน” เจตนาเพื่อฝกทักษะการนําสมบัติการเลื่อนขนานและการสะทอนมาชวยในการออกแบบ นักเรียนจะไดพัฒนาความคิดริเร่ิมสรางสรรคและความรูสึกเชิงปริภูมิดวย

11. ครูอาจสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับการนําความรูเร่ืองการสะทอน มาใชประโยชนในงานบางอยาง เชน ทํากลองสลับลาย ครูอาจทํากลองสลับลายไวเปนสื่อการเรียนการสอนและเปนตัวอยางใหนักเรียนไดเห็นลวดลายที่ไดจากการสะทอน อาจใหนักเรียนไดลองทํากลองสลับลายอยางงาย ๆ โดยใชไมบรรทัดพลาสติกแทนกระจก

55

4.3 การหมุน (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการหมุนบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการหมุนรูปตนแบบได 3. หาจุดหมุน ขนาดของมุมที่เกิดจากการหมุน บอกทิศทางการหมุนเมื่อกําหนดรูปตนแบบและ ภาพที่ไดจากการหมุนได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการหมุนของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถบอกไดวารูปคูใด แสดงการหมุน 6. ใชความรูเกี่ยวกับการหมุนแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนดวยการสนทนาเกี่ยวกับสิ่งตาง ๆ ในชีวิตจริงที่แสดงการหมุน โดยใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยาง กอนใหความหมายของการหมุนรูปเรขาคณิตบนระนาบ การหมุนในหัวขอนี้จะไมกลาวถึงการหมุนที่มีขนาดของมุมเทากับ 0 องศา และ 360 องศา

2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจการหมุน” ควรใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติเพื่อหาความสัมพันธของรูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการหมุน ขอสรุปที่ไดจากการสํารวจการหมุนมีสวนที่เหมือนกับการเลื่อนขนานคือสามารถเลื่อนรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการหมุนไดสนิทโดยไมตองมีการพลิกรูป แตดานที่สมนัยกันของรูปตนแบบและภาพไมจําเปนตองขนานกัน ทั้งนี้เพื่อจะไดใชขอสังเกตนี้ในการพิจารณาวาการแปลงทางเรขาคณิตที่โจทยกําหนดใหเปนการแปลงแบบใด

กอนใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมนี ้ ครูอาจใชแผนโปรงใสลอกรปูตนแบบ และแสดงการหมนุรูปบนแผนใสทีจ่ดุหมนุ P ดวยขนาดของมมุและทศิทางการหมนุตามทีก่าํหนด เพือ่ใหนกัเรยีนสงัเกตไดวาทกุ ๆ จดุบนรปูตนแบบจะเคลือ่นไปบนระนาบ และจดุคูทีส่มนยักนับนรูปตนแบบและบนภาพทีไ่ดจากการหมนุ จะอยูหางจากจดุหมนุเปนระยะทีเ่ทากนัเปนคู ๆ

3. ในการหาภาพทีไ่ดจากการหมนุเมือ่กาํหนดจดุหมนุ ขนาดของมมุทีใ่ชในการหมนุและทศิทางการหมุนให ครูควรใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหวิธีทําวา จะตองทําอะไรกอน มีขั้นตอนอะไรบาง และควรใชอุปกรณใดมาชวยในการหาภาพ เชน การหาขนาดของมุมก็อาจใชวงเวียนหรือโพรแทรกเตอร เมื่อนักเรียนหาภาพที่ไดจากการหมุนไดแลว จึงใชคําถามเพื่อใหไดขอสรุปวา จุดที่สมนัยกันจะอยูบนวงกลมเดียวกัน และวงกลมแตละวงที่ผานจุดคูที่สมนัยกันแตละคู ไมจําเปนตองมีรัศมียาวเทากัน แตตองมีจุดหมุนจุดเดียวกันซึ่งเปนจุดศูนยกลางของวงกลมทุกวง ครูควรใชคําถามตอวา ถาตองการหาภาพที่ไดจากการหมุนรูปตนแบบ วิธีที่ทําไดงายควรสรางอะไรกอน นักเรียนควรตอบไดตามขั้นตอนที่ใหไวในตัวอยางที่ 1

56

4. ในการวิเคราะหหาจุดหมุนเมื่อโจทยกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการหมุนให ครูอาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหและหาวิธีทํากอน ถานักเรียนทําไมไดครูจึงคอยช้ีแนะใหสรางเสนตรงสองเสนแตละเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดที่สมนัยกัน ซ่ึงจะไดจุดตัดของเสนตรงทั้งสองนั้นเปนจุดหมุน ดังตัวอยางขางลางนี้ที่มีจุด R เปนจุดหมุน

ครูควรแนะนําใหนักเรียนตรวจสอบวา ถาใชจุด R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทากับ RB เขียนสวนโคงของวงกลมแลวจะไดจุด B′ อยูบนวงกลมหรือไม การกระทํานี้เพื่อใหนักเรียนไดแนวคิดวา ถารูปเรขาคณิตสองรูปที่กําหนดใหเกิดจากการหมุนของรูปใดรูปหนึ่ง เมื่อไดจุดตัดเชนจุด R แลว ควรตรวจสอบระยะหางระหวางจุดตัดนั้นกับจุดที่สมนัยคูอ่ืน ๆ อีกวาแตละคูยาวเทากันหรือไม เพื่อยืนยันวาจุด R นั้นเปนจุดหมุน

5. สําหรับการหมุนที่กําหนดรูปตนแบบบนระนาบในระบบพิกัดฉาก จะกลาวเฉพาะการหมุนที่กําหนดใหจุดกําเนิด (0, 0) เปนจุดหมุน ขนาดของมุมที่ใชในการหมุนเปน 90o, 180o และ 270o และจุดยอดมุมของรูปตนแบบมีพิกัดที่สมาชิกของพิกัดเปนจํานวนเต็ม ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนสามารถหาพิกัดของภาพที่ไดจากการหมุนที่สมาชิกของพิกัดเปนจํานวนเต็มดวย

6. สําหรับตัวอยางที่ 3 ซ่ึงเปนโจทยวิเคราะหวา รูปเรขาคณิตสองรูปที่กําหนดใหคูใดแสดงการแปลงทางเรขาคณิตในลักษณะของการหมุน ครูควรใหนักเรียนบอกแนวคิดวา จะมีขอพิจารณาอะไรบาง นักเรียนควรวิเคราะหกอนวา เมื่อไมใชเปนการแสดงการสะทอนและไมใชเปนการแสดงการเลื่อนขนานแลวจึงพิจารณาวาเปนการหมุนหรือไม ถาแสดงการหมุนจะตองหาจุดหมุนได การหาจุดหมุนใชวิธีตามขั้นตอนที่กลาวไวในขอ 4 ขางตน

7. กรอบความรู “สมมาตรการหมุน” ใหไวเพื่อใหนักเรียนเห็นวาการแปลงทางเรขาคณิตที่เปนการหมุน บางรูปมีลักษณะพิเศษที่สามารถมองเห็นชัดเจนวา ภาพที่ไดทุกรูปเหมือนรูปตนแบบไมกลับ

C′A′

B′ A

BC

P

RY Q

X

F

E

57

ทิศทางใหดูสับสนเหมือนการหมุนอื่น ๆ ทั้งนี้เพราะขนาดของมุมที่ใชในการหมุนเปนขนาดที่หาร 360ไดลงตัวจึงทําใหการหมุนที่ครบรอบแลว ไดภาพทับกับรูปตนแบบสนิทพอดี

8. สําหรับ “ศิลปะกับการหมุน” ครูอาจใหนักเรียนเลือกทํากิจกรรมใดกิจกรรมหนึ่งก็ไดตามใจชอบ และควรใหเสนอผลงานพรอมเหตุผลประกอบ เพื่อใหนักเรียนแตละคนไดเห็นความคิดสรางสรรคของเพื่อน ๆ

9. สําหรับแบบฝกหัด 4.3 ขอ 7 และขอ 8 ควรใหนักเรียนทําเปนการบาน เพราะเปนงานที่ตองใชความคิดสรางสรรค นักเรียนอาจใชการแปลงทางเรขาคณิตแบบใดแบบหนึ่งหรือหลาย ๆ แบบมาออกลวดลาย

10. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” ครูอาจนํามาใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหเพื่อหาคําตอบในช้ันเรียนก็ได ทั้งนี้เพราะการหาพื้นที่โดยประมาณของรูปที่กําหนดใหนักเรียนแตละคนอาจใชความรูจากการแปลงทางเรขาคณิตตางกัน

11. สําหรับกรอบความรู “กลองสลับลาย” นอกจากใหนักเรียนประดิษฐกลองสลับลายแลว ครูควรใหนักเรียนสังเกตภาพที่เห็นภายในกลอง วาเปนภาพที่เหมือนกัน 6 ภาพ เพราะเมื่อนํากระจกเงามาวางทํามุมกันขนาด 60o จะเกิดภาพรวมทั้งรูปตนแบบเปนจํานวน 6 ภาพซึ่ง 6 ไดมาจาก 360 ÷ 60

12. กิจกรรม “การสะทอนแบบเลื่อน” เสนอไวเพื่อใหเปนความรูวาการแปลงทางเรขาคณิตบนระนาบที่รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการแปลงมีรูปรางเหมือนกันและขนาดเทากัน นอกจากจะมีแบบการเล่ือนขนาน การสะทอนและการหมุนแลว ยังมีการสะทอนแบบเลื่อนอีกหนึ่งแบบและ ครูอาจแนะนําวาการแปลงทางเรขาคณิตบนระนาบที่ทําใหภาพที่ไดจากการแปลงมีรูปรางเหมือนกันและขนาดเทากันกับรูปตนแบบ จะตองเปนแบบใดแบบหนึ่งในสี่แบบนี้เทานั้น ครูไมตองนําความรูเร่ืองการสะทอนแบบเลื่อนไปวัดผล

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “สํารวจการเลื่อนขนาน”

1. ใช2. จําเปน3. ใช4. ทับกันไดสนิท

58

คําตอบกิจกรรม “ภาพจากการเลื่อนขนาน”

1. ไมเปน เพราะ AA ′ , BB ′ และ CC ′ ยาวไมเทากัน2. ไมเปน เพราะ มี AA ′ และ CC ′ ไมขนานกัน3. เปน เพราะ PP ′ , QQ ′ , RR ′ และ SS ′ ขนานกันและยาวเทากัน4. ไมเปน เพราะ AA ′ , BB ′ , CC ′ และ DD ′ ยาวไมเทากัน5. เปน เพราะ PP ′ , QQ ′ , RR ′ และ SS ′ ขนานกันและยาวเทากัน

คําตอบแบบฝกหัด 4.1

1.

จากรูป QP ′′ เปนภาพที่ไดจากการเล่ือนขนาน PQ ดวย MN

2.

จากรูป ∆ P′Q′R′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ∆ PQRดวย MN

3. 1) A′(4, 5) B′(2, 3) C′(3, 1) D′(5, 2)2) E′ เปนจุดกึ่งกลาง BA ′′ และมีพิกัดเปน (3, 4)

M

N

P

QR

Q′

P′

R′

Q

PM

N

Q′

P′

Q

59

5.

จากรูปจะได AA′ เปนเวกเตอรของการเลื่อนขนาน AB

6. A′(-8, 3)7. B′(0, -4) และ C′(-1, 0)8. ประมาณ 15 ตารางเซนติเมตร9. ประมาณ 12 ตารางเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “บอกหนอยซิ”

1. (3, 1) และ (3, -11)2.

เวกเตอรของการเลื่อนขนานคือ AA′

คําตอบกิจกรรม “เงาในกระจก”

7.1) จุด A และจุด A′ อยูหางจากเสนตรงที่เปนรอยพับเทากัน2) จุด B และจุด B′ อยูหางจากเสนตรงที่เปนรอยพับเทากัน จุด C และจุด C′ อยูหางจากเสนตรงที่เปนรอยพับเทากัน3) ตั้งฉาก4) ทับไมสนิท แตเมื่อลองพลิก ∆ ABC แลวนําไปทับ ∆ A′B′C′ จะทับไดสนิท

0 2 4 6-2

Y

X

4

A′(-3, 2)

B′(0, 5)

A (2, 2)

B (5, 5)

2

3

5

(x + 3, y – 5)

(x , y )A

A′

60

คําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

1. จงชวยกันรักษาสิ่งแวดลอมเพื่อใหสังคมไทยนาอยู2.

คําตอบกิจกรรม “สํารวจการสะทอน”

1. ขนานกัน แตยาวไมเทากัน2. PQ และ QP ′′ ไมขนานกัน QR และ RQ ′′ ไมขนานกัน PR และ RP ′′ ขนานกัน3. ไมจําเปนตองขนานกัน4. ใช5. ทับไมสนิท แตเมื่อลองพลิก ∆ PQR แลวนําไปทับ ∆ P′Q′R′ จะทับไดสนิท

คําตอบกิจกรรม “ภาพจากการสะทอน”

1.1) ไมเปน เพราะสามารถเลื่อนรูป ก ทับรูป ข ไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป2) เปน เพราะ (1) สามารถพลิกรูป ข แลวเล่ือนมาทับรูป ก ไดสนิท (2) สามารถหาเสนสะทอนได3) ไมเปน เพราะรูป ก และรูป ข ไมเปนรูปที่เทากันทุกประการ4) เปน เพราะ (1) สามารถพลิกรูป ข ทับรูป ก ไดสนิท (2) สามารถหาเสนสะทอนได5) ไมเปน เพราะไมสามารถหาเสนสะทอนได6) ไมเปน เพราะสามารถเลื่อนรูป ก ทับรูป ข ไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป

61

คําตอบแบบฝกหัด 4.2

1.1)

จากรูปจะได XY เปนเสนสะทอน

2)

จากรูปจะได XY เปนเสนสะทอน

3)

จากรูปจะได XY เปนเสนสะทอน

X

Y

X

Y

Y

X

62

2.

จากรูปจะได A′B′C′D′เปนภาพที่ไดจากการสะทอน

ABCD และมีพิกัดเปนA′(-2, -4), B′(4, -4),C′(2, -2) และ D′(2, 0)

3.1)

จากรูปจะไดรูป A′B′C′D′E′เปนภาพที่ไดจากการสะทอนรูป ABCDE และมีพิกัดดังนี้A′(3, 2), B′(1, 4), C′(0, 0),

D′(2, 1) และ E′(3, -2)

2)

จากรูปจะได ∆ A′B′C′เปนภาพที่ไดจากการสะทอน∆ ABC และมีพิกัดดังนี้A′(-3, 3), B′(1, 4) และC′(2, 1)

2D

0C′

A′ B′

D′ 4 6 8 10 X

-2

-4

-2-4-6

2

4

6Y

C

BA

X2 4 6-2-4

2

4Y

-2

AB

CD

E0

D′

B′

C′

E′

l

8

A′

l

A

BC

2 4 6 X

Y42

-2-4-6-2

-4

0

A′B′

C′

63

3)

จากรูปจะไดรูป P′Q′R′เปนภาพที่ไดจากการสะทอนรูป PQR และมีพิกัดดังนี้P′(3, 0), Q′(-3, 4) และR′(4, 5)

4. ประมาณ 42 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “สํารวจการหมุน”

1. ไมใช2. ไมจําเปน3. ใช4. ทับไดสนิท

คําตอบกิจกรรม “สมมาตรการหมุน”

รูปซายมือ เกิดจากการหมุนรูปสามเหลี่ยมทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา รอบจุดศูนยกลางของวงกลมดวยมุมที่มีขนาด 60o ตอเนื่องกันไปจนครบรอบ

รูปขวามือ เกิดจากการหมุนรูปสามเหลี่ยมทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา รอบจุดศูนยกลางดวยมุมที่มีขนาด 120o ตอเนื่องกันไปจนครบรอบ

คําตอบแบบฝกหัด 4.3

1.1) A′(-3, -4) 2) B′(3, 2)3) C′(4, 1) 4) D′(-4, 3)

l

0 2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

X

YP

RQ

P′

R′Q′

64

2.1)

จากรูปจะไดรูป ข เปนภาพที่ไดจากการหมุนรูป ก รอบจุด P ทวนเข็มนาฬิกา 45 องศา

2)

จากรูปจะไดรูป ข เปนภาพที่ไดจากการหมุนรูป ก รอบจุด P ตามเข็มนาฬิกา 90 องศา

3)จากรูปจะไดรูป ข เปนภาพที่ไดจากการหมุนรูป ก รอบจุด P ตามเข็มนาฬิกา 180 องศา

4)จากรูปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC ทวนเข็มนาฬิกา 60 องศา

ก

ข

P

กPข

ก

ขP

A′

B′

C′

B

A

C

P

65

3.1)

จากรูปจะไดจุด R เปนจุดหมุน

2)

จากรูปจะไดจุด P เปนจุดหมุน

3)

จากรูปจะไดจุด O เปนจุดหมุน

4)

จากรูปจะไดจุด Q เปนจุดหมุน

ก

R

ข

P

ก

ข

O

ข

ก

ข

Q ก

66

4.

จากรูปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC และมีพิกัดดังนี้A′(3, 3), B′(4, 6) และ C′(8, 4)

5.

จากรูปจะได ∆ OA′B′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ OAB และพิกัดจุด A′และ B′ เปน (-1, 4) และ (-4, 4)ตามลําดับ

6. ประมาณ 56.25 ตารางเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “แปลงแบบใด”

1. เปนภาพที่ไดจากการหมุน2. เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน3. เปนภาพที่ไดจากการสะทอน4. เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน5. เปนภาพที่ไดจากการสะทอน6. เปนภาพที่ไดจากการหมุน

2 4 6 8 X

Y

2

4

6

-2-4-2

-4

-6

-8

AB

C

C′

B′

A′

0

O 2 4 6-2-4-6

2

4

A

BA′B′

X

Y

67

คําตอบกิจกรรม “แปลงอยางไร”

คําตอบอาจตอบไดแตกตางกันตัวอยางคําตอบ

1. รูป B เกิดจากการเลื่อนขนานรูป A มาทางขวา 6 หนวย2. รูป C เกิดจากการสะทอนรูป B ดวยเสนสะทอน ซ่ึงขนานและอยูหางจากแกน Y มาทางขวา 2 หนวย3. รูป A เกิดจากการเลื่อนขนานรูป D มาทางซาย 1 หนวย แลวหมุนรูป D รอบจุดหมุน (-9, 2) ทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา4. รูป E เกิดจากการเลื่อนขนานรูป B ลงมา 2 หนวย แลวหมุนรูป B รอบจุดหมุน (-2, -1) ตามเข็ม นาฬิกา ดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา5. รูป C เกิดจากการเลื่อนขนานรูป E ขึ้นไป 6 หนวย แลวใชการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา จากนั้นเลื่อนขนานรูป E ขึ้นไปอีก 4 หนวย6. รูป D เกิดจากการเลื่อนขนานรูป E มาทางซาย 7 หนวย แลวใชการสะทอนรูป E ดวยเสนสะทอนที่ เปนแกน X

คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”

1. ประมาณ 12 ตารางหนวย2. ประมาณ 2.25 ตารางหนวย3. ประมาณ 7

88 ตารางหนวย 4. ประมาณ 1.54 ตารางหนวย5. ประมาณ 36 – 9π ตารางหนวย6. ประมาณ 8 ตารางหนวย7. ประมาณ 12 ตารางหนวย

68

คําตอบกิจกรรม “การสะทอนแบบไกลด”

ไดผลการแปลงเชนเดียวกัน เพราะภาพที่ไดจากการแปลงสุดทายมีลักษณะเปนอยางเดียวกัน ดังรูป

Q P

A″ B″

C″

A′ B′

C′

A B

CX Y

69

แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

70

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 4.1

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับการเลื่อนจุดบนระนาบในระบบพิกัดฉาก ดวยเวกเตอรที่ขนานกับแกน X หรือขนานกับแกน Y และฝกทักษะการหาพิกัดของจุดที่ไดจากการเลื่อนขนาน

1. กําหนด AB เปนเวกเตอรของการเลื่อนขนาน PQ จงหาพิกัดของจุด P′ และ Q′ ซ่ึงเปนภาพที่ได จากการเลื่อนขนาน PQ พรอมทั้งบอกพิกัดของจุด P′ และจุด Q′

2. กําหนด AB เปนเวกเตอรของการเลื่อนขนาน ∆ PQR จงหา ∆ P′Q′R′ ซ่ึงเปนภาพที่ไดจากการ เล่ือนขนาน ∆ PQR พรอมทั้งบอกพิกัดของจุด P′, Q′ และ R′

2 4

2

0-2

-2-4

B

AQP

Y

X

X2 4 6 8-2-4-6-8

Y

0

P

Q R

B A

2

4

6

-2

-4

-6

71

3. กําหนด ST เปนเวกเตอรของการเลื่อนขนาน ∆ ABC จงหา ∆ A′B′C′ ซ่ึงเปนภาพที่ไดจากการ เล่ือนขนาน ∆ ABC พรอมทั้งบอกพิกัดของจุด A′, B′ และ C′

คําตอบแบบฝกหัดเพิ่มเติม 4.1

1.

จากรูปจะได พิกัดของจุด P′ และจุด Q′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน PQ และมีพิกัดดังนี้ P′(-4, 1) และQ′(-2, 1)

-4 -2-8 42 6 8-6 0-2

-4

-6

2

4

6

X

Y

S T

C

A

B

2 4

2

0-2

-2-4

B

AQP

Y

XP′(-4, 1)

Q′(-2, 1)

72

2.

จากรูปจะได ∆ P′Q′R′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ∆ PQR และมีพิกัดดังนี้ P′(-4, 6), Q′(-8, 2) และ R′(0, 2)

3.

จากรูปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ∆ ABC และมีพิกัดดังนี้ A′(4, -4), B′(8, -6) และ C′(10, -2)

-4 -2-8 42 6 8-6 0-2

-4

-6

2

4

6

X

Y

S T

C

A

B

10C′(10, -2)

A′(4, -4)

B′(8, -6)

X2 4 6 8-2-4-6-8

Y

0

P

Q R

B A

P′(-4, 6)

R′(0, 2)Q′(-8, 2) 2

4

6

-2

-4

-6