บทที่ 5ความเทากันทุกประการ (14 ชั่วโมง)

5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ช่ัวโมง) 5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ช่ัวโมง) 5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ช่ัวโมง)

5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ช่ัวโมง)5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ช่ัวโมง)

5.6 การนําไปใช (3 ช่ัวโมง)

เนื้อหาสาระที่นําเสนอในบทนี้ ตองการใหนักเรียนเขาใจและสามารถใชบทนิยามและสมบัติตาง ๆเกี่ยวกับความเทากันทุกประการในการใหเหตุผลเบื้องตนทางเรขาคณิต โดยเสนอในลักษณะเชื่อมโยงกับความรูเร่ืองการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนไดเรียนแลว ในเรื่องความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมมีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถบอกไดวามีเงื่อนไขอยางไร รูปสามเหลี่ยมสองรูปจึงจะเทากันทุกประการในขั้นแรกจะใชวิธีลอกรูปไปทับกัน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจวาการที่รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเทากันทุกประการไดนั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะตองทับกันสนิท ในขั้นตอไปจึงจะกลาวถึงเงื่อนไขที่จะบอกใหทราบวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม โดยไมตองอาศัยการลอกรูปหรือนํารูปไปทับกันแตจะอาศัยความสัมพันธตามเงื่อนไขที่กําหนดของดานและมุมของรูปสามเหลี่ยมสองรูปในการพิจารณา

การใชสัญลักษณแสดงความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่จะนําไปสรุปเปนความเทากันทุกประการ จะตองเปนไปตามเงื่อนไขของความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเขียนสลับตําแหนงกันไมได เชน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เขียนแทนดวย ด.ม.ด. จะเขียนเปน ด.ด.ม. ไมได เพราะไมเปนไปตามขอตกลง

การนําเสนอเนื้อหาในบทนี้ยังมีตัวอยางใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของบทเรียนกับชีวิตจริง เพื่อนําสาระความรูไปอธิบายและแกปญหาได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. ระบุดานและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ 2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 4. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 5. ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผลได

74

แนวทางในการจัดการเรียนรู

5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกเงื่อนไขที่ทําใหรูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได 2. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตเกี่ยวกับการสะทอน การเลื่อนขนาน และการหมุน ซ่ึงเปนตัวอยางของการเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่ระยะหางระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปนั้นไมเปลี่ยนแปลง เพื่อนําเขาสูบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ ซ่ึงกลาววา“รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งใหทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท” การนําบทนิยามนี้ไปใชตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต จึงอาจทําไดโดยใชกระดาษลอกลายลอกรูปหนึ่งแลวนําไปทับอีกรูปหนึ่ง 2. เพื่อเสริมสรางความเขาใจเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต ครูอาจใชตัวอยางที่มีอยูในชีวิตจริง เชน รูปที่ไดจากการถายเอกสาร รูปเรขาคณิตสองรูปในแตละขางของแกนสมมาตรของรูปสมมาตรบนเสน ซ่ึงสามารถตรวจสอบความเทากันทุกประการไดโดยการพับรูปตามแนวแกนสมมาตรไดดังรูป

3. สมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรงและความเทากันทุกประการของมุมเปนพื้นฐานที่สําคัญของการศึกษาเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ในเรื่องสมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา“ถาสวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นยาวเทากัน และถาสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นเทากันทุกประการ” ในการนําสมบัตินี้ไปใช จึงไดวา AB ≅ CD และ AB = CD สามารถใชแทนกันได สําหรับในเรื่องสมบัติของ

75

ความเทากันทุกประการของมุม ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา “ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ แลวมุมทั้งสองมุมนั้นมีขนาดเทากัน และ ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน แลวมุมทั้งสองมุมนั้นเทากันทุกประการ”และครูควรชี้แจงขอตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนความเทากันของขนาดของมุมวา ตอไปนี้จะใช ∧A =

∧B แทน )Am(

∧ = )Bm(

∧

4. กิจกรรม “สมบัติอ่ืน ๆ ของความเทากันทุกประการ” เปนการแสดงใหเห็นวาความเทากันทุกประการเปนความสัมพันธสมมูล (eguivalence relation) กลาวคือมีสมบัติสะทอน สมบัติสมมาตรและสมบัติถายทอด ซ่ึงเปนพื้นฐานสําคัญที่นําไปใชในการพิสูจนทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความเทากันทุกประการ

5. หลังจากที่นักเรียนไดศึกษาตัวอยางหนา 205 – 206 และทําแบบฝกหัด 5.1 แลว นักเรียนจะไดแนวคิดวา “รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน(same shape) และมีขนาดเทากัน (same size)” ความรูความเขาใจในเรื่องนี้ นกัเรยีนสามารถนาํไปใชตรวจสอบความเทากนัทกุประการของรปูสามเหลีย่มและรูปหลายเหลีย่มอืน่ ๆ โดยการพจิารณาจากรปูรางและขนาดของรูป 6. ครูอาจจัดกิจกรรมเพิ่มเติมที่เปนการนําความรูเกี่ยวกับความเทากันทุกประการมาใช เชนการสรางรูปใหเทากันทุกประการโดยเขียนรูปที่ตองการบนกระดาษแผนหนึ่งเพื่อเปนแบบ แลวนํากระดาษแผนนั้นไปวางซอนบนกระดาษอีกแผนหนึ่ง เมื่อตัดกระดาษตามแบบที่เขียนไว จะไดรูปสองรูปที่เทากันทุกประการ

76

5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัย กันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ 2. บอกดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจเริ่มตนบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต เพื่อนํามาใชสํารวจ คนหา สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม จากการลงมือปฏิบัติโดยใชกระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งไปทับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง จากสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ครูควรเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ในเบื้องตนนี้เราตองตรวจสอบความเทากันถึง 6 คู ไดแก การตรวจสอบวาดานคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูยาวเทากันหรือไม และมุมคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูมีขนาดเทากันหรือไม ครูอาจหาตัวอยางเพิ่มเติม โดยกําหนดรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการใหสองรูป แลวใหนักเรียนคะเนดวยสายตาเพื่อหาดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกัน เพื่อนําเขาสูการทําแบบฝกหัด 5.2ขอ 1 เชน

จากรูปมีดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน ดังนี้ AB = CD, BD = DB, DA = BC

DBA∧

= BDC∧

, ADB∧

= CBD∧

และ BAD∧

= DCB∧

2. ครูย้ําเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ซ่ึงนิยมเขียนตัวอักษรเรียงตามลําดับของมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกัน เพื่อใหนักเรียนเกิดความเคยชินในการเขียนและการนําไปใช เชน

A B

CD

77

ในที่นี้ควรเขียน ∆ ABC ≅ ∆ DEF หรืออยางใดอยางหนึ่งคือ ∆ BCA ≅ ∆ EFD และ∆ CAB ≅ ∆ FDE 3. ในการทําแบบฝกหัดขอ 2 หนา 210 อาจแนะใหนักเรียนเขียนดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน โดยไมตองเขียนรูปกอน เพื่อเปนการฝกการนึกภาพในจินตนาการ ถาทําไมไดจึงใหเขียนรูป เชน เมื่อกําหนดให

∆ EAT ≅ ∆ FAT

จะได ∆ EAT ≅ ∆ FAT ดานคูที่สมนัยกัน คือ EA = FA, AT = AT และ TE = TF

และมุมคูที่สมนัยกันคือ TAE∧

= TAF∧

, ETA∧

= FTA∧

และ AET∧

= AFT∧

ซ่ึงสามารถเขียนแสดงตัวอยางของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการไดดังนี้

4. กิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม” เปนการขยายฐานความรูจากความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปสูรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ

5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปตองตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานที่สมนัยกัน 3 คู และการเทากันของขนาดของมุมคูที่สมนัย

A B

C

D E

F

E F

A

T

78

กันอีก 3 คู และแนะนําวาในบทเรียนตอไปนี้เราสามารถตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานหรือขนาดของมุมเพียง 3 คู ตามเงื่อนไขที่กําหนด ก็เปนการเพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ

ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – มุม – ดาน” ใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม จากการลงมือปฏิบัติโดยใชวิธีลอกรูปไปทับกันเพื่อเชื่อมโยงสูกรณีทั่วไปที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบดาน – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” ครูควรย้ําวา “รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปดังกลาวนี้ มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันนั้นตองเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูทีย่าวเทากนั จงึจะเปนเงือ่นไขที่เพยีงพอทีจ่ะสรปุวารูปสามเหลีย่มสองรปูนัน้เทากนัทกุประการ” ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันไมเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาวเทากัน เชน

จากรูป เห็นไดชัดวา ∆ ABC และ ∆ DEF ไมเทากันทุกประการ2. ในหัวขอนี้นักเรียนจะฝกการใหเหตุผลแบบนิรนัยดวยการพิสูจนอยางเปนแบบแผน โดยไม

เนนการใชตาราง จากโจทยปญหาการพิสูจนครูอาจแนะนําใหดําเนินการดังนี้ 1) นักเรียนอานและทําความเขาใจโจทยปญหา ดวยการพิจารณาวาโจทยกําหนดอะไรใหบางและโจทยตองการใหพิสูจนอะไรโดยนํามาเขียนแสดงใน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา” ตามลําดับ 2) ในการพิสูจน ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะหยอนกลับจาก “ตองการพิสูจนวา”ผนวกกบั “บทนยิาม/สมบตั”ิ เพือ่หาเหตผุลเชือ่มโยงยอนกลับสู “กาํหนดให” การตอบคาํถามของนกัเรยีนจะทําใหไดแนวทางในการเขียนแสดงการพิสูจน ซ่ึงนักเรียนจะตองพิจารณาวา มีขอมูลใดบางจากที่ระบุใน“กําหนดให” ที่นํามาใชไดผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” ที่นักเรียนเคยศึกษามาแลว นํามาเขียนอธิบายเชื่อมโยงสูขอสรุปตามที่ระบุไวใน “ตองการพิสูจนวา” ขอแนะนําดังกลาวขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้

F

D EA B

C

79

การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน

ตัวอยาง จากแบบฝกหัด 5.3 ขอ 6 ขอมูลจากโจทยนํามาเขียน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา”ไดดังนี้ กําหนดให BC = AD และ CBA∧ = DAB∧

ตองการพิสูจนวา AC = BD และ CAB∧ = DBA∧

ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจาก “ตองการพิสูจนวา” ไปสู “กําหนดให” และสมบัติของรูป ไดดังแผนภาพตอไปนี้

A B

DC

กําหนดให

วิเคราะห “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล”

บทนิยาม/สมบัติขอสรุปตามที่ระบุในตองการพิสูจนวา กําหนดให

อธิบาย ใหเหตุผล

บทนิยาม/สมบัติ

ขอสรุปตามที่ระบุในตองการพิสูจนวา

BC = ADCBA

∧

= DAB∧

และ AB เปนดานรวม

กําหนดให กําหนดให

∆ ABC ≅ ∆ BAD

AC = BDCAB

∧

= DBA∧ ตองการพิสูจนวา

80

จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจาก “กําหนดให” ไปสู “ตองการพิสูจนวา” ไดดังนี้พิสูจน พิจารณา ∆ ABC และ ∆ BAD BC = AD (กําหนดให) CBA∧ = DAB∧ (กําหนดให) AB = BA ( AB เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ม.ด.) จะได AC = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) และ CAB∧ = DBA∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

3. ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซ่ึงสวนใหญจะทําใหนักเรียนสามารถพิสูจนไดดวยตนเอง การฝกดังกลาวในระยะแรก ครูควรใชการถามตอบเพื่อเปนแนวทางกอน หลังจากนั้นจึงใหนักเรียนวิเคราะหดวยตนเอง

5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม ไปใชอางอิงในการพิสูจน

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม และใหนักเรียนสํารวจวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจมุม – ดาน – มุม” กิจกรรมนี้จะทําใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม จะเทากันทุกประการ” ซ่ึงเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ที่พิจารณาจากความเทากันของขนาดของมุมสองคู และความยาวของดานซึ่งเปนแขนรวมของมุมทั้งสองเทานั้น

81

5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน และใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – ดาน – ดาน” เพื่อใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ด.ด.ด. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน จะเทากันทุกประการ” ซ่ึงเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากความยาวที่เทากันของดานสามคูเทานั้น โดยไมตองพิจารณาจากขนาดของมุม

5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วได 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบใดแบบ หนึ่งคือ ดาน – มุม – ดาน มุม – ดาน – มุม และดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการ พิสูจนและแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.6

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ครูควรยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่อยูในสิ่งแวดลอมรอบตัว เพื่อนําเขาสูบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วบนระนาบ ที่กลาววา“รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานสองดานยาวเทากัน” 2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจและคนหาสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวยตนเอง โดยใชคําถามเปนกรอบในการกระตุนใหนักเรียนคนหาคําตอบ และนําสมบัติของความเทากันทุกประการมาใชในการอธิบายใหเหตุผล นอกจากนี้ครูควรแนะนําใหนักเรียนแยกแยะระหวางบทนิยามกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เชน “มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมี

82

ขนาดเทากัน” เปนสมบัติไมใชบทนิยาม แตอยางไรก็ตามนักเรียนสามารถนําทั้งบทนิยามและสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วไปใชอางอิงในการพิสูจนได 3. ในตัวอยางที่ 2 ของหัวขอนี้ไดแสดงการนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปใชในการพิสูจนการสรางพื้นฐานบางขอทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว เพื่อเปนการยืนยันวาผลจากการสรางนั้นเปนจริง รูปแบบการเขียนแสดงคําตอบของโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางในช้ันนี้จะประกอบดวย รูปที่สราง กําหนดให ตองการสราง วิธีสราง ตองการพิสูจนวา และ พิสูจน สําหรับการพิสูจน ขอมูลที่นํามาใชอางเหตุผลในโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางมีความแตกตางจากโจทยปญหาการพิสูจนทั่วไป กลาวคือ สามารถนํากําหนดให บทนิยาม/สมบัติ และ ขั้นตอนในวิธีสรางมาเชื่อมโยงเปนเหตุผล เพื่อนําไปสูขอสรุปตามที่ตองการ 4. เพื่อใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของเนื้อหาสาระเรื่องความเทากันทุกประการกับชีวิตจริง ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 5.6 เพิ่มเติม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ”

1. เทากันทุกประการ2. เทากันทุกประการ3. เทากันทุกประการ

คําตอบกิจกรรม “ทําอยางไร”

83

80o

30o

A

70o

B C

D80o

30o70o

E F

คําตอบแบบฝกหัด 5.1

1. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติถายทอด2. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติสมมาตร3. เปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันได สนิท จึงเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เทากันทุกประการ4. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมผืนผาสองรูปที่มีพื้นที่เทากันอาจมีความกวางและความยาวไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปนรูปที่เทากันทุกประการดังตัวอยาง ABCD และ PQRS

5. ไมเปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู ไมจําเปนตองมีความยาว ของดานเทากัน ดังตัวอยาง ∆ ABC และ ∆ DEF

6. เปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมดานเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ7. เปนจริง เพราะ รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากันกับ รัศมีของวงกลมเดียวกัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปหกเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ8. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมสองรูปที่มีดานยาวเทากันทั้งสี่ดานอาจเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสและเปน รูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูน ซ่ึงมีขนาดของมุมไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปน รูปสี่เหล่ียมที่เทากันทุกประการ

20 ตารางหนวย 4

5P Q

RS

20 ตารางหนวย 210A B

CD

84

คําตอบแบบฝกหัด 5.21. 1) AB กับ XY

∧

A กับ ∧

X BC กับ YZ และ

∧

B กับ ∧

Y AC กับ XZ

∧

C กับ ∧

Z

2) PQ กับ PS RQP∧

กับ RSP∧

PR กับ PR และ RPQ∧

กับ RPS∧

QR กับ SR QRP

∧

กับ SRP∧

3) MP กับ NP OMP∧

กับ ONP∧

PO กับ PO และ MOP∧

กับ NOP∧

MO กับ NO OPM

∧

กับ OPN∧

4) XO กับ YO OXA∧

กับ OYB∧

AO กับ BO และ AOX∧

กับ BOY∧

AX กับ BY OAX∧

กับ OBY∧

2.1) AB = ED CAB

∧

= FED∧

BC = DF และ CBA

∧

= FDE∧

AC = EF BCA

∧

= DFE∧

2) TO = GU PTO∧

= NGU∧

OP = UN และ POT

∧

= NUG∧

TP = GN OPT

∧

= UNG∧

3) BI = BO GBI∧

= YBO∧

IG = OY และ GIB

∧

= YOB∧

BG = BY IGB

∧

= OYB∧

85

4) CA = RA TCA∧

= TRA∧

AT = AT และ TAC

∧

= TAR∧

TC = TR ATC

∧

= ATR∧

คําตอบกิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม”

AC กับ RS ∧

A กับ ∧

R CK กับ SE

∧

C กับ ∧

S KB กับ EH และ

∧

K กับ ∧

E BL กับ HO

∧

B กับ ∧

H LA กับ OR

∧

L กับ ∧

O

คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – มุม – ดาน”

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอเทากันทุกประการ

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.3

1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ WSN และ ∆ ENS มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.

2.

เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให) QPS

∧

= QRS∧

(กําหนดให) PQ = RQ (กําหนดให) ดังนั้น ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.)

N E

SW

S Q

P

R

86

3.

เนื่องจาก AC = DO (กําหนดให) BCA

∧

= EOD∧

(กําหนดให)BC = EO (กําหนดให)

ดังนั้น ∆ ACB ≅ ∆ DOE (ด.ม.ด.)

4.

เนื่องจาก NK = LM (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน) LKN

∧

= NML∧

(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90o)

KL = MN (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน)ดังนั้น ∆ NKL ≅ ∆ LMN (ด.ม.ด.)

5.

เนื่องจาก AD = BC (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน) DAM

∧

= CBM∧

(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90o)

AM = BM (กําหนดใหจุด M เปนจุดกึ่งกลางของ AB )จะได ∆ ADM ≅ ∆ BCM (ด.ม.ด.)

A

D

EO

CB

K L

MN

A M B

CD

87

ดังนั้น DM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

และ MDA ∧ = MCB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

6. ดูรายละเอียดหนา 80 – 81

7.

เนื่องจาก AP = CP (กําหนดให BD แบงครึ่ง AC ที่จุด P) BPA

∧

= DPC∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน)

BP = DP (กําหนดให AC แบงครึ่ง BD ที่จุด P)จะได ∆ ABP ≅ ∆ CDP (ด.ม.ด.)

ดังนั้น AB = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

และ PBA∧

= PDC∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา AD = CB และ PAD

∧

= PCB∧

8. 12 เซนติเมตร จากกําหนดใหจะพิสูจนไดวา ∆ AIP ≅ ∆ ARL (ด.ม.ด.) จะได AP = AL เนื่องจาก AP = 12 เซนติเมตร ดังนั้น AL = 12 เซนติเมตร

A B

CD

P

A

P R I L

88

คําตอบกิจกรรม “สํารวจ มุม – ดาน – มุม”

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอ เทากันทุกประการ

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.4

1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ ABC และ ∆ DEF มีความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.

2.

เนื่องจาก TRA∧

= CIP∧

(กําหนดให) RT = IC (กําหนดให)

RTA∧

= ICP∧

(กําหนดให) ดังนั้น ∆ ART ≅ ∆ PIC (ม.ด.ม.)

3.

เนื่องจาก OAB∧

= OCD∧

(กําหนดให) AO = CO (กําหนดให)

BOA∧

= DOC∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COD (ม.ด.ม.) ดังนั้น BO = DO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

A

C

B

E

F

D

IAPR

T C

OA

B D

C

89

4.

เนื่องจาก EDA∧

= SKA∧

(กําหนดให) AD = AK (กําหนดให)

EAD∧

= SAK∧

(กําหนดให) จะได ∆ ADE ≅ ∆ AKS (ม.ด.ม.) ดังนั้น AE = AS (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

5.

เนื่องจาก TQP∧ = SRP

∧

(กําหนดให) PQ = PR (กําหนดให)

TPQ∧

= SPR∧

( TPQ∧

เปนมุมรวม) ดังนั้น ∆ PQT ≅ ∆ PRS (ม.ด.ม.)

6.

เนื่องจาก BDA∧ = ACB

∧

(กําหนดให) DB = CA (กําหนดให)

DBA∧

= CAB∧

(กําหนดให)

D E S K

A

P

S T

RQ

D C

BA

90

A B

E

CFD

50o

50o

30 ซม.

30 ซม.

จะได ∆ ADB ≅ ∆ BCA (ม.ด.ม.)

ดังนั้น BAD∧

= ABC∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

7.

เนื่องจาก FAD∧ = EAB

∧

(กําหนดให) AD = AB (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน)

FDA∧

= EBA∧

(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90 องศา) จะได ∆ ADF ≅ ∆ ABE (ม.ด.ม.) ดังนั้น AF = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

8. ความคิดของรานคาถูกตอง

เมื่อให ∆ ABO และ ∆ DCO แทนรูปใบพัด แตละขางและจุด O เปนจุดหมุนของใบพัด

OBA∧

= OCD∧

= 50o (กําหนดให) BO = CO = 30 ซม. (กําหนดให)

BOA∧

= COD∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ DCO (ม.ด.ม.) นั่นคือ แบบใบพัดสองขางมีขนาดเทากัน

BO

AC

D

91

คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – ดาน – ดาน”

รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตละขอเทากันทุกประการ

แนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.5

1.

เนื่องจาก AB = CD (กําหนดให) DA = BC (กําหนดให)

BD = DB ( BD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ด.ด.ด)ดังนั้น BD แบงรูปสี่เหล่ียม ABCD ออกเปนรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากัน

ทุกประการ

2.

เนื่องจาก AC = BD (กําหนดให) BC = AD (กําหนดให)

AB = BA ( AB เปนดานรวม)จะได ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ด.ด)

ดังนั้น BCA∧

= ADB∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

D

CB

A

C

A B

D

92

3.

เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให) BD = CD (กําหนดให)

AD = AD ( AD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD = ∆ ACD (ด.ด.ด)

ดังนั้น DAB∧

= DAC∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD แบงครึ่ง CAB

∧

4.

เนื่องจาก CT = MN (กําหนดให) AT = AN (กําหนดให)

AC = AM (กําหนดให)จะได ∆ ACT ≅ ∆ AMN (ด.ด.ด)

ดังนั้น TAC∧

= NAM∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

A

D

B C

C

T

A

N

M

93

5.

เนื่องจาก PS = QR (กําหนดให) PR = QS (กําหนดให)

SR = RS (SR เปนดานรวม)จะได ∆ PSR ≅ ∆ QRS (ด.ด.ด)

ดังนั้น RSP ∧ = SRQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก RSP ∧ = 100o (กําหนดให) ดังนั้น SRQ ∧ = 100o (สมบัติถายทอด)

คําตอบกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว”

กิจกรรมที่ 11. เทากันทุกประการ เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน3. เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน4. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน5. เทากัน 6. 180o เพราะ BDA

∧

+ CDA∧

= CDB∧

ที่เปนมุมตรงมีขนาด 180 o

7. BDA∧

= 90o เพราะ เนื่องจาก BDA

∧

= CDA∧

จะได B)D2(A∧

= BDA∧

+ CDA∧

= 180 o (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น BDA∧

= 2180 = 90 o

8. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ BDA∧

มีขนาด 90 o

Q

S R

P

94

กิจกรรมที่ 21. ∆ ABD ≅ ∆ ACD เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ด.ด.2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน3. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ AD แบงครึ่ง CAB

∧

ที่เปนมุมยอด จึงมีผลเปนไปตามขอ 8 ของกิจกรรมที่ 1

คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.6

1. 13, 13 เซนติเมตร หรือ 10, 16 เซนติเมตร แนวคิด กรณีท่ี 1 ถาใหฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของดานประกอบมุมยอดแตละดานเปน 13 เซนติเมตร

กรณีท่ี 2 ถาใหดานประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาวดานละ 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของฐานเปน 16 เซนติเมตร

2. 64, 64 องศา หรือ 52, 76 องศา แนวคิด กรณีท่ี 1 ถาใหมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา

จะไดมุมที่ฐานมีขนาดมุมละ 252 180 − = 64oA

52o

B C

A

B C10 ซม.

B C10 ซม.

A

95

กรณีท่ี 2 ถาใหมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดมุมละ 52 องศา จะไดขนาดของมุมยอดเปน 180 – 2(52) = 180 – 104 = 76o

3. มี 3 รูป แนวคิด เนื่องจาก มีสมบัติประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมกลาววา “ผลบวกของความยาวของดานสองดาน ของรูปสามเหลี่ยมยาวกวาดานที่สาม” ดังนั้น ความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีความยาวรอบรูป 16 หนวย จึงมีได ดังนี้

ความยาวของดานประกอบมุมยอด(หนวย)

ความยาวของฐาน(หนวย)

765

765

246

4.

1) เทากัน เนื่องจาก AC = AD (กําหนดให) จะได ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน) ดงันัน้ DCA

∧

= CDA∧

(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่ มขีนาดเทากนั) DCA

∧

= BCF∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดักนัแลว มมุตรงขามมี และ CDA

∧

= EDG∧

ขนาดเทากนั) นั่นคือ BCF

∧

= EDG∧

(สมบัติถายทอด)

B E

A

C DF G

A

52o52o

B C

96

2) เทากัน เนื่องจาก ACB∧

+ DCA∧

= ADE∧

+ CDA∧

= 180o (แตละคูเปนมมุตรง มขีนาด 180 องศา) และ DCA

∧

= CDA∧

(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่มขีนาดเทากนั)

ดังนั้น ACB∧

= ADE∧

(สมบตัขิองการเทากนั)

5.

เนือ่งจาก AB = AC (ดานของรปูสามเหลีย่มดานเทายาวเทากนั) จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น CBA

∧

= BCA∧

(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่มขีนาดเทากนั) ในทํานองเดียวกันจะได CAB

∧

= BCA∧

ดังนั้น CBA∧

= CAB∧

= BCA∧

(สมบตัขิองการเทากนั) นั่นคือ มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทามีขนาดเทากัน

6.

เนือ่งจาก DBA∧

= DBC∧

(กาํหนดให) BD = BD ( BD เปนดานรวม)

BDA∧

= BDC∧

= 90o (กาํหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ CBD (ม.ด.ม.) ดังนั้น AB = CB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)

A

B C

C

D

A

B

97

7.

1) เนือ่งจาก AB = AC (กาํหนดให) DBA

∧

= ECA∧

(กาํหนดให) DB = EC (กาํหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ ACE (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)

2) เนือ่งจาก DB = EC (กาํหนดให) จะได DB + BC = EC + CB (สมบัติของการเทากัน)

ดังนั้น DC = EB เนื่องจาก AC = AB (กําหนดให) AD = AE (ผลที่ไดจากขอ 1)) จะได ∆ ACD ≅ ∆ ABE (ด.ด.ด.)

8.

เนือ่งจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ CE เปนเสนแบงครึ่ง BCA

∧

ที่เปนมุมยอด (กําหนดให) ดังนั้น CE แบงครึ่งและตั้งฉากกับฐาน AB (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) จะได AE = BE และ CEA

∧

= CEB∧

= 90o

เนื่องจาก DE = DE ( DE เปนดานรวม) จะได ∆ ADE ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.)

D

A

CB E

A BE

C

D

98

A

CB D

E

P

RQ M

N

ดังนั้น EDA∧

= EDB∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) และ AD = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ ∆ ADB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน)

9. กําหนดให CBA∧

มีขนาดพอสมควร ดังรูป

แนวการสราง RQP∧

ใหมีขนาดเทากับขนาดของ CBA∧

1. ลาก QR 2. ใชจดุ B เปนจดุศนูยกลาง รัศมพีอสมควร เขยีนสวนโคงตดั BC และ BA ทีจ่ดุ D และ จดุ E ตามลาํดบั 3. ใชจดุ Q เปนจดุศนูยกลาง รัศม ี BD เขยีนสวนโคงตดั QR ทีจ่ดุ M 4. ใชจดุ M เปนจดุศนูยกลาง รัศม ี DE เขยีนสวนโคงตดัสวนโคงในขอ 3 ทีจ่ดุ N 5. ลาก QP ผานจดุ N จะได RQP

∧

มีขนาดเทากับขนาดของ CBA∧

99

แนวการพิสูจนวา RQP∧

= CBA∧

ลาก MN และ DE QM = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)

QN = BE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)MN = DE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)

จะได ∆ MQN ≅ ∆ DBE (ด.ด.ด.)

ดังนั้น NQM∧

= EBD∧

หรือ RQP

∧

= CBA∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

10. กําหนดให AB ยาวพอสมควร ดังรูป

แนวการสราง CD ใหแบงครึ่ง AB ที่จุด O 1. ใชจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัดกันที่จุด C และจุด D 2. ลาก CD ตัด AB ที่จุด O จะได CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O

แนวการพิสูจนวา CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O

A B

D

C

A BO

100

ลาก AC , BC , AD และ BD เนื่องจาก AC = BC (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)

AD = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)CD = CD ( CD เปนดานรวม)

จะได ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ด.ด.) ดังนั้น OCA

∧

= OCB∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) CO = CO ( CO เปนดานรวม) และมีอยูแลววา AC = BC จะได ∆ AOC ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) ดังนั้น AO = BO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ดังนั้น CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O

11. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมรูปวาว ตามแนวการพิสูจน ดังนี้

เนื่องจาก AO = AO ( AO เปนดานรวม)

DOA∧

= BOA∧

= 90o (กําหนดให) DO = BO (กําหนดให) จะได ∆ ADO ≅ ∆ ABO (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา CD = CB ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมรูปวาว

A

BD

C

O

101

11. สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวด ทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาดเทากัน ตามแนว การพิสูจนจากแบบจําลองดังนี้ สราง ∆ QPR โดยมี QS แทนเสาไฟฟาซึ่งตั้งฉาก กับ PR

เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให)

QSP∧

= QSR∧

= 90o (กําหนดให) QS = QS ( QS เปนดานรวม) จะได ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.) ดังนั้น PQ = RQ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

และ SPQ∧

= SRQ∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวดทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาด เทากัน

คําตอบกิจกรรม “ทราบหรือไม”

ชางสํารวจใชความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.

P R

Q

S

P R

Q

S

102

คําตอบกิจกรรม “โครงสรางของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม”

ตัวอยางคําตอบ ปฏิทินตั้งโตะ โครงสรางเสาไฟฟาแรงสูง โครงสรางสะพานขามแมน้ํา โตะรองรีดผา ฯลฯ

103

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

104

กิจกรรมเสนอแนะ 5.6

กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปใชแกปญหาและอธิบายเหตุการณในชีวิตประจําวัน

ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง ริมผนังหองแหงหนึ่งเวาแหวงหลุดหายไปเปน รูปสามเหลี่ยม ดังรูป ถาวัดความยาวของดานสองดานของชองรูปสามเหลี่ยม และมุมในระหวางดานสองดานนี้ จะไดขอมูลที่เพียงพอสําหรับ นําไปใชเพื่อตัดแผนไมรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับชอง

รูปสามเหลี่ยมไดหรือไม

ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา ชางกอสรางสรางแบบของโครงหลังคาชุดหนึ่งไว แลวสรางโครงหลังคาชุดอื่น ๆ ดวยการวัดความยาวของทอเหล็ก สามชิ้นและตําแหนงบนทอที่จะนําทอเหล็กมาประกอบกันเปน โครงรูปสามเหลี่ยมเทานั้น โดยไมวัดขนาดของมุมเลย โครงหลัง คาที่สรางไดแตละชุดเทากันทุกประการกับแบบของโครงหลังคา หรือไม เพราะเหตุใด

ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา มีสระน้ําอยูกลางทุงนา ใหนักเรียนนําเสนอแนวคิด ในการหาความกวางของสระน้ํา (ตามแนวเสนประ) โดยใช สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

105

คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 5.6

ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง แผนไมรูปสามเหลี่ยมที่ตัดไดกับรูปสามเหลี่ยมบนผนังหองที่เวาแหวง เทากันทุกประการ ดวยสมบัติ ด.ม.ด.

ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา โครงหลังคารูปสามเหลี่ยมเทากันทุกประการดวยสมบัติ ด.ด.ด.

ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา (ขนาดของ AB )ตัวอยางคําตอบ

1. ลาก AC ยาวพอสมควร ให O เปนจุดกึ่งกลางของ AC2. ลาก BO ตอ BO ถึง D ให BO = OD3. ลาก CD จะได AB = CD ซ่ึงสามารถหาความยาว CD ไดจากการวัดโดยตรง การแสดงวา AB = CD ทําไดโดยพิจารณา ∆ ABO และ ∆ CDO ซ่ึงมี AO = CO,

BOA ∧ = DOC∧ และ BO = DO จากการสราง ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ CDO (ด.ม.ด.) ผลที่ตามมาคือAB = CD เพราะเปนดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ ตัวอยางคําตอบที่นําเสนอนี้ใชเพียงเครื่องมือวัดระยะทางโดยไมตองใชเครื่องมือวัดขนาดของมุมนักเรียนอาจนําเสนอคําตอบอยางอื่น เชน ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. โดยกําหนดให OBA∧ = ODC∧ และ BO = OD ก็เพียงพอตอการพิสูจนวา ∆ ABO ≅ ∆ CDO

A

B

O

D

C