บทท 4 ความคลาย (15 ชวโมง)

4.1 รปเรขาคณตทคลายกน (4 ชวโมง) 4.2 รปสามเหลยมทคลายกน (5 ชวโมง) 4.3 การนาไปใช (6 ชวโมง) บทเรยนนเนนการทาความเขาใจเกยวกบเงอนไขททาใหรปสามเหลยมสองรปคลายกน การนาสมบตของรปสามเหลยมทคลายกนไปใชในการใหเหตผลและแกปญหาทมความเชอมโยงกบสงแวดลอมรอบตว สาหรบสาระเกยวกบรปเรขาคณตทคลายกนเสนอไวเพอใหนกเรยนไดมความรเบองตนเกยวกบ รปเรขาคณตทคลายกนและรปหลายเหลยมทคลายกน ซงจะเปนพนฐานสาหรบการไปศกษาเรอง รปสามเหลยมทคลายกนในหวขอตอไป การจดกจกรรมการเรยนการสอน ครควรเนนทเนอหาเรองรปสามเหลยมทคลายกน ควรใหนกเรยนไดมโอกาสปฏบตกจกรรมในเชงสารวจ สงเกตและสรางขอความคาดการณ เพอนาไปสขอสรปทเปนสมบตหรอทฤษฎบททจะนาไปใชในการใหเหตผลและแกปญหาได สาหรบการใหเหตผลในกจกรรมและโจทยแบบฝกหดตามทเฉลยไวเปนเพยงแนวคด ครควรใหนกเรยนอธบายและบอกเหตผลโดยละเอยดเพมเตมจากแนวคดทใหไวตามความเหมาะสม ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. ระบเงอนไขททาใหรปสามเหลยมสองรปคลายกนและบอกสมบตของการคลายกนของ รปสามเหลยมได 2. ใชสมบตของรปสามเหลยมทคลายกนในการใหเหตผลและแกปญหาได

หมายเหต ขอแกคาผดหนงสอเรยนฉบบพมพครงท 1 ดงน หนา 154 ตวอยางขอ 1 “รปสเหลยมจตรส PQRS” แกเปน “รปสเหลยมผนผา PQRS” หนา 159 ขอ 10 ยายไปเปนกจกรรม “คดไดไหม” หนา 168 กอนแบบฝกหด 4.2 ก หนา 169 ขอ 2 ขอยอย 6) กาหนดขนาดของมมเพมเตมโดยให RCA

∧ = QDB

∧

หนา 170 ขอ 7 บรรทดสดทาย “จะยาวเปนครงหนงของดานทสาม” แกเปน “จะยาวเปนครงหนงของดานทสอง” หนา 171 คาวา “ทฤษฎบทปทาโกรส” แกเปน ทฤษฎบทพทาโกรส หนา 184 แบบฝกหด 6.3 แกเปน “แบบฝกหด 4.3” หนา 186 ขอ 6 แกความยาวของ AC จาก 100 เมตร เปน 10 เมตร ทงทโจทยและทรป หนา 188 ขอ 9 เพมเตมขอความและแกไขรปเปนดงน นพดลสารวจและจดทาแผนผงของถนนในหมบานไดดงรป โดยท BC // FG และ DE // FG (ความยาวทกาหนดมหนวยเปนเมตร)

140 C

E G

B 60 D 120 F A 120

200 จากขอมลทไดมาน นพดลสามารถหาความยาวของถนนทเหลอ ไดแกความยาว ของ BC , DE , CE และ EG ไดเทาไร

77

แนวทางในการจดการเรยนร 4.1 รปเรขาคณตทคลายกน (3 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. ระบเงอนไขททาใหรปหลายเหลยมสองรปคลายกนได 2. บอกสมบตการคลายกนของรปหลายเหลยมได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครอาจนาเขาสบทเรยนโดยใชสงตาง ๆ รอบตวซงมรปรางทคลายกน เชน ภาชนะทเปนชด ใบพชชนดเดยวกน ผลไมชนดเดยวกน รปขยาย รปยอ สงตาง ๆ ทมรปรางเหมอนกนหรอคลายกน เพอใหนกเรยน สามารถรบรแนวคดเกยวกบความคลายไดดวยสามญสานก

2. กจกรรม “รปคใดคลายกน” ตองการใหนกเรยนใชสามญสานกประกอบความรสกเชงปรภม ในการคาดการณวารปเรขาคณตรปใดคลายกนบาง ครอาจใหนกเรยนบอกวธทนกเรยนใชในการหาคาตอบ จากนนจงใหนกเรยนชวยกนหาขอสรปวา รปเรขาคณตสองรปทคลายกนเปนอยางไร ในกจกรรมนหากนกเรยนไมสามารถหาคาตอบได ครอาจแนะนาใหใชกระดาษลอกลาย ลอกรปทคาดวาจะคลายกนมาซอนทบกน ใชการเลอนหรอการหมนรปตรวจสอบขนาดของมมแตละค วธนนกเรยนอาจสงเกตเหนไดวารปทคลายกนจะมดานคทสมนยกนทบกนหรอขนานกนดวย 3. กจกรรม “สมบตของความคลาย” เปนกจกรรมฝกการคดวเคราะหใหเหตผลซงนกเรยนเคย ทากจกรรมและไดขอสรปทานองเดยวกนมาแลวในเรองความเทากนทกประการ ในกจกรรมนครอาจใชสออปกรณ เชน ตดกระดาษแขงเปนรปหลายเหลยมทคลายกนเปน ชด ๆ ชดละ 3 – 4 รป เขยนตวอกษร A, B และ C กากบไวทรปเพอใชประกอบการหาคาตอบในแตละขอ ครอาจชใหนกเรยนสงเกตวาสมบตของความคลายของรปเรขาคณตทไดนมขอสรปทานองเดยวกนกบสมบตของความเทากนทกประการ 4. สาหรบกจกรรม “สารวจรปหลายเหลยม” ตองการใหนกเรยนไดสารวจ สงเกต เกยวกบขนาดของมมและอตราสวนของความยาวของดาน เพอนาไปสบทนยามและตวอยางของรปหลายเหลยม ทคลายกน หลงจากนกเรยนไดขอสรปแลว ครควรยาวาในการตรวจสอบวารปหลายเหลยมสองรปใด ๆ เปนรปทคลายกนหรอไม จะตองพจารณาเงอนไขใหครบทงสองประการคอ มขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค และมอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปนอตราสวนทเทากน จะขาดเงอนไขใดเงอนไขหนงไมได

78

ครควรใหขอสงเกตเกยวกบการใชคาวา “กตอเมอ” ในบทนยามโดยอธบายใหนกเรยนเขาใจ ความหมายของขอความทมคานปรากฏอยทงไปและกลบ นอกจากนครควรยาเกยวกบการเขยนชอของรปหลายเหลยมทคลายกนวาจะตองใหความสาคญกบลาดบของตวอกษรทกากบชอ ซงแสดงถงการจบคระหวางมมและดานคทสมนยกน 5. ตวอยางและแบบฝกหดในหวขอน ตองการใหนกเรยนเหนการนาบทนยามของรป หลายเหลยมทคลายกนไปใชในการใหเหตผลและแกปญหา ครควรแนะใหนกเรยนตระหนกวาในการใหเหตผลทางเรขาคณตโดยทว ๆ ไปจะตองนาความรอน ๆ มาใชประกอบดวยอยเสมอ เชน ตวอยางท 1 ตองใชบทนยามและสมบตของรปสเหลยมดานขนาน ตวอยางท 2 ตองใชความรเกยวกบผลรวมของขนาดของมมภายในของรปหาเหลยม และตวอยางท 3 มความเชอมโยงกบการแกสมการและในตอนทายของตวอยาง นมขอสรปเกยวกบอตราสวนของความยาวรอบรปของรปสเหลยมทคลายกนดวย สาหรบแบบฝกหด 4.1 มคาถามทตองการใหนกเรยนบอกเหตผลดวย ขอทมคาตอบวาเปน รปทคลายกน นกเรยนควรแสดงเหตผลตามบทนยามของรปหลายเหลยมสองรปทคลายกน สวนขอทมคาตอบวาเปนรปทไมคลายกน นกเรยนควรยกตวอยางคานใหเหน สาหรบขอ 5 และขอ 6 ถานกเรยนอานโจทยไมดอาจคดวาเปนโจทยเดยวกน ครควรใหขอสงเกตและทาความเขาใจโจทยสองขอนกบนกเรยน เปนพเศษ 6. สาหรบกจกรรม “รปเหมอน” เปนกจกรรมทเชอมโยงกบงานศลปะ มเจตนาใหนกเรยนได ใชความรเรองการยอและการขยายมาใชในการเขยนรปยอหรอรปขยาย ซงถอวาเปนรปเรขาคณตทคลายกน ครอาจใหนกเรยนทากจกรรมนนอกเวลาเรยนและนาผลงานของนกเรยนมาจดแสดงบนปายนเทศกได 4.2 รปสามเหลยมทคลายกน (5 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามของรปสามเหลยมสองรปทคลายกนได 2. ระบเงอนไขเกยวกบอตราสวนของความยาวของดานททาใหรปสามเหลยมสองรปคลายกนได 3. ใชสมบตของรปสามเหลยมทคลายกนในการใหเหตผลได

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม กจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก และ 4.2 ข

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครสามารถนาเขาสบทเรยนโดยอาศยรปสามเหลยมทคลายกนจากสงแวดลอมหรอสงกอสรางตาง ๆ เชน หนาจวบาน โครงหลงคา โครงสะพาน เพอทาใหบทเรยนมความหมาย นาสนใจ จากนนจง ทบทวนบทนยามของรปหลายเหลยมทคลายกนเพอปรบใชเปนบทนยามของรปสามเหลยมทคลายกน

79

2. สาหรบกจกรรม “ลองหาด” มเจตนาเชอมโยงคาตอบของนกเรยนสบทนยามของ รปสามเหลยมทคลายกน ครควรใหนกเรยนไดปฏบตตามขนตอนของกจกรรมนเพอใหนกเรยนคนพบสมบตตามบทนยามดวยตวเอง ครอาจใชคาถามตรวจสอบความเขาใจกบนกเรยนเกยวกบขอความใน บทนยามทใชคาวา “กตอเมอ” อกครงหนงกได 3. ในตวอยางท 2 และตวอยางท 3 ครควรใหขอสงเกตกบนกเรยนวา ถงแมโจทยจะใหหา คา x และ y แตในทางปฏบตนกเรยนจะตองใชความรเกยวกบสมบตของรปสามเหลยมทคลายกนในการ หาคาตอบ ดงนนนกเรยนจะตองแสดงกอนวารปทกาหนดใหนนเปนรปสามเหลยมทคลายกน 4. การพจารณาอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนเปนค ๆ นน เพอไมใหสบสน ครอาจแนะนาใหนกเรยนพจารณาความยาวของดานทอยตรงขามกบมมคทมขนาดเทากนเปนค ๆ ทงนควร เรมพจารณาจากมมคทมขนาดเลกทสดไปจนถงมมคทมขนาดใหญทสดหรอในทางกลบกน ดงตวอยางจาก ในแบบฝกหด 4.2 ก ขอ 2 ขอยอย 3)

y 9 Q R

x S 12

T 6

9 P

1) พจารณา ใน ∆ SQT คกบ TQS

∧RQP

∧ ใน ∆ PQR

จะไดอตราสวนของความยาวของดานตรงขามกบมมเปน 6 : x 2) พจารณา ใน ∆ SQT คกบ TSQ

∧PRQ

∧ ใน ∆ PQR

จะไดอตราสวนของความยาวของดานตรงขามกบมมเปน 9 : 12 + 9 หรอ 9 : 21 3) หาคา x จากสดสวน x

6 = 219

5. สาหรบกจกรรม “คดไดไหม” มเจตนาใหนกเรยนรจกนาสมบตของรปสามเหลยมคลาย มาอธบายและใหเหตผลกบรปหลายเหลยม ครอาจใหนกเรยนทากจกรรมนรวมกนในชนเรยน ใหมการอภปรายบอกเหตผลโดยไมตองเขยนเปนทางการกได 6. สาหรบแบบฝกหด 4.2 ก ขอ 5 และขอ 7 หลงจากนกเรยนทาแบบฝกหดแลว ครควรนาโจทยทงสองขอนมาทาความเขาใจในชนเรยนอกครง พรอมแนะนาใหนกเรยนนาสมบตทไดนไปใชใน การใหเหตผลและแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 7. สาหรบกจกรรม “การพสจนทฤษฎบทพทาโกรสของภาสกร” มเจตนาเชอมโยงความรใน สาระคณตศาสตร ใหนกเรยนเหนวธการพสจนทฤษฎบทพทาโกรสโดยใชสมบตของรปสามเหลยมคลาย ครควรใหนกเรยนทากจกรรมนและชใหเหนวาการพสจนโดยวธนทาไดงายและกะทดรด

80

8. สาหรบกจกรรม “ความสงของพระมด” มเจตนาใหเปนความรเพมเตมเพอใหนกเรยนไดรวาคนโบราณรจกใชคณตศาสตรแกปญหาโดยอาศยธรรมชาตเปนสอ และใหรวาวธททาเลสใช เปนการนาสมบตของรปสามเหลยมคลายมาใชเชนกน ถามเวลาพอครอาจใหนกเรยนไดนาวธนไปปฏบตจรงนอกหองเรยนดวย 9. ถานกเรยนมความพรอมและมเวลาพอ ครอาจใชกจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก และ 4.2 ข เพมเตมความรเกยวกบรปสามเหลยมคลายดวยกได สาหรบกจกรรม 4.2 ก ตองการใหนกเรยนเหนวธการพนฐานในการสรางรปสามเหลยมใหคลายกบรปสามเหลยมทกาหนดให สวนกจกรรม 4.2 ข ใหความรเพมเตมเกยวกบการพจารณาความคลายของรปสามเหลยม ครอาจใหนกเรยนใชความรในกจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข นไปแกปญหาในกจกรรม “คดไดไหม” อกวธหนงดวยกได 4.3 การนาไปใช (5 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถใชสมบตของรปสามเหลยมทคลายกนในการแกปญหาได เอกสารแนะนาการจดกจกรรม กจกรรมเสนอแนะ 4.3

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. กจกรรมในหวขอน เนนการนาสมบตของรปสามเหลยมคลายไปใชแกปญหาตาง ๆ ซงนกเรยนอาจพบไดในชวตประจาวน หรอในสงแวดลอมรอบตว ทาใหคณตศาสตรทนกเรยนเรยนในหองเรยนมความหมายยงขน นกเรยนไดมโอกาสเหนการนาไปใชอยางเปนรปธรรม กจกรรมในหวขอนยงเปนอกแนวทางหนงททาใหนกเรยนเหนประโยชนและคณคาของคณตศาสตรและชวยสรางเจตคตทดตอวชาคณตศาสตรไดอกดวย การแกโจทยปญหาในหวขอน ครควรกระตนใหนกเรยนเขยนรปประกอบและวเคราะหหา รปสามเหลยมทคลายกน เพอใหสามารถนาสมบตของรปสามเหลยมคลายไปใชแกปญหาได 2. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนนอกจากจะใหนกเรยนศกษาตวอยางและแกโจทยปญหาจากแบบฝกหด 4.3 แลว ครอาจใหนกเรยนสรางโจทยปญหาขนเองและครอาจจดกจกรรมคณตศาสตรปฏบตการ โดยใหนกเรยนนาสมบตของรปสามเหลยมคลายไปใชแกปญหาในสถานการณจรง เชน หาความสงของเสาธง หาความสงของอาคารเรยน หาความกวางของสระนา โดยอาศยแนวคดจากการ แกโจทยปญหาจากตวอยางและแบบฝกหด 3. กจกรรม “การยอการขยาย” เปนตวอยางของการนาสมบตของรปสามเหลยมคลายไปใชประโยชน นกเรยนสามารถอาศยแนวคดนในการเขยนรปยอและรปขยายของรปอน ๆ ใหมขนาดตามอตราสวนทตองการ นอกจากนสาหรบนกเรยนทมความสนใจเปนพเศษ ครอาจเพมเตมกจกรรมใหนกเรยนแสดงการใหเหตผลวา รปทไดจากการยอหรอการขยายเปนรปทคลายกบรปเรขาคณตทกาหนดให

81

ในการใหเหตผลจะตองใชสมบตของรปสามเหลยมคลายจากเงอนไข ดงในกจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข 4. สาหรบกจกรรม “แบบจาลอง” และ “เรองของการฉาย” มเจตนาใหนกเรยนเหนการ เชอมโยงของเรองความคลายมาใชในงานตาง ๆ ทนกเรยนคนเคย ครอาจใหนกเรยนบอกงานทมการใช ความรเรองความคลายเพมเตมอกกได 5. ถาโรงเรยนมอปกรณแพนโตกราฟและมเวลาพอ ครอาจนากจกรรมเสนอแนะ 4.3 มาให นกเรยนทาเปนกจกรรมเพมเตม

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบกจกรรม “รปคใดคลายกน”

1. รป ก คลายกบ รป ง และรป ข คลายกบ รป ค 2. รป ก คลายกบ รป ข และรป ค คลายกบ รป จ 3. รป ก คลายกบ รป ข รป ค คลายกบ รป ง รป ง คลายกบ รป จ และรป ค คลายกบ รป จ

คาตอบกจกรรม “สมบตของความคลาย”

1. คลาย 2. คลาย 3. คลาย

คาตอบกจกรรม “สารวจรปหลายเหลยม”

1. = , = , = และ ∧A

∧P

∧B

∧Q

∧C

∧R

∧D =

∧S

2. PQAB = 4

3 , QRBC = 4

3 , RSCD = 4

3 และ SPDA = 4

3

3. PQAB = QR

BC = RSCD = SP

DA = 43

82

คาตอบแบบฝกหด 4.1

1. 1) ABCD คลายกบ WXYZ เพราะ มขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค คอ =

∧A

∧W , = ,

∧B

∧X

∧C =

∧Y และ

∧D =

∧Z

และอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปนอตราสวนทเทากน คอ WX

AB = XYBC = YZ

CD = ZWDA = 4

6 = 23

2) LONG ไมคลายกบ BACK เพราะ มอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกน บางคไมเปนอตราสวนทเทากนคอ BA

LO = KCGN = 8

7 ในขณะท BKLG = AC

ON = 65

2. คลายกน เพราะ มขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค และอตราสวนของความยาวของดานคทสมนย กนทกคเปนอตราสวนทเทากน 3. อาจไมเปนรปทคลายกน ดงตวอยาง

4. คลายกน เพราะ มขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค และอตราสวนของความยาวของดานคทสมนย กนทกคเปนอตราสวนทเทากน

3

4 4

8

6 6

5. อาจไมเปนรปทคลายกน ดงตวอยาง

2

2 2

2 2

2 3 3

3

3 3

3 6. คลายกน เพราะ มขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค และอตราสวนของความยาวของดานคทสมนย กนทกคเปนอตราสวนทเทากน

83

7. อาจไมเปนรปทคลายกน ดงตวอยาง 8. = 65

∧I o, = 120

∧C o, = 95

∧H o,

∧B = 80o และ

∧K = 95o

9.

4

4

4 3 3

5

5

4

1) = 90∧C o และ = 80

∧A o

2) DL = 9 หนวย และ MW = 10 หนวย

3) = 23 ความ อยาวร บรปของ COLD

ความยาวรอบรปของ WARM

คาตอบกจกรรม “ลองหาด”

3. เทากน เพราะ รปสามเหลยมสองรปทมมภายในสองคมขนาดเทากน มมคทเหลอจะมขนาด เทากน 4. เทากน

คาตอบกจกรรม “คดไดไหม”

เปนรปทคลายกน ดวยเหตผลตามแนวคดตอไปน จะตองพสจนวา

1) = AOD∧

AOD ′′∧

, BAO∧

= BAO ′′∧

, CBA∧

= ,

=

CBA ′′′∧

DCB∧

DCB ′′′∧

และ ODC∧

= ODC∧′′

2) AOOA′ = BA

AB′′ = CB

BC′′ = DC

CD′′ = OD

DO′

จากสงทกาหนดให และโดยสมบตของเสนขนาน จะไดวา ขอ 1) เปนจรง และจะไดวา ∆ OAB ∼ ∆ OA′B′, ∆ OBC ∼ ∆ OB′C′ และ ∆ OCD ∼ ∆ OC′D′

84

จาก ∆ OAB ∼ ∆ OA′B′ จะได AOOA′ = BA

AB′′ = BO

OB′

∆ OBC ∼ ∆ OB′C′ จะได BOOB′ = CB

BC′′ = CO

OC′

∆ OCD ∼ ∆ OC′D′ จะได COOC′ = DC

CD′′ = OD

DO′

ดงนน ขอ 2) เปนจรง

คาตอบแบบฝกหด 4.2 ก

1. 1) คลายกน เพราะ ม

∧P =

∧N = 50o,

∧L =

∧O = 90o และ = = 40

∧A

∧I o

2) ไมคลายกน เพราะ มขนาดของมมเทากนเพยงคเดยว คอ ∧B =

3) คลายกน เพราะ ม

∧M

PAM∧

= BOM∧

, MPA∧

= MBO∧

และ = AMP∧

OMB∧

4) คลายกน เพราะ รปสามเหลยมทงสองรปเปนรปสามเหลยมหนาจว ม =

∧A

∧B ,

= และ ∧R

∧L

∧M =

∧E

5) ไมคลายกน เพราะ จากการใชกระดาษลอกลายตรวจสอบ พบวาไมมขนาดของมมเทากน เปนค ๆ สามค 6) คลายกน เพราะ ม SED

∧ = DSK

∧, SDE

∧ = DKS

∧ และ = DSE

∧KDS

∧

2. 1) x = 10 หนวย และ y = 12.5 หนวย 2) x = 21.6 หนวย และ y = 6.25 หนวย 3) x = 14 หนวย และ y = 19 หนวย 4) x = 35 หนวย และ y = 21 หนวย 5) x = 40 หนวย และ y = 9.375 หนวย 6) x = 32 หนวย และ y = 72 หนวย 3. ∆ ABE ∼ ∆ CDE เพราะ BAE

∧ = DCE

∧ และ EBA

∧ = EDC

∧ (มมแยงทเกดจากเสนตด

AB และ CD ทขนานกน) และ = BEA

∧DEC

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาด

เทากน)

85

4. 1) ∆ DBA ∼ ∆ ABC เพราะ ADB

∧ = CAB

∧, ABD

∧ = CBA

∧ และ = BAD

∧BCA

∧

∆ DCA ∼ ∆ ABC เพราะ ADC∧

= CAB∧

, ACD∧

= CBA∧

และ = CAD∧

BCA∧

2) x = 45 หนวย และ y = 36 หนวย 5. จากทกาหนดให ∆ ABC ∼ ∆ DEF จะได DE

AB = EFBC = FD

CA

เนองจาก DEAB = EF

BC AB × EF = DE × BC จะได BC

AB = EFDE

เนองจาก EFBC = FD

CA BC × FD = EF × CA จะได CA

BC = FDEF

เนองจาก FDCA = DE

AB CA × DE = FD × AB จะได AB

CA = DEFD

ดงนน BCAB = EF

DE , CABC = FD

EF และ ABCA = DE

FD 6. FO = 4.8 เซนตเมตร 7. กาหนด ∆ ABC มจด M เปนจดกงกลางของดาน AC ลาก MN ขนานกบ AB ตด BC ทจด N เนองจาก ∆ MNC ∼ ∆ ABC จะไดวา AB

MN = CACM

ABMN = CM2

CM (M เปนจดกงกลางของดาน AC)

ABMN = 2

1

ดงนน MN = 21 AB A B

N M

C

8. เนองจาก ∆ ADE ∼ ∆ ABC จะได BC

DE = ABAD = 3

2

ดงนน DE = 32 BC

86

คาตอบแบบฝกหด 4.2 ข

1. 1) ∆ BOY ∼ ∆ DOG เพราะ อตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคของ รปสามเหลยมสองรปเปนอตราสวนทเทากน ซงเทากบ 1 : 2 2) ∆ EAT ∼ ∆ NRT เพราะ อตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคของ รปสามเหลยมสองรปเปนอตราสวนทเทากน ซงเทากบ 3 : 5 3) ∆ ABC และ ∆ DCA ไมเปนรปสามเหลยมทคลายกน เพราะ DC

AB ≠ CABC

4) ∆ BDA และ ∆ ADC ไมเปนรปสามเหลยมทคลายกน เพราะ CAAB ≠ AD

BD

∆ BDA และ ∆ BAC ไมเปนรปสามเหลยมทคลายกน เพราะ BABD ≠ CB

AB

2. = 26CBA∧ o, = 64BCD

∧ o และ CBD∧

= 26o

3. จากสงทกาหนดให จะไดวา ∆ FDE ∼ ∆ RPQ ดงนน =

∧D

∧P

4. จากสงทกาหนดให จะไดวา ∆ AXY ∼ ∆ ABC ดงนน = นนคอ

YXA∧

CBA∧

XY // BC (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมภายนอกและ มมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน)

คาตอบแบบฝกหด 4.3

1. ประมาณ 15.04 เมตร 2. 21.50 เมตร 3. 100 เมตร 4. ประมาณ 26.92 เมตร 5. 0.9 เมตร 6. 19.2 เมตร 7. ประมาณ 3.73 เมตร 8. 350 เมตร

87

9. เนองจาก ∆ ABC, ∆ ADE และ ∆ AFG เปนรปสามเหลยมทคลายกน ดงนน BC = 80 เมตร DE = 120 เมตร CE = 70 เมตร และ EG = 140 เมตร

88

กจกรรมเสนอแนะและคาตอบ

89

กจกรรมเสนอแนะ 4.2 ก

กจกรรมนตองการใหนกเรยนไดรจกวธการพนฐานสองวธในการสรางรปสามเหลยม สองรปทคลายกน ซงอาจเปนรปยอหรอรปขยายกได

แนวการจดกจกรรม 1. ครใหแนวคดกบนกเรยนถงวธการสรางรปสามเหลยมใหคลายกบรปสามเหลยมทกาหนดให อาจเปนรปยอหรอรปขยายโดยใชวธการพนฐานสองวธ ดงน

วธท 1 สรางรปสามเหลยมทตองการใหมขนาดของมมเทากบขนาดของมมของรปสามเหลยม รปตนแบบใหเทากนเปนค ๆ สามค วธท 2 สรางรปสามเหลยมทตองการใหมอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนกบความยาว ของดานของรปตนแบบทกคเปนอตราสวนทเทากน

2. ครใหนกเรยนสรางรปสามเหลยมสองรปใหคลายกนทงวธท 1 และวธท 2 และทากจกรรม ตามลาดบขนตอนในแตละวธตอไปน วธท 1

A′

B′ C′

A

B C

รป ข รป ก 1) ใหนกเรยนเขยน ∆ ABC ใหมความยาวของดานและขนาดของมมตามใจชอบ ดงรป ก 2) สราง CB ′′ ใหยาวตามตองการ 3) สราง ∆ A′B′C′ โดยสรางใหมม A′B′C′ และมม A′C′B′ มขนาดเทากบขนาดของ และ ตามลาดบ ดงรป ข

CBA∧

BCA∧

90

4) นกเรยนคดวา CAB∧

และมม B′A′C′ มขนาดเทากนหรอไม เพราะเหตใด [เทากน เพราะ รปสามเหลยมสองรปทมมภายในสองคมขนาดเทากน มมคทเหลอจะ มขนาดเทากน] 5) ∆ ABC คลายกบ ∆ A′B′C′ หรอไม เพราะเหตใด [คลายกน เพราะมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค] วธท 2

c b

C

b c

A′

B′ C′a

b c

a B รป ก

a

A

รป ข 1) ใหนกเรยนเขยน ∆ ABC ใหมความยาวของดานเปน a, b และ c หนวย ตามใจชอบ ดงรป ก 2) สราง CB ′′ ใหมความยาว 2a หนวย 3) ใชจด B′ เปนจดศนยกลางรศม 2c เขยนสวนโคง 4) ใชจด C′ เปนจดศนยกลางรศม 2b เขยนสวนโคงตดสวนโคงในขอ 3 ทจด A′ จะได ∆ A′B′C′ ดงรป ข 5) นกเรยนคดวา ∆ A′B′C′ คลายกบ ∆ ABC หรอไม เพราะเหตใด [จากการสราง จะได ∆ A′B′C′ คลายกบ ∆ ABC เพราะวา ′ ′A B

AB = ′ ′B CBC = ′ ′C A

CA = 21 ]

91

กจกรรมเสนอแนะ 4.2 ข

กจกรรมนมเจตนาเพมเตมความรใหนกเรยนเพอใหทราบวา มทฤษฎบทอกทฤษฎบทหนงทระบถงเงอนไขททาใหรปสามเหลยมสองรปเปนรปสามเหลยมทคลายกน

แนวการจดกจกรรม ครแนะนาใหนกเรยนทราบวานอกเหนอจากการใชบทนยามทพจารณารปสามเหลยมสองรปทมขนาดของมมทเทากนเปนค ๆ สามค และการพจารณาจากอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปน อตราสวนทเทากนแลว ยงมทฤษฎบทเกยวกบการพจารณาความคลายของรปสามเหลยมอกทฤษฎบทหนง ดงน

ทฤษฎบท ในรปสามเหลยมสองรป ถาขนาดของมมมมหนงของรปสามเหลยมรปหนง เทากบขนาดของมมมมหนงของรปสามเหลยมอกรปหนง และอตราสวนของ ความยาวของดานของรปสามเหลยมทเปนแขนของมมทมขนาดเทากนนน เปน อตราสวนทเทากน แลวรปสามเหลยมทงสองรปเปนรปสามเหลยมทคลายกน

กาหนดให ∆ ABC และ ∆ DEF ม ∧A =

∧D และ DE

AB = DFAC

ตองการพสจน ∆ ABC ~ ∆ DEF

A

B C

D

F E

X Y

พสจน บน DE สราง DX = AB สราง XY ขนานกบ EF และตด DF ทจด Y พจารณา ∆ DXY และ ∆ DEF = YDX

∧FDE

∧ (เปนมมเดยวกน)

= YXD∧

FED∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลว มมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกน ของเสนตดเสนขนาน มขนาดเทากน)

92

= XYD∧

EFD∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลว มมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกน ของเสนตดเสนขนาน มขนาดเทากน) ดงนน ∆ DXY ~ ∆ DEF จะได DE

DX = DFDY

เนองจาก DEAB = DF

AC (กาหนดให) และ DX = AB (สราง) ดงนน DE

DX = DEAB = DF

DY = DFAC (สมบตของการเทากน)

จาก DFDY = DF

AC จะได DY = AC (สมบตของการเทากน) ดงนน ∆ ABC ≅ ∆ DXY (ด.ม.ด.) นนคอ ∆ ABC ~ ∆ DXY (บทนยามของรปสามเหลยมท คลายกน) และ ∆ ABC ~ ∆ DEF (สมบตถายทอด)

93

กจกรรมเสนอแนะ 4.3

กจกรรมนตองการใหเปนความรเพมเตมวาแพนโตกราฟเปนอปกรณชวยในการเขยนรปยอหรอรปขยาย อปกรณนสรางขนโดยอาศยสมบตของรปสามเหลยมคลาย และใหนกเรยนเหนการใชคณตศาสตรในงานศลปะ

แพนโตกราฟ (Pantograph)

แพนโตกราฟเปนเครองมอสาหรบขยายหรอยอรป ประกอบดวยแทงไม 4 แทง ยดตดกนดวย หมดทจด A, B, C และ D ใหมลกษณะเปนรปสเหลยมดานขนาน ABCD โดยจด P, D และ E อยใน แนวเสนตรงเดยวกน จด P ถกตรงไวบนแผนรองเขยนภาพ ในการขยายรปจตรกรจะตดปลายเขมไวทจด D ตดดนสอไวทจด E ขณะทเคลอนทปลายเขมท จด D ไปตามรปตนแบบ ดนสอทจด E กจะเคลอนทไปดวย เกดเปนรปขยายขนจากรปตนแบบ ดงรป ก ขณะทจด D เคลอนท มมของรปสเหลยมดานขนาน ABCD จะมขนาดเปลยนแปลงไปโดยทจด P, D และ E ยงคงอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงรป ข

รป ก รป ข กาหนดให PA ยาว 3 หนวย และ AB ยาว 6 หนวย

94

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 1. ∆ PBE ~ ∆ PAD หรอไม เพราะเหตใด [คลาย เพราะมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ ทกค] 2. จากรป ก จงหาอตราสวน PB ตอ PA [9 : 3 หรอ 3 : 1] 3. จากรป ก จงหาอตราสวน PE ตอ PD [3 : 1] 4. จากรป ข อตราสวนของความกวางของรปทเขยนตอความกวางของรปตนแบบเปนเทาไร กลาวคอ DD

EE′′ เปนเทาไร [3 : 1]

5. ถาตองการเขยนรปยอของผเสอตวใหญใหเปนผเสอตวเลก โดยอตราสวนของความกวางของรป ทเขยนตอความกวางของรปตนแบบเปน 1 : 2 นกเรยนจะตองปรบและใชเครองแพนโตกราฟ อยางไร จงอธบาย [1. ปรบให ยาว 1 หนวย และ PA AB ยาว 1 หนวย 2. เปลยนตาแหนงปลายเขมจากจด D ไปทจด E และดนสอจากจด E ไปทจด D]