บทที่ 4 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (14 ชั่วโมง)

4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (10 ช่ัวโมง) 4.2 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกบัตรีโกณมิติ (4 ช่ัวโมง)

สาระที่นําเสนอในบทนี้สวนใหญสอดแทรกอยูในกิจกรรมที่ใหนกัเรียนใชความรูคณติศาสตรที่เรียนมาแลว ในการแกปญหาทั้งที่คลายคลึงและแตกตางจากที่เรียนในหองเรียน โดยเจตนาใหนักเรียนประยุกตใชทั้งความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย นอกจากนี้ยังเนนใหนักเรียนเห็นการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในการแสวงหาความรูเกีย่วกับอัตราสวนตรีโกณมิต ิ ในการจดักิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาตอนตน ตามหนังสือเรียนและคูมือครูของ สสวท. ไดเนนการพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยสอดแทรกในเนื้อหาตาง ๆ ตามความเหมาะสมของสาระและกิจกรรมมาอยางตอเนือ่ง ในบทนีม้ีเจตนาเสริมสาระเพื่อพัฒนาทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรใหมากขึน้โดยผานกิจกรรม ครูอาจเลือกกิจกรรมที่เสนอไวเพื่อใหนกัเรียน ไดทําตามความเหมาะสมของเวลาและศกัยภาพ สําหรับนักเรียนที่มีเปาหมายจะเรยีนตอในดานวิทยาศาสตร ควรจัดใหทํากจิกรรมในหัวขอ 4.2 ดวย กิจกรรมในหนังสือเปนเพยีงตัวอยางของกิจกรรมที่ใชพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ยังมีกิจกรรมในชีวิตจริงอกีมากที่สามารถนํามาใชได ครูอาจหากิจกรรมอื่นที่เหมาะสมและตรงกบัความสนใจของนักเรียนในหองมาเพิ่มเติม หรืออาจนํานักเรียนออกไปทาํกิจกรรมคณติศาสตรนอกหองเรียน เชน สวนพฤกษศาสตร สหกรณในโรงเรียน ทั้งนี้ครูควรวางแผนการจัดกิจกรรมใหรัดกุมไวลวงหนา แนวคดิเกีย่วกบัการหาคําตอบของกิจกรรมในคูมือครูนี้เปนเพียงตวัอยางที่นักเรียนอาจใชในการทํากิจกรรม นักเรียนอาจมแีนวคดิอื่นที่แตกตางออกไป หรืออาจไดคําตอบอยูในรปูแบบที่แตกตางกัน ครูควรให นักเรียนไดอภปิรายถึงความหลากหลายของวิธีการไดมาของคําตอบ ในการพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรใหกับนกัเรียน ครูควรคํานึงถึงประเด็น ตาง ๆ ตอไปนี้ 1. ครูควรตระหนกัวา การพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเปนเรื่องที่ตองฝกใหนักเรียนคิดและลงมือปฏิบัติจนเกดิเปนความสามารถและความชํานาญตามวัยและระดับของนักเรียน การพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรจึงเปนเรื่องของการฝกใหคิดและตัดสนิใจมากกวาการสอนใหรูและเขาใจ

44

2. กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ควรเปนกจิกรรมที่พัฒนาหลายทักษะไปดวยกัน ครูควรตองวิเคราะหและวางแผนกอนวาปญหาสถานการณหรือกิจกรรมนัน้ ในแตละขัน้ตอนจะใหนกัเรียนใชความรูอะไร ใชอยางไรและเปนการพัฒนาทักษะกระบวนการใดบาง 3. ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเปนความสามารถและความชาํนาญที่ตองใชเวลาในการ พัฒนาใหเกดิขึ้นกับนักเรียน จึงควรใหมีการพัฒนาอยางตอเนื่องโดยบูรณาการรวมกับการสอนเนื้อหา และอาจยกตวัอยางเกร็ดความรูแสดงถึงการมีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรของนักคณิตศาสตรที่มีช่ือเสียง เชน อารคิมีดีส นิวตันและเกาส เพื่อช้ีใหนักเรียนเห็นลักษณะของบุคคลที่มีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร เชน เปนคนชางสังเกต มีความคิดสรางสรรคและมีความพยายาม 4. ในการทาํกิจกรรม ครูควรฝกใหนักเรียนเริ่มตนคิดหาวิธีแกปญหาเอง เนื่องจากมีนักเรยีนจํานวนมากที่ไมทราบวาจะเริ่มตนคิดแกปญหาอยางไร จงึรอใหครูแนะและตั้งคําถามนํา ครูควรตระหนกัวาการถามนํามากเกินไป จะทําใหนักเรยีนคุนเคยกับการคิดเพื่อตอบคําถามครูทีละคําถามตอเนื่องกันจนไดคําตอบ โดยไมสามารถคิดเพื่อหาวิธีแกปญหาที่ครบขั้นตอนหรือกระบวนการไดดวยตนเอง 5. ครูอาจอภิปรายรวมกับนักเรียนเพื่อใหความรูเกีย่วกับวิธีการตาง ๆ ที่จะชวยใหนักเรียนม ีทักษะกระบวนการทางคณติศาสตร เชน ในการแกปญหาอาจใชกลยุทธตาง ๆ ประกอบการคิดแกปญหา ไดแก การทาํตาราง การวาดภาพ การหาความสมัพันธและการคิดยอนกลับ เปนตน ในการฝกใหเหตุผลทางคณิตศาสตร อาจเริ่มจากการตั้งคําถามกับตัวเองบอย ๆ โดยเปนคําถามที่ตองการคําอธิบาย เชน เพราะอะไร ทําไม และอยางไร ในการสือ่สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ นักเรียนควรฝกการฟง พูด อาน และเขยีนที่เกีย่วกับคณิตศาสตร เชน การฟงครูหรือฟงเพื่อนอธิบายคณิตศาสตร การอธิบายวิธีทํา หรือแนวการใหเหตุผลทางคณิตศาสตรใหเพื่อนฟง การอานหนังสือหรือวารสารคณิตศาสตรใหเขาใจดวยตนเองและสามารถใชคณิตศาสตรเพื่อส่ือส่ิงที่ตองการบอกใหผูอ่ืนทราบและเขาใจได ในการเชื่อมโยงความรูนั้น นักเรยีนควรไดเห็นตวัอยางและไดฝกการเชื่อมโยงระหวางเนื้อหา ในคณิตศาสตร การเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน ๆ และการเชือ่มโยงคณิตศาสตรกับชีวิตประจําวนั ในการคดิสรางสรรคนั้น อาจเปนการคิดเพิ่มเติมหรือคิดนอกกรอบ ซ่ึงในทางคณิตศาสตร อาจเริ่มจากการคิดหลากหลาย คิดวิธีการที่แตกตางกัน คิดหาวิธีลัดทีจ่ะทําใหการแกปญหาคณิตศาสตรมี ประสิทธิภาพและสะดวกขึน้ ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป ใชความรูคณติศาสตร ความรูอ่ืนๆ และเทคโนโลยีเพื่อเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในดานการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร การนําเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดริเร่ิมสรางสรรค

45

แนวทางในการจัดการเรียนรู ในบทนําไดกลาวถึงประวัตคิราว ๆ และผลงานเดน ๆ ของอารคิมีดิส เพื่อช้ีใหเห็นลักษณะของผูที่มีทักษะกระบวนการทางคณติศาสตรและการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในการแสวงหาเพื่อสรางองคความรูที่เปนประโยชนกับคนรุนหลัง ทั้งนี้เพื่อเปนแรงบันดาลใจใหนกัเรียนเหน็ความสําคัญของทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร 4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร (10 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน กิจกรรมชุดที่ 1 1. กิจกรรม “มีอยูเทาไร” มีเจตนาใหนกัเรียนใชความรูเร่ืองการหารและเทคนิคการแกปญหาโดยใชตาราง ครูอาจใหนกัเรียนคิดหาวิธีแกปญหาเองกอน อาจมีบางคนเริ่มตนจาก 6 แทง ซ่ึงเปนไปไมได ครูควรใหนกัเรียนอภปิรายวาเพราะเหตุใดจึงเปนไปไมได ผลการอภิปรายนักเรียนควรไดขอสรุปวาควรเริ่มตนที่ 9 แทง และคอย ๆ หาไปเรือ่ย ๆ จนไดคาํตอบ จากนั้นครูควรใหนักเรียนหาวิธีอ่ืนที่สะดวกและรวดเร็วกวา แตไดคําตอบเชนเดยีวกัน ซ่ึงนักเรยีนอาจใชขอมูลที่บอกวาหารดวย 5 แลวเหลือเศษ 4 เปนสําคัญ โดยเริ่มจาก 9 แทง และได 14 แทงเปนจํานวนตอไปซึ่งก็ยังไมใชจํานวนที่สอดคลองตามเงื่อนไข แตเมื่อเปน 19 แทง จะไดคําตอบ วิธีนี้ประหยัดเวลาไดมาก สําหรับคําถามขอ 6 ครูอาจเตรียมอุปกรณ เชน ไมจิ้มฟน หรือใชการเขียนรอยขีดเปนแบบจําลองแทนดินสอ เพื่อใหนกัเรียนลองปฏิบัติเปนกลุมก็ได 2. กิจกรรม “มีอยูกี่จํานวน” มีเจตนาใหนักเรยีนคิดหาวิธีแกปญหาที่หลากหลาย ซ่ึงนอกจากจะใชแผนภาพตนไม เชน ในหนังสือเรียนแลว นกัเรยีนบางคนอาจใชวิธีคงเลขโดด 4 ในหลักพัน เลขโดด 5 ในหลักรอย และเลขโดด 6 ในหลักสิบ จากนั้นใชเลขโดด 7, 8 และ 9 ในหลักหนวยทีละตัว และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ โดยเปลี่ยนหลักรอย หลักสิบ และหลักหนวยใหเปนไปตามเงื่อนไข กจ็ะไดคําตอบเชนเดยีวกัน อยางไรก็ตามนักเรยีนบางคนอาจคงเลขโดด 4 ในหลักพัน และคงเลขโดด 9 ในหลักหนวย และหาเลขโดดในหลักรอยและหลักสิบใหสอดคลองกับเงื่อนไข จากนั้นเปลี่ยนหลักหนวยเปน 7 และ 8 ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ก็จะไดคําตอบเชนเดยีวกนั

46

กิจกรรมชุดที่ 2 1. กิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร” มีเจตนาใหนักเรยีนใชเหตุผลในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ที่เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหล่ียมที่ใหญกวา นักเรียนควรหาความสัมพันธระหวางพืน้ที่กับจํานวนครั้งของการกระทําซ้ํากันได ครูอาจถามเพื่อขยายความคิด เชน ถาพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเปน 100 ตารางหนวย จะตองลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ จุดกึ่งกลางใหเปนรูปสี่เหล่ียมกี่รูป จึงจะไดรูปสี่เหล่ียมสุดทายมีพื้นที ่ 6.25 ตารางหนวย และถาเปลี่ยน เปนรูปหลายเหลี่ยมบางรูป เชน รูปสี่เหล่ียมผืนผาความสัมพันธจะเปลี่ยนแปลงหรอืไม 2. กิจกรรม “ไดเทาไร” มีเจตนาหาความสัมพันธระหวางจํานวนทีเ่กิดจากการแบงครึ่งสวนของเสนตรงไปเรื่อย ๆ กับจาํนวนครั้งทีแ่บง ครูอาจขยายความคิดใหนักเรยีนเห็นวาในทางปฏิบตัิ เมื่อแบงชวงบนเสนจํานวนเปนจาํนวนครั้งมาก ๆ เชน 100 คร้ัง อาจไมสามารถเขียนจุดแทนจํานวนที่ไดบนเสนจํานวน แมวาในทางทฤษฎีเราสามารถหาจํานวนที่แทนจุดนัน้ไดเสมอ และอาจใชแบบรูปของ ความสัมพันธมาชวยหาจํานวนที่แทนจดุนัน้ การหาแบบรูปจึงมีประโยชนมากในกรณีเชนนี ้ กิจกรรมชุดที่ 3 1. กิจกรรม “นับอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนหาความสัมพันธระหวางจํานวนรปูสี่เหล่ียม มุมฉากขนาดตาง ๆ ที่เกิดจากรูปสี่เหล่ียมขนาด 1 × 1 เรียงตอกัน 7 รูป การใชตารางหาจํานวนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากขนาด 1 × 1, 1 × 2 ไปจนถึง 1 × 7 ตารางหนวย จะชวยใหนกัเรียนเหน็แบบรูปที่ เกิดขึ้น จากแบบรูปที่ไดครูควรถามใหนกัเรียนคิดตอวา เมื่อเพิ่มรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด 1 × 1 มาเรียง ตอกันมากขึ้น เชน 10 รูป, 20 รูป, 50 รูป และ 100 รูป จะไดรูปสี่เหล่ียมมุมฉากเปนเทาไรบาง ครู ควรถามคําถามนี้ใหมากพอเพื่อใหนกัเรียนหาจํานวนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากทั้งหมดในรปู 10 (10 1)2 + , 20 (20 1)2 + , 50 (50 1)2 + และ 100 (100 1)2 + ตามลําดับกอนทีจ่ะถามถึง n รูป

2. กิจกรรม “นับไดเทาไร” มีเจตนาใหนักเรยีนใชกระบวนการคิดคลายคลึงกับกจิกรรม “นับอยางไร” แตอาจมีความซับซอนมากกวา ในการหารูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาดตาง ๆ ครูควรฝกให นักเรียนหาอยางเปนระบบ เชน หาจากซายไปขวา และหาจากบนลงลาง เพราะจะทําใหรูปที่เกดิขึ้นไม ซํ้ากัน และนกัเรียนเองก็จะไมสับสน สําหรับการหาจํานวนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาดตาง ๆ ที่ซอนอยูในรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาด n × n นั้น ครูอาจใหใชคําตอบในรูป 12 + 22 + 32 + ... + n2

47

กิจกรรมชุดที่ 4 1. กิจกรรม “กี่ตัวกนัแน” และ “คิดตามจี๊ด” มีเจตนาใหนกัเรียนคิดหาวิธีการที่หลากหลายใน การแกปญหา นอกจากวิธีวาดรูปและวิธีตรวจสอบโดยใชตารางแลว นักเรียนอาจใชการแกระบบสมการ โดยกําหนดให x แทนจํานวนมาลายและ y แทนจํานวนนกกระจอกเทศแลว จะไดระบบสมการเชิงเสน x + y = 47 และ 4x + 2y = 118 ซ่ึงเมื่อแกระบบสมการจะไดคําตอบเชนเดยีวกบัสองวิธีขางตน นอกจากวิธีดังกลาวแลวนักเรียนอาจใชวิธีอ่ืน เชน การลองผิดลองถูกอยางเปนเหตุเปนผล โดยเมื่อทราบขอมูลวามีสัตวท้ังสองชนิด 47 ตัว แตมีขารวม 118 ขา อาจสมมติใหมีสัตวอยางละเกือบครึ่งหนึ่ง (จํานวนสัตวเทากันไมได เพราะจํานวนสตัวท่ีกําหนดใหเปนจํานวนคี่) สมมติใหมีนกกระจอกเทศ 23 ตัว และมาลาย 24 ตัว จะไดขารวม (23 × 2) + (24 × 4) หรือ 142 ขา ซ่ึงมากกวา 118 ขาตามที่โจทยกําหนด จึงตองลดจํานวนขาลง แตไมสามารถลดจํานวนสัตวท่ีมีสองขาได เพราะจะทาํใหจํานวนขาท้ังหมดมากขึน้ไปอีก ดังนัน้จึงตองลดจํานวนสัตวท่ีมีส่ีขา ในขณะเดยีวกันก็ตองเพิม่จํานวนสัตวท่ีมีสองขา เพื่อใหมีสัตวท้ังสองชนิดรวมกัน 47 ตวั จึงอาจเปน (30 × 2) + (17 × 4) หรือ 128 ขา ซ่ึงจํานวนขายังมากเกินไป การทําซํ้ากระบวนการเชนนี้ นักเรียนจะไดคําตอบเชนเดยีวกัน 2. กิจกรรม “คิดไดหลายวิธี” มีเจตนาใหนกัเรียนฝกการเชื่อมโยงโดยใชแนวคิดและ ประสบการณจากการทํากจิกรรมที่ผานมาแลว มาแกปญหาที่ซับซอนขึ้น ครูควรใหนกัเรียนแตละคนคิด และเลือกวิธีแกปญหาของตนเอง นักเรยีนบางคนอาจมีวธีิคิดที่แตกตางออกไป ครูควรใหนักเรยีนแตละคนไดมีโอกาสอธิบายวิธีการใหเพื่อนฟง กิจกรรมชุดที่ 5 กิจกรรมชุดนี้เนนใหนกัเรยีนเขาใจการใชความรูทางคณิตศาสตรและเทคโนโลยี เพื่อเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในการหาคาประมาณของจํานวนอตรรกยะบางจํานวน โดยใชการหาคาเฉลี่ยของจํานวนสองจํานวนที่มีคาใกลเคียงกนั การเริ่มตนจาก 2 ท่ีเปนจํานวนอตรรกยะที่นักเรียนคุนเคยจะทําใหนกัเรียนเห็นกระบวนการที่ชัดเจนขึ้น ครูควรอธิบายวาหลักการดังกลาวสามารถทําลัดขั้นตอน โดยการหาจํานวนสองจํานวนทีคู่ณกันแลวได 2 หรือใกลเคยีงมากที่สุด โดยท่ีจํานวนสองจํานวนนัน้มีผลตางกันนอยท่ีสุด เมื่อครูแสดงตัวอยางการหาคาประมาณของ 2 โดยใชวิธีดังกลาวแลว ครูควรใหนกัเรียน ลองหาคาประมาณของจํานวนอตรรกยะทีก่ําหนดดวยตนเอง กิจกรรมชุดที่ 6 1. กิจกรรมชดุนี้เนนใหนักเรียนใชเทคโนโลยีและเขาใจการใชกระบวนการทางคณติศาสตรท่ี เรียกวา The Method of Exhaustion แกปญหาการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติบางรูป ซ่ึงไมมีสูตร ท่ีใชในการคํานวณโดยตรง

48

2. กิจกรรม “พ้ืนที่ใตกราฟ” มีเจตนาใหนกัเรียนฝกใช The Method of Exhaustion หา พ้ืนที่ใตพาราโบลาที่กําหนดใหโดยใชการหาพื้นที่รวมของแทงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก นักเรียนอาจมปีญหาในการหาความสงูของแทงรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก ในกรณีนี้ครูควรใชคําถามตอเนื่องเพื่อใหนกัเรียนคํานวณได และสามารถหาพื้นที่ใตกราฟโดยประมาณได ครูควรแนะใหนกัเรยีนแบงสวนบนแกน X ใหมากพอดวย 3. กิจกรรม “ใจเยน็ ๆ คอย ๆ คิด” มีเจตนาใหนักเรียนใชความรูและทักษะทางคณิตศาสตรใน การแกปญหาและตัดสินใจ วิธีคิดที่นักเรียนใชอาจแตกตางกันตามพืน้ฐานความรูและประสบการณทางคณิตศาสตรของแตละคน ครูควรชี้ใหนกัเรียนเห็นวาปญหาบางอยางในชีวิตจริงไมมีคําตอบที่ถูกหรือผิด แตตองการทางออกหรือการแกปญหาที่มีประสิทธิภาพหรือใหประโยชนมากที่สุด เชน การซื้อของใหได ของมีคุณภาพในราคาที่ถูกทีสุ่ด ประหยดัที่สุด หรือคุมคาที่สุด หรือการจัดคนทํางานใหตรงกับ ความสามารถและความถนดัมากที่สุด เปนตน การแกปญหาในกจิกรรมนี้จึงเนนการคิดที่หลากหลาย เชน การคิดวิเคราะห สังเคราะห คิดอยางเปนเหตุเปนผล เพื่อใหนักเรยีนไดประสบการณในการแกปญหาที่ สามารถใชไดกับชีวิตจริง 4.2 ทักษะกระบวนการทางคณติศาสตรกับตรีโกณมิติ (4 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกคาของอัตราสวนตรีโกณมิติ ไซน โคไซนและแทนเจนตของมุมที่มีขนาด 30o, 45o และ 60o ได 2. นําความรูเกี่ยวกับอัตราสวนตรีโกณมิติไปแกปญหาที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน กิจกรรมในหวัขอนี้แสดงถงึการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรสรางสรรคความรูเกี่ยวกับ ตรีโกณมิติ ซ่ึงเปนสาขาหนึง่ของคณิตศาสตรท่ีเกี่ยวของเปนอยางมากกับชีวิตมนษุย 1. กิจกรรม “อัตราสวนเปนอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนสรางขอความคาดการณเกี่ยวกับอัตราสวนตรีโกณมิติท่ีสําคัญโดยสังเกตความสัมพันธจากแบบรูป และเมื่อตรวจสอบขอความคาดการณแลว นักเรียนควรสรุปไดวาขอความคาดการณนั้นเปนจริงโดยมกีารใหเหตุผลท่ีสามารถพิสูจนยนืยันได 2. กิจกรรม “ลองทําดู” มีเจตนาฝกใหนักเรียนเช่ือมโยงความรูเร่ืองอัตราสวนและทฤษฏีบท พีทาโกรัสไปสูความรูเร่ืองอัตราสวนตรีโกณมิติ ครูควรช้ีใหนักเรยีนเห็นประโยชนของการใชอัตราสวน ตรีโกณมิติในการหาความยาวของดานและขนาดของมมุของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และควรฝกทกัษะการ ใชอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมที่ใชบอย เชน 30o 45 o และ 60o 3. กิจกรรม “บอกไดไหม” เปนกิจกรรมเพื่อฝกหาคาของอัตราสวนตรีโกณมิตจิากตารางและหาขนาดของมมุเมื่อกําหนดคาอัตราสวนตรีโกณมิติให ครูอาจใหนกัเรียนตอบปากเปลาในชั้นเรียน

49

4. กิจกรรม “ลองหาดู” เปนกิจกรรมเพื่อฝกทักษะหาความยาวของดานและขนาดของมุมของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทีก่ําหนด เพื่อเปนพื้นฐานในการทํากิจกรรม “ลองคิดดู” ซ่ึงมีเจตนาให นักเรียนฝกใชความรูเร่ืองอัตราสวนตรีโกณมิติแกปญหาที่มักพบในชวีิตจริง เชน การหาความสงูของตนไม ความสูงของกําแพงและความกวางของแมน้ํา ครูควรใหนักเรียนแตละคนคิดหาวิธีแกปญหาของตนเอง อาจเปนรายบุคคลหรือกลุมเพื่อนักเรียนจะไดฝกฝนการสื่อสารกับผูอ่ืนดวย 5. กิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรยีนฝกแกปญหาเกี่ยวกับพืน้ที่โดยเชื่อมโยงความรูตรีโกณมติิกับเรขาคณิต ครูอาจใหนกัเรียนชวยกนัทาํและนําเสนอหนาช้ันเรยีน 6. กิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเตมิสําหรับนักเรียนและเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติกบัวิทยาศาสตร ครูอาจใหนกัเรียนหาผลงานของกาลิเลโอเพิ่มเติมและครูอาจชี้ใหนักเรยีนเห็นคุณลักษณะของกาลิเลโอ นักวิทยาศาสตรเรืองนามของโลกไดใชทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรมาชวยในการคนควางานสําคัญตาง ๆ ทางวิทยาศาสตรท่ีเปนประโยชนกับชาวโลก

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมชุดที่ 1

คําตอบกิจกรรม “มีอยูเทาไร” คําตอบปญหาหนา 154 3. ตัวอยางแนวคดิที่แตกตางจากในหนังสือเรียน จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่หนึ่ง อาจเปน 4, 7, 10, 13, 16, 19 , ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สอง อาจเปน 7, 11, 15, 19 , 23, ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สาม อาจเปน 9, 14, 19 , 24, ... จะไดจํานวนดนิสอ 19 แทง สอดคลองกับเงื่อนไขทั้งหมดของปญหา

50

4. 1)

เศษท่ีไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร จํานวนดินสอ (แทง)

ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5 9 0 1 4 10 1 2 0 11 2 3 1 12 0 0 2 13 1 1 3 14 2 2 4 15 0 3 0 16 1 0 1 17 2 1 2 18 0 2 3 19 1 3 4

2) บวรมีดนิสออยางนอย 19 แทง 3) ตรวจสอบไดโดยนําคําตอบที่ไดแทนในความสัมพนัธจากโจทยซ่ึงจะพบวา 19 เปนจํานวนที ่ นอยท่ีสุดที่หารดวย 3, 4 และ 5 เหลือเศษ 1, 3 และ 4 ตามลําดับ 5. 1) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่หนึ่งคนละ 3 แทงแลวเหลือเศษ 1 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดท้ังจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี ้ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคี ่ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคู 2) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สองคนละ 4 แทง แลวเหลือเศษ 3 แทง จะไดวาบวรม ี ดินสอเปนจํานวนคี่เทานั้น ไมวาจํานวนเดก็กลุมนี้จะเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ก็ตาม 3) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สามคนละ 5 แทง แลวเหลือเศษ 4 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดท้ังจํานวนคูและจํานวนคี่ ดังนี ้ ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคู ถาจํานวนเดก็ที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิสอเปนจํานวนคี ่

51

4) ใช 5)

เศษท่ีไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร จํานวนดินสอ (แทง)

ตัวหาร 3 ตัวหาร 4 ตัวหาร 5 9 0 1 4 11 2 3 1 13 1 1 3 15 0 3 0 17 2 1 2

19 1 3 4

6) บวรมีดนิสออยางนอย 19 แทง

คําตอบกิจกรรม “มีอยูกี่จํานวน”

1. เลขโดดในหลักพันมีไดหนึ่งตัว คือ 4 เทานั้น เนื่องจากเลขโดดตัวอ่ืน ๆ ทําใหจํานวนนับทีเ่กิดขึน้ ไมอยูระหวาง 4,000 กับ 5,000 2. เลขโดดในหลักรอยอาจเปน 5, 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่มากกวา 4 ซ่ึงสอดคลองตาม เงื่อนไขในโจทย 3. ถาเลขโดดในหลักรอยเปน 5 เลขโดดในหลักสิบ อาจเปน 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที ่ มากกวา 5 ซ่ึงสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย 4. ถาเลขโดดในหลักสิบเปน 6 เลขโดดในหลักหนวย อาจเปน 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที ่ มากกวา 6 ซ่ึงสอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย

52

D C R

S Q

A P B

5.

6. 10 จํานวน คือ 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 และ 4789 กิจกรรมชุดที่ 2

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร” 1. 4) (1) PQRS เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส เพราะสามารถพิสูจนไดวามมุีมทั้งส่ีเปนมุมฉาก และมีดานทั้งส่ียาวเทากัน

หลักพัน หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย

4

5

6

7

7

8

8

9 8

6 7 8 9

8

7

8

9

9 9 9

53

แนวการพิสูจน เนื่องจาก ∆ APS ≅ ∆ BPQ (ด.ม.ด.) ดังนั้น PS = PQ (ดานคูท่ีสมนยักันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) และ A PS

∧ = BP Q

∧ (มุมคูท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก ∆ APS และ ∆ BPQ แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมมมุฉากและ รูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน) ดังนั้น A PS

∧ = BP Q

∧ = 45o (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด

เทากัน) จะได SP Q

∧ = 180 – (2 × 45) = 90o (ขนาดของมุมตรง)

ในทํานองเดียวกันจะสามารถพิสูจนไดวา PS = SR = RQ = QP และ SP Q

∧ = PQR

∧ = QRS

∧ = R S P

∧ = 90o

นั่นคือ PQRS เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส (2) พ้ืนที่ของ PQRS = 1

2 × พ้ืนที่ของ ABCD เนื่องจาก ถาให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่ยาวดานละ 2x หนวย พิจารณาจากรูปขางลางนี้ พ้ืนที่ของ PQRS = ( )22 x = 2x2 ตารางหนวย พ้ืนที่ของ ABCD = (2x)2 = 4x2 ตารางหนวย ดังนั้น พ้ืนที่ของ PQRS = 1

2 × พ้ืนที่ของ ABCD

(3) 2 ตารางหนวย

x x

x

x Q S

D C

A P B

R 2 x

2 x

54

2. 1) จะตองหาพื้นที่ของรูปเรียงลําดับกันดงันี้ จากพื้นที่ของรูป 6 คูณดวย 2 จะไดพ้ืนที่ของรูป 5 จากพื้นที่ของรูป 5 คูณดวย 2 จะไดพ้ืนที่ของรูป 4 และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนไดพ้ืนทีข่องรูป 1 ดังแผนภาพ 2) 160 ตารางหนวย แนวคิด พ้ืนที่ของ ABCD = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 160 ตารางหนวย 3) 64 ตารางหนวย

แนวคิด หาจากความสัมพันธดังตอไปนี้ กําหนด ∆ DEF เกิดจากลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ จุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของ ∆ ABC จะพิสูจนไดวา พ้ืนที่ของ ∆ ABC เทากับ 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF ดังนี ้ เนื่องจาก ∆ ADF ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.) จะได DF = DE (ดานคูท่ีสมนยักันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกัน ∆ CEF ≅ ∆ BDE จะได EF = DE ดังนั้น DF = DE = EF (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก AB = BC = AC (กําหนดให) จะได AD = AF (ตางมีความยาวเปนครึ่งหนึ่งของความยาวของ ดานที่ยาวเทากัน)

C

F E

A D B

6 คูณดวย 2

5 คูณดวย 2

4 คูณดวย 2

3 คูณดวย 2

2 คูณดวย 2

1

55

ดังนั้น A DF∧

= A F D∧

(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ มีขนาด เทากัน) เนื่องจาก DA F

∧ = 60o (มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมดานเทา มีขนาด

เทากับ 60 องศา) ดังนั้น ∆ ADF เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จะได DF = AD = AF ดังนั้น ∆ ADF ≅ ∆ DEF (ด.ด.ด.) จะได ∆ ADF, ∆ BDE, ∆ CEF และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการทุกคู นั่นคือ พ้ืนทีข่อง ∆ ABC = 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF จากเหตุผลดังกลาวขางตน จึงสามารถหาพื้นที่ของ ∆ ABC ได จะไดพ้ืนที่ของ ∆ ABC = 4 × 4 × 4 × 1 = 64 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ไดเทาไร” หนอยจะเปนผูเขียนจุดในครั้งที่ 100 และจํานวนที่เขยีนคือ 100

12

แนวคิด พิจารณาจากแบบรูปดังนี ้ คร้ังที่ 1 นิดเขียนจุดที่แทน 1

2

คร้ังที่ 2 หนอยเขียนจุดทีแ่ทน 14 หรือ 2

12

คร้ังที่ 3 นิดเขียนจุดที่แทน 18 หรือ 3

12

คร้ังที่ 4 หนอยเขียนจุดทีแ่ทน 116 หรือ 4

12

จะเห็นวานิดเขียนจุดในครั้งที่เปนจํานวนคี่ และหนอยเขียนจดุในครัง้ที่เปนจํานวนคู ดังนั้น หนอยจึงเขียนจุดในครั้งที่ 100 จากแบบรูปจะสังเกตไดวาตวัสวนของเศษสวนที่เขียนจะมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเดียวกัน กับจํานวนครั้งที่เขียนจดุ ดังนั้น จํานวนที่หนอยเขียนจึงเปน 100

12

.

.

.

56

กิจกรรมชุดที่ 3 คําตอบกิจกรรม “นับอยางไร”

3. รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่ควรแจงนับตอไปคือ รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีขนาด 1 × 3 ตารางหนวย ดังแผนภาพ 4. รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากที่ตองพจิารณาอีก คือ รูปที่มีขนาด 1 × 4, 1 × 5, 1 × 6 และ 1 × 7 ตารางหนวย

ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 1 × 1 7 1 × 2 6 1 × 3 5 1 × 4 4 1 × 5 3 1 × 6 2 1 × 7 1 รวม 28

5. ใชความรูเกี่ยวกับลักษณะของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก และแจงนับรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากแตละขนาด 7. 55 รูป 8. 5050 รูป 9. 1 + 2 + 3 + … + n หรือ n(n 1)

2+ รูป

57

คําตอบกิจกรรม “นับไดเทาไร” 1. 16 รูป 2. แผนภาพแสดงการแจงนับรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาด 2 × 2 ท้ังหมดที่ซอนอยูในรูปที่กําหนดให

3. ผลบันทึกจากการแจงนับรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสขนาดตาง ๆ

ขนาด (ตารางหนวย) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 × 1 16 2 × 2 9 3 × 3 4 4 × 4 1 รวม 30

4. 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 รูป 5. 12 + 22 + 32 + ... + n2 รูป

58

กิจกรรมชุดที่ 4 คําตอบกิจกรรม “กี่ตัวกันแน”

เขียนคําตอบตามวิธีคิดของแจวไดดังนี ้

แจวนับมาลายได 12 ตัว และนับนกกระจอกเทศได 35 ตัว

คําตอบกิจกรรม “คิดตามจี๊ด”

1. ตัวอยางคําตอบ ถามาลายมี 30 ตัว จะไดจํานวนขาทั้งหมดของมาลายเปน 120 ขา ซ่ึงมากกวาจํานวน ท่ีโจทยกําหนด ท้ัง ๆ ท่ียังไมไดรวมขาของนกกระจอกเทศอีก 17 ตวั จึงเริ่มเดาใหมีมาลายลดลงเปน 20 ตัว เพื่อใหจํานวนขาที่เกินอยูลดลง

2. ได ตัวอยางคําตอบ อาจเดาครั้งแรกใหมีนกกระจอกเทศ 46 ตัว จะไดขาเพียง 92 ขา เมื่อรวมขาของมาลายอีก 1 ตัว จะไดขาทั้งหมด 96 ขาเทานั้น ซ่ึงนอยเกนิไป จึงควรเพิ่มจํานวนมาลายและลดจํานวน นกกระจอกเทศ

มาลาย

นกกระจอกเทศ

59

3.

เดาครั้งท่ี

มาลาย (ตัว)

นกกระจอกเทศ (ตัว) ขามาลาย ขานกกระจอกเทศ รวมขา

ท้ังหมด ผลสรุป

1 20 27 20 × 4 = 80 27 × 2 = 54 134 × 2 15 32 15 × 4 = 60 32 × 2 = 64 124 × 3 13 34 13 × 4 = 52 34 × 2 = 68 120 × 4 12 35 12 × 4 = 48 35 × 2 = 70 118 /

จากผลในตารางจะไดคําตอบของจี๊ดตรงกับคําตอบของแจว จี๊ดและแจวอาจใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หรือสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หาคําตอบ ตามตัวอยางแนวคิด ดังนี ้ 1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหจํานวนมาลายม ี x ตัว จํานวนนกกระจอกเทศมี y ตัว จะไดระบบสมการเชิงเสนเปน x + y = 47 --------------- 1 4x + 2y = 118 --------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว 2) ใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ใหจํานวนมาลายม ี x ตัว จะไดจํานวนนกกระจอกเทศ 47 – x ตัว และจะไดสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เปน 4x + 2(47 – x) = 118 เมื่อแกสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว

60

คําตอบกิจกรรม “คิดไดหลายวิธี”

1. มีเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ เหรียญสิบบาท 9 เหรียญ หรือ มีเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ เหรียญสิบบาท 5 เหรียญ ตัวอยางแนวคดิ 1. ใชการคาดเดาและตรวจสอบคําตอบโดยใชตารางวิเคราะห ดงันี้

เหรียญสิบบาท เหรียญหาบาท เหรียญบาท จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

จํานวน เหรียญ

จํานวน เงิน

รวมเงินท้ังหมด

1 10 10 9

10 100 100 90

2 4 6 8

10 20 30 40

21 10 8 7

21 10 8 7

10 + 10 + 21 = 41 นอยไป 100 + 20 + 10 = 130 นอยไป 100 + 30 + 8 = 138 มากไป 90 + 40 + 7 = 137 พอดี

8 7 6 5

80 70 60 50

10 13 15 17

50 65 75 85

6 4 3 2

6 4 3 2

80 + 50 + 6 = 136 นอยไป 70 + 65 + 4 = 139 มากไป 60 + 75 + 3 = 138 มากไป 50 + 85 + 2 = 137 พอดี

2. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให x แทนจาํนวนเหรียญบาท y แทนจาํนวนเหรียญหาบาท z แทนจํานวนเหรียญสิบบาท จะไดระบบสมการ x + y + z = 24 -------------- 1 x + 5y + 10z = 137 -------------- 2 จากสมการ 2 พิจารณาไดวา จาก 5y ไมวา y จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 5 หรือ 0 เทานัน้ และจาก 10z ไมวา z จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดทีอ่ยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 0 เสมอ

61

ดังนั้น ผลบวก x + 5y + 10z จะเทากับ 137 ได ก็ตอเมื่อ เหรียญบาทจะตองเปน 2 เหรียญ หรือ 7 เหรียญเทานัน้ 1) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 2 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 2 + y + z = 24 --------- 3 2 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 22 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 135 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 17 และ z = 5 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 5 เหรียญ 2) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 7 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 7 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 7 + y + z = 24 --------- 3 7 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 17 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 130 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 8 และ z = 9 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 9 เหรียญ 2. เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท ตัวอยางแนวคดิ 1. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให เผือกฉาบราคาถุงละ x บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ y บาท

62

จะไดระบบสมการ 5x + 10y = 875 ------------- 1 10x + 5y = 625 ------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบจะได เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท 2. ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยพิจารณาจํานวนถุงและจํานวนเงินที่จารวุรรณซ้ือมา ดังนี ้

เผือกฉาบ ทุเรียนทอด จํานวนถุง

ราคา ถุงละ

รวม เงิน

จํานวนถุง

ราคา ถุงละ

รวม เงิน

รวมเงินท้ังหมด

5 5 5 5

30 30 30 25

150 150 150 125

10 10 10 10

60 70 75 75

600 700 750 750

150 + 600 = 750 นอยไป 150 + 700 = 850 นอยไป 150 + 750 = 900 มากไป 125 + 750 = 875 พอดี

ตรวจสอบคําตอบกับจาํนวนถุงและจาํนวนเงินที่นวลจันทรซ้ือมา จะได (10 × 25) + (5 × 75) = 250 + 375 = 625 บาท ซ่ึงสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย ดังนัน้ ราคาเผือกฉาบถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท กิจกรรมชุดที่ 5

คําตอบกิจกรรม “ลัดขัน้ตอน”

1. 3 ≈ 1.732 2. 20 ≈ 4.472 3. 115 ≈ 10.72

63

กิจกรรมชุดที่ 6 คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ใตกราฟ”

7.

จํานวนสวนแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X

พื้นท่ีของแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากท้ังหมด (ตารางหนวย)

4 1.75 8 2.1875 16 2.422

8. ประมาณ 2.422 ตารางหนวย ( เมื่อแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กนั) 9. ประมาณ 10.156 ตารางหนวย (เมื่อแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กนั) แนวคิด เนื่องจากพาราโบลาที่กําหนดใหเปนรูปสมมาตรและมีแกน Y เปนแกนสมมาตร จึงคํานวณหาพื้นที่สวนท่ีแรเงาเพียงครึ่งรูปทางขวาของแกนสมมาตรกอน โดยแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน จะไดจุดแบงบนระยะ 0 ถึง 2 15 จุด และไดคูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ y = -x2 + 4 ดังนี ้

x 18 2

8 38 4

8 58 6

8 78 8

8 y = 4 – x2 255

64 25264 247

64 24064 231

64 22064 207

64 19264

98 10

8 118 12

8 138 14

8 158

17564 156

64 13564 112

64 8764 60

64 3164

เนื่องจากแทงส่ีเหล่ียมมุมฉากแตละแทงมีความกวางเปน 1

8 หนวย

y = -x2 + 4

4

2 -2 X

Y

0

64

จะไดพ้ืนที่สวนทีแ่รเงาทั้งหมดเทากบั 2 × 18 × 1

64 (255 + 252 + 247 + 240 + 231 + 220 + 207 + 192 + 175 + 156 + 135 + 112 + 87 + 60 + 31) = 1

256 × 2,600

≈ 10.156 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ใจเย็น ๆ คอย ๆ คิด”

1. ปุยขนาด 5 กโิลกรัม 3 ถุง และปุยขนาด 3 กิโลกรัม 1 ถุง แนวคิด ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยใชตารางวิเคราะหดังนี้

ขนาด 5 กิโลกรัม ขนาด 3 กิโลกรัม รวม จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน จํานวนกิโลกรัม จํานวนเงิน 1 × 5 = 5 3 × 5 = 15 2 × 5 = 10

20 60 40

4 × 3 = 12 1 × 3 = 3 3 × 3 = 9

60 15 45

17 18 19

80 75 85

จากตาราง จะเห็นวาถาซ้ือปุย 17 กโิลกรัม จะตองจายเงิน 80 บาท ซ่ึงเปนเงนิท่ีมากกวา ซ้ือปุย 18 กิโลกรัม โดยจายเงินนอยท่ีสุดเพียง 75 บาท (ไดของมากกวา แตจายเงนินอยกวา) 2. 6, 9, 12, 15, 17, 20, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 35, 38, 39, 42, 45, 46, 53 และ 60 แนวคิด โดยใชการแจงนับคะแนน ดังนี ้ 2 + 2 + 2 = 6 2 + 2 + 5 = 9 2 + 2 + 13 = 17 2 + 2 + 20 = 24

2 + 5 + 5 = 12 2 + 5 + 13 = 20 2 + 5 + 20 = 27

2 + 13 + 13 = 28 2 + 13 + 20 = 35 2 + 20 + 20 = 42

65

5 + 5 + 5 = 15 5 + 5 + 13 = 23 5 + 5 + 20 = 30

5 + 13 + 13 = 31 5 + 13 + 20 = 38 5 + 20 + 20 = 45

13 + 13 + 13 = 39 13 + 13 + 20 = 46 13 + 20 + 20 = 53

20 + 20 + 20 = 60

3. 9 แบบ แนวคิด แยกพิจารณาเปนกรณดีังนี ้ 1. แลกธนบตัรเปนเหรียญแบบเดยีวกัน 2. แลกธนบตัรเปนเหรียญสองชนิดที่ตางกัน 3. แลกธนบตัรเปนเหรียญสามชนิดท่ีแตกตางกัน ผลพิจารณาไดดังตาราง

จํานวนเหรียญสิบบาท จํานวนเหรียญหาบาท จํานวนเหรียญบาท 2 0 0 1 2 0 1 1 5 1 0 10 0 4 0 0 3 5 0 2 10 0 1 15 0 0 20

66

4. ความยาวของริบบิ้นที่ตัดเปนสามสวนที่เปนไปได คือ 6, 3, 1 ฟุต 6, 2, 2 ฟุต 5, 4, 1 ฟุต 5, 3, 2 ฟุต 4, 4, 2 ฟุต 4, 3, 3 ฟุต 5. 1) เปนไปได แนวคิด ผูท่ีวางแผนตองการชนะจะตองใหฝายตรงขามเปนผูเลนคนแรกที่หยิบกอน โดยผูเลนคนแรกจะหยิบตุกตา 1 ตัวหรือ 2 ตัว ก็ได แตผูวางแผนจะตองหยิบ ตุกตาใหครบเปนตัวท่ีสามของแตละรอบที่หยิบ ตัวอยางการหยิบ

ตุกตาตัวท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผูวางแผน

ผูเลน ในกรณท่ีีผูวางแผนตองหยิบเปนคนแรก ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวท่ี 3 หรือตัวท่ี 6 ซ่ึงจะทําใหหยิบไดตัวท่ี 9 จึงจะชนะ 2) แนวคิด ผูวางแผนจะตองเลนเปนคนแรกโดยหยิบตุกตาเพยีง 1 ตัวในครั้งแรก และ ตองพยายามใหเหลือตุกตาเปนจํานวนที่ 3 หารลงตัว เชน หลังจากผูวางแผน หยิบตุกตาตัวแรกแลว เมื่อฝายตรงขามหยิบตุกตา 1 ตัว ผูวางแผนตองหยิบ 2 ตัว เพื่อใหไดผลรวมของตุกตาเปน 3 ตัว และเหลือตุกตาอีก 6 ตัว

แพ

67

ตัวอยางการหยิบ

ตุกตาตัวท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ผูวางแผน

ผูเลน ในกรณท่ีีผูวางแผนตองหยิบเปนคนที่สอง ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวท่ี 4 หรือตัวท่ี 7 ซ่ึงจะทําใหหยิบไดตัวท่ี 10 จงึจะ ชนะ

6. -31 กับ -21 หรือ 21 กับ 31 7. 7 ขอ แนวคิด ใหจํานวนขอท่ีทําถูกมี x ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ 5x จํานวนขอท่ีทําผิดมี y ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ -2y จากโจทยจะไดระบบสมการ x + y = 10 ---------------- 1 5x - 2y = 29 ---------------- 2 8. หมายเลข 27 ไดรับหมวก หมายเลข 41 ไดรับเส้ือยืด หมายเลข 62 ไดรับกระเปา 9. ปอเลนระนาด จิมเลนขิม แจคเลนจะเข ปองเลนซอ การพิจารณาอาจใชขอมูลประกอบกับตารางวิเคราะหหาคําตอบดังนี ้

ขิม

ซอ

จะเข

ระนาด

ปอ จิม แจค ปอง

ช่ือ

เครื่องดนตร ี ท่ีเลน

ชนะ

68

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

∧A

BCAB

ACAB

BCAC

30o

12

3

2

3

3

45o

2

2

2

2

1

60o

3

2

12

3

C

B

A

A C

B

2 1

30o 3

C

B

1

1

A 45o

2

C

B

2

1 A 60o

3

69

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) 0.309 2) 0.866 3) 1.664 4) 0.995 5) 0.906 6) 3.078 2. 1) 35o 2) 75 o 3) 60 o 4) 45 o 5) 37 o 6) 58 o

คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”

1. 2.5 หนวย 2. BC ยาว 3.125 หนวย และ AC ยาว 5.076 หนวย 3. X

∧ = 20 o, Z

∧ = 70 o และ XY = 9.4 หนวย

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

1. AB ยาว 13.848 เซนติเมตร และ CE ยาว 10.152 เซนติเมตร 2. 18.64 เมตร 3. บันไดทาํมุมกับพ้ืนดนิประมาณ 52 องศา กําแพงสูงประมาณ 5.12 เมตร 4. ประมาณ 101.43 เมตร

70

คําตอบกิจกรรม “คิด”

ประมาณ 6.763 ตารางหนวย

แนวคิด เนื่องจาก D A F∧

= FA E∧

= E A B∧

= 903 = 30o

จะไดวา ∆ ABE ≅ ∆ ADF (ม.ด.ม.) ดังนั้น พ้ืนที่ของรูป AFCE = พ้ืนทีข่องส่ีเหล่ียมจตุัรัส ABCD – 2 (พ้ืนที่ของ ∆ ABE) เนื่องจาก BE = AB ( tan E A B

∧)

= 4 tan 30o

= 4 × 33 = 4 3

3 หนวย

ดังนั้น พ้ืนที่ของ ∆ ABE = 12 × 4 × 4 3

3

= 8 33 ตารางหนวย และ พ้ืนที่ของส่ีเหล่ียมจัตุรัส ABCD = 4 × 4 = 16 ตารางหนวย

ดังนั้น พ้ืนที่ของรูป AFCE = 16 – 28

32

= 16 – 16 33 ตารางหนวย

≈ 16 – 16

1.7323 ×

≈ 6.763 ตารางหนวย นั่นคือ สวนที่แรเงามีพ้ืนท่ีประมาณ 6.763 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)”

ประมาณ 5 องศา