บทที่ 2การใหเหตุผล

( 8 ช่ัวโมง )

การใหเหตุผลเปนสาระใหมของวิชาคณิตศาสตรในชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6) ซ่ึงเปนเนือ้หาทีม่คีวามสาํคญั เพราะการดาํเนนิชวีติของคนเราตองขึน้อยูกบัเหตผุล ไมวาจะเปนความเชือ่ การโตแยง การตดัสนิใจ ตองใชเหตผุลประกอบทัง้สิน้ อีกทัง้ยงัเปนพืน้ฐานทีสํ่าคัญในการหาความรูของศาสตรตางๆ

สาระเรื่องการใหเหตุผลที่จะกลาวถึงในหนังสือเรียนประกอบดวยเร่ือง การใหเหตุผลแบบอุปนัย และการใหเหตุผลแบบนิรนัย โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังตอไปนี้

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. เขาใจและใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไมโดยใชแผนภาพแทนเซต

ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะกระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตัวเอง

29

ขอเสนอแนะ

1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการใหเหตุผลเพื่อหาขอสรุป โดยการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ คร้ัง ผูสอนควรเริ่มสอนจากตัวอยางที่งาย ๆ กอน เพื่อที่จะใหผูเรียนเกิดความเขาใจในความหมายของการใหเหตุผลแบบอุปนัย เชน

ใหผูเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้1, 2, 4, 8, …

ผูสอนอาจถามผูเรียนวา พจนถัดไปของแบบรูปนี้คือจํานวนใด หรือสองพจนถัดไปของแบบรูปนี้คือจํานวนใด เมื่อผูเรียนตอบคําถามแลวผูสอนควรใหผูเรียนแสดงเหตุผลดวยวา คําตอบที่ผูเรียนตอบนั้นไดมาอยางไร ถาผูเรียนใหเหตุผลวาเกิดจากสังเกตแบบรูปของขอมูลที่มีอยู ผูสอนควรจะสรุปดวยวาการสังเกตของผูเรียนเพื่อหาคําตอบนั้นเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัย

2. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบอุปนัย นอกจากผูสอนจะยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของกับวิชาคณิตศาสตรแลว ผูสอนควรยกตัวอยางการใหเหตุผลที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันและ ใหผูเรียนฝกการยกตัวอยางดวย เพื่อผูเรียนจะไดเห็นถึงความสําคัญของเนื้อหาสาระ อีกทั้งไดฝกทักษะกระบวนการใหเหตุผลและมีความคิดริเร่ิมสรางสรรค

3. หลังจากที่ผูสอนสอนเรื่องการใหเหตุผลแบบอุปนัยแลว ผูสอนควรสรุปใหผูเรียนมีความเขาใจวาการสรุปผลจากการสังเกตเหตุการณหรือการทดลองหลาย ๆ คร้ัง ผลสรุปที่ไดอาจจะไมจริงเสมอไป ซ่ึงอาจขึ้นอยูกับ ลักษณะของขอมูล ความคิดหรือประสบการณเดิมของผูใหเหตุผล เชน น้ําฝนสังเกตเห็นไขเปดที่คุณแมซ้ือมาจากตลาดมีสีขาว แลวน้ําฝนสรุปวาไขเปดทุกฟองมีสีขาว ซ่ึงเปนผลสรุปที่ผิดเพราะมีไขเปดบางฟองมีสีเทาอมเขียว

4. ในการสอนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย ผูสอนควรสอนใหผูเรียนเขาใจวา การใหเหตุผล แบบนิรนัยนั้นเราตองยอมรับวา เหตุ เปนจริงเสมอ ถึงแมวาเหตุนั้นจะขัดกับความเปนจริงทางโลก ก็ตาม เชน ขอความ “ คนทุกคนเปนลิง ” “ แมวทุกตัวลอยน้ําได ”

5. การเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย หลังจากแนะนําใหผูเรียนรูจักตัวอยางของการใหเหตุผลแบบนิรนัยแลว กอนที่ผูสอนจะสอนเรื่อง การอางเหตุผล (สําหรับเรื่องการอางเหตุผลของหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานนี้จะมีความแตกตางจากเรื่องการอางเหตุผลที่ผูสอนเคยสอนมาใน

30

รายวิชา ค011 (หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533) โดยการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของขอความจะใชแผนภาพแทนเซตของเวนน – ออยเลอร ตรวจสอบ) ผูสอนควรสอนใหผูเรียนฝกการเขียนแผนภาพแทนขอความ ซ่ึงเปนไปตามรูปแบบที่กําหนดไวในหนังสือเรียนจนเกิดความเขาใจ แลวจึงสอนวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของขอความ เชน

ขอความ นักเรียนทุกคนเปนคนฉลาดให A แทนเซตของนักเรียน

B แทนเซตของคนฉลาดเขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้

ขอความ ปลาบางตัวบินไดให M แทนเซตของปลา

N แทนเซตของสัตวที่บินไดเขียนแผนภาพแทนขอความ ไดดังนี้

6. การตรวจสอบผลสรุปของขอความที่สมเหตุสมผลนั้น จะตองตรวจสอบแผนภาพทุกแผนภาพที่เปนไปไดทุกกรณี สวนขอความที่มีผลสรุปไมสมเหตุสมผล ไมจําเปนตองวาดแผนภาพทั้งหมด ทุกกรณี เพียงยกตัวอยางกรณีที่ผลสรุปนั้นไมสอดคลองเพียงกรณีเดียวก็พอ

กิจกรรมเสนอแนะ

ผูสอนสามารถใชกิจกรรมนี้เสริมสรางทักษะการใหเหตุผลและการแกปญหา ซ่ึงอาจใชประกอบการเรียนการสอนไดทั้งกอนหรือหลังการเรียนเรื่อง การใหเหตุผลแบบนิรนัย

(1) (2) (3)

ฟ ลฟ ล ฟ ล

AB

M N

31

1) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ฟ ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ล ล หรือ ฟ ล ก็ได2) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ล ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ฟ ล ก็ได3) ลูกบอลที่อยูในกลองที่มีปาย ฟ ล ปายที่ถูกตองอาจจะเปน ฟ ฟ หรือ ล ล ก็ได

มีกลองอยู 3 ใบ แตละใบมีลูกบอลอยู 2 ลูก ซ่ึงอาจเปนสีฟาทั้ง 2 ลูก หรือสีเหลืองทั้ง 2 ลูก หรือสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก

กลองแตละใบมีปายติดดังนี้

(1) ฟ ฟ หมายถึง มีลูกบอลสีฟาอยู 2 ลูก(2) ล ล หมายถึง มีลูกบอลสีเหลืองอยู 2 ลูก(3) ฟ ล หมายถึง มีลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก

แตไมมีกลองใดเลยที่ติดปายตรงกับความเปนจริง เปนไปไดหรือไมวา

วิธีการดําเนินกิจกรรมผูสอนใหผูเรียนทดลองหยิบลูกบอล 1 ลูก จากกลองใดก็ไดที่ผูสอนเตรียมไวใหแลวชวย

กันหาขอสรุปวา ลูกบอลที่อยูในกลองที่เหลือควรจะเปนสีใด เมื่อผูเรียนไดคําตอบแลวผูสอนจึงใหผูเรียนออกมาแสดงเหตุผล จากนั้นผูสอนและผูเรียนจึงคอยสรุปที่มาของคําตอบอีกครั้ง หรือผูสอนใชคําถามเพื่อแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบไดดวยตนเองดังนี้

1. ผูเรียนสามารถสรุปขอมูลใดไดบางจากสิ่งที่โจทยกําหนดให

คําตอบ เนื่องจากไมมีกลองใดที่ติดปายตรงกับความเปนจริง สรุปไดวา

ถาหยิบลูกบอลจากกลองใดก็ไดมา 1 ลูก แลวสามารถบอกไดวา ที่ถูกตองแลวกลองใดควรจะมีลูกบอลสีอะไร และจะตองหยิบลูกบอลจากกลองใดจึงจะไดคําตอบที่ถูกตองเมื่อทราบคําตอบแลว ใหติดปายที่ถูกตองดวย

(1) (2) (3)

ฟ ลฟ ล ฟ ล

32

ฟ ล ฟ ฟ

ล ล ฟ ล

2. ถาหยิบลูกบอลจากกลองที่ (1) หรือ (2) จะบอกไดหรือไมวา ลูกบอลอีกลูกในกลองควรเปนสีใด (ใหผูเรียนแสดงเหตุผล)

3. ถาใหผูเรียนหยิบลูกบอลจากกลองที่ (3) ซ่ึงมีปาย ฟ ล ติดไว ถาผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีฟา ฟ ความจริงแลวกลองนี้จะตองมีลูกบอลสีใด

คําตอบ จากคําตอบของขอที่ 1. จะไดวากลองนี้ควรจะมีลูกบอลสีฟา 2 ลูก

หยิบไดลูกบอลสีฟา

ปายผิด ปายที่ถูกตอง

4. เมื่อหาไดแลววา กลองที่มีปาย ฟ ล ที่ถูกตอง จะตองเปน ฟ ฟ อีก 2 กลองที่เหลือควรจะมีลูกบอลสีใดบาง

(1) (2)

คําตอบ กลองที่เหลือในภาพขางบนจะตองเปนกลองที่มี(1) ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก ล ลและ (2) ลูกบอลสีฟา 1 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก ฟ ลจากขอสรุปขอที่ 1. กลองที่มีปาย ล ล จะตองไมใชกลองที่มีลูกบอลสีเหลือง2 ลูก เพราะปายที่ติดไวผิดดังนั้น ที่ถูกตองแลว กลองที่ติดปาย ล ล จะตองมีลูกบอลสีฟา 1 ลูกและสีเหลือง 1 ลูก

ปายผิด ปายที่ถูกตอง

ฟ ฟ ล ล

33

ฟ ฟ ล ล

จากขอสรุปขางตนและขอสรุปขอที่ 1. จะไดกลองที่เหลือที่มีปาย ฟ ฟ จะตองมีลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก

ปายผิด ปายที่ถูกตองสรุปผลดังนี้

5. ครูใหผูเรียนชวยกันสรุปคําตอบในกรณีที่ผูเรียนหยิบไดลูกบอลสีเหลืองจากกลองที่มีปาย ฟ ล และใหหาวากลองที่เหลือจะตองมีลูกบอลสีอะไรบาง และติดปายใหมใหถูกตอง

แบบทดสอบประจําบท

แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซ่ึงจะใชประเมินผลดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่อง การใหเหตุผล ผูสอนสามารถเลือกและปรับแบบทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนได

ฟ

ฟ ฟ ล ฟ ล ล

ลฟ ฟ ฟลล

34

ตัวอยางแบบทดสอบ

1. จงใชวิธีการใหเหตุผลเพื่อหาคําตอบตอไปนี้ 1) จงเขียนคําตอบในชองวาง พรอมทั้งอธิบายเหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวา

เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย11 × 11 = 12111 × 12 = 13211 × 13 = 14311 × 14 = ___11 × 15 = ___11 × 16 = ___11 × 17 = ___11 × 18 = ___

2) จงหาวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 ถึงแถวที่ 10 มีจํานวนเทาไร พรอมทั้งอธิบายเหตุผลที่ใชในการหาคําตอบและพิจารณาวาเปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย

2. จงหาจํานวน c จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให โดยใชการใหเหตุผลแบบอุปนัย1) -5, 5, -5, 5, c2) 4, 2, 0, -2, c3) 6, 12, 18, 24, c4) 64, 32, 16, 8, c5) -17, -12, -7, -2, c

3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัวทานใชเหตุผลแบบใดในการหาขอสรุปวา 11 เปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่

แถวที่ (1) มี 1 รูปแถวที่ (2) มี 3 รูป

แถวที่ (3) มี......รูป

แถวที่ (5) มี......รูป

แถวที่ (4) มี......รูป

35

4. จงยกตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยมาอยางละ 1 ตัวอยาง ตามที่ทานเขาใจ

5. จงยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน ที่ทําใหทานหรือคนในครอบครัว หรือคนรูจักเคยใชการใหเหตุผลแบบอุปนัย หรือ นิรนัยมาชวยในการหาขอสรุปเพื่อชวยในการตัดสินใจ

6. เหตุ 1. สัตวเล้ียงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา2. งูไมมีขา

ขอสรุป งูเปนสัตวเล้ียงลูกดวยนมจงหาวาขอสรุปขางตนสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพแทนเซต

7. จงตรวจสอบวาผลสรุปตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพ 1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา

2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน

2. คนที่ขยันเปนคนรวย ผล คนที่คาขายเปนคนรวย

8. สมมติวา ทานพบวา เพื่อนของทานทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตา เปนเพื่อนในชั้นเรียนของทานที่ไมคุยระหวางเรียน ทานจะสรุปไดหรือไมวาสุภิตาเปนคนตั้งใจเรียนจงอธิบายวิธีการหาขอสรุปโดยใชแผนภาพแทนเซต

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. 1) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย จะได11 × 11 = 121 เหตุผล จากผลลัพธของการคูณของสามสมการ11 × 12 = 132 แรก เลขโดดในหลักหนวยของผลลัพธคือเลขโดด11 × 13 = 143 ในหลักหนวยของตัวคูณ เลขโดดในหลักสิบ11 × 14 = 154 ของผลลัพธจะมากกวาเลขโดดในหลักหนวยอยู 111 × 15 = 165 และเลขโดดในหลักรอยคือ 111 × 16 = 17611 × 17 = 18711 × 18 = 198

36

2)

เหตุผลแถวที่ 1 มีรูปสามเหลี่ยม 1 รูปแถวที่ 2 มีรูปสามเหลี่ยม 3 รูปแถวที่ 3 มีรูปสามเหลี่ยม 5 รูปแถวที่ 4 มีรูปสามเหลี่ยม 7 รูปดังนั้น จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 5 จะตองมากกวาจํานวนรูปสามเหลี่ยมที่อยูในแถวที่ 4 อยู 2 ซ่ึงเทากับ 7 + 2 หรือ 9 รูปสรุปวา แถวที่ 5 จะตองมีรูปสามเหลี่ยม 9 รูป

แถวที่ 6, 7, 8, 9 และ 10 จะมีรูปสามเหลี่ยม 11, 13, 15, 17 และ 19 รูป ตามลําดับ

2. โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย จะไดแบบรูป เหตุผลแบบอุปนัย

1) -5, 5, -5, 5, -5

2) 4, 2, 0, -2, - 4

3) 6, 12, 18, 24, 30

4) 64, 32, 16, 8, 4

5) -17, -12, -7, -2, 3

พิจารณาจากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให พบวาจํานวนที่อยูในลําดับที่ 1, 3 จะเทากับ -5ดังนั้น c อยูในลําดับที่ 5 จึงควรมีคาเทากับ -5

จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาลบดวย 2ดังนั้น c = –2 –2 หรือ - 4

จํานวนแตละจํานวนไดจากจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 6ดังนั้น c = 24 + 6 = 30

จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนามาหารดวย 2 ดังนั้น c = 8 ÷ 2 หรือ 4

จํานวนแตละจํานวนไดจากการนําจํานวนที่อยูขางหนาบวกดวย 5ดังนั้น c = –2 + 5 = 3

หมายเหตุ การใหเหตุผลอาจแตกตางจากตัวอยางของคําตอบขางตนได

แถวที่ (1)มี 1 รูปแถวที่ (2)มี 3 รูปแถวที่ (3)มี 5 รูปแถวที่ (4)มี 7 รูปแถวที่ (5) มี 9 รูป

เพิ่ม 2 รูปเพิ่ม 2 รูปเพิ่ม 2 รูป

37

3. ถาจํานวนเต็มที่เปนจํานวนคี่ หมายถึง จํานวนที่หารดวย 2 ไมลงตัวเนื่องจาก 11 ÷ 2 ไดผลลัพธเทากับ 5 เศษ 1ดังนั้น 11 หารดวย 2 ไมลงตัว สรุปไดวา 11 เปนจํานวนคี่การสรุปวา 11 เปนจํานวนคี่เปนการสรุปโดยอางอิงสิ่งที่ยอมรับวาเปนจริงดังนั้น การสรุปขางตนจึงเปนการสรุปโดยใชเหตุผลแบบนิรนัย

4. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย41 – 1 = 3 หรือ 3 × 142 – 1 = 15 หรือ 3 × 543 – 1 = 63 หรือ 3 × 2144 – 1 = 255 หรือ 3 × 7545 – 1 = 1023 หรือ 3 × 341

จะเห็นวา จํานวนที่อยูทางดานขวาของเครื่องหมาย = จะมี 3 เปนตัวประกอบทุกจํานวนจากตัวอยางขางตน ใชการใหเหตุผลแบบอุปนัยสรุปไดวา จํานวนที่มีคาเทากับ 46 – 1จะมี 3 เปนตัวประกอบ นั่นคือ 46 – 1 = 4,095 หรือ 3 × 1,365

ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัยเหตุ 1. คนทุกคนตองการมีเพื่อน

2. อ้ัมเปนคนผล อ้ัมตองการมีเพื่อน

5. ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัยเพื่อนบานที่เคยเปนโรคเกี่ยวกับกระดูกหลายคนไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาล

แหงหนึ่งแลว ทุกคนบอกวาหมอรักษาไดผลดี ฉันจึงตัดสินใจพาคุณยายซึ่งเปนโรคเกี่ยวกับกระดูก ไปพบแพทยที่รักษาโรคกระดูกที่โรงพยาบาลแหงนั้น

ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัยขณะนี้อัตราดอกเบี้ยเงินฝากประจําสําหรับเงินตนไมเกิน 500,000 บาท เทากับ 2.75% ตอป

ถาฉันนําเงิน 1 แสนบาทไปฝากในบัญชีฝากประจํา จะไดรับดอกเบี้ย 2,750 บาท เมื่อฝากครบ 1 ป (ถาธนาคารไมเปลี่ยนแปลงอัตราดอกเบี้ย)

38

6. เหตุ 1. สัตวเล้ียงลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา2. งูไมมีขา

ขอสรุป งูเปนสัตวเล้ียงลูกดวยนม

ให A แทนเซตของสัตวเล้ียงลูกดวยนมB แทนเซตของสัตวไมมีขาc แทนงู

แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2

จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่ไมเล้ียงลูกดวยนม จากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา งูเปนสัตวไมมีขาที่เล้ียงลูกดวยนม แผนภาพที่ 1 ขัดแยงกับขอสรุป ดังนั้น ขอสรุปขางตนจึงไมสมเหตุสมผล

7. 1) เหตุ 1. คนที่ชอบดูภาพยนตรทุกคนไมชอบดูการแขงขันกีฬา2. อภิรดีชอบดูภาพยนตร

ผล อภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา

ให A แทนเซตของคนที่ชอบดูภาพยนตร B แทนเซตของคนที่ชอบดูการแขงขันกีฬา c แทนอภิรดีจากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาอภิรดีไมชอบดูการแขงขันกีฬา สมเหตุสมผล

2) เหตุ 1. คนที่คาขายทุกคนเปนคนขยัน2. คนที่ขยันเปนคนรวย

ผล คนที่คาขายเปนคนรวย

ให M แทนเซตของคนที่คาขายA แทนเซตของคนที่ขยันR แทนเซตของคนที่รวย

จากแผนภาพ พบวา ขอสรุปที่วาคนที่คาขายเปนคนรวย สมเหตุสมผล

A Bc•

A Bc•

A B

• c

MA

R

39

8. ถาเพื่อนทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตาไมคุยระหวางเรียนให A แทนเซตของคนที่ตั้งใจเรียน

B แทนเซตของคนที่ไมคุยระหวางเรียนc แทนสุภิตา

แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน และสุภิตาตั้งใจเรียนจากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน แตสุภิตาไมตั้งใจเรียนเนื่องจาก แผนภาพทั้งสองขัดแยงกัน จึงไมสามารถสรุปวา สุภิตาเปนคนที่ตั้งใจเรียน

เฉลยแบบฝกหัดแบบฝกหัด 2.1

1. การใหเหตุผลในคําตอบที่ไดแสดงไวเปนเพียงตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัยในการหาคา a อาจมีเหตุผลอ่ืนนอกเหนือจากที่ไดแสดงไวไดอีก1) 12, 22, 32, 42, a

จากจํานวนแรกคือ 12 = (1 × 10) + 222 = (2 × 10) + 232 = (3 × 10) + 242 = (4 × 10) + 2

จะได a = (5 × 10) + 2 หรือ 52

2) 12, 10, 8, 6, aจากจํานวนแรกคือ 12 = 6 × 2

10 = 5 × 28 = 4 × 26 = 3 × 2

จะได a = 2 × 2 หรือ 4

A

B

c•A

Bc•

40

3) 5, 3, 1, -1, -3, aจากจํานวนแรกคือ 5 = 7 – 2

3 = 5 – 21 = 3 – 2

-1 = 1 – 2-3 = –1 – 2

จะได a = –3 – 2 หรือ -5

4) 1, -1, 1, -1, 1, aเหตุผล พิจารณาแบบรูปที่กําหนดใหพบวา จํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคี่ คือ 1 และจํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคู คือ -1เนื่องจาก a อยูในลําดับที่ 6 ซ่ึงเปนจํานวนคู ดังนั้น a ควรเทากับ -1

5) 1, 4, 9, 16, 25, aจากจํานวนแรกคือ 1 = 12

4 = 22

9 = 32

16 = 42

25 = 52

จะได a = 62 หรือ 36

6) -15, -5, 5, 15, aจากจํานวนแรกคือ -15

-5 = -15 + 105 = -5 + 10

15 = 5 + 10จะได a = 15 + 10 หรือ 25

7) 1, -1, -3, -5, aจากจํานวนแรกคือ 1

-1 = 1 – 2-3 = –1 – 2-5 = –3 – 2

จะได a = –5 – 2 หรือ -7

41

8) -5, -3, -1, 1, aจากจํานวนแรกคือ -5

-3 = –5 + 2-1 = –3 + 2 1 = –1 + 2

จะได a = 1 + 2หรือ 3

9) 1, 6, 11, 16, aจากจํานวนแรกคือ 1

6 = 1 + 511 = 6 + 516 = 11 + 5

จะได a = 16 + 5หรือ 21

10) 8, 14, 20, 26, aจากจํานวนแรกคือ 8

14 = 8 + 620 = 14 + 626 = 20 + 6

จะได a = 26 + 6หรือ 32

2. พิจารณาผลคูณที่กําหนดใหตอไปนี้1 × 9 = 9 6 × 9 = 54 11 × 9 = 992 × 9 = 18 7 × 9 = 63 12 × 9 = 1083 × 9 = 27 8 × 9 = 72 13 × 9 = 1174 × 9 = 36 9 × 9 = 81 14 × 9 = 1265 × 9 = 45 10 × 9 = 90 15 × 9 = 135จากผลคูณที่ไดพบวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณที่ไดมาบวกกัน

ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ เชน 15 × 9 = 135เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณมาบวกกันจะได 1 + 3 + 5 = 9 ซ่ึงหารดวย 9 ลงตัวโดยใชเหตุผลแบบอุปนัยจะสรุปไดวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณ

ของจํานวนเต็มบวกใด ๆ กับ 9 มาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ

42

3. 1) พิจารณาผลคูณของจํานวนที่มี 142,857 ตอไปนี้142,857 × 1 = 142,857142,857 × 2 = 285,714142,857 × 3 = 428,571142,857 × 4 = 571,428

จากการสังเกตจํานวนที่เปนผลคูณพบวา ผลคูณที่ไดประกอบดวยเลขโดด 1, 4, 2, 8, 5และ 7 เสมอ

2) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย ผลคูณของ 142,857 × 5 และ 142,857 × 6 ควรจะประกอบดวยตัวเลขโดดชุดเดียวกับตัวคูณ 142,857 เมื่อหาผลคูณขางตนพบวา 142,857 × 5 = 714,285

และ 142,857 × 6 = 857,142

3) เนื่องจาก 142,857 × 7 พบวา 7 × 7 = 49 ซ่ึงทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวย แทนดวยเลข 9 ซ่ึง 9 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857 142,857 × 8 พบวา 7 × 8 = 56 ซ่ึงทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวยแทนดวย

เลข 6 ซ่ึง 6 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857ดังนั้น คําตอบที่ไดจากการคูณ 142,857 ดวย 7 หรือ 8 โดยใชขอสรุปขางตนไมเปนจริง

หมายเหตุ 142,857 × 7 = 999,999และ 142,857 × 8 = 1,142,856

4. พิจารณาผลคูณตอไปนี้1) 37 × 3 = 11

37 × 6 = 2237 × 9 = 3337 × 12 = 44จากผลคูณในแบบรูปขางตนพบวา37 × 3 × 1 = 11137 × 3 × 2 = 22237 × 3 × 3 = 33337 × 3 × 4 = 444

43

2) จากแบบรูปขางตน และใชเหตุผลแบบอุปนัย จะไดวา37 × 3 × 5 = 55537 × 3 × 6 = 66637 × 3 × 7 = 77737 × 3 × 8 = 88837 × 3 × 9 = 999

5. 1) 9 × 9 + 7 = 8898 × 9 + 6 = 888987 × 9 + 5 = 8,8889,876 × 9 + 4 = 88,888

2) 34 × 34 = 1,156334 × 334 = 111,5563,334 × 3,334 = 11,115,556

3) 2 = 4 – 22 + 4 = 8 – 22 + 4 + 8 = 16 – 22 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2

4) 3 =2

)2(3

3 + 6 =2

)3(6

3 + 6 + 9 =2

)4(9

3 + 6 + 9 + 12 =2

)5(12

98,765 × 9 + 3 = 888,888

33,334 × 33,334=1,111,155,556

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 –2

3 + 6 + 9 + 12 + 15 =2

)6(15

44

5) 5(6) = 6(6 – 1)5(6) + 5(36) = 6(36 – 1)5(6) + 5(36) + 5(216) = 6(216 – 1)

หรือ 5(6) + 5(6 × 6) + 5(6 × 6 × 6) + 5(6 × 6 × 6 × 6) = 6(6 × 6 × 6 × 6 – 1)

6. 1) 1 + 2 + 3 + … + 148 + 149 + 150 มีจํานวน 151 ทั้งหมด 75 จํานวน 151 151 151

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 150 = 151 × 75 หรือ 11,325

2) 1 + 2 + 3 + … + 298 + 299 + 300 มีจํานวน 301 ทั้งหมด 150 จํานวน 301 301 301

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 300 = 301 × 150 หรือ 45,150

3) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 มีจํานวน 501 ทั้งหมด 250 จํานวน 501 501 501

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 500 = 501 × 250 = 125,250

4) 1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1,000 มีจํานวน 1,001 ทั้งหมด 500 จํานวน 1,001 1,001 1,001

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 1,000 = 1,001 × 500 = 500,500

5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(216 × 6) = 6(1,296 – 1)

45

7. 1) 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 มีจํานวน 102 ทั้งหมด 25 จํานวน 102 102 102

จะไดวา 2 + 4 + 6 + … + 1,000 = 102 × 25 หรือ 2,550

2) 1 + 2 + 3 + … + 122 + 123 + 124 + 125 มีจํานวน 125 ทั้งหมด 62 จํานวน 125 125 125

จะไดวา 1 + 2 + 3 + ... + 125 = (125 × 62) + 125 หรือ 7,875

3) 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n เมื่อ n เปนจํานวนนับที่เปนจํานวนคี่ จะเทากับ[(n – 1) + 1] บวกกัน

21n − จํานวน แลวบวกกับ n

1 + 2 + 3 + ... + n = [(n – 1) + 1] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21n + n

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21nn + n

8.

1 3 6 10 15 21จากจํานวนสามเหลี่ยมที่กําหนดให จะหาจํานวนสามเหลี่ยมถัดไปอีกสองจํานวนไดดังนี้1) จํานวนสามเหลี่ยมที่อยูถัดจาก 21 อีก 2 จํานวน ไดแก จํานวน 28 และ 36 ซ่ึงแสดง

ดวยภาพไดดังนี้

28 36

46

2) จํานวนจุดในแตละแถวตามแนวนอนจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จากรูปที่อยูกอนเปน 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 หรือแถวที่ n จะมีจํานวน n จุดเมื่อ n เปนจํานวนนับ

3) พิจารณาวา 72 เปนจํานวนสามเหลี่ยมหรือไม ไดดังนี้พิจารณาจากจํานวนแรกคือ 1 จะพบความสัมพันธของจํานวนดังนี้

3 = 1 + 2 6 = 3 + 310 = 6 + 415 = 10 + 521 = 15 + 628 = 21 + 736 = 28 + 845 = 36 + 955 = 45 + 1066 = 55 + 1178 = 66 + 12

จากการหาผลบวกขางตน พบวา 72 ไมใชจํานวนสามเหลี่ยม

9. 1) ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตัวเสมอ ไมเปนจริง เพราะ1 และ 11 เปนจํานวนนับ1 × 11 = 11

แต 11 หารดวย 2 ไมลงตัว

2) จํานวนนับใด ๆ ที่มีคามากกวา 4 จะเขียนไดในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปสองจํานวน หรือมากกวาสองจํานวน ไมเปนจริง เพราะ

8 เปนจํานวนนับ และ 8 มีคามากกวา 4แต 8 ไมสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปไดโดยพิจารณาจากผลบวกของจํานวนตอไปนี้

พิจารณาผลบวกของจํานวนถัดไปที่มีคาเทากับ 9 และ 10 มีดังนี้ 1 + 2 + 3 + 4 = 10

2 + 3 + 4 = 9 และ 4 + 5 = 9แตผลบวกของจํานวนนับที่มีคาเทากบั 8 มีดังนี้

47

8 = 4 + 4 = 3 + 5 = 2 + 6 = 1 + 7

3) กําลังสองของจํานวนนับใด ๆ จะเปนจํานวนคูเสมอไมเปนจริง เพราะ

1 เปนจํานวนนับ และ 12 = 1แต 1 ไมเปนจํานวนคู

10.

1)

2)

แบบฝกหัด 2.21. เหตุ 1) กบทุกตัววายน้ําได

2) สัตวที่วายน้ําได จะบินได ผล กบทุกตัวบินได

ให A แทน เซตของกบทุกตัวB แทน เซตของสัตวที่วายน้ําไดC แทน เซตของสัตวที่บินได

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา กบทุกตัวบินได สมเหตุสมผล

(1)(2)

(3)(4)

(1) (2)(3)

(4)

AC B

48

2. เหตุ 1) จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม2) จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนจริง

ผล จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริงให A แทน เซตของจํานวนนับ

B แทน เซตของจํานวนเต็มC แทน เซตของจํานวนจริง

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง สมเหตุสมผล

3. เหตุ 1) คนที่มีสุขภาพดีทุกคนเปนคนที่มีความสุข2) ก มีความสุข

ผล ก มีสุขภาพดีให A แทนเซตของคนมีสุขภาพดี B แทนเซตของคนมีความสุข c แทน ก

(1) (2) จากแผนภาพ (1) ก เปนคนมีความสุข แต ก สุขภาพไมดี จากแผนภาพ (2) ก เปนคนมีความสุข และ ก มีสุขภาพดี แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ก มีความสุข แลว ก มีสุขภาพดี จึงไมสมเหตุสมผล

4. เหตุ 1) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว ทุกจํานวนเปนจํานวนคู2) 7 หารดวย 2 ลงตัว

ผล 7 เปนจํานวนคู

ให A แทนเซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว B แทนเซตของจํานวนคู c แทน 7

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา 7 เปนจํานวนคู สมเหตุสมผล

A

CB

Ac•

BAc B

•

Ac•

B

49 5. เหต ุ 1) สุนัขบางตัวมีขนยาว 2) มอมเปนสนุัขของฉัน ผล มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว ให A แทนเซตของสุนัข A B แทนเซตของสิ่งที่มีขนยาว c แทนมอม c

B •

(1) จากแผนภาพ (1) พบวา มอมเปนสุนัข แตขนไมยาว จากแผนภาพ (2) พบวา มอมเปนสุนัขขนยาว แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป

A

c • B

(2) ดังนั้น ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนัขที่มขีนยาว ไมสมเหตุสมผล

6. เหต ุ 1) มาทุกตวัมี 4 ขา 2) ไมมีสัตวทีม่ีส่ีขาตัวใดทีบ่ินได ผล ไมมีมาตัวใดบนิได ให A แทนเซตของมา B แทนเซตของสัตวที่มี 4 ขา C แทนเซตของสัตวที่บินได

A C B

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ไมมีมาตัวใดบินได สมเหตุสมผล 7. เหต ุ 1) ไมมีจํานวนเฉพาะตวัใดหารดวย 2 ลงตัว 2) 21 หารดวย 2 ไมลงตัว ผล 21 เปนจํานวนเฉพาะ ให A แทนเซตของจาํนวนเฉพาะ B แทนเซตของจาํนวนทีห่ารดวย 2 ลงตัว c แทน 21 (1) จากแผนภาพ (1) จะเหน็วา 21 ไมเปนจํานวนเฉพาะ

A

• c

B

จากแผนภาพ (2) จะเหน็วา 21 เปนจํานวนเฉพาะ แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา 21 เปนจํานวนเฉพาะไมสมเหตุสมผล

A c •

B

(2)

50 8. เหต ุ 1) วันที่มีฝนตกทั้งวัน จะมีทองฟามืดครึ้มทุกวัน 2) วันนี้ทองฟามืดครึ้ม ผล วันนี้มีฝนตกทัง้วัน

ให A แทนเซตของวนัที่มีฝนตกทั้งวัน B แทนเซตของวนัที่มีทองฟามดืครึ้ม

A c •

B

(1) (2) c แทนวนันี ้

A c • B

จากแผนภาพ (1) พบวา วนันี้เปนวันที่ทองฟามืดครึ้ม แตฝนไมไดตกทั้งวัน จากแผนภาพ (2) พบวา วนันี้ฝนตกทั้งวนั และทองฟามืดครึ้ม แผนภาพ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา วนันี้ฝนตกทั้งวัน ไมสมเหตุสมผล 9. เหต ุ 1) แมวบางตัวมีสองขา 2) นกทกุตัวมสีองขา ผล นกบางตวัเปนแมว ให A แทนเซตของแมว B แทนเซตของสัตวที่มีสองขา C แทนเซตของนก (1) (2) (3)

A C B A

C B A C B

จากแผนภาพ (1) พบวา นกทุกตวัเปนแมว จากแผนภาพ (2) พบวา นกบางตัวเปนแมว จากแผนภาพ (3) พบวา นกทุกตวัไมเปนแมว แผนภาพที่ (3) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา นกบางตัวเปนแมว ไมสมเหตุสมผล 10. เหต ุ 1) ชายไทยทกุคนตองรับการเกณฑทหาร เมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ 2) มานะเปนชายไทย ผล มานะจะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุ 21 ปบริบูรณ

51

ให A แทน เซตของผูที่ตองเขารับการเกณฑทหาร B แทน เซตชายไทยที่อายุครบ 21 ปบริบูรณ c แทน มานะ

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา มานะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ สมเหตุสมผล

Bc•

A