Biomatemática: practicas 1 y 2

UNIVERSIDAD NACIONAL

PEDRO RUIZ GALLO

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Modulo III: Biomatematica

Practicas No 01 y 02

presentada por:

Edith Cornetero Angeles

Profesora:

Roxana Lopez Cruz, Ph.D.

Lambayeque - PeruAbril 2010

1

Practica No 01

1. Halle la solucion explıcita del

a) Modelo de Crecimiento Exponencial de una Poblacion

x′(t) = kx(t) k > 0

dx

dt= kx

∫dx

x=

∫kdt

ln x = kt + c1

ekt+c1 = x

x = c ekt

b) Modelo de Crecimiento Logıstico de una Poblacion

x′(t) = rx(t)

[1− x(t)

k

]k > 0(1)

dx

dt= rx

[1− x

k

]

dt =kdx

rx(k − x)

rdt = k1

x(k − x)dx

Descomponiendo en fracciones parciales, tenemos:

1

x(k − x)=

a

x+

b

k − x

ak − ax + bx = 1

a =1

k

b =1

k

2

Luego:

rdt =

[1

x+

1

k − x

]dx

∫rdt =

∫dx

x+

∫dx

k − x

rt + c1 = ln x− ln(k − x)

rt + c1 = lnx

k − x

ert+c1 =x

k − x

c ert =x

k − xc ert k = (1 + c ert)x

x(t) =ck

e−rt +c(2)

2. En 1970, se arrojo en un lago 1000 ejemplares de una especie de pezhıbrido. En 1977 sea calculo que la poblacion de esta especie en el lagoera de 3000. Si la poblacion de peces en 1984 se estimo en 5000. Useun modelo logıstico para calcular la poblacion de peces en 1991. Cuales la prediccion de la poblacion limitante?

Sea (1) la ecuacion logıstica, cuya solucion viene dada por (2). Ademascon las siguientes condiciones:

x(0) = 1000(3)

x(7) = 3000(4)

x(14) = 5000(5)

Usando la condicion (3):

x(0) =ck

e−r(0) +c= 1000

ck = 1000(1 + c)

k = 1000

(1 + c

c

)(6)


x(7) =ck

e−7r +c= 3000

ck = 3000(e−7r +c)

3

Reemplazando (6), tenemos:

c(1000)

(1 + c

c

)= 3000(e−7r +c)

1 + c = 3 e−7r +3c1− 2c

3= e−7r

ln1− 2c

3= −7r

r = −1

7ln

1− 2c

3(7)


x(14) =ck

e−14r +c= 5000

ck = 5000(e−14r +c)


c(1000)

(1 + c

c

)= 5000(e−14r +c)

1 + c = 5 e−14r +5c1− 4c

5= e−14r

ln1− 4c

5= −14r

r = − 1

14ln

1− 4c

5(8)

Igualando (7) y (8):

−1

7ln

1− 2c

3= − 1

14ln

1− 4c

5

2 ln1− 2c

3= ln

1− 4c

5(1− 2c

3

)2

=1− 4c

5

5− 20c + 20c2 = 9− 36c

5c2 + 4c− 1 = 0

c = −1 o c = 0,2

4

Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)

Si c = 0,2 entonces k = 6000 (poblacion limitante) y r = 0,23 (tasa decrecimiento)

Ası, nuestro modelo logıstico para calcular la poblacion de peces vienedado por:

x′(t) = 0,23x(t)

[1− x(t)

6000

]

cuya solucion es:

x(t) =1200

e−0,23t +0,2

Calculamos la poblacion de peces en 1991:

x(21) =1200

e−0,23(21) +0,2

x(21) =1200

e−4,83 +0,2

x(21) ≈ 1200

0,008 + 0,2

x(21) ≈ 5769,60

Se estima que para el ano 1991 habra 5770 peces.

Usando MatLab, tenemos:

x = dsolve(′Dx = 0,23 ∗ x ∗ (1− x/6000)′,′ x(0) = 1000′);

ezplot(x, [0, 22])

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t

6000/(1+5 exp(−23/100 t))

Figura 1: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t))

5

ezplot(x, [0, 100])

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

3500

4000

4500

5000

5500

6000

t

6000/(1+5 exp(−23/100 t))

Figura 2: 6000/(1 + 5 ∗ exp(−23/100 ∗ t))

3. En 1970 se estimo que la poblacion de lagartos en un criadero eraexactamente de 300. En 1975, la poblacion habıa crecido hasta alcanzarun valor aproximado de 1200 ejemplares. Si en 1980 se estimo quela poblacion de lagartos era de 1500 ejemplares. Utilice un modelologıstico para calcular la poblacion de lagartos para el 2000. Cual es lapoblacion limitante?

Sea (1) la ecuacion logıastica, cuya solucion viene dada por (2). Ademascon las siguientes condiciones:

x(0) = 300(9)

x(5) = 1200(10)

x(10) = 1500(11)


x(0) =ck

e−r(0) +c= 300

ck = 300(1 + c)

k = 300

(1 + c

c

)(12)

6


x(5) =ck

e−5r +c= 1200

ck = 1200(e−5r +c)


c(300)

(1 + c

c

)= 1200(e−5r +c)

1 + c = 4 e−5r +4c1− 3c

4= e−5r

ln1− 3c

4= −5r

r = −1

5ln

1− 3c

4(13)


x(10) =ck

e−10r +c= 1500

ck = 1500(e−10r +c)


c(300)

(1 + c

c

)= 1500(e−10r +c)

1 + c = 5 e−10r +5c1− 4c

5= e−10r

ln1− 4c

5= −10r

r = − 1

10ln

1− 4c

5(14)

Igualando (13) y (14):

− 1

10ln

1− 4c

5= −1

5ln

1− 3c

4

ln1− 4c

5= ln

(1− 3c

4

)2

1− 4c

5=

1− 6c + 9c2

1645c2 + 34c− 11 = 0

7

c = −1 o c = 0,24

Si c = −1 entonces k = 0 y r = 0 (contradiciendo K > 0)

Si c = 0,24 entonces k = 1550 (poblacion limitante) y r = 0,53 (tasade crecimiento)

Ası, nuestro modelo logıstico para calcular la poblacion de lagartosviene dado por:

x′(t) = 0,53x(t)

[1− x(t)

1550

]

cuya solucion es:

x(t) =372

e−0,53t +0,24

Calculamos la poblacion de lagartos en 2000:

x(30) =372

e−0,53(30) +0,24

x(30) =1200

e−15,9 +0,24

x(30) ≈ 1200

0,000000124 + 0,2

x(30) ≈ 1549,999197

Se estima que para el ano 2000 habra 1550 lagartos.

Usando MatLab, tenemos:

y = dsolve(′Dy = 0,53 ∗ y ∗ (1− y/1550)′,′ y(0) = 300′)

ezplot(y, [0, 30])

0 5 10 15 20 25 30400

600

800

1000

1200

1400

1600

t

1550/(1+25/6 exp(−53/100 t))

8

ezplot(x, [0, 100])

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1532

1534

1536

1538

1540

1542

1544

1546

1548

1550

t

1550/(1+25/6 exp(−53/100 t))

Figura 3: 1550/(1 + 25/6 ∗ exp(−53/100 ∗ t))

4. La poblacion de una cierta especie sujeta a una clase especıfica dedepredacion es modelada por la siguiente ecuacion en diferencias

ut+1 = au2

t

b2 + u2t

a > 0

Determine los puntos de equilibrio.

Hallar los puntos de equilibrio (o ptos fijos de la funcion f), es hallaru/f(u) = u; donde f(u) = a u2

b2+u2

f(u) = au2

b2 + u2= u

au2 − u(b2 + u2) = 0

u[au− b2 − u2] = 0

u = 0 u2 − au + b2 = 0

u =a±√a2 − ab2

2a ≥ ±2b

Por lo tanto los puntos de equilibrio son:{

u = 0

u = a±√a2−ab2

2a ≥ ±2b

9

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

Figura 4: ut+1 = 5u2

t

22+u2t

5. Dados los sistemas compartamentales de la figura adjunta. Sean x, y y zdensidades de las Poblaciones 1, 2 y 3 respectivamente (no se considerainteraccion entre poblaciones). El primer modelo es un sistema cerradoy el segundo es abierto.

a) Interprete cada uno de los sistemas compartamentales. Justifiquesu respuesta con amplios detalles.

Para la figura a). Sean:

x: numero de habitantes en el paıs 1y: numero de habitantes en el paıs 2z: numero de habitantes en el paıs 3α: tasa de emigraciones del paıs 1 al 3β: tasa de emigraciones del paıs 3 al 2γ: tasa de emigraciones del paıs 2 al 1δ: tasa de emigraciones del paıs 2 al 3αx: numero de habitantes que emigran del paıs 1 al 3βz: numero de habitantes que emigran del paıs 3 al 2δy: numero de habitantes que emigran del paıs 2 al 3γy: numero de habitantes que emigran del paıs 2 al 1

b) Escriba el sistema dinamico correspondiente a cada modelo.

10

Para la figura a):

dx

dt= γy − αx

dy

dt= βz − (γ + δ)y

dz

dt= αx− βz + δy

Para la figura b):

dx

dt= γy − αx

dy

dt= βz − (γ + δ + φ)y

dz

dt= αx− βz + δy + ξ

6. Consideremos a las Lapas (s) y algas marinas (l) conviviendo en unestanque de agua salada. La dinamica de este sistema viene dado por:

ds

dt= s− s2 − sl(15)

dl

dt= sl − l

2− l2 l ≥ 0, s ≥ 0(16)

a) Por cada punto de equilibrio no nulo del sistema dado, evalue laestabilidad y clasifıquelo como un nodo, foco o punto silla.

De (15) y de (16), tenemos:

ds

dt= s(1− s− l) = 0(17)

dl

dt= l(s− 1

2− l) = 0(18)

De (17):s = 0 o s = 1− l

Si s = 0 entonces l = 0 o l = −12

Si s = 1− l entonces l = 0 o l = 14

Si l = 0 entonces s = 1

Si l = 14

entonces s = 34

Por lo tanto los puntos de equilibrio (s, l) son (0, 0); (0,−1/2); (1, 0); (3/4, 1/4)

11

Estabilidad: Calculamos el Jacobiano

f(s, l) = s− s2 − sl

g(s, l) = sl − l

2− l2

A =

[∂f∂s

∂f∂l

∂g∂s

∂g∂l

]=

[1− 2s− l −s

l s− 12− 2l

]

Evaluamos en los puntos de equilibrio no nulos:

En (0,−1/2) ⇒ A|(0,−1/2) =

[1− 2(0)− (−1/2) −(0)

−1/2 0− 12− 2(−1/2)

]

A|(0,−1/2) =

[3/2 0−1/2 1/2

]

Ası: tr(A) = 2 y det(A) = 3/4.

Por lo tanto el punto (0,−1/2) es INESTABLE (Nodo repul-sor)

En (1, 0) ⇒ A|(1,0) =

[ −1 −10 1/2

]

Ası: tr(A) = −1/2 y det(A) = −1/2.

Por lo tanto el punto (1, 0) es INESTABLE (Punto silla)

En (3/4, 1/4) ⇒ A|(3/4,1/4) =

[ −3/4 −3/41/4 −1/4

]

Ası: tr(A) = −1 y det(A) = 3/8.

Por lo tanto el punto (3/4, 1/4) es ESTABLE (Nodo atractor)

b) Esquematize las soluciones en el Plano de Fase

En resumen:

(0,−1/2) ⇒ tr(A) = 2 det(A) = 3/4. Entonces el punto esInestable (repulsor) [Lo analizaremos puesto que matemati-camente es un punto de equilibrio pero recordar ques, l ≥ 0]

(1, 0) ⇒ tr(A) = −1/2 det(A) = −1/2. Entonces el puntoes Inestable (silla)

(3/4, 1/4) ⇒ tr(A) = −1 det(A) = 3/8. Entonces el puntoes Estable (atractor)

12

t

x

x=0

x=3/4

x=1

t

y

y=0

y=1/4

y=−1/2

1/2

−1/2

1

x

y

13

Practica No 02

1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones es lineal o no lineal. Sies lineal, halle la solucion explıcita; si es no lineal, halle los punto deequilibrio y analize su estabilidad.

a) xn = (1− α)xn−1 + βxn, α, β constantes

(1− β)xn = (1− α)xn−1

xn =(1− α)

1− βxn−1

f(x) =(1− α)

1− βx Ecuac. en diferencias lineal

Solucion explıcita:

Dado x0 ∈ R+0 (condicion inicial)

x1 =(1− α)

1− βx0

x2 =(1− α)

1− βx1 =

((1− α)

1− β

)2

x0

x3 =(1− α)

1− βx2 =

((1− α)

1− β

)3

x0

xn =(1− α)

1− βxn−1 =

((1− α)

1− β

)n

x0

tiene solucion recursiva:

xn =

((1− α)

1− β

)n

x0 β 6= 1

x0 : condicion inicial

b) xn+1 = xn eαxn , α constante

f(x) = x eαx

es una ecuacion en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad

14

Buena definicion: f esta bien definida para x ∈ Rf es continua, f ∈ C∞(R)En efecto:

f(x) = x︸︷︷︸∈C∞

eαx︸︷︷︸∈C∞

⇒ f(x) ∈ C∞

Puntos de equilibrio (ptos fijos de f):

f(x) = x

f(x) = x eαx = x

x(eαx−1) = 0

x = 0 eαx = 1

ln 1 = αx

0 = αx

Los puntos de equilibrio son:

{x = 0x ∈ R, α = 0

Estabilidad: Aplicando el criterio

f ′(x) = αx eαx + eαx

f ′(x) = eαx(αx + 1)

• Si x = 0 ⇒ f ′(x) = 1. Como |f ′(0)| = 1 nada se puededecir de la estabilidad en este punto de equilibrio

• Si x ∈ R; α = 0 ⇒ f ′(x) = 1. Como |f ′(x)| = 1,∀x ∈ R yα = 0 nada se puede decir.

15

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

0

5

10

15

20

Figura 5: Puntos de equilibrio

c) xn+1 = −x2n(1− xn)

f(x) = −x2(1− x) = x3 − x2 no es lineal

es una ecuacion en diferencias no lineal. Analicemos su estabilidad

Buena definicion: f esta bien definida para x ∈ Rf es continua, f ∈ C∞(R)En efecto:

f(x) = x3︸︷︷︸∈C∞

− x2︸︷︷︸∈C∞

⇒ f(x) ∈ C∞

Puntos de equilibrio (ptos fijos de f):

f(x) = x

x3 − x2 = x

x3 − x2 − x = 0

x(x2 − x− 1) = 0

x = 0 x2 − x− 1 = 0

x =1±√5

2

Los puntos de equilibrio son:

{x = 0

x = 1±√52

16

Estabilidad: Aplicando el criterio

f ′(x) = 3x2 − 2x

• Si x = 0 entonces f ′(0) = 0Como |f ′(0)| = 0 < 1 ⇒ x = 0 es ESTABLE

• Si x = 1+√

52

entonces

f ′(1 +

√5

2) =

√5 + 7

2

Como ∣∣∣∣∣f′(

1 +√

5

2

)∣∣∣∣∣∼= 4,61803 > 1

entonces x = 1+√

52

es INESTABLE.

• Si x = 1−√52

entonces

f ′(

1−√5

2

)=

7−√5

2

Como ∣∣∣∣∣f′(

1−√5

2

)∣∣∣∣∣∼= 2,3819660 > 1

entonces x = 1−√52

es INESTABLE.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2

0

2

4

6

8

10

Figura 6: puntos de equilibrio

17

2. La Ecuacion de Ricker para poblacion de peces viene dada por

Nn+1 = αNn e−βNn

donde α representa la tasa de crecimiento maximal de los peces y β esla inhibacion de crecimiento causado por la sobrepoblacion.

a) Demuestre que esta ecuacion tiene un punto de equilibrio

N =ln α

β

En efecto:f(N) = αN e−βN

Para hallar los puntos de equilibrio (ptos fijos de f), debemoshallar N/f(N) = N

αN e−βN = N

N(α e−βN −1) = 0

N = 0 α e−βN = 1

ln1

α= −βN

N = − 1

βln

1

α

N =1

βln α

b) Demuestre que el punto de equilibrio en (a) es estable provisto dela siguiente condicion

|1− ln α| < 1

Aplicando el criterio de estabilidad, tenemos:

f ′(N) = α e−βN +N(−αβ e−βN)

f ′(N) = α e−βN [1− βN ]

18

Luego: N = 1β

ln α es ESTABLE si y solo si∣∣∣f ′

(1β

ln α)∣∣∣ < 1

f ′(

1

βln α

)= α e−β 1

βln α

[1− β

1

βln α

]

f ′(

1

βln α

)= α eln α [1− ln α]

f ′(

1

βln α

)= αα−1[1− ln α]

f ′(

1

βln α

)= 1− ln α

∣∣∣∣f ′(

1

βln α

)∣∣∣∣ = |1− ln α| < 1

Por lo tanto N = 1β

ln α es ESTABLE si y solo si |1− ln α| < 1

3. Un sistema Huesped Parasito en ambientes compartamentales vienedado por

Ht+1 = FHt

(1 +

aPt

k

)−k

Pt+1 = Ht − Ht+1

F

donde F, a, k son positivos.

a) Halle los puntos de equilibrio. Es desarrollar: (H, P )/f = 0 yg = 0

f(H,P ) = FH

(1 +

aP

k

)−k

= H(19)

g(H,P ) = H

[1−

(1 +

aP

k

)−k]

= P(20)

Resolvemos algebraicamente:

De (19), tenemos:

H

[F

(1 +

aP

k

)−k

− 1

]= 0

H = 0 o F

(1 +

aP

k

)−k

= 1

P =k

a(F 1/k − 1) F 6= 1

19

Reemplazando en 20

Si H = 0 ⇒ P = 0

Si P = ka(F 1/k − 1); F 6= 1 ⇒ H = k(F 1/k−1)

a(1−F−1)

Por lo tanto los puntos de equilibrio (H, P ) son:

(0, 0)

y

(k(F 1/k − 1)

a(1− F−1),k

a(F 1/k − 1)) F 6= 1

b) Analize la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Primero Linealizaremos el modelo:[

Hn+1

Pn+1

]=

[∂f/∂H ∂f/∂P∂g/∂H ∂g/∂P

]

(H,P )

[Hn

Pn

]

A =

[F

(1 + aP

k

)−k −FHa(1 + aP

k

)−k−1

1− (1 + aP

k

)−kHa

(1 + aP

k

)−k−1

]

En (0,0);

A|(0,0) =

[F 00 0

]

Luego, el sistema lineal asociado al sistema dado sera:

Hn+1 = FHn

Pn+1 = 0

Cuyos autovalores son: λ1 = F y λ2 = 0 ⇒ |λ| = 1. Por lo tantonada se puede decir de la solucion nula.

En (k(F 1/k−1)a(1−F−1)

, ka(F 1/k − 1)) F 6= 1;

A|(H,P ) =

[1 kF k(F 1/k−1)

a(1−F−1)

1− 1F

kF k−1(F 1/k−1)a(1−F−1)

]

4. Hallar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

dx

dt= x2 + y2

dy

dt= x(1− y)

20

Es hallar (x, y)/f = 0 ∧ g = 0

f(x, y) = x2 + y2 = 0(21)

g(x, y) = x(1− y) = 0(22)


De (22), tenemos: x = 0 y y = 1

En (21):

Si x = 0 ⇒ y = 0

Si y = 1 ⇒ x = ±i

Por lo tanto los puntos (x, y) de equilibrio son: (0, 0); (i, 1) y(−i, 1)

b)

dx

dt= x− x2 + xy

dy

dt= y(1− y)

Es hallar (x, y)/f = 0 ∧ g = 0

f(x, y) = x− x2 + xy = 0(23)

g(x, y) = y(1− y) = 0(24)


De (24), tenemos: y = 0 y y = 1

En (23):

Si y = 0 ⇒ x = 0 o x = 1

Si y = 1 ⇒ x = 0 o x = 2

Por lo tanto los puntos de equilibrio (x, y) son: (0, 0); (0, 1); (2, 1)y (1, 0)

5. Las siguientes ecuaciones fueron sugeridas por Bellomo et al (1982)como un modelo para la interaccion hormonal glucosa-insulina

di

dt= −Kii + Kg(g − gd) + Ksi(25)

dg

dt= Khg −Kogi−Ksg(26)

Los coeficientes Ki, Kg, Ks, Kh, K0 son constantes.

a) Determine los puntos de equilibrio.

b) Analize la estabilidad del sistema de ecuaciones.

21

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Biomatemática: practicas 1 y 2