BLAISE PASCAL

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes es el triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo.

Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

   

Pautas en el triángulo

Diagonales

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)

La tercera diagonal son los números triangulares

(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble!

Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas

Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1HT

1, 1

2HH

HT THTT

1, 2, 1

3

HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH

TTT

1, 3, 3, 1

4

HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH

HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH

HTTT, THTT, TTHT, TTTHTTTT

1, 4, 6, 4, 1

  ... etc ...  

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1 14 91 364 ...1 15 105 455 1365 ...

1 16 120 560 1820 4368 ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia

Expansión polinomial Triángulo de Pascal

2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1

3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1

4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1

  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal