Book

Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς

Π ρ ο σ ε γ γ ι σ ε ι ς


1

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :

f(g(x)) = …

Z η τ ο υ μ ε ν ο :

Ευρεση του τυπου της συναρτησης f η καποιας τιμης της συναρτησης f.

Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της g(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη δοσμενη

σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .

A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :

1. Θετουμε x = g(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην g(x).

Δηλαδη αν g(x) = x - 4 τοτε: x = x - 4 x = x + 4

2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x) .

Π α ρ α τ η ρ η σ η :

Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που

βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .

ΜΕΘΟΔΟΣ

http://drmaths58demo.blogspot.gr/


2 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2

2

Aν θεσουμε στην δοσμενη σχεση οπου x το x + 2, τοτε προκυπτει

f(x + 2 - 2) = (x + 2)

f(x) = (x + 2) με x ,που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Αρα

με x (1)

Aν θεσουμε

2f(x) = (x + 2)

2

στην (1) οπου x το x + 2, τοτε

= (x + 2 + 2) = με x 2f(x + 2) (x + 4)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

2 Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2) = x για καθε x .

Να βρειτε :

f(x)

f(x + 2)



3

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(g(x)) .


Ευρεση του τυπου της συναρτησης f .

Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της g(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη δοσμενη

σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .



Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4 x = x + 4

2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x),

ενω η f(x) θα μετατραπει σε f(g(x)).

Δηλαδη εχουμε δυο εξισωσεις με f(x) και f(g(x)) (αυτην που προεκυψε απ’την

αντικατασταση και τη δοσμενη) που σε συνδιασμο δινουν την f(x) .




ΜΕΘΟΔΟΣ



4 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2

2

2

(x = 3 - = 3 - x)

Eιναι f(x) + (1- x) f(3 - x) = x - x - 1 (1)

Aν θεσουμε στην δοσμενη σχεση οπου x το 3 - x, τοτε προκυπτει

f(3 - x) + (1- 3 + x) f(3 - 3 + x) = (3 - x) - (3 - x) - 1

f(3 - x) + (x - 2) f(x) = 9 - 6x + x - 3 + x - 1

x

x

f(

2

2 2

2 2

2

3 - x) = (2 - x) f(x) + x - 5x + 5 (2)

H (1) λογω της (2) γινεται

f(x) + (1- x) [(2 - x) f(x) + x - 5x + 5] = x - x - 1

f(x) + (1- x) [2f(x) - x f(x) + x - 5x + 5] = x - x - 1

f(x) + 2f(x) - x f(x) + x

2 3 2 2- 5x + 5 - 2x f(x) + x f(x) - x + 5x - 5 = xx

2

2 3 2

x - 3x + 3 0 2 3 2

Δ = 9 - 12 = - 3 < 0

3 2

2

- x - 1

3f(x) - 3x f(x) + x f(x) = x - 5x + 9x - 6

(x - 3x + 3) f(x) = x - 5x + 9x - 6

x - 5x + 9x - 6 f(x) = με x ,

x - 3x + 3 που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη

σχεση.

Αρα

με x 3 2

2

x - 5x + 9x - 6f(x) =

x - 3x + 3


2 Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x) + (1- x) f(3 - x) = x - x - 1, για καθε x .

Να βρειτε το τυπο της συναρτησης f .



5

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(h(x)) και f(g(x)) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της g(x) και h(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη

δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .



Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4 x = x + 4

2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x),

ενω η f(h(x)) θα μετατραπει, εστω σε f(r(x)).

[Εχουμε εξισωση ως προς f(x), f(r(x)) (1)].

3. Θετουμε x = r(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην r(x).

Δηλαδη αν r(x) = x + 1 τοτε: x = x + 1 x = x - 1

4. Αντικαθιστουμε τo x στην (1), ωστε η f(r(x)) να μετατραπει σε f(x), ενω η f(x)

θα μετατραπει σε f(r(x)). [Εχουμε εξισωση ως προς f(x), f(r(x)) (2)].

Δηλαδη εχουμε δυο εξισωσεις με f(x) και f(r(x)) ( η (1) και η (2)) που σε συνδυα-

σμο δινουν την f(x) .




ΜΕΘΟΔΟΣ



6 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2

2

2

(x = 5 - = 5 - x)

Eιναι f(x - 2) - 2 f(5 - x) = - x + 22x - 70

Aν θεσουμε στην δοσμενη σχεση οπου x το 5 - x, τοτε προκυπτει

f(5 - x - 2) - 2 f(5 - 5 + x) = - (5 - x) + 22(5 - x) - 70

f(3 - x) - 2 f(x) = -25 + 10x - x + 11 22

x x

0 -

2

2

2

x - 70

f(3 - x) - 2 f(x) = - x - 12x + 15 (1)

(x = 3 - = 3 - x)

Aν θεσουμε στην (1) οπου x το 3 - x, τοτε προκυπτει

f(3 - 3 + x) - 2 f(3 - x) = - (3 - x) - 12(3 - x) + 15

f(x) - 2 f(3 - x) = - 9 + 6x - x - 36 + 12x +

x x

15

-

2

2 2

2f(3 - x) + f(x) = - x + 18x - 30 (2)

Aπο : 2 × (1) + (2) πρικυπτει :

- 3 f(x) = - 3x - 6x f(x) = x + 2x ,που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει

τη δοσμενη σχεση.

Αρα

με x

2f(x) = x + 2x

με x


2 Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2) - 2 f(5 - x) = - x + 22x -70, για καθε x .




7

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(-x) .


Ευρεση του τυπου της συναρτησης f.

Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της f(-x) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε

μορφη: f(x) = … .


1. Θετουμε x = - x

2. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση .

3. Λυνουμε ως προς f(-x) .

4. Αντικαθιστουμε στην αρχικη δοσμενη σχεση, αυτο που βρηκαμε για f(-x) (3)

5. Λυνουμε την αρχικη δοσμενη σχεση, ως προς f(x) .




ΜΕΘΟΔΟΣ



8

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

3

3

3

3 3

2

Για - x = x η δοσμενη σχεση f(x) + x f(- x) = x - 1 (1) γινεται :

f(- x) - x f(x) = (- x) - 1

f(- x) - x f(x) = - x - 1

(2)

Eτσι η (1) λογω της (2) :

f(x) + x (x f(x) - x - 1 ) = x - 1

f(x) + x

3f(- x) = x f(x) - x - 1

2

4 3

1 + x 0 2 4 3

4 3

2

2

f(x) - x - x = x - 1

(1+ x ) f(x) = x + x + x - 1

x + x + x - 1f(x) =

1+ x

f(x) = x + x - 1, με x ,που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Αρα

με x

2f(x) = x + x - 1


3 Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x) + x f(- x) = x - 1, για καθε x .


4 3 2

4 2 2

3 2

3

2

2

x + x + x - 1 1 + x

-x - x x + x - 1

x - x + x - 1

-x - x

-x - 1

+x + 1

0



9

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(1

x) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της f(1

x) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε



1. Θετουμε x = 1

x.

2. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση .

3. Λυνουμε ως προς f(1

x) .

4. Αντικαθιστουμε στην αρχικη δοσμενη σχεση, αυτο που βρηκαμε για f(1

x) (3)

5. Λυνουμε την αρχικη δοσμενη σχεση, ως προς f(x) .




ΜΕΘΟΔΟΣ



10

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

1 1Για = x η δοσμενη σχεση 4f(x) + x f( ) = 5x - 10 (1) γινεται :

x x1 1 1

4f( ) + f(x ) = 5 - 10x x x1 5 1

4f( ) = - 10 - f(x )x x x

(2)

Eτσι η (1) λογω της (2) :

4f(x) + x

5 - 10x - f(x )1f( ) =

x 4x

5 - 10x - f(x )

4 x = 5x - 10

16f(x) + 5 - 10x - f(x ) = 20x - 40

15f(x) = 30x - 45

f(x) = 2x - 3, με x ,που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Αρα

με x

f(x) = 2x - 3


1

Για τη συναρτηση f ισχυει : 4f(x) + x f( ) = 5x - 10, για καθε 0 x .x




11

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της f(x + y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω

σε μορφη: f(x) = … .


1. Mετατρεπουμε την ποσοτητα x + y σε x .

Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = x

2 . Ετσι το f(x + y) γινεται f(x) .

2. Με την πιο πανω μετατροπη, απαλειφονται τα f(x), f(y) .

3. Λυνουμε τη σχεση που προκυπτει, ως προς f(x) .


Ο ιδιος τροπος αντιμετωπισης, αν το ζητουμενο ηταν να αποδειξουμε οτι η f

ειναι σταθερη .

ΜΕΘΟΔΟΣ



12

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

Ειναι

f(x + y) = f(x) - f(y) (1)

xΘετουμε στην (3) οπου x = y = .

2Ετσι

x x x xf( + ) = f( ) - f( ) ,

2 2 2 2που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Α ο τυπος της συναρτησης ειναι :

για καθε x .

ρα

f(x) = 0

f(x) = 0


Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x + y) = f(x)- f(y), για καθε x .




13

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) .


Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι περιττη .

Σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι :

1. Το πεδιο ορισμου ειναι συμμετρικο ως προς το 0 .

2. f(- x) = - f(x) .


1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .

2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = - x .

3. Eχοντας δοσμενο το f(0), προκυπτει f(- x) = - f(x) .


H δοσμενη σχεση με κατευθυνει με τι να αντικαταστησω το y. Στη περιπτωση

αυτη, θελω να “εξαφανισω” το x + y και να εμφανισω το - x .

ΜΕΘΟΔΟΣ



14 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

f Το πεδιο ορισμου της f, A = , που ειναι συμμετρικο ως προς το 0 .

Ετσι, αν x , τοτε και - x .

Eιναι : f(x + y) = f(x) + f(y) (1)

Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) = f(0) + f(0)Û f(0) = 2f(0

(2 )

) f(0) = 0 (2)

Για y = - x η (1) γινεται : f(0) = f(x) + f(- x) 0 = f(x) + f(- x)

Aρα, η f ειναι περιττη στο .

f(- x) = - f(x)


, .

Αν για την συναρτηση f : ισχυει :

f(x + y) = f(x) + f(y), x,y να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι περιττη



15

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 0, με

γνωστη την f’(0) .


Eυρεση της παραγωγου 0 0

f '(x ), με x 0 .

Σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε τη ζητουμενη παραγωγο στη θεση 0

x 0 .



2. Mεσω του ορισμου της παραγωγου, 0

00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim

x - x, εκφραζουμε την

f’(0) .

3. Mεσω του ορισμου της παραγωγου, 0

00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim

x - x, βρισκουμε την

0f'(x ) .

▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0 0

x - x τοτε αν x x u 0 .

▪ Xρησιμοποιωντας τη δοσμενη σχεση για την παρασταση 0

f(u+ x ) .

▪ Αντικαθιστωντας τα f(0) και f’(0) .

▪ Xρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων .


Η αλλαγη μεταβλητης μετατρεπει τον παρονομαστη του κλασματος του οριου

του ορισμου σε u, χωρις προβλημα, γιατι θα χρησιμοποιησουμε την εκφραση της

f’(0) απ’τον ορισμο, οπου και εκει υπαρχει το u στον παρονομαστη του κλασμα-

τος του οριου .

ΜΕΘΟΔΟΣ



16 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

(2 ) f'(0) = 0

0 0

Eιναι : f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1 (1)

Για x = y = 0 η (1) γινεται :

f(0) = f(0) + f(0) + 0 - 1 (2)

Για x = 0 :

f(x) - f(0) f(x) - 1 f'(0) = lim = lim (

x - 0 xx x

x 0

f(0) = 1

f(x) - 1lim = 0

x

0

0 0

Θετουμε u = x - x (1)0 0 0

0 x x Αν x x τοτε, u 0 u 00

0

u 0

3)

Για x 0 :

f(x) - f(x ) f(u + x ) - f(x )f'(x ) = lim = lim =

x - x u

f(u) + f(x ) = lim

0 0+ 2ux - 1- f(x )

0

u 0

u 0

f(u) + 2ux - 1= lim =

u u

2 u = lim

0x

u

(3)

0 0u 0 u 0

0

f(u) - 1+ lim = lim 2x + 0 = 2x

u

Aρα, για καθε x 0 .

0 0

f '(x ) = 2x


0

0 0 0

,

να δειξετε οτι .

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 0 με f'(0) = 0 και ισχυει :

f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1, για καθε x,y

f'(x ) = 2x , για καθε x 0



17

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 0, με



Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .

Σ κ ο π ο ς :

Να καταληξουμε σε ισοτητα παραγωγων, εστω f’(x) = g’(x) και να χρησιμοποιη-

σουμε την ισοδυναμια f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c .



2. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου, 0

00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim

x - x, εκφραζουμε την f’(0) .


00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim


0f '(x ) .

▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0 0

x - x τοτε αν x x u 0 .


f(u+ x ) .



4. Aπ’το προηγουμενο εχουμε f’(x) = g(x), οποτε βρισκουμε μια αρχικη της g .

5. Iσχυει f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την

εκφραση της f’(0) .






ΜΕΘΟΔΟΣ



18 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

(2 ) f'(0) = 0

0 0

Eιναι : f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1 (1)


f(0) = f(0) + f(0) + 0 - 1 (2)

Για x = 0 :

f(x) - f(0) f(x) - 1 f'(0) = lim = lim (

x - 0 xx x

x 0

f(0) = 1

f(x) - 1lim = 0

x

0

0 0

Θετουμε u = x - x (1)0 0 0

0 x Αν x x τοτε, u 0 u 00

0

u 0

3)

Για x 0 :

f(x) - f(x ) f(u + x ) - f(x ) f'(x ) = lim lim =

x - x u

f(u) + f(x ) = lim

x

=

0 0+ 2ux - 1- f(x )

0

u 0

u 0

f(u) + 2ux - 1= lim =

u u

2 u = lim

0x

u

f(0) = 1 2

(3)

0 0u 0 u 0

Θετουμε x = 0 2 2 2

f(0) = 0 + c 1 = c

f(u) - 1+ lim = lim 2x + 0 = 2x

u

Ειναι :

f'(x) = 2x f'(x) = (x )' f(x) = x + c f(x) = x + 1,που ειναι δεκτη,

αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Aρα, ο

τυπος της συναρτησης ειναι

για καθε x . 2f(x) = x + 1


0

, .

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 0 με f '(0) = 0 και ισχυει :

f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy - 1, για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της



19

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(f(x + y)) και f(x), f(y) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .


1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(0)) .

2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = 1, y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(1)) .

3. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = - x . Ετσι θα βρουμε σχεση μεταξυ f(x), f(-x) .

4. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(x)) (η βασικη).

5. Θετουμε στη βασικη σχεση , x = - x , με τη βοηθεια των (1), (2), (3) βρισκουμε

τον τυπο της συναρτησης f για x ≠ 0.


Στη περιπτωση που θελουμε ο τυπος της συναρτησης να ισχυει για καθε x, απο-

δεικνυουμε οτι ο τυπος της συναρτησης αληθευει και για x = 0, με τη βοηθεια

του τυπου και της περιπτωσης (2) .

ΜΕΘΟΔΟΣ



20 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

Eιναι : f(f(x + y)) = x f(x) + y f(y) (1)


f(f(0)) = 0 f(0) + 0 f(0) (2)

Για x = 1,y = 0 η (1) γινεται :

f(f(1)) = 1 f(1) + 0 f(0)

f(f(0)) = 0

f(f(1)) = f(1)

(2)

(3)

Για y = 0 η (1) γινεται :

f(f(x)) = x f(x) + 0 f(0) (4)

Για y = - x η (1) γινεται :

f(f(0)) = x f(x) - x f(- x) 0 = x

f(f(x)) = xf(x)

f(x) - x

(5) (4) x 0

Γ x =

f(- x) (5)

Για x = - x η (4) γινεται :

f(f(- x)) = - x f(- x) f(f(x)) = - x f(x) x f(x) = - x f(x) 2x f(x) = 0

, για καθε x 0 .

Ομως η (3) :

f(f(1)) = f(1)ια

f(x) = f(-x)

f(x) = 0

f(x) = 0

1 f(1) = 0 ,

που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Aρα, ο τυπος της f ειναι :

στο .

f(0) = 0

f(x) = 0


.

Να βρεθουν ολες οι συναρτησεις f : αν ισχυει :

f(f(x + y)) = xf(x) + yf(y), x,y



21

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) και f(x), f(y) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της f(x - y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω

σε μορφη: f(x) = … .



2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = x

3. Mε τη βοηθεια της (1), η (2) δινει τον τυπο της συναρτησης .




ΜΕΘΟΔΟΣ



22

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

2

f(0) 1

Eιναι : f(x - y) = f(x) f(y) (1)

Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) = f(0) f(0) f (0) - f(0) = 0

f(0) = 0

f(0)[f(0) - 1] = 0 η (2)

f(0) - 1 = 0

Για y = x η (1) γινεται : f(0) = f(x) f(x)

f(0) = 0

(2 ) 20 = f (x) f(x) = 0,


Aρα, ο τυπος της f ειναι στο .

f(x) = 0


, .


f(x - y) = f(x) f(y), x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f, αν f(0) 1



23

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) και f(x + y) στο ενα μελος και x, y στο αλλο .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη των f(x - y) , f(x + y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να

καταληξω σε μορφη: f(x) = … .



2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = x

2 .

3. Mε τη βοηθεια της (1), η (2) δινει τον τυπο της συναρτησης .


Στη περιπτωση που η δοσμενη σχεση περιεχει f(αx - βy) και f(αx + βy), τοτε:


5. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = αx

β και στη σχεση που προκυπτει, με τη

βοηθεια της (4), θετουμε οπου x = x

2α.

6. Λυνουμε ως προς f(x) .

ΜΕΘΟΔΟΣ



24

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

(2 )

1.

Eιναι : f(x + y) + f(x - y) = 4x (1)

Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) + f(0) = 4 0 2f(0) = 0 f(0) = 0 (2)

x x x x x x Για x = y = η (1) γινεται : f( + ) + f( - ) = 4 f(x) + f(0) = 2x

2 2 2 2 2 2

f(x) 2 ,που ειναι x

= δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.


2.

Eιναι : f(2x + 3y) - f(2x - 3y) = 6xy (3)

2x 3 2 x 3 2 x 2x Για y = η (3) γινεται : f(2x + ) - f(2x - ) = 6 x

3 3 3 3

f(4x) -

f(x) = 2x

(υποθεση ) 2 2

2 2

f(0) = 4x f(4x) = 4x (4)

x x x x Για x = η (4) γινεται : f(4 ) = 4 ( ) f(x) = ,

4 4 4 4



2xf(x) =

4


, να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .

, να βρεθει ο τυπος

1. Αν για την συναρτηση f : ισχυει :

f(x + y) + f(x - y) = 4x, x,y

2. Αν για την συναρτηση f : ισχυει : f(0) = 0 και

f(2x + 3y)- f(2x - 3y) = 6x y, x,y

της συναρτησης f .



25

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) + f(x + y) στο ενα μελος και 2f(x) η 2f(y) στο

αλλο .



Σ κ ο π ο ς :



1. Θεωρουμε σταθερο το x, αν εχουμε 2f(x) η σταθερο το y, αν εχουμε 2f(y) και

παραγωγιζουμε τα δυο μελη ως προς το αλλο (x η y) .

2. Απ’τη παραγωγιση μηδενιζει το 2f(x) η 2f(y) και προκυπτει σχεση μεταξυ των

(x - y) , f(x + y) .

3. Θετουμε στη προηγουμενη σχεση , x = y = x

2 και προκυπτει f’(x) = g(x) .


5. Iσχυει f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την εκ-

φραση της f’(0) .


Η περιπτωση αυτη μοιαζει με την προηγουμενη, με τη διαφορα οτι δεν μπορουμε

να χρησιμοποιησουμε την ισοτητα , x = y = 0 . «Αγκαθι» το 2f(x) η 2f(y) .

ΜΕΘΟΔΟΣ



26

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

f(x) σταθερο

Eιναι : f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) (1)

Θεωρουμε τον x σταθερο και παραγωγιζουμε την (1) ως προς y :

f'(x + y)×(x + y)' + f'(x - y)×(x - y)' = [2f(x)]' f'(x + y) - f'(x - y) = 0 (2)

x Για x = y = η (2) γ

2

f(0) = 1

f'(0) = 1

Για x = 0

f(0) = 0 + c c = 1

ινεται :

x x x x f'( + ) - f( - )' = 0 f'(x) - f'(0) = 0 f'(x) - 1 = 0 f'(x) = 1

2 2 2 2

f'(x) = (x)' f(x) = x + c f(x) = x + 1,


Aρα

, ο τυπος της f ειναι στο .f(x) = x + 1


, να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .

Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει : f '(0) = f(0) = 1 και

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x), x,y



27

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y) και ισχυει f’(x) = f(x) .



Σ κ ο π ο ς :



1. Πολλαπλασιαζουμε την ισοτητα f’(x) = f(x) με e -x και προκυπτει -x(e f(x))' = 0 .

2. Η προηγουμενη δινει -x xe f(x) = c f(x) = ce , x

3. Αντικαθιστωντας στη δοσμενη, προσδιοριζουμε το c .


Στη περιπτωση αυτη, η ισοτητα f’(x) = f(x) η f’(x) - f(x) = 0 με οδηγει στο τεχνα-

σμα του πολλαπλασιασμου με e -x, ωστε να προκυψει παραγωγος γινομενου ιση

με μηδεν .

ΜΕΘΟΔΟΣ



28 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

- x - x - x - x

- x - x - x - x x

(1) x + y y x x

Eιναι :

f'(x) = f(x) e f'(x) = e f(x) e f'(x) - e f(x) = 0

e f'(x) + (e )' f(x) = 0 (e f(x))' = 0 e f(x) = c f(x) = c e , x (1)

Oμως

f(x + y) = f(x) f(y) c e = c e c e c e

+ y x + y 2 2

x

0 0

x x

= c e c = c

c = 0 c = 0

c(c - 1) = 0 η η

c - 1 = 0 c = 1

Αν c = 0 τοτε : f(x) = 0 e = 0,

αδυνατο, αφου υπαρχει x με f(x ) 0

Αν c = 1 τοτε : f(x) = 1 e = e ,

που ειναι δεκτη, αφου επαληθευει

τη δοσμενη σχεση.

Aρα, ο τυπος της f ειναι στο . xf(x) = e


,0 0

, ε ,

Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει : f '(x) = f(x) και

f(x + y) = f(x) f(y), x,y νω υπαρχει x ωστε f(x ) 0 να βρεθει ο

τυπος της συναρτησης f .



29

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και f(x), f(y) .


Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι 1 - 1.

Σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι : 1 2 1 2

f(x ) = f(x ) x = x .



2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση ,

▪ y = 1

x. Ετσι θα βρουμε την τιμη f(

1

x) .

▪ y = 1

y. Ετσι θα βρουμε την τιμη f(

x

y) .

3. Ξεκινουμε απ’την ισοτητα 1 2f(x ) = f(x ) και αντικαθιστωντας καποιο απ’τα

δυο μελη, συμφωνα με τα παραπανω, προσπαθουμε να φτασουμε στο

1 1 2

2

x= 1 x = x

x .

ΜΕΘΟΔΟΣ



30 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

(2 )

Eιναι : f(xy) = f(x) + f(y) (1)

Για x = y = 1 η (1) γινεται : f(1) = f(1) + f(1) f(1) = 0 (2)

1 1 1 1 Για y = η (1) γινεται : f(1) = f(x) + f( ) 0 = f(x) + f( ) f( ) = - f(x) (3)

x x x x

1 Για y = η (1) γι

y

(3 )

(3 ) (1 ) (2 ) 1

1 2 1 1

2 2 2

1

2

x 1 xνεται : f( ) = f(x) + f( ) f( ) = f(x) - f(y) (4)

y y y

Ετσι

x1 1f(x ) - f(x ) = 0 f(x ) + f( ) = 0 f(x ) = 0 f( ) = 0

x x x

x = 1x

Aρα, η f ειναι ''1 - 1'' στο .

1 2

1 2

f(x ) = f(x )

x = x


, .

Αν για την συναρτηση f ισχυει :

f(x y) = f(x) + f(y), x,y να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι ''1- 1''



31

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r





Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη των f(xy) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε




2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 1.

Ετσι θα εμφανισουμε την f(x) και f(1) .




ΜΕΘΟΔΟΣ



32 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2 2

(2

Eιναι : 2f(xy) = f(x) f(y) + xy (1)


2f(1) = f(1)× f(1) + 1 f (1) - 2f(1) + 1 = 0 [f(1) - 1] = 0 f(1) - 1 = 0

(2)


2 f(x) = f(x) f(1) + x 1

f(1) = 1

)

2 f(x) = f(x) 1+ x 2 f(x) - f(x) = x f(x) = x,


Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .

f(x) = x


*

* , να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .


2f(x y) = f(x) f(y) + xy, x,y



33

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και 1 1

f( ), f( )x y

.



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη των f(xy) και 1 1

f( ), f( )x y

σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα

να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .



2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 1

x.

Ετσι θα εμφανισουμε την f(x), f(1) και f(1

x) και μια σχεση μεταξυ f(x), f(

1

x) .

3. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 1.

Ετσι θα εμφανισουμε την f(x) .


Στο (3) εχουμε τα απαραιτητα να βρουμε τον τυπο της συναρτησης f .

ΜΕΘΟΔΟΣ



34 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

(2)

1 1Eιναι : f(x y) = f( ) + f( ) (1)

x y


f(1) = f(1) + f(1) 2f(1) - f(1) = 0 (2)

1 Για y = η (1) γινεται :

x

1 1 f(1) = f( ) + f(x) 0 = f( ) + f(x)

x x

f(1) = 0

1f( ) = - f(x)

x

(3 )(2 ) 0

(3)


1 1 f(x 1) = f( ) + f(1) f(x) = f( ) + 0 f(x) = - f(x) 2f(x) = 0 f(x) = 0,

x x


Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι

* στο .f(x) = 0


*

* , .


1 1f(x y) = f( ) + f( ), x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f

x y



35

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r




Eυρεση του x

f( )y

.

Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: x

f( )y

= … .




x.



1

x) .


y.

Ετσι θα εμφανισουμε τo x

f( )y

.


Στο (3) εχουμε τα απαραιτητα να βρουμε το ζητουμενο .

ΜΕΘΟΔΟΣ



36 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

Για x = y (2)

Eιναι : f(x y) = f(x) + f(y) (1)


f(1) = f(1) + f(1) 2f(1) - f(1) = 0 (2)


x

1 1 1 f(1) = f(x) + f( ) 0 = f(x) + f( ) f( ) = - f(x)

x x x

f(1) = 0

(3 )

(3)


y

1 x f(x ) = f(x) + f( ) = f(x) .

y

1f( ) y

y y- f( )

1f( ) = - f(y)

y

xf( ) = f(x) - f(y)

y


* *

+ +,

: .

Αν για την συναρτηση f : ισχυει : f(x y) = f(x) + f(y), x,y

xνα αποδειχτει οτι f( ) = f(x) - f(y)

y



37

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 1, με




Σ κ ο π ο ς :





00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim



00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim


0f '(x ) .

▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0

0

x τοτε αν x x u 1

x .


f(u x ) .




5. Iσχυει f’(x) = g’(x) f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την

εκφραση της f’(1) .






Ειναι: f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .

ΜΕΘΟΔΟΣ



38 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

f(1) 0 2

(2 )

1 1

Eιναι : f(x y) = f(x) f(y) (1)


f(1) = f(1) f(1) f (1) - f(1) = 0 f(1)(f(1) - 1) = 0 f(1) - 1 = 0 (2)

Για x = 1 :

f(x) - f(1) f(x f'(1) = lim = lim

x - 1x x

f(1) = 1

0

0 0

f'(1) = 1

0

xΘετουμε u =

x (1)0 0 0

x Αν x x τοτε, u 1 u 10 0 0

u 1

) - 1(3)

x - 1

Για x = x 0 :

f(x) - f(x ) f(u x ) - f(x )= lim = lim =

x - x u x - x

f(u) f( = lim

x

x 1

0

f(x) - 1lim = 1

x - 1

f '(x )

2

0 0 0

u 10 0 0

(3)0 0 0

u 1 u 1 u 1 u 10 0 0

x 0

2

x ) - f(x ) f(x ) [f(u) - 1]= lim =

u x - x x (u - 1)

f(x ) f(x ) f(x )f(u) - 1 = lim lim = lim 1 = lim =

x u - 1 x x

Eτσι

f(x) x f'(x) - x' f(x) ff'(x) = x f'(x) - f(x) = 0 = 0

x x

0

0

f(x )

x

Ειναι f'(x) = c f'(1) = c

Oμως f'(1) = 1 τοτε c = 1

(x)' = 0

x

f(x)= c f(x) c x f(x) x,

x


Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .

f(x) = x

= =


0

,

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 1 με f '(1) = 1, f(1) 0 και ισχυει :

f(x y) = f(x) f(y), για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .



39

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 1, με




Σ κ ο π ο ς :





00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim



00 x x

0

f(x) - f(x )f'(x ) = lim


0f '(x ) .

▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0

0

x τοτε αν x x u 1

x .


f(u x ) .








Ειναι: f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .

ΜΕΘΟΔΟΣ



40 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

f(1) 0 2

(2 )

1 1

Eιναι : f(x y) = f(x) f(y) (1)


f(1) = f(1) f(1) f (1) - f(1) = 0 f(1)(f(1) - 1) = 0 f(1) - 1 = 0 (2)

Για x = 1 :

f(x) - f(1) f( f'(1) = lim = lim

x - 1x x

f(1) = 1

0

0 0

f'(1) = 1

0

Θετουμε u = x (1)

0 0 0

x Αν x x τοτε, u 1 u 10 0 0

u 1

x) - 1 (3)

x - 1

Για x = x 0 :

f(x) - f(x ) f(u x ) - f(x )= lim lim =

x - x u x - x

f(u) f = lim

x

x 1

0

f(x) - 1lim = 1

x - 1

f '(x )

x

=

2

0 0 0

u 10 0 0

(3)0 0 0

u 1 u 1 u 1 u 10 0 0

x 0

2

(x ) - f(x ) f(x ) [f(u) - 1]= lim =

u x - x x (u - 1)

f(x ) f(x ) f(x )f(u) - 1 = lim lim = lim 1 = lim =

x u - 1 x x

Eτσι

f(x) x f'(x) - x' f(x)f'(x) x f'(x) - f(x) = 0

x x

0

0

f(x )

x

= = 0

Ειναι f'(x) = c f'(1) = c

Oμως f'(1) = 1 τοτε c = 1

f(x)' = 0

x

f(x)c f(x) c x f(x) x,

x


Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο

f(x) = x

= = =

.


0

,

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 1 με f'(1) = 1, f(1) 0 και ισχυει :

f(x y) = f(x) f(y), για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .



41

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και x

f( ), f(x)y

και γνωστα τα f(1) και f’(1) .



Σ κ ο π ο ς :

Μετατροπη των f(xy) και x

f( )y

σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να

καταληξω σε μορφη: f(x) = … .


1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = 1 και y = x .



1

x) ,

αφου το f(xy) μετατρεπεται σε f(x) και το x 1

f( ), σε f( )y x

.

Την σχεση μεταξυ f(x), f(1

x), την παραγωγιζουμε και εστω (1) αυτη που θα

προκυψει (σχεση μεταξυ f’(x), f’(1

x)) .

2. Στη δοσμενη σχεση θεωρουμε σταθερο το y και παραγωγιζουμε ως προς x .

Ετσι θα εμφανισουμε την f’(xy), f’(x) και f’(x

y) . Στη συνεχεια στη σχεση που

προκυπτει, θετουμε x = 1 και y = x και προκυπτει μια σχεση μεταξυ f’(x),

f’(1

x), εστω (2).

3. O συνδιασμος των (1), (2) δινει την f(x) .


Γνωστο το f(1), αν η ασκηση δεν επιτρεπει την ευρεση του απο αντικατασταση

x = y = 1 στη δοσμενη σχεση .

ΜΕΘΟΔΟΣ



42

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

f(1) = 0

xEιναι : f(x y) + f( ) = 2f(x) (1)

y

Για x = 1 και y = x η (1) γινεται :

1 1 f(x) + f( ) = 2f(1) f(x) + f( ) = 0 (2)

x x

H f ειναι παραγωγισιμη.

Ετσι παραγωγιζουμε την (2) και προκυπτει :

f'(x) +

Για x = 1, y = x f'(x) =

1 1f'( ) ( )' = 0 (3)

x x

Παραγωγιζουμε ως προς x την (1), θεωρωντας τον y σταθερο, και προκυπτει :

x 1 1 1 f'(x y) y + f'( ) = 2f'(x) f'(x) x + f'( ) = 2f'(1)

y y x x

2

1 1f '(x) - f '( ) = 0

xx

1

x > 0

Ειναι f(x) = lnx + c f(1) = ln1 + c = c

Oμως f(1) = 0 τοτε c = 0

1 1 f'(x) x + f'( )× = 2 (4)

x x

Aπο (3) + (4) :

2 12f'(x) f'(x) f'(x) = (lnx)' f(x) lnx + c

x x

f(x) lnx,που ειναι

2

1 1 2f '(x) + f '( ) =

x xx

= = =

=

*

+

δεκτη, αφου επαληθευει τη δοσμενη σχεση.

Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .f(x) = lnx


,

Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : (0, + ) ισχυει : f '(1) = 1, f(1) = 0

xκαι f(x y) + f( ) = 2f(x), για καθε x,y > 0 να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .

y



43

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση ειναι διπλη ανισοτητα και περιεχει f(x), f(g(x)) , συνηθως στα

ακραια μελη .



Σ κ ο π ο ς :

Απ’τη δοσμενη διπλη ανισοτητα να καταληξω σε: f(x) ≥ α και f(x) ≤ α .


Aν η δοσμενη ανισοτητα ειναι της μορφης Α ≤ Β ≤ Γ

1. Λυνουμε την Α ≤ Β ως προς f(x) η f(g(x)) .

2. Λυνουμε την B ≤ Γ ως προς f(x) η f(g(x)) .


Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4 ⇒ x = x + 4

4. Αντικαθιστουμε τo x στη ανισωση που περιεχει f(g(x)), ωστε η f(g(x)) να

μετατραπει σε f(x) .

5. Προκυπτει: f(x) ≥ α και f(x) ≤ α, οποτε f(x) = α .

ΜΕΘΟΔΟΣ



44 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2

2

Για x = x + 1 2

2

2

Ειναι : f(x) x + f(x - 1) + 2x

f(x) x + x (1)

x + x f(x - 1) + 2x

(x + 1) + x + 1 f(x + 1- 1) + 2(x + 1)

x + 2x

x

+ 1 + + 1x f(x) + 2x + 2 2

2

f(x) x + x (2)

Aπο τις (1) και (2) προκυπτει : f(x) = x + x, x ,

που επαληθευει τη δοσμενη σχεση (για την ισοτητα).

Αρα ο τυπος της συναρτησης f ειναι :

, x

2f(x) = x + x


2 , Aν για τη συναρτηση f : ισχυει : f(x) x + x f(x - 1) + 2x, x

να βρεθει ο τυπος της.



45

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα απολυτων και περιεχει f(x), f(y) .


Aποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη .

Σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι f’(x) η f’(y) ειναι ιση με μηδεν, που απ’τις συνεπειες του

Θ.Μ.Τ. σημαινει οτι η f ειναι σταθερη .


1. Με τις ιδιοτητες απολυτων, μετατρεπουμε τη δοσμενη σχεση σε διπλη ανισο-

τητα, οπου το μεσαιο μελος περιεχει τις f(x), f(y) .

2. Βρισκουμε το οριο του μεσαιου μελους (με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμ-

βολης) με x → y η y → x .

3. Με τη βοηθεια του ορισμου της παραγωγου κα σε συνδιασμο με το οριο στη (2),

θα παρουμε f’(x) = 0 .


Απο συνεπειες Θ.Μ.Τ., αν f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .

ΜΕΘΟΔΟΣ



46 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

Η δοσμενη σχεση γινεται :

f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³ f(x) - f(y)

x - y ≤ |x - y|² - |x - y|² ≤

f(x) - f(y)

x - y ≤ |x - y|²

2 2

x y x ylim lim(-|x - y| ) = |x - y| = 0

Eπομενως συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης ειναι x y

f(x) - f(y)= 0

x - ylim

Ομως απ’ τον ορισμο της παραγωγου εχουμε f’(y) = x y

f(x) - f(y)= 0

x - ylim

που σημαινει, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, οτι η

συναρτηση f ειναι σταθερη.


Αν για καθε x,y , x ≠ y ειναι |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³, να δειξετε

οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη στο .



47

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα μορφης f’(x) ≤ κ για συναρτηση ορισμενη και

συνεχη σε διαστημα [α, β] και παραγωγισιμη στο (α, β) .


Eυρεση τυπου συναρτησης f σε καποιο διαστημα και ακρων διαστηματος .

Σ κ ο π ο ς :

Απο διπλη ανισοτητα, που θα προκυψει, να καταληξω σε: f(x) ≥ ω και f(x) ≤ ω .


1. Βρισκουμε τα ακρα α, β απο Θ.Μ.Τ. με τη βοηθεια των δοσμενων.

2. Για x ∈ [α, β], απο Θ.Μ.Τ. στα διαστηματα [α, x], [x, β], καταληγουμε σε ανισο-

τητες f(x) ≥ ω και f(x) ≤ ω .

3. Τελικα f(x) = ω στο [α, β] .

ΜΕΘΟΔΟΣ



48 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

2 2 2 2

2 2 2 2

α)

Απο Θ.Μ.Τ. για την f στο [α,β] υπαρχει ξ (α,β), ωστε : f(β) - f(α) = (β - α)f'(ξ).

Ομως f'(ξ) 4, οποτε

f(β) - f(α) 4(β - α) β + 4 - 6α + α + 1 4(β - α) β - 4β + 4 - 2α + α + 1 0

(β - 2) + (α - 1) 0 (β - 2) + (α - 1) = 0 (αθροισ

2 2

μα τετραγωνων μη αρνητικο)

Αρα και

β)

Απο το ερωτημα (α) και την υποθεση εχουμε :

α = 1, β = 2, f(α) = 6α - α - 1 = 4, f(β) = β + 4 = 8

Εστω x (α,β).

Τοτε απο Θ.Μ.Τ. για την f στα [α, x], [x, β] β

β = 2 α = 1 .

1

2

ρισκουμε :

f(x) - f(α) f(x) - 4= f'(ξ ) 4 4 f(x) - 4 4x - 4 f(x) 4xx - α x - 1 f(β) - f(x) 8 - f(x) 8 - f(x) 8 - 4x 4x f(x)= f'(ξ ) 4 4

β - x 2 - x

Αρα

f(x) = 4x .


2 2

Εστω η συναρτηση f που ειναι ορισμενη και συνεχης στο διαστημα [α, β] πα -

ραγωγισιμη στο (α, β) και f '(x) 4, για καθε x (α, β).

Αν : f(β) = β + 4 και f(α) = 6α - α - 1, να δειξετε οτι :

α) α = 1 και β = 2

β) f(x) = 4x

, για καθε x [α, β].



49

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(g(x)), f(h(x)) .


Η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον α ριζες .

Σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε α τιμες της f που ειναι ισες με μηδεν . Δηλαδη να βρουμε x1, x2 κλπ,

ωστε f(x1) = f(x2) = … = 0, οποτε x1, x2 κλπ ειναι ριζες της εξισωσης f(x) = 0 .


1. Στο προχειρο:

▪ Θετουμε g(x) = h(x)

▪ Λυνουμε την παραπανω εξισωση ως προς x και εστω οτι βρισκουμε ριζες ρ1,

ρ2 κλπ.

2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση

▪ x = ρ1 και προκυπτει f(x1) = 0, οποτε η x1 ειναι ριζα της f(x) = 0

▪ x = ρ2 και προκυπτει f(x2) = 0, οποτε η x2 ειναι ριζα της f(x) = 0 , κλπ

3. Λυνουμε ως προς το ζητουμενο ολοκληρωμα .


Στην περιπτωση του «ακριβως β ριζες» , αφου βρουμε, συμφωνα με τα πιο πανω

β ριζες, δειχνουμε επιπλεον οτι δεν υπαρχουν αλλες .

ΜΕΘΟΔΟΣ



50

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

1 2

1 2

x + x = 3 2 2 2 1

2

x x =

2 2

2

2 2

Eιναι : f(x + x) + f(4x - 2) = ln(x - 3x + 3) (1)

Για x = 1 η (1) γινετα

Προχειρο

x = 1x + x = 4x - 2 x + x - 4

ι

f(1 + 1) + f(4 1- 2) = l

x + 2 = 0

n(1

x - 3x + 2 = 0x = 2

- 3 1+ 3) f(2) + f(2) = l

ln1 = 0

ln1 = 0 2 2

n1 2f(2) = 0

Αρα η τιμη x = 2 ειναι ριζα της εξισωσης f(x) = 0 .

Για x = 2 η (1) γινεται

f(2 + 2) + f(4 2 - 2) = ln(2 - 3 2 + 3) f(6) + f(6) = ln1 2f(6) = 0

Αρα η τιμη x = 6 ειναι ριζα τη

f(2) = 0

f(6) = 0

ς εξισωσης f(x) = 0 .

Δηλαδη η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες .


2 2 ,


f(x + x) + f(4x - 2) = ln(x - 3x + 3), x

να δειξετε οτι η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες .



51

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει f’(x)f(x), f’(x) .



Σ κ ο π ο ς :

Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .


1. Μετασχηματιζουμε ολους τους ορους της δοσμενης σχεσεις σε παραγωγους .

Συγκεκριμενα το ' 2f (x)

f '(x)f(x) =2

.

2. Με καταλληλες πραξεις καταληγουμε στο f’(x) = g’(x), οποτε

f(x) = g(x) + c .

3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c .



52

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

2 2x 2x x x

2 2x 2 2x x x

2

f

Eιναι :

f (x) e

("Η C τεμνει τον y'y σ

f'(x)f(x) - f'(x) = e + e ' - f'(x) = ' + (e )'2 2

f (x) e f (x) e- f(x) ' = + e ' - f(x) = + e + c

το σημειο Α(0,3)" σημαινει : f(0)

2 2

=

2 2

f (x)

3)

A(0,3)

2 0 0

Για x = 0 f(0) = 3 2x x 2 2x x

3 - 2 3 = e + 2e + 2c c = 0

2x x 2x x 2x x

- 2f(x) = e + 2e + 2c f (x) - 2f(x) - e - 2e = 0 (1)

Λυνουμε την (1) ως προς f(x) :

Δ = 4 - 4(- e - 2e ) = 4 + 4 e + 8e = 4 (e + 2e + 1) = [2

x 2

x x

x

(e + 1)] > 0

(f(0) = 3, αρα δεκτη)2 ± 2 (e + 1) f(x) = = 1± (e + 1)

2 f(x) = - e (f(0) = -1 3, απορριπτεται)

Ο τυπος της f : , x .

x

x

f(x) = e + 2

f(x) = e + 2


f

2x x

και η C

f '(x)f(x) - f '(x) = , , .

Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : τεμνει τον αξονα y'y στο

σημειο Α(0,3) .

Αν ισχυει : e + e για καθε x να βρεθει ο τυπος της f



53

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f’(x) (με υποψια πραξεων παραγωγων) .



Σ κ ο π ο ς :



1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη σχεση, ωστε να φθασουμε στην ισοτητα

f’(x) = f(x) .

2. Ισχυει: f’(x) = f(x) → f(x) = c ∙ e .

3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c .



54

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

2 2

x x

π π π

4 4 4

Aπ'τη δοσμενη σχεση προκυπτει

f'(x)ημx - f(x)συνx f(x)ημx =

ημ x ημ x

f(x) f(x) ( )' = , x [0,π] οποτε

ημx ημx

f(x) = ce f(x) = ce ημx (1).

ημx

π 2 π 2 f( ) = e ce ημ = e c = 1,

4 2 4 2

αρα η (1)

xf(x) = e ημx

Ο τυπος της f : , x [0,π] . xf(x) = e ημx


π4

Θεωρουμε τη συναρτηση f ορισμενη στο (0,π) για την οποια ισχυει

π 2f '(x)ημx - f(x)συνx = f(x)ημx και f( ) = e .

4 2Να βρεθει ο τυπος της f.

Aν f’(x) = f(x) τοτε

f(x) = c ∙ e x



55

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f(-x) .


Eυρεση oλοκληρωματος (με συμμετρικα συνηθως ακρα) .

Σ κ ο π ο ς :

Με αλλαγη μεταβλητης να εμφανιστει ξανα το αρχικο ολοκληρωμα .


1. Λυνουμε την δοσμενη σχεση ως προς f(x) .

2. Eστω – α, α τα ακρα του ολοκληρωματος.

Θετουμε u = - x, οποτε dx = - du και για x → α τοτε u → - α, ενω αν x → α τοτε

u → - α στη δοσμενη σχεση .

3. Λυνουμε ως προς το ζητουμενο ολοκληρωμα .

ΜΕΘΟΔΟΣ



56 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

. g r

α α α α

- α - α - α - α

α α α α

- α- α - α - α

Ειναι : f(x) + f(- x) = 2συνx f(x) = 2συνx - f(-x) (1)

= f(x)dx = (2συνx - f(-x))dx = 2συνxdx - f(-x)dx =

= 2 (ημx)'dx - f(-x)dx = 2[ημx] - f(-x)dx =

= 2η

I

α α

- α - α

Θετουμε u = - x - du = dxα - α

- α αΑν x α τοτε u - α, ενω αν x - α τοτε u α

μα - 2ημ(- α) - f(-x)dx = 2ημα + 2ημ( α) - f(-x)dx =

= 4ημα - f(-x)dx = 4ημα - f(u)(- du) =

= 4ημα - f(u

u = xα α

- α - α)du = 4ημα - f(x)dx =

Οποτε

2Ι = 4η

4ημα - I

μα

Ι = 2ημα


α

- α

Aν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β] και για καθε x [α, β] ισχυει

f(x) + f(- x) = 2συνx, να δειξετε οτι : Ι = f(x)dx = 2ημα .

Διωχνω το “ -“

του –du και αλ -

λαζω τα ακρα






57

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), x

αt, f(t)dt .



Σ κ ο π ο ς :

Nα φθασουμε στην ισοτητα: f’(x) = g’(x), ωστε f(x) = g(x) + c .


1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση x

αt, f(t)dt ειναι παραγωγισιμη .

2. Παραγωγιζουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης και προκυπτει ισοτητα παρα-

γωγων (τα f(x) απλοποιουνται) .

3. Προσδιοριζουμε το c, απ’τη δοσμενη σχεση και αυτην μετα τη παραγωγιση .


Στην περιπτωση που στο ολοκληρωμα, εκτος των t, f(t), υπαρχει και x, το βγα-

ζουμε εκτος του ολοκληρωματος σαν σταθερο ορο, αφου η ολοκληρωση ειναι ως

προς t . Τα υπολοιπα οπως παραπανω .

ΜΕΘΟΔΟΣ



58

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

x

31

3

x

31

1.

Eιναι : f(x) =1 2f(t)

( - )dt (1)tt

1 2f(t)Η συναρτηση - ειναι συνεχης στο (0, + ) (πραξεις συνεχων), οποτε η συν -

tt1 2f(t)

αρτηση ( - )dt ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ).tt

Ετσι, παραγωγιζοντας τ

2

x 2

3 31

2 2 2 2

H (1) για x = 2

1 f(1) = ln1 + c 0 = 0 + c c = 0

f'(x) = f'(x) = f'(x) =

f'(x) = f'(x) = = (lnx)'

= lnx + c

ην (1) :

1 2f(t) 1 2f(x) 1( - )dt ' - x - 2xf(x)

t x xt x

1 1x + 2xf(x) x + (x )'f(x) (x f(x))'

x x

x f(x)

1 δινει f(1) = 0 2

x x x 2

1 1 1

= lnx

Eιναι :

f(x) = x + 1 + f(x) = x + 1 + f(x) = x + x +

x f(x) , x > 0 , που επαληθευει

τη σχεση (1).

2.

1 1f(t)dt f(t)dt x f(t)dt (2)

x x

Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο (0, + ) , ο

2

lnx=f(x)

x

x

1

x

1

x 2

1f(x)]' = [x + x +

ποτε η συναρτηση f(t)dt ειναι παρα -

1γωγισιμη, oπως και η f(t)dt ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ).

xΕτσι, παραγωγιζοντας την (2) :

[x f(t)dt]' f(x)

f'(x) = 2x + 1 + f(x)+ x

H (2) για x = 1 δινει f(1) = 2

f(1) = 2+ln1 + c 2 = 2 + c c = 0

f'(x) = 2x + 1

f'(x) = = (2x + lnx)' = 2x + lnx + c

x

12 + f'(x) f(x)

x

, x > 0 , που επαληθευει τη δοσμενη σχεση .

= 2x + lnxf(x)


, , .x

3 21

κ

1. Αν για τη συνεχη συναρτηση f : (0, + ) αι για καθε x > 0 ισχυει :

2f(t)1 lnxf(x) = ( - )dt τοτε να αποδειχθει οτι f(x) = x > 0

tt x2. Αν για τη συνεχη συναρτηση f : (0, + ) και για καθε x > 0 ισχυει :

., ,x

1

1f(x) = x + 1 + f(t)dt τοτε να αποδειχθει οτι f(x) = 2x + lnx x > 0

x



59

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f’(x) στο ενα μελος και στο αλλο σταθερο ολο-

κληρωμα .



Σ κ ο π ο ς :

Να φθασουμε σε ισοτητα παραγωγων, ωστε: αν f’(x) = g’(x) τοτε f(x) = g(x) + c .


1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση το σταθερο ολοκληρωμα ισο με α .

2. Αν υπαρχουν οι προυποθεσεις, σχηματιζουμε ισοτητα παραγωγων.

Συνηθως χρησιμοποιουμε το τεχνασμα του πολλαπλασιασμου και των δυο με-

λων της δοσμενης με e-x (η ex) ωστε να προκυψει παραγωγος γινομενου κλπ .

Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και α .

3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο α . Εξισωνουμε το σταθερο ολοκληρωμα

με το α και λυνουμε το ολοκληρωμα ως προς α .



60 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

1

0

1 1

0 0

προκυψει παραγωγος γινομεν

Eιναι : f'(x) - f(x) = f(x)dx (1) και f(0) = 1

Προσδιορισμος του τυπου της f :

Θετουμε στην (1) f(x)dx = το f(x)dx ειναι σταθερο, με αγνωστη f :

f'(x) - f(x) = α

α

- x

x - x

πολλαπλασιαζω επι e ωστε να - x - x - x

ου

- x - x - x - x - x

πολλαπλασιαζω επι e - x - x

προκυψει e e = 1

e f'(x) - e f(x) = e α

e f'(x) + (e )' f(x) = e α (e f(x))' = (- e α)'

e f(x) = - e α + c

x

0

ωστε να x - x x - x x

Για x = 0 x x

f(0) = - α + c e 1 = - α + c c = 1 + α

(2)1

0

e e ×f(x) = - e e α + c e

f(x) = - α + c e f(x) = - α + (1+ α) e (2)

Προσδιορισμος του α :

Ειναι

f(x)dx = α (- α + (1+ α) e

1 1 1

x x

0 0 0

x 1

0

)dx = α - αdx + (1+ α) e dx = α

- α (1- 0) + (1+ α) [e ] = α - α + (1+ α) (e - 1) = α 2α - α (e - 1) = e - 1

e - 1 (3 - e) α = e - 1 α = (3)

3 - e

Ο τυπος της f :

H (2) λογω της (3) δινει :

e - 1 e - 1f(x) = - + (1 + )

3 - e 3 - e , x . xe


1

0

,

Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει : f(0) = 1 και

f '(x) - f(x) = f(x)dx για καθε x τοτε να βρεθει ο τυπος της .



61

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και σταθερο ολοκληρωμα .



Σ κ ο π ο ς :



1. Επειδη η παραγωγιση της δοσμενης σχεσης μας οδηγει σε αδιεξοδο, θετουμε

στη δοσμενη σχεση το σταθερο ολοκληρωμα ισο με α .

2. Λυνουμε ως προς f(x) .

Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και α .

3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο α . Εξισωνουμε το σταθερο ολοκληρωμα

με το α και λυνουμε το ολοκληρωμα ως προς α .



62 Τ

α κ

η ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς h

t t p : / / m

a t h s l i b

r a r y 4 . b

l o g

s p o

t . g r

1 1 - x x

0

1 1

0 0

x x

Eιναι : e f(x)dx = f(x) + e (1)

Προσδιορισμος του τυπου της f :

Θετουμε στην (1) f(x)dx = το f(x)dx ειναι σταθερο, με αγνωστη f :

α = f(x) + e f(x) = α - e (2)

Προσδιορισ

α

(2)1 1 1 1 - x 1 - x x 1 - x

0 0 0

1 1 1 - x 1 - x 1

00 0

μος του α :

Ειναι

e f(x)dx = α e (α - e )dx = α (e α - e)dx = α

α e dx - edx = α α [- e ] - e(1- 0) α (-1+ e) - e = α

e α (-1+ e) - α = e α (e - 2) = e α = (3)

e - 2

Ο τ

υπος της f :

H (2) λογω της (3) δινει : , x . xef(x) = + e

e - 2


1

1 - x x

0

= f(x) + , , .

Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει :

e f(x)dx e για καθε x τοτε να βρεθει ο τυπος της



63

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), F(x) και ολοκληρωμα x

αx, f(t)dt .



Σ κ ο π ο ς :



1. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση . Ετσι απ’το F(x) προκυπτει f(x) .

2. Αν μετα την προηγουμενη παραγωγιση εξακολουθει να υπαρχει ολοκληρωμα

x

αx, f(t)dt , παραγωγιζουμε ξανα .

Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και c .

3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c . Θετουμε στη δοσμενη σχεση x = α .



64

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

x x x

0 0 0

x x

0 0

x x x

0 0 0

Eιναι :

(x - t) f(t)dt = x - F(x) x f(t)dt - t f(t)dt = x - F(x)

x f(t)dt - t f(t)dt = x - F(x) (1)

Παραγωγιζουμε την (1) :

[x f(t)dt ]' - [ t f(t)dt]' = x' - F'(x) f(t)dt + x f(x) - x f(x) = 1- f(x)

x

x

0

πολλαπλασιαζω επι e ωστε ναx

0 προκυψει παραγωγος γινομενου

x x x

f(t)dt = 1- f(x), x (2)

Παραγωγιζουμε την (2) :

[ f(t)dt]' = [1- f(x)]' f(x) = - f'(x) f(x) + f'(x) = 0

e f(x) + e f'(x) = 0 (e )

0

x x

Για x = 0 η (0): f(0) = 1 x - x

x xcf(0) = c = 1

e

' f(x) + e f'(x) = 0 (e f(x))' = c'

c 1 e f(x) = c f(x) = f(x) = f(x) = e

e e


- xf(x) = e


x

0

. = - , ,

Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : και εστω F μια παραγουσα της f

στο Αν ισχυει : (x - t)f(t)dt x F(x) για καθε x να βρεθει ο τυπος της f.



65

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει x g ( f ( t ) )

ce dt .



Σ κ ο π ο ς :



1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση x g ( f ( t ) )

ce dt και οι αλλοι οροι της δοσμενης

σχεσης ειναι παραγωγισιμες συναρτησεις ως προς x .

2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x .

3. Καταληγουμε σε : f’(x) = g’(x), οποτε f(x) = g(x) + c .

4. Προσδιοριζουμε το c .



66

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

x t- f(t)

0

x t- f(t)

0

t- f

α.

Eιναι : f(x) = e dt (1)

Η f ειναι συνεχης στο , οποτε η e dt ειναι παραγωγισιμη στο .

Αρα, απο (1) και η f ειναι παραγωγισιμη στο .

Παραγωγιζουμε την σχεση (1) και

f'(x) = e

(1)

f(0) 0 0 0

xx

(t) x- f(x)

f(x)0

Γ x = 0 f(0) = 0 f(x) x f(x) x f(x) x f(x)

e = e + e = e + c = 0

edt ' f'(x) = e f'(x) = (2)

e

β.

Η σχεση (2) δινει :

f'(x) e = e (e )' = (e )' e = e + e =ια

c cc

f(x) xf '(x) e = e

xe

f(x) = x, x .


f(x) = x


0x t- f(t)

f(x) x

, ,

f '(x) ,

Αν για τη συνεχη συναρτηση f : ισχυει : f(x) = e dt για καθε x

α. Να αποδειχθει οτι e = e για καθε x

β. Να βρεθει ο τυπος της f.



67

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει x

yf(t)dt .



Σ κ ο π ο ς :




yf(t)dt ειναι παραγωγισιμη ως προς x .

2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x, κρατωντας σταθερο το y .



68

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

y x y y x x

x y

x y x

y

y

x

Eιναι :

f(t)dt = e (y - 1) - e (x - 1) - f(t)dt = e (y - 1) - e (x - 1)

f(t)dt = e (x - 1) - e (y - 1) (1)

H f ειναι συνεχης στο , οποτε η f(t)dt ειναι παραγωγισιμη ως προς x.

Ετσι

Παραγωγιζουμε

x y x x x

y

x x x x x x

την (1) ως προς x (θεωρωντας το y σταθερο) :

f(t)dt ' = [e (x - 1) - e (y - 1)]' f(x) = (e )'(x - 1) + e (x - 1)'

f(x) = e (x - 1) + e f(x) = xe - e + e f(x) = xe


xf(x) = xe


y y x

x ισχυει : = ,

,

Αν για την συναρτηση f : f(t)dt e (y - 1) - e (x - 1) για καθε

x να βρεθει ο τυπος της f.



69

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει x

cf(x) = g(t)dt .



Σ κ ο π ο ς :

Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... , χωρις να γνωριζω αν x

cf(x), g(t)dt ειναι

παραγωγισιμες .


1. Υπολογιζουμε το ολοκληρωμα, συνηθως με αλλαγη μεταβλητης .


Αν η f ηταν συνεχης, τοτε


cg(t)dt ειναι παραγωγισιμη ως προς x .

2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x .

3. Προσδιοριζουμε το c .



70

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

1 1 2

1.

Για να βρουμε τον τυπο της συναρτησης, υπολογιζουμε το ολοκληρωμα.

Ετσι :

1Θετουμε u = lnt οποτε du = d(lnt) = (lnt)'dt = dt.

tΕπισης για t = e u = lne u = 1 και για t = x u = lnx.

Επομενως :

1 1= ×

lnt

x

e

dt

t lnt

x lnx lnx

1e 1

x

e

x

e

1 dt = du = [ln|u|] = ln|lnx|- ln1 =

t u

Ο τυπος της f : , x > 0 .

2.

dtΕιναι : f(x) = (1)

t lntdt

Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο (0, + ), οποτε η ειναι παραγωγισt lnt

ln|lnx|.

f(x) = ln|lnx|

f(e) = ln|lne| + c

ιμη

στο (0, + ).

Αρα, απο (1) και η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) .

Παραγωγιζουμε την σχεση (1) και

1 1 1 1f'(x) = f'(x) = f'(x) = (lnx)' f'(x) = (ln|lnx|)'

x lnx x lnx lnx

f(x) = ln|lnx|+ c

(1)

Γ x = e f(e) = 0

0 = ln1+ c 0 = 0 + c c = 0f(x) = ln|lnx|

Ο τυπος της f : , x > 0 .

ια

f(x) = ln|lnx|


x

e

x

e

dt1. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης : f(x) = , στο (0, + ).

t lntdt

2. Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης : f(x) = , στο (0, + ). t lnt



71

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

ΜΕΘΟΔΟΣ


Η δοσμενη σχεση περιεχει h(x)

g(x)F(x) = f(t)dt .



Σ κ ο π ο ς :

Εφαρμογη του: h(x)

g(x)F'(x) = ( f(t)dt)' = f(h(x)) h'(x) - f(g(x)) g'(x) .


1. Φερνουμε τη δοσμενη σχεση στη πιο πανω μορφη

2. Παραγωγιζουμε κατα μελη, ωστε να προκυψει F'(x) = g'(x) .

3. Ισχυει: Aν F’(x) = g’(x) τοτε F(x) = g(x) + c .

4. Προσδιοριζουμε τη σταθερα c .



72

Τ α

κ η

ς Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h t t p

: / / m a t h

s l i b r a r y

4 . b l o

g s p

o t . g

r

Απ’ τη δοσμενη ισοτητα με πολλαπλασιασμο κατα μελη με e x παιρνουμε :

e xx

-t

αe f(t)dt = 1- e x-α - f(x) f(x) = 1- e x-α - e x

x -t

αe f(t)dt . (1)

Η συναρτηση exx

-t

αe f(t)dt ειναι παραγωγισιμη σαν γινομενο παραγωγισι-

μων συναρτησεων , επομενως λογω της (1) , η f(x) ειναι παραγωγισιμη σαν

αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων .

Απ’ την δοσμενη ισοτητα , παραγωγιζοντας και τα δυο μελη ως προς x , παιρ-

νουμε

e-xf(x) = - e-x + e-x f(x) - e-xf ΄(x) e-xf ΄(x) = - e-x f ΄(x) = - 1

f΄(x) = (-x)΄ f(x) = - x + c (2) , οπου c πραγματικη σταθερα .

Ομως απ’ την (1) : f(α) = 1 - e0- ex 0 = 0 .

απ’ την (2) : f(α)= - α + c 0 = - α + c c = α .

Η ζητουμενη συναρτηση ειναι η : f(x) = - x + α , x ∈ .


Να βρεθει η συνεχης συναρτηση f : για την οποια ισχυει :

x

-t

αe f(t)dt = e - x- e - α – e - xf(x) με x , α .



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

: /

/ m

a t

h s

l i

b r

a r

y 4

. b

l o

g s

p o

t .

g r

To παρον σημειωμα, ειναι μια πρωτη προσεγγιση στις συναρτησιακες σχεσεις.

Σκοπος του να δειξει διαφορες τεχνικες για την αντιμετωπιση τετοιων θεμα-

των και περισσοτερο να ενεργοποιησει την «μαθηματικη φαντασια» του λυτη.

Τακης Τσακαλακος

Κερκυρα 2014 (ανακατασκευη 2015)


Education

Book