Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi

Sử dụng máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570MS để

giải các bài toán thống kê lớp 10

Chuyên đề điện từ trường dành cho lớp 11

Chuyên đề tính các dạng bài tập giới hạn bằng máy Casio

fx 570ES

Dùng phương pháp Giản đồ vectơ để giải các dạng bài tập

điện xoay chiều

Ứng dụng số phức để giải nhanh các dạng bài tập điện

xoay chiều

Chuyên đề thời gian, quãng đường trong dao động điều

hòa

Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Toán

Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Lí

Bộ đĩa DVD ôn thi Đại học.

Cách lưu văn bản vào máy Casio Fx 570ES

Và còn nhiều chuyên đề khác tại:

http://phuongphaphoctap.net

Mong các bạn đón xem.

Nhöõng taøi lieäu khaùc

Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân

Trang 28/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio

Mong nhaän ñöôïc söï uûng hoä cuûa caùc baïn

ñeå taøi lieäu ngaøy caøng hay vaø hoaøn thieän

hôn nöõa.

Moïi yù kieán goùp yù xin göûi veà:

Nguyeãn Troïng Nhaân

[email protected]


Xin chaân thaønh caûm ôn!

Coøn nhieàu taøi lieäu haáp daãn khaùc taïi:




Giới thiệu chung

Vectơ là một phần rất quan trọng trong môn Toán cấp 3. Theo

cấu trúc của bộ Giáo dục và Đào tạo thì trong đề thi Đại học, cao

đẳng luôn có những phần này và chúng chiếm số điểm tương đối

cao.

Thông thường khi làm việc với những phần vectơ này, chúng ta

thường tính nhẩm hoặc làm trong nháp. Nhưng như thế thì

không chính xác và tốn nhiều thời gian, đặc biệt là với những

bài phức tạp. Vì vậy chúng ta sẽ tận dụng chức năng tính toán

vectơ có sẵn trong máy Casio Fx570ES để giải chính xác những

bài này và giúp tiết kiệm nhiều thời gian, đặc biệt là khi đi thi

Đại học.

Một điều quan trọng nữa là khi các bạn làm bài thi, nếu các bạn

biết kết quả mình làm đúng hoặc bước vừa rồi mình làm đúng

thì chắc chắn các bạn sẽ tự tin hơn nhiều và bớt phân tâm trong

những bài kế tiếp đúng không nào.

Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu qua cách bấm vectơ 2

chiều, 3 chiều rồi sau đó ứng dụng vào làm các bài tập.



Muïc luïc

I. Vectơ 2 chiều ......................................................................... 3

1. Nhập vectơ vào máy: ........................................................... 3

2. Cách gọi vectơ để tính toán. ................................................ 5

3. Phép cộng, trừ các vectơ: .................................................... 6

4. Nhân vô hướng 2 vectơ: ...................................................... 7

5. Độ dài của vectơ : ................................................................ 9

6. Góc giữa 2 vectơ : ............................................................. 11

II. Vectơ 3 chiều ....................................................................... 14

7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: ............................................ 14

8. Tích có hướng ................................................................... 15

III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: ........ 17

IV. Bài tập ví dụ ...................................................................... 18



Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán

(ABC):

1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11MH d(M(ABC))

31 4 4

Theå tích töù dieän MABC baèng 3

4t 111 9

V . . 33 2 3

5 17

4t 11 6 t hay t .4 4

Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø:

3 3 1 15 9 11M ; ; hay M ; ;

2 4 2 2 4 2

N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)

2 2

ABN

1 1 2 3 2S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9

2 2 2 2

ABN

3 2maxS 4t 8 0 t 2.

2

Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).

Phần này có tham số nên ta bắt buộc phải làm tay.

Có cách để kiểm tra nhanh kết quả phần này nhưng

không thuộc mode vectơ nên mình sẽ không trình bày

vào đây.



Ta lại có:

[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n,

vôùi n (1; 2; 2)

Suy ra phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n :

(ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.

2 2 2

ABC

1 1 9S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 .

2 2 2

Chúng ta tính tiếp diện tích tam giác ABC :

Vì kết quả tính tích có hướng đã được tự động lưu vào

vectơ Ans nên ta không cần phải nhập lại nữa.

Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào

Nhấn =, ta được kết quả :

Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào



I. Vectơ 2 chiều

1. Nhập vectơ vào máy:

Gọi ( , )u a b và 1 1(a , )v b là 2 vectơ tùy ý trong không

gian 2 chiều.

Ví dụ: (2,3)u và (4,5)v

Khi đó chúng ta lưu 2 vectơ này vào máy bằng cách:

Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR)

Máy có thể lưu tối đa 3 vectơ theo thứ tự là VTA, VTB, VTC

Chúng ta nhấn 1 để lưu vectơ u vào biến vectơ A trên máy tính.

Máy sẽ chờ chúng ta chọn số chiều của vectơ A.

Vì vectơ u có 2 chiều nên sẽ chọn số 2 (nếu 3 chiều thì sẽ chọn

số 1).



Chúng ta nhấp tọa độ của vectơ u vào:

Sau đó chúng ta sẽ nhập vectơ v vào biến vectơ B trên máy tính

bằng cách: nhấn Shift 5 để vào Mode riêng của chức năng

vectơ:

Nhấn chọn 1 (Dim) để nhập vectơ vào biến vectơ trên máy:

Chọn 2 để lưu biến vectơ v vào biến vectơ B (Lúc này biến

VTA đã lưu vectơ u rồi nên không lưu vào biến VTA được).

Chọn số chiều và nhập tọa độ theo các bước giống như khi lưu

vectơ u:



Bài 4 :

Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1)

vaø ñöôøng thaúng

() : x 1 y 2 z 3

2 1 2

1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.

2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.

Giải:

Phöông trình tham soá cuûa (D):

x 1 2t

y 2 t

z 3 2t

Ta có M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)

AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)

Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách nhân có hướng AB

và AC

.

Ta nhập 2 vectơ vào máy.

Tính tích có hướng 2 vectơ này :



Diện tích tam giác ABC :1 1

. 5.10 252 2

S AB AC

Bấm máy

Nhấn =

Kiểm tra lại bằng máy trong trường hợp chưa tính độ

dài ở trên :

Nhấn =

Chúng ta kiểm tra 15 5 5 có phải là số này không

bằng cách tương tự ở trên.



Vậy là đã kết thúc phần lưu vectơ vào máy, chúng ta nhấn AC

hay On để xóa màn hình. Khi đó các biến vectơ A, B vẫn còn

giữ nguyên giá trị mà không bị mất vì chúng ta đã lưu vào máy.

Lưu ý: không được chuyển mode khi tính toán với vectơ (Vd:

chuyển từ mode Vectơ sang mode giải phương trình), vì như thế

sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ A, B.

2. Cách gọi vectơ để tính toán.

Sau khi đã lưu các vectơ vào máy tính, mỗi lần cần tính toán với

vectơ nào thì chúng ta sẽ gọi vectơ ấy ra và tính toán với chúng.

Cách gọi như sau:

Nhấn Shift 5 để vào mode riêng của vectơ.

Chúng ta thấy số 3, 4, 5 là tên của các vectơ A, B, C. Cho nên

khi cần gọi vectơ nào ra thì chúng ta sẽ nhấn số tương ứng của

tên vectơ đó.

Ví dụ: chúng ta cần gọi vectơ A ra thì sẽ nhấn Shift 5 rồi chọn

số 3.



Màn hình hiển thị:

Vậy là vectơ A đã được gọi ra và sẵn sàng để tính toán. Các

vectơ B, C cũng tương tự.

3. Phép cộng, trừ các vectơ:

Ta có công thức:

1 1( , ) (6,8)u v a a b b

1 1( , ) ( 2, 2)u v a a b b

Thực hiện trên máy:

Gọi vectơ A, nhấn +, rồi gọi tiếp vectơ B.

Khi đó màn hình hiển thị:

Nhấn = để máy tính hiện kết quả:



2 28 6 10AC

2 211 2 125 5 5BC

Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Chu vi tam giác ABC :

5 10 5 5 15 5 5P AB AC BC

Ta bấm máy :

Kết quả ra 11.830 giống kết quả đã ghi nháp phía

trên !

Lưu ý là không ra khỏi mode vectơ vì sẽ làm mất giá

trị của các biến vectơ lưu trong máy. Nếu ra cũng

được, tuy nhiên nếu tính tiếp thì ta vào vào nhập lại

các vectơ này.



Suy ra AB vuông góc với AC

Ta lại có :

2 2( 3) 4AB

5

Ta tiếp tục kiểm tra độ dài các cạnh xem ngoài vuông

ra, tam giác này có cân hay không.

Ta nhấn ABS(vectơ A)

Suy ra độ dài vectơ AB là 5, và chúng ta ghi kết quả

vào phần trình bày bên dưới.

Tương tự cho vectơ B và C

Ta thấy độ dài vectơ C là số phẩy không tuần hoàn

nên ta biết chắc nó sẽ chứa căn. Vì vậy ta ghi 3 chữ số

đầu của số này vào nháp (11.180) để lát nữa kiểm tra

lại kết quả trong trình bày.



Phép – cũng tương tự phép +, chỉ cần thay đổi dấu + thành – là

xong.

Gọi vectơ A, nhấn -, rồi gọi tiếp vectơ B.

Lưu ý: khi màn hình hiển thị kết quả, các bạn sẽ thấy trên màn

hình có ghi là vectơ Ans. Điều đó có nghĩa là vectơ kết quả vừa

tính sẽ tự động lưu vào biến vectơ Ans. Và biến vectơ này có thể

được gọi ra bằng cách nhấn Shift 5 và chọn số 6. Chức năng này

giống như chức năng của phím Ans trên máy tính, chỉ khác là

biến Ans tự động lưu số vừa tính, còn biến vectơ Ans tự động

lưu vectơ vừa tính.

4. Nhân vô hướng 2 vectơ:

Theo công thức ta có:

1 1. . . 2.4 3.5 23u v a a b b

Mặt khác, tích vô hướng giữa 2 vectơ là 1 số nên nó sẽ tự động

lưu vào biến Ans (chứ không phải biến vectơ Ans).

Cách thực hiện trên máy như sau:

Gọi vectơ A ra (Shift 5 3)



Nhấn Shift 5, chọn 7 (Dot)

Sau đó gọi tiếp vectơ B (Shift 5 4).

Màn hình hiển thị:

Nhấn =, ra kết quả là 32.



(9 1;8 2) (8;6)AC

(9 ( 2);8 6) (11;2)BC

Ta thấy . 3.8 4.6 0AB AC

Lúc này ta không biết ∆ABC cân tại đâu nên ta sẽ

dùng máy tính để kiểm tra nhanh tích vô hướng :

Nhập 3 vectơ này vào máy tính tương ứng theo thứ tự

A, B, C

Tính vectơ A.vectơ B (tương ứng .AB AC

) :

Nhấn =

May quá ! Kết quả ra 0 nên ta biết AB vuông góc AC.

Nếu kết quả chưa ra 0 thì ta kiểm tra tương tự với các

cạnh còn lại



Tọa độ trọng tâm G :

Nhấn =, kết quả 7

(1, )3

:

Kết hợp máy tính trong trình bày tự luận :

Bài 3 : Cho tam giác ABC có (1;2), ( 2;6), (9;8)A B C

1/Tam giác ABC là tam giác gì ?

2/Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Giải

Ta có : ( 2 1;6 2) ( 3;4)AB



5. Độ dài của vectơ :

Độ dài của vectơ được định nghĩa như sau :

2 2 2 22 3 13 3,606u a b

Cách hiển thị trên máy Casio rất trực quan. Các bạn thấy cách

ghi độ dài của vectơ giống như là mình ghi trị tuyệt đối của

vectơ vậy.

Vì thế mình bấm trên máy như sau:

Bấm ABS (trị tuyệt đối)

Sau đó nhập vectơ A vào :

Tương đương với chúng ta nhập u

Sau đó chúng ta nhấn = (Có thể bỏ qua dấu đóng ngoặc cũng

được vì Casio sẽ tự đóng ngoặc cho mình)



Lưu ý : Trong mode vectơ, kết quả sẽ được hiển thị dưới dạng

một dòng (line) chứ không hiển thị dưới dạng toán học (Math)

được. Vì vậy các phép căn cũng sẽ hiển thị dưới dạng số phẩy

chứ không hiển thị dạng căn được.

Để khắc phục điều này ta làm như sau :

Các bạn nhấn tiếp tục dấu -, rồi nhập kết quả tính tay phía trên

vào.

Sau đó nhấn =, nếu kết quả =0 thì có nghĩa là ta đã tính đúng.

Còn nếu kết quả khác 0 thì chúng ta đã làm sai !

Hoặc có cách khác là sau khi bấm Abs(Vct A) =, chúng ta ghi

kết quả trên máy tính vào nháp. Sau đó nhấn AC, nhập kết quả

tính tay phía trên vào, rồi chuyển sang số phẩy. Nếu số đó giống

số trong nháp thì ta đã làm đúng, ngược lại thì đã sai và cần

kiểm tra lại .



Gọi I(x,y) là trung điểm AB, ta có :

2 01

2 (1,2)0 4

22

x

I

y

Gọi G(xG,yG) là trọng tâm ∆ABC, ta có :

2 0 11

73(1, )

0 4 3 7 3

3 3

G

G

x

G

y

Bấm máy :

Nhập tọa độ 3 điểm A,B,C :

Tọa độ trung điểm I :

Nhấn =, kết quả (1,2) :



IV. Bài tập ví dụ

Bài 1 : Cho a (1; 2), b (3;4),c (5, 1). Tìm tọa độ vectơ

2u a b c

.

Giải

Ta có 2 (2.1 3 5;2.( 2) 4 ( 1)) (0;1)u a b c

Bấm máy :

Nhấn = ra kết quả :

Bài 2 : Cho A(2,0), B(0,4), C(1,3). Tìm tọa độ trung điểm I của

đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

Giải



6. Góc giữa 2 vectơ :

Ta có công thức tính góc giữa 2 vectơ như sau :

.cos( , )

u vu v

u v

Ta có thể phát biểu bằng lời như sau : Góc giữa 2 vectơ bằng

tích vô hướng chia cho tích độ dài của 2 vectơ đó!

Chúng ta bấm máy dựa theo cách phát biểu bằng lời này. Tức là

bấm tích vô hướng của 2 vectơ sau đó chi cho tích độ dài.

Thực hiện trên máy :

Chúng ta nhập tích vô hướng của 2 vectơ như đã hướng dẫn

trong phần trước :

Sau đó chúng ta nhấn dấu chia :

Vì tích vô hướng này chia cho một tích nên ta phải đưa tích ở

mẫu vào ngoặc.



Chúng ta nhấn dấu mở ngoặc :

Sau đó nhập độ dài vectơ A như đã hướng dẫn ở phần trước:

Lưu ý: Abs sẽ tự động mở ngoặc cho chúng ta, cho nên sau khi

gọi xong vectơ A ra, ta phải đóng ngoặc của Abs lại.

Vì tích 2 độ dài là phép nhân 2 số bình thường nên ta nhấn dấu

nhân rồi nhập tiếp độ dài vectơ B :



III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính:

- Mode vectơ thích hợp cho việc kiểm tra nhanh kết quả. Đối

với bài toán lớn, các bước tính vectơ nhỏ nếu thầy cô cho

phép bỏ qua thì các bạn bấm máy và ghi kết quả luôn,

không cần làm tay.

- Máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ vì vậy các bạn phải nắm

chắc lý thuyết và phải biết giải thuần thục bằng tay.

- Để bấm nhanh, chúng ta nên nhớ thứ tự bước mà không cần

phải nhớ chi tiết từng bước. Ví dụ để khai báo vectơ A, ta

phải nhớ shift 5 1 1 và chọn 1 nếu 3 chiều, chọn 2 nếu 2

chiều. Lúc đó ta không cần nhớ là phải vào mode vectơ rồi

chọn dim, sau đó chọn vectơ A rồi chọn chiều… cách này

rất lâu, tuy nhiên chúng ta phải biết các từ này. Các bạn cố

gắng tập làm sau mà khi mình chọn chức năng, màn hình

hiển thị không kịp thao tác mình bấm, như vậy mới tiết

kiệm thời gian. Ví dụ nữa là khi mình lấy vectơ A nhân vô

hướng vectơ B thì ta vừa nhẩm vừa bấm : shift 53, shift 57,

shift 54. Nếu các bạn biết kỹ thuật đặt tay và lướt tay thì

thao tác này chỉ tốn 2s mà thôi!

- Khi đang thao tác trên mode vectơ, nếu các bạn chuyển qua

mode khác thì dữ liệu vectơ trong máy sẽ bị mất và phải

nhập lại.



Hoặc chúng ta có thể bấm đơn giản hơn là:

Bỏ qua dấu X giữa 2 vectơ luôn, lúc này máy tính sẽ hiểu ngầm

là có dấu nhân có hướng ở giữa.

Nhấn =, kết quả hiển thị:



Chúng ta nhấn = mà không cần đóng ngoặc cũng được, vì Casio

sẽ tự đóng giúp chúng ta.

Kết quả hiển thị : 0.99624

Tuy nhiên đây là giá trị của Cos, muốn tìm giá trị của góc thì ta

phải lấy arccos (hay gọi là lấy cos ngược).

Chúng ta nhấn tiếp :

Shift Cos, nhập vào Ans :

Nhấn = :

Kết quả là 4.97 độ.

Lưu ý : Phải xem kỹ đơn vị khi thao tác với góc (độ, radian…)



II. Vectơ 3 chiều

7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy:

Gọi ( , , )u a b c và 1 1 1(a , , )v b c là 2 vectơ tùy ý trong

không gian 3 chiều.

Ví dụ: (1, 2, 3)u và (4,5,6)v

Tương tự như vectơ 2 chiều, chúng ta nhập 2 vectơ này vào máy

bằng cách:

Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR)

Có 3 vectơ cho chúng ta lựa chọn

Tại bước chọn số chiều của vectơ, chúng ta sẽ nhấn 1 để chọn số

chiều là 3.



Sau đó nhập vectơ u vào:

Các phép tính vectơ 3 chiều hoàn toàn tương tự như vectơ 2

chiều. Nên các bạn chỉ cần xem cách làm đối với vectơ 2 chiều

rồi dễ dàng suy ra cách làm đối với vectơ 3 chiều.

Tuy nhiên vectơ 3 chiều có thêm 1 điểm khác mà vectơ 2 chiều

không có, đó chính là: Tích có hướng.

8. Tích có hướng

Nếu tích vô hướng của 2 vectơ trong Casio là dot (.) thì tích có

hướng chính là dấu nhân (X) trên bàn phím.

Sau khi nhập xong 2 vectơ, để tính tích có hướng của 2 vectơ, ta

bấm:

Nhấn =, kết quả là (-3;6;-3) :

Education

Cách giải Toán vector với máy tính bỏ túi