Cal 3

คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย ….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 33

พ้ืนฐานความรู เร่ือง อนุพันธ 1 . ถา 푦 = 푓(푥) แลว

เรียก 푑푦푑푥 หรือ 푦 หรือ 푓 (푥) วา อนุพันธของ 푓(푥)

และเราเขียน 푦′′แทน 푑2푦

푑푥2 หรือ 푑2

푑푥2 푓(푥)

และเราเขียน 푦′′′แทน 푑3푦

푑푥3 หรือ 푑3

푑푥3 푓(푥)

สูตร Differrential 1) 푑(푐) = 0

2) 푑(푐푢) = 푐푑(푢)

3) 푑푥푑푥 = 1

4) 푑(푢 + 푣 − 푤) = 푑푢 + 푑푣 − 푑푤

5) 푑(푢. 푣) = 푢푑푣 + 푣푑푢

6) 푑푢푣 =

푣푑푢 − 푢푑푣푣

7) 푑(푢) = 푛(푢) 푑(푢)

8) 푑푤푑푢 .

푑푢푑푣 =

푑푤푑푣

9) 푑(푔 ∘ 푓)(푥)

푑푥 = (푔 ∘ 푓) (푥) = 푔 푓(푥) 푓′(푥)

พ้ืนฐานความรู เร่ือง ปริพันธ 2. ถา 퐹(푥) = 푓(푥)푑푥 แลว

เรียก 퐹(푥)วา ปฏิยานุพันธของ 푓(푥)

เรียก วา ปริพันธ เรียก 푓(푥) วา ปริพัทธ

และจะไดวา 퐹′(푥) = 푓(푥)

สูตร Integration

1) 0 푑푢 = 푐 , 푐 เปน คาคงที ่

2) 푐 푑푢 = 푐 푑푢 , 푐 เปน คาคงที ่

3) 푑푢 = 푢 + 푐 , 푐 เปน คาคงที ่

4) (푢 + 푣 − 푤)푑푥 = 푢푑푥 + 푣푑푥 − 푤푑푥

5) 푢 푑푢 = 푢푛 + 1 + 푐

6) 푓 (푥)푑푥 = 푓(푥)

7) 푓 (푥)푑푥 = 푓(푥)푏푎 = 푓(푏) − 푓(푎)

8) 푓(푥)푑푥 = 푓(푥)푑푥 − 푓(푥)푑푥

9) 푓(푥)푑푥 = 0

10) 푓(푥)푑푥 = − 푓(푥)푑푥

11) 푓(푥)푑푥 = 푓(푥)푑푥 + 푓(푥)푑푥 , 푏 ∈ [푎, 푐]

12) 푤 = 푓(푥)푑푥

โดยที่ 푤 คือพื้นที่ใตเสนโคงถึงแกน 푥 ใชชวงตั้งแต 푥 = 푎 ถึง 푥 = 푏 พื้นที่เหนือแกน 푥 มีคา + หรือ 푤 มีคาเปน + และพื้นที่ใตแกน 푥 มีเคร่ืองหมาย − หรือ 푤 มีคาเปน −


퐸푥42 จงหาคาของ (20 푥 − 12푥 + 10푥 + 3)푑푥

วิธีทํา (20 푥4 − 12푥2 + 10푥 + 3)푑푥

= 20 푥 푑푥 − 12푥 푑푥 + 10푥푑푥 + 3 푑푥

= 20 푥 푑푥 − 12 푥 푑푥 + 10 푥푑푥 + 3 푑푥

= 20푥4 + 1 − 12

푥2 + 1 + 10

푥1 + 1 + 3푥

+ 푐

= 20푥5 − 12

푥3 + 10

푥2 + 3푥 + 푐

= 4푥 − 4푥 + 5푥 + 3푥 + 푐 퐴푛푠.

퐸푥43 จงหาคาของ (3 푥 + 8푥 − 1)푑(5푥 + 3)

วิธีทํา (3 푥 + 8푥 − 1)푑(5푥 + 3)

= (3 푥 + 8푥 − 1)5푑푥

= 5 (3 푥 + 8푥 − 1)푑푥

= 5 3푥 푑푥 + 8푥푑푥 − 푑푥

= 53푥2 + 1 +

8푥1 + 1 − 푥 + 푐

= 5(푥 + 4푥 − 푥) + 푐 퐴푛푠.

퐸푥44 จงหาคาของ (10푥 − 1) 푑(7푥 − 3)

วิธีทํา (10푥 − 1)4푑(7푥 − 3)

= 7 (10푥 − 1) 푑(푥)

= ∫(10푥 − 1) 푑(10푥 − 1)

= 7

10(10푥 − 1)

4 + 1 + 푐

= 7

50(10푥 − 1) + 푐 퐴푛푠.

42. จงหาคาของ (12 푥 − 24푥 + 8푥 − 5)푑푥

43. จงหาคาของ (8푥 − 9 푥 + 6푥 − 5)푑(4푥 − 3)

44. จงหาคาของ (8푥 − 3) 푑(5푥 + 2)


퐸푥45 ถา 푓 (푥) = 12푥 − 6푥 + 4푥 − 5

และ 푓(1) = 3 จงหา 푓(푥)

วิธีทํา จาก 푓′(푥) = 12푥3 − 6푥2 + 4푥 − 5

∴ 푓′(푥)푑푥 = (12푥3 − 6푥2 + 4푥 − 5)푑푥

∴ 푓(푥) =12푥4

4−

6푥3

3+

4푥2

2− 5푥 + 푐

∴ 푓(푥) = 3푥4 − 2푥3 + 2푥2 − 5푥 + 푐

∴ 푓(1) = 3(1)4 − 2(1)3 + 2(1)2 − 5(1) + 푐

∴ 3 = 3 − 2 + 2 − 5 + 푐 ∴ 퐶 = 5

∴ 푓(푥) = 3푥4 − 2푥3 + 2푥2 − 5푥 + 5 퐴푛푠.

퐸푥46 ถา 푓 (푥) = 6푥 + 8 ,

푓 (2) = 30, 푓(1) = 10 จงหา 푓(2)

วิธีทํา จาก 푓′′(푥) = 6푥 + 8

∴ 푓 (푥)푑푥 = (6푥 + 8 )푑푥

∴ 푓 (푥) = 3푥 + 8푥 + 푐

∴ 푓 (2) = 3(2) + 8(2) + 푐

∴ 30 = 12 + 16 + 푐 ∴ 푐 = 2

∴ 푓 (푥) = 3푥 + 8푥 + 2

∴ 푓 (푥)푑푥 = (3푥 + 8푥 + 2)푑푥

∴ 푓(푥) = 푥 + 4푥 + 2푥 + 푐

∴ 푓(1) = (1) + 4(1) + 2(1) + 푐

∴ 10 = 1 + 4 + 2 ) + 푐 ∴ 푐 = 3

∴ 푓(푥) = 푥 + 4푥 + 2푥 + 3

∴ 푓(2) = (2) + 4(2) + 2(2) + 3

∴ 푓(2) = 8 + 16 + 4 + 3 = 31 퐴푛푠.

45. ถา 푓 (푥) = 8푥 − 9푥 + 6푥 − 3

และ 푓(−1) = 12 จงหา 푓(푥)

46. ถา 푓 (푥) = 12푥 − 6푥 − 2 ,

푓 (1) = 5, 푓(2) = 6 จงหา 푓(−1)


퐸푥47 วัตถุกอนหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเสนตรง ดวยความเรง

12푡 − 54 เมตรตอ(นาที)2 ขณะนาทีที่ 4 วัตถุจะอยูหางจาก

จุดเริ่มวัด 131 เมตร และกําลังวิ่งเขาหาจุดเริ่มวัดดวยความเร็ว

12 เมตร/นาท ี

จงหาความเร็วเฉลี่ยในชวงตั้งแต นาทีที ่8 ถึง นาทีที ่10

วิธีทํา จากโจทย 푎푡 = 12푡 − 54

∴ 푎 푑푡 = (12푡 − 54)푑푡

∴ 푉 = 6푡 − 54푡 + 푐 จากโจทย 푡 = 4 , 푉푡 = −12

∴ −12 = 6(4) − 54(4) + 푐

∴ −12 = 96 − 216 + 푐 ∴ 푐 = 108

∴ 푉 = 6푡 − 54푡 + 108

∴ 푉 푑푡 = (6푡 − 54푡 + 108) 푑푡

∴ 푆 = 2푡 − 27푡 + 108푡 + 푐

จากโจทย 푡 = 4 , 푆푡 = 131

∴ 131 = 2(4) − 27(4) + 108(4) + 푐

∴ 131 = 128 − 432 + 432 + 푐 ∴ 푐 = 3

∴ 푆 = 2푡 − 27푡 + 108푡 + 3

∴ 푡 = 10 ,

푆 = 2(10) − 27(10) + 108(10) + 3 = 383

∴ 푡 = 8 ,

푆 = 2(8) − 27(8) + 108(8) + 3 = 163

∴ ∆푆∆푡 =

푆 − 푆10 − 8 =

383 − 1632 = 110 퐴푛푠.

47. วัตถุกอนหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเสนตรงดวยความเรง 12푡 − 24 เมตรตอ(นาที) และ ขณะนาทีที่ 1 วัตถุจะอยูหางจากจุดเริ่มวัดเปนระยะ 61 เมตร

และว่ิงดวยความเร็ว 24 เมตร/นาท ี

จงหาวา ภายใน 7 นาทีแรกวัตถุจะเคลื่อนที่ไดทางทั้งหมดเทาไร


퐸푥48 จงหาคาของ (8푥 − 4푥 + 3)푑푥

วิธีทํา (8푥3 − 4푥 + 3)푑푥2

−1

=8푥3 + 1 −

4푥1 + 1 + 3푥 + 푐

2−1

= (2푥 − 2푥 + 3푥 + 푐)2

−1

= [2(2) − 2(2) + 3(2) + 푐]− [2(−1) − 2(−1) + 3(−1) + 푐]

= [32 − 8 + 6 + 푐] − [2 − 2 − 3 + 푐] = 33 퐴푛푠.

퐸푥49 จงหา |푥 − 푥 − 6|푑푥

วิธีทํา จากนิยาม |푥| = 푥, 푥 ≥ 0−푥, 푥 < 0

∴ |푥 − 푥 − 6|

= +(푥 − 푥 − 6), (푥 − 푥 − 6) ≥ 0−(푥 − 푥 − 6), (푥 − 푥 − 6) < 0

∴ |푥 − 푥 − 6|

= +(푥 − 푥 − 6), (푥 − 3)(푥 + 2) ≥ 0−(푥 − 푥 − 6), (푥 − 3)(푥 + 2) < 0

∴ |푥 − 푥 − 6|

= +(푥 − 푥 − 6), 푥 ≤ −2 ∨ 푥 ≥ 3−(푥 − 푥 − 6), −2 < 푥 < 3

∴ |푥 − 푥 − 6|푑푥

= −(푥 − 푥 − 6)푑푥 + (푥 − 푥 − 6)푑푥

= −푥3 −

푥2 − 6푥

30 +

푥3 −

푥2 − 6푥

43

= −273 −

92 − 18 − 0 +

643 −

162 − 24 −

273 −

92 − 18

= −273

−92

− 18 − 0 +643

−162

− 24 −273

−92

− 18

=493 퐴푛푠.

48. จงหาคาของ (12푥 − 6푥 + 1)푑푥

49. จงหา |푥 + 2푥 − 3|푑푥


퐸푥50 กําหนดให 푓(푥) = 1 − 6푥 , 푥 < 14푥 + 3, 푥 ≥ 1

จงหาคาของ 푓(푥)푑푥2

0

วิธีทํา 푓(푥)푑푥2

0= (1 − 6푥2)푑푥

1

0+ (4푥 + 3)푑푥

2

1

= (푥 − 2푥 )10 + (2푥 + 3푥)

21

= [(1 − 2) − (0)] + [(8 + 6) − (2 + 3)]

= [−1] + [14 − 5] = 8 퐴푛푠.

퐸푥51 ให 푔(푥) =푓(푥)

푥 + 1 จงหาคาของ 푔 (푥)푑푥

ให 푓(1) = 푓 (1) = 1 และ 푓(0) = 푓 (0) = −2

วิธีทํา

จาก 푔 (푥)푑푥 = 푔 (푥)10 = 푔 (1) − 푔 (0)

จาก 푔(푥) =푓(푥)

푥4 + 1

∴ 푔 (푥) =(푥 + 1)푓 (푥) − 푓(푥)(4푥 )

(푥 + 1)

∴ 푔 (1) =(1 + 1)푓 (1) − 푓(1)(4(1) )

(1 + 1)

=2(1) − (1)(4)

4 = −12

∴ 푔 (0) =(0 + 1)푓 (0) − 푓(0)(0)

(0 + 1)

=1(−2) − 0

1 = −2

∴ 푔 (푥)푑푥 = 푔 (푥)10 = 푔 (1) − 푔 (0)

= −12 + 2 =

32 퐴푛푠.

50. กําหนดให 푓(푥) = 1 + 2푥 − 3푥 , 푥 < 26푥 − 1 , 푥 ≥ 2

จงหาคาของ 푓(푥)푑푥3

0

51. ให 푔(푥) =푓(푥)

푥 − 2 จงหาคาของ 푔 (푥)푑푥

ให 푓(1) = −2, 푓 (1) = −1 , 푓(0) = 1, 푓 (0) = 2


퐸푥52 ถา 푓 ∘ 푔(푥)푑푥 = 푥 + 5푥 + 1

และ 푓(푥) = 4푥 − 3 จงหาคาของ 푔(푥)푑푥1

0

วิธีทํา

จาก นิยาม

ถา 푔(푥)푑푥 = 푓(푥) แลว 푔(푥) = 푓 (푥)

จาก 푓 ∘ 푔(푥)푑푥 = 푥2 + 5푥 + 1

∴ 푓 ∘ 푔(푥) =푑

푑푥 (푥 + 5푥 + 1)

= 2푥 + 5

∴ 푓 푔(푥) = 2푥 + 5

∴ 4 푔(푥) − 3 = 2푥 + 5

จาก 푓(푥) = 4푥 − 3

∴ 푔(푥) =12 푥 + 2

∴ 푔(푥)푑푥 =12 푥 + 2 푑푥

=푥4 + 2푥

10

∴ =14 + 2(1) − 0 =

94 퐴푛푠.

52. ถา 푓 ∘ 푔(푥)푑푥 = 2푥 − 푥 + 푥 − 2

และ 푓(푥) = 2푥 − 5 จงหาคาของ 푔(푥)푑푥2

1

Education

Cal 3