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Se debe calcular el área sombreada de la siguiente figura, considerando que el lado del cuadrado “abcd” mide 8 cm:
8 cm
a
b c
d
1 Sergio Migliorisi - [email protected]
Para esto debemos averiguar el radio “r”.
A
C
B
a
b c
d
Sabemos que el circulo “A” tiene 3 tangentes, las llamaremos 1, 2 y 3.
2
-
- 3
- 1
r
Cálculo el área de la figura (A):
2
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Primero, calculamos el valor de la diagonal, que a su vez, es la hipotenusa del triángulo “bcd”:
C
B
a
b c
d
Aplicando Pitágoras: A
(bd)2 = (bc)2 + (cd)2
bd = (bc)2 + (cd)2
bd = (8cm)2 + (8cm)2
bd = 11,314 cm
Cálculo el área de la figura (A):
3
Sergio Migliorisi - [email protected]
Ahora que sabemos cuanto vale la diagonal “bd”, podemos saber la distancia entre “b-1” :
C
B
a
b c
d
- 1
A
bd = 2.b1
bd = b1 2
11,314 cm = b1 2
b1 = 5,657 cm
Cálculo el área de la figura (A):
4
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Podemos ver que la distancia del vértice “b” a la tg 1, es igual a la distancia entre el mismo punto y la tg 2.
C
B
a
b c
d
2
-
- 1
A
b1 = b2 = 5,657 cm
b1 = b2
b1
b2
Cálculo el área de la figura (A):
5
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c2 = 2,34 cm
Dado que:
b1 = b2
bc = 8 cm ; b2 = 5,66 cm
y c2 = bc – b2
C
B
a
b c
d
2
- 1
A
b2 c2
bc
b1 siendo:
c2 = 8 cm – 5,66 cm
resolvemos:
Cálculo el área de la figura (A):
6
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AA = 17,246 cm2
Podemos ver que:
c2 = r
AA = π. r2
C
B
a
b c
d
2
A Entonces calculamos el área del circulo A:
c2
r
AA = 3,14. (2,34 cm)2
Cálculo el área de la figura (A):
7
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C
B
A
A’
Ahora calcularemos el área de la figura B, o sea AB.
( Siendo: AA’ = AA )
Interpretemos que B es un cuadrado menos ¼ del circulo A’. Primero debemos hallar el área de ese cuadrado A y después restarle ¼ del área de A’:
AB = A – ¼ AA’
¼ A’
Cálculo el área de la figura (B):
AA = 17,25 cm2 8
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Podemos ver que la figura B tiene una base b y una
altura h.
C
B
A r
r = b = h
A’
r
r
Cálculo el área de la figura (B):
AA = 17,25 cm2
Y que cada una de ellas es igual al radio del circulo A’ y
de mismo valor que el radio del circulo A:
9
h
b
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Calculando el área del cuadrado:
C
B
A
A’
¼ A’
AB = 5,47 cm2 – ¼ . 17,246 cm2
Entonces:
AB = 1,16 cm2
h
b
A = b . h
A = 2,34 cm . 2,34 cm
A = 5,47 cm2
AB = A – ¼ AA’
Cálculo el área de la figura (B):
AA = 17,25 cm2 10
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Cálculo el área de la figura (C):
Para calcular el área de la figura C, debemos conocer el área del triángulo “abd”
C
B
A
Entonces:
a
b c
d
A = ( b . h ) / 2
A = ( 8 cm . 8 cm ) / 2
A = 32 cm2
A = 32 cm2
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 11
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Cálculo el área de la figura (C):
C
B
A
a
b c
d
Ahora, utilizaremos los datos que ya tenemos de las áreas de cada figura.
Teniendo el área del triángulo “abd”, A :
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 12
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Cálculo el área de la figura (C):
C
B
A
a
b c
d
Ahora, utilizaremos los datos que ya tenemos de las áreas de cada figura.
Le restamos el área del circulo AA :
Teniendo el área del triángulo “abd”, A :
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 13
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Cálculo el área de la figura (C):
Ahora, utilizaremos los datos que ya tenemos de las áreas de cada figura.
C
B
A
a
b c
d
Le restamos el área del circulo AA :
Después le restamos el área de la figura AB :
Teniendo el área del triángulo “abd”, A :
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 14
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Cálculo el área de la figura (C):
Podemos ver que nos quedan 2 figuras iguales, de las cuales solo necesitamos saber el área de una de ellas.
C
B
A
a
b c
d
Entonces dividiremos por 2 y así obtendremos el área de C.
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 15
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Cálculo el área de la figura (C):
Algebraicamente:
C
B
A
a
b c
d
AC = A - AA - AB
2
Reemplazando:
AC = 32 cm2 - 17,25 cm2 – 1,16 cm2 2
AC = 6,795 cm2
AB = 1,16 cm2 AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 16
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Cálculo el área de la figura (C):
Finalmente sumamos las áreas que nos interesan:
C
B
A
a
b c
d
AB = 1,16 cm2
AA = 17,25 cm2
AC = 6,8 cm2
Atotal = 25,21 cm2
Obteniendo el resultado final:
17
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